変位とひずみ

変　位

37

変位とは，物体中のある点が変形後に別の点に異動したときの位置の変化であり，ベクトル量である．変位には，物体の変形の他に剛体運動（剛体変位）が含まれている．

剛体変位：　平行移動と回転

P(x, y, z) P !(x + u, y + v, z + w) 点 P の変位： (u, v, w)

Q(x + dx, y + dy, z + dz) Q!(x + dx + u + du, y + dy + v + dv, z + dz + w + dw)

点 Q の変位：(u + du, v + dv, w + dw)

u + du = u + !u!x

dx + !u!y

dy + !u!z

dz

v + dv = v + !v

!xdx + !v

!ydy + !v

!zdz

w + dw = w + !w

!xdx + !w

!ydy + !w

!zdz

P，Qのように近接する２点間の伸び，回転から固体の変形を論じることができる．

ひずみ成分

ひずみ（垂直ひずみ）真直棒の引っ張り圧縮の場合

38

!x

xx + !x

元の長さ

!x !

x + u(x)

x + !x + u(x) + !u(x)

変位

変形後の長さ

39

!x !

!x

xx

x + u(x)

x + !x + u(x) + !u(x)

x + !x

元の長さ

変形後の長さ

!(x) = "x ! " "x"x

=!"x + "u(x)

"" "x

"x= "u(x)

"x

垂直ひずみ

ひずみ

（変位の導関数）

! = dudx

40

ひずみ（垂直ひずみ）

B

AC

D

D!

B!

C!

A!

変形前

変形後

B

!

"x + dx

yz

#

$ ! B"

!

"x + dx + u + (!u/!x)dx

y + v + (!v/!x)dxz + w + (!w/!x)dx

#

$

dsx =

!"1 + !u

!x

#2+

"!v

!x

#2+

"!w

!x

#2dx

!x = dsx ! dxdx

=

!"1 + "u

"x

#2+

""v

"x

#2+

""w

"x

#2! 1 " "u

"x（微小変形のとき）

41

ひずみ（垂直ひずみ）

B

AC

D

D!

B!

C!

A!

変形前

変形後

垂直ひずみ

!x = "u"x

!y = "v

"y

!z = "w

"z

42

ひずみ（工学剪断ひずみ）

剪断ひずみ（工学剪断ひずみ）ねじり試験によって，剪断応力と関係づけられる．

!1 ! tan !1 =

!v + "v

"xdx

"" v

dx= "v

"x

!2 ! tan !2 =

!u + "u

"ydy

"" u

dy= "u

"y

!xy = "1 + "2 = #u#y

+ #v

#x

dx

dy

43

ひずみ（回転）

z 軸まわりの回転角の平均

!z = 12

!"v

"x! "u

"v

"

x 軸まわり，y 軸まわりの回転角の平均も同様に求められ，結局，次のようになる．

（変形に関与しない剛体回転分）

!x = 12

!"w

"y! "v

"z

"

!y = 12

!"u"z

! "w

"x

"

!z = 12

!"v

"x! "u

"y

"

変位の増分 (du, dv, dw)

44

du = !u!x

dx + !u!y

dy + !u!z

dz

= !u!x

dx +!

12

"!u!y

! !v

!x

#+ 1

2

"!u!y

+ !v

!x

#$dy

+!

12

"!u!z

! !w

!x

#+ 1

2

"!u!z

+ !w

!x

#$dz

= "x dx +"

!#z + 12$xy

#dy +

"#y + 1

2$zx

#dz

!"#

"$

dudv

dw

%"&

"'=

(

)*!x "xy/2 "zx/2

"xy/2 !y "yz/2"zx/2 "yz/2 !z

+

,-

!"#

"$

dxdydz

%"&

"'+

(

)*0 !#z #y

#z 0 !#x

!#y #x 0

+

,-

!"#

"$

dxdydz

%"&

"'

dv，dw についても同様に求められ，次のようになる．

ひずみテンソル 回転テンソル（２階のテンソルの座標変換則を満足する．）

ひずみテンソルとひずみ成分

45

ひずみテンソル

ひずみ成分 !

"#!x "xy "zx

"xy !y "yz

"zx "yz !z

$

%&

!i j = 12(ui, j + u j,i ) =

!

"#!x "xy/2 "zx/2

"xy/2 !y "yz/2"zx/2 "yz/2 !z

$

%&

=

!

"""#

#u#x

12

'#u#y + #v

#x

(12

'#u#z + #w

#x

(

12

'#v#x + #u

#y

(#v#y

12

'#v#z + #w

#y

(

12

'#w#x + #u

#z

(12

'#w#y + #v

#z

(#w#z

$

%%%&

!

!

"#!xx !xy !xz

!yx !yy !yz

!zx !zy !zz

$

%& =

!

"#!xx !yx !zx

!xy !yy !zy

!xz !yz !zz

$

%&

対称，２階のテンソル

テンソルではない

体積ひずみ

46

B

AC

D

D!

B!

C!

A!

変形前

変形後

変形が小さいとき，変形後の体積はV ! " (1 + !x ) dx # (1 + !y) dy # (1 + !z) dz

= (1 + !x + !y + !z + !x!y + !y!z + !z!x + !x!y!z) dxdydz

V = dxdydz変形前の体積は

体積ひずみは，２次以上の微小項を省略すると

e = V ! " VV

= !x + !y + !z

偏差ひずみ

47

垂直ひずみの各成分から，平均垂直ひずみを引いたものを偏差ひずみと呼ぶ．平均垂直ひずみは体積ひずみの３分の１である．

! = 13(!x + !y + !z) = 1

3e

!

"#!x "xy "zx

"xy !y "yz

"zx "yz !z

$

%& =

!

"#!x ! 1

3 e "xy "zx

"xy !y ! 13 e "yz

"zx "yz !z ! 13 e

$

%& + 13

!

"#e 0 00 e 00 0 e

$

%&

偏差ひずみ

平均垂直ひずみ

偏差ひずみは，ひずみ成分のうち体積変化を除いたものとなっている．塑性変形は体積変化なしで生じるので，塑性変形においては偏差ひずみが重要な役割をする．

変位とひずみのまとめ

• 変位．変形と剛体変位（平行移動と回転）

• 垂直ひずみ

• 工学剪断ひずみ

• 回転

• 変位増分とひずみテンソル，回転テンソル

• ひずみテンソルとひずみ成分の関係

• 体積ひずみ

• 偏差ひずみ

48

応力‒ひずみ関係式（Hookeの法則，構成式）

真直棒の引張り・圧縮

50

!y = !z = "xy = "yz = "zx = 0

!x = E"x

x

材料の性質は，方向によらない．変形は小さい．引っ張り（　　　）のときにはy方向とz方向には縮む．すなわち!x > 0

!y != 0, !z != 0

Eをヤング率（縦弾性係数）と呼ぶ．

!x !x

は!y, !z !x とは符号が逆で，　に比例する．すなわち，!x

!y = !"!x , !z = !"!x

変形前後で，真直棒は真っ直ぐであり，剪断ひずみ成分はすべて0．

　をポアソン比という．!

51

x

(A)

(B)

次の図(B)のように真直棒の側面をローラー支持（x 方向には自由に変形できるが y 方向と z 方向には変形できないように拘束）して，図(A)と同じ応力で引っ張る場合，図の(A)の場合と比べて，x方向のひずみはどうなるか？応力とひずみの関係（ひずみの比例定数）はどうなっているか?

!x!x

x!x!x

!x = E"x

!x = E"x ？

G は E と に関係づけられる．単純剪断の状態から考察すると，次の関係が得られる．

剪断応力と工学剪断ひずみの関係

52

A A

C DC! D!!

l!

!

!

!

!

工学剪断ひずみ：

剪断応力：

!

! ! tan ! = CC"

AC= "

l

!

剪断応力と工学剪断ひずみの関係

! = G"

Gを横弾性係数（または剛性率，剪断弾性係数）と呼ぶ．

!

2G = E1 + !

Hookeの法則（構成式）

53

!x = "x

E! #

"y

E! #

"z

E= 1 + #

E"x ! #

E("x + "y + "z)

!y ="y

E! #

"x

E! #

"z

E= 1 + #

E"y ! #

E("x + "y + "z)

!z = "z

E! #

"x

E! #

"y

E= 1 + #

E"z ! #

E("x + "y + "z)

!xy ="xy

G= 2(1 + #)

E"xy

!yz ="yz

G= 2(1 + #)

E"yz

!zx = "zx

G= 2(1 + #)

E"zx

Hookeの法則（構成式）

54

マトリックスの形で書くと次のようになる．

この式を次のように簡潔に書く．{!} = [C] {" }

ただし，　 ：ひずみベクトル，　 ：応力ベクトル，[C]：ひずみ・応力マトリックスである．

{!} {! }

!""""""#

""""""$

!x

!y

!z

"xy

"yz

"zx

%""""""&

""""""'

=1E

(

))))))*

1 !# !# 0 0 0!# 1 !# 0 0 0!# !# 1 0 0 00 0 0 2(1 + #) 0 00 0 0 0 2(1 + #) 00 0 0 0 0 2(1 + #)

+

,,,,,,-

!""""""#

""""""$

$x

$y

$z

%xy

%yz

%zx

%""""""&

""""""'

Hookeの法則（構成式）

55

応力について解くと，次式が得られる．

{! } = [D] {"}

簡潔に書くと，

[D]は応力・ひずみマトリックスという．

!""""""#

""""""$

!x!y!z"xy"yz"zx

%""""""&

""""""'

= E(1+#)(1!2#)

(

))))))*

1 ! # # # 0 0 0# 1 ! # # 0 0 0# # 1 ! # 0 0 00 0 0 1!2#

2 0 00 0 0 0 1!2#

2 00 0 0 0 0 1!2#

2

+

,,,,,,-

!""""""#

""""""$

$x$y$z%xy%yz%zx

%""""""&

""""""'

Hookeの法則（構成式）

56

応力とひずみの個々の関係を具体的に書くと，次のようになる．

!x = E(1 + ")(1 ! 2")

!(1 ! ")#x + "#y + "#z

"

!y = E(1 + ")(1 ! 2")

!"#x + (1 ! ")#y + "#z

"

!z = E(1 + ")(1 ! 2")

!"#x + "#y + (1 ! ")#z

"

$xy = E2(1 + ")

%xy

$yz = E2(1 + ")

%yz

$yz = E2(1 + ")

%yz

熱ひずみを伴う場合のHookeの法則

57

応力はひずみの弾性部分に比例するから!""""""#

""""""$

!x!y!z"xy"yz"zx

%""""""&

""""""'

= E(1+#)(1!2#)

(

))))))*

1 ! # # # 0 0 0# 1 ! # # 0 0 0# # 1 ! # 0 0 00 0 0 1!2#

2 0 00 0 0 0 1!2#

2 00 0 0 0 0 1!2#

2

+

,,,,,,-

!""""""#

""""""$

$x ! %T$y ! %T$z ! %T

&xy&yz&zx

%""""""&

""""""'

= E(1+#)(1!2#)

(

))))))*

1 ! # # # 0 0 0# 1 ! # # 0 0 0# # 1 ! # 0 0 00 0 0 1!2#

2 0 00 0 0 0 1!2#

2 00 0 0 0 0 1!2#

2

+

,,,,,,-

!""""""#

""""""$

$x$y$z&xy&yz&zx

%""""""&

""""""'

! %E1!2#

!""""""#

""""""$

TTT000

%""""""&

""""""'

Hookeの法則と応力テンソル・ひずみテンソル

58

ひずみをテンソル量で表す．!x = 1 + "

E#x ! "

E(#x + #y + #z)

!y = 1 + "

E#y ! "

E(#x + #y + #z)

!z = 1 + "

E#z ! "

E(#x + #y + #z)

!xy = 12"xy = 1 + #

E$xy

!yz = 12"yz = 1 + #

E$yz

!zx = 12"zx = 1 + #

E$zx

添字記号で書くと，

!i j = 1 + "

E#i j ! "

E$i j#kk

59

!i j = 1 + "

E#i j ! "

E$i j#kk

!mm = 1 + "

E#mm ! "

E$mm#kk = 1 + "

E#mm ! 3

"

E#kk

= 1 + "

E#kk ! 3"

E#kk = 1 ! 2"

E#kk = !kk

!kk = E1 ! 2"

#kk

!i j = 1 + "

E#i j ! "

1 ! 2"$i j!kk

この式で，i = j = mと置くと，

ひずみテンソルを応力テンソルで表した式

よって，

この式をもとの式に代入して整理すると

この式を　について解くと，次の応力・ひずみ関係式が得られる．

!i j = "E(1 ! 2")(1 + ")

#i j$kk + E1 + "

$i j

をラメ (Lamé) の定数という．! = "E(1!2")(1+") , µ = G = E

2(1+")

60

x!x

（例）

ひずみ・応力関係式で !xy = !yz = !zx = 0であるから，y方向とz方向の垂直ひずみが 0 であるから，

!xy = !yz = !zx = 0

これらより，!y = !z = "

1 ! "!x

これらの値を !x = "x

E! #

"y

E! #

"z

Eよって，

となる．

に代入すると !x = (1 + ")(1 ! 2")

E(1 ! ")#x

!y ="y

E! #

"x

E! #

"z

E= 0, !z = "z

E! #

"x

E! #

"y

E= 0

E(1 ! !)

(1 + !)(1 ! 2!)" Eここで，0 ! ! < 0.5 のとき，

することで堅くなっていることが分かる．

であるから，側面を拘束

!x = E(1 ! ")

(1 + ")(1 ! 2")#x

61

平面ひずみ面外方向には一様断面で，荷重は平面内のみで面外方向には一様， 変形が平面内のみで発生し， 面外の変形が無視できる場合．

!x = E(1 + ")(1 ! 2")

!(1 ! ")#x + "#y + "#z

"

!y = E(1 + ")(1 ! 2")

!"#x + (1 ! ")#y + "#z

"

!z = E(1 + ")(1 ! 2")

!"#x + "#y + (1 ! ")#z

"

$xy = E2(1 + ")

%xy, $yz = E2(1 + ")

%yz, $yz = E2(1 + ")

%yz

３次元問題の応力・ひずみ関係式は

とすると!z = "yz = "zx = 0

!x = E(1 + ")(1 ! 2")

!(1 ! ")#x + "#y

"

!y = E(1 + ")(1 ! 2")

!"#x + (1 ! ")#y

"

$xy = E2(1 + ")

%xy

３次元の応力・ひずみ関係式と同じ形．　 は０でないことに注意！!z

62

平面応力面外荷重がなく，面内荷重しか作用していない薄板のような場合は，平面応力状態として問題を処理できる．

３次元問題の応力・ひずみ関係式で

３次元の応力・ひずみ関係式と係数が異なる．

!z = "yz = "zx = 0

とすると

!z = !"

1 ! "

!!x + !y

"

この関係をもとの３次元問題の応力・ひずみ関係式に代入すると，

!x = E(1 + ")(1 ! ")

(#x + "#y)

!y = E(1 + ")(1 ! ")

("#x + #y)

$xy = E2(1 + ")

%xy

平面応力状態では面外ひずみが発生する．

平面応力（続き）

63

!x = E(1 + ")(1 ! ")

(#x + "#y)

!y = E(1 + ")(1 ! ")

("#x + #y)

$xy = E2(1 + ")

%xy

! = !

1 + !, E = (1 ! !2)E

平面応力状態の応力・ひずみ関係式:

ここで，次のように新しいポアソン比とヤング率を定義する．

これらを用いると，次のように平面応力状態の応力・ひずみ関係式が平面ひずみ状態の応力・ひずみ関係式と同じ形で表される．

!x = E(1 + ")(1 ! 2")

!(1 ! ")#x + "#y

"

!y = E(1 + ")(1 ! 2")

!"#x + (1 ! ")#y

"

$xy = E2(1 + ")

%xy

平面ひずみ用の解析プログラムがそのまま使える！

体積弾性率

64

気体や流体の静水圧のような量として，弾性体においては平均応力を考えることができる．平均応力は，次のように定義される．

! = 13(!x + !y + !z)

平均応力は体積ひずみに比例し，比例定数を体積弾性率という．体積ひずみは　　　　　　　　であることを思いだし，３次元の応力・ひずみ関係式の垂直応力に関する３式を辺々加えると次式が得られる．

e = !x + !y + !z

!x + !y + !z = E1 ! 2"

(#x + #y + #z)

! = E3(1 ! 2")

e

よって，

K = E3(1 ! 2!)

を体積弾性率という．

等方線形弾性体の材料定数は２個であることが分かる．

応力‒ひずみ関係式のまとめ

• 真直棒の引っ張り・圧縮における応力とひずみの関係，ヤング率（縦弾性係数），ポアソン比

• 工学剪断ひずみと剪断応力の関係，剪断弾性係数，ヤング率・ポアソン比と剪断弾性係数の関係

• Hookeの法則（構成式）

• 平面ひずみ

• 平面応力

• 体積弾性率

65