1

제 3 장 카르노 맵 (K-map : Karnaugh Map)

1) 카르노 맵 소개

2) 카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식

3) 무정의 (Don’t Care)

4) 합의 곱

5) 5 변수와 6 변수 맵

6) 다중출력 문제

2

카르노 맵 (K-map: Karnaugh map)

• 각 정사각형은 함수의 최소항들을 나타낸다 .

3

Plotting Functions

4

3 변수 맵

5

예제 3.1

m0+m1: ABC + ABC =ABm4+m6: ABC + ABC =ACm7+m5: ABC + ABC =ACm0+m4: ABC + ABC =BCm1+m5: ABC + ABC =BC

6

수직 배열 맵 (Vertical Map)

0 1

00

01

10

11

ABC

AB

0 1

00

01

10

11

ABC

1

1

0 1

00

01

10

11

ABC

1

1

AC

7

라벨이 붙여진 맵 (Map with Columns labeled)

0

1

00 01 1011AB

C0

1

2

3

4

5

6

7 C

B

A

0

1

00 01 1011AB

C

1

1 11 C

B

A

ABAC

8

4 변수 맵

9

2 개의 1 로 이루어진 그룹

10

4 개로 이루어진 그룹

11

8 개로 이루어진 그룹

A D

12

예제 3.3

F = AB' + AC + A'BC'

• 곱의 합으로 표현되는 함수식을 맵에 나타내는 방법

F = AB'(C' + C) + AC(B' + B) + A'BC'

= AB'C' + AB'C + AB'C + ABC + A'BC'

= m4 + m5 + m5 + m7 + m2

= m2 + m4 + m5 + m7

( 중복 제거 및 순서화 )

13

내포항 (Implicant)

• 함수에 대한 곱의 합 식에서 사용되는 곱 항– 임의의 곱의 합식은 내포항들의 합

• 내포항은 1, 2, 4, 8, ..(2 의 지수승 ) 개의 1 로 구성

14

내포항 예

최소항 2 개로 구성된 그룹 4 개로 구성된 그룹

A'B'C'D' A'CD CDA'B'CD BCDA'BCD ACDABC'D' B'CDABC'D ABC'ABCD ABDAB'CD-------------------------------------------------------총 14 개의 내포항

15

주 내포항 (Prime Implicant : PI)

• 다른 내포항에 완전히 포함되지 않는 하나의 내포항이다

• F 의 주내포항 : A'B'C'D', ABC', ABD, CD

16

주 내포항 (Prime Implicant : PI)• 대수적 의미

– 임의의 문자 변수가 주 내포항에서 제거되면 더 이상 내포항이 아닌 내포항을 의미

– A'B'C'D' 는 B'C'D', A'C'D', A'B'D', A'B'C' 가 내포항이 아니기 때문에 주 내포항

17

Cover

• F 에 대한 임의의 곱의 합 식은 내포항들의 합

• F 의 각 1 들은 적어도 한 개의 내포항에 포함되도록 충분한

내포항들을 선택해야 한다 .

• 이런 곱의 합식을 F 의 커버 (cover) 라 한다 .

• 내포항 ABD 는 m13 과 m15 를 커버

18

예제 3.4

• 함수 G– 3 개의 최소항 -> 적어도 2 개의 항이 필요– G = ABD + ABC

• 함수 H– 최소식 H = BC'D + ABC– 내포항 ABD 는 다른 항에 의해 커버되는 1 만을 커버

19

필수 주 내포항 (Essential Prime Implicant : EPI)

• 다른 주 내포항에 포함되지 않는 적어도 1 개의 1 을 포함하는 주 내포항이다 . A'B'C'D', ABC', CD 는 필수 주 내포항

•필수 (Essential) : 주어진 함수에 대한 최소화된 곱의 합 형태의 어떤 수식에도 이 주 내포항은 포함되어야 한다는 뜻

A'B'C'D' ABC'

CD

20

카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식

• N- 변수 맵에서 , 각각의 사각형은 n 개의 인접한 사각형을 가짐

• 고립되었다는 것은 1 을 갖는 인접한 정사각형들의 수가 적은 ( 또는 없는 ) 것을 의미한다 .

3, 4 변수 맵의 인접한 사각형

21

1. 모든 필수 주 내포항들을 찾음 .

• 맵 상에서 필수 주 내포항들을 묶음

• 필수 주 내포항으로 만드는 최소항들에 * 표시를 한다 .

– 일반적으로 가장 고립된 1 들로부터 시작하는 것이 빠르다 .

2. 함수를 커버하는 ' 충분한 ' 다른 주 내포항들을 찾음 .(2 가지

기준 )

• 선택된 주 내포항에 의해 될수록 많은 새로운 ( 아직 커버되지

않은 ) 1 을 커버하는 주 내포항을 선택 .

• 고립되고 커버되지 않은 1 을 남겨놓지 않도록 함 .

맵 방법 1

22

F = A'B'C'D' + ABC' + … F = A'B'C'D' + ABC' + CD

예제 3.5 필수 주 내포항에 의해서만 커버

23

• 필수 주 내포항– 가장 고립된 m11 -> wyz

– m0, m12, m8 -> y'z'

• 주 내포항– 남은 2 개의 1 은 w'xz 에 의해 커버

• 주 내포항 w'xy', xyz 는 새로운 1 을 커버하지 않기 때문에 중복

• 최소곱의 합 식

f = y'z' + w y z + w'xz

예제 3.6 필수 주 내포항과 주 내포항에 의해 커버

24

• 필수 주 내포항 : a'd' + bd' + a'bc + ab'd

• 1 개의 1(m8) 이 남음

• 4 개로 이루어진 그룹 (c'd') 과 2 개로 이루어진 그룹 (ab'c') 에 커버

• 최소 식

f = a'd' + bd' + a'bc + ab'd + c'd'

예제 3.8 f(a, b, c, d) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14)

25

• 최소 해

G = A'BC' + A'CD + ABC + AC'D

예제 3.10 특이한 경우

26

g(w, x, y, z) = m(2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15)

g = xz + wz + …

g = xz + wz + w'yz' + wx'y g = xz + wz + w'yz' + x'yz'

g = xz + wz + x'yz' + w'xy

예제 3.11 여러 개의 최소 해

27

F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + B'D' + AB'

F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + B'D' + B'C

F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + AB' + B'C

• F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + …( 가운데 맵 )

• 커버되지 않은 3 개의 1: B'D', AB', B'C 중 임의의 2 개로 커버

• 최소 식

예제 3.12 다소 복잡한 경우

28

''

'

'

''''

cab

dac

ba

dabddbf

• m10 과 m15

f = b'd + bd + …

• 커버되지 않은 1: 3 개

• 최소 해 : 4 가지

예제 3.13 여러 개의 최소 해

29

1. 모든 주 내포항들을 원으로 묶음

2. 모든 필수 주 내포항들을 선택

• 단지 한 번 원으로 묶인 1 을 찾음으로써 쉽게 선택이 가능

3. 맵 방법 1 에 기술한 것처럼 충분한 다른 주 내포항들을 선택

• 이들 주 내포항들은 이미 단계 1 에서 지정됨

맵 방법 2

30

• 가운데 맵 : 모든 주 내포항• m3 와 m5 -> A'B' 와 C'D 필수 주 내포항• 남은 4 개의 1 을 커버 : 적어도 2 개 이상의 항이 필요

- B'D' 는 2 개의 새로운 1 을 포함- B'C' 는 단지 1 개를 포함- 남은 1 을 커버하기 위하여 ABC 가 필요

• 최소 해 F = A'B' + C'D + B'D' + ABC

예제 3.15 복잡한 경우

31

G(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 7, 8, 11, 12, 13, 15)

예제 3.16 필수 주 내포항의 cover 가 작은 경우

•필수 주 내포항 : YZ - 5 개의 1 이 남음

•주 내포항 : W'X'Z, X'Y'Z', WXY',

W'X'Y', WY'Z' , WXZ

• 적어도 3 개의 항이 더 필요

32

• 최소해

F = YZ + W'X'Z (dotted circle) + X'Y'Z' + WXY'

F = YZ + W'X'Y' + X'Y'Z' + WXY'

F = YZ + W'X'Y' + WY'Z' + WXY'

F = YZ + W'X'Y' + WY'Z' + WXZ

예제 3.16 계속

33

• a'c'd' 로 시작하는 경우의 해

f = a'c'd' + bc'd + acd + b'cd'

예제 3.17 필수 주 내포항이 없는 경우

34

• a'c'd' 와 abd 를 선택하는 경우 ( 가운데 맵 ) 5 개의 항

• a'c'd' 와 a'b'd' 를 선택하는 경우 ( 가운데 맵 )->5 개의 항

• a'b'd' 로 시작 ( 세번째 맵 )

f = a'b'd' + a'bc' + abd + ab'c

예제 3.17 ( 계속 )

35

• m0 를 커버하는 C'D' 로 시작 , 그리고 B'D, BC

• m13 을 커버하는 3 가지 (AB 또는 AC' 또는 AD )

F = C'D' + B'D + BC + { AB 또는 AC' 또는 AD }

예제 3.18 필수 주 내포항이 없고 복잡한 경우

G(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15)

36

AD

AC

AB

CDBDCB

BCDBDCF '

'''

'''

• m0 를 커버하는 B'C' 로 시작하는 경우 , BD', CD

• 앞에서 처럼 m13 을 커버하는 3 가지 (AB 또는 AC' 또는 AD )

• 총 6 개의 최소 해가 존재

예제 3.18 ( 계속 )

37

f = a'b'c'd' + a'cd + bc'd + a b'd + a bc' + a'bc + a cd'

= a'b'c'd' + a'cd + bc'd + ab'd + abd' + bcd' + ab'c

= …

• 1 개의 필수 주 내포항과 10 개의 1 이 남음

• 모든 주 내포항 : 가운데 맵

• 주 내포항들을 2 개씩 그룹핑함

• 7 개의 항 이내로 간소화가 불가능하고 , 32 개의 다른 해가 존재

예제 3.19

38

Don’t Care ( 무정의 )

• 무정의를 가진 함수에 대한 최소 해를 구하는 방법

• 정의 변경• 주 내포항 : 다른 더 큰 사각형에 포함되지 않은 1, 2, 4, 8, ..

개의 1 또는 × 의 사각형이다 . - ×( 무정의 ) 도 1 과 같이 동등하게 다룬다 .

• 필수 주 내포항 : 다른 주 내포항에 의해 커버되지 않는 1 을 적어도 한 개를 커버하는 주 내포항이다 . 무정의 (×) 는 주 내포항을 필수로 만들지는 않는다 .

• 최소 해를 구할 때 무정의 중에 어떤 것은 포함되고 어떤 것은 포함되지 않음

39

F(A, B, C, D) = m(1, 7, 10, 11, 13) + d(5, 8, 15)

• 최소해 ( 가운데 맵 )

F = BD + A'C'D + AB'C

• 모든 무정의를 1 로 고려하는 경우 ( 오른쪽 맵 )

F = BD + A'C'D + AB'C + AB'D'

F = BD + A'C'D + ACD + AB'D'

• 모든 무정의를 ‘0’ 으로 고려한 경우

F = A'B'C'D + A'BCD + ABC'D + AB'C

예제 3.20

40

g1 = x'z + w'yz + w'y'z' + wxy' (m0 = 1)

g2 = x'z + w'yz + xy'z' + wxy' (m0 = 0)

g3 = x'z + w'yz + xy'z' + wy'z (m0 = 0)

g2 와 g3 는 대수학적으로 같은 함수이지만 g1 과는

다르다 .

• 2 개의 필수 주 내포항 x'z 와 w'yz ( 가운데 맵 )

• 4 개의 무정의로 이루어진 w'x' 는 주 내포항이지만 , 필수는 아님

• 모두 무정의로만 이루어진 주 내포항은 사용할 수 없음

• 최소화 해

예제 3.21 모든 해의 대수적 표현이 동일하지 않은 경우

41

g1 = c'd' + ab + b'd' + a'cd

g2 = c'd' + ab + b'd' + a'b'c

g3 = c'd' + ab + ad' + a'b'c

• 첫번째 맵 : 유일한 필수 주 내포항 c'd' 와 ab, 3 개의 1 이 남음

• 두번째 맵 : b'd' 를 이용한 2 개의 해

• 세번째 맵 : ad' 를 이용한 해

• 동일성을 검증 : 무정의들이 처리된 값을 표로 구현• g1 ≠ g2 = g3

예제 3.22

42

1. 맵 방법 1 또는 2 를 사용하여 모든 필수 주 내포항을 찾음

2. 필수 주 내포항에 포함되는 모든 1 들을 X 로 대치

포함되지 않고 남아있는 1 을 구별하기 위함

3. 맵 방법 1 과 2 에서 처럼 다른 주 내포항들을 충분히 선택

맵 방법 3

43

• 처음에 필수 주 내포항 A'B 와 CD 를 찾음

• 두번째 맵 : 포함된 모든 1 을 무정의로 변환

• 나머지 1 들은 AC 와 B'C'D' 에 의해 커버

• 최소화 해

F = A'B + CD + AC + B'C'D'

예제 3.23 F(A, B, C, D) = m(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15)

44

합의 곱

합의 곱 형태의 최소화

1. 함수의 보수를 맵에 표현

• 함수에 대한 맵이 이미 존재하는 경우 , 모든 0 을 1 로 , 모든 1

을 0 으로 대치 . X 는 변환하지 않음

2. 앞에서 사용한 방법을 이용하여 함수의 보수에 대한 최소화 곱의 합

식을 찾음

3. 합의 곱 식을 만들기 위하여 , 2 에서 구한 곱의 합 수식에 보수를 취함

( 드모르강의 정리 ( 대수적 속성 P11) 을 이용 )

45

f (a, b, c, d) = m(0, 1, 4, 5, 10, 11, 14)

f '(a, b, c, d) = m(2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15)

f 에 대한 최소 곱의 합 식 f = a'c' + ab'c + acd'

예제 3.25 합의 곱

f 에 대한 최소 합의 곱 식• f' = ac' + a'c + abd

f = (a'+c)(a+c')(a'+b'+d')

• f' = ac' + a'c + bcd

f = (a'+c)(a+c')(b'+c'+d')

46

5, 6 변수 맵

• 5 변수 맵은 25 = 32 개로 구성• 16 개의 정사각형을 2 개층 (layer) 구조로 나타냄

• 5 변수 맵 (2-layer)

47

• 6 변수 맵의 경우도 16 개의 정사각형의 맵이 4 개층 구조로 그려짐

• 4 변수 맵과 동일

48

5 변수 함수에 대한 맵핑

F(A, B, C, D, E) = m(4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 27, 28, 31)

49

• 1 들 중에서 인접한 층에서 대응하는 정사각형에 1 이 없는 것• 이러한 1 을 포함한 주 내포항은 그 층에만 속하게 된다 ( 따라서 , 4

변수 맵 문제가 된다 .).

• 이와 같은 예로 , m4, m9, m16, m28 의 경우가 있다

• F = A'B'C + A'BE + AB'C'E' + ABCD'E' + …

50

• 양쪽의 레이어 상에 1 을 커버하는 필수 주 내포항

• 최종 해

F = ABC + ABE + ABCE + ABCDE + BDE

(계속 )

51

다중 출력 문제

• 다중 출력을 가진 시스템을 설계하는 경우가 많음• 3 개의 입력 A, B, C 와 2 개의 출력 F, G

– 2 개의 문제로 나누어서 취급– 하나의 시스템 : 게이트들의 공유가능 -> 비용 줄임 .

52

F(A, B, C) = m(0, 2, 6, 7) G(A, B, C) = m(1, 3, 6, 7)

• 각 함수에 대해 아래와 같은 식을 얻을 수 있음

F = AC + AB G = AC + AB

예제 3.32

53

• 우측 : 두개의 독립된 문제

• 좌측 : 항 (AB) 공유함으로써 게이트 수가 줄어듬 .

( 예제 3.32 계속 )

54

F(A, B, C) = m(0, 1, 6) G(A, B, C) = m(2, 3, 6)

독립된 문제 ( 위쪽 맵 ) : F = AB + ABC G = AB + BC공유 ( 아래쪽 맵 ) : F = AB + ABC G = AB + ABC

예제 3.33

55

• 독립된 문제 : F = AB + ABC G = AB + BC (6 게이트 : 4 AND, 2 OR, 13 inputs)

• 공유 : F = AB + ABC G = AB + ABC (5 게이트 : 3 AND, 2 OR, 11 inputs)

( 예제 3.33 계속 )

56

F(A, B, C) = m(2, 3, 7) G(A, B, C) = m(4, 5, 7)

• 독립된 문제 해

f = ab + bc

g = ab + ac

•공유항 이용

f = ab + abc

g = ab + abc

예제 3.34

57

F(A, B, C, D) = m(4, 5, 6, 8, 12, 13)

G(A, B, C, D) = m(0, 2, 5, 6, 7, 13, 14, 15)

• 하나의 함수에서만 1 인 것 ( 적색 ) 들에서 필수 주 내포항 찾음

예제 3.35

58

• 공유항 이용

F = ACD + ABD + BCDG = ABD + BC + BCD(20 inputs, 7 게이트 )

( 예제 3.35 계속 )

59

• 독립함수로 풀면

F = ACD + ABD + BC

G = ABD + BC + BD

(21 inputs, 8 게이트 )

( 예제 3.35 계속 )

60

F(A, B, C, D) = m(0, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11)

G(A, B, C, D) = m(0, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13)

• 먼저 공유되지 않는 1 들에서 필수 주 내포항 묶음

• 각 함수 (F, G) 의 독립 해 ( 분리하여 풀음 )

F = AC + AD + BC G = AC + CD + AB

(18 inputs, 8 게이트 )

예제 3.36

61

ACD 와 ABC 를 공유 (16 inputs, 6 게이트 )

• F = AC + ACD + ABC• G = AC + ACD + ABC

( 예제 3.36 계속 )

62

F(W, X, Y, Z) = m(2, 3, 7, 9, 10, 11, 13)

G(W, X, Y, Z) = m(1, 5, 7, 9, 13, 14, 15)

* mark : 공유안되는 필 수 주내포항

예제 3.37

63

F = XY + WYZ + W XYZ

G = YZ + WXY + WXYZ (7 게이트 ,20 inputs)

• F, G 를 분리하여 구한 해

F = XY + WYZ + WYZ

G = YZ + WXY + XZ (8 게이트 , 21 inputs)

( 예제 3.37 계속 )

64

분리된 문제로 해를 구하는 경우

F = AB + BD + BC

G = C + ABD

H = BC + ABC + ( ABD or ACD) (10 게이트 , 25 inputs)

예제 3.38

65

공유하여 구한 해

F = BC + ABC + ABD + ABD

G = C + ABD

H = BC + ABC + ABD (8 게이트 , 22 inputs)

( 예제 3.38 계속 )

66

F(A, B, C, D) = m(2, 3, 4, 6, 9, 11, 12) + d(0, 1, 14, 15)

G(A, B, C, D) = m(2, 6, 10, 11, 12) + d(0, 1, 14, 15)

• BD: 공유안되는 필수 주 내포항

예제 3.40 : 무정의를 가진 시스템의 예

67

• ABD 을 공유

F = BD + ABD + AD

G = AC + ABD + CD

(17 inputs, 7 게이트 )

( 예제 3.40 계속 )

68

• ACD 를 공유

F = BD + ACD + BD

G = AC + ABD + ACD (18 inputs, 7 게이트 )

( 예제 3.40 계속 )