数理逻辑 (3)模型论初步

公理系统

一个公理系统首先必须具备的性质是协调性，即无矛盾。

最好具有完备性。

自明性不再像欧式几何那样是必须的。但是数学柏拉图主义决定了公理系统必须有“意义”。

希尔伯特1862-1943 德国

欧式几何的公理化。

皮亚诺1858-1932 意大利

皮亚诺算术公理系统 (PA):

∀n(n+1≠0)

∀n∀m(m+1=n+1→m=n)

∀m(m+0=m)

∀m(m0=0)

∀n∀m(m(n+1)=(mn)+m)

∀n(n⊀ 0)

∀m∀n(m<n+1→(m<n∨ m=n))

(φ(0) ∧ ∀ n(φ(n) →φ(n+1))) →∀ nφ(n) 。

协调性的证明

一个理论 T 是指一个句子的集合。

T 是协调的 (consistent) ，如果没有句子 φ 使得T┠φ∧¬φ 。

T 是完全的 (complete) ，如果它是极大的协调理论。

证明理论 T 协调性的方法 :(1) 模型论。 (2) 证明 T 是不完备的。

语言的结构给定一个语言 L ，它的一个结构 M= （ M ，… ) 包含一个定义域(Domain)M ，并且所有常量，谓词，函数作用在这个定义域上。

（ Z,+,0 ）就是群论语言的一个结构。

(N, +,,<,0,1) 就是算术语言的一个结构。

指派给定一个语言 L 和它的一个结构 M= （ M ，…）。

一个指派 (assignment) 是一个从变量集到 M 的函数 s 。

有了指派，则每一个项 t 都有一个值 s(t) 。

在一个指派 s 下，我们可以归纳地定义满足关系 M ㅑ ϕ[s] 。

M ㅑ t[s]=t’[s] 如果 s(t)=s(t’) 。M ㅑ R(u_0,u_1,…u_n)[s] 如果 u_0[s],u_1[s],…u_n[s] ∈RM 。M ㅑ ¬ϕ[s] 如果 ¬M ㅑ ϕ[s] 。M ㅑ φ∨ψ[s] 如果 M ㅑ φ[s] 或者 M ㅑ ψ [s] 。M ㅑ φ∧ψ[s] 如果 M ㅑ φ[s] 并且 M ㅑ ψ [s] 。M ㅑ xϕ[s] 如果对每一个 d∈M, 我们让新指派 s’ （ x ） =d 但是 s’ 对于其它变量的值与 s 相同，则 M ㅑ ϕ[s’] 。M ㅑ xϕ[s] 如果存在一个 d∈M, 我们让新指派 s’ （ x ） =d 但是 s’ 对于其它变量的值与 s 相同，则 M ㅑ ϕ[s’] 。

理论的模型

定理：对于一个句子 ϕ 以及任意的指派 s,s’,M ㅑ ϕ[s] 当切仅当 M ㅑ ϕ[s’] 。

因此句子的满足关系不依赖于指派。

对于一个句子 ϕ, 我们可以定义 M ㅑ ϕ 。

一个理论 T ， M ㅑ T, 如果对于 T 中每一个句子 ϕ ， M ㅑ ϕ 。

M 称为 T 的一个模型 .

T 是可满足的，如果 T 有一个模型。

哥德尔1906-1978, 奥地利

歌德尔完备性定理： T 是可满足的当切仅当 T 是协调的。证明： φ┠ψ 并且 M ㅑ φ ， 则 M ㅑ ψ 。因此可满足性蕴含协调性。

协调性蕴含可满足性：韩钦 (Henkin) 常量法。

一个重要推论

T ㅑ ϕ 如果 T 的每一个模型都是 ϕ 的一个模型。

推论： T ㅑ ϕ 当且仅当 T┠ϕ 。证明：如果 T┠ϕ, 则存在 X 有穷子集 Y 使得∧ ψ∈Yψ ┠ϕ 。因此 T ㅑ ϕ 。 如果 T 不证明 ϕ ，则 T 与 ¬ϕ 是协调的，因此由完备性定理， T∪｛ ¬ϕ ｝存在模型。 QED

紧致性定理

紧致性定理： T 是可满足的当切仅当它的每一个有穷子集都是可满足的。证明：歌德尔完备性定理的直接推论。 QED

推论：如果 T 有任意大有穷模型，则模型可以任意大。证明：对于任何无穷基数 κ, T∪{cα≠ cβ ｜ α≠β<κ} 是可满足的。 QED

因此一个理论不可能完全决定它的模型。

几个例子

• PA 的任何模型必然包含所有自然数。

• PA 的模型可以任意大。

• PA 的非标准模型。

PA∪{0<c,1<c,…} 。

子模型

给定同一语言的两个结构 M= （ M ，… ) 和N= （ N ，… ) ，记为 M⊆N ，如果 M⊆N ，并且 M所有的谓词，函数限制在 N 上都与 N 中的对应谓词，函数一致，则 M 称为 N 的子模型。

如果 M⊆N 并且对于所有公式 ϕ(v0, v1,…) 以及 M 中所有元素 a0, a1,…, M ㅑ ϕ(a0, a1,…) 当且仅当 N ㅑϕ(a0, a1,…), 则 M 称为 N 的初等子模型 , 记为M≺N 。

模型的关系给定同一语言的两个结构 M= （ M ，… ) 和 N= （ N ，… ) ，记为 M≡ N ，如果对于所有句子 ϕ ， M ㅑ ϕ 当且仅当 N ㅑϕ ，则称 M 与 N 初等等价。

如果存在一个双射函数 f:M->N 使得对于所有公式 ϕ(v0, v1,…)以及 M 中所有元素 a0, a1,…, M ㅑ ϕ(a0, a1,…) 当且仅当 N ㅑϕ(f(a0),f(a1)…), 则称 M 与 N 同构，记为 M≅N 。

显然 M≺N 和 M≅N 蕴含 M≡ N 。

几个例子（ Z,+,0 ）是（ Q,+,0 ）的子模型。（ Q,+, ， 0,1 ）是（ R,+, ， 0,1 ）的子模型。

但是他们都不是初等子模型。考虑 yx(x+x=y) 以及 x(xx=1+1) 。

(ω,<) ≡ （ ω∪{½},< ）但是 (ω,<) 不是（ ω∪{½},< ）的初等子模型。

（ Q,+,0 ）是（ R,+,0 ）的初等子模型。因此（ R,+,0 ）≡（ Q,+,0 ）但是不同构。

可定义性

给定一个语言的结构 M= （ M ，… ) ，一个集合 A⊆M 是可定义的，如果存在一个公式 ϕ 以及 a∈M 使得对于所有的 m∈M, m∈A 当且仅当 M ㅑ ϕ(m,a) 。

定理：如果 A⊆M 是无参数可定义的并且 f 是 M 的一个自同构，则f(A)=A 。

对于任何可数语言的无穷结构 M= （ M ，… ) ， M 必然存在一个不可定义的子集。

自然数集合在整数环中是可定义的但在整数群中不可定义。

斯科伦1887-1963 挪威

给定一个结构 M ， φ （ u,v ）的斯科伦函数是一个函数 f 使得 M ㅑ∀ u(vφ （ u,v ）↔ φ （ u,f(u) ） ) 。

斯科伦定理：如果｜ L ｜＝ κ ， M 是 L 的一个结构并且 X⊆M ，则有一个 N≺M 使得 X⊆N 并且｜ N ｜≤κ+|X|+ℵ0 。

斯科伦悖论

斯科伦悖论：如果集合论是协调的，则集合论有一个可数模型。

习题

• 如果 M 是 PA 的一个非标准模型并且对于所有的自然数 n, M ㅑ ϕ(n), 则存在一个非标准自然数 c∈ M 使得 M ㅑ ϕ(c) 。

• 对于任何无穷结构 M 以及任意基数 κ> ｜ M ｜，存在一个结构 N ，使得 |N|=κ 并且 M≺N 。

• 证明对于整数环（ Z,+,,0,1) ，每一个公式φ （ u,v ）都有一个可定义的斯科伦函数。

阅读材料

• 《 Model Theory 》 , David Marker

• 《 Model Theory 》 , C.C. Chang and Jerome. Keisler

• 《 Model Theory 》 , Wilfrid Hodges