第第 44 章 数组和广义表 章 数组和广义表

4.1 4.1 多维数组 多维数组 • 4.1.1 数组定义

– 数组是数据结构的基本结构形式，它是一种顺序式的结构，数组是存储同一类型数据的数据结构，使用数组时需要定义数组的大小和存储数据的数据类型，数组分为一维数组和多维数组。数组的维数是由数组的下标的个数确定的，一个下标称为一维数组，一个下标以上的数组称为多维数组。从这个意义上讲，确定了对于数组的一个下标总有一个相应的数值与之对应的关系；或者说数组是有限个同类型数据元素组成的序列。

– 数组的基本操作包括：– initarray （ &A ）； // 初始化数组– destroyarray （ &A ）； // 销毁数组– assign （ &A ， e ）； // 数组赋值– value （ A ， &e ）； // 取数组的某个元素 – copyarray （ M ， &T ）； // 复制一个数组– printarray （ M ）； // 打印数组的元素

4.1 4.1 多维数组多维数组

• 4.1.1 数组定义• 一维数组

– 一维数组是指下标的个数只有一个的数组，有时称为向量，是最基本的数据类型，在 java 中需要事先声名，程序才能够在编译过程中预留内存空间。声明的格式一般是：

– < 数据类型 > < 变量名称 > [ ]= new < 数据类型 > [< 数组大小 >] ；

4.1 4.1 多维数组多维数组

• 4.1.1 数组定义• 多维数组

– 多维数组是指下标的个数有两个以上，我们比较常用的是二维数组（因为三维以上的数组存储可以简化为二维数组的存储）。下面以二维数组为例说明多维数组。二维数组的声明同一维数组。格式为：

– < 数据类型 > < 数组名称 > [ ] [ ]=new < 数据类型 >[size1] [ size2];

4.1 4.1 多维数组多维数组• 4.1.2 数组的存储• 一维数组的存储

– 一维数组的数据存储按照顺序存储，逻辑地址和物理地址都是连续的。如果已知第一个数据元素的地址 loc(a1) ，则第 i 个元素的地址loc(ai) 为：

– loc(ai)=loc(a1)+ （ i-1 ） *c– 假设数组的下标从 1 开始，只要求出第 i 个元素之前存放了多少个

数据元素即可（实际上有 i-1 个元素），每个元素占有 c 个存储单元，再乘以 c ，就是第 i 个元素的起始地址。

– 如果下标从 0 开始，则第 i 个元素之前就有 i 个元素，此时上面的公式就变为：

– loc(ai)=loc(a1)+ i*c– 由此可见，求数组中数据元素的地址，已知条件必须是知道第一个

元素的地址，然后主要是找出该元素之前已经存储了多少个数据元素。在一维数组中，只要知道任何一个元素的地址即可求出其它元素的地址，但在多维数组中，已知条件必须是第一个数据元素地址。

4.1 4.1 多维数组多维数组• 4.1.2 数组的存储• 多维数组

– 以二维数组的顺序存储为例说明，二维数组在顺序存储时一般有两种：

• 行优先顺序：存储时先按行从小到大的顺序存储，在每一行中按列号从小到大存储。

• 列优先顺序：存储时先按列从小到大的顺序存储，在每一列中按行号从小到大存储。

– 以上的两种存储顺序中，第一个被存放的元素总是第一行第一列的数据元素，所以该元素的地址是我们的已知条件。

– 同样在二维数组中比较典型的是计算数据的存储位置。

4.1 4.1 多维数组多维数组• 4.1.2 数组的存储• 多维数组

– 假设二维数组是 m*n 的二维数组（共有 m 行，每行有 n列）。第一个数据元素的地址是 loc(a11) ，则第 i 行第 j 列的数据元素的地址的计算公式应为（按照行优先顺序存储）：

– loc(aij)=loc(a11)+[ （ i-1 ） *n+j-1]*c– 假设下标从 1 开始，我们需要计算出 i 行前面已经存储了 i-1

行元素，每行有 n 个元素，共有（ i-1 ） *n 个数据元素，在第 i 行元素中， j 列之前有 j-1 个数据元素，共有（ i-1 ） *n+j-1 个元素，每个元素占有 c 个存储单元，只要乘以 c 就可以了。其中 loc(aij) 表示第 i 行第 j 列数据元素的内存的起始位置， loc(a11) 表示第一个数据元素的内存位置， c 表示每个数据元素所占有的内存空间的大小，如果下标从 0 开始，只要不用减 1 即可。

4.1 4.1 多维数组多维数组• 4.1.2 数组的存储• 多维数组

– 如果按列优先顺序存储，则地址的计算为：– loc(aij)=loc(a11)+[ （ j-1 ） *m+i-1]*c– 假设下标从 1 开始，其中 loc(aij) 表示第 i 行第 j 列的数据元素的内

存起始位置， loc(a11) 表示第一个数据元素的内存位置， c 表示每个数据元素所占有的内存空间的大小；主要还是计算第 i 行 j 列元素之前有多少个数据元素。如果下标从 0 开始，只要不用减 1 即可。

– 按此公式可以推广到多维数组的数据元素的地址计算（假设按照行优先顺序存储）：

– m 行 n 列纵标为 k 的三维数组，假设第一个元素的地址是 loc(a111) ，如果按行优先顺序存储， i 行 j 列纵标为 p 的数据元素的地址为（可以将它分解为二维数组）：

– loc(aijp)=loc(a111)+[(i-1)*n*k+(j-1)*k +p-1]*c;– 如果下标从 0 开始，只要不用减 1 即可。– 读者可以从以上的地址公式中可以找出一定的地址计算规律：多维

数组中按行优先计算公式用一个下标乘以后面的最大值。

4.1 4.1 多维数组多维数组

• 4.1.3 显示二维数组的内容– 一般情况下，只要定义了数组的存储顺序，

数组的存储顺序就不会改变了，所以对数组的各种操作后，应按照数组的已定义的存储顺序存储；也就是说，如果是按行优先顺序存储，在对数组操作后，即使改变了存储顺序，应加以改变仍然按照行优先顺序存储。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储

• 4.2.1 矩阵的压缩存储– 所谓矩阵的压缩存储，也就是在存储数组时，尽量

减少存储空间，但是数组中的每个元素必须存储，所以在矩阵存储中，如果有规律可寻，只要存储其中一部分，而另一部分的存储地址可以通过相应的算法将它计算出来，从而占有比较少的存储空间达到存储整个矩阵的目的，称为矩阵的压缩存储。

– 矩阵的压缩存储仅是针对特殊矩阵的；而对于没有规律可循的二维数组则不能够使用压缩存储。

– 二维数组（矩阵）的压缩存储一般有三种，它们分别是对称矩阵、稀疏矩阵和三角矩阵。三种矩阵中以稀疏矩阵比较常见。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储

• 4.2.1 矩阵的压缩存储• 特殊矩阵

– 若 n 阶矩阵 A 中的元素满足以下条件：– aij=aji i≥1 ， j≥1– 则称为 n 阶对称矩阵。– 对于对称矩阵，如果不采用压缩存储，占有的存储

单元有 n2 个，因为是对称矩阵，所以只要存储对角的数据元素和一半的数据元素即可，占有的存储单元有 n （ n-1 ） /2 个存储单元中。如果我们以行序为主序存储其下三角（包括对角线）的元素，其上三角的元素可以推算出来。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储

• 4.2.1 矩阵的压缩存储• 特殊矩阵

– 如果用一维数组存储一个对称矩阵，只要将对称矩阵存储在一个最大下标为 n （ n-1 ） /2 的一维数组 S 中即可。此时按照行优先顺序存储，数据元素 aij 与数组 S 的下标 k 的对应关系为：

i(i-1)/2 +j-1 当 i≥j 时 k= j(j-1)/2 + i-1 当 i ＜ j 时

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储

• 4.2.1 矩阵的压缩存储• 特殊矩阵

– 对于任意给定的一组下标（ i ， j ），均可在 S 中找到元素 aij ，反之，对所有元素都能够确定在 S中位置，当 i ＜ j 时，根据对称矩阵的性质推算即可。由此可以看出对称矩阵的存储可以使用一维数组 S 存储，占用的空间不再是 n2 ，而是 n （ n-1 ） /2 空间减少了接近一半，实现了二维数组的压缩存储。

– 所谓对角矩阵是指，矩阵的所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除了主对角线上和直接在主对角线上、下方若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储• 特殊矩阵

– 也可以按照某个原则（或者以行序为主序，或者以列序为主序，或者按对角线的顺序）将对角矩阵 B 的所有非零元素压缩存储到一个一维数组 LTB[1…3n-2] 中。这里不妨仍然以行序为主序的原则对 B 进行压缩存储，当 B 中任一非零元素bij 与 LTB[k] 之间存在着如下一一对应关系：

– k=2*i+j-2– 时，则有 bij=LTB[k] 。称 LTB[1…3n-2] 为对角矩阵 B 的压

缩存储。– 上面讨论的几种特殊矩阵中，非零元素的分布都具有明显的

规律，因而都可以被压缩存储到一个一维数组中，并能够确定这些矩阵的每个非零元素在一维数组中的存储位置。但是，对于那些非零元素在矩阵中的分布没有规律的特殊矩阵 ( 如稀疏矩阵 ) ，则需要寻求其他方法来解决压缩存储问题。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储• 稀疏矩阵

– 对稀疏矩阵很难下一个确切的定义，它只是一个凭人们的直觉来理解的概念。一般认为，一个较大的矩阵中，零元素的个数相对于整个矩阵元素的总个数所占比例较大时，该矩阵就是一个稀疏矩阵。例如，有一个 6×6 阶的矩阵 A ，其 36 个元素中只有 8 个非零元素，那么，可以称矩阵 A 为稀疏矩阵。

– 稀疏矩阵一般是指矩阵中的大部分元素为零，仅有少量元素非零的矩阵称为稀疏矩阵；或者说矩阵 A（ m × n ）中有 S 个非零元素，如果 S远远小于矩阵的元素总数，称 A 为稀疏矩阵。稀疏矩阵的存储一般只要保存非零元素即可，对于零元素可以不与保存，这样可以实现稀疏矩阵的压缩存储。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储• 稀疏矩阵

– 稀疏矩阵的压缩存储采用三元组的方法实现。其存储规则如下：

– 每一个非零元素占有一行，每行中包含非零元素所在的行号、列号、非零元素的数值。为完整描述稀疏矩阵，一般在第一行描述矩阵的行数、列数和非零元素的个数。其逻辑描述为：

– （ row col value ）– 其中 row 表示行号， col 表示列号， value 表示非零元素的

值。– 如果每个非零元素按照此种方法存储，虽然能够完整地描述

非零元素，但如果矩阵中有整行（或整列）中没有非零元素，此时可能不能够还原成原来的矩阵，所以为了完整地描述稀疏矩阵，在以上描述的情况下，如果增加一行的内容，该行包括矩阵的总的行数、矩阵的总的列数，矩阵中非零元素的个数，就可以还原为原来的矩阵描述了。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储

• 4.2.1 矩阵的压缩存储• 稀疏矩阵

– 归纳起来，若一个稀疏矩阵有 t 个非零元素，则需要用 t+1 行的三元组来表示稀疏矩阵。到底矩阵何时使用三元组存储呢？一般对m×n 的矩阵来说，只要满足（ t+1 ） *3≤m*n 这个条件，使用三元组存储可以节省空间，否则更加浪费空间，也就没有必要使用三元组存储，所以稀疏矩阵中的非零元素的个数 t 是能否使用三元组存储的关键。

4.2 4.2 矩阵的压缩存储 矩阵的压缩存储

• 4.2.2 稀疏矩阵转换为三元组存储 – 首先应该将稀疏矩阵转换为三元组存储，然后才利

用三元组的存储，实现对矩阵的各种运算。– 对于矩阵的运算一般有矩阵的转置，在转置时值得

注意的是：在矩阵的存储规则已经确定的情况下（如按行优先存储），实现矩阵的运算（如转置）时，应仍然保留原来的存储规则。

– 改进的转置方法可以利用对原始的三元组的元素的扫描，直接确定该元素在转置后的三元组中的行，这样可以将原始三元组中的元素直接放在转置后的三元组中即可。这种方法需要增加两个一维数组的结构开销，称为快速转置。

4.3 4.3 广义表 广义表

• 4.3.1 广义表的定义– 广义表是线性表的扩展，具体定义为 n （ n

≥0 ）个元素的有限集合。其中元素有以下两种类型：

• 1 ）一个原子元素（指不可再分的元素）；• 2 ）一个可以再分的元素（或称为一个子表）。

– 如果所有元素都是原子元素，则称为线性表，如果含有子表则是广义表。

4.3 4.3 广义表 广义表 • 4.3.1 广义表的定义

– 广义表的基本操作：– initGlist(&L) // 创建空的广义表– creatGlist(&L,S) // 由 S 创建广义表 L– destroyGlist(&L) // 销毁广义表 L– Glistlength （ L ） // 求广义表的长度– Glistdepth （ L ） // 求广义表的深度– Gethead(L) // 求广义表 L 的头– Gettail(L) // 求广义表的表尾– Insertfirst_Glist(&L,e) // 插入元素 e 作为广义表 L 的第一个

元素– Deletefirst_Glist(&L,&e) // 删除广义表 L 的第一个元素，并

用 e 返回其值

4.3 4.3 广义表 广义表 • 4.3.1 广义表的定义

– 广义表一般记作：– LS= （ a1 ， a2 ， …， an ）– 其中 LS 是广义表的名称， n 是广义表的长度。– 常见的广义表为：– A= （）– B= （（））– C= （ a,b ）– D= （ A ， B ， C ）– E= （ a,E ）– 广义表中含有元素的个数称为广义表的长度，广义

表中含有的括号对数称为广义表的深度。

4.3 4.3 广义表 广义表

• 4.3.1 广义表的定义• 三个重要结论：

– 列表的元素可以是子表，而子表的元素还可以是子表…。由此，列表是一个多层次的结构，可以用图形象地表示。例如图 4-1 表示的是列表 D 。图中以圆圈表示列表，以方块表示原子元素。

– 列表可为其它列表所共享。例如在上述例子中，列表 A、 B 和 C 为 D 的子表，则在 D 中可以不必列出子表的值，而是通过子表的名称来引用。

– 列表可以是一个递归的表，即列表也可以是其本身的一个子表。例如列表 E 就是一个递归的表。

4.3 4.3 广义表 广义表

• 4.3.2 广义表的存储– 广义表的存储方法有很多种，一般

采用链表存储。采用链表存储时的结点存储的逻辑结构（如图所示）一般是：

– 其中 flag 表示标志位，当 flag 为 0时，该结点表示原子元素，当 flag为 1 时，该结点表示子表；当 flag为 0 时， info 表示原子元素的值，当 flag 为 1 时， info 表示指针，指向该子表的第一个结点； link 表示指针，指向广义表的下一个元素。

Flag info link