[สรุปสูตร]...

DekTalent.com เอกสารสรปสตร คณตศาสตรเพมเตม รวม ม.4-5-6 สรปโดยพโต

เรยนคณตศาสตร ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลนไดท www.dektalent.com หนา 1

ÊÒÃºÑÞ ÊÃØ»ÊÙµÃ¤³ÔµÈÒÊµÃ�à¾ÔèÁàµÔÁ Á.4/Á.5/Á.6

เรอง หนา

ม.4 เทอมตน

บทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน 2

บทท 2 ระบบจานวนจรง 4

บทท 3 ทฤษฎจานวนเบองตน 7

ม.4 เทอมปลาย

บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมตรกซ 8

บทท 5 ฟงกชน 10

บทท 6 เรขาคณตวเคราะห และภาคตดกรวย 14


บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม 18

บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต 21

บทท 9 เวกเตอรในสามมต 24


บทท 10 จานวนเชงซอน 26

บทท 11 ทฤษฎกราฟเบองตน 29

บทท 12 ความนาจะเปน 30

บทท 13 การสารวจความคดเหน 33


บทท 14 การวเคราะหขอมลเบองตน 33

บทท 15 การแจงแจกปกต 37

บทท 16 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล 37


บทท 17 ลาดบอนนตและอนกรมอนนต 38

บทท 18 แคลคลสเบองตน 40

บทท 19 กาหนดการเชงเสน 44

¤íÒá¹Ð¹íÒ : เอกสารนเปนสรปสตรวชาคณตศาสตรเพมเตม รวม ม.4-5-6 ทาแจกสาหรบ

นองๆ สมาชก Dektalent.com เรยนเรองไหนสามารถเลอกพมพเฉพาะเรองทตองการไดเลย



º··Õè 1 µÃÃ¡ÈÒÊµÃ�àº×éÍ§µŒ¹ ความรเบองตนเรองตรรกศาสตร

1) ประพจน คอ ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฎเสธทมคา ความจรงเปนจรง(T) หรอ เปนเทจ (F) อยางใดอยางหนง

เทานน พวกสภาษต คาอทาน คาสง ขอรอง ออนวอน โปรดเถอะนะ พวกนไมเปนประพจน

2) ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปร ยงตดสนไมไดวาเปนจรงหรอเทจ

ตารางคาความจรง (ตองจาใหไดใหหมด)

จดสงเกตอยตรงทวงกลมไว

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T

ประพจนทสมมลกน

1) ประพจนทสมมลกน คอ ประพจนทมคาความจรงตรงกนทกกรณ สญลกษณ ≡ แทนสมมล

2) รปแบบประพจนทสมมลกน

นเสธของประพจน

1) นเสธของประพจน คอ ประพจนทมคาความจรงตรงขามกบประพจนทกาหนด สญลกษณ (~) ใสหนาขอความท

ตองการหานเสธ แลวใชเรอง ประพจนทสมมลกน เปลยนรปจนไดคาตอบ

ตวเชอมประพจน ม 4 แบบ คอ

1) และ สญลกษณ ∧

2) หรอ สญลกษณ ∨

3) ถา...แลว สญลกษณ →

4) …กตอเมอ… สญลกษณ ↔

การสลบท

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ↔ q ≡ q ↔ p

การเปลยนกลม

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

การกระจาย

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

กฎเดอร มอรแกน

∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼q

∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼q

สงเกตวา กระจายนเสธเขาไปแลว

กฎเปลยนรป

p → q ≡ ∼ p ∨ q (สาคญมากตวนตองจาใหได)

p → q ≡ ∼ q → ∼ p (สาคญมากตวนตองจาใหได)

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)



สจนรนดร(Tautology)

1) สจนรนดร คอ ประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ

2) วธตรวจสอบม 3 วธ สรางตารางคาความจรง/ ใชเรองสมมล / สมมตใหเปนเทจ

3) สวนใหญขอความทเชอมดวยเครองหมาย ถา...แลว(→) จะตรวจสอบโดยสมมตใหเปน เทจ แลวลองใสคาความจรง

ใหประพจนแตละตวถาคาความจรงสอดคลองกนหมด แปลวา ไมเปนสจนรนดร ถาไมสอดคลองแปลวา

เปนสจนรนดร

ขอความทสมเหตสมผล

1) วธตรวจสอบวาขอความทใหมา สมเหตสมผลหรอไม

• ใหเอาเหตและผลมาเชอมกนดวยเครองหมาย ถา...แลว (→)

• สมมตใหเปนเทจ จะได เหตเปนจรง และ ผลเปนเทจ

• ถาสอดคลองกนหมด แปลวา ไมสมเหตสมผล ถาไมสอดคลองแปลวา สมเหตสมผล

ตวบงปรมาณ

1) ∃x [P(x)] หมายถง สาหรบ x บางตว

2) ∀x [P(x)] หมายถง สาหรบ x ทกตว

3) คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ ใหพจารณา ตวบงปรมาณ ประโยคเปด และ เอกภพสมพทธ

4) ตวบงปรมาณแบบ 2 ตว • ∀x∀y [P(x, y)] (x ทกตว y ทกตว)

• ∀x∃y [P(x, y)] (x ทกตว y อยางนอย 1 ตว)

• ∃x∀y [P(x, y)] (x บางตว y ทกตว)

• ∃x∃y [P(x, y)] (x บางตว y อยางนอย 1 ตว)

นเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ

1) สงเกตวา กระจายนเสธแลว ตวบงปรมาณจะเปลยน

• ∼ ∃x [P (x)] ≡ ∀x [∼P (x)] • ∼ ∀x [P (x)] ≡ ∃x [∼P (x)] • ∼ ∃x∃y [P(x,y)] ≡ ∀x∀y [∼P(x, y)] • ∼ ∃x∀y [P(x,y)] ≡ ∀x∃y [∼P(x, y)] • ∼ ∀x∃y [P(x,y)] ≡ ∃x∀y [∼P(x, y)] • ∼ ∀x∀y [P(x,y)] ≡ ∃x∃y [∼P(x, y)]



º··Õè 2 ÃÐºº¨íÒ¹Ç¹¨ÃÔ§

โครงสรางของระบบจานวนจรง จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

เปรยบเทยบจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ ไดตามตารางดานลาง

การเปลยนเศษสวนเปนทศนยม และการเปลยนทศนยมเปนเศษสวน

1) การเปลยนเศษสวนเปนทศนยมใชวธการตงหาร จะหารสน หรอ หารยาวกไดตามใจเลย

2) การเปลยนทศนยมเปนเศษสวน

- ถาเปนทศนยมธรรมดา กสามารถทาไดเลย เชน 0.2 = 2

10

- ถาเปนทศนยมซา เชน 0. 4 = 49 , 0.23 = 23−2

90= 21

90 , 0. 31 = 31

99 เปนตน

เอกลกษณ และ อนเวอรส

1) เอกลกษณการบวก คอ 0 เพราะวา 0 บวกกบจานวนใดกไดจานวนนน

2) เอกลกษณการคณ คอ 1 เพราะวา 1 คณกบจานวนใดกไดจานวนนน

3) อนเวอรสการบวกของ a คอ –a เพราะวาเปนจานวนทบวกกบ a แลวไดเอกลกษณการบวก

เชน อนเวรสการบวกของ 10 คอ -10 (งายๆ เลยใสเครองหมายลบ เขาไปขางหนา)

4) อนเวอรสการคณของ a คอ 1a เพราะวา เปนจานวนทคณกบ a แลวไดเอกลกษณการคณ

โอเปอเรชน

1) เปนการกาหนดเงอนไขการกระทาของจานวน

เชน กาหนด a⊕b = a + b – 2 จงหา 2⊕5 จะได 2⊕5 = 2 + 5 – 2 = 5

จานวนตรรกยะ คอ จานวนทสามารถเขยนใหอยในรป

เศษสวน ab

ได เมอ a, b เปนจานวนเตมและ b ≠ 0

จานวนอตรรกยะ คอ จานวนจรงทไมสามารถเขยนใหอยใน

รปเศษสวนของจานวนเตมได



การแกสมการ

1) แกสมการดวยวธการแยกตวประกอบของพหนาม (มกจะใชการแยกตวประกอบแบบ 2 วงเลบ)

- การดงตวรวม - การแยกตวประกอบสองวงเลบ

- กาลงสองสมบรณ - ผลตางกาลงสอง

- ผลบวก หรอ ผลตางกาลงสาม - วธเพมเขา-ลบออก

- จบค ดงตวรวม - การหารสงเคราะห

2) หรอใชสตรสาหรบแกสมการกาลงสอง ทอยในรป 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 0 ดงน

ชวง (Interval)

กาหนดให a,b เปนจานวนจรง และ a < b

1) ชวง แบงเปน 4 แบบ ชวงปด ชวงเปด ชวงครงเปด และ ชวงอนนต

2) ชวงปด สญลกษณ [a,b] ถาวาดกราฟจะเปนวงกลมทบ

3) ชวงเปด สญลกษณ (a,b) ถาวาดกราฟจะเปนวงกลมโปรง

4) ชวงครงเปด ม 2 แบบ สญลกษณ คอ [a, b) หรอ [a, b) ถาวาดกราฟตรงทเปนวงเลบ [, ] จะเปนวงกลมทบ

และถาเปน (,) จะเปนวงกลมโปรง

5) ชวงอนนต ม 2 แบบ สญลกษณ คอ (a, ∞) หรอ (-∞, a)

6) การเขยนชวงอนนต ดานทเปนตวอนฟนตเปนชวงเปดเสมอ

การแกอสมการ

1) ขนตอนการแกอสมการ ม 3 สวนคอ แยกตวประกอบ ตเสนจานวน และ เลอกชวงของคาตอบ

2) ถายายจานวนทตดลบ ไปคณหรอหาร เครองหมาย >, <, ≥ และ ≤ ของอสมการจะตองเปลยนเปนเครองหมาย

ตรงกนขาม เชน -2x < 6 เอา -2 หารตลอด จะได x > - 3

คาสมบรณ (Absolute value)

1) คาสมบรณของจานวนจรง a ใดๆ หมายถง ระยะหางระหวาง 0 (ศนย) กบจด a บนเสนจานวน

2) คาสมบรณเปนบวกเสมอ เพราะเปนระยะหาง

3) สมบตของคาสมบรณ

• เสมอ

• xx −=

• xyyx −=−

• 222 xxx ==

𝑎𝑎 =−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝑎𝑎

0≥x



• yxxy =

• yx

yx=

• yxyx +≤+

• yxyx −≥−

4) การแกสมการคาสมบรณ ม 3 วธ ดงน

4.1 แปลตามนยาม 4.2 ยกกาลงสอง 4.3 แปลคาทละคาสมบรณ

5) การแกอสมการคาสมบรณ

ทฤษฎบท เมอ a เปนจานวนจรงบวก จะได

- ถา |x| < a หมายถง –a < x < a - ถา |x| ≤ a หมายถง –a ≤ x ≤ a

- ถา |x| > a หมายถง x < -a หรอ x > a - ถา |x| ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a



º··Õè 3 ·ÄÉ®Õ¨íÒ¹Ç¹àº×éÍ§µŒ¹ การหารลงตว

1) สญลกษณ b | a หมายถง b หาร a ลงตว, b เปนตวหาร a เปนตวตง

2) b หาร a ลงตว กตอเมอมจานวนเตม c ททาให a = bc

3) ถา a|b และ b|c แลวจะได a|c 4) ถา a, b, c ∈ I โดยท a|b และ a|c แลวจะได a|(bx+cy) เมอ x, y ∈ I เรยก bx+cy วา “ผลรวมเชงเสน” ของ b และ c

5) ทฤษฎบทหลกมลทางเลขคณต : จานวนเตมทมากกวา 1 สามารถเขยนไดในรปผลคณของจานวนเฉพาะไดเพยง

ชดเดยวเทานน เชน 50 = 2 x 5 x 5

ขนตอนวธการหาร

1) ตวตง = ตวหาร x ผลหาร + เศษ โดยทเศษเหลอเปนจานวนท“ไมเปนลบ”และมคานอยกวาคาสมบรณของตวหาร

ตวหารรวมมาก

1) ตวหารรวม: ให a และ b เปนจานวนเตม เรยกจานวนเตม c ทสามารถหารทง a และ b ลงตววาเปน ตวหารรวม

ของ a และ b เชน 4 เปนตวหารรวมของ 16 กบ 8

2) ตวหารรวมมาก : ให a และ b เปนจานวนเตมทไมเปนศนยพรอมกนจานวนเตมบวก d ทมคามากทสดซง d|a และ

d|b เรยก d เปน ตวหารรวมมาก ของ a และ b

3) ห.ร.ม.= (a,b) ห.ร.ม. ใชสญลกษณเปน วงเลบเลก , ค.ร.น. = [a,b] ค.ร.น. ใชสญลกษณเปนวงเลบใหญ

4) ถาเลขไมเยอะใหหา ห.ร.ม. โดยการตงหารสน ถาเลขเยอะหาโดยวธของยคลด

5) ห.ร.ม. x ค.ร.น. = ผลคณของเลข 2 จานวนนน

จานวนเฉพาะ

1) จานวนเฉพาะ คอ จานวนทมตวประกอบ 2 ตว คอ 1 และตวมนเอง

2) จานวนเฉพาะบวกเรมท 2

3) จานวนเฉพาะมทงจานวนบวกและลบ

จานวนเฉพาะสมพทธ

1) จานวนเตมบวก 2 จานวนเปนจานวนเฉพาะสมพทธกน เมอ ห.ร.ม. ของเลขทงสองเปน 1

2) จานวนเตมบวก 2 จานวนทเปนจานวนเฉพาะสมพทธกน ไมจาเปนตองเปนจานวนค

เชน 8 กบ 15 เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน เพราะ ห.ร.ม. ของเลขทงสองเปน 1



º··Õè 4 ÃÐººÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹áÅÐàÁµÃÔ¡«� เมตรกซ

1) ตวอยางเมตรกซ

2) เมตรกซเทากน เมอมตเทากน และ สมาชกตาแหนงเดยวกนเทากน

3) ทรานสโพสของเมตรกซ A คอ เมตรกซทเกดจากการสลบแถวทกแถว ไปเปนหลก สญลกษณ At

4) เมตรกซศนย คอ เมตรกซทมสมาชกทกตวเปน 0 หมด เขยนแทนดวย 0

5) เมตรกซจตรส คอ เมตรกซทมจานวนแถวและจานวนหลกเทากน เชน มต 2x2, มต 3x3

6) เมตรกซเฉยง คอ เมตรกซทมสมาชกในแนวเสนทะแยงมมหลกเปนจานวนจรงอะไรกได แตสมาชกตวอนๆ เปน 0

เชน

7) เมตรกซสมมาตร คอ เมตรกซจตรสท jiij aa = หรอ tAA = แตถา tAA −= เรยกวา เมตรกซเสมอนสมมาตร

8) เมตรกซสเกลาร คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทะแยงมมหลกมคาเทากนทกตว สมาชกตวอนๆ เปน 0

การบวก และการลบของเมตรกซ

1) เมตรกซจะบวก หรอ ลบกนได จะตองมมตเทากน

2) ทาโดยการนาสมาชกตาแหนงเดยวกนมาบวก หรอ ลบกน

การคณของเมตรกซ ม 2 แบบ

1) คณดวยจานวนจรง คอ ใหคณจานวนจรงเขาไปทสมาชกทกตวของเมตรกซ

2) เมตรกซ x เมตรกซ

3) เมตรกซ A x เมตรกซ B ไมจาเปนตองเทากบ เมตรกซ B x เมตรกซ A (AB ≠ BA)

4) อนเวอรสของการคณของเมตรกซ A

−

−−

=−

acbd

bcadA 11

5) ถา ad – bc = 0 จะหา A-1 ไมได เรยกเมตรกซนวา ซงกลารเมตรกซ (Singular matrix) หรอ เมตรกซเอกฐาน

ถา ad – bc ≠ 0 จะหา A-1 ได เรยกเมตรกซนวา นอนซงกลารเมตรกซ (Non-singular matrix) หรอ เมตรกซซงมใชเอกฐาน

2003

100030002



ดเทอรมนนต (det)

1) วธหาดเทอรมนนตของเมตรกซ 2x2 A

จาก

=

2221

1211

aaaa

A จะได det A = a11a22 – a21a12

ดงายๆ มาจาก det A = �a11 a12a21 a22

� คณขนตดลบ คณลงเปนบวก

2) วธการหาดเทอรมนนต ของเมตรกซ 3x3 ขนไปใหใชวธดงน ขนท 1 หาไมเนอร (Minor)

ขนท 2 หาโคแฟกเตอร (Cofactor)

ขนท 3 หาดเทอรมนนต

3) วธลดหา det ของเมตรกซ 3x3

ตวอยาง คณขนตดลบ คณลงเปนบวก แลวเอาคาทไดท งหมดมาบวกลบกน

ปล. เปนวธเฉพาะของเมตรกซ 3x3 ถาเปนเมตรกซ 4x4 ใชวธนไมไดคะ

4) ถา A เปนเมตรกซเอกฐาน (Singular Matrix) แลว det A = 0

5) ถา A เปนเมตรกซซงไมเอกฐาน (Non-singular Matrix) แลว det A ≠ 0

อนเวอรสการคณของเมตรกซมตมากกวา 2x2

ขนท 1 หาไมเนอรของ A

ขนท 2 หาโคเฟกเตอรของ A

ขนท 3 หาเมตรกซผกพน (Ad-joint Matrix = adj A)

นยาม เมตรกซผกพนของ A = adj A = Ct(A)

ขนท 4 หา det A

ขนท 5 หาอนเวอรสของ A จากสตร adjAA

Adet

11 =−

_ +

−=

984752615

A5 -1

2 5

4 8

_ _ _



º··Õè 5 ¿˜§¡�ªÑ¹ คอนดบ

นยาม คอนดบ (a , b) = (c , d) กตอเมอ a = c และ b = d

ผลคณคารทเชยน

นยาม ผลคณคารทเชยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a , b) ทงหมด โดยท a ∈ A และ b ∈ B

สญลกษณ A×B เชน A = {1,2} , B = {3,4,5} จะได AxB = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}

สมบตทสาคญของผลคณคารทเชยน

1) ถา A มสมาชก m ตว และ B มสมาชก n ตว ∴ A×B มสมาชก mn ตว

2) A × B = φ กตอเมอ A = φ หรอ B = φ

3) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

4) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

5) A × (B – C) = (A × B) – (A × C)

6) A × B ≠ B × A

ความสมพนธ

นยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r ⊂ A × B ถา A × B มสมาชก n ตว

เราสามารถสรางความสมพนธจาก A ไป B ได 2n วธ

การหาโดเมน และ การหาเรนจ

จากความสมพนธ r

- เรยก เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r วา โดเมน

- เรยก เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r วา เรนจ

ฟงกชน

นยาม 𝑓𝑓 จะเปนฟงกชน กตอเมอ 𝑓𝑓 เปนความสมพนธ ซงมเงอนไขวา ถา (𝑎𝑎 , 𝑦𝑦1) ∈ 𝑓𝑓 และ (𝑎𝑎 , 𝑦𝑦2) ∈ 𝑓𝑓 แลว 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2

สรปงายๆ วา ถาสมาชกตวหนาของคอนดบใดๆ เหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตอง เหมอนกนดวย

วธตรวจสอบวาเปนฟงกชนโดยใชกราฟ คอ ถาลากเสนตรงขนานแกน y แลวตดกราฟ 1 จด แปลวาเปนฟงกชน

การหาโดเมน มหลกการคด ดงน

- จดรปสมการ ใหอยในรป y ในเทอม x

- พจารณาเทอมของ x วา คา x มขอยกเวนใดหรอไมโดยดจาก

1. ถาเปนรปเศษสวน ∴สวนตอง ≠ 0

2. ถาตดเครองหมายรากเลขค

∴ภายในเครองหมายรากตอง ≥ 0

การหาเรนจ มหลกการคด ดงน

- จดรปสมการ ใหอยในรป x ในเทอม y

- พจารณาเทอมของ y วา คา y มขอยกเวนใดหรอไมโดยดจาก

1. ถาเปนรปเศษสวน ∴สวนตอง ≠ 0

2. ถาตดเครองหมายรากเลขค

∴ภายในเครองหมายรากตอง ≥ 0



การแทนคาฟงกชน

1) ถาโจทยกาหนด f(x) มาให แลวตองการหา f ของตวเลข หรอ กลม ใหแทนคาท x ไดเลย เชน กาหนด f(x) = 2x + 3 ถาตองการหา f(2) จะได f(2) = 2(2) + 3 = 7

ถาตองการหา f(x+3) จะได f(x+3) = 2(x+4) + 3 = 2x + 8 + 3 = 2x + 11

2) ถาโจทยกาหนด f ของกลม แลวตองการหา f(x) เชน กาหนด f(x + 3) = 4x + 5 ตองการหา f(x) วธทา ให x + 3 = a จะได x = a – 3 แลวนาคา x ทไดไปแทน

จาก f(x + 3) = 4x + 5

จะได f(a) = 4(a – 3) + 5

f(a) = 4a – 12 + 5 = 4a – 7

ดงนน f(x) = 4x – 7

3) ถาโจทยกาหนด f ของกลม แลวตองการหา f ของตวเลข เชน กาหนด f(x + 3) = 4x + 5 ตองการหา f(5)

ให x + 3 = 5 จะได x = 5 – 3 = 2 เอา 2 ไปแทนคา

จาก f(x + 3) = 4x + 5

จะได f(5) = 4(2) + 5 = 13

4) ถาโจทยกาหนด f ของกลม แลวตองการหา f ของกลม เชน กาหนด f(x + 3) = 4x + 5 ตองการหา f(x + 5) (ใหเปลยนเปนตวแปรอนกอน)

ให x + 3 = a + 5 จะได x = a + 5 – 3 = a + 2 เอา a + 2 ไปแทนคา

จาก f(x + 3) = 4x + 5

จะได f(a + 5) = 4(a + 2) + 5 = 4a + 8 + 5 = 4a + 13

f(x + 5) = 4x + 13

ฟงกชนจาก A ไป B

1) สญลกษณ f:A →B

2) ฟงกชนจาก A ไป B : โดเมน f จะตองเทากบ เซต A และ เรนจ f เปนสบเซตของเซต B

2) ม 4 แบบ ดงน

แบบธรรมดา แบบทวถง แบบ 1:1 แบบ 1:1 และทวถง



ฟงกชนทควรรจก

ฟงกชนเชงเสน รปสมการทวไป คอ 𝐴𝐴𝑎𝑎 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 หรอ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑐𝑐

ฟงกชนคาสมบรณ รปสมการทวไป คอ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎|𝑎𝑎 − 𝑏𝑏| + 𝑐𝑐

ฟงกชนขนบนได เปนฟงกชนทเปนฟงกชนคงทเปนชวงๆ กราฟของฟงกชน

มรปคลายขนบนได เชน อตราคาไฟฟา

ฟงกชนกาลงสอง รปสมการทวไป 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 ฟงกชนพหนาม รปสมการทวไป 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎1𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑎𝑎2𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎3𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + ⋯

เชน 𝑦𝑦 = 2𝑎𝑎3 − 5𝑎𝑎 + 2 ฟงกชนทเปนคาบ เปนฟงกชนทไมใชฟงกชนคงตว เชน ฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนคอมโพสท(Composite Function)

ใชความรเรองการแทนคาฟงกชน

fog(x) หมายถง f(g(x)) ตวอยาง ให f(x) = 2x+5 และ g(x) = 3x – 7 จงหา gof(x)

วธทา gof(x) = g(f(x))

= g(2x + 5)

เพราะวา g(x) = 3x – 7

จะได g(2x + 5) = 3(2x + 5) – 7

= 6x + 15 – 7

= 6x + 8

ดงนน gof(x) = 6x + 8

ฟงกชนอนเวอรส (Inverse Function)

ใชความรเรองการแทนคาฟงกชน

1) เรยก 𝑓𝑓 1− วา อนเวอรสของฟงกชน f ซงอนเวอรสของฟงกชนไมจาเปนตองเปนฟงกชน

2) ถา 𝑓𝑓 1− เปนฟงกชนดวย เรยก 𝑓𝑓 1− วา ฟงกชนอนเวอรส

3) 𝐷𝐷 f = 𝑅𝑅 1−f และ 𝑅𝑅 f = 𝐷𝐷 1−f

4) ถา 𝑓𝑓 เปนฟงกชนแบบ 1 - 1 แลว 𝑓𝑓 1− จะเปนฟงกชนดวย

5) ตวอยาง กาหนด f(x) = 4x – 9 จงหา 𝑓𝑓 1− (3)

f(x) = y = 4x – 9

ทาเปนอนเวอรสโดยการสลบท x กบ y จะได x = 4y – 9 แลวจดรปใหม ใหอยในรป y = เทอม x

จะได y = 𝑎𝑎+9

4 ซง y ตวนกคอ 𝑓𝑓−1(𝑎𝑎)

ดงนน 𝑓𝑓−1(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎+9

4

𝑓𝑓−1(3) = 3+9

4 = 3 ตอบ



พชคณตของฟงกชน (Algebra of Function)

คอ การเอาฟงกชนมาบวกลบคณหารกน

1. 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = {(𝑎𝑎,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑔𝑔(𝑎𝑎) และ 𝑎𝑎 ∈ 𝐷𝐷 f ∩𝐷𝐷 g }

2. 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 = {(𝑎𝑎,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) − 𝑔𝑔(𝑎𝑎) และ 𝑎𝑎 ∈ 𝐷𝐷 f ∩𝐷𝐷 g }

3. 𝑓𝑓 · 𝑔𝑔 = {(𝑎𝑎,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) · 𝑔𝑔(𝑎𝑎) และ 𝑎𝑎 ∈ 𝐷𝐷 f ∩𝐷𝐷 g }

4. gf = {(𝑎𝑎,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 =

)()(

xgxf และ 𝑎𝑎 ∈ 𝐷𝐷 f ∩𝐷𝐷 g และ 𝑔𝑔(𝑎𝑎) ≠ 0 }

เมอนาฟงกชนมากบวก ลบ และคณ กน ใหเอาโดเมนของแตละฟงกชนมาอนเตอรเซคกน

ยกเวนการหาร นอกจากอนเตอรเซคแลว ตองระวงไมใหตวหารเปนศนยดวย สวนใหญโจทยจะถามโดเมน



º··Õè 6 àÃ¢Ò¤³ÔµÇÔà¤ÃÒÐË� áÅÐÀÒ¤µÑ´¡ÃÇÂ เรขาคณตวเคราะห

1) กาหนดจด 𝐴𝐴(𝑎𝑎1,𝑦𝑦1) , 𝐵𝐵(𝑎𝑎2,𝑦𝑦2) และ 𝐶𝐶(𝑎𝑎3,𝑦𝑦3)

- ระยะระหวางจดสองจด AB คอ �(𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2)2 + (𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2)2

- จดกงกลางระหวางจดสองจด คอ

- จดแบงภายในอตราสวน m:n คอ

- จดตดของเสนมธยฐาน คอ

- พนทรป n เหลยม คอ

- ความชนของเสนตรง คอ

2) สมการเสนตรง

• รปทวไปของสมการเสนตรง คอ 𝐴𝐴𝑎𝑎 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 จะได 𝑚𝑚 = − AB

• จดรปสมการเปน 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 จะได ความชน = 𝑚𝑚 และจดตดแกน 𝑦𝑦 ท (0, 𝑐𝑐)

• สตรสรางสมการเสนตรง 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑎𝑎 − 𝑎𝑎1)

• สตรสรางสมการเมอรจดตดแกน 𝑎𝑎 และ 𝑦𝑦 คอ 𝑎𝑎𝑎𝑎

+ 𝑦𝑦𝑏𝑏

= 1

3) เสนตรงทต งฉากกน ความชนจะคณกนไดเทากบ -1 (𝑚𝑚1 × 𝑚𝑚2 = −1)

4) เสนตรงทขนานกนจะมความชนเทากน (𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2) 5) ให 𝑃𝑃(𝑎𝑎1,𝑦𝑦1) เปนจดใดๆ ทอยนอกเสนตรง 𝐿𝐿 และ 𝐿𝐿 มสมการเปน Ax + By + C = 0

สตร ระยะระหวางจดกบเสนตรง คอ

6) ให 𝐿𝐿1 มสมการเปน Ax + By + C1 = 0

𝐿𝐿2 มสมการเปน Ax + By + C2 = 0

ซง 𝐿𝐿1 และ 𝐿𝐿2เปนเสนตรงทขนานกน

สตร ระยะระหวางเสนขนาน คอ

( )

++

=2

,2

, 2121 yyxxyx

++

++

nmnymy

nmnxmx 1212 ,

++++

3,

3321321 yyyxxx

1

1

3

3

21

21

...

...21

yx

yx

yx

yyxx

n

n×

θtan21

21 =−−

=xxyymAB

22

11

BA

CByAxd

+

++=

22

21

BA

CCd

+

−=



ภาคตดกรวย

1) การเลอนแกน

x = x′ + h หรอ x′ = x – h

y = y′ + k หรอ y′ = y – k

2) วงกลม

จะสรางสมการวงกลมตองรจดศนยกลาง และ รศม

สมการวงกลม

- จดศนยกลางอยทจด (0 , 0) 𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2 = 𝑟𝑟2

- จดศนยกลางอยทจด (h , k) (𝑎𝑎 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 𝑟𝑟2

- รปสมการทวไปของวงกลม 𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2 + 𝐴𝐴𝑎𝑎 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0

3) พาราโบลา

- เสนตรงคงท เรยกวา เสนไดเรกตรกซ (Directrix)

- จดคงท เรยกวา จดโฟกส (Focus)

- เสนตรงทผานจดโฟกสและตงฉากกบเสนไดเรกตรกซ

เรยกวา แกนของพาราโบลา

- จดทกราฟของพาราโบลาตดกบแกนของพาราโบลา เรยกวา จดยอด(vertex)

- ความกวางของพาราโบลาทจดโฟกส เรยก ลาตส เรกตม = |4c| พาราโบลาม 4 แบบ 1) หงาย 2) ควา 3) ตะแคงขวา 4) ตะแคงซาย

สมการพาราโบลาหงาย-ควา

- ถาจดยอด คอ (0 , 0) สมการ คอ 𝑎𝑎 2 = 4𝑐𝑐𝑦𝑦

- ถาจดยอด คอ (ℎ ,𝑘𝑘) สมการ คอ �𝑎𝑎 – ℎ� 2 = 4𝑐𝑐(𝑦𝑦 – 𝑘𝑘)

เมอ 𝑐𝑐 คอ ระยะหางจากจดยอดถงจดโฟกส (พาราโบลาหงายคา c เปนบวก พาราโบลาควาคา c เปนลบ)

สมการพาราโบลาตะแคงขวา- ซาย

- ถาจดยอด คอ (0 , 0) สมการ คอ 𝑦𝑦 2 = 4𝑐𝑐𝑎𝑎

- ถาจดยอด คอ (ℎ ,𝑘𝑘) สมการ คอ �𝑦𝑦 – 𝑘𝑘� 2 = 4𝑐𝑐(𝑎𝑎 – ℎℎ)

เมอ 𝑐𝑐 คอ ระยะหางจากจดยอดถงจดโฟกส (พาราโบลาตะแคงขวาคา c เปนบวก พาราโบลาตะแคงซายคา c เปนลบ)

4) วงร

- เรยก จดคงท วา จดโฟกส ดงนน จดโฟกสม 2 จด

- เรยก จดกงกลางระหวางจดโฟกสทงสอง วา จดศก.วงร

- เรยก จดตดของเสนตรงทลากผานโฟกสทงสองกบวงร

วา จดยอดของวงร

- เรยก สวนของเสนตรงทเชอมจดยอดของวงร วา แกนเอก

- เรยก สวนของเสนตรงทตงฉากกบแกนเอกทจดศนยกลางของวงร

และมจดปลายอยบนวงร วา แกนโท

- เรยก ความกวางของวงร ทจดโฟกสวา ลาตส เรกตม



วงร ม 2 แบบ วงรตามแกน X(แกนเอกขนานแกน X) และ วงรตามแกน Y(แกนเอกขนานแกน Y)

สมการวงรตามแกน X

จดศนยกลางอยท (0 , 0) สมการ คอ 2

2

ax

+ 2

2

by

= 1

จดศนยกลางอยท (h , k) สมการ คอ 2

2)(a

hx − + 2

2)(b

ky − = 1

สมการวงรตามแกน Y


2

ay

+ 2

2

bx

= 1


2)(a

ky − + 2

2)(b

hx − = 1

ในวงรมความสมพนธระหวางคา a,b,c คอ 𝑎𝑎 2 = 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2

แกนเอก = ผลบวกคงท = 2a / แกนโท = 2b / ระยะระหวางโฟกส = 2c / ลาตสเรกตม = ab22

ในวงรแกนเอกเปนแกนทยาวทสด

5) ไฮเพอรโบลา

- เรยก จดคงท 2 จดนน วา จดโฟกส

- เรยก จดกงกลางระหวางโฟกสทงสอง วา จดศก.ไฮเพอรโบลา

- เรยก จดตดของเสนทลากผานโฟกสทงสอง กบ ไฮเพอรโบลาวา

จดยอดของไฮเพอรโบลา

- เรยก สวนของเสนตรงทเชอมจดยอด วา แกนตามขวาง

- เรยก สวนของเสนตรงทตงฉากกบแกนตามขวางทจดศนยกลางวา

แกนสงยค

- เรยก ความกวางของไฮเพอรโบลาทจดโฟกส วา ลาตส เรกตม

- เรยก เสนตรงทผานจดศนยกลาง L1 และ L2 วา เสนกากบ ไฮเพอรโบลาม 3 แบบ สมการของไฮเพอรฯตามแกน X , สมการของไฮเพอรฯตามแกน Y และไฮเพอรชนดแกนมมฉาก

สมการของไฮเพอรฯตามแกน X(แกนตามขวางขนานแกน X)


2

ax

- 2

2

by

= 1


2)(a

hx − - 2

2)(b

ky − = 1

สมการของไฮเพอรฯตามแกน Y(แกนตามขวางขนานแกน Y)


2

ay

- 2

2

bx

= 1


2)(a

ky − - 2

2)(b

hx − = 1

ในไฮเพอรโบลามความสมพนธระหวางคา a,b,c คอ c 2 = a 2 + b 2

แกนตามขวาง = ผลตางคงท = 2a / แกนสงยค = 2b / ระยะระหวางโฟกส = 2c / ลาตสเรกตม = ab22



สมการของไฮเพอรฯชนดแกนมมฉาก

สมการ คอ xy = k ถา k > 0 กราฟอยในควอแดรนทท 1 กบ 3

ถา k < 0 กราฟอยในควอแดรนทท 2 กบ 4



º··Õè 7 ¿˜§¡�ªÑ¹àÍ¡«�â¾à¹¹àªÕÂÅáÅÐ¿˜§¡�ªÑ¹ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

1) กราฟของสมการเอกซโพเนนเชยล (𝑦𝑦 = 𝑎𝑎x ) ม 2 กรณ

กรณท 1 ถา 𝑎𝑎 > 1 กรณท 2 ถา 0 < 𝑎𝑎 < 1

การแก “สมการ” และ “อสมการ” เอกซโพเนนเชยล

1) การแกสมการจะใชหลกการของเลขยกกาลง

- ถาฐานเทากนแลว เลขชกาลงจะตองเทากนดวย

- ถาเลขชกาลงเทากน ฐานตองเทากนแตถาฐานไมเทา แสดงวาเลขชกาลงเปนศนย

2) การแกสอมการจะใชเรอง ฟงกชนเพม และฟงกชนลด

จากสมการ y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 จะได

- ถา a > 0 เปนฟงกชนเพม

- ถา 0 < a < 1 เปนฟงกชนลด

ขอสรปจากกราฟเอกซโพเนนเชยล

1. กราฟจะผานจด (0 , 1) เสมอ และไมตดแกน x

กรณ a > 1 จะเปนฟงกชนเพม

กรณ 0 < a < 1 จะเปนฟงกชนลด

2. โดเมนของฟงกชนเปนจานวนจรง (R)

3. เรนจเปนจานวนจรงบวก (R+)



ฟงกชนลอการทม

1) ฟงกชนลอการทม เปนอนเวอรสของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

2) รปสมการ y = logax ม 2 กรณ

กรณท 1 ถา 𝑎𝑎 > 1 กรณท 2 ถา 0 < 𝑎𝑎 < 1

สตรเกยวกบลอการทม

NMMN aa loglog)log(.1 +=

NMNM

aa logloglog.2 −=

1log.3 =aa

01log.4 =a

MpM ap

a loglog.5 =

MMM N

NN loglog1log.6 1 −==

NNMM

Ma

aN log

1logloglog.7 ==

MqpM a

paq loglog.8 =

Ma Ma =log.9

ขอสรปจากกราฟลอการทม

1. กราฟจะผานจด (1 , 0) เสมอ และไมตดแกน y

กรณ 𝑎𝑎 > 1 จะเปนฟงกชนเพม

กรณ 0 < 𝑎𝑎 < 1 จะเปนฟงกชนลด

2. โดเมนของฟงกชนเปนจานวนจรงบวก (R+)



การแกสมการและอสมการลอการทม

1) แกสมการลอการทมดวยการนาสตรเกยวกบลอการทมมาใช โดยทคาตอบทไดตองตรวจคาตอบทกครง

2) แกอสมการลอการทม ตองคานงถงฟงกชนเพม-ลด ดวยทกครง

3) log5 = 1 – log2

ลอการทมสามญ

1) ลอการทมสามญ หมายถง ลอการทมทมฐานเปน 10 ซงโดยทวไปจะไมใสเลขฐานไว เชน log2 , log3

ลอการทมธรรมชาต

1) ลอการทมธรรมชาต หรอ ลอการทมแบบเนเปยร คอ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔 ทมฐานเปน 𝑒𝑒 เมอ 𝑒𝑒 เปนจานวน

อตรรกยะ มคาประมาณ 2.7182818 สญลกษณ คอ In



º··Õè 8 ¿˜§¡�ªÑ¹µÃÕâ¡³ÁÔµÔ วงกลมหนงหนวย

1) x = cosθ, y = sinθ

2) θ > 0 เมอ วดระยะในทศทวนเขมนาฬกา , θ < 0 เมอ วดระยะในทศตามเขมนาฬกา

3) เครองหมายของแตละฟงกชนตรโกณฯ ขนอยกบควอแดรนทดวย

สตรพนฐาน 8 สตร

1. sinA cosecA = 1 5. sec2A - tan

2A = 1

2. cosA secA = 1 6. cosec2A - cot

2A = 1

3. tanA cotA = 1 7. 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝐴𝐴 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝐴𝐴𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝐴𝐴

4. sin2A + cos

2A = 1 (สาคญมาก) 8. 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑡𝑡𝐴𝐴 = 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝐴𝐴

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝐴𝐴

การเปลยนฟงกชนตรโกณมตใหอยในควอแดรนทท 1

1) เมอยดแกน X เปนหลก ฟงกชนจะอยรป π ± θ, 2π ± θ, -θ

เมอเปลยนฟงกชนใด จะไดฟงกชนนนแลวใหคดเครองหมายตามฟงกชนเดม

2) เมอยดแกน Y เปนหลก ฟงกชนจะอยรป 𝜋𝜋2

± 𝜃𝜃, 3𝜋𝜋2

± 𝜃𝜃

เมอเปลยนฟงกชนใด จะไดโคฟงกชน ของฟงกชนนน

แลวใหคดเครองหมายตามฟงกชนเดม

ฟงกชนตรโกณมตในสามเหลยมมมฉาก

1) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝐴𝐴 = ขามฉาก 4) 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝐴𝐴 = ฉากขาม

2) 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝐴𝐴 = ชดฉาก 5) 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝐴𝐴 = ฉากชด

3) 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝐴𝐴 = ขามชด 6) 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑡𝑡𝐴𝐴 = ฉากขาม

โคฟงกชน คอ sin ↔ cosine

tan ↔ cotangent

sec ↔ cosec



ฟงกชนตรโกณมตของมมผลบวก หรอ ผลตาง

การเปลยนฟงกชนฯ ผลคณเปนผลบวก หรอ ผลตาง

1)

2)

3)

4) หรอ

การเปลยนฟงกชนฯ ผลบวก ผลตาง เปนผลคณ

1) 3)

2) 4)

สตรมม 2 เทา, มม 3 เทา และมมครงเทา

สตรมม 2 เทา

1) 3)

2) 4)

สตรมม 3 เทา ม มครงเทา

1) 1)

2)

2)

3)

3)

BABABA sincoscossin)sin(.1 +=+

BABABA sincoscossin)sin(.2 −=−

BABABA sinsincoscos)cos(.3 −=+

BABABA sinsincoscos)cos(.4 +=−

BABABA

tantan1tantan)tan(.5

−+

=+

BABABA

tantan1tantan)tan(.6

+−

=−

ABABBA

cotcot1cotcot)cot(.7

+−

=+

ABABBA

cotcot1cotcot)cot(.8

−+

=−

)sin()sin(cossin2 BABABA −++=

)sin()sin(sincos2 BABABA −−+=

)cos()cos(coscos2 BABABA −++=)cos()cos(sinsin2 BABABA −−+=− )cos()cos(sinsin2 BABABA +−−=

−

+

=+2

cos2

sin2sinsin βαβαβα

−

+

=−2

sin2

cos2sinsin βαβαβα

−

+

=+2

cos2

cos2coscos βαβαβα

−

+

−=−2

sin2

sin2coscos βαβαβα

AAA cossin22sin =

AA2tan1

tan2+

=

AAA 22 sincos2cos −=

1cos2 2 −= A

A2sin21−=

AA

2

2

tan1tan1

+−

=

AAA 2tan1

tan22tan−

=

AAA

cot21cot2cot

2 −=

AAA 3sin4sin33sin −=

AAA cos3cos43cos 3 −=

AAAA 2

3

tan31tantan33tan

−−

=

2cos1

2sin AA −

±=

2cos1

2cos AA +

±=

AAA

cos1cos1

2tan

+−

±=



อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

1. อนเวอรสของฟงกชน จะเปนฟงกชน กตอเมอ ฟงกชนนนเปนฟงกชนแบบ 1-1

2. ฟงกชนตรโกณมต ไมใชฟงกชน 1-1 ดงนนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต จงไมเปนฟงกชน

3. ถาตองการใหอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชน ตองกาหนดโดเมนของฟงกชนตรโกณฯ ใหลดลง เพอจะ

ไดเปนฟงกชนแบบ 1-1 โดยทเรนทของฟงกชนยงคงเดม

4. การกาหนดโดเมนของฟงกชนตรโกณมต เพอทาใหเปนฟงกชนแบบ 1-1 นน จะกาหนดชวงใดกได แตนยมชวง

ใกลๆ ศนย

กฎของไซนและโคซายน

1) กฎของไซน

หรอ

2) กฎของโคซายน

3) พนทสามเหลยม ABC

AbcBacCab sin21sin

21sin

21

===

4) สตร ฮโร (เอาไวหาพนทสามเหลยมเมอร ความยาวดานทง 3 ดาน)

เมอ

อตราสวนตรโกณมตของมม 30° , 45° และ 60°

Cc

Bb

Aa

sinsinsin==

cC

bB

aA sinsinsin

==

Abccba cos2222 −+=

Baccab cos2222 −+=

Cabbac cos2222 −+=

))()(( csbsass −−−=2

cbas ++=



º··Õè 9 àÇ¡àµÍÃ�ã¹ÊÒÁÁÔµÔ ระบบพกดฉาก

1) แบบ 2 มต ม 2 แกน คอ แกน x และ แกน y คอนดบ คอ (x,y)

2) แบบ 3 มต ม 3 แกน คอ แกน x แกน y และ แกน z คอนดบ คอ (x,y,z)

การหาระยะทางระหวาง 2 จด

1) แบบ 2 มต ใหจด P(x1 , y1) และ Q(x2 , y2) จะได PQ = 212

212 )()( yyxx −+−

2) แบบ 3 มต ใหจด P(x1 , y1 , z1) และ Q(x2 , y2 , z2 จะได PQ = 212

212

212 )()()( zzyyxx −+−+−

ทฤษฎบทของเวกเตอร

ทฤษฎบทท 1

ถา 𝑢𝑢� ≠ 0� และ ��𝑣 ≠ 0� จะไดวา 𝑢𝑢� และ ��𝑣 ขนานกน กตอเมอ 𝑢𝑢� = 𝑎𝑎��𝑣 เมอ 𝑎𝑎 ≠ 0

ผลทได ถา 𝑎𝑎 > 0 จะได 𝑢𝑢� และ ��𝑣 มทศทางเดยวกน

ถา 𝑎𝑎 < 0 จะได 𝑢𝑢� และ ��𝑣 มทศทางตรงขามกน

ทฤษฎบทท 2

ถา 𝑢𝑢� ≠ 0� , ��𝑣 ≠ 0� และรวา 𝑢𝑢� กบ ��𝑣 ไมขนานกนแลว

ถา 𝑎𝑎𝑢𝑢� + 𝑏𝑏��𝑣 = 0� แลว จะได 𝑎𝑎 = 0 และ 𝑏𝑏 = 0

เวกเตอรในระบบแกนมมฉาก

1) เวกเตอร 2 มต

นยาม ถา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� มจดเรมตนทจด 𝐴𝐴(𝑎𝑎1,𝑦𝑦1) และจดสนสดท 𝐵𝐵(𝑎𝑎2,𝑦𝑦2) แลวจะได 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = � 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

�

2) เวกเตอร 3 มต

นยาม ถา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� มจดเรมตนทจด 𝐴𝐴(𝑎𝑎1,𝑦𝑦1, 𝑧𝑧1) และจดสนสดท 𝐵𝐵(𝑎𝑎2,𝑦𝑦2, 𝑧𝑧2) แลวจะได 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = � 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1

�

ขนาดของเวกเตอรใน 2 มต และ 3 มต

1) ขนาดของเวกเตอร 2 มต

ถา 𝑢𝑢� = � 𝑎𝑎𝑏𝑏 � แลว |𝑢𝑢�| = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

ถา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = � 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

� แลว �𝐴𝐴𝐵𝐵�� = �(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2

2) ขนาดของเวกเตอร 3 มต

ถา 𝑢𝑢� = � 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐

� แลว |𝑢𝑢�| = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2

ถา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = � 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1

� แลว �𝐴𝐴𝐵𝐵�� = �(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2 + (𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1)2



เวกเตอรหนงหนวยใน 2 มต และ 3 มต

1) เวกเตอรหนงหนวยใน 2 มต

ถา 𝑢𝑢� = � 𝑎𝑎𝑏𝑏 � เปนเวกเตอรใดๆ เวกเตอร 1 หนวยทมทศทางเดยวกบ 𝑢𝑢� คอ =

2) เวกเตอรหนงหนวยใน 3 มต

ถา 𝑢𝑢� = � 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐

� เปนเวกเตอรใด เวกเตอร 1 หนวยทมทศทางเดยวกบ 𝑢𝑢� คอ =

3) ถา 𝑢𝑢� , ��𝑣 เปนเวกเตอรใดๆ จะไดเวกเตอรทมทศทางเดยวกบเวกเตอร 𝑢𝑢� แตมขนาดเทากบ ��𝑣 คอ

ผลคณเชงสเกลาร

1) ผลคณเชงสเกลารในเวกเตอร 2 มต

ถา jyixu 11 += และ jyixv 22 += แลวผลคณเชงสเกลารของ u และ v เขยนแทนดวย vu • โดยท

1) 2121 yyxxvu +=•

2) θcosvuvu =• เมอ θ คอ มมระหวาง u และ v

2) ผลคณเชงสเกลารในเวกเตอร 3 มต

ให ],,[ 111 cbau = และ ],,[ 222 cbav = ผลคณเชงสเกลารของu และ v เขยนแทนดวย vu • โดยท

1) 212121 ccbbaavu ++=•

2) θcosvuvu =• เมอ θ คอ มมระหวาง u และ v

3)

4)

ผลคณเชงเวกเตอร

1) ให [ ]111 ,, cbau = และ [ ]222 ,, cbav = ผลคณเชงเวกเตอรของ u กบ v เขยนแทนดวย vu ×

โดยท

และจะได

2) = พนทของสเหลยมดานขนานทม u กบ v เปนดานประชด

uu

•

+ ba

ba 22

1

uu

•

++ cba

cba 222

1

vuu•

2)()( vuvuvu +=+•+22

22

cos2

2

vvuu

vvuu

++=

+•+=

θ2)()( vuvuvu −=−•−

22

22

cos2

2

vvuu

vvuu

+−=

+•−=

θ

[ ]122112211221 ,, babaacaccbcbvu −−−=×

kbb

aa

jcc

aa

icc

bb

vu2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 +−=×

θsinvuvu =×



º··Õè 10 ¨íÒ¹Ç¹àªÔ§«ŒÍ¹ จานวนเชงซอน

1) โครงสรางจานวนเชงซอน

2) สญลกษณ Z = a + b𝑠𝑠 หรอจะเขยนเปนคอนดบกได Z = (a, b)

โดยท a เรยกสวนจรง b เรยก สวนจนตภาพ

3) 𝑠𝑠2 = −1

การเทากน การบวก และการคณจานวนเชงซอน

1) จานวนเชงซอนเทากน แสดงวา สวนจรงเทากบสวนจรง สวนจนตภาพเทาสวนจนตภาพ เชน (a, b) = (2, 3) จะได a = 2, b = 3 หรอเขยนใหอยในรป a + b𝑠𝑠 = 2 + 3𝑠𝑠 กได

1) การบวก ใหนาสวนจรงมาบวกสวนจรง สวนจนตภาพบวกสวนจนตภาพ

เชน (5 + 3𝑠𝑠) + (7 – 2𝑠𝑠) = (5 + 7) + (3𝑠𝑠 – 2𝑠𝑠) = 12 + 𝑠𝑠 2) การคณ เหมอน การคณ 2 วงเลบ ถาเจอ 𝑠𝑠2 ใหแทนคาเปน -1

เอกลกษณและอนเวอรสของจานวนเชงซอน

เอกลกษณการบวก เอกลกษณการบวก คอ (0,0) หรอ 0 + 0𝑠𝑠 อนเวอรสการบวก อนเวอรสการบวกของ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) คอ (-a, -b) หรอ –a – bi

เอกลกษณการคณ เอกลกษณการคณ คอ (1,0) หรอ 1 + 0𝑠𝑠

อนเวอรสการคณ อนเวอรสการคณของ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) คอ 1

𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑠𝑠 = � 𝑎𝑎

𝑎𝑎2+𝑏𝑏2 ,− 𝑏𝑏𝑎𝑎2+𝑏𝑏2�

การลบ การหารจานวนเชงซอน และสงยคของจานวนเชงซอน

1) การลบ นาสวนจรงมาลบสวนจรง สวนจนตภาพลบสวนจนตภาพ

2) การหาร เขยนเปนเศษสวนแลวจดรปดวยการคณดวยสงยคของตวหาร ทงเศษและสวน

3) สงยคของจานวนเชงซอน 𝑍𝑍 แทนดวยสญลกษณ ��𝑍

สงยคของ 𝑍𝑍 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 คอ ��𝑍 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠�� = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑠𝑠

สมบตทสาคญของสงยคของจานวนเชงซอน

ให Z1 , Z2 และ Z3 เปนจานวนเชงซอน จะได

1. Z Z1 2+ = Z Z1 2+ 2. Z Z1 2− = Z Z1 2−

3. Z Z1 2• = Z Z1 2• 4.

2

1ZZ

= ZZ

1

2

5. Z −1 = ( ) 1−Z 6. Z = Z

7. Z Z⋅ เปนจานวนจรง

íÒ¹Ç¹àªÔ§«ŒÍ¹

¨íÒ¹Ç¹¨Ô¹µÀÒ¾ ¨íÒ¹Ç¹¨ÃÔ§

¨íÒ¹Ç¹ÍµÃÃ¡ÂÐ ¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ

¨íÒ¹Ç¹àµçÁ àÈÉÊ‹Ç¹

àµçÁÅº àµçÁÈÙ¹Â� àµçÁºÇ¡



คาสมบรณของจานวนเชงซอน

คาสมบรณของจานวนเชงซอน 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 เขยนแทนดวย |𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠| โดยท |𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠| = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

สมบตของคาสมบรณของจานวนเชงซอน

ให Z1 , Z2 และ Z3 เปนจานวนเชงซอน จะได

1. z z z2 = • 2. z z z= − =

3. z z z z1 2 1 2• = • 4. zz

zz

1

2

1

2

=

5. z z− −=1 1 6. z z z z1 2 1 2+ ≤ +

7. z z z z1 2 1 2− ≥ − 8. nn zz =

จานวนเชงซอนในรปเชงขว

1) 𝑍𝑍 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠θ + (𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛θ)𝑠𝑠 = 𝑟𝑟(𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠θ + 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛θ) = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃

r แทนคาสมบรณของ Z ∴ จะได 𝑟𝑟 = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 และ 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝜃𝜃 = 𝑏𝑏𝑎𝑎

การคณและการหารจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให 𝑍𝑍1 = 𝑟𝑟1 (𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠θ1 + 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛θ1) และ 𝑍𝑍2 = 𝑟𝑟2 (𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠θ2 + 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛θ2)

การคณ 𝑍𝑍1 · 𝑍𝑍2 = 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 [𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠(θ1 + θ2) + 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(θ1 + θ2)]

การหาร 𝑍𝑍1𝑍𝑍2

= 𝑟𝑟1𝑟𝑟2

[𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠(θ1 − θ2) + 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(θ1 − θ2)]

การยกกาลง 𝑍𝑍𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑛𝑛 (𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑛𝑛θ + 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑛𝑛θ)

การถอดรากท n เมอ k = 0, 1, 2, 3, 4, …,(n-1)

สตรลด การหารากทสองของจานวนเชงซอน

รากทสองของจานวนเชงซอน 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 คอ

รากทสองของจานวนเชงซอน 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑠𝑠 คอ

เมอ

+

+

+

=n

kin

krZ nn πθπθ 2sin2cos1

−+

+± iarar

22

−−

+± iarar

22

22 baZr +==



สมการพหนาม

กรณท 1 ถารปสมการ คอ 𝑎𝑎x2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 0

แกสมการโดย 1) อาศยการแยกตวประกอบ

2) 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏±√𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐2𝑎𝑎

กรณท 2 สมการพหนามมากกวากาลงสอง

แกสมการโดย 1) อาศยทฤษฎบทเศษเหลอ

2) อาศยวธการหารสงเคราะห

3) อาศยวธการแยกตวประกอบ

ถา 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 เปนคาตอบหนงของสมการแลว 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑠𝑠 กจะเปนคาตอบของสมการดวย

ถา 𝑐𝑐 + √𝑑𝑑 เปนคาตอบหนงของสมการแลว 𝑐𝑐 − √𝑑𝑑 กจะเปนคาตอบของสมการดวย



º··Õè 11 ·ÄÉ®Õ¡ÃÒ¿àº×éÍ§µŒ¹ สวนประกอบของกราฟ

1) จดยอด แทนดวย V(G)

2) เสนเชอม แทนดวย E(G) เสนเชอมมทงเสนตรง เสนโคง

3) ลกษณะของเสนเชอม

เสนเชอมขนาน วงวน

4) ประเภทของกราฟ ไดแก กราฟระบทศทาง และ กราฟไมระบทศทาง

5) กราฟทไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน เรยก กราฟเชงเดยว

ถากราฟมเสนเชอมขนานหรอมวงวนเรยก กราฟหลายเชง

6) กราฟทม V(G) = V(H) และ E(G) = E(H) ถอวาเปนกราฟเดยวกน

7) จดยอด 2 จดใดๆ เปน จดยอดประชด กตอเมอมเสนเชอมระหวางจดทงสอง

8) ดกร (degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v สญลกษณ deg v

ทฤษฎบท

1) ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ เทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ

2) จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค

จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค

3) ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจานวนค

4) วงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกนโดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน

5) วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอร

6) กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร

7) กราฟเชอมโยง G จะเปนกราฟออยเลอร กตอเมอจดยอดทกจดของ G เปนจดยอดค

8) วถ คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

9) วฏจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

10) ตนไม คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร



º··Õè 12 ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹ กฏการนบ

กฎขอ 1

ในการทางาน 2 อยาง โดยทงานอยางแรกสามารถทาได n1 วธ และในแตละวธของงานอยางแรก

สามารทางานอยางทสองไดอก n2 วธ

∴จานวนวธการทางานทง 2 อยาง = n1⋅n2 วธ

กฎขอ 2

ในการทางาน k อยาง ถางานอยางแรก มวธทาได n1 วธ ในแตละวธ ของงานอยางแรก สามารถทางานท 2 ไดอก n2

วธและในแตละวธของงานอยางแรกและงานอยางท 2 สามารถทางานอยางท 3 ไดอก n3 วธ เปนเชนนไปเรอยๆ

∴จานวนวธการทางานทง k อยาง = n1⋅n2⋅n3⋅ … ⋅nk วธ

แฟกทอเรยล n

𝑛𝑛! = 1 2 3 4… (𝑛𝑛 − 2) (𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛 เมอ n เปนจานวนเตมบวก

เชน 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

1) วธเรยงสบเปลยน ถาแบงตามลกษณะของสงของ แบงได 2 ชนด คอ ของตางกนทงหมด , มของซา

2) วธเรยงสบเปลยน ถาแบงตามลกษณะการจดเรยง แบงได 2 ชนด คอ แนวตรง , วงกลม

3) วธเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกนทงหมดในแนวเสนตรง

- มสงของแตกตางกน n สง นามาจดเรยงสบเปลยนทละ r สง (r ≤ n)

∴ จะจดเรยงได = 𝑃𝑃𝑛𝑛 ,𝑟𝑟 = 𝑛𝑛 !

(𝑛𝑛−𝑟𝑟)! วธ

- มสงของแตกตางกน n สง นามาจดเรยงสบเปลยนทละ n สง

∴ จะจดเรยงได = 𝑃𝑃𝑛𝑛 ,𝑟𝑟 = 𝑛𝑛! วธ

4) การทาโจทยประเภททส งของตองอยตดกน

ขนท1 นาของทตองอยตดกน มดเปน 1 มด และถอเปนสงของ 1 สง

ขนท 2 นามดในขอ 1 ไปเรยงสบเปลยนกบสงของทเหลอ

ขนท 3 ของทมดตดกน สามารถสลบทภายในไดอก

ขนท 4 นาผลทไดในขนท 2 และ 3 มาคณกน



5) การทาโจทยประเภททส งของทตองอยแยกกน

ใหแบงสงของเปน 2 ชด สมมตชดแรกม a สง ชดท 2 ม b สงซงกาหนดวาชดท 2 นตองอยแยกกน

ขนท 1 นาของชดแรก (เรยกตวคน) ไปเรยงสบเปลยนกอนได a! วธ

ขนท 2 นาของชดทสอง (เรยกตวแทรก) ไปแทรกระหวางของชดแรก ซงจะมชองใหแทรกได a + 1 ท

6) การทาโจทยเกยวกบการเรยงสลบท

มของหลายชนด ชนดละ n สงแตกตางกนนามาเรยงสลบทกนเปนแนวตรง

โดยสลบแบบ 1 : 1 หรอ 2 : 2 หรอ 3 : 3 หรอ … r : r (ซง r หาร n ลงตว) จะไดจานวนวธเทากนดงน

1. ถามของ 2 ชนด ∴ จานวนวธ = 𝑛𝑛!𝑛𝑛! (2!)

2. ถามของ 3 ชนด ∴ จานวนวธ = 𝑛𝑛!𝑛𝑛!𝑛𝑛! (3!)

3. ถามของ k ชนด ∴ จานวนวธ = (𝑛𝑛!)𝑘𝑘(𝑘𝑘!) 7) วธเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกนทงหมดในแนววงกลม

จานวนวธเรยงสบเปลยนสงของ n สงแตกตางกนทงหมดเปนวงกลม

จานวนวธ = (𝑛𝑛 − 1)!

ถาสงของทนามาเรยงสามารถพลกกลบดานได เชน การรอยมาลย , ลกปด

จานวนวธ = (𝑛𝑛−1)!

2

8) วธเรยงสบเปลยนสงของทมบางสงซากนในแนวเสนตรง

จานวนวธเรยงสบเปลยน = 𝑛𝑛!

𝑛𝑛1!𝑛𝑛2!𝑛𝑛3!…𝑛𝑛𝑘𝑘 !

หารจานวนทซาออก เชนซา 2 ตว หาร 2!

9) วธการเรยงสบเปลยนสงของทมบางสงซากนในแนววงกลม

จานวนวธเรยงสบเปลยนในแนววงกลม = (𝑛𝑛−1)!

𝑛𝑛1!𝑛𝑛2!𝑛𝑛3!…𝑛𝑛𝑘𝑘 !

หมายเหต สตรนจะใชไดเมอ ห.ร.ม.ของ 𝑛𝑛1,𝑛𝑛2,𝑛𝑛3, … ,𝑛𝑛𝑘𝑘 มคาเทากบ 1 เทานน ถา ห.ร.ม. ไมเปน 1 ใหใชวธแจกแจงสมาชก

วธจดหม

1) วธจดหมของทแตกตางกนทงหมด

มของแตกตางกน n สง นามาจดหมคราวละ r สง∴จานวนวธทงหมด = 𝐶𝐶𝑛𝑛 ,𝑟𝑟 = � 𝑛𝑛𝑟𝑟 � = 𝑃𝑃𝑛𝑛 ,𝑟𝑟𝑟𝑟!

= 𝑛𝑛 !

(𝑛𝑛−𝑟𝑟)!𝑟𝑟!

2) วธจดหมส งของทมบางสงซากน

- ถามของเหมอนกน 𝑛𝑛 ชน เลอกมาอยางนอย 1 ชน จะทาได 𝑛𝑛 วธ

- ถามของตางกน 𝑛𝑛 ชน เลอกมาอยางนอย 1 ชน จะทาได 2𝑛𝑛 − 1 วธ - สาหรบสงของทมบางสงซากน เชน AAA BB C เมอเลอกสงของมา ตองแยกคดเปนกรณวา มตวซา หรอ ไมมตวซา



ทฤษฎบททวนาม

สตรการกระจาย

( ) nrrnnnnn bnn

barn

ban

ban

an

ba

++

++

+

+

=+ −−− ......

210221

พจนทวไปของการกระจาย

rrnr ba

rn

T ⋅

= −

+1



º··Õè 13-14 ¡ÒÃÊíÒÃÇ¨¤ÇÒÁ¤Ô´àËç¹ áÅÐ ¡ÒÃÇÔà¤ÃÒÐË�¢ŒÍÁÙÅàº×éÍ§µŒ¹ สถตเบองตน

1. ความหมายของสถต

สถต หมายถง ตวเลขทบอกขอเทจจรงตางๆ ซงตวเลขนจะอยในลกษณะ รวบยอดทไดมาจากการวเคราะหการเปรยบเทยบ หรอ

การคานวณ หรอ หมายถง ศาสตรทเปนทงวทยาศาสตรและศลปะ ซงเกยวของกบ กระบวนการ 4 ขนตอน ดงน

1.1 การเกบรวบรวมขอมล 1.2 การนาเสนอขอมล 1.3 การวเคราะหขอมล 1.4 การตความหมายของขอมล

2. การเกบรวบรวมขอมล

ขอมลสถต หรอ ขอมล หมายถง ขอความจรงในเรองใด เรองหนงท เราสนใจศกษา ซงอาจเปนตวเลข หรอขอความกได ขอสาคญ

ขอมลเพยงหนวยเดยวไมถอเปนขอมลสถต

ประเภทของขอมล ถาจาแนกตามวธการเกบรวบรวมขอมล แบงได 2 ประเภท คอ

1) ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทเกบรวบรวมจากผใหขอมล หรอ สงเกตจากแหลงขอมลโดยตรง

เชน ดช. วกจ สารวจสวนสงของเพอนในชนเรยนโดยการเดนถามทละคน

2) ขอมลทตยภม คอ ขอมลทไดจากขอมลทผอ นเกบรวบรวมไวแลว

เชน จากรายงานตางๆ ของหนวยงานราชการ องคการ หรอ เอกชน บทความจากหนงสอพมพ วารสาร เปนตน

ลกษณะของขอมล แบงเปน 2 ลกษณะ คอ

1) ขอมลเชงปรมาณ เปนขอมลทใชแทนขนาด หรอ ปรมาณ ซงสามารถ ชง ตวง วด ออกมาเปนตวเลขไดโดยตรง

2) ขอมลเชงคณภาพ เปนขอมลทไมสามารถวดออกมาเปนตวเลขไดโดยตรง แตวดออกมาโดยอาศยคณลกษณะของสงนนๆแตใน

บางกรณ ขอมลเชงคณภาพวดออกมาเปนตวเลขได แตตวเลขเหลานนไมสามารถนามาหาคาเฉลยได เชน เบอรเสอ เบอรรองเทา

วธการเกบรวบรวมขอมล มวธเกบไดหลายวธ คอ

1) จากทะเบยนประวต เปนการเกบรวบรวมจากฝายทะเบยนตางๆ เชน ฝายทะเบยนของโรงเรยน เขต โรงพยาบาล หนวยงานของ

รฐ การเกบรวบรวมโดยทาการคดลอกซงขอมลทไดมความเชอถอคอนขางสง ประหยดเวลาและคาใชจาย

2) จากการสารวจ บางครงขอมลจากทะเบยนประวตมไมครบตามทตองการ หรอไมไดเกบรวบรวมไวจงจาเปนตองใชวธสารวจเอง

โดยใชแบบสอบถาม หรอ การสมภาษณ

3) จากการสงเกต ขอมลบางประเภทใชแบบสอบถามหรอ สมภาษณ อาจไมไดขอเทจจรง กตองใชวธแอบดหรอสงเกตเอง

4) จากการทดลอง สวนใหญเปนการเกบรวบรวมขอมลทางวทยาศาสตร เปนขอมลทถกตองและ เชอถอไดมาก ถาไมเกดความ

คลาดเคลอนจากการวด หรอ การวางแผนการทดลอง

3. การนาเสนอขอมล

การนาเสนออยางไมเปนแบบแผน เชน

- การนาเสนอในรปขอความ คอ การนาขอมลมาเสนอเปนสวนหนงของขอความ

- การนาเสนอในรปกงตาราง คอ การนาเสนอขอมลโดยแยกตวเลขออกจากขอความ

การนาเสนอขอมลอยางเปนแบบแผน เชน

- การนาเสนอดวยตาราง แผนภม หรอ แผนภาพ กราฟเสน

4. การวเคราะหขอมลเบองตน

- ตารางแจกแจงความถ

- ฮสโตแกรม

- รปหลายเหลยมของความถ

- เสนโคงความถ

- เสนโคงความถสะสม



สญลกษณแทนการบวก ( ∑ อานวา ซกมา)

สมบตของ ∑

คากลางของขอมล

คากลางของขอมล ขอมลไมแจกแจงความถ ขอมลแจกแจงความถ

1) คาเฉลยเลขคณต (��𝑎)

• คาเฉลยเลขคณต

• คาเฉลยเลขคณตแบบถวง

นาหนก

• คาเฉลยเลขคณตรวม

��𝑎 =∑𝑎𝑎𝑁𝑁

��𝑎 =𝑤𝑤1𝑎𝑎1 + 𝑤𝑤2𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑤𝑤𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑤𝑤1 + 𝑤𝑤2 + ⋯+ 𝑤𝑤𝑛𝑛

��𝑎 =𝑁𝑁1𝑎𝑎1 + 𝑁𝑁2𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑁𝑁1 + 𝑁𝑁2 + ⋯+ 𝑁𝑁𝑛𝑛

��𝑎 =∑𝑓𝑓𝑎𝑎𝑁𝑁

หรอ ��𝑎 = 𝐴𝐴 + �∑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑁𝑁� 𝐼𝐼

-

-

2) มธยฐาน (Median = Med.)

1) เรยงขอมลจากนอยไปหามาก

2) ขอมลทอยตรงกลางคอ มธยฐาน 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑑𝑑. = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁2 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿𝑓𝑓𝑚𝑚

� 𝐼𝐼

3) ฐานนยม (Mode = Mo.) ขอมลทซากนมากทสด คอ ฐานนยม 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝐿𝐿 + �𝑑𝑑1

𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2� 𝐼𝐼

4) คากงกลางพสย (Mid - range)

𝑀𝑀𝑠𝑠𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑔𝑔𝑒𝑒 =

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠𝑛𝑛2

𝑀𝑀𝑠𝑠𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑔𝑔𝑒𝑒 =ขอบบน + ขอบลาง

2

5) คาเฉลยฮารโมนก

(Harmonic Mean = H.M.)

𝐻𝐻.𝑀𝑀. =𝑁𝑁

1𝑎𝑎1

+ 1𝑎𝑎2

+ ⋯+ 1𝑎𝑎𝑁𝑁

-

6) คาเฉลยเรขาคณต (Geometric

Mean = G.M.)

𝐺𝐺.𝑀𝑀. = �𝑎𝑎1 ∙ 𝑎𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁 -

∑∑∑===

−=−N

ii

N

ii

N

iii yxyx

111)(.4

cNcccccN

N

i=++++=∑

= ....1

1

∑∑==

=N

ii

N

ii xccx

11.2

∑ ∑∑= ==

+=+N

i

N

iii

N

iii yxyx

1 11)(.3

(ดงคาคงทไปอยหนา ∑ ได)

(∑ ผลบวก สามารถกระจายได)

(∑ ผลลบ สามารถกระจายได)



การวดตาแหนงทของขอมล

การวดตาแหนงทของขอมล ขอมลไมแจกแจงความถ ขอมลแจกแจงความถ

1) ควอไทล(แบง 4 สวน)

1)เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก

2)หาตาแหนง สตร

3)เทยบคะแนนจาก

คะแนน = คาของขอมลทตรงกบตาแหนง

+ (เศษ x ชวงหางของขอมล)

1)สรางชองความถสะสมของขอมลท

กาหนดให


3)เทยบคะแนน สตร

𝑄𝑄𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁𝑟𝑟4 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿𝑓𝑓𝑚𝑚

� 𝐼𝐼

2) เดไซล (แบง 10 สวน)

1)เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก

2) หาตาแหนง สตร








𝐷𝐷𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁𝑟𝑟10 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑚𝑚� 𝐼𝐼

3) เปอรเซนไทล (แบง 100 สวน) 1)เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก

2) หาตาแหนง สตร








𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁𝑟𝑟100 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑚𝑚� 𝐼𝐼

เมอ 𝐿𝐿 คอ ขอบลางของชนท Qr, Dr, Pr อย

∑𝑓𝑓𝐿𝐿 คอ ความถสะสมของชนทอยกอนจะถงชนท Qr, Dr, Pr อย

𝑓𝑓𝑚𝑚 คอ ความถของอนตรภาคชนท Qr, Dr, Pr อย

𝐼𝐼 คอ ความกวางของอนตรภาคชนท Qr, Dr, Pr อย

𝑛𝑛 คอ จานวนขอมลทงหมด

rNQr ×+

=4

)1(

rNDr ×+

=10

)1(

rNPr ×+

=100

)1(

rNQr ×=4

rNDr ×=10

rNPr ×=100



การวดการกระจายของขอมล

การวดการกระจายสมบรณ การวดการกระจายสมพทธ

1) พสย

( ขอมลไมแจกแจงความถ) พสย

( ขอมลแจกแจงความถ) พสย = ขอบบนชนสงสด – ขอบลางชนตาสด

1) สมประสทธของพสย

2) สวนเบยงเบนควอไทล

2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล

3) สวนเบยงเบนเฉลยสวนเบยงเบนเฉลย

( ขอมลไมแจกแจงความถ)

( ขอมลแจกแจงความถ)

3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน

( ขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ

( ขอมลแจกแจงความถ)

หรอ

4) สมประสทธของการแปรผน

ความแปรปรวน (𝑆𝑆2)

1) ความแปรปรวน

( )22222

2 )(x

Nx

Nx

Nx

Nxx

S −=

−=

−= ∑∑∑∑

2) ความแปรปรวนรวม 2

21

21

21

22

21

++

−++

= ∑ ∑∑ ∑NN

xxNN

xx

minmax xx −=minmax

minmax

xxxx

+−

=

2.. 13 QQDQ −=

13

13

QQQQ

+−

=

N

xxDM i∑ −=.

N

xxfDM

i∑ −=.

N

xxDS

N

ii∑

=

−= 1

2)(..

22

..

−= ∑∑

Nx

Nx

DS

N

xxfDS

N

iii∑

=

−= 1

2)(..

22

..

−= ∑∑

Nfx

Nfx

DS

xDM ..

=

xDS ..

=



º··Õè 15 ¡ÒÃá¨§á¨¡»¡µÔ áÅÐ º··Õè 16 ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�àªÔ§¿˜§¡�ªÑ¹ÃÐËÇ‹Ò§¢ŒÍÁÙÅ คามาตรฐาน

สญลกษณ เขยนแทนดวย z สตร 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎𝑠𝑠−𝑎𝑎𝑆𝑆𝐷𝐷 .

สมบตของคามาตรฐาน

1. ผลรวมของคามาตรฐานทกคา จะเทากบ 0 ( ∑𝑧𝑧 = 0)

2. คาเฉลยเลขคณตของคามาตรฐาน เทากบ 0 ( 𝑧𝑧 = 0) 3. สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคามาตรฐานเทากบ 1

4. ผลรวมของกาลงสองของคามาตรฐานของทกคาของขอมลเทากบจานวนขอมลนน (∑𝑧𝑧2 = 𝑁𝑁)

5. ถาขอมลมการแจกแจงแบบเสนโคงปกต คามาตรฐานจะมคาประมาณ -3 ถง +3 แตบางกรณอาจมคามากกวา +3

หรอนอยกวา -3 บางเลกนอย

โคงปกต

1) คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม จะมคาเทากนและมตาแหนงอยตรงกลาง

2) พนทใตเสนโคงปกตมคาเทากบ 1 เสมอ หรอ 100%

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

รปสมการทตองใช



º··Õè 17 ÅíÒ´ÑºÍ¹Ñ¹µ�áÅÐÍ¹Ø¡ÃÁÍ¹Ñ¹µ� ลาดบ

1) ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตางของพจนท n+1 กบพจนท n เปนคาคงตว

พจนทวไป dnaan )1(1 −+= เมอ d คอ ผลตางรวม, 𝑎𝑎1 คอ พจนท 1

2) ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n+1 ตอพจนท n เปนคาคงตว

พจนทวไป 11

−= nn raa เมอ r คอ อตราสวนรวม, 𝑎𝑎1 คอ พจนท 1

อนกรม

1) สญลกษณแทนการบวก ( ∑ อานวา ซกมา )

สมบตของ ∑

2) อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series)

สตรผลบวก [ ]dnanSn )1(22 1 −+= หรอ [ ]nn aanS += 12

ม 2 สตร ตองจาไดเลอกใชตามสะดวกเลยจา

3) อนกรมเรขาคณต (Geometric Series)

สตรผลบวก 1

)1(1

)1( 11

−−

=−−

=rra

rraS

nn

n

∑∑∑===

−=−N

ii

N

ii

N

iii yxyx

111)(.4

cNcccccN

N

i=++++=∑

= ....1

1

∑∑==

=N

ii

N

ii xccx

11.2

∑ ∑∑= ==

+=+N

i

N

iii

N

iii yxyx

1 11)(.3

(ดงคาคงทไปอยหนา ∑ ได)

(∑ ผลบวก สามารถกระจายได)

(∑ ผลลบ สามารถกระจายได)

2)1(...321.5

1

+=++++=∑

=

nnnin

i

6)12)(1(...321.6 2222

1

2 ++=++++=∑

=

nnnnin

i

22

1

3333

1

3

2)1(...321.7

+

=

=++++= ∑∑

==

nninin

i

n

i



ลมตของลาดบ

1) สญลกษณ Lann=

∞→lim

2) ถา an มคาไมเขาใกลเลขใดเลขหนงหรอมคาเขาใกลหรอเทากบเลขใดๆ 2 จานวนขนไป แสดงวาลาดบนนไมมลมต

3) ลาดบอนนตทมลมต เรยก ลาดบคอนเวอรเจนต

4) ลาดบอนนตทไมมลมต เรยก ลาดบไดเวอรเจนต

ทฤษฎของลมต

ให c เปนคาคงท และ ถา Aann=

∞→lim และ Bbnn

=∞→

lim แลว

วธลดหาลมตของลาดบ

ลาดบอนนตทมพจนท n อยในรปเศษสวนของพหนาม ใหหาโดยนากาลงสงสดของพหนามของเศษกบสวน

มาเปรยบเทยบกน ตามน

ถากาลงของเศษ นอยกวา กาลงของสวน∴ จะได ลมต = 0

ถากาลงของเศษ เทากบ กาลงของสวน ∴ จะได ลมต = ส.ป.ส.ของพจนทมกาลงสงสดของเศษหารดวยของสวน

ถากาลงของเศษ มากกวา กาลงของสวน ∴ ไมมลมต

ลาดบอนนตทมพจนท n อยในรปเอกซโพเนนเชยลซงมฐานเปนเศษสวน คอ n

n baa

= จะได

ถาเศษ นอยกวา สวน (a < b) ∴ จะได ลมต = 0

ถาเศษ เทากบ สวน (a = b) ∴ จะได ลมต = 1

ถาเศษ มากกวา สวน (a > b) ∴ ไมมลมต

การหาผลบวกของอนกรมอนนต

1) อนกรมอนนตทหาผลบวกได เรยก อนกรมคอนเวอรเจนต(Convergent Series)

2) อนกรมอนนตทหาผลบวกไมได เรยก อนกรมไดเวอรเจนต(Divergent Series)

3) อนกรมอนนตเลขคณต เปนอนกรมทไมมผลบวก ยกเวน อนกรมในรป 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0

4) อนกรมอนนตเรขาคณต สตร จะหาได เมอ 1<r

ccn

=∞→

lim.1

cAacca nnnn==

∞→∞→limlim.2

( ) BAbaba nnnnnnn+=+=+

∞→∞→∞→limlimlim.3

( ) BAbaba nnnnnnn−=−=−


( ) ABbaba nnnnnnn=⋅=⋅


0;lim

limlim.6 ≠==

∞→

∞→

∞→B

BA

b

a

ba

nn

nn

n

n

n

( ) ( ) kknn

knn

Aaa ==∞→∞→

limlim.7

Aaa nnnn==


Aaa nnnn==


raS−

=∞ 1



º··Õè 18 á¤Å¤ÙÅÑÊàº×éÍ§µŒ¹ ลมตของฟงกชน

1) ลมตทางซาย

x เขาใกล a ทางดานซาย สญลกษณ (x < a)

สญลกษณของ ลมตทางซาย )(lim xfax −→

2) ลมตทางขวา

x เขาใกล a ทางดานซาย สญลกษณ (x > a)

สญลกษณของ ลมตทางซาย )(lim xfax +→

3) ถาใชสญลกษณ x→a หมายถง x เขาใกล a ทงซายและขวา สญลกษณ )(lim xfax→

4) ฟงกชนจะมลมตเมอ x มคาเขาใกล a ไดกตอเมอ ลมตซาย = ลมตขวา

ทฤษฎของลมต

ให c เปนคาคงท และ ถา Aann=

∞→lim และ Bbnn

=∞→

lim แลว

5) วธการหาลมตของฟงกชน สามารถทาได 3 แบบ คอ

• โดยการแทนคา

• โดยการแยกตวประกอบ

• โดยการคณดวยสงยค

ความตอเนองของฟงกชน

ฟงกชน f(x) จะมความตอเนองทจดซง x = a เมอฟงกชนนนมคณสมบต 3 ขอ ดงน

1. f(a) หาคาได

2. )(lim xfax→

หาคาได

3. f(a) )(lim xfax→

=

−→ ax

+→ ax

ccn

=∞→

lim.1

cAacca nnnn==


( ) BAbaba nnnnnnn+=+=+


( ) BAbaba nnnnnnn−=−=−


( ) ABbaba nnnnnnn=⋅=⋅


0;lim

limlim.6 ≠==

∞→

∞→

∞→B

BA

b

a

ba

nn

nn

n

n

n

( ) ( ) kknn

knn

Aaa ==∞→∞→

limlim.7

Aaa nnnn==


Aaa nnnn==




อตราการเปลยนแปลง 1) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h

คอ h

xfhxfxx

xfxfxxyy

xy )()()()(

12

12

12

12 −+=

−−

=−−

=∆∆

2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ท x ใดๆ

คอ h

xfhxfxxyy

xy

hhh

)()(limlimlim0

12

12

00

−+=

−−

=∆∆

→→→

อนพนธของฟงกชน

หาอนพนธโดยใชสตร

dxduun

dxdu n

n1.9 −⋅=

อนพนธอนดบสง

หมายถง การหาอนพนธของฟงกชน y = f(x) มากกวา 1 ครง เรยกวา อนพนธอนดบหนง, อนพนธอนดบสอง,

อนพนธอนดบสาม เชนนไปเรอยๆ

อนพนธของ Implicit Function

Implicit Function เปนฟงกชนทไมสามารถบอกไดวา ตวแปรใดเปนตวแปรอสระ

ซงฟงกชนจะอยในรป

0.1 =Cdxd

1.2 =xdxd

)]([)]([.3 xfdxdCxCf

dxd

=

1.4 −⋅= nn xnxdxd

[ ] )]([)]([)()(.5 xgdxdxf

dxdxgxf

dxd

+=+

[ ] )]([)]([)()(.6 xgdxdxf

dxdxgxf

dxd

−=−

[ ] )]([)()]([)()()(.7 xgdxdxfxf

dxdxgxgxf

dxd

+=⋅

2)]([

)]([)()]([)(

)()(.8

xg

xgdxdxfxf

dxdxg

xgxf

dxd −

=

cyxf =),(



ความชนของเสนโคง ณ จดใดๆ

จากฟงกชน y = f(x) เปนสมการของเสนโคง จะได

1) ความชนของเสนโคงทจด (x,y) ใดๆ )(xfdxdym ′===

2) สตรการสรางสมการเสนตรง คอ )( 11 xxmyy −=−

3) เสนตรงทขนานกนมความชนเทากน )( 21 mm =

4) เสนตรงทต งฉากกน ความชนคณกนไดเทากบ -1 )1( 21 −=⋅mm

คาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธ

1) หาโดยใชวธทใชฟงกชนเพม ฟงกชนลด หรอใชอนพนธอนดบท 2 กได

ความเรวและความเรง

สตรเกยวกบความเรวและความเรง

ให S = f(t) เปนสมการเคลอนท จะได

1) ความเรวขณะเวลา t h

tfhtftfdtdsv

h

)()(lim)(0

−+=′===

→

2) ความเรงขณะเวลา t )(tfdtdva ′′===

3) ความเรวเฉลยในชวงเวลา t1 ถง t2 12

12 )()(tt

tftf−−

=

4) อตราเรว ขณะเวลา t =

5) อตราเรง ขณะเวลา t =

6) อตราเรวเฉลย ในชวงเวลา t1 ถง t2 12

12 )()(tt

tftf−−

=

7) ดฟระยะทางไดความเรว ดฟความเรวไดความเรง

การอนทเกรต

สตรการอนทเกรต

ckxkdx +=∫)1

1;1

)21

−≠++

=+

∫ ncnxdxx

nn

∫∫ = dxxfkdxxkf )()()3

∫∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([)4

อนทกรลจากดเขต

สตร b

a

b

a

xFaFbFdxxf )()()()( =−=∫

v

a



การหาพนททปดลอมดวยเสนโคง

1) f(x) ≥ 0 สาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a , b] แลว A เปนพนทเหนอแกน x และ ∫=b

a

dxxfA )(

2) f(x) ≤0 สาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a , b] แลว A เปนพนทใตแกน x และ ∫−=b

a

dxxfA )(



º··Õè 19 ¡íÒË¹´¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹

วธเขยนกราฟของอสมการเชงเสน

1) วธเขยนกราฟของอสมการเชงเสน

ขนท 1 เปลยนอสมการเชงเสนใหเปนสมการเชงเสน

ขนท 2 เขยนกราฟของสมการเชงเสนเรยกเสนตรง L

ขนท 3 จดรปอสมการใหมเพอดวาสวนใดคอพนททตองการ

2) ตวแบบทางคณตศาสตรของกาหนดการเชงเสน ประกอบดวย

2.1 ฟงกชนเชงเสน หรอ สมการเสนตรง เรยกวา สมการจดประสงค

เชน ฟงกชนทเกยวกบผลกาไรมากทสด ฟงกชนทเกยวกบตนทนทนอยทสด สมการจดประสงคจะนามาใช

คานวณหาคาสงสด หรอคาตาสดของสงทตองการ

2.2 เงอนไขบงคบเรยกวา อสมการขอจากด

เปนอสมการ หรอ สมการทเปนเงอนไขทกาหนดให

เชน x + 3y < 9

x ≥ 0

y ≥ 0

3) การแกปญหาโจทยกาหนดการเชงเสน

มขนตอน ดงน

ขนท สมมตตวแปรทใชในฟงกชนเปาหมาย

ขนท สรางฟงกชนเปาหมาย หรอ ฟงกชนจดประสงค ใหสอดคลองกบสงทโจทยตองการ

ขนท สรางเงอนไขบงคบ หรอ ขอจากด ตามขอมลทโจทยสง

ขนท เขยนกราฟตามเงอนไข จะไดเซตของจด (x,y) ในบรเวณทแรเงา

เรยกวา คาตอบทเปนไปได

ขนท หาพกดของ (x,y) ทเปนจดมมของกราฟแลวนาแตละจดไปหา

คาทเปนคาสงสด หรอ ตาสดตามตองการ

[สรุปสูตร]...

Documents