5.1 函数的概念

5.2 逆函数和复合函数

5.3 集合的基数

5.1 函数的概念

5.1.1 函数的定义

5.1.2 函数的性质

5.1.1 函数的定义 定义 5.1 设 A 和 B 为集合， fA×B ，若对任意的 x A∈ ，都存在惟一的 y B∈ 使得 xfy

( 或 <x ， y> f)∈ 成立，则称 f 为从 A 到 B 的函数或映射，记作 f ： A→B 。若 xfy ，可记作 f ：x→y 或 f(x) ＝ y 。 y 称为 x 在 f 下的像， x 称为y 在 f 下的原像。

函数与关系的区别在于：函数的定义域为 A，而关系不一定是；函数要求 A中每个元素只对应一个像，而关系则可以一个元素对应多个像。

因而，一个关系 f是函数，则 f应满足： (1)Df ＝ A。

(2) 若 f(a) ＝ b1 且 f(a) ＝ b2 ，则 b1 ＝ b2 。即函数

具有单值性。 由于函数的单值性是不能倒过来的，因而，函数的逆关系不一定是函数。

定义 5.2 设 f 和 g 是 A 到 B 的函数，若对任意的 x A∈ 都有 f(x) ＝ g(x) ，则称函数 f 和g 相等，记为 f ＝ g 。

例 1 设 A＝ {1 ， 2 ， 3} ， f＝ {<1 ， 1> ， <2 ，1> ， <3 ， 2>} ， g＝ {<1 ， 2> ， <2 ， 3> ， <3 ， 1> ， <3 ， 2>} ， h＝ {<1 ， 2> ， <2 ， 3>} ，判断 f、g和 h是否为 A到 A的函数。因为 Df ＝ A且 f具有单值性，所以 f是函

数。

定义 5.3 对集合 A 和 B ，从 A 到 B 的所有函数的集合记为 BA ，即 BA ＝ {f|f： A→

B} 。

解

对于 g，因为 <3 ， 1>∈g且 <3 ， 2>∈g，所以 g

不具有单值性，因而 g不是函数。对于关系 h， Dh ＝ {1 ， 2}≠A，所以 h不是函数。

定理 5.1 若 A 和 B 是有限集合， |A| ＝ m ，|B| ＝ n ，则 |BA| ＝ nm 。

设 A＝ {a1 ， a2 ，…， a

m}证明

则 Df ＝ Af＝ {<a1 ， f(a1)> ， <a2 ， f(a2)> ，…， <am ， f(am)>}

f是 A到 B的任意函数

因为每个 f(ai) 有 n种可能所以 A到 B的不同函数共有 nm

个。

例 2 设 A＝ {1 ， 2 ， 3} ， B＝ {a， b} ，求从 A到 B的所有函数。

因为 |A| ＝ 3 ， |B| ＝ 2 ，所以从 A到 B共有 8个函数：

解f1 ＝ {<1 ， a> ， <2 ， a> ， <3 ， a>}f2 ＝ {<1 ， a> ， <2 ， a> ，<3 ， b>}f3 ＝ {<1 ， a> ， <2 ， b> ，<3 ， a>}f4 ＝ {<1 ， a> ， <2 ， b> ，<3 ， b>}f5 ＝ {<1 ， b> ， <2 ， a> ， <3 ， a>}f6 ＝ {<1 ， b> ， <2 ， a> ， <3 ， b>}f7 ＝ {<1 ， b> ， <2 ， b> ，<3 ， a>}f8 ＝ {<1 ， b> ， <2 ， b> ， <3 ，b>}

定义 5.4 设 f 是 A 到 B 的函数， A1A ，

B1B ，称 f(A1) ＝ {f(x)|x A∈ 1} 为 A1 在 f下的

像，称 f － 1(B1) ＝ {x|x A∈ ∧f(x) B∈ 1} 为 B1 在 f

下的完全原像。例如，设 A＝ {1 ， 2 ， 3} ， B＝ {a， b， c，

d} ， f是 A到 B的函数，且 f＝ {<1 ， a> ， <2 ， c> ，<3 ， c>} 。令 S＝ {1 ， 3} ， T＝ {a， c} ，则 f(S)＝ {a， c} ， f － 1(T) ＝ {1 ， 2 ， 3} 。

定理 5.2 设 f 是 A 到 B 的函数， A1 、 A2

A ， B1 、 B2B ，则：

(1)f(A1 A∪ 2) ＝ f(A1)∪f(A2)

(2)f(A1∩A2)f(A1)∩f(A2)

(3)f(A1 － A2)f(A1) － f(A2)

(4)f － 1(B1 B∪ 2) ＝ f － 1(B1)∪f － 1(B2)

(5)f － 1(B1∩B2) ＝ f － 1(B1)∩f － 1(B2)

(6)f － 1(B1 － B2) ＝ f － 1(B1) － f － 1(B2)

(7)A1f － 1(f(A1))

(8)f(f － 1(B1))B1

证明 仅证 (2) 。

对任意的 y∈f(A1∩A2) ，存在 x∈A1∩A2 使得 f(x)

＝ y，则有 x∈A1 且 f(x) ＝ y， x∈A2 且 f(x) ＝ y，于

是 y∈f(A1) 且 y∈f(A2) ，即有 y∈f(A1)∩f(A2) ，所以 f

(A1∩A2)f(A1)∩f(A2) 。

下面通过一个例子说明 (2) 中等号不一定成立。

例如， A＝ {1 ， 2} ， B＝ {a} ， f： A→B， f

(1) ＝ f(2) ＝ a，取 A1 ＝ {1} ， A2 ＝ {2} ，则 A1∩A2

＝，从而 f(A1∩A2) ＝，但 f(A1)∩f(A2) ＝ {a} 。

5.1.2 函数的性质 定义 5.5 设 f是 A到 B的函数 (1) 若 Rf＝ B(或 f(A) ＝ B) ，则称 f是 A到 B的满射 (或到上的映射 )； (2) 若对任意的 x1 、 x2∈A， x1≠x2 ，都有 f(x1)≠f(x2) ，则称 f是 A到 B的单射 (或入射 )； (3) 若 f既是满射又是单射，则称 f是 A到 B的双射。 特别地，： B是单射，：是双射。

由定义可得：

(1)f： A→B是满射对任意的 y∈B，存在 x∈A，使 f(x) ＝ y。 (2)f： A→B是单射对任意的 x1 、 x2∈A，若 x1

≠x2 ，则有 f(x1)≠f(x2) 对任意的 x1 、 x2∈A，若 f(x

1) ＝ f(x2) ，则有 x1 ＝ x2 。例 3 判断下列函数是否为单射、满射或双射？(1)f： {1 ， 2}→{0} ， f(1) ＝ f(2) ＝ 0 。(2)f： N→N， f(x) ＝ 2x。(3)f： Z→Z， f(x) ＝ x＋ 1 。

(1) 因为 Rf ＝ {0} ，所以 f是满射。由于 f(1) ＝ f

(2) ，但 1≠2 ，所以 f不是单射。

解

(2) 对任意的 x1 、 x2∈N，若 x1≠x2 ，则 2x1≠2x2 ，

于是有 f(x1)≠f(x2) ，所以 f是单射。因为 1∈N没有原

像，所以 f不是满射。(3) 对任意的 x1 、 x2∈Z，若 x1≠x2 ，则 x1 ＋ 1

≠x2 ＋ 1 ，于是有 f(x1)≠f(x2) ，所以 f是单射。

对任意的 y∈Z，令 x＝ y－ 1 ，则 x∈Z，且有

f(x) ＝ x＋ 1 ＝ y，所以 f是满射。故 f是双射。

一般情况下，一个函数是满射和单射之间没有必

然的联系，但当 A和 B都是有限集时，则有如下的定

理。定理 5.3 设 f是 A到 B的函数， A和 B是有限集合，且 |A| ＝ |B| ，则 f是单射当且仅当 f是满射。证明 若 f是单射，则 |A| ＝ |f(A)| 。再由 |A| ＝ |B|

得 |f(A)| ＝ |B| 。从 f的定义知 f(A)B，而 |f(A)|＝ |B| ，又因为 |B| 是有限的，从而 f(A) ＝ B，所以 f是满射。

若 f是满射，则 f(A) ＝ B，于是 |A| ＝ |B| ＝ |f(A)| 。因为 |A| ＝ |f(A)| 和 |A| 是有限的，所以 f是单射

需要说明的是，定理 5.3 在无限集合上不成立。例如，令 f： Z→Z， f(x) ＝ 2x，则 f是单射但不是满射。

5.2 逆函数和复合函数

5.2.1 逆函数

5.2.2 复合函数

5.2.3 几种特殊的函数

5.2.1 逆函数 任何关系都存在逆关系，一个关系的逆关系不一定是函数，一个函数的逆关系也不一定是函数。例如，设 A＝ {a， b， c} ， f＝ {<a， c> ， <b， c> ， <

c， a>} ， g＝ {<a， b> ， <a， c> ， <a， a>} ，则 f是函数但 f的逆关系 f － 1 不是函数， g不是函数但 g的逆关系 g － 1 是函数。但当 f是双射时，则可以证明 f － 1 是函数。 定理 5.4 若 f： A→B是双射，则 f － 1

是 B到 A的函数。

对任意的 y∈B，因为 f： A→B是双射，即 f：A→B是满射，则存在 x∈A使得 <x， y>∈f，由逆关系的定义有 <y， x>∈f － 1 ，所以 Df

-1 ＝ B。对任意的 y∈B，若存在 x1 、 x2∈A，使得 <y，

x1>∈f － 1 且 <y， x2>∈f － 1 ，则由逆关系的定义有 <

x1 ， y>∈f且 <x2 ， y>∈f。而 f： A→B是双射，即

f： A→B是单射，所以 x1 ＝ x2 。因此， f － 1 具有单

值性。综上可得， f － 1 是 B到 A的函数。

证明

定义 5.6 设 f： A→B是双射，则称 f －

1 ： B→A为 f的逆函数 (或反函数 )。例如，设 A＝ {1 ， 2 ， 3} ， B＝ {a， b， c} ，

f： A→B为 f＝ {<1 ， a> ， <2 ， c> ， <3 ， b>} ，则 f的逆函数 f － 1 ： B→A为 f － 1 ＝ {<a， 1> ， <c，2> ， <b， 3>} 。

定理 5.5 若 f： A→B是双射，则 f － 1 ：B→A是双射。

因为 f： A→B是双射，则由定理 5.4 可知 f － 1

是 B到 A的函数。下证 f － 1 是双射。

证明

对任意 x∈A，必存在 y∈B使 f(x)＝ y，从而 f －

1(y) ＝ x，所以 f － 1 是满射。对任意的 y1 、 y2∈B，若 f － 1(y1) ＝ f － 1(y2) ＝ x，

则 f(x)＝ y1 ， f(x)＝ y2 。因为 f： A→B是函数，则

y1 ＝ y2 。所以 f － 1 是单射。

综上可得， f － 1 ： B→A是双射。

5.2.2 函数的复合 定义 5.7 设 f： A→B， g： B→C，则 f和 g的复合关系是 A到 C的函数，记为 gf ：A→C，称 gf 为函数 f和 g的复合函数，简记为 gf。即有 gf ＝ f*g 。 复合函数之所以采用这样的记法，是为了便于函数进行“复合运算”，这样的记法使得 gf(x) ＝ g(f(x)) 。 例 1 设 A＝ {1 ， 2 ， 3} ， f＝ {<1 ， 1> ， <2 ，3> ， <3 ， 1>} 和 g＝ {<1 ， 1> ， <2 ， 2> ， <3 ，2>} 是 A上的函数，求 fg和 gf。

fg＝ {<1 ， 1> ， <2 ， 3> ， <3 ，3>}gf＝ {<1 ， 1> ， <2 ， 2> ， <3 ，1>} 易知， fg和 gf都是 A到 A的函数。

解

定理 5.6 设函数 g： A→B， f： B→C，则：(1)fg 是 A到 C的函数；(2) 对任意的 x∈A，有 fg(x) ＝ f(g(x)) 。证

明 (1) 对任意的 x∈A，因为 g： A→B是函数，则存在 y∈B使 <x， y>∈g。对于 y∈B，因 f： B→C是函数，则存在 z∈C使 <y， z>∈f。

根据复合关系的定义，由 <x， y>∈g和 <y， z>∈f得 <x， z>∈g*f，即 <x， z>∈fg。所以 Dfg ＝ A。

对任意的 x∈A，若存在 y1 、 y2∈C，使得 <x，

y1> 、 <x， y2>∈fg＝ g*f，则存在 t1 使得 <x， t1>

∈g且 <t1 ， y1>∈f，存在 t2 使得 <x， t2>∈g且 <t2 ，

y2>∈f。因为 g： A→B是函数，则 t1 ＝ t2 。又因 f：

B→C是函数，则 y1 ＝ y2 。所以 A中的每个元素对应

C中惟一的元素。综上可知， fg是 A到 C的函数。

(2) 对任意的 x∈A，由 g： A→B是函数，有 <x，g(x)>∈g且 g(x)∈B，又由 f： B→C是函数，得 <g(x) ， f(g(x))>∈f，于是 <x， f(g(x))>∈g*f＝ fg。又因 fg是 A到 C的函数，则可写为 fg(x) ＝ f(g(x)) 。

定义 5.8 设函数 IX ： X→X满足 IX(x) ＝

x，则称 IX 为 X上的恒等函数。定理 5.7 若函数 f： A→B是双射，则对

任意 x∈A，有 f － 1(f(x)) ＝ x，对任意的 y∈B，有 f(f － 1(y)) ＝ y。 (即 f － 1f ＝ IA ，

ff － 1 ＝ IB)

对任意的 x∈A，因为 f： A→B是函数，则 <x，f(x)>∈f，于是 <f(x) ， x)∈f － 1 。由定理 5.4 知， f－ 1 是 B到 A的函数，于是可写为 f － 1(f(x)) ＝ x。定理 5.8 若函数 g： A→B和 f： B→C是

双射，则 fg ： A→C是双射。

证明

证明

对任意的 z∈C，由 f： B→C是双射，即 f：B→C是满射，则存在 y∈B使 f(y) ＝ z。对于 y∈B，由 g： A→B是双射，即 g： A→B是满射，则存在 x∈A使 g(x) ＝ y，于是有 fg(x) ＝ f(g(x)) ＝ z。所以 fg是满射。

对任意的 x1 、 x2∈A ，若 x1≠x2 ，由 g ： A→B是双射，即 g： A→B是单射，则 g(x1)≠g(x2) ，又由f： B→C是双射，即 f： B→C是单射，则 f(g(x1))≠f(g(x2)) ，于是 fg(x1)≠fg(x2) 。所以 fg是单射。

定理 5.9 若函数 g ： A→B 和 f ： B→C 是双射，则 (fg) － 1 ＝ g － 1f － 1 。

综上可知， fg是双射。

因为 g： A→B和 f： B→C是双射，由定理 5.6 、定理 5.8 和定理 5.5 知， (fg) － 1 和 g － 1f － 1

都是 C到 A的双射。

证明

因为 <x， y>∈g － 1f － 1z(<x， z>∈f － 1∧<z，y>∈g － 1)z(<y， z>∈g∧<z， x>∈f)<y， x>∈fg<x， y>∈(fg) － 1 ，所以 (fg) － 1 ＝ g － 1f － 1 。

定理 5.10 设函数 f： A→B， g： B→C，h： C→D，则 h(gf) ＝ (hg)f

对任意的 a∈A，有 h(gf)(a) ＝ h(gf(a)) ＝h(g(f(a))) ＝ (hg)f(a) ，所以 h(gf) ＝ (hg)f。

证明

因为 f： A→B， g： B→C， h： C→D，由定理 5.5 知， h(gf) 和 (hg)f都是 A到 D的函数。。

定理 5.11 设函数 g： A→B， f： B→C，

(1) 若 f、 g是满射，则 fg 是满射。(2) 若 f、 g是单射，则 fg 是单射。(3) 若 f、 g是双射，则 fg 是双射。

因为 g： A→B， f： B→C，由定理 5.5 知，fg为 A到 C的函数。

证明

(1) 对任意的 z∈C，因 f： B→C是满射，则存在 y∈B使 f(y) ＝ z。对 y∈B，因 g： A→B是满射，则存在 x∈A使 g(x) ＝ y。于是有 (fg)(x)＝ f(g(x)) ＝ f(y) ＝ z。所以 fg： A→C是满射。

(2) 对任意的 x1 、 x2∈A， x1≠x2 ，由 g： A→B是单射，得 g(x1)≠g(x2) 。再由 f： B→C是单射，得f(g(x1))≠f(g(x2)) ，于是有 fg(x1)≠fg(x2) 。所以 fg是单射。

定理 5.12 设函数 g： A→B， f： B→C，

(1) 若 fg 是满射，则 f是满射。(2) 若 fg 是单射，则 g是单射。(3) 若 fg 是双射，则 f是满射， g是单

射。

(3) 由 (1) 、 (2) 得证。

因为 g： A→B， f： B→C，由定理 5.5 知， f

g为 A到 C的函数。

(2) 对任意的 x1 、 x2∈A ，若 x1≠x2 ，则由 fg 是单射得 fg(x1)≠fg(x2) ，于是 f(g(x1))≠f(g(x2)) ，必有g(x1)≠g(x2) 。所以， g是单射。

证明

(1) 对任意的 z∈C，因 fg是满射，则存在 x∈A使 fg(x) ＝ z，即 f(g(x)) ＝ z。由 g： A→B可知 g(x)∈B ，于是有 y ＝ g(x)∈B ，使得 f(y) ＝ z 。因此， f

是满射。

(3) 由 (1) 、 (2) 得证。

在定理 5.12 中， fg是满射时 g不一定是满射，fg是单射时， f不一定是单射。

定理 5.13 设函数 f： A→B，则 f＝ fIA

＝ IBf 。

例如，设 A ＝ {a} ， B ＝ {b ， d} ， c ＝ {c} ， g ：A→B ， f ： B→C ， g ＝ {<a ， b>} ， f ＝ {<b ， c> ，<d， c>} 。则 fg＝ {<a， c>} ， fg是双射，但 g不是满射， f不是单射。

5.2.3 几种特殊的函数

定义 5.9 设函数 f： A→B，如果存在一个y∈B，使得对所有的 x∈A有 f(x) ＝ y，则称f为常函数。

定义 5.10 设 R 为实数集，函数 f ： R→R ，若对任意的 x 、 y∈R ，当 x≤y 时， f(x)≤f(y)(f(x)≥f(y)) ，则称 f 为单调递增 ( 递减 ) 的；当 x ＜ y 时， f(x) ＜ f(y)(f(x) ＞ f(y)) ，则称 f为严格单调递增 (递减 )的。

下面给出特征函数的几个重要性质，通过它告诉我们如何利用集合的特征函数来确定集合之间的关系。

(1) ＝ 当且仅当 A＝ B

(2) ＝ ·(3) ＝ ＋ －(4) ＝ 1 －(5) ＝ －

A B

)(xBA )(xA )(xB

)(xBA )(xA )(xB )(xBA

)x(A

)(xA

)(xBA－ )(xA )(xBA

定义 5.11 设 U是全集，对任意的 AU ， A的特征函数定义为：

.0

1)(},1,0{

Aa

AaaU AA ：

因为 ＝ 1 － ＝ 1 － (1 － ) ＝ ，所以 ＝ A。

)x(A

)x(A

)(xA

)(xA A

A

定义 5.12 设函数 f： A→B，若 CA ，则从 C到集合 B的函数称为 f的受限函数，记作f/C 。

例如， f： R→R， f(x) ＝ x2 ， A＝ N，则 f/A＝ f/N＝{<0 ， 0> ， <1 ， 1> ， <2 ， 4> ， <3 ， 9> ，… } 。

例 2 利用集合的特征函数证明 ＝ A。

定义 5.13 设 x为任意实数，用 [x] 表示不超过 x的最大整数，令 f(x) ＝ [x] ，则称 f为高斯 (Gauss) 函数。

5.3 集合的基数

5.3.1 基数的概念

5.3.2 可数集与不可数集

5.3.3 基数的比较

5.3.1 基数的概念定义 5.14 设 A和 B为两个集合，如果 A

和 B之间存在双射，则称 A和 B等势，记作 A≈B。如果 A和 B不等势，记作 A B 。

例 1 验证整数集合 Z和集合 E＝ {2n|n∈Z}} 是等势的。

解 令 f： ZE， f(n) ＝ 2n，易证 f是双射，所以Z和 E等势。

通俗地讲，集合的势是度量集合所含元素多少的量，集合的势越大，所含元素越多。可以证明，等势具有下列性质：

(1) 对于任意集合 A，有 A≈A。(2) 若 A≈B，则 B≈A。

因此，等势关系是等价关系。(3) 若 A≈B， B≈C，则 A≈C。

定义 5.15 若 A与 {0 ， 1，…， n－ 1}之间存在双射，则称 A是有限的；若 A不是有限的，则称它是无限的。

定理 5.14 自然数集合 N是无限的。

设 n 是 N 中的任意元素， f 是从 {0 ， 1 ，…，n－ 1} 到 N的任意一个函数。令 k＝ 1 ＋ max{f(0) ，f(1) ，…， f(n － 1)} ，那么 k∈N ，但对每个 x∈{0 ， 1 ，…， n － 1} ，有 f(x)≠k 。所以， f 不是满射，从而 f 不是双射。因为 n 和 f 是任意的，所以 N是无限的。

证明

定义 5.16 (1) 对于有限集合 A ，与其等势的那个惟一的自然数称为 A 的基数，记为 K[A]( 或 |A|) 。

(2) 自然数集 N的基数记为 0( 读作阿列夫零 )。(3) 实数集 R的基数记为 ( 读作阿列夫 )。例 2 证明 [0 ， 1]≈(0 ， 1) ，且它们的基数为。设集合 A＝ {0 ， 1 ， 1/2 ，…， 1/n，… } ， A

[0 ， 1] 。定义 f ： [0 ， 1](0 ， 1) 使得

证明

Axxxf

nnn

f

f

－对＝

对＝

＝

[0,1])(

1 2

1)

1(

2

1)0(

则 f是双射，所以［ 0 ， 1 ］≈ (0 ，1) 。

令 f： (0 ， 1)R， f(x)=tan( x－ /2) ，则 f

是双射，所以［ 0 ， 1 ］和 (0 ， 1) 的基数都是。

5.3.2 可数集与不可数集 定义 5.17 与自然数集等势的任意集合称

为可数的。与实数集等势的任意集合称为不可数的。

例如， A＝ {1 ， 4 ， 9 ，…， n2 ，… } 、 B＝{1 ， 8 ， 27 ，…， n3 ，… } 和 C＝ {1 ， 1/2 ， 1/3 ，…， 1/n …} 等都是可数集，而 [0 ， 1] 和 (0 ， 1) 等都是不可数集。

定理 5.15 A 为可数集的充要条件是可以排列成 A＝ {a0 ， a1 ，…， an ，… }的形式。

若 A可以排列成上述形式，则将其元素 an 与下标 n对应，得到 A到 N之间的双射，故 A是可数集。

证明

反之，若 A是可数集，那么在 N到 A之间存在双射f，由 f得到 n的对应元素 an ，即有 A＝ {a0 ， a1 ，…，an ，… } 。

定理 5.16 任一无限集，必含有可数子集。设 A为无限集，则 A≠ ，在 A中任取一个

元素记为 a0 ， A－ {a0} 仍为无限集，再在其中取一个元素记为 a1 ，续行此法将得到一个可数子集{a0 ， a1 ，…， an ，… } 。

证明

定理 5.17 任一无限集必与其一真子集等势。

设M为一无限集，则由定理 5.16 可知M含

有可数集 A ＝ {a0 ， a1 ，…， an ，… } ，令 B

＝ M － A 。定义 f ： MM － {a0} ，使得 f(an)

＝ an ＋ 1(n ＝ 0 ， 1 ，… ) ，且对于任意 b∈B，

有 f(b) ＝ b。易证 f是双射，所以结论成立。

证明

定理 5.18 可数集的任何无限子集是可数的。

设 A是可数集， B是 A的无限子集。由定理 5.15 可得 A可以排列成 A＝ {a0 ， a1 ，…，

an ，… } 的形式。在这个序列中，从 a0 开始逐

一检查，将遇到的 B中的第一个元素记为 b0 ，

第二个元素记为 b1 ，因为 B无限，则从 A中

可以得到 B中元素的序列 b0 ， b1 ，…， bn ，

…。所以 B是可数的。

证明

定理 5.20 两两不相交的有限个可数集的并是可数的。

定理 5.21 两两不相交的可数个有限集的并是可数的。

定理 5.22 可数个可数集的并是可数的。定理 5.23 有理数的全体是可数集。定理 5.24 开区间 (0 ， 1) 是不可数的。

定理 5.19 从可数集 A中减去一个有限集M，则 A－ M是可数的。

5.3.3 基数的比较 为了证明两个集合的基数相等，必须构造两个集合之间的双射，这是非常困难的工作。下面将介绍证明基数相等的一些较为简单的方法，为此先说明基数是如何比较大小的。 定义 5.18 若从集合 A到 B存在一个单射，则称 A的基数不大于 B的基数，记为 K[A]≤K[B] 。若从集合 A到 B存在一个单射，但不存在双射，则称 A的基数小于 B的基数，记为 K[A] ＜ K[B] 。

定理 5.25 (Zermelo 定理 )设 A和 B是任意集合，则下列之一成立： (1)K[A] ＜ K[B] ；(2)K[B] ＜ K[A] ； (3)K[A] ＝ K[B] 。

定理 5.26 设 A和 B是任意集合，若 K[A]≤K[B] 且 K[B]≤K[A] ，则 K[A] ＝ K[B] 。

这个定理给证明两个集合基数相等提供了一种有效的方法。如果我们能构造一个单射 f： AB，即说明有 K[A]≤K[B] ，另一方面，如能够构造一个单射 g： BA，即有 K[B]≤K[A] ，因此根据定理 5.26就得到 K[A] ＝ K[B] 。

例 3 证明 [0 ， 1] 和 (0 ， 1) 有相同的基数。令 f： (0 ， 1)[0 ， 1] ， f(x) ＝ x

证明

由 f是单射得 K[(0 ， 1)]≤K[[0 ， 1]] ，由 g是单射得 K[[0 ， 1]]≤K[(0 ， 1)] 。

所以， K[[0 ， 1]] ＝ K[(0 ， 1)]

g： [0 ， 1](0 ， 1) ， g(x) ＝ x/2 ＋ 1/4 。

令 f： {0 ， 1 ， 2 ， …， n－ 1}N， f(x) ＝ x，f是单射，所以 K[A]≤K[N] 。又因为 N和 A之间不存在双射，所以 K[A]＜ K[N] ，即 K[A]＜ 0 。

令 g： N[0 ， 1] ， g(n) ＝ 1/(n＋ 1) ， g是单射，故 0≤ 。又因为 N和 [0 ， 1] 之间不存在双

射，所以 0＜。

定理 5.27 设 A是有限集，则 K[A] ＜ 0 ＜。设 K[A] ＝ n，则 A≈{0 ， 1 ， 2 ， …， n

－ 1} 。证明

定理 5.28 设 A是无限集，则 0≤K[A] 。因为 A是无限集，所以 A必含有一个可数无

限子集 B，作函数 f： BA，使得 f(x) ＝ x，则

f是单射，所以 0≤K[A] 。

证明

定理 5.29 可数个基数为的集合的并的基数仍然为。

定理 5.30 可数集的幂集的基数为。 定理 5.31(Cantor 定理 ) 设 M 是一个集合， T ＝ P(M) ，则 K[M] ＜ K[T] 。

1.掌握函数的概念2.重点掌握单射、满射、双射的证明

本章学习要点

3. 了解集合的基数、可数集、不可数集的概念

4.掌握基数的比较方法5.了解 Fuzzy集、 Rough集、 Vague集的概念

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本章作业( 思考题 )