第８回授業（ 5/29 日）の学習目標

検定と推定は、１つの関係式の見方の違いであることを学ぶ。

第３章の WEB 宿題の説明　　 －宿題の実行期限　平成２１年６月１２日（金） 第３章　四分位数、中央値、四分領域の概念とその意味

を学ぶ。 第４章　中央値、四分領域の求め方、の概要を知る（こ

こまで、終了）。 第３章の再演習（データを一部変えて）を通じて、平

均、分散、標準偏差の計算に習熟し、平均値の区間推定の方法にも慣れる。

標本平均等からの母平均の区間推定　　　の方法の基本的枠組みの復習ー１

先週から今週のここまでの授業では、ある母集団から N 個の標本を手にしたとき、標本平均及び標本標準偏差からつぎの量 t 、すなわち

1/)( 0 N

sxt x

を計算すると、この量 t の値が、つぎの区間に入る確率が、

標本平均等からの母平均の区間推定　　　の方法の基本的枠組みの復習ー２

.122 11

NN tttprob

となることを用いてこの式を変形し、 μ0

について解くと、テキスト p.13 の (3.18) 式となることを利用して、当該標本が得られたもとの母集団の母平均の区間推定の公式が導けることを学んだ。

標本平均等から母平均についての　　ある種の仮説を検討する方法の概要ー１

これに対して、ある母集団から N 個の標本を手にしたとき、標本平均及び標本標準偏差からつぎの量

1/)( 0 N

sxt x

2

,2 11

NN tttt 　　が に入る確率を

考えてみよう。つまり、

自由度 v = N-1 の t- 分布で、　横軸の値 t がこの図の斜線部に入る確率

ｔ Ｎ－１（ α/2)- ｔ Ｎ－１（ α/2)

ｔ

確率

t- 分布裾野の両側の斜線部の合計が　 α

1-α

検定の考え方の概要－１（参考）

上の分布の特徴からは、次式が成り立つ：

.21

/)(

,1

/)(2

10

01

　　 　 　 　 　 　 Nx

xN

tN

sx

N

sxtprob

xこの式を変形し

について解くと、つぎのよう

になる。すなわち、

検定の考え方の概要－２（参考）

.12

,12

10

10

　　 　 　 　 　 　 　 　N

stx

xN

stprob

xN

xN

上式は、データが母平均 μ0 なる母集団からの標本ならば、標本平均が上記の範囲に入る

確率は α % である、ことを意味している。

検定の考え方の概要－３（参考）

ここでの α は、検定の文脈では危険率あるいは有意水準と呼ばれる。

α は、通常、５ % か１ % が選ばれる。 また、「データが母平均 μ0 なる母集団からの標

本である」という言明は、統計的検定の文脈では、帰無仮説と呼ばれ、つぎのように表記される：

00 : 　H

検定の考え方の概要－４（参考）

ところで、危険率 α が５ % の場合、データが母平均 μ0 なる母集団からの標本ならば、標本平均が上記の範囲のような極端な値を取る可能性は、１００回のサンプリングでも５回ぐらいしかないことになる。

万が一、うえの帰無仮説のもとで、このような起こり得そうもないことが起きた場合、我々はその帰無仮説を捨てる。これを、統計学では、帰無仮説を棄却する、という。さもなければ、我々は、

帰無仮説を採択する。これが、検定である。

第３章の WEB 宿題のやり方

つぎに、第３章の WEB 宿題のやり方を、千野のホームページを開いて説明する。

第４章　中央値、四分領域の求め方　　　　　　の授業での学習内容の目標

この章は、データを用いた演習は行わず、四分位数（第１四分位数、第３四分位数）、中央値、四分領域の概念の理解のみを目標にする。

これらの概念の基本となるものは、つぎの図のように、まず数値を小さいものから大きい物へと並び替え、小さい方から順に、全体を２５パーセントづつで区切るという点である。

四分位数と四分領域 Q の関係

２５％ ２５％

２５％

２５％

Q1 Mdn Q3

Q = (Q3-Q1)/2

中央値 (Median) の求め方

中央値の求め方は、「心理統計学 a 」のテキストの p.17 の (4.1) 式の通りである。すなわち、

)1.4(,/)(2

　 　

mmm flcumN

hlMdn

• 　ここで、 lm は、中央値のある階級の下限点、• h は、階級の幅、• cum (lm) は、中央値のある階級より１つ手前までの　 累積度数、• fm は、中央値のある階級の度数

第１四分位数 の求め方

第１四分位数の求め方は、「心理統計学 a 」のテキストの p.17 の (4.2) 式の通りである。すなわち、

)2.4(,/)(4 1111 　 　

QQQ flcumN

hlQ

• 　ここで、 lQ1 は、第１四分位数のある階級の下限点、• h は、階級の幅、• cum (lQ1) は、第１四分位数のある階級より１つ手前　　までの累積度数、• fQ1 は、第１四分位数のある階級の度数

第３四分位数 の求め方

第３四分位数の求め方は、「心理統計学 a 」のテキストの p.17 の (4.3) 式の通りである。すなわち、

)3.4(,/)(4

33333 　 　

QQQ flcumN

hlQ

• 　ここで、 lQ3 は、第３四分位数のある階級の下限点、• h は、階級の幅、• cum (lQ3) は、第３四分位数のある階級より１つ手前　　までの累積度数、• fQ3 は、第３四分位数のある階級の度数

四分領域の求め方

これらにより、中央値 (Mdn) 、第１四分位数 (Q1) 、第３四分位数 (Q3) が求まったならば、テキスト p.16 の下方の公式により、

213 QQ

Q

として、四分領域 (Q) を求めればよい。