第１３回授業 (1/8) の学習目標

第５章平均値の差の検定の復習を行う。

平均値の差の検定の実習をおこなう。

平均値の差の検定の目的

心理学では、検査や実験により得られた得点に、あらかじめ設定した２つの条件間で差が見られるかどうかを検討することがよくある。

例えば、ミラーリエル錯視実験の 30 度３０mm 条件と 30 度４５ mm 条件の２条件間の錯視量に差がみられるであろうか。

あるいは、 30 度３０ mm の条件での錯視量に、男女差は見られるのであろうか。

平均値の差の検定のデータの一般形

例えば、ミラーリエル錯視のある条件下での男子と女子の錯視量がそれぞれ Nx 人、 Ny 人づつ無作為に得られたとすると、２群の標本は、一般的には、それぞれつぎのように書ける：

（女子）

（男子）

y

x

N

N

yyy

xxx

,,,

,,,

21

21

平均値の差の検定のデータの具体例

例えば、２群の標本の値が、それぞれ１０名づづで、つぎのようであったとする：

　　第１群（男子）　　　　１０、９６、２６、１２、９７、１８、９６、

５７、１５、５４　　第２群（女子）　　　　１０、７６、６１、１５、４０、１７、１４、

０３、１４、５５

平均値の差の検定の大枠平均値の差の検定の一連の手順はつぎのとおり：　　（１）最初に、両群の分散の等質性の検定を行う。　　（２）その結果、両群の分散が等しいと見なさ れる場　　　　合は、 (5.9) 式の t の値による平均値の差の検定　　　　を行う。　　（３）もし、両群の分散が等しいとみなせない場合は、　　　　 (5.10) 式の t’ の値による平均値の差の検定を行　　　　う。

平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　分散の等質性の検定ー１平均値の差の検定に先立つ、分散の等質性の検定を　行うには、テキスト p. ２６ の上部にあるように、

　　（１）２組の標本の平均を、それぞれ求める。　　（２）２組の標本の分散を、それぞれ求める。　　（３）一般には ( ５ . ４ ) 式により F- 値を計算す

る。　　（４）サンプル数が共に２０の場合は、テキスト

p. ２４ の　　　　下方の、 F- 検定の危険率に対応する棄却点の値　　　　と上の F- 値を比較する。

両群のデータの平均の計算

第１群 ( 男子）のデータの平均

第２群（女子）のデータの平均

1.4810/)54269610( x

5.3010/)55617610( y

両群のデータの分散の計算

第１群 ( 男子）のデータの分散

第２群（女子）のデータの分散

89.1233)1.48(10/)549610( 22222 xs

45.583)5.30(10/)557610( 22222 ys

平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー２

ただし、実際の F- 統計量の計算には、数表を用いる場合、通常の F- 分布表の特徴から、 (5.4) 式ではなく (5.5) 式を用いる、すなわち

)1(

)1(

1222

2121

NNs

NNsF

（３）平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　　分散の等質性の検定ー３

しかし、 F は両群のサンプル数 N1 及び N2 が等しい時には、テキスト p.22 の (5.6) 式、すなわち、

)6.5(22

21 s

sF

となり、両群のサンプルでの標本分散の比の形に書ける。そこで、（５．６）式で計算すればよい。

平均値の差の検定に先立つ　　　　　　分散の等質性の検定ー４

ここで、この式の分子の分散と分母の分散は、順に

,, 22

21 ss

であるが、前者は、２群の標本での不偏分散の大きい方に対応する分散でないといけないので、注意が必要である。ただし、２群のサンプル数が等しい場合は、単純に分散の大きい方を分子に、小さい方を分母に取ればよい。

F 統計量の計算そこで、上記２群の分散の大きい方を

分子にすると、

11.245.583

89.1233F

平均値の差の検定に先立つ　　　　　分散の等質性の検定ー５

つぎに、分散の等質性の検定を行い、つぎに平均の差の検定を行う場合、両検定の全体的危険率の考慮が必要である。

とりわけ、両母集団の分散が等しい場合には、分散の等質性の検定統計量 F と、平均値の差の通常の検定統計量 t とは、互いに独立であることが知られている（ Hogg, 1961) 。

この独立性が成り立つ場合には、両検定の全体的危険率は、個々の危険率を α とすると、ほぼ２倍にインフレする。

平均値の差の検定に先立つ　　　　　　分散の等質性の検定ー６　

,11 *

これを避けるには、個々の検定の危険率 α は、全体の危険率を α* として、

にすればよい。これを実現するには、　（１） α* =0.05 ならば、 α はおよそ 0.025 に、　（２） α*=0.01 ならば、 α はおよそ 0.005 に、それぞれ取ればよい。

平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー７両群の標本数が共に１０の場合、標本での F-値が、つぎの棄却点の値（いずれか一方）

9875.6)2/005.0(01.0

,5552.4)2/025.0(05.0

99

99

*

*

F

F

未満ならば、等分散仮説を採択する。この場合、分散は等しいとみなされる。

　平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー８それに対して、標本での F-値が、演習時に指定された危険率に対応する棄却点の値（いずれか

一方）

9875.6)2/005.0(01.0

,5552.4)2/025.0(05.0

99

99

*

*

F

F

以上ならば、等分散仮説を棄却する。この場合、分散は異なるとみなされる。

具体的な分散の等質性の検定

5552.4)2/025.0(11.2 99

FF

　そこで、既に計算した標本での F 統計量と５％水準での棄却点の値を比較すると、

　このことは、等分散仮説は５％水準で採択されることを意味する。

等分散性採択の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー１（１）両群での分散が等しいとみなされる場合　　テキスト pp.22-23 の t- 統計量と対応する

以下に示した自由度を計算する。　すなわち、

.2

,)2(

22

yx

yx

yxyx

yyxx

NN

NN

NNNN

SNSN

YXt

ここで、自由度は、

当該標本での具体的な　　　　　平均値の差の検定結果

当該標本では、等分散仮説が採択されたので、その場合の t 統計量を計算すると、

.1821010

,24.1

,1010

)21010(1010

45.5831089.123310

5.301.48

また、

t

等分散性採択の場合の　　　　平均値の差の検定ー２

t- 統計量を計算し自由度を計算したら、標本で　の t の値が、演習時に指定された危険率に対　応するつぎの棄却点の値（いずれか一方）

1966.3)2/005.0(01.0

,4450.2)2/025.0(05.0

18*

18*

t

t

未満ならば、等平均仮説を採択する。この場合、両群の平均値は等しいとみなされる。

等分散性採択の場合の　　　　　平均値の差の検定ー３

一方、標本での t の値が、授業中に指定された危険　率に対応するつぎの棄却点の値（いずれか一方）

以上ならば、等平均仮説を棄却する。この場合、両群の平均値に差があることを意味する。

1966.3)2/005.0(01.0

,4450.2)2/025.0(05.0

18*

18*

t

t

等分散性採択の場合の　具体例での平均値の差の検定

上記標本での t 統計量の値と５％水準での棄却点の値を比較すると、

となり、等平均仮説は５％水準で採択されることを意味する。

,4450.2)2/025.0(24.1 18 tt

等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー１

（２）両群の分散が異なるとみなされる場合　　　テキスト p.20 に書いたように、べーレンス・

フィッシャー問題と呼ばれており、そのような場合に平均値の差の検定を行うこと自体に無理があると言う研究者もいる。

また、この場合、 F- 統計量と t’- 統計量は互いに独立ではないので、２つの検定を続けて行う場合の全体としての危険率の計算は困難であり、ここでは危険率のコントロールは行わず、通常の F 分布表の制約から次善の策として、 t’ 検定の危険率は α で行うこととする。

等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー２

両群での分散が異なるとみなされる場合は、テキスト pp.22-23 の t- 統計量と対応する自由度を計算する。すなわち、

.1

,1

)9.5(,'

22

y

y

y

yy

x

x

x

xx

yx

N

S

N

UW

N

S

N

UW

WW

YXt

ここで、

等分散性棄却の場合の　　具体的な平均値の差の検定

当該標本の場合、等分散仮説は採択されたので、ここでの計算は不要であるが、棄却されるようなデータであれば、うえの W は、つぎのように計算する：

83.64110

45.583

1

,10.137110

89.1233

12

2

y

yy

x

xx

N

SW

N

SW

等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー３つぎに、この場合の t’- 分布の自由度は、テキスト

p.23 の下方にいろいろな方法が紹介してあるが、その中で、 SAS が標準として用いているところの　

　　　（ b) Satterthwaite (1946) の方法による自由度を計算すること、すなわち：

)12.5(.

11

)(22

2

y

y

x

x

yx

N

W

NW

WW

等分散性棄却の場合の　　　具体的な自由度の計算当該標本の場合、等分散仮説は採択され

たので、ここでの計算は不要であるが、棄却されるようなデータであれば、うえの 自由度 は、つぎのように計算する：

16956.15

11083.64

11010.137

)83.6410.137(22

2

等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー４

t’- 統計量を計算し、自由度を計算したら、最後に岩原の副読本の p.434 を開き、

　　　（１）授業中に指定された危険率 α と 　　　（２） (5.12) 式で計算した自由度に対応

す る棄却点の値を読み取る。標本での t’- 値がこの棄却点の値未満ならば、

等平均仮説を採択する。この場合、平均値の差がないことを意味する。

等分散性棄却の場合の　　　　　　　平均値の差の検定ー５それに対して、標本での t’- 値がこの棄却点

の値以上ならば、等平均仮説を棄却する。この場合、両群の平均値に差があることを意味する。

（５）平均値の差の検定の再実習

岩原テキスト末尾の乱数表から、各自のデータを抽出し、平均値の差の検定をおこなってみよう。

今日は、標本数は各群とも１０とし、各自の学籍に対応する岩原テキストの乱数の位置から数えて６つ下から始まるデータを用いよ。

第１群の１０個は p. ４４５から、第２群の１０個は p. ４４６の同位置から取り出すこと。

検定の全体的危険率 α ＊ は、０．０５とせよ。