ליניארית אלגברה

שמקיימים וכפל לחיבור ספציפיים תנאים עם קבוצהשדה:חיבור:

a+b=b+a – קומוטטיביותא.c=a+(b+c)(+a+b) – אסוציאטיביותב.a+0=0+a=0 – 0 איברג.a+a’=a’+a=0 a’=-aש: כך’a קייםQ בa לכלד.

(:Q ב a,b ) לכל כפלab=ba: קומוטטיביותא.c=a(bc)(ab): אסוציאטיביותב.a*1=1*a=a – 1 איברג.a*a’=a*a’=1 a’=a-1ש: כך’a קייםa≠0 לכלד.

Q: a(b+c)=a*b+a*c בa,b,c לכל – דיסטריביוטיביות ה.

המרוכבים: המספריםהבא: באופן וחיבור כפל עבורו (. נגדירcomplex) מרוכבים חדש שדה נגדיר

( a,b(+)c,d( (=)a+c(,)b+d)). חיבור: 1(a,b(*)c,d( = )ac-bd,bc+ad). כפל: 2

אוילר: סימון

מואבר: דה נוסחת

: של0הצמוד המספר

ליניאריות: מערכות.0 שוויםb מקדמי כלומר0ה- פתרון את לה שיש מערכת – הומוגניות מערכת.1(פתרונות. ) קבוצת אותה את להן שיש מערכות – שקולות מערכות.2שקולה. נשארת הליניארית המערכת – אלמנטריות פעולות.3ש: כך’e(A) פעולה יש במטריצה שורה עלe(A) אלמנטרית פעולה לכל.4

פעולות של סופי מספר ע"י לשניה מאחת לעבור ניתן אם שורות שקולות נקראותו-.5אלמנטריות.

שלה. השורות שקולות כל עבור יחידה היינה מצומצמת מדורגת מטריצה.6 - כאשר0 ה פתרון – טריוויאלי פתרון יש הומוגנית למטריצה.7

יחיד. פתרון לה יש כאשר טריוויאלי פתרון תמיד אין הומוגנית לא למטריצה.8פתרונות. סוף אין או טריוויאלי יחיד המצבים: פתרון יתכנו הומוגנית למטריצה.9

שורת = ישנה פתרון אין או פתרונות סוף אין או יחיד המצבים: פתרון יתכנו הומוגנית לא למטריצה .10המטריצה. בתוך סתירה

מטריצות:שורה. וקטור נקראת אחת שורה בעלת מטריצה.1עמוד. וקטור נקראת אחת עמודה בעלת מטריצה.2מטריצות: חיבור.3

C=A+(B+C)(+A+B): אסוציאטיביא.A=A+0=A+0: 0 איברב.A+(-A)=0צמוד: איברג.

בסקלר: . כפל4

c(A+B)=cA+cBא. דיסטריביוטיביות: A=cA+dA(c+d)אסוציאטיביות: ב.cdA=c(dA)=d(cA) ג.

.מטריצות: . כפל5

אסוציאטיבית. אבל קומוטטיביות מטריצות: לא תכונות.6A*I=I*A=Aא.C=A(BC)(AB)ב.A(B+C)=AB+AC / (B+C)A=BA+CAג.c(A*B)=(cA)*B=A*(cB) ד.

1

AB≠BA ה. P שהיא. אם כל אחת אלמנטרית פעולה עליה שביצעו הזהות אלמנטרית: מטריצת מטריצה.7

;. B=P*A אם שורות שקולותA,B אז אלמנטרית מטריצה

;. ריבועית להיות חייבת לאבעמודותיה. הוחלפו ששורותיה מוחלפת: מטריצה מטריצה.8

א.

ב.

ג.

ד.

ולכן:I=1 כאשר a0≠ לכל מוגדר הפיכות: בשדה . מטריצות9

א.

ב.

וגם הפיכה AB הפיכותA,B אם ג.

הפיכות.B ו- AB=I A אםד.(AB=0 ועדיין ≠0B וגם ≠0A גם ) יתכןAB 0=B=0ו- הפיכהA אםה.

שקולות: הבאות הטענות אזnxn מסדר מטריצהA . אם10 הפיכה.Aא.I=ABש: כךB מטריצה קיימתב.טריוויאלי פתרון – יחיד פתרון ישAX=0 למערכתג. שורות שקולת כלומר – היחידה ממטריצת )נובעת אלמנטריות מטריצות של מכפלה היאAד.

(I היחידה למטריצתהפיכה. המטריצה הזהות מטריצת היאA מטריצה של מצומצמת המדורגת המטריצה אם.110 ≠ האלכסון איברי כל אאי"ם הפיכה משולשת מטריצה.12AB=BA כאשרA,B עבור ( מוגדרתAt מוחלפת )לא מתחלפת מטריצה.13At=A סימטרית: אם מטריצה.14At= -A אנטי-סימטרית: אם מטריצה.15משולשית גם היא משולשיות מטריצות2 של מכפלה.16

)מ"ו(: וקטורי מרחבהואF שדה מעלV מ"ו.1 פעולות: חיבור שתי מוגדרות , ובה וקטורים נקראים שאיבריה קבוצה

הבאות: האקסיומות את מקיימות בסקלר, אשר וכפלחיבור:לחיבור סגירותא.קומוטטיביות: ב.

אסוציאטיביות: ג.

V=V+0=V+0 מקיים אשר0 ה : וקטור0 איברד.V+(-V)=0 מקיים - אשרV כ שנסמנוV של סימטרי נגדי/צמוד: וקטור איברה.

בסקלר: כפללכפל סגירותא.V=V*1יחידה: איברב.

דיסטריביוטיביות: ג.

V=cV+dV(c+d)אסוציאטיביות: ד.הואV מעלv וקטור.2 קיימים אאי"ם הוקטורים של ליניארי צרוף

המקיימים

פולינום יהיהR מעל וקטורי מרחב.3

2

)ת"מ(: וקטורי מרחב תת מ"ו הואW אםV של מרחב תת הואW כי להגיד ניתן אזV של קבוצה תתW ו- F מעל מ"וV . אם1

היא . כלומר לסמן וניתןVב- שמוגדרות בסקלר וכפל חיבור פעולות אותן עבור אאי"ם:V של מרחב תת בפנים(0 ה וקטור את יש )תמיד ריקה קבוצה לא W≠Øא.W ב לחיבור סגירותב.W ב בסקלר לכפל סגירותג.

, המטריצהAX=0 הומוגנית מערכת של הפתרונות . קבוצת2 A mxnשל המ"ו של מרחב תת היא הומוגנית(. לא המערכת אם נכון לא )אךF מעלnx1 המטריצות

מרחב. תת הוא מרחבים של . חיתוך3 הת"מ הואS את שמכילים ת"מים כל שלS החיתוך , אזV ריקה( של )לא קבוצה תת הואS אם.4

ונסמנוS את שמכיל קטן הכי היאL(S) כן על . יתר של הליניארים הצרופים קבוצת

והוא: S וקטור ורושמיםS ע"י הנפרש המרחב נקרא .<sp<S אותו

L(S) את פורשתS כלומרת"מW אם.5 אזV של כלומר הוקטורים של הליניאריים הצרופים כל את מכיל הוא שלו.

R את מכיל הוא כיR מעל מ"ו ¢ כן עצמו. כמו מעל מ"ו הואF שדה שכל משום ¢ מעל מ"ו ¢ .6מאיבריו. אחד מעל מ"ו הוא שדה כל בתוכו

מעלA mxn מטריצה של השורות מרחב.7 F ,הוא )כאשרFn של מרחב תת nהוא מספר .A של השורות וקטורי ע"י שורה( הנפרש בכל האיברים

…sp<w1 בעצם הואw1+w2+…+wn=W הסכום שיהיהW אזV מ"ו של מרחבים תת אם.8

wn>=Wמהם. אחד של מרחב תת לא בדר"כ הוא שלהם האיחוד אז מרחבים תת w1,w2 אם.9

.0ה- וקטור את בה שאין משום ת"מ תהיה לא לעולם הומוגנית לא פתרונות קבוצת.10

חוקי לפי ת"מ: לאUW אזwU וגםuWש: כך ת"מU,WV אם.11

הסתירה. את הוכחנו ולכן נכון לא זהwU להגיד ת"מ. אבל בתוך הסגירות

ומימד: בסיסמ"וV אם.1 ו- F מעל v1…vkוקטורים אאי"ם ליניארית תלויים לא שהוקטורים נאמר , אזV ב

.λ1+λ2+…+λk=0 אזλ1V1+λ2V2+…+λkVk=0 מתקיים: אם2.V1…Vk וקטורים …+λ1V1+λ2V2 אפס, מקיימים כולם לאλ1…λkאם: ליניארית תלויים V ב

+λkVk=0הוקטורים. שאר של ליניארי צרוף יותר( הוא )או הוקטורים אחד . ואזV*0מכפלה: בעצם והוא ליניארית תלוי הוא0 ה וקטור.3.V של בסיס נקראתV את שפורשתבת"ל( )שהיאV של וקטורים של , קבוצהF מעל מ"וV אם.4קבוצה u1…uk שלו. אם הפורשת בקבוצה לאיברים שווה או קטן הוא בבסיס האיברים מספר.5

.k ל שווה או קטן היא בת"ל וקטורים קבוצת כל של מס' הוקטורים אזV של פורשת שלו הבסיסים לכל אז סופי מימד הואV סופי. אם מימד הואV כי נאמר אז סופי בסיסV ב יש אם.6

.dim V אותו ורושמיםV של מימד הוא בבסיס הוקטורים וקטורים. מספר מספר אותו את יש.dim (0) = 0רווחת: הסכמה.7 אז ישר סכום של פרטי . ובמקרהdim U + dim W = dim (UW) + dim (U+W)המימד: משפט.8

.dim U dim W = dim (UW) + dim (U+W) = 0 + dim(U+W) = dim (U+W)מתקיים: אז: dim V = n אם.9

וקטורים.n היותר לכל מכילה בת"ל קבוצה כלא.ליניארית. תלויה היא וקטוריםn מ יותר המכילהV של קבוצה תת כלב. אלאV ל שייכים שלא כמה עוד וקטורים. )ואוליn לפחות מכילהV של פורשת קבוצה כלג.

הקבוצה( ע"י שנפרש הנוסף לחלק היאW של בת"ל קבוצה תת כל אזV של ת"מW וגם סופי מימדV : אםV של לבסיס השלמה.10

לבסיסV של בת"ל קבוצה תת כל להשלים אפשר . בפרטW של לבסיס להשלימה ואפשר סופית.V של

אז:dim V = n אם .11בסיס. היא וקטוריםn בת בת"ל קבוצה תת כלא.בסיס היא איבריםn בת פורשת קבוצה תת כלב.

.K=L אז מימד אותו עם ת"מKL אם.12

בסיס: שינוי קורדינטות

3

מ"וV אם.1 אזn סופי ממימד B=V1…Vnשל בסיס v. כל עבור vVקיימים α1…αn

v=α1u1+…+αnunש: כך יחיד באופן סקלרים

פונקצית זה. לדוגמא סדר לשנות ואסור האיברים לסדר חשיבות יש בו בסיס – סדור בסיס .2B={1,X,X2,X3} הפולינום

הצרוף ( יהיה{u1…un} מהוקטורים )שמורכבB בסיס לפיv וקטור של הקואורדינטות וקטור.3…+Sv=a1u1 כי נראה בעצם בכתיבה זאת נפשט . אםs=[a1,a2,…,an][v] ויסומן(a1…an) של

+anun. .’P*[v]b יהיה’B בסיס לפי וקטור אותו אזb[v] היאB בסיס לפיv הוקטור של הקואורדינטה אם.4

הפיכה(. )והיא הבסיסים בין המעבר מטריצת היאP כאשר את נביעe={e1…en} לבסיסs={u1…un} מבסיס לעבור כדי.5

מטריצה, דרגה: של השורות מרחב )האיבריםFn של כוקטוריםA1…Am השורות וקטורי את , ונגדירF שדה מעלmxn מטריצהA אם.1

. A1…Am ע"י שנפרשFn של ת"מ יהיה השורות מרחב ( אזF לשדה השייכים במטריצה שורה בכלעמודות(. ומרחב עמודות לגבי שורות. )כנ"ל מרחב אותו יש שורות שקולות למטריצות.2 של בסיס מהוות הן ולכן ליניארית תלויות אינן מדורגת מטריצה של0 שורות שאינן שורות.3

המטריצה. של השורות מרחב תלויות שאינן השורות מספר בעצם ( והואrk A) השורות דרגת נקרא השורות מרחב של מימד.4

ליניארית. (.rk A= rk Atהמטריצה. ) = דרגת העמודות = דרגת השורות דרגת.5דרגה. ( אותהA|B) השלמה ולמטריצהA ל אאי"ם יחיד פתרון קייםAX=B משוואות למערכת.6

ליניארית: העתקהו- V אם.1 Wמ"ו ל- V)ה"ל( מ- ליניארית העתקה אזF שדה אותו מעל Wהיא פונקציה

הבאות: התכונות את מקיימת הליניאריים, כלומר הצרופים על שומרת והיאF:VWשמסומנת: .v1,v2V לכלf(v1+v2)=f(v1)+f(v2)א..vV ווקטורc סקלר כל עבורf(c*v)=c*f(v)ב.T(v)=T(a1u1+…+anun)=a1T(u1)+…+anT(un) אז v=a1u1+…+anun שאם להגיד אפשר בעצםג.

…w1, ו- F מעל מ"וW ; וגםB={e1…en} הואV של הסדור והבסיסF, dim V=n מעל מ"וV אם.2wn ב וקטורים Wיחידה ליניארית העתקה קיימת אז T:VW1 שלכל כךin T(eI)=wI( T

(V על שפועל ליניארי אופרטורורושמיםvV כאשרT(v) קב' התמונות היאT של התמונה אז ליניארית העתקהT:VW אם.3

imT אותה.W של מרחב תת היאimT מסומנתT של התמונה.4.imT את פורשת{ T(v1)…T(vn)} אזV של בסיס{v1…vn} כאשר ה"לT:VW אם.5.T. rk T = dim (imT ) של הדרגה נקרא התמונה של המימד.6בת"ל. תמיד לא הם בת"ל שהם הוקטורים של התמונה כי בד"כ בסיס אינה בסיס של תמונה.7.T(v)=0 ש כךv הוקטורים קבוצת והואker T יהיה ליניאריתT:VW של הגרעין.8V של מרחב תת הואT של הגרעין.9 0 ה וקטור עם ריק מרחב להיות יכול הומוגנית. הוא מערכת של הפתרונות מרחב הוא הגרעין.10

פתרונות. סוף אין המיצגn מימד בעל מרחב או הטריוויאלי הפתרון עבורהפיכה. ??? לא הפונקציה אז0 שונה הגרעין אם.11dim imT + dim kerT = dim V אזdim V = n אם ליניארית: העתקה לכל.12ו- T1:VW אם.13 T2:VWגם אז T1+T2:VW :כלומר .(T1+T2()v=)T1(v)+T2(v)לגבי וכנ"ל

בסקלר. כפלT*T(v) = T2(v); T0=Iכן: . כמוT2*T1(v)=T2(T1(v))ה"ל. כלומר: גם היא ה"ל של הרכבה.1415.Tאם חח"ע T(x1)=T(x2)עבור x1=x2כל עבור כלומר Xרק יש Yבטווח איבר כל עבור או אחד

בתחום. אחד איבר רק יש16.Tכל היא התמונה "על" כאשר wכלומר imT=Wיש בתחום איבר לכל אם אחרות . במילים

.y=x2 עבור כך משלו. לא מתאיםy ישx כל עבור )בטווח( כלומר התמונה איבר17.T:VWה"ל אוT*T-1=Iw וגםT-1*T=Ivש: כךT-1:WV ה"ל קיימת אאי"ם הפיכה

ו-"על". חח"עT לחליפין מ שונה וקטור שאם משום וזאתkerT = {0} סינגולרית( אאי"ם )בלתי חח"עT:V1V2. T נגדיר.18

. וזאת0 השונה אחר לערך0 של ליניארית העתקה יגדיר ההופכי האופרטור אז0 תוצאה נותן0ואז T(λv)=λv=0 ש משום תוצאות כמה יהיו אז כי סתירה וגם4 גם לדוגמא יתנו8 סתירה0

לחח"ע.בת"ל. וקטורים הם בת"ל וקטורים של תמונותיהן אאי"ם חח"עT אז ה"לT:v1v2 אם.19שקולות: הבאות הטענות אזdim V = nו- ה"לT:vv אם.20

הפיכהTא.

4

חח"עTב. "על"Tג.

הפיכה. גם T-1:VV אז הפיכה הינה ה"ל T:VV אם.21((איזומורפיזם. נקראתW ל- Vהפיכה( מ- ו"על" )כלומר ליניארית, חח"ע העתקה.22 ש: ידוע אם בת"ל. לדוגמא להוכיח ליניארית( כדי בהעתקה )שעובר באיזומורפיזם להשתמש ניתן.23

T(v1)…T(vn)גם אז בת"ל v1…vn .בת"ל Y=AXל: באנלוגיהB’=A*[v]B[T(v)]ליניארית: העתקה של מטריציאלית הצגה.24 של הדרגה כאשרm-r הואAX=0 של הפתרונות מרחב של המימד אזF מעלmxn מטריצהA אם.25

Aהיא rמטריצותQ,P כאשרA’=Q-1APבה"ל: בסיס שינוי.26 מייצגתAו- בהתאם בסיסים מעבר את

הליניארית. ההעתקהB=P=1Aש: כך הפיכהP מטריצה קיימת אאי"ם דומותB ו- A אזF מעלnxm מטריצותB ו- A אם.27

P

דטרמיננטות:.0= הדטרמיננטה השניה( אז של אחת כפולה או )זהות שקולות שורות שתי אם.1הדטרמיננט. כל את הכפלנו כאילו אזλ ב שורה מכפילים אם.2ה"ל הוא הדטרמיננט.3 .n-1 מסדר והיאq וה- pה- השורות מחיקת ע"י שמתקבלת המטריצה היא Apq מינורית מטריצה.4תנאים: שלושה מקיימתFn מסדר וקטוריםn בעלת הדטרמיננט פונקצית.5

…D(v1 וגםD(v1…vI..vu’…vn)= D(v1…vI…vn)+ D(v1…vI’…vn) – וקטור לכל ביחס ליניאריתא.λvj…vn)=λ D(v1…vj…vn)

D(v1…vi..vj…vn)= - D(v1…vj..vi…vn)- מתחלפת פונקציהב..1 הוא הסטנדרטי הבסיס של דטרמיננטג.

נתונה. מטריצה של העמודה וקטורי צרוף ע"י נתונה יחידה. היא והיא דטרמיננט פונקצית קיימת.6detA≠0 אאי"ם הפיכהA אזn מסדר ריבועית מטריצהA אם.7.det At=det A מתקיים ריבועית מטריצה לכל.81– ב הכפלתו גוררות בדטרמיננט צמודות שורות2 של החלפה.9.0 ל שווה הוא אז אפסים שורת יש בדטרמיננט אם .10משתנה. לא ערכו אז בדטרמיננט עמודה( אחרת )או שורה של כפולה לדטרמיננט מוסיפים אם .11בנפרד. מטריצה כל של הדטרמיננטים מכפלת הוא מטריצות2 של מכפלה דטרמיננט .12 שונים בסיסים לפי מטריצות2 של דטרמיננטות לכן בבסיס תלויה אינה דטרמיננטה של ההגדרה .13

בסיס של המרה כי הגיוני די הבסיסים. האמת המרת לאחר שורות שקולות המטריצות אאי"ם שוותשווים. שלהן הדטרמיננטים – שורות שקולות מטריצות2 ו אלמנטרית מטריצה של מכפלה הוא

קרמר: נוסחת ע"י נתון והוא יחיד פתרון קיים אזdet A≠0 אםAX=B מהצורה משוואות במערכת .14

המתחלפת. המינורית כלומר Aji של המינורית המטריצה הואAij של הקופקטור .15היאA מטריצה של הצמודה המטריצה.16 A של הקופקטורים מטריצת של המוחלפת המטריצה

|ij=(-1)I+j|Aji(adjA)שלה: . הנוסחהadj A אותה ורושמיםA-1 =1/A*adjAהינה: ההפיכה והמטריצה הפיכה היא אזdet A≠0 אם.17 שלה המינוריות את נבדוק אחרתdet A≠0 ה אםrk=n היאn מסדר ריבועית מטריצה של הדרגה.18

אזdet A≠0 נמצא וכאשר היאA של הדרגה . כלומרn-1 תהיה הדרגה של ביותר הגדול הסדר .0 מ השונה המינורים

19.|det(v1,v2)|כאשר v1,v2R2 שלהם. בהתאמה והמשלימים הוקטורים שבין המכוון השטח הוא . R3 ב וקטורים שלושה לגבי

ו-"על". חח"ע פונקציה היאσ תמורה.20 שלילי. סימן בעל הוא אחרת חיובי סימן בעל המספר אז בתמורה החלפות של זוגי מספר יש אם.21

sgn(σ)={1,-1} ונרשם התמורה של הסיגנום הוא ההחלפות מספר

עצמיים וקטורים ערכים עצמי וקטורv כי לומר . ניתןT(v)=λvש: כךvV≠0 קיים אםT של עצמי ערך נקראλF סקלר.1

סקלר. הואc כאשרλ עבור עצמי ערך יהיהcv . גםλ העצמי לערך ביחס )אחדλ עצמי ערך קיים אזT(v)=Avליניארי: אופרטור עם שמוגדרת ריבועית מטריצה קיימת אם.2

.v≠0 כאשרAv=λvש: לפחות( כךמהוויםλi עצמי ערך כל של העצמיים הוקטורים.3 תתי של ישר . סכום1≥ מימד בעל מרחב תת

.T(v)=Av לפיA ב הקשור הליניארי האופרטור של בסיס מהווה המרחביםשקולות: הבאות הטענות.4

.T של עצמי ערך הואλא.

5

הפיך( )בלתי סינגולרי הוא(T-λI) האופרטורב..det(T-λI)=0ג.

הואB כאשרPT(x) = det(T-xIn)= /[T]B=A/ = det(A-xIn) הואT האופרטור של האופייני הפולינום.5.v של בסיס

ערכים אותם ולכן אופייני פולינום אותו דומות למטריצות כלומר בבסיס תלוי לא האופייני הפולינום.6בבסיסים(. תלוי שאינו דטרמיננט ע"י מחושב שהוא בגלל היא לכך עצמיים. )הסיבה

שלה. האלכסון איברי הם משולשת מטריצה של העצמיים הערכים.7(.v של )אוFn של מרחב תת ( מהוויםT ליניארי אופרטור של )אוA של עצמיים וקטורים.8בת"ל. הם שונים עצמיים לערכים השייכים0מ- שונים עצמיים וקטורים.9

אופרטור ושל מטריצה של לכסון;T(v1)=c1v1 ואז אלכסונית היא B[T]ש: כךB={v1…vn} בסיס קיים אם ללכסון ניתן T:VV ה"ל.1

…T(vn)=cnvn;כלומר ניתןTאחרות: . במיליםvI עצמיים מוקטורים שמורכב בסיס למצוא ניתן .T של עצמיים מוקטורים שמורכבV של בסיס קיים אאי"ם ללכסון

אלכסונית. למטריצה דומותA אאי"ם ללכסון שניתנת מטריצהA ש נאמר.2אוT ל אם.3 ישA ל nאז מזה זה שונים עצמיים ערכים Tאו Aללכסון. הסיבה: ניתן בהתאמה

ללכסון. ניתן בסיס בסיס היא בת"ל הערכים של הקבוצההאופייני. בפולינום השורש של המעלה והוא1≥( αi )ר"א אלגברי ריבוי.4העצמי(. )הערך השורש עבור העצמי הוקטור של המימד הוא ר"א≤( γi )ר"ג גיאומטרי ריבוי.56.Tשל האופייני הפולינום אאי"ם ללכסון ניתנת Tערך כל עבור כלומר ליניארים לגורמים מתפרק

ר"ג=ר"א. עצמי0(=A-xI()x,y) כלומרV(x,y)ker(A-xI) אזV(x,y)V אם.7שניתנתA מטריצה קיימת אם.8 כאשרAn=P-1A’nP אז ללכסון A’היא לחשב )שקל המלוכסנת

??? P את למצוא כיצדאותה(. ניתן אז V=w1w2 אם לחליפין { או0} הוא שלהם החיתוך אם הוא מרחבים שני של ישר סכום.9

.w1,w2 ע"י יחידה בצורהV ב וקטור להביע V ב וקטור כל לכתוב ניתן ואז w1…wn של ישר סכום הואV מ"ו של מרחבים תת של ישר סכום.10

.w1…wn ע"י יחידה בצורה בהתאמה. בסיסים ולהם מרחבים מתת מורכבB הבסיס אז ללכסון ניתןT אם – ולכסון ישר סכום.11

.λi עצמי לערך ביחסT של עצמי מרחב תתVI כאשר אותו בעלות הן דומות מטריצות בהכרח. שתי דומות לא אופייני פולינום אותו עם מטריצות שתי.12

אופייני. פולינום

אינווריאנטי מרחב תתv לכל ולכןT(v)=λv מתקייםvVλ לכל אזT של עצמי ערךλ עבורv של עצמי מרחב תתVλ אם.1

Vλ מתקיים T(v)Vλשל . הפעולה Tאת משאירה vמרחב. תת באותו אאי"ם אינווריאנטיT אוT תחת אינווריאנטיw כי נאמרV של מרחב תתwו- ה"לT:VV אם.2

.T(w)W אוT(w)W מתקייםwW לכל הבסיס את להשלים ניתן אזW של בסיס{ e1…en} – וגםdim w=m ו- T תחת אינווריאנטיW אם.3

Wלבסיס Vע"י U –ת"מ וניתןT תחת אינווריאנטי ת"מ כל עבור בסיס קיים משלים. כלומר בסיס אחד ולכלwjwj אזT תחת אינווריאנטיwI אם )משום גדול אחד לבסיס כולם את להשלים

{ (.0} הוא שהחיתוך משלו אינווריאנטים שהםV של מרחבים תת v1…vk קיימים אזC מעל מ"וV כאשר ה"לT:VV אם.4

ש: כךT תחת.V=v1…vn א.ג'ורדן מטריצת יהיהVI לT של הצמצוםב. (V של ישר בסכום איבר )הוא פריק בלתי הוא VI כלג.

???VI לT של צמצום מבצעים כיצד.5בלוקים. סדר של החלפה כדי עד יחידה ג'ורדן מטריצת.6-ker(R ולכןS עם מתחלפתR-λI . כלומרS תחת אינווריאנטי הואR אז ה"לR,S כאשרRS=SR אם.7

λI)תחת אינווריאנטי Sלפי( . Rx=λx (R-λI)x=0 (R-λI)S=RS-λIS S(R-λI)=SR-λS.)

פנימית מכפלה מרחביהבאות: התכונות את שמקיימת פונקציה היאV של פנימית מכפלה אזC אוR מעל מ"וV אם(1

בסקלר( ולכפל לחיבור הראשון. )סגירות למשתנה ביחס ליניארית העתקהא.

מתקיים v1,v2 לכלב.

.0(<V,V) מתקייםV≠0 לכלג.. מסקנות:2

6

א.V=0 אז 0(=V,V) אםב.השני: למשתנה ביחס ליניאריות סמיג.

I.(v,u1+u2(=)v,u1(+)v,u2)II.

III.אם F=Rהשני. למשתנה ביחס ליניארית גם אזמכפלה3 ;V=(X1…Xn)עבור: הבא באופן מוגדרת סטנדרטית פנימית . V’=(Y1…Yn); VFn

פנימית: מכפלה של להוכחה הדרישות.4

בסקלר( וכפל חיבור )סגירות לראשון ביחס ליניאריותא.

ב.

פנימית. מכפלה מרחב הואV כי נאמר אזV על פנימית מכפלה מוגדרת אם.5V: |V|=(V,V)1/2 של הנורמה את נגדירvV לכל אז פנימית מכפלה מרחבV אם.6

אוניטרי. נקראC ומעל אוקלידי נקראR מעל סופי ממימד פנימית מכפלה מרחב.7 מתקיימים:V ב- V1,V2 לכל.8

||cV||=|c|*||V||א. V≠0 ||V||>0 לכלב.’||V|| + ||V’(| ≥ ||V,V|)קושי-שוורץ: של שוויון איג.’||V+V’|| ≤ ||V|| + ||V|| ד.

(. )*Bכ- תסומןB=(Bij) של צמודה המוחלפת המטריצה .9 .*AB המטריצות כפל של האלכסון אברי סכום הואA,B מטריצות של פנימית מכפלה של סכום.10

האלכסון. איברי את רק לחשב יש המטריצות . בהכפלתtr(AB*)(=A,B)כלומר: H=K אזX*HY=X*KY מתקייםnx1 מטריצותX,Y שלכל כךnxn ריבועיות מטריצותK,H אם.11 אזR מעל היא הרמיטית. אם נקראתA*=A שמקיימתR אוC מעלn מסדר ריבועיתA מטריצה.12

(.At=A) סימטרית היאאוR מעלA ריבועית מטריצה.13 Cנקראת האלכסון: אברי כל עבור מתקיים אם חיובית מוגדרת

.0 מ ( וגדוליםC מעל ולאR )מעל ממשיים ו-V של פנימית מכפלה ) , ( היא אם , אזV של בסיסB={e1…en} ו- n ממימד מ"וVנתון: אם.14

H( (eI,ej) )אז: פנימית מכפלה של המטריצהחיובית ומוגדרת הרמיטיתHא.v,v’V לכלY*HX=(V,V’)ב.

מטריצהH אם הפוכה בצורה.15 המוגדרת הפונקציה אז וריבועית חיובית ומוגדרת הרמיטית Y*HX=(V,V’)על פנימית מכפלה ומגדירה V.

אורתוגונלי: בסיסאז: פנימית מכפלה מ"וV אם.1

’VV ורושמים: 0’(=v,v) אאי"ם אורתוגונליםv,v’Vא..I≠j≤k (vI,vj)=0≥1 לכל אז אורתוגונלית שנקראת{v1…vk} וקטורים קבוצת יש אםב.VI||=1|| הנורמהI ולכל אורתוגונלית היא אם אותונורמלית היא וקטורים קבוצתג.

בת"ל. היא0 מ שונים וקטורים של אורתוגונלית קבוצה.2שמיט(. גרם לפי לבנות )שניתן אורתונורמלי בסיס קיים אז פנימית מכפלה מרחבV אם.3

גרם-שמיט: של אורתוגונליזציה תהליך.4

ת"מ הוא+W אזV של ת"מW , וגםdim V = n( ו- C אוR )F מעל פנימית מכפלה מרחבV אם.5 . נובעW של האורתוגונלי המשלים נקראW, ו- V=WW . כלומרW של משלים והואV של

.dim V=dimW+dimW כי מכך של העמוד וקטורי אזn מסדר ריבועית מטריצהA ו- F שדה מעלV מ"ו של בסיסB={e1…en} אם.6

שהיא נגיד אז *u-1=u מקיימת מטריצה אם הפיכה. כלומרA אאי"םV של בסיס מהוויםA מטריצה(C )מעל ( ואוניטריתR )מעל אורתוגונלית

Mnx1(R אוMnx1(C) של אורתוגונלי בסיס מהווים שלה העמוד וקטורי אזuMn(R) אםuMn(C) אם.7)בהתאמה(. אורתוגונלית או אוניטריתu אאי"ם בהתאמה(

בנוסחת ונשתמש אוניטרית/אורתוגונלית תהיהP המעבר אורתונורמלים: מטריצת בסיסים שינוי.8המעבר:

9.A -ו Bמטריצות אוR מעל ריבועיות Cנקראות מטריצה קיימת אאי"ם אוניטריות דומות B=P*APש: כךP אוניטרית/אורתוגונלית

7

מטריצהu אם.10 אוC מעל Rאז היאu אלו שקולות: )בטענות הבאות הטענות מטריצה בעצם (.γ בזוית במרחב וקוα בזוית במרחב קו שמעתיקה

אורתוגונלית( )או אוניטריתuא.(ux,uy(=)x,y) מתקייםx,yMnx1(C/R) לכל פנימית, כלומר מכפלה על שומרתuב..u(x)||=x|| מתקייםxMnx1(C/R) לכל כלומר אורכים על שומרתuג.

)אוuM(C) אם.11 )אוR ,)Mnx1(C)=V מעל בx,y לכל סטנדרטית, אז מכפלה ( עםR מעל C .(ux,y(=)x,u*y) מתקיים

ולכן:(ux,x(=)x,ux) הרמיטית ממשיים. במטריצה הם הרמיטית מטריצה של העצמיים הערכים.12λ(x,x)=(λx,x)=(ux,x)=(x,ux)=(x,λx)= (x,x)

שייכיםu הרמיטית מטריצה שח עצמיים וקטורים.13 אורתוגונלים. הוכחה: שונים עצמיים לערכים =λ(x,y)=(λx,y)=(ux,y)=(x,uy)=(x,μx) לומר: ניתן.uy=μy וגםux=λx אז עצמיים ערכיםλ≠μנגדיר: μ(x,y)כלומר . (λ-μ)(x,y=(0 ,אם λ≠μ אז (x,y=)0ואז xy.

סימטריתA אם.14 אוR מעל Cאז . כלומרλR כאשרPA(X)=(X-λ1)…(X-λn)האופייני: הפולינום .A עבור0 שונה עצמי וקטור קיים תמיד

מטריצהA אם.15 אזn מסדר ריבועית הרמיטית Aדומה אלכסונית. כלומר למטריצה אוניטרית A’=P*APש: )אלכסונית( כל אוניטריתP קיימת

)Mnx1 של אורתוגונלי בסיס וקייםA’=PtAP כלומר אורתוגונלית דומהA אזR מעל סימטריתA אם.16R)של עצמיים מוקטורים שמורכב A.)

8