1

של חומריםותבדיקת קושי

מטרת הניסוי .1

. של חומריםותלימוד שיטות שונות למדידת הקושי

רקע תיאורטי .2

מהירות וחסכניות לקביעת תכונות מכניות , הן בדיקות מדויקות(hardness)ות בדיקות הקושי

:ותקיימות שלוש שיטות עיקריות למדידות קושי. של חומרים

).Scratch(י שריטה " עותמדידת קושי .א

).Rebound(י הדיפה " עותמדידת קושי .ב

).Indention(י יצירת גומה " עותמדידת קושי .ג

לבדיקת חומרים שניתן לשרוט אותם באמצעות , בשיטה הראשונה משתמשים בעיקר המינרלוגים

מופל גוף סטנדרטי על פני השטח של החומר , י הדיפה" עותבמדידת קושי. חומר קשה יותר

ותהשיטה הכללית ביותר לקביעת קושי. הגובה שהחומר המופל נהדף אליוי " נקבע עותוהקושי

חרוט או פירמידה , כ כדור"החודרן הוא בד. החומר היא בדיקת התנגדות החומר לחדירה

החומרים מהם עשויים החודרניים הם . העשויים מחומרים קשים הרבה יותר מהחומר הנדבק

.או חודרן יהלוםטונגסטן קרביד מסונטר , כ פלדות מוקשות"בד

וגורם לכניעה או עיוות פלסטי , החודרן מועמס ונלחץ לפני השטח הנבדקים, בבדיקת חדירה

ההתנגדות תלויה . י ההתנגדות לחדירה פלסטית" עפת החומר נקבעותקושי. בתחום מצומצם

י החודרן בזמן החדירה והיא תלויה במידה "בעוצמה ובהתפלגות של העיוות הפלסטי הנוצר ע

בחומרים בעלי מנגנוני הקשיה דומים יש גם התאמה . באלסטיות ובצמיגות, ה יותר בחיכוךקטנ

כ עיקבה קטנה בפני השטח " מותירות בדותבדיקות הקושי. לחוזק המתיחהותטובה בין הקושי

במקרים כאלה כדאי לבצע את . ולכן הן ניתנות לביצוע גם בחלקים המיועדים לשירות הנדסי

של ותלהלן יתוארו שלוש שיטות נפוצות למדידת קושי. ביותר האפשריהבדיקה בעומס הקטן

. בציפויים דקיםותמתכות ושיטה לבדיקת קושי

)Brinell(שיטת ברינל .א

העומס מופעל על הדגם . נבדקים פני השטח של דגם בעזרת כדור פלדה, זוות בשיטהיקת קושידבב

מציג את 1איור . ד בעזרת מיקרוסקופלאחר מכן החודרן מוסר וקוטר העיקבה נמד תקנילזמן

ותמספר קושי. הפרמטרים הנבדקים בבדיקה זו ואת האזור העובר עיוות פלסטי בעקבות הבדיקה

:מאמץמדים של יולכן יש לו ֵמ, י מנת העומס בהיטל העיקבה"מתקבל ע) BHN(ברינל

( )2 2

2

FBrinell Hardness Number

DD D d

π≡

− −) 1(

היחס . mm- קוטר העיקבה בmm ,d - הוא קוטר הכדור בkg ,D -מס המופעל ב הוא העוFכאשר

, טעויות במדידת קוטר העיקבה). 1טבלה (בין עומס הבדיקה לקוטר הכדור הוא יחס תיקני

2

לכן יש לבצע מספר . ותאי אחידות בחומר וגורמים אחרים יכולים לגרום לשגיאות בערכי הקושי

בבדיקת . י ממוצע של כמה בדיקות" ברינל עפותאת ערכו של מספר קושי ולקבוע ותבדיקות קושי

.ולכן גימור פני השטח עלול להינזקלמדי גדולה שנוצרת ברינל העיקבה ותקושי

).b(והפרמטרים הבסיסיים בבדיקה ) a(העיוות הפלסטי בבדיקת ברינל : 1איור

קוטר תקניים בבדיקת ברינל- יחסי עומס: 1טבלה

F/D2 D=1mm D=5mm D=10mm

3000 750 30 30 מתכות קשות

-מתכות בינוניות

קושי

10 10 250 1000

500 125 5 5 מתכות קשות

מתכות רכות

מאוד

1 1 25 100

)Vickers(בדיקת וויקרס .ב

בין הפאות ψ הזווית. חודרן יהלום בצורת פירמידה עם בסיס מרובעב משתמשיםבדיקה זו מב

זווית זו נבחרה כדי שהתוצאות יהיו קרובות לאלו שמתקבלות בסקלת הכדור . 136o הנגדיות היא

הוא מנת העומס בהיטל שטח )Vickers=) VPN פירמידת ותגם מספר קושי. בבדיקת ברינל

:) 3bיורא(י החודרן "העיקבה הנוצרת ע

2

FVickers Pyramid Number

dsin

2 2ψ

≡

) 2(

.mm-אורך הממוצע של האלכסונים ב הkg ,d-העומס ב = F: כאשר

, כיון שניתן לקבל סקלה מתמשכת של קושי, משתמשים בעיקר בעבודות מחקרVickersבבדיקת

, לעומת בדיקות רוקוול וברינל, ממתכות רכות מאוד עד מתכות קשות מאוד, עבור עומס קבוע

יקות וויקרס בד. כשעוברים ממתכת רכה לקשהבהן דרוש לשנות את העומס או את החודרן

3

וברינל איטיות יותר מבדיקת רוקוול מכיוון שיש צורך בהכנה מוקדמת של פני השטח ומדידה של

.די העקבותמֵמ

)Rockwell (רוקוולשיטת .ג

בבדיקה זו . החדירה של החודרן תחת עומס סטנדרטיעומקי "בבדיקה זו נקבע קושי הדגם עפ

inch 16\1דרני פלדה שצורתם כדור בקוטרמשתמשים בחודרני יהלום שצורתם חרוט וכן בחו

.2איור עיקרון בדיקת רוקוול מוצג ב.שיטת המדידה המהירה ביותר זו inch 8\1.או בקוטר

עיקרון בדיקת רוקוול : 2איור

השיטה זהה (חודרן יהלום עם

).לכדור פלדה

:בבדיקה שלושה שלבים

כדי להחזיק אותו במקומו וכן כדי לחדור 10kgתחילה מופעל על הדגם עומס קטן של .1

, ון לאפסמדיד החדירה מכּו. שכבות של ציפוי או תחמוצת המכסות את פני השטח

. עומס נוסף מופעל על הדגם לזמן מוגדר .2

מראה את ההחלמה ש, י מדיד"ועומק החדירה נמדד ברציפות ע, מן הדגםמוסר העומס .3

.פלסטית הוא מורה על עומק השקיעה ה,כאשר המדיד נעצר. האלסטית של העיקבה

יש צורך ליצור צירופים מתאימים , חודרןעל ה בעומס המופעל יה תלויRockwell ותכיוון שקושי

).2טבלה (בין העומסים לחודרנים שבשימוש

Rockwell התאמה בין חודרנים לעומסים בבדיקת: 2טבלה

עומס סוג חודרן סקלה

Kg

החומרים הניתנים

לבדיקה

-ום בתח

RA

A 60 )סקלה שחורה(חרוט יהלום kg 86 - 0 כל החומרים

B 16\1כדור בקוטרin.) 100 )סקלה אדומה kg 60 - 0 חומרים רכים

C 150 )סקלה שחורה(חרוט יהלום kg 85- 60 חומרים קשים

N פני שטח 30,45 ,15 פירמידת יהלום

4

ומיקרוקושי) Knop(שיטת קנופ . ד

בעומסים קטנים ותשל ציפויים דקים מכינים חתכי רוחב ובודקים את הקושי ותלבדיקת קושי

). 3aאיור (כך שהאלכסון הארוך מקביל לפני הציפוי , ירמידת יהלום מוארכתpבאמצעות

כמו חלקיקים , באזורים קטנים מאוד של החומרותבאמצעים מיוחדים אפשר לבדוק קושי

בדיקות אלה בחודרן וויקרס ובעומס מסדר גודל כ משתמשים ל"בד. בודדים של פאזה מסויימת

).3b איור(של מאות גרמים עד גרמים בודדים

:ות שנוצרות בחומר הנבדק והעיקבני יהלוםתאור סכמתי של חודר: 3איור

)a ( ה מוארכתפירמידבצורת חודרן קנופ, )b (ה ריבועיתחודרן וויקרס בצורת פירמיד.

:ושישיקולים בביצוע מדידת ק. ה

, שטוח ורצוי שיהיה מלוטש ככל האפשר, השטח הנבדק צריך להיות נקי- טיב השטח .א

ככל שעומס הבדיקה קטן יותר טיב השטח צריך להיות טוב . ומייצג את החומר הנבדק

.יותר

הנמדד באופן ות כשיש לבדוק פני שטח קמורים יש לתקן את ערך הקושי-צורת החומר .ב

. שעובי הדגם יהיה גדול מעשר פעמים עומק החדירהרצוי. יחסי לרדיוס העקמומיות

מרחק זה . קטרים מכל שטח חופשי2.5 צריכה להיות מרוחקת לפחות ותעקבת הקושי

. צריך להיות גם המרחק בין עקבות סמוכות

כיוון שיש חומרים שבהם נמשכת דפורמציה , מוגדר בתקן הבדיקה-משך הפעלת העומס .ג

. פלסטית בעת הבדיקה

5

לעקומת המתיחהותשר בין הקושיקה. ו

מצב . מועמס החומר ממצב של אפס עיבוד עד לעיבורים פלסטיים גדולים מאודותבניסוי קושי

,בכל זאת אם העומס גדל בהדרגה. צירי והם משתנים מאוד בנפח קטן- העיבורים הוא תלת

ופן ניסיוני מצא באMeyer. עיבור של החומר-עומס ועומק החדירה יעקבו אחר עקומת המאמץה

:י כדור ברינל"ע) מ"במ (dלקוטר החדירה ) ג"בק (Fשיש קשר בין העומס

F = kdn' ) 3(

n' הוא קבוע של החומר שמבטא את התנגדותו לחדירה ,k הוא קבוע אחר הקשור למקדם

. מוקשות למתכות2- במתכות מורפות ו2.5-ערכו כ, הקשיית העיבורים של החומר

:בעקבות ממצא זה נמצא קשר ניסיוני דומה בין הקושי למאמץ הכניעה של חומרים אחדים

2 ' 2( / ) 0.13

nyp

VPNKg mmσ −=) 4(

ypבפלדות פחמן ופלדות דלות נתך מטופלות תרמית UTSσ :נמצא הקשר השימושיעבורן ו ≈

( ) 500( )UTS psi BHNσ = ) 5(

עלינו לשים לב שקשרים ניסיוניים אלה מבטאים ממוצע של תגובות החומר למצב מאמצים

מצב זה שונה מאוד ממצב המאמץ בניסוי . ותצירי ולא אחיד בו הוא נתון בעת בדיקת קושי-תלת

אפשר ) למשל שיטת האלמנטים הסופיים(באמצעות שיטות חישוב מיוחדות . צירית-מתיחה חד

אם , ריך את התגובה האלסטית והפלסטית של החומר למצב מאמץ מורכב זהלדמות ולהע

.1bיור אתוצאה של חישוב כזה מובאת ב. צירי-מכירים את התנהגות החומר בניסוי מתיחה חד

ח מכין"שאלות לדו .3

? בעומס קטן ומתי בעומס גדולות מתי כדאי לבצע בדיקת קושי4.1

? פאזי- ל פאזה אחת הנמצאת בתוך חומר דו כיצד ניתן לקבוע תכונות מכניות ש4.2

? האם יש לדעתך משמעות לכך שלמספרי הקושי ברינל וויקרס יש מימדים של מאמץ4.3

? רוקוול אין יחידות כאלהותמדוע למספר הקושי

. חשוב על הקשר בין ניסוי מתיחה וניסוי קושי4.4

הציוד הדרוש לניסוי .4

חומרים מתכתיים , Vickersמכשיר קושי , Rockwellמכשיר קושי , Brinell מכשיר קושי

טבלאות השוואה, ולא מתכתיים

מהלך הניסוי .5

לפי התוצאות מיין את החומרים . RA בדוק את כל החומרים שקיבלת בשיטת 5.1

.RC ולחומרים קשים שמתאימים לבדיקת RBלחומרים רכים שמתאימים לבדיקת

. בהתאם לחלוקה שעשית בסעיף הקודםRC ובשיטת RBק את הדגמים בשיטת בדו5.2

. פעמים3-5חזור על כל מדידה

. שונה עשויים מאותה פלדהעובי את הקושי של דגמים בעלי רוקוולבדוק בשיטת 5.3

.הפלד שונה עשויים מאותה קוטר את הקושי של דגמים בעלי רוקוולבדוק בשיטת 5.4

6

. ג" ק20ג ובעומס " ק10 את כל הדגמים שברשותך בעומס ויקרסבשיטת בדוק 5.5

. פעמים3-5חזור על כל מדידה

ג " ק30, 20, 15.625, 10, 5 את כל הדגמים שברשותך בעומסים ברינל בדוק בשיטת 5.6

. מ" מ2.5חזור על הבדיקות עם חודרן שקוטרו . מ" מ1עם חודרן כדורי שקוטרו

. פעמים3-5דידה חזור על כל מ

נסה לקבוע את הקושי של . של דגם פלדה גבוהת פחמןות בצע ניסוי מיקרוקושי5.7

. הפריט והצמנטיט

ח מסכם"הנחיות לדו. 6

רק הבדיקות שנעשו עם החודרן המתאים (6, א5, 2עבור כל החומרים שבדקת בשלבי הניסוי 6.1

: קבע את, ) החומרותלקושי

, ממוצע הבדיקות

, sולסטיית התקן s2 נותהערכה לשו

. studentי פילוג " עפ95%במובהקות ∆ תחום השגיאה

:מיין את החומרים לפי סדר קושי עולה וסכם את התוצאות בטבלה

החומר ויקרס ברינל רוקוול

∆ s ∆ s ∆ s ממוצע

. מדועהסבר. מצורתו הגאומטרית שחל הדגםותכיצד מושפעת מדידת קושי 6.2

. בעומסים שוניםויקרס השווה את תוצאות בדיקת 6.3

]:2[בדוק האם מתקיימים הקשר . בעומסים שוניםברינל השווה את תוצאות בדיקת 6.4

1 22 21 2

F Fconst

D D= =) 6(

.ע קשר זהונבעשוי להסבר מהיכן

log-log ציריםבlog d כפונקציה של P log שרטט את 5.6י תוצאות מדידותיך בסעיף "עפ 6.5

.Meyerמקדם ו'nוקבע את ) 3משוואה (

? מה היתרונות והחסרונות בבדיקה זו. ותקושי-הבא את תוצאות בדיקת המיקרו 6.6

מקורות 7

1. Metals Handbook, 9th ed, Vol. 8, Hardness Testing, p. 71-113, ASM, Metals Park,

Ohio (1988).

2. G.E Dieter, Mechanical Metallurgy, ch. 9, McGraw-Hill, London (1988).

7

נספח לחישוב שגיאה

מטרות . 1

.הכרת גורמים לשגיאות ניסיוניות. א

.לימוד שיטות סטטיסטיות להערכת שגיאות. ב

מבוא. 2

מושג השגיאה2.1

של ) סקלה(השגיאה הפשוטה ביותר היא זו של קריאת הסרגל . בכל מדידה קיימת שגיאת מדידה

שגיאת המדידה היא מסדר הגודל של הרווח בין . עליו מסומנת חלוקה מסויימת, דידהמכשיר מ

במתח , וגם זו נתונה לתנודות הקשורות בסביבה כמו בטמפרטורה, השנתות הקרובות ביותר

שגיאות כאלה . מקור חשוב אחר לשגיאה קשור למידת האחידות של מערכת הניסוי. 'הרשת וכו

. זור על המדידה כמה פעמים באותם תנאים נקבל סדרה של תוצאותאם נח. שגיאות אקראיותהן

של והפיזור של התוצאות הוא מדד טוב לערך האמיתי של הגודל הנמדד ממוצעאפשר להניח שה

אי הוודאות במדידות (התוצאות סביב הממוצע הוא מדד לאי הוודאות בגלל השגיאות האקראיות

הדירותחזרה על אותה תוצאה נקראת . precisionחוזרות בגלל שגיאות אקראיות נקרא

reproducibility ,repeatability .( ערך אמיתיאנו מניחים לפיכך שלגודל פיזיקלי קיים xo

שהוא שונה מהערך האמיתי xערך מדוד כאשר אנו באים למדוד את אותו הגודל אנו מקבלים אך

:נרשום. בגלל שגיאה במדידה

x = xo +e )1(

e היא השגיאה )error (השגיאה . של המדידהeהיא חיובית או שלילית וערכה אינו ידוע ,

! לכן למושג שגיאה במובן הנוכחי אין חשיבות מעשית

) סיביבות שונות, מכשירי מדידה שונים(אם נחזור על המדידה כמה פעמים ובכמה אופנים שונים

כזה שיש הסתברות ניכרת לקבל בתוכו את הערך (xo + E) עד (xo - E)- מתחוםנוכל למצוא

:אפשר לרשום). א1יור א) ( יהיו בתחום זהxמהערכים המדודים של 2/3 -למשל כ(המדוד

ox x E= ox או ± x E= m) 2(

. ערך מעשיEיש עתה לשגיאה

ערכים : 1איור

מדודים וערך אמיתי

בשגיאה אקראית

.ובשגיאה שיטתית

.ב .א

8

הממוצע החשבוני והסטיות ממנו2.2

x1, x2, x3,……xm פעמים נקבל את הערכיםmאם נחזור על מדידה של גודל פיזיקלי

)3 ( j=1….m xj = xo + ej :נרשום) 1(י משוואה "עפ

)4 ( :הממוצע החשבוני מוגדר באופן הבא

1 1 2 1 2 1 2... ( ) ( ) ...( ) ...

m

jj m o o o m m

o o x

xx x x x e x e x e e e e

x x x em m m m

= + + + + + + + + +≡ = = = + = +∑

x והוא גם ההפרש בין הממוצע של המדגם ממוצא השגיאותהוא xe. קו מעל אות מסמל ממוצע

את ההסתברות שאנו קרובים להעריךבדיון להן נוכל רק . אינו ידועxאך , xo לערך האמיתי

אז חלקן חיוביות וחלקן שליליות ולכן) random, accidental( אקראיותאם השגיאות הן . אליו

xe הולך וקטן ככל שמספר המדידותmל ואנו מאמינים שערכו של הולך וגֵדx שואף לערך

שיטתיתלעומת זאת אם בסדרת המדידות קיימת גם שגיאה . שואף לאינסוףm-כש xo האמיתי

)systematic error ( שואף לערך האמיתי גם אינואז יש עדיפות לשגיאה בכוון מסויים והממוצע

באיפוס ,דוגמאות לשגיאה שיטתית הן טעות בכיול המכשיר). ב1ציור ( שואף לאינסוף m-כש

שגיאות ). בקלורימטר למשל(תהליך שלא הסתיים , חום או חשמל, דליפה של חומר, שלו

בזמן התגובה שלו , כמו בעיות בראייה-שיטתיות יכולות להיות קשורות לאדם המודד עצמו

כ צורך "כדי לגלות אותם יש בד. שגיאות כאלה קשה לגלות. ובבחירתו להתעלם מתוצאות חריגות

לעיתים רק תוצאות שמתקבלות בשיטות אחרות יכולות לגלות את . ך של הניסויבניתוח מסוב

בניסוי טיפות השמן המפורסם שלו קבע מילקן . מילקן היה ניסונאי זהיר מאוד, לדוגמא. השגיאה

x1023(6.022137+7.10-6)- היום מקבל הערך. x1023(6.064+0.006)-את מספר אבוגדרו כ

הטעות של מילקן נבעה בעיקר מגדלים פיזקליים בהם השתמש (Xי דיפרקציה בקרני "שנקבע ע

הוא מדד לאי הוודאות הכללית ) accuracy(דיוק המדידה ). י חוקרים אחרים"שנמדדו ע

).שיטתיתה+ אקראית ה(

יהיה קטן exכך שיש הסתברות ניכרת שממוצע השגיאה xE שגיאה של הממוצענוכל לקבוע

: בו הערך האמיתי והממוצע החשבוני יכולים להיות רחוקים זה מזהתחוםמתאר את הxE. וממנ

o xx x E= o או ± xx x E= m) 5(

:באמצעות המשוואה של מדידה מסויימת) deviation( מגדירים סטייה מן הממוצע

j jx x d= +) 6(

).2יור א(השגיאה אינה שים לב שהסטייה מן הממוצע היא גודל מדוד וידוע אך היא

סטייה מן הממוצע: 2יור א

שהיא הסטייה , והשגיאה

.מהערך האמיתי

9

1 : המדידות נמצאmי סיכום "ע 21

.... 0m

j mj

d d d d=

= + + =∑ )7(

0:נמצא ש) 6(-ו) 3(י החסרת משוואות "וע j jx x e d− = ):4(אבל לפי משוואה −

x j je e d= −) 8(

אין קטנות dj אם הסטיותקטנות אך dj קטנות גם הסטיות ejרואים שאם השגיאות ) 8(ממשוואה

קטנות כי יכולה להיות שגיאה שיטתית גדולה למרות שהפיזור ejזה מלמד בהכרח שגם השגיאות

). ב1יור א(סביב הממוצע קטן

סטיית התקן 1.1

:באופן הבא xj של הערכים המדודים variance (σ2 (שונותמגדירים את ה

)9(

בממוצע זה לא מקוזזות שגיאות חיוביות . השגיאותריבועהשונות היא הממוצע החשבוני של

שורש הריבועי של מוגדרת ַכ) standard deviation (סטיית התקן. מצטברותושליליות כי אם

2σ :השונות σ≡) 10(

(xo + σ) עד (xo - σ)-יהיה בתחום מ xj בתורת ההסתברות מוכיחים שההסתברות שערך מדוד

את סטיית התקן) 2משוואה (E לכן טבעי לבחור בתור שגיאה. 68% היא

. להעריך את סטיית התקןבסטייה מהממוצעבתורת ההסתברות מראים עוד שניתן להשתמש

: והואs-האומדן של סטיית התקן מסומן ב

2 2

1 1

( )

1 1

m m

j jj j

x x d

sm m

= =

−

≡ =− −

∑ ∑) 11(

1m-בגלל החלוקה ב פי אמינות הממוצע גדלה10- ל2-אם מגדילים את מספר המדידות מ, −

.1.4 פי אמינות הממוצע גדלה רק20- ל10- ואם מגדילים את מספר המדידות מ2.2

הממוצעים של , xj ערכים mכל סידרה מכילה , ותנתאר עתה לעצמנו מספר גדול של סדרות מדיד

האומדן של סטיית התקן של . ידות הבודדותהסדרות יהיו מפוזרים בטווח קטן יותר מהמד

:הוא) 5משוואה (xE- שקשור להממוצעים

2 2

1 1

( )

( 1) ( 1)

m m

j jj j

x

x x d

sm m m m

= =

−

≡ =− −

∑ ∑) 12(

2 2

1 12 2

( )m m

j o jj j

x x e

em m

σ = =

−

≡ = =∑ ∑

10

שילוב שגיאה אקראית ושגיאה שיטתית 2.4

: באופןEאם קיימת שגיאה אקראית וגם שגיאה שיטתית מגדירים את השגיאה הכללית

2 2

1 1

( )m m

j o jj j

x x e

Em m

= =

−

= =∑ ∑

) 13 (

2 -ואפשר להוכיח ש 2 2xE d e= + ) 14(

2 גדוליםmעבור ערכי 2 0d σ= 2- היא ריבוע השגיאה האקראית ו→ 2xe s= היא ריבוע השגיאה

. השיטתית

שגיאה יחסית 2.5

: xj של ערך מדוד) fractional error (שגיאה יחסיתמגדירים j j

jo j

e ef

x x≡ ≅) 15 (

של סדרת ם עבורו יש הסתברות ניכרת שערכיתחוםכ) 9- ו2משוואות ( שלך הִמדגםושגיאה יחסית

2 :בתוכו מדידות יהיו 22

2

j

EF f

x= ≅) 16(

)propagation of error(התקדמות של שגיאות 2.6

השגיאה במדידה לגודל מתפשטת כך . הרבה תוצאות ניסיוניות משמשות לחישוב גדלים אחרים

ודל גנניח שמחשבים . נענה על שאלה זו באופן כללי? גיאה בגודל המחושבמהי הש. החדש שחושב

Φ שהוא הפונקציה של גדלים נמדדים: Φ= Φ(x,y,z). עבור שינויים קטנים ∆x, ∆y, ∆z

:בשיעור Φ משתנה הפונקציהx, y, zבמשתנים

d x y zx y x

∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂ ) 17(

מייצגים שגיאות ניסיוניות של הגדלים הנמדדים y = ey ∆x = ex∆ וכן z = z∆ נמדדez - zo = אם

x, y, z , אזΦ dמייצג את השגיאה בפונקציה:

x y ze e e ex y xΦ

∂Φ ∂Φ ∂Φ= + +

∂ ∂ ∂ )א17 (

11

ית שגיאה שיטת2.6.1

. י סטטיסטיקה ואינה קשורה למושגים כמו שונות וסטיית תקן"שגיאה שיטתית אינה נשלטת ע

י " בגדלים הנמדדים עהשגיאות המוערכותי "את השגיאה בפונקציה מחושבת אפשר לקבוע עפ

).17(משוואה

:דוגמאות

x אם:שגיאה בחישוב סכום או הפרש yΦ = ±) 18(

x :השגיאה של מדידה בודדת) א17(שוואה מאז מ ye e eΦ = +) 19(

. הייתה חיסורΦ -לה גם אם פעולת החשבון בהשגיאה תמיד מסוכמת וגֵד

:השגיאה של המדגם, חיובי ey חיובי גם exם למשל א, תלויים זה בזהy- וxאם

EΦ = Εx +Εy ) 20(

x אם :שגיאה בחישוב מכפלה וחילוק yΦ = או ⋅x

yΦ = ) 21 (

x :השגיאה של מדידה בודדת) 17(אז ממשוואה ye ye xeΦ = +) 22(

:והשגיאה היחסיתyx

x y

eeef f f

xy x yΦ= = + = + ) 23(

שגיאה אקראית2.6.2

שהיא , י השונות"עפ EΦ יודעים את השגיאות אך אנו מעריכים את תחום השגיאהנוינאכאן

): א17(הממוצע של הריבוע של משוואה

22 22 2 2 2[ ] [ ] [ ] [ ] 2 ...x y z x ye e e e e e

x y z x yΦ

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ) 24(

ם השגיאות הן כי א) 23( של משוואה הממוצעשב את המכפלות המעורבות יתאפסו כשנַח

:לכן יוותרו רק שלושת האיברים הראשונים, חלקן חיוביות וחלקן שלילייםאקראיות

22 22 2 2 2

x y zE E E Ex y zΦ

∂Φ ∂Φ ∂Φ = + + ∂ ∂ ∂ ) 25(

).confidence limit(מבטאת את תחום השגיאה ) 24(משוואה

:דוגמאות

ax אם:שגיאה בחישוב סכום או הפרש byΦ = ±) 26(

x :השגיאה של מדידה בודדת) א17(אז ממשוואה ye ae beΦ = +) 27(

):24(ניתן ממשוואה ) השונות(תחום השגיאה

2 2 2 2 2x yE a E b EΦ = + ) 28(

קשר זה נכון רק אם שני המשתנים אינם תלויים זה בזה אולם משתמשים בו הרוב המקרים של (

). חישובי סכומים

12

x אם :שגיאה בחישוב מכפלה yΦ = או ⋅x

yΦ = )21(

x :אז השגיאה של מדידה בודדת ye ye xeΦ = +) 22(

:והשגיאה היחסיתyx

x y

eeef f f

xy x yΦ= = + = +) 23 (

2 ): אינם תלויים זה בזהכשהמשתנים(השגיאה של המדגם לכן 2 2x yE E EΦ = +) 29(

:לכן השגיאה היחסית222

22 2 2

yxEEE

Fx y

ΦΦ = = +

Φ) 30(

pXΦ :אם: שגיאה בחישוב חזקה = ) 31(

1p :השגיאה של מדידה בודדת) א17(אז ממשוואה xe pX e+

Φ = ) 32(

2 :דגםהשגיאה של הִמ 1 2 2( )pxE pX E−

Φ = ) 33(

:דגםשל הִמ והשגיאה היחסית22

2 22 2

xEEF p

xΦ

Φ = =Φ

) 34(

ספרות משמעותיות 2.7

12.53 כאשר רושמים שאורכו של גוף הוא מ משמעות הדבר שיש הסתברות ניכרת "ס0.02±

אינה ) בדוגמא3 (הספרה האחרונה . מ"ס12.55-ל 12.51 יןשאורכו האמיתי הוא בתחום שב

. אך יש לרשום אותה, היא מתארת גודל שהוא מסדר הגודל של השגיאה עצמה, מדויקת

ניתן להבין שהשגיאה היא מסדר גודל , מ בלי ציון מפורש של השגיאה" ס12.53- כאם גודל רשום

.מ" ס0.01של

מדויק הפחותהתוצאה לא יכול להיות גדול יותר מהערך של ערכים מספריים הדיוק של חיבורב

לכן מספר הספרות העשרוניות בתוצאה צריך להיות שווה למספר הספרות . בו השתמשנו

:לדוגמא. העשרוניות הקטן ביותר בין מרכיבי הסכום

32.7

3.62

10.008

46.328 46.3

+

+

= →

א זו בלבד שדרגת הדיוק היא זו של הערך הפחות ל, מניב תוצאה שהיא קטנה יחסיתחיסורכאשר

:לדוגמא. מדויק אלא גם הדיוק היחסי קטן בהרבה מהדיוק היחסי של מרכיבי החישוב

673.425

672.91

0.515 0.52

−

= →

.50- ל1ואילו הדיוק של ההפרש הוא 67,000 - ל1הדיוק של הערך הפחות מדויק במחוסרים הוא

13

של התוצאה לא יכול לעלות על הדיוק של הערכים המעורבים היחסיהדיוק ילוק בכפל וח

מעקרון זה נובע שמספר הספרות המשמעותיות בתוצאה הוא רק בקירוב מספר הספרות . בחישוב

:לדוגמא. המשמעותיות בערך המדויק פחות

7346 121 900.0 37,679,400 3.77 10× × = → ×

ממנו נובע שדיוק , 0.27% ~ 1/377 הוא377ך הדיוק בער0.8% ~ 1/121, הוא 121הדיוק בערך

הדיוק היחסי המשתמע יהיה 3.8.107-התוצאה טוב מדיוק המוכפלים את אם נעגל את התוצאה ל

.פים לחילוקשיקולים דומים תֵק. 2.6% ~ 1/38

דוגמא

עם הגז מציית לחוק . אחת השיטות למדוד טמפרטורה היא למדוד את הלחץ במיכל בעל נפח קבוע

o : אזםם האידיאליהגזי

o

PP

T To ולכן =

o

PT T

P=) 35 (

-נניח ש

418.2 1.0

510.1 1.0

273.15

o

o

P torr

P torr

T K

= ±

= ±

=

):30אה משוו(תחום השגיאה היחסי הוא . T=333.2K -ש) 35 (ונמצא ממשוואה

22 2

2 2 2

1.01.0

333.2 510.1 418.2yTE

= +

ET = ∆T =1.06K ומכאן

. יאך בניסוי ממשי הנפח אינו קבוע כי גם הכלי בו נמצא הגז מתפשט והגז הממשי אינו אידיאל

: של המשוואה בניסיון להתחשב בגורמים אלה הואםייאפשרה ניםתיקואחד ה

2

r

(1 3 )P

oo

o o

P PPP vT T t

P P Vα

−= + −

) 36(

α של חומר הכליהתרמית הוא מקדם ההתפשטות ,tבמעלות צלזיוס' הטמפ ,v נפח סגולי של

rP- וv/V=0.01-שנניח . החדר' הלחץ בטמפ Pr -ו, נפח הגזV, המולקולות 456.5 1.0torr= ±

.T=333.94K -נמצא ש) 36(לפי ביטוי

:הנגזרות החלקיות הנחוצות לחישוב הן). 25(משוואה נחשב את תחום השגיאה לפי

r

2

2 2r

(2 )1 0.662

P

0.807P

o o

o

oo o o

T P PT v K

P P V torr

T P P v KT

P P P V torr

−∂= + = ∂

∂= − + = − ∂

2

( )0.0016

P

( )67.1

( / ) P

oo

r r o

oo

r o

P P PT v KT

P P V torr

P P PTT K

v V P

−∂= − = −

∂

−∂= =

∂

14

):24(ותחום השגיאה לפי משוואה

2 2 2 2 2 2 1/ 2 1/ 2[1.0 (0.662 0.807 0.0016 ) 0.003 (67.1) ] [1.0895 0.0405]

=1.063KT TE = ∆ = ⋅ + + + ⋅ = +

).35(רבת שהתקבלה ממשוואה גם הוא שונה אך במעט מהתוצאה המקו

פסילת מדידה 2.8

יש לבדוק אם יש סיבה ניתנת . לעיתים מקבלים תוצאה שונה במידה ניכרת מהתוצאות האחרות

אם סיבה כזו לא נמצאה יתכן שאפשר להראות שסטייה כה גדולה אינה סבירה . לזיהוי לסטייה זו

הוא מבחן סטטיסטי Qמבחן . צאה זושר לא להתחשב בתופ של בדיקות דומות ואז אהבאוכלוסיי

:ליישום המבחן יש לחשב את המנה. לתקיפותה של תוצאה

ערך קרוב ביותר-ערך חשוד

ערך מיזערי-ערך מירבי

.לבדאחד ב, אז אפשר להתעלם מהערך החשוד Q >Qc אם . 1 ולהשוותה לטבלה

מדידות אפשר להשתמש בהתפלגות נורמלית כדי לקבוע אם אפשר 10-אם המדגם גדול מ(

).להתעלם ממדידה חריגה

90% לפסילת מדידה במובהקות של Qערכים קריטיים של : 1טבלה

N 3 4 5 6 7 8 9 10

Qc 0.94 0.76 0.64 0.56 0.51 0.47 0.44 0.41

טיפול סטטיסטי בשגיאה אקראית 2.9

, משפט הגבול המרכזי בתורת הסטטיסטיקה טוען שאם שגיאות מדידה מורכבות מתרומות רבות

אז תוצאות של מדידות רבות יתפלגו סביב -בלתי תלויות וכל אחת קטנה יחסית לשגיאה הכוללת

:בפילוג נורמליהערך האמיתי

2

2

( )1( ) exp

22j o

n x xP x

m σπσ

−= = −

) 37 (

פילוג ). 3יור א(מדידות nj- בx מדידות אנו צפויים למצוא את התוצאה mלומר בתוך מדגם בין כ

ואפשר (זה הוא סימטרי סביב הערך האמיתי לכן הממוצע של מדידות רבות יתכנס לערך האמיתי

).σ יתכנס לסטיית התקן האמיתיתsלהראות גם שהאומדן של סטיית התקן

Q =

15

מספר ( מדידות 376עבור εεεε העמודות מייצגות את שכיחות השגיאה. פילוג אופייני של שגיאות:3יור א

. (ε)ε(P(ε)ε הקו המקווקו הוא הערכה לפונקצית הפילוג הנורמלי ).εεεε המדידות עם השגיאה

.מסומנות ביחס לעקומות הפילוג הנורמלי σ 2=∆∆∆∆-ול σ הערכות לסטיית התקן

אפשר . נות של כל מדידהידרגת אמאת וי המתמטי של הפילוג מאפשרת לקבוע טהביהידיעה של

) ימצא בתחום xj -לקבוע שההסתברות ש )ox σ± ימצא בתחוםא ושהו68%היא ( 2 )ox σ±

לוד של ראינו שהפילוג של ממוצעי בדיקות צר יותר מהפי) 12(במשוואה . 95%הסתברות של ְב

xo.מדידות סביב

אך רק אז הפילוג הנורמלי מתאים לתאר את , פעמים20- נדיר שחוזרים על מדידה אחת יותר מ

י "הפילוג של מספר קטן יותר של מדידות סביב הממוצע בגלל שגיאה אקראית ניתן ע. התוצאות

שונה ממוצע שהערך האמיתי אינו, Pות תארים את ההסתבר מ2 וטבלה 4ר יא. student פילוג

פרמטרים שיש לקבוע nכשיש ( m -1 ν =:דגם היא דרגת החופש של הִמt .ν-המדגם ביותר מ

).ν = m-n :אותם מתוצאות הניסויים מספר דרגות החופש

student P(ττττ)פילוג : 4יור א

∞,ν=1,3,5,ν=1,3,5,ν=1,3,5,ν=1,3,5לדרגות חופש

knorm את הגדלים המשורטטים יש לכפול בקבוע

,νννν = 3 עבור νννν = 1 ,0.3676 עבור 0.3183שהוא

. ∞ = νννν עבור 0.3989-ו, νννν = 5 עבור 0.3796

νννν = ∞ הוא עקום ההתפלגות הנורמלית .

16

tערכים קריטיים של : 2טבלה

כדי למצוא תחום בו נמצא . s = 0.020 והשונות 20.049 מדידות נמצא 10 הממוצע של :לדוגמא

אתν = 9 ובשורה P = 0.95אנו מוצאים בטבלה בעמודה 95% הערך האמיתי בהסתברות

t = 2.26, אז 0.02

22.6 0.01410

∆ = × : הואשנמדד הערך 95%ובמובהקות =

20.049 0.014 (95% =9)υ±.

ח הכנה"שאלות לדו. 3

. מנות את מספר החלקיקים שפוגע בהם ביחידת זמןקרינה מיועדים ִל-ימכשירים מוֵנ

הראה שהשונות במדידה זו היא . nמספר החלקיקים , דד הוא אפואהמשתנה הנמ1

n

. השגיאה קטנה יותר-ככל שמספר החלקיקים הנמנים גדול יותר, ולכן

מקורות

1. D.P Shoemaker, C.W. Garland, J.W. Nibler, Experiments in Physical Chemistry,

ch. 2, McGraw-Hill, (1989) (QD 457 S56 1989).

2. J. Topping, Errors of Observation and their Treatment