1

Васил Пенчев

Теорията на квантовите мярка и вероятност Бележки за чайници (философи) относно “квантовата гравитация”,

записани от друг чайник (философ)

Съдържание:

1. Лебегова и борелова мярка

2. Квантовата мярка

3. Построение на квантовата мярка

4. Квантова и срещу лебегова, и срещу борелова мярка

5. Произходът на квантовата мярка

6. Физическата величина, измерена с квантова мярка

7. Квантовите мярка и величина в термините на границата

на Бекенщайн

8. Размишление относно една обобщена квантова мярка:

Приложната теория на мярката е тъкмо квантовата механика,

ако оставим настрана нейните „разбирачи“. Главният въпрос на

квантовата механика е как нищо (чистата вероятност) може да стане на

нещо (физическата величина). И най-добрата идея на човечеството е че

и двете са мярка само че в различни ипостаси:

Отделни коментари:

1. По лебеговата (ЛМ) и борелова (ЛМ) мярка на реалната

права със или без аксиомата на избора (АИ, ОАИ), със или без континуум

хипотезата (КХ, ОКХ):

1.1. ЛМ и БМ съвпадат (АИ, КХ) (теоремата за продължението

на Каратеодори) що се отнася до борелови множества (БМн) и или могат

само конструктивно да се разграничат (АИ; КХ или ОКХ) що се отнася до

неборелови множества (НБМ), или не могат изобщо да се съпоставят

(ОАИ; ОКХ). Тогава може да им се припише каквато и да е разлика,

включително и липса на разлика. Тази несравнимост е типична ситуация

в квантовата механика и представлява собственото съдържание на

„допълнителността“. Тук лебегова мярка следва да е едномерна, тъй като

реалната права е такава.

1.2. Размерност, ЛМ и БМ: Трябва да се разграничава

размерността на пространството, което се измерва, от размерността на

2

мярката, с която пространството се измерва. Идеята за вероятност, както

и за число е да се въведе универсална мярка (количеството), чрез която

всичко (круши, ябълки, разстояния, обеми и пр.) могат да се измерват

както отделно, вид (качеството) по вид, така и заедно. БМ използва

n-размерни сфери, които сравнява по радиус независимо от броя на

измеренията. Този радиус е бореловата мярка и ако е крайна

представлява Колмогоровата вероятност.

1.3. Може да се предположи (сякаш контраинтуитивно) случая,

когато размерността на пространството, което се измерва, е по-малка от

тази на мярката и че такъв един случай може да има непразно сечение с

ОКХ. Хипотезата не би имала твърде смисъл, докато не се посочи

универсална мярка с размерност, по-голяма или равна на две.

2. Квантовата мярка (КМ) е тримерна универсална мярка.

Мотивация за нея може да е да се въвeде една както пълна (като ЛМ)

така и универсална (като БМ) мярка. Тя би трябвало да реши проблема

за попълването на БМ в общия случай (и АИ, и ОАИ):

2.1. Алтернативен, но еквивалентен подход е да се мерят

празни интервали (без никакви точки в тях), т.е. дискретни или пълни

интервали, по същия начин както пълни интервали. Всъщност квантова

механика именно принуждава появата на такава мярка (и вероятност):

вж. 5.

2.2. Нещо повече, в известен смисъл квантовата мярка е

по-пълна от ЛМ или дори е най-пълната мярка, известна на

човечеството, тъй като мери не само безкрайно малки празни интервали,

но и всеки краен или дори безкраен скок. Обаче тя отлага въпроса да

попълва скока, понеже на първо време няма нужда да го прави, от една

страна, а общата АИ и ОАИ инвариантност даже изисква пълния и

непълния случай да се приравнят и така отхвърля необходимостта от

попълване, от друга. Това доста странно положение на нещата се

обсъжда подробно по-надолу.

3. Построяването на КМ

3.1. Ако е дадена БМ, построяването на КМ е следното:

3.1.1. Целта е да се измерят всички НБМн като се сведат до

някоя комбинация от следните три типа, частично пълни:

3.1.1.1. НБМн, пълни по относително допълнение;

3.1.1.2. НБМн, пълни по изброимо обединение;

3.1.1.3. НБМн, пълни по изброимо сечение.

3

3.1.1.4. Една частична мярка (или една частична вероятност

като мярка, която е крайна) съответства във всеки от трите случая

по-горе.

3.1.1.5. Ако едно НБМн е непълно в едно или повече, дори във

всичките три отношения по-горе, неговата съответна(и) мярка(и)

[вероятности(и)] се приема(т) за нулева.

3.1.2. БМ е частният случай, когато трите мерки (вероятности)

съвпадат. Моля, обърнете внимание, че ако едно НБМн е непълно във

всяко отношение, то все пак има нулева борелова мярка. Тази „задна

вратичка“ е съществена за примиряване на квантовата теория, базирана

на КМ, и общата теория на относителност, положена върху ЛМ или БМ

всъщност.

3.1.3. Този вид построение ще се нарича нататък трицветно.

„Трикольорът“ има точно съответствие в теорията на множествата и

логиката.

3.1.4. Нека сега разгледаме като пример случая на трикольор

или квантовата вероятност, сравнена с класическата. Интервалът [0, 1]

може да се замести с единичното кълбо:

3.1.4.1. Единичното кълбо може да се разложи по един “спинов”

начин на два ортогонални кръга.

3.1.4.2. Точката от единичното кълбо обобщава такава от [0, 1].

3.1.4.3. Точката от единичното кълбо може да се представи

еквивалентно и като две корелиращи комплексни числа (двете проекции

върху ортогоналните кръгове) и като три независими числа (тези от

трикольора по-горе).

3.1.4.4. Както интервалът [0, 1] дава възможност за въвеждане

на единицата за класическа информация, бит, така единичното кълбо –

единицата за квантовата информация, кюбитът:

3.1.4.5. Тъй както един бит може да се мисли като алтернативен

избор между две точки: 0 или 1, един кюбит може да се мисли като

избора между две сфери с радиус съответно 0 и 1.

3.1.4.6. [0, 1] е универсалната измервателна единица на

всичко, което може да бъде измерено класически. Може да се илюстрира

като шивашки метър за всичко, което е нещо, но не е нищо. Ала

единичното кълбо е по-универсална измервателна единица, тъй като

може да мери както всяко нещо, което е нещо, така и нищото по

еднообразен начин. С други думи, тя може да мери както

4

непрекъснатото, така и дискретното без попълване на второто с

континуум от непрекъснати точки, т.е. без да трансформира нищо в

нещо. Следователно, единичното кълбо е съвършената мярка за

квантовата механика, тъй като ѝ помага в решаване на главния ѝ въпрос

(вж. началото), а именно: Как нищо (чиста вероятност) може да стане

нещо (физическа величина)?

3.1.4.7. Така много философи смятат, че същият род въпроси,

защо има нещо, а не нищо, е началото на философията. Квантовата

механика дава един отговор, който е единственият, до който

човечеството е успяло да достигне и който за щастие или нещастие е

конструктивен освен това.

3.2. Ако е дадена ЛМ, построението на КМ е следното:

3.2.1. Построява се трицветна мярка както БМ за всяко

измерение.

3.2.2. Може да се разгледа една „векторна“ мярка, чиито

компоненти са 3Д кълба. Всъщност, тя е еквивалентна и на минковско, и

на хилбертово пространство. Този вектор от единични кълба

представлява единичен ковариантен вектор, т.е. именно една мярка.

3.2.3. Всяка мярка на вектора от кълба ще е КМ на ЛМ. Ако

мярката е обичайната за векторна дължина, измереният резултат ще

бъде 3Д кълбо, а не 1Д дължина. Моля да забележите, че аксиомата за

избора не се употребява в тази КМ-на-ЛМ конструкция.

3.2.4. Използвайки аксиомата за избора, едно кълбо е

еквивалентно на всяко множество от кълба (парадокс на Банах-Тарски:

Banach, Tarski 1924). Следователно няма нужда да се построява мярка от

кълба, тъй като тя е непосредствено равна на едно кълбо (т.е. КМ)

според аксиомата за избора.

3.2.5. Последните два параграфа (3.2.3 и 4) показват

своеобразната инвариантност на КМ спрямо аксиомата за избора за

разлика от ЛМ или БМ. Що се отнася до БМ тази инвариантност е

неразрешимо твърдение (вж. също 3.2.6.3.1). Би могло даже да се каже,

че БМ притежава някаква своеобразна инвариантност или универсалност

спрямо аксиомата за избора: инвариантност на непълнотата. БМ е

непълна както със, така и без аксиомата за избора. Що се отнася до ЛМ,

тя е пълна без АИ, но непълна с АИ. Наистина построението на

множеството на Витали, което е неизмеримо с ЛМ, изисква необходимо

АИ. Същевременно начинът на построяването му показва, че всяко

5

множество на Витали е подмножество на множество с нулева мярка,

каквото е множеството от всички рационални числа вътре в интервала

[0, 1], тъй като има конструиращото взаимно еднозначно изображение

между множеството на Витали и това множество от рационални числа.

Следователно ЛМ при условие АИ е непълно, тъй като има подмножество

на множество с нулева мярка, което е неизмеримо: множеството на

Витали.

3.2.5.1. Разглеждането показва, че ЛМ заема междинно

положение между пълната КМ и непълната ВМ, бидейки отчасти пълна

(без АИ) и отчасти непълна (със АИ). Следователно ЛМ може също така

да демонстрира АИ като границата между потенциалната и актуалната

безкрайност. ЛМ при условие АИ може да измери всяко нещо, което е

крайно, но нито едно, което е безкрайно. КМ за разлика от нея може да

измерва и в двата случая дори при АИ в сила.

3.2.5.2. Поради това инвариантността на КМ спрямо аксиомата

за избора може да се добави към мотивацията за КМ (вж. 3 - 3.2), тъй

като квантовата механика има нужда от такава инвариантост: наистина,

квантовата механика изисква аксиомата за избора, а всяко квантово

състояние само по себе си я отхвърля (заради теоремите от типа “не на

скритите параметри”: Neumann 1932: 167-173; Kochen, Specker 1967).

Следователно, епистемологичното “уравнение”, което приравнява всяко

състояние “само по себе си” с резултата от измерването му, има нужда от

такава инвариантност в случая на квантовата механика.

3.2.6. Остана да се реши (сякаш) един проблем: Има ли БМ или

ЛМ, на която да не съответства КМ след употреба на горната процедура?

Крайни или безкрайни скокове се описват с КМ, за разлика от ЛМ или

БМ. Следователно, КМ може да се приеме за по-обща. Обаче има ли също

случаи, които допускат БМ или ЛМ, но не КМ?

3.2.6.1. За нещастие този въпрос не е от абстрактен, чисто

математически интерес, тъй като е интерпретация на проблема за

квантовата гравитация на езика на теорията на мярката. Общата теория

на относителността използва ЛМ, докато квантовата механика − КМ. Ако

теорията на общата относителност е вярна (както изглежда) и има ЛМ

(БМ) която не е КМ (ЛМ-не-КМ), тогава квантовата гравитация е

неразрешим проблем. Обратното: квантовата гравитация е разрешима

ако и само ако КМ е по-обща от (тъй като не може да е еквивалентна

със) ЛМ (БМ).

6

3.2.6.2. Един опит за кратък отговор би могъл да бъде следният:

3.2.6.2.1. Построението КМ-на-ЛМ изключва хипотезата за

ЛМ-не-КМ. Обаче не може да служи за отричане на неконструктивно

доказателство на ЛМ-не-КМ в общия случай.

3.2.6.2.2. Всяко чисто доказателство от този вид, което

необходимо изисква аксиомата за избора, може да се пренебрегне

поради инвариантността на КМ спрямо АИ/ ОАИ.

3.2.6.2.3. Никое друго чисто доказателство за съществуване на

ЛМ-не-КМ не може да се пропусне, но дали има такива, не се знае. Това

чисто съществуване не е въпрос само от абстрактно-теоретичен интерес.

То предполага, че мярка, по-обща от КМ, някога може да се открие на

основата на ЛМ-не-КМ.

3.2.6.2.4. Може да се допусне нова инвариантност на КХ/ ОКХ,

подобна на инвариантността на КМ спрямо АИ/ ОАИ. Всъщност, тя би

била еквивалентна на съществуването на изброим модел за всяка

математическа структура от първи ред. Това е добре известно пряко

следствие от теоремата на Льовенхайм − Скулем (Löwenheim 1915;

Skolem 1919U; 1919L[1920]). Следователно обаче, тази набедена нова

инвариантност не би се разпростирала извън КМ. Причината е че КХ

влече АИ.

3.2.6.2.5. Ала може да се продължи извеждането на АИ от КХ по

следния начин: от АИ следва парадокса на Скулем (Skolem 1923). От

последния следва невъзможността да се сравняват безкрайни мощности и

заради това неразрешимост на КХ/ ОКХ. Тоест: КХ влече

неразрешимостта на КХ/ ОКХ, но ОКХ не влече тази неразрешимост, тъй

като не влече АИ. Всичко това е още един аргумент в полза на КМ и

срещу ЛМ-не-КМ.

3.2.6.2.6. Все пак “КМ & неразрешимост на КМ/ ЛМ”

удовлетворява почти всички комбинации от АИ, КХ и техните отрицания.

Нещо повече: не изисква ЛМ-не-КМ, тъй като ЛМ и КМ са допълнителни

помежду си, когато АИ и КХ са в сила.

3.2.6.2.7. Що се отнася до проблема за “квантовата гравитация”,

това означава следното. Квантовата гравитация, като предполагаща КМ

се съгласува както с ОКХ и инвариантността на АИ/ ОАИ, така и с КХ и

АИ. Обаче тя не се съгласува с КХ и ОКХ, в чиято област, за жалост, е

построена общата теория на относителността.

3.2.6.2.8. Какво следва за ЛМ-не-КМ в “КХ и ОАИ”? Разбира се,

7

там също може да се построи КМ на всяка ЛМ. От такава конструкция

следва АИ и – обаче! − конструкцията се забранява, щото там ОАИ е

валидна. Това е удивително положение на нещата, напомнящо по-скоро

човешките, отколкото природните закони: КМ е възможна, но забранена,

където общата теория на относителността е валидна. След като някой се

осмели да построи КМ на нейна територия, автоматично се оказва

експулсиран в КХ и АИ, където КМ се допуска, тъй като е допълнителна

на ЛМ и не я принуждава да изчезне.

3.2.6.2.9. Какво следва от всичко това? Квантовата гравитация е

въпрос на избор. Може да се направи теория както на квантовата

гравитацията, така и на обобщената относителност, обаче предварително

трябва да се избере коя от тях. Те трябва да са еквивалентни помежду си

в известен смисъл и за тях може да се мисли като за едно и също.

Следователно общата теория на относителността може да се приеме като

лелеяната квантова гравитация.

3.2.6.2.10. Така стоят нещата, макар и твърде странни, даже

нелепи. Ако и само ако друга и по-обща от КМ мярка бъде открита, така

че ЛМ-не-КМ бъде построена конструктивно, тогава и само тогава общата

теория на относителността и на квантовата гравитация ще могат да са

разграничат действително, т.е. експериментално. Обратно: ако се

наблюдава експериментално опровержение на общата теория на

относителността, от това ще следва обобщение на КМ (ОКМ). Мир на

праха и за Алберт Айнщайн, и за Нилс Бор, тъй като общата теория на

относителността могат да са универсални само заедно и примирени. ОКМ

ще може да разреши спора между тях или да отстрани и двамата, когато

се появи. Но ние нямаме и най-малка представа относно ОКМ.

3.2.6.3. Най-сетне, примерът на БМ може да се използва, за да

илюстрира странния вид сякаш неразрешимост на КХ спрямо АИ и оттук

отношението на общата теория на относителността и квантовата

механика в термини на мярката:

3.2.6.3.1. ВБМ влече КХ според теоремата на Александров −

Хаусдорф (Alexandroff 1916 (друга връзка), Hausdorff 1916, cf. Sierpiński

1924): Всяко неизброимо ВМ има съвършено подмножество (а всяко

съвършено подмножество има мощност на континуум). Обаче, от КХ на

свой ред следва АИ, а от последната – парадокса на Скулем, т.е.

несравнимостта (или по-точно, неподредимостта) на кои да е две

безкрайни мощности. Следователно, БМ може да се съгласува както със

8

КХ, така и с ОКХ, тъй като ВМ и КХ са допълнителни в известен смисъл.

Ако случаят е ОКХ, тогава АИ не следва и БМ се съгласува както с КХ,

така и с ОКХ.

3.2.6.3.2. Разбира се, и би трябвало да е така, понеже БМ е

частен случай на КМ, а последната се съгласува с ОКХ (както и с КХ и

АИ).

3.2.6.3.3. Всичко това показва как е възможно БМн и БМ да се

съгласуват както с ЛМ, така и с КМ даже когато АИ и ОАИ са в сила. Това

е областта на общата теория на относителността, която не би трябвало

да съществува, ако от КХ следва АИ. Настина, КХ влече АИ, само че от

АИ следва неразрешимост КХ или ОКХ, която позволява съществуването

на областта на общата теория на относителността.

3.2.6.4. Може да се резюмира логическото отношение на общата

теория на относителността и квантовата механика посредством същото

такова между ЛМ и КМ. Грубо казано, те са допълнителни поради

подобната допълнителност на КХ/ ОКХ и АИ/ ОАИ, вкоренена в

удивителните или дори парадоксални свойства на безкрайността: АИ

предполага една единствена безкрайност, която следва да е изброима.

Обаче, и КХ, и ОКХ предполагат безкрайно множество от множества,

което може също да е изброимо (КХ) на свой ред.

3.2.6.5. Това необикновено логическо отношение не поражда

противоречия. Всъщност, то е в разрез само с нашите предразсъдъци.

Все пак може да се опитаме да обясним и осветлим причината за

объркването и неразбирането:

3.2.6.5.1. Всяко нещо от опита ни може да е или неделимо цяло

(a much), или разделено на части (a many): никое “much” не може да е

едновременно едно “many” и обратното.

3.2.6.5.2. Оказва се, че горният постулат не е валиден що се

отнася до безкрайността: тя може да се дефинира като това “much”,

което е “many” или като това “many”, което е “much”.

3.2.6.5.3. Следователно тя може да бъде еднакво разбрана като

едно единствено “much”, състоящо се от едно “many” от части (при АИ)

или като едно “many” от неделими цели (“much”-ове) (при КХ / ОКХ).

3.2.6.5.4. За да се примирят двете гледни точки с една

единствена илюстрация, може да се използва образа за цикличност.

3.2.6.5.4.1. Докато всяко (друго) нещо се състои от нещо друго

и не е самореференциално или циклично, безкрайността е онова, което

9

се състои тъкмо от себе си самореференциално или циклично: Нейното

“much” е принудено да се завърне обратно в себе си като множество от

единици.

3.2.6.5.4.2. АИ предполага този цикъл, докато КХ или ОКХ

разгръща този цикъл в линия. Следователно, АИ вижда безкрайността

като добра наредба (линия) свързана като цикъл, докато КХ (или ОКХ) –

като много цикли, добре подредени в линия.

3.2.6.5.4.3. Не възникват никакви противоречия между тях, тъй

като и двете са едно и също, видяно от противоположни перспективи.

4. КМ може да се сравни както с БМ, така и с ЛМ, за да изпъкне

нейната същност и белези:

4.1. КМ срещу БМ:

4.1.1 Подобия:

4.1.1.1 И двете се предполага да са универсални.

4.1.1.2 И двете пораждат вероятности, когато са ограничени.

4.1.1.3 И двете се пораждат от БМн.

4.1.1.4 Има обща гледна точка, според която КМ може да се

разглежда като триизмерно или „трицветно“ обобщение на БМ.

4.1.2 Разлики:

4.1.2.1. КМ е пълна, БМ − не.

4.1.2.2. КМ е тримерна, БМ е едномерна.

4.1.2.3. БМ може да се разглежда като частния случай, когато

трите измерения на КМ съвпадат.

4.2. КМ срещу ЛМ:

4.2.1. Подобия:

4.2.1.1. И двете са пълни при ОАИ (вж. 3.2.5 по-горе и сл.

по-подробно).

4.2.1.2. КМ и ЛМ си съответстват “две-към-две”, т.е. “± към ±”

или в други означения: “квадрат-към-квадрат”.

4.2.1.3. Никоя от КМ и ЛМ не може да се изведе от другата или

представи като частен случай на другата.

4.2.1.4. Разликите помежду им (вж. по-горе) фокусират върху

общо 3Д пространство, където те изчезват. Може да се използва

метафората за двете очи или бинокулярното зрение за КМ и ЛМ.

4.2.2. Разлики:

4.2.2.1. КМ е тримерна, докато ЛМ е с произволна, даже

безкрайна размерност.

10

4.2.2.2. Размерността на КМ не съответства в общия случай на

тази на измерваното пространство. Те могат да се интерпретират

различно дори и в частния случай, когато съвпадат (три измерения).

Размерността на ЛМ винаги съвпада с нея.

4.2.2.3. КМ е универсална: не зависи от размерността на

измерваното пространство. ЛМ не е универсална: Тя строго съответства

на размерността на измерваното пространство.

4.2.2.4. Ако се използва метафората на бинокулярното зрение

за КМ и ЛМ (вж. 4.2.1.4), то техният “глобален фокус” винаги е в

“равнината” на КМ, докато ЛМ може да представя “локалното развитие

или промяна” измерение по измерение.

5. Произход на КМ:

5.1. КМ се появява заради квантовата механика от матричната

механика на Хайзенберг (Heisenberg 1925) и вълновата механика 1 на

Шрьодингер (Schrödinger 1926A): те се обединяват от последния

(Schrödinger 1926Ü).

5.2. Макар хилбертовото пространство да гарантира достатъчен

математически формализъм (както фон Нойман показва в Mathematische

Grundlagen der Quantenmechanik, Neumann 1932) за квантовата

механика, смисълът на тази гаранция, както и отношението ѝ към двата

първоначални компонента, съответно матричната и вълновата механика,

остава неразбрано:

5.2.1. Матричната механика на Хайзенберг представя всички

квантови движения само като дискретни, а не като непрекъснати или

гладки.

5.2.2. Обаче вълновата механика на Шрьодингер представя

всички квантови движения само като гладки, а не като дискретни.

5.2.3. Следователно, смисълът на квантовата механика, която

обединява двете посредством хилбертовото пространство е всъщност че

всички квантови движения са инвариантни спрямо прехода между

дискретното и гладкото.

5.2.3.1. Обаче вълновата механика има предимството, че тя

може да представи тази инвариантност в термините на непрекъснатото и

1 Относно вълновата механика в термините на вероятностната „интерпретация“ на вълновата функция: виж;

също така отношението между уравнението на Шрьодингер и формулировката на квантовата механика чрез

интеграли по траектории. Последното се основава на факта, че всяка „траектория“ е една добра наредба от

всички възможни.

11

гладкото, каквито термини са доминиращите за класическата механика,

макар че са само предразсъдъци, наследство от миналото, безполезно и

даже вредно:

5.2.3.2. Вредата се състои в това, че инвариантността на

дискретното и гладкото що се отнася до квантовите движения остава

плътно скрита в математическия апарат на хилбертовото пространство и

съответно неразбрана във физическата интерпретация.

5.3. Истинският смисъл на КМ е да осигури обща мярка и за

дискретното, и за гладкото, така че да предложи подходящ език за

тяхната инвариантност, изисквана от квантовата механика.

5.3.1. Случаят на дискретен (квантов) скок, измерен с КМ:

5.3.1.1. Всеки квантов скок може да се разложи на хармоници с

преобразованието на Фурие:

5.3.1.2. Тогава всеки от тези хармоници може да се номерира

като една КМ за n-тото измерение на хилбертовото пространство.

5.3.1.3. n-тото измерение на хилбертовото пространство може да

се интерпретира като честота и следователно – като енергия,

съответстваща му (ѝ) взаимно еднозначно.

5.3.1.4. Горната конструкция показва прехода от реално към

комплексно хилбертово пространство и също прехода от ЛМ към КМ.

Между другото универсалността на КМ е подобна на тази на

комплексните числа.

5.3.2. Случаят на непрекъснато или гладко физическо движение

измерено с КМ:

5.3.2.1. Тъй като непрекъснатото или гладкото физическо

движение означава движение в евклидовото пространство, което е

обичайното тримерно, то може да се разложи на последователни 3Д

сфери или кълба, съответстващи взаимно еднозначно както на всички

точки на траекторията във времето, така и на последователните сфери

или кълба на светлинния конус в пространството на Минковски, както и

на последователните измерения на хилбертовото пространство.

5.3.2.2 Следователно, тези точки от траекторията могат да се

номерират и разгледат като една КМ за n-тото измерение на хилбертовото

пространство по начин, аналогичен на 5.3.2.1 (вж. по-горе).

5.3.2.3. Сега n-тото измерение на хилбертовото пространство

може да се интерпретира като момент от времето (и за разлика от 5.3.1.3

по-горе), съответстващо му взаимно еднозначно.

12

5.3.2.4. Двете горни построения (и 5.3.1, и 5.3.2) показват защо

КМ е универсална, както и смисълът на тази универсалност. Тъй като

честотата (енергията) и времето са реципрочни (или допълнителни в

смисъла на квантовата механика), то те могат да се съпоставят като две

дуални хилбертови пространства, свързани и взаимно еднозначно

изобразяващи се чрез преобразованието на Фурие..

5.4. Вероятностната механика на Макс Борн2:

5.4.1. В 1926 г. предполага, (Born 1926, 1927D, 1927P; Born,

Fock 1928; Born 1954) че квадратът на модула на вълновата функция

представлява вероятност, а именно тази на състоянието, която

съответства на вълновата функция. Обаче кой знае защо това е наречено

“статистическа интерпретация” на квантовата механика. Терминът

“интерпретация”, използван от самия Макс Борн като израз на научна

скромност и вежливост, не бива да подвежда. Неговото използване

показва пълно неразбиране на хипотезата на Макс Борн и стремеж за

подценяването ѝ. Всъщност тя не е била и не е интерпретация, а една

друга, трета форма на квантовата механика, наред с матричната и

вълновата механика. Това е причината да се нарече вероятностна

механика (след като изразите “вълнова механика” и “матрична механика”

са общоприети), а не интерпретация.

5.4.2. Вероятностната механика споделя хилбертовото

пространство с матричната и вълновата механика. Обаче вълновата

функция (т.е. точка в хилбертовото пространство) тук не означава

квантов скок, разложен по енергии, нито траектория, декомпозирана по

времеви моменти, а характеристичната функция на комплексна случайна

величина (или на две спрегнати реални величини).

5.4.3. Би трябвало да се кажат няколко думи за

преобразованието на Фурие на комплексна случайна величина и за

нейната характеристична функция:

5.4.3.1. В действителност интерпретацията им е съвсем

симетрична и проста: преобразованието на Фурие и заместването на

комплексна случайна величина с нейната спрегната разменят двете

2 “Вероятностната механика” е почти същото като “холографския принцип”, който е много широко

обсъждан. Тъкмо да се избегне тази дискусия е една от причините да се въведе изразът “вероятностна

механика”. Друга е че “холографският принцип” се появява воден от “логиката” на общата теория на

относителността, докато квантовата механика (и нейната КМ) е това, което тук се проследява, за да се

достигне в края на краищата до общата теория на относителността.

13

дуални хилбертови пространства.

5.4.3.2. Следователно характеристичната функция на

спрегнатата на комплексната случайна величина е тъкмо самата

комплексна случайна величина.

5.4.3.3. Интерпретацията на комплексна случайна величина е

също проста. Тъй като една комплексна случайна величина може да се

интерпретира като две реални спрегнати (реципрочни) физически

величини, например такива като време и честота (енергия), тогава

спрегнатата на самата случайна величина трябва да представлява просто

размяната между двете съответни физически величини или между осите

на комплексната равнина, или нейната ротация на ъгъл π/2.

5.5. Вероятностна срещу матрична механика: Ако се сравнят,

разликите биха били само две: в интерпретацията и в избора между ОАИ

и АИ.

5.5.1. Ала вълновата функция и двата случая и независимо от

разликите би била една и съща, а и една и съща точка в Хилбертовото

пространство. Тази еднаквост подсказва инвариантност както спрямо

вероятностната срещу матричната „интерпретация“, така и спрямо ОАИ

срещу АИ.

5.5.2. Тъй като вълновата функция е сума от измереното с КМ,

то тази инвариантност може да се сведе напълно до КМ:

5.5.2.1. КМ като квантова вероятност гарантира първите

членове, а разложена по измерения (които са хармоници или

енергетични нива в случая) осигурява вторите.

5.5.3. Един философ би подчертал извънредната универсалност

и на хилбертовото пространство и на КМ, противоречащи на здравия

разум:

5.5.3.1. Защо и къде точно? КМ е дотолкова универсална, че

може да мери и неподреденото (и даже неподредимото по принцип), и

добре подреденото и следователно подреждайки го:

5.5.3.2. В нашия случай може да мери и подрежда квантови

вероятности (за неподредимото по принцип) и квантови скокове (за

добре подреденото по хармоници или енергии), и чрез това КМ

установява взаимно еднозначно изображение между квантови

вероятности и квантови скокове:

5.5.3.3. Това взаимно еднозначно изображение е твърде

шокиращо за предразсъдъците. То показва, че едно равнище на енергия

14

съответства точно на една квантова вероятност: тоест физическа

величина (каквато е първата) може да се приравни с реално число без

каквато и да е физическа размерност (каквото е втората):

5.5.3.4. Ала тъкмо това е което е необходимо за нашите цели,

обявени в началото: да се демонстрира как КМ позволява (дава

възможност) нищо да стане нещо или обратното и eo ipso creatio ex nihilo

и reductio ad nihilum (т.е. реално творение или унищожение).

5.6. Вероятностна срещу вълнова механика: Всичко, което беше

казано по-горе (5.5) относно връзките между вероятностната и

матричната механика може почти буквално да се повтори пак в този

случай. Несъществените разлики са следните:

5.6.1. Дуалното хилбертово пространство замества своя

близнак.

5.6.2. Добрата наредба по време замества тази по честота

(енергия).

5.6.3. Взаимно еднозначното изображение, основано на КМ, сега

установява съответствие на една вълнова функция като квантова

вероятност с непрекъсната или гладка траектория във времето.

5.6.4. Поради това се появява тройно (даже четворно) взаимно

еднозначно изображение: то твърди инвариантност или еквивалентност в

известен смисъл между квантовите скокове (за дискретното), гладките

траектории във времето (заради непрекъснатото) и квантовите

вероятности (за неподредимото по принцип).

5.6.5. Това тройно изображение показва как чисти числа, даже

само естествени (за “нищото”), могат да породят физически величини по

двойки от спрегнати (реципрочни), такива като честота (енергия) и

време. Етапите на това пораждане са следните:

5.6.5. Естествените числа са някак дадени (може би от самия

Господ както е смятал Леополд Кронекер [Weber 1893: 19 − “Die ganzen

Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”]).

5.6.6. Нищо.

5.6.7. Сътворение: Кюбитове (или КМ) замества всяко от тях,

пораждайки хилбертово пространство.

5.6.8. Хилбертовото пространство поражда това тройно

изображение между квантова вероятност, енергия и време и поради това

вече възниква и физическият свят.

5.7. Квантовата механика, видяна като обединение и на трите

15

вида механика: вероятностна и матрична, и вълнова:

5.7.1. Квантовата механика е по-добре да се разбере като

обединение и на трите типа механика, изброени по-горе, вместо само на

последните два.

5.7.2. Смисълът на това обединение е необикновената

инвариантност (или в известен смисъл еквивалентност) на дискретното,

непрекъснатото (гладкото) и вероятностното в общата форма на квантово

движение:

5.7.3. Квантовото движение може вече да се мисли като

отношение между две или повече състояния независимо от това, дали

всяко от тях се разглежда като дискретно, непрекъснато (гладко) или

вероятностно, тъй като те винаги са представени от една и съща вълнова

функция и в трите случая:

5.7.4. Ала това навежда на далеч отиващи философски

заключения:

5.7.4.1. Разликата не само между дискретното и непрекъснатото

(гладкото), но също и тази между двете и вероятностното е само

привидна и акцидентална или даже антропоморфна в известен смисъл.

5.7.4.2. Квантово движение разчупва техните граници и дава

възможност за всеки преход между тях.

5.7.5.3. Вероятностното е разположено, да речем, “между”

дискретното и непрекъснатото (гладкото) и може да се разглежда в

качеството на нещо като субстанция на този вид преход. Съответно

дискретното и непрекъснатото могат да се предположат като двата края

или частни случаи на вероятностното, които са противоположни помежду

си. И това не е всичко:

5.7.5.4. Това, което е физически съществуващото според

здравия разум, може да се свърже само с тези два края. Физическата

реалност се състои от (заключава се във) едва ли не само тези два края,

тъй като те са всичко действително.

5.7.5.5. Според същия здрав разум вероятностното не може да

бъде физически реално, тъй като не е действително. Ала квантовата

механика показва, че тъкмо това е случаят: “Толкоз по-зле за квантовата

механика, защото това значи, че тя е невярна или поне непълна“ –

тогава обяви здравият разум. Квантовата механика, а не здравият разум,

обаче, пак се оказа правата, експериментално потвърдено (Bell 1964;

Clauser, Horne 1974; Aspect, Grangier, Roger 1981; 1982).

16

5.7.5.6. Ако квантовата механика е правата, какво следва за

философското взаимоотношение между реалност и “виртуалност”?

5.7.5.7. “Виртуалност” е термин въведен тук да обозначи именно

новия клас, изискван от квантовата механика и включващ и реалността

(т.е. дискретното и непрекъснатото [гладкото]), и “само” (привидно)

възможното, така че да позволи свободата на всеки преход между тях.

5.7.5.8. Следователно виртуалността е термин за новия строеж

на битието, според който границите между действителното и възможното

са разчупени и всички видове преход между тях са допустими.

5.7.5.9. Поради това виртуалността, установена от квантовата

механика, може да разреши нашия собствено философски (и даже

теологичен) проблем относно creatio ex nihilo или reductio ad nihilum.

Областта на вероятността може да описва много добре тези creatio и

reductio като състояния и процеси: строго математически може да се

види действителното в сътворение или унищожение, т.е. в процес на

сътворяване или унищожение, като промяна на вероятността.

5.7.6.10. Не по-малко изумяващо е че новият “строеж” на

виртуалността предполага математиката да е по-обща от физиката, ако

последната се определи и ограничи само до действителното; или с други

думи, математиката и една нова и по-обща физика би трябвало да

съвпаднат.

5.8. Как да се тълкува фермионния и бозонния вид статистика

по спин в светлината на това обединение?

5.8.1. Според така наречената теорема за статистиката по спин

(Fiertz 1939; Pauli 1940) всички квантови частици могат да се

подразделят на два взаимно изключващи се класа при вторичното

квантуване: фермиони и бозони:

5.8.1.1. Тъй като вторичното квантуване изобразява вълновите

функции на квантовите частици “две към две”, то допуска два вида

решение що се отнася до размяната на две време-пространствени

положения на две квантови частици: симетрично (++, −−) и

антисиметрично (+−, −+).

5.8.1.2. Бозоните се предполага да са тези със симетричната

размяна, а фермионите – онези с антисиметричната. Оказва се, че всеки

брой бозони може да споделя едно и също състояние и вълнова функция,

докато ако са бозони – само две.

5.8.1.3. Лесно може да се забележи следното: квантовата

17

вероятностна механика обяснява много добре това свойство що се отнася

до бозоните, а матрично-вълновата – не по-малко успешно за

фермионите:

5.8.1.4. Наистина, възможността за споделяне на общо

състояние или вълнова функция се дължи на споделянето на обща

вероятност от произволен ансамбъл квантови частици. Този ансамбъл,

който може да се състои и от безкраен брой елементи, се предполага, че

не е добре нареден.

5.8.1.5. Същият ансамбъл, вече добре нареден, може да се

различи в два вида добра наредба, съответни на двата фермиона, които

се допускат в едно и също състояние или вълнова функция. Единият е

добре подреден към, а другият от безкрайността. Ако подреждането е по

време и енергия, то единият фермион сякаш съответства на дискретната

“половина” на вълново-корспускулярния дуализъм, а другият – съответно

на неговата непрекъсната (гладка) “половина”.

5.8.1.6. Оттук може ясно да се види, че вторичното квантуване,

от което възниква статистиката по спин, или е еквивалентно на, или е

частен случай на една квантова механика, която включва както

вероятностната, така и матричната и вълнова механика. Наистина,

смисълът на вторичното квантуване е да се дефинира “квантовото поле”.

Всъщност, това се прави като се приписва една вълнова функция (т.е.

едно квантово състояние) на всяка време-пространствена точка. Тази

квантова механика, която включва както вероятностната, така и

матричната и вълнова механика, приписва време-пространствена точка

на всяка вълнова функция. Тогава:

5.8.1.6.1. Ако квантовото поле е добре наредено, тогава

изображението между всички вълнови функции (хилбертовото

пространство) и всички време-пространствени точки (пространството на

Минковски) е взаимно еднозначно, а вторичното квантуване е

еквивалентно на онази квантова механика, която включва

вероятностната механика. Тогава всяка квантова частица трябва

необходимо да е или бозон, или фермион.

5.8.1.6.2. Ако квантовото поле не е добре подредено, то допуска

два противоположни варианта, както и двата заедно:

5.8.1.6.2.1. Две или повече време-пространствени точки да

споделят една и съща вълнова функция и следователно обратното

изображение да не е добре дефинирано: то не е функция.

18

5.8.1.6.2.2. Две или повече вълнови функции да споделят една

и съща време-пространствена точка и следователно, правото

изображение да не е добре дефинирано: то не е функция.

5.8.1.6.2.3. Но най-общият случай е две или повече

време-пространствени точки да споделят две или повече вълнови

функции (т.е. двете по-горе заедно). Ако това е случаят, то той може да

бъде еднакво описан като някои време-пространствени точки, които

споделят част от някои вълнови функции (сдвояване) или като вълнови

функции, които споделят “част” от време-пространствени точки

(“квантова” гравитация). Взаимоотношението или еквивалентността на

сдвояване и гравитация са изследвани другаде (напр. тук).

5.8.1.6.3. Ако квантовото поле не е добре подредено, както

по-горе, то може да се представи по няколко начина (както и като техни

комбинации и изображения):

5.8.1.6.3.1. Като изкривяване на хилбертово до банахово

пространство;

5.8.1.6.3.2. Като изкривяване на минковско до псевдориманово

пространство;

5.8.1.6.3.3. Като квантови частици с произволен спин: такъв

който може да е произволно реално число.

5.8.2. Преходите между “вероятностната” вълнова функция и

“добре-подредената” вълнова функция по всеки от горните начини по

същество описва възникването на “нещо от нищо и от време” (“време” е

заради аксиомата за избора) както като непрекъснат процес, така и като

квантов скок, както и като чисто информационно събитие.

5.8.3. Могат да се дадат примери на такова възникване в

термините на класическата (гравитацията) или квантовата (сдвояването)

физика като непрекъснат процес.

5.9. Квантовата механика, КМ и АИ:

5.9.1. Един въпрос може да е останал тъмен и непрояснен: Дали

квантовата механика се нуждае от АИ?

5.9.2. Квантовата механика е наистина единствената

експериментална наука, която необходимо изисква АИ. Грубо казано,

състоянието преди измерване не трябва да е добре наредено, ала след

него трябва да е. Това означава, че измерването предполага теоремата

за добрата наредба, която е еквивалентна на АИ:

5.9.2.1. Теоремите, че “няма скрити параметри” (Neumann 1932:

19

167-173; Kochen, Specker 1967) не оставят възможност за добра наредба

преди измерване.

5.9.2.2. Ала дори само записът на измерваните резултати

(който, разбира се, е след измерването) принуждава да са добре

подредени.

5.9.2.3. Основните епистемологични постулати приравняват

състоянията преди (5.9.2.1) и след (5.9.2.2) и от тях следва АИ.

5.9.2.4. Макар измерването да изисква АИ (както 5.9.2.3

твърди), тя остава неприложима преди измерването заради 5.9.2.1.

Следователно квантова механика е длъжна да се съгласува и със АИ, и

със ОАИ в добавка.

5.9.2.5. Единственото възможно заключение е твърде

необичайно: квантовата механика се съгласува както с АИ, така и с ОАИ.

Обаче квантовата механика не се съгласува с отсъствие както на АИ,

така и на ОАИ.

5.9.3. Можахме да видим (3.2.6.4 и преди него), че КМ е

свързана с АИ по същия необичаен начин. Това ще рече, че квантовата

механика се съгласува с КМ що се отнася до АИ, както и следва да се

очаква.

5.10. Квантовата механика, КМ и континуум-хипотезата (КХ):

Това необикновено взаимоотношение между квантовата механика, КМ и

АИ продължава и с КХ:

5.10.1. ОКХ се съгласува както АИ, така и ОАИ, поради това

квантовата механика се съгласува с ОКХ.

5.10.2. Обратно, от КХ би трябвало (уж) да следва АИ. Обаче АИ

влече неразрешимостта на КХ и ОКХ: тогава от КХ следва посредством

АИ собствената ѝ неразрешимост. Единственият изход е да се допусне

допълнителността на КХ и АИ, което освен това се съгласува с 5.10.1.

5.10.3. И квантовата механика, и КМ споделят това необичайно

отношение спрямо КХ посредством АИ.

5.10.4. Макар нещата да са странни, те не са логически

противоречиви: объркват само „здравия разум“. Причината за тази

привидна бъркотия е намесата на безкрайността, за която се опитваме да

мислим като за нещо крайно (вж. и 3.2.5.1 по-горе).

6. Физическата величина, измерена с КМ или с ЛМ, или с БМ:

6.1. Определението на физическа величина в квантовата

механика включва измерване с КМ. То е обобщение на съответното

20

понятие в класическата физика и точни науки.

6.2. Квантовото изобщо може да се види като обобщение от ЛМ

и БМ до КМ. Съответствието е следното:

Таблица 1

Величина Единица Стойност

Класическият случай Реална величина Мерна единица Реално число

Квантовият случай Вълнова функция Спрегната вълнова

функция

Самоспрегнат

оператор

6.3. Няколко извода могат да се направят от това съответствие:

6.3.1. Смисълът на точка от дуалното хилбертово пространство е

да бъде “мерна единица”, или нещо като отправна система, която може

да мери точка от хилбертовото пространство.

6.3.2. Измерената стойност представлява разстоянието между

точката на „мерната единица“ (или също нейната спрегната точка) и

друга точка, която е за измерваната величина. Това разстояние може да

се мисли и като разстояние в “отправната система” на тази точка.

6.3.3. И двата случая са “плоски”: Те запазват мярката при

транслация или ротация. Ако транслацията и ротацията се разбират като

транслация и ротация във време-пространството, тогава това, че са

“плоски”, влече класическите закони за запазване, допълнени с

лоренцовата инвариантност. Специално може да се подчертаят

времевата транслация и законът за запазване на енергията.

6.3.4. Такава “плоскост” изобщо може да се приравни с

аксиомата за избора. Наистина добрата наредба изисква такава

„плоскост“, тъй като в противен случай се поява второ измерение за

подреждане, поставяйки под въпрос добрата наредба, направена само по

първото.

6.3.5. Горната таблица (1) може да се перифразира в термините

на “кривото” като следващата таблица 2, проблематизирайки как двете

таблици се съотнасят:

Таблица 2

Величина Единица Стойност

Класическият случай Реална величина Мерна единица Реално число

“Кривият” случай Контравариантен вектор

Ковариантен вектор

Метричен тензор

21

6.3.6. Очевидно е че “кривият” случай е този на общата теория

на относителността и гравитацията. Въпросът за връзката между двете

таблици е проблемът на квантовата гравитация, представен в термините

на общата теория на относителността и теорията на мярката.

6.3.7. За да са заедно пред очите, нека съчетаем двете таблици

в обща нова (3):

Таблица 3

Величина Единица Стойност

Класическият

случай

Реална величина Мерна единица Реално число

Квантовият случай

Вълнова функция Спрегната вълнова функция

Самоспрегнат оператор

Гравитацията Контравариантен вектор

Ковариантен вектор Метричен тензор

Квантовата

гравитация

??? ??? ???

6.3.8. Горната таблица (3) показва, че проблемът на квантовата

гравитация е проблем на мярката, както вече се обясни (вж. 3.2.6.1

по-горе и следващите): той засяга привидно противоречивите свойства

на безкрайността, фокусирани върху това, как АИ и КХ би следвало да се

отнесат една към друга (вж. и 5.10.4 по-горе). Следното може да се

добави накратко към вече казаното:

6.3.8.1. Гравитацията в общата теория на относителността,

бидейки както “крива”, така и гладка, предполага “класическия” случай

на ОАИ и КХ. Обаче понеже КХ влече АИ, той не би следвало да

съществува. В края на краищата той все пак се появява, тъй като АИ на

свой ред влече неразрешимост между КХ и ОКХ. В последна сметка, той

се отнася до свойството на безкрайността да бъде и циклична, и линейна

(вж. 3.2.6.5.4. по-горе и следващите) за разлика от всичко в обичайния

ни опит.

6.3.8.2. Имайки предвид горното, квантовият и гравитационният

случай могат да се мислят като допълнителни. В частност туй ще рече, че

стойностите на една величина като самоспрегнат оператор или като

метричен тензор са също така допълнителни, както и КМ и “кривата” ЛМ

и чрез това − че КМ и ЛМ са даже еквивалентни по характерния начин на

квантовата механика.

22

6.3.8.3. Тъкмо тази допълнителност на КМ и ЛМ е взета предвид

що се отнася до ОКХ, която се съгласува както с АИ, така и с ОАИ и

поради това – с чудната инвариантност на АИ и ОАИ.

6.3.8.4. Поради горните три, що се отнася до случая КХ може да

се предположи свободно, че той точно повтаря случая ОКХ по отношение

на АИ и ОАИ за неразрешимостта между КХ и ОКХ при АИ. Това би

означавало, че не е необходима изобщо теория на квантовата

гравитация, тъй като двойката от квантовата механика и обща теория на

относителността може да представи нещата, каквито и да са.

6.3.8.5. Следното би трябвало да се подчертае на фона на

току-що казаното: в същата степен свободно може да се допусне

обратното. Тоест, случаят КХ не повтаря случая ОКХ тъкмо заради

използваната неразрешимост между КХ и ОКХ при АИ. Това ще рече, че

теория на квантовата гравитация е възможна, макар и никога да не е

необходима, поради 6.3.8.4.

6.3.8.6. Може да се сравни с реалното състояние: наистина

много теории за квантовата гравитация се появяват постоянно и може да

се предположи, че някои от тях не противоречат на експериментите

точно защото са възможни. Обаче те не са необходими по принцип, тъй

като общата теория на относителността също не противоречи на

експериментите, “бръсначът на Окам” ги отстранява всички, оставяйки в

наличност само общата теория на относителността.

7. КМ и квантова величина в термините на границата

Бекенщайн:

7.1. Границата на Бекенщайн (Bekenstein 1972; 2005) определя

горния предел ентропия за даден обем, съдържащ определена енергия.

Самият Бекенщайн го интерпретира като квантовия мост между двата

вида ентропии: математическата (информационната) и физическата

(термодинамичната) (Bekenstein 2003).

7.2. Ако са дадени границата на Бекенщайн и законите на

термодинамиката, общата теория на относителността може да се изведе

от тях (Jacobson 1995; Smolin 2002 173-175).

7.3. След всичко казано може да се приеме в качеството на

липсващата количествена брънка между вълновата функция във

“вероятностната механика” и в матрично-вълновата механика, по-точно

между промяната на първата и на втората. Наистина:

7.3.1. Предварителна бележка: Ако случаят е “плоският”, двете

23

промени трябва да са еднакви, а максималният допустим предел от

границата на Бекенщайн е достигнат. Две промени представят някаква

квантова величина (т.е. измерена с КМ) по един и същ начин,

независимо дали е бозон или фермион. Това е “плоският” случай на

квантовата механика.

7.3.2. Отношението на “двете ентропии” съответства на

температура, що се отнася до класическия случай, където и двете са

реални функции, приемащи само реални стойности. По-точно,

температурата може да се мисли като отношението на двете физически

ентропии (в единици енергии) и математическата (безразмерна).

7.3.3 С помощта на границата на Бекенщайн може да се въведе

една нова величина на „квантовата температура“, която да обобщава

“класическата” температура, която е реална функция:

7.3.4. Следователно (леко перифразирайки 7.3.2), отношението

“двете ентропии” съответства на квантовата температура що се отнася до

квантовия случай независимо от това, че и двете са реални функции,

приемащи следователно само реални стойности. По-точно квантовата

температура може да се мисли като отношението на физическата

ентропия (в единици действие) и математическата (безразмерна

физически).

7.3.5. Може да се забележи, че понятието квантова температура

изразява степента на “изкривяване” и оттук − гравитацията. Наистина:

7.3.5.1. Квантовата физическа ентропия (т.е. самият горен

предел) представлява “плоския” случай сякаш като една отправна

система за измерване степента на “изкривяване”, или като едно нулево

равнище за нея. Следователно:

7.3.5.1. Има нулево равнище на квантова температура,

изразяващо отсъствието на гравитация и съответстващо на нулевото

равнище на температура (“абсолютната температурна нула”), бидейки

негово обобщение:

7.3.5.2. Относно начина и смисъла на това обобщение: ако

транслацията във времето и следователно законът за запазване на

енергията е валиден, съответствието между температура и квантова

температура е взаимно еднозначно. Понятието за квантова температура е

излишно в този случай и бръсначът на Окам ще го отстрани.

7.3.5.3. Следователно начинът на обобщение е да се коригира

времевата транслация, както и съхранението на енергията с коефициент

24

в зависимост от пропорцията на „изкривяване“: гравитационната енергия

е тази корекция в запазването на енергията в зависимост от

“изкривяването”.

7.3.5.3.1. Може да се обърне внимание на следното: корекцията

на гравитационната енергия се добавя, докато корекцията посредством

коефициента на изкривяване трябва да се умножава. Така първата

зависи от времето (разстоянието), докато втората − не. Първата е

локална, докато втората (вторият) е глобална и може да се мисли вън от

време-пространството.

7.3.5.4. Смисълът на обобщението е да се избегне

ограничението, налагано от запазването на енергията, точно както

общата теория на относителността прави същото, макар и по друг начин.

7.3.5.5. Ако това се приеме, възниква нов въпрос: ако

квантовата температура и гравитационната енергия са така тясно

свързани, то дали и температурата, дефинирана обичайно, и

гравитационна енергия няма да са също свързани с точна математическа

формула:

7.3.5.5.1. Краткият отговор е: не, не могат да са свързани с

никаква формула, тъй като са независими една от друга.

7.3.5.5.2. Наистина, условието за този преход от квантова към

стандартна температура е въпросната “плоскост”. След като това е

случаят, транслацията във времето е в сила, а значи и съхраняването на

енергията: следователно, гравитационната енергия трябва да е нула, тъй

като не се запазва в общия случай. Обратно, ако има ненулева

гравитационна енергия, квантовата температура не може да се сведе до

стандартна.

7.3.5.5.3. Всъщност, квантовата температура може да се

представи като функция на две независими променливи: една

ново-дефинирана температура на гравитационната енергия и

стандартната температура. Първата е отношението на гравитационната

енергия, разделена на ентропията на време-пространственото ѝ

разпределение. Обаче ако случаят е този на общата теория на

относителността, постулираща равенство на гравитационната и

инерционната маса, първо, гравитационната енергия трябва да се

приравни на механичната и тогава ново-дефинираната гравитационна и

стандартната температура трябва да съвпадат изцяло. Макар квантовата

температура продължава да е от две привидно независими променливи,

25

това няма много смисъл, тъй като те са аксиоматично приети за равни.

7.3.5.5.4. Разбира се, това е най-добрият начин да се избавим

от КМ, ако “нелепите” ѝ свойства са ни писнали: КМ се свежда до две

ортогонални БМ или ЛМ, които после се постулират завинаги равни.

Всъщност квантовата механика толерира такова решение на своя

територия, тъй като допълнителността както забранява, така и допуска

каквото и да е съотношение между двата ортогонални компонента на КМ

(които и двата са БМ или едномерни ЛМ). Бръсначът на Окам тогава ще

оставя тяхното отношение единица, тъй като това е най-простото

предположение, т.е. общата теория на относителността вместо всяка

теория на квантовата гравитация, както по-горе се подчерта.

7.3.5.5.5. Докато квантовата температура е реална величина и

функция, горното отношение е чисто хипотетично и жестоко тормозено

от един Окамов „дамоклеев меч“: заради него общата теория на

относителността печели срещу всеки квантов съперник, но едва ли

напълно сериозно и честно.

7.3.5.5.6. Следователно, комплексната квантова температура ще

е това, което може да се разпознае като преди фронт, от и след който се

ширва квантовата гравитация, докъдето могат да видят очите...

7.3.5.5.7. Все пак може да се даде илюстрация за квантова

температура в термините на стандартната, използвайки понятието за

гибсова и болцманова ентропия при адиабатен процес: отношението на

гибсовата към болцмановата ентропия е тази илюстрация за квантова

температура. Тогава адиабатно загряване би било възможно при

намаляване на гибсовата ентропия.

7.3.5.5.8. Изрично трябва да се подчертае, че квантовата

температура може да се дефинира само при условие на квантови

корелации, а не на класически. Следователно горното е само

илюстрация, но не пример за квантова температура. Все пак

корелациите, които биха могли да разграничат гибсова от болцманова

ентропия биха могли да бъдат и квантови, и класически. Обаче ако е

дадено взаимно еднозначно изображение между квантова и стандартна

температура, изобщо не може да има квантови корелации.

7.3.5.5.9. Това, което е необходимото и достатъчно условие за

квантови корелации, е именно КМ. Две или повече променливи,

независими помежду си чрез класически корелации, въпреки това могат

да са зависими помежду си с квантови. Това е истинският смисъл на

26

“парадокса” АПР (Einstein, Podolsky, Rosen 1935), който предсказва

явленията на сдвояване, изучавани квантовата информация, макар и под

формата на набедената “непълнота на квантовата механика”.

7.3.5.5.10. Въпросните квантови корелации се появяват поради

двете допълнителни измерения при КМ в сравнение с единственото на

БМ. Същото се отнася за квантовата и класическата вероятност. Що се

отнася до термините на теорията на множествата, тя изисква

инвариантност (или Скулемова “относителност”: Skolem 1923) спрямо

АИ, описана в 3.2.3-5 по-горе и сл.:

7.3.5.5.11. Ако е дадена БМ, две или повече променливи могат

да корелират ако и само ако множествата от техните стойности имат

непразно сечение. Хипотезата за такова що се отнася до квантовата

механика носи името “скрити променливи”. Обаче ако е дадена КМ, се

появява “хитра вратичка” горното да се заобиколи. Може да има

корелации само преди каквото и да е добро нареждане, обаче така че

сечението на съответните множества, получени след доброто нареждане,

е празно: ако това е случаят, има квантови корелации, но не и

класически.

7.3.6. Следващата стъпка по магистралата на обобщенията е да

се премине от квантова температура, която е реална функция, към

комплексна квантова температура по подходящ начин:

7.3.6.1. “Това е една малка стъпка” в квантовата гравитация!

7.3.6.2. В общия случай трябва да се въведе един

“четириъгълник”. Четирите му върха ще бъдат две енергии и две

ентропии. Качество на тази метафора е че всички частни случаи на един

четириъгълник (квадрат, ромб, правоъгълник, трапец, равнобедрен

трапец) могат да визуализират аналогични частни случаи в областта на

квантовата гравитация. По-нататък няма да бъдат пропуснати.

Върховете:

7.3.6.2.1. Механична енергия (“връх” A);

7.3.6.2.2. Гравитационна енергия (B);

7.3.6.2.3. Ентропията на време-пространственото разпределение

на механичната енергия (C);

7.3.6.2.4. Ентропията на време-пространственото разпределение

на гравитационната енергия (D).

7.3.6.3. “Страните” са както следва:

7.3.6.3.1. (“AB” :) Ако “A”, механичната енергия, и “B”,

27

гравитационната енергия съвпаднат, това е еквивалентно на приравнява

на гравитационната и инерционната маса, т.е. на Айнщайновия

“Äquivalentzpirinzip” (1918). Следователно, “дължината” на AB е мярка за

друга енергия, която трябва да е в известен смисъл “разлика” между

механичната и гравитационната енергия: чрез това може би и една

съответна маса.

7.3.6.3.1.1. Все пак ако тази “разлика” има енергия, но не маса

(следователно нарушавайки “Machshes Prinzip” [ibidem]), това все още

би било възможно и би означавало, че “скоростта” на взаимодействието,

което съответства на тази ненулева енергия, трябва да е безкрайна или

то трябва да е извън времето с други думи. Всички явления на сдвояване

биха удовлетворили това условие.

7.3.6.3.2. (“CD” :) Ако дължината на CD е нула, от това следва,

че двете спрегнати разпределения съвпадат, т.е. че всъщност са едно и

също реално разпределение. Следователно тази “дължина” би трябвало

да означава това, което е отношение или разлика между фазите на

разпределенията: една безкрайно-мерна фаза също така в общия

случай. С други думи, това ще рече, че “CD” е сдвояване: по-точно,

сдвояването на всички части на квантова система, и неговата “дължина”

е степента на сдвояване.

7.3.6.3.2.1. Ако “C” и “D” съвпадат, от това следва в крайна

сметка, че Айнщайновия “Relativitätsprinzip” (ibidem) е изпълнено, т.е.

всички физически явления са “zeiträumliche Koinzidenzen”, и

следователно време-пространството е универсално: нищо физическо не е

извън време-пространството.

7.3.6.3.2.2. Така може да се уверим, че и трите Айнщайнови

принципа на общата теория на относителността, както самият той ги

формулира (1918), приложени заедно, карат “четириъгълника” ABCD да

се изроди до една единствена точка, а неговата “площ” да е нула.

7.3.6.3.2.3. Обратно, същото показва, че произволен

четириъгълник, какъвто се разглежда, трябва да е генерализация на

общата относителност, може би дори лелеяната квантова гравитация:

7.3.6.3.2.4. В частност, ако и само ако се изостави общата

теория на относителността, следните две температури, бидейки

съответни компоненти на комплексната квантова температура, има

смисъл да се разглеждат:

7.3.6.3.3. (“AC” :) Нека го наречем времева температура (или

28

време-пространствена температура). За да продължим аналогията със

стандартната температура, нека и нейната мярка да е логаритмична, така

че нулевото ниво на сдвояване еднозначно се изобразява като нулево

равнище на времева температура. То е абсолютната нула на времева

температура: тъй като нещо като “анти-сдвояване” не е известно поне

понастоящем, отрицателните стойности на времевата температура са

забранени.

7.3.6.3.3.1. Физическият смисъл на времевата температура е

степента на време-пространствено разширение. Следователно, трябва да

свърже с процеса на време-пространствен генезис. Но този процес на

генезис не е във времето, а на времето в известен смисъл:

7.3.6.3.3.2. В този процес може да се вникне по няколко

начина:

7.3.6.3.3.2.1. Математически, това е процесът на добро

нареждане във времето или във време-пространство. Той протича заради

или по нарастване на време-пространствената ентропия или с други

думи, заедно с намаляване на степента на сдвояване.

7.3.6.3.3.2.2. Обаче физически, нарастването на ентропията в

една система съответства на време.

7.3.6.3.3.2.3. Математическият и физическият начин да се мисли

за връзките между времето и ентропията могат да се обединят като един

вид изображение между тях: Единият съответства на правото

изображение, другият – на обратното.

7.3.6.3.3.2.4. Времевата температура може да се отнесе към

вселената като цяло. Тогава нейното намаляване или промяна описва

разширението или промяната на вселената.

7.3.6.3.3.2.5. Времевата температура може да се отнесе и до

всяка квантова частица отделно. Тогава намаляването или промяната

описва еманципацията на въпросната частица от нейната среда, т.е.

процесът на генезиса ѝ, начина за нея да се появи.

7.3.6.3.3.2.6. Следователно и доста изненадващо, времевата

температура позволява да се мисли за двата случая (както вселената,

така и една квантова частица) еднообразно. Разбира се, изкушенията,

що се отнася до това да се интерпретира философски, са много.

7.3.6.3.4. (“BD” :) Нека го наречем енергийна температура (или

енергийно-импулсна температура). Същата аналогия със стандартната

температура би трябвало да се разшири към енергийната температура и

29

поради това следва всичко относно абсолютната нула на енергийната

температура и забраната за нейни отрицателни стойности.

7.3.6.3.4.1. Физическият смисъл на енергийната температура би

бил аналогичен на този на времевата температура, повтаряйки и

перифразирайки 7.3.6.3.3.3.2.1 – 6.

7.3.6.3.4.2. Има смисъл да се осветли разграничението между

времева и енергийна температура:

7.3.6.3.4.2.1. Времевата и енергийната температура са пряко

противоположни. Времевата температура намалява, докато енергийната

нараства.

7.3.6.3.4.2.2. Нарастването на енергийната температура описва

процеса как всяко едно нещо придобива масата си. Следователно

време-пространственото разширение (т.е. намаляването на времевата

температура) и нарастването по енергия (маса) (т.е. нарастването на

енергийната температура) трябва да вървят ръка за ръка, точно каквото

се наблюдава за вселената.

7.3.6.3.4.2.3. Между другото, ако току-що казаното е вярно,

концепцията за “Големия Взрив” е изначално неправилна, тъй като

предполага съхранение на енергията, което кара да се търси някакъв

различен източник за „тъмните“ енергия или маса, извиращи постоянно

кой знае защо.

7.3.6.3.5. Следователно понятието за квантова температура

трябва да опише как времевата температура се превръща в енергийна

или с други думи, включително самата вселена, може да възникне и

постоянно възниква от времето и от нищо без каквато и да е друга

причина за това. Оттук научното понятие за квантова температура точно

съответства на един философски проект: Битие от време и от нищо.

7.3.6.4. Квантовото “изравняване” срещу “приравняването” на

общата теория на относителността що се отнася до механичното

движение:

7.3.6.4.1. И квантовата механика, и общата теория на

относителността разглеждат и съпоставят два типа величини, за да

опишат механичното движение: те се отнасят съответно до

време-пространството и енергия-импулса. Според квантовата механика

са спрегнати помежду си и несъизмерими заедно. Що се отнася до

общата теория на относителността, те са съизмерими, макар че

отношението между тях се представя от метричния тензор във всяка

30

време-пространствена тока и е отговорен за време-пространствената

кривина и за гравитацията в крайна сметка. Сега тези добре известни

твърдения следва да се разберат в термините на теорията на мярката.

7.3.6.4.2. И в двата случая има две мерки, които са както

различни, така и еднакво валидни и трябва да се комбинират и

съположат някак. Това “някак” на свой ред е различно и даже

несъчетаемо в двата случая: на квантовата механика и на общата теория

на относителността.

7.3.6.4.3. Решението на квантовата механика се състои от две

съгласувани стъпки:

7.3.6.4.3.1. Първата е да се забрани да се разглеждат заедно,

ако са две едномерни мерки, т.е. БМ или ЛМ.

7.3.6.4.4. Втората е да се въведе КМ, която е в състояние да ги

обедини като два различни (и “ортогонални”) нейни частни случая.

7.3.6.4.5. Това построение, както и пълното изследване

показва, че мярката, използвана от квантовата механика, не се

съгласува с тази от общата теория на относителността.

7.3.6.5. Все пак те могат да се приравнят в известен смисъл, ако

втората стъпка, въвеждаща КМ, се отложи и две двойки от две

едномерни мерки са това, което се съпоставя.

7.3.6.5.1. Нека първата двойка, която ще се разглежда, да е

тази на квантовата механика. Тъй като нейните два члена са

несъизмерими, е позволено конвенционално да се постулира всякакво

отношение между тях и нека бъде единица като най-простия случай.

7.3.6.5.2. Нека втората двойка да е тази на общата теория на

относителността. Тъй като отношението между нейните членове е

произволно реално число, то това положение на нещата може

еквивалентно да се изрази с въвеждане на съответен ъгъл между двете

мерки:

7.3.6.5.3. Тогава възниква нов въпрос: какво трябва да е

отношението между единиците на двете мерки. Всъщност няма

теоретично основание за отговор. Както в случая на квантовата

механика, би могло пак да се приеме най-простият случай и той е

еднакъв: отношението да е единица.

7.3.6.5.4. Обаче за разлика от случая на квантовата механика,

общата теория на относителността може да го обоснове въз основа на

един твърдо установен факт: равенството на гравитационната и

31

инерционната маса: то означава равенство на съответните енергии,

които по традиция се наричат потенциална енергия, свързана с една

време-пространствена точка, и кинетична, отнасяна към една

енергийно-импулсна точка.

7.3.6.5.5. Ако и доколкото квантовата механика твърди

запазване на енергията (като Паули и за разлика от Бор, Крамерс и

Слатер [Bohr, Kramers, Slater 1924]), то тя приема всъщност имплицитно

същото отношение от единица както общата теория на относителността,

макар допълнителността да дава възможност на това отношение да е

всяко реално число. Наистина, двата члена на уравнението за запазване

на енергията са несъизмерими заедно (ср.: von Neumann 1932: 256,

Annahme 164): това са въпросните потенциална и кинетична енергия,

зависещи съответно от положението и импулса.

7.3.6.5.6. Крайно време е да се сравнят начините на квантовата

механика и на общата теория на относителността двете мерки да се

примирят:

7.3.6.5.6.1. Квантовата механика казва: двете мерки са

несъизмерими, но те могат да се примирят конвенционално и по

традиция.

7.3.6.5.6.2. Общата теория на относителността казва: двете

мерки сключват произволен ъгъл, поради което време-пространството е

изкривено и тази кривина ни се представя като гравитацията. Обаче

отношението между техните мерни единици е единица поради

равенството на инерционната и гравитационната маса.

7.3.6.5.7. Както може да се види, горните твърдения са подобни

и нещо повече, това на общата теория на относителността е по-силно: от

него следва това на квантовата механика. По-точно, второто изисква

мерките да са равни ако и само ако те са “изправени”, докато първото

настоява на равенството им даже и ако сключват произволен ъгъл.

7.3.6.5.8. Ако обаче е дадено твърдението на квантовата

механика, от него следва отрицание на предпоставката му, тази на

общата теория на относителността, тъй като първото не допуска дори

понятие за ъгъл между двете мерки, които са несъизмерми.

7.3.6.5.9. Дори може да се привикне с това шокиращо

положение на нещата между квантовата механика и общата теория на

относителността поради неговата упоритост и постоянно повторение. То

ни изумява няколко пъти вече: по отношение на АИ и КХ, после за КМ и

32

ЛМ и др.

7.3.6.5.10. Може да се видим принудени да обосновем и изясним

едно специално „квантово“ логическо правило, което поражда

екстравагантния вид взаимна зависимост на две твърдения,

удовлетворяващи следните две условия:

7.3.6.5.10.1. От (A влече B) следва, че съществува B така че: (от

A следва B) и (от B следва C).

7.3.6.5.10.2. Нека B е не-A (Възможно е поради “парадокса” на

материалната импликация). Тъй като не-A е еквивалентно с (от A следва

не-A), тогава самото не-A чрез това, че B е не-A, влече, че от A следва

не-A и оттук съществуването на B според горното (7.3.6.5.10.1).

7.3.6.5.11. Кой е терминът за отношението между A и B или за

тези A и B, ако се отнасят помежду си така? Поради отсъствието на

термин може да се нарече сега допълнителна независимост на две

съждения. Макар единият от тях влече другия и първоначално изглежда,

че са зависими, все пак после се оказва, че второто твърдение на свой

ред влече отрицанието на първото. Двете твърдения, изпълняващи тези

условия се съгласуват помежду си и няколко примера на подобни двойки

бяха вече изброени по-горе.

7.3.6.5.12. Интересен въпрос без отговор, който да ми е

известен, е дали има други примери на използване на „парадокса“ на

материалната импликация за доказване на важни теореми.

7.3.6.5.13. Освен това, този вид “допълнителна независимост”

може да се коментира и така: B съществува необходимо и само “чисто” в

такъв смисъл. Първото условие (7.3.6.5.10.1) изисква B да съществува,

но второто (7.3.6.5.10.2) забранява всяка ефективна конструкция,

поради празното сечение на A и не-A. Между другото, това напомня

“хитрата вратичка” (вж. 7.3.5.5.11, както и 3.1.2), през която квантовите

корелации могат да се промъкнат зад гърба на класическите. С други

думи, класическите корелации могат да се разглеждат като

конструктивни, а що се отнася до квантовите – да им се приписва само

чисто съществуване.

7.3.6.5.14. Тази допълнителна независимост е съвсем

достатъчна за квантовата механика, която освен това няма нужда от

специален вид квантова логика, тъй като класическата е напълно

достатъчна.

7.3.6.5.15. Имайки огромен опит с допълнително независим

33

твърдения, както по-горе, квантовата механика може да предложи

няколко полезни логически идеи:

7.3.6.5.15.1. Безкрайни конструктивни процедури или

алгоритми могат да се обсъждат по краен начин.

7.3.6.5.15.2. Такава дискусия изисква не само аксиомата за

избора, но и еквивалентност (или инвариантност, или относителност) по

отношение на нея.

7.3.6.5.15.3. Твърдение за “чисто” съществуване съответства на

всяка безкрайна процедура или алгоритъм.

7.3.6.5.15.4. Ала ако е дадено такова твърдение, съответстват

му две безкрайни процедури или алгоритми, които могат да съвпадат в

частност. Това е така, понеже безкрайните конструктивни процедури или

алгоритми допускат по принцип две посоки, които могат условно да се

нарекат “към безкрайността” и “от безкрайността”.

7.3.6.5.15.5. Отношението между съответните безкрайни

процедури или алгоритми, от една страна, и твърденията за чисто

съществуване, от друга, е това на допълнителна независимост.

7.3.7. Един друг въпрос е релевантен към това, как общата

теория на относителността се отнася към квантовата механика: става

дума за космологичната константа, въведена в уравненията на общата

теория на относителността по-късно и която самият Айнщайн нарича

своята “най-голяма грешка” (Gamov 1970: 44) след откритието на Хъбъл,

че вселената се разширява.

7.3.7.1. Може да се потегли с изясняване смисъла на

космологичната константа в термините на КМ:

7.3.7.1.1. Всъщност една ненулева космологична константа

ревизира равенството на инерционна и гравитационна маса и от това –

равенството на двете мерки, напр. и тези за потенциална и кинетична

енергия. Въпреки ревизирането, космологичната константа може да се

съгласува с равенството на инерционната и гравитационната маса по

следния начин:

7.3.7.1.2. Равенството на инерционната и гравитационната маса

е в сила локално, докато ненулевата космологична константа е глобална.

Всъщност това би довело до четириъгълника ABCD, разгледан по-горе, в

крайна сметка, но с една разлика в интерпретацията, обаче: страната

CD, съответстваща на вероятностната механика, се тълкува като

представяне на глобалното, т.е. на системата като цяло, което е

34

вселената като цяло. Може да се отбележи, че въвеждането от Айнщайн

на термодинамичните свойства на системата като цяло (Einstein 1910:

1276-1282, §1-2) съответства на другата идея за космологичната

константа, изразявайки една “еманципация” на цялото, аналогична в

двата случая. Между другото, Айнщайн обяснява там доброто

подреждане по време на всички състояния така: едно единствено

състояние, притежаващо съответна вероятност, значително надвишаваща

тази на всички близки състояния, следва практически винаги след всяко

състояние (ibid. 1277)3. Това не е така в квантовия случай: ала апаратът

играе ролята да усили разликата по вероятност между всички възможни

близки състояния е така да избере едно единствено от тях като следващо

за добро нареждане по време.

7.3.7.1.3. Космологичната константа би могла да се обобщи,

разбира се, като някаква функция от време-пространството или други

променливи. Тогава локално, тя би изобразявала същото както

гравитацията в общата теория на относителността прави посредством

кривината на време-пространството. С други думи, тя е напълно излишна

локално, поради което нейният смисъл може да се отнесе само към

глобалното.

7.3.7.1.4. Обаче що се отнася до моста между квантовата

механика и общата теория на относителността, космологичната константа

може да има смисъл локално като забранената, необяснима или

произволна разлика между двете дуални пространства или мерки.

7.3.7.1.5. В термините на КМ, обаче космологичната константа

би могла да представи разликата между КМ и всеки две едномерни ЛМ

или ВМ, сключващи произволен ъгъл.

7.3.7.1.6. Връщайки се към смисъла на космологичната

константа, гравитацията може да се интерпретира като еквивалентен

израз за горната разлика между КМ и всеки две едномерни ЛМ или БМ,

сключващи произволен ъгъл.

7.3.7.2. Имайки наум смисъла на космологичната константа в

термините на КМ, ето сега съображенията на самия Айнщайн да въведе

космологичната константа в статията си (Einstein 1918):

7.3.7.2.1. Първоначалното уравнение на общата теория на

относителността, което е без космологичната константа, допуска

3 Ср. Born, Fock 1928; Avron, Elgart 1999.

35

гравитационно поле в абсолютен вакуум, т.е. при нулева енергия.

7.3.7.2.2. За да предотврати този вариант, който му изглежда

нелеп, той въвежда “Machsches Prinzip”, според който единственият

възможен източник на гравитационно поле може да е само масата

(съответно енергията).

7.3.7.2.3. Всъщност този принцип се налага да се въведе поради

премахването на лоренцовата инвариантност в общата теория на

относителността: ако я няма, скоростта може да е безкрайна и

следователно неща, с нулева релативистична маса (моля да забележите:

не маса на покой) могат да имат ненулева енергия и да пораждат

гравитационно поле. С други думи, абсолютният вакуум може да има

енергия (но не маса) и съответно гравитационно поле. На Айнщайн тази

идея изглежда абсурдна, но не и на Дирак, който неявно въвежда

понятието за “енергия на вакуума” като море от отрицателна енергия,

(Dirac 1931), тъй като от неговото релативистично (и поради това

лоренцово инвариантно) обобщение (Dirac 1928; 1930) на уравнението

на Шрьодингер следва съществуването му.

7.3.7.2.4. След квантовата информация и всички явления на

сдвояване идеята не изглежда абсурдна от други, съвсем различни и

напълно независими основания. Поради безкрайната му скорост,

сдвояването би могло да притежава ненулева енергия, но нулева

релативистична маса.

7.7.3.2.5. Това, което би могло да притежава енергия, но не и

маса, както по-горе (и чрез това нарушавайки Mach’shes prinzip) е

квантовата информация като субстанция или елемент на света и

вселената. Такава възможност възниква в крайна сметка заради КМ, но

остава невъзможна в рамките на ЛМ или БМ. Тъй като уравнението на

Айнщайн (без космологичната константа) го допуска, смисълът на

космологичната константа може да се тълкува като израз или чист знак

за “допълнителната независимост”. Тогава точната стойност или функция

на космологичната константа би трябвало да остане завинаги неизразима

по принцип.

7.3.7.2.6. Интерпретацията в термините на “четириъгълника

ABCD” по-горе е не по-малко интересна. Първите два Айнщайнови

принципа (“Relativitätprinzip” и “Äquivalenzprinzip”) не могат да

гарантират пълното израждане на този четириъгълник до точка, а само

до отсечка (AC≡BD [A≡B поради “Relativitätprinzip” и C≡D поради

36

“Äquivalenzprinzip”]). Следователно, “Machsches Prinzip” трябва, за да

отстрани това последно несъвършенство в израждането.

7.3.7.2.7. Оттук интерпретацията в термините на квантовата

температура следва непосредствено. “Machsches Prinzip” е еквивалентен

на нулева квантова температура, означавайки липса на сдвояване (или

нулево сдвояване). Обратно, след като квантовата температура вече е

била въведена, това неизбежно означава да се отхвърли или с други

думи, обобщи първо като неотрицателно реално число, а после като

комплексно. Следователно, понятието за квантова температура се

съгласува с първоначалното уравнение на Айнщайн без космологичната

константа, както и с неговите обобщения, при които космологичната

константа е реална или комплексна функция.

7.3.7.3. Обаче самият Айнщайн обявява космологичната

константа за най-голямата си грешка (Gamov 1970: 44), да видим защо:

7.3.7.3.1. Макар Айнщайн да обосновава космологичната

константа в 1918 (цитираната статия) чрез новия “Machsches Prinzip”,

истинската причина да се въведе в статия година по-рано (Einstein 1917)

е да се запази вселена статична, тъй като от уравнението без

космологичната константа би следвало, че тя се разширява.

7.3.7.3.2. Обаче:

Хъбъл кани (1931) Айнщайн сам да се увери, че вселената се разширява.

Именно откритието на Хъбъл кара Айнщайн да промени становището си и

да обяви “най-голямата си грешка”. Наистина, ако беше оставил

уравнението, както е било първоначално (т.е. без космологичната

константа), неговият научен гений би получил ново величествено

признание, заради удивителното предсказание.

37

7.3.7.3.3. Всъщност разширяващата се вселена би трябвало да

опровергава и “Machsches Prinzip”, тъй като е бил въведен да съхрани

вселената статична. Това означава, че съществува друг възможен и дори

реално действащ източник на гравитация, различен от масата, т.е. този

източник не трябва да притежава релативистична маса, но независимо от

това трябва да има ненулева енергия, понеже действа.

7.3.7.3.4. “Големият взрив” е първата хипотеза за загадъчния

източник на енергия. Неговото качество е че законът за запазване на

енергията оцелява (всъщност, почти). Преди около 13 или 14 милиарда

пълната енергия на цялата вселена се е появила от нищото в един

единствен миг “по Божията воля” без каквато и да е естествена причина,

ала законът за запазване на енергията е в сила след това чудовищно

престъпление, извършено срещу него от “Големия Взрив”.

7.3.7.3.5. Мисля, че хипотезата за “Големия Взрив” е обида за

разума, която може да оцелее само заради “свещената крава” на закона

за запазване на енергията. За щастие неговата нелепост е вече очевидна

в наши дни, поради тъмните енергия и материя, представляващи

преобладаващата част от вселената.

7.3.7.3.6. Обаче ако “Machsches Prinzip” се отхвърли, то

отсечката AB ≡ CD по-горе не може да се изроди до точка и в нея може

да се търси постоянно действаща естествена причина, нарушаваща

закона за запазване на енергията. Нейният интеграл по времето се

изобразява като митологичния “Голям Взрив”, играещ ролята на

Сътворението за съвременното човечество.

7.3.7.3.7. Може да се подчертае следното. Ако се приеме

дължината на отсечката AB ≡ CD като количество за нарушението на

“Machsches Prinzip”, тогава тя би съответствала взаимно еднозначно на

степента или на величината на квантовата температура (като реална

величина).

7.3.7.3.8. Това не може да не ни накара да предположим, че

именно и единствено сдвояването е единственият източник и на

нарушението на “Machsches Prinzip” и на съответната енергия. Понеже

Айнщайн въвежда този принцип, за да обоснове статичната вселена,

тогава − обратно: фактът на разширяващата се вселена може да насочи

към сдвояването като към източника на енергия, която обикновено и

може би неоснователно е приписвана на един митологичен “Голям

Взрив”.

38

7.3.7.3.9. Съществуването на вселената предполага едно

огромно нарушение на закона за запазване на енергията, което може да

се обясни по два алтернативни и възможно допълнителни начина: като

изключително голям скок в енергията, както и като постоянно действаща

причина − сдвояването. Именно величината на квантовата температура

позволява да се приравнят. Така обяснението с „Големия Взрив“ е

частично и традиционно, а не невярно или неправилно. Обаче

нарушението на закона за запазване на енергията е абсолютно

необходимо и в двата случая. Обяснението със сдвояване има

предимството да посочва естествена и постоянно действаща причина, но

то не е по-малко частично и едностранчиво, отколкото това с „Големия

Взрив“. Понятието за квантова температура неявно включва

еквивалентност (или инвариантност спрямо, или относителност) на тези

два вида обяснение: освен останалото, това е една достатъчно сериозна

причина да се въведе.

7.3.7.3.10. Ако квантовата температура се въведе като

комплексна, а не като реална величина, нарушението само на “Machsches

Prinzip” вече не е достатъчно, а изисква нарушение на поне един от

останалите два принципа: Einstein’s “Äquivalentzpirinzip” (1918) или

Einstein’s “Relativitätsprinzip” (ibidem), така че реалната и имагинерната

компонента на квантовата температура да могат да се различат помежду

си.

7.3.7.3.11. Обаче общата теория на относителността предполага

напълно еквивалентно описание спрямо това посредством квантова

температура що се касае до двата нейни единични компонента. Тъкмо

гравитацията представя тяхното несъвпадение като сила, именно тази на

гравитацията или като кривина между двата компонента при условието

… за съвпадението им. Следователно двата цитирани по-горе принципа

би трябвало да се разберат по-скоро като конвенция, заради формата на

описанието, отколкото като природни закони.

7.3.8. КМ може да се сравни с БМ и ЛМ в термините на общата

теория на относителността и нейното изкривено време-пространство,

както следва:

7.3.8.1. КМ е универсална тримерна мярка и нейните три

измерения допускат следната интерпретация освен останалите по-горе:

като мерките на две спрегнати едномерни физически величини и една

трета, заради “кривината” между тях. Такава е концепцията за мярка на

39

общата теория на относителността.

7.3.8.2. Все пак съществува разлика между тях. Трите

измерения на КМ са напълно еквивалентни и разменими: те са изотропни

като трите измерения на евклидовото пространство. За разлика от тях

съответната тройка от мерки в общата теория на относителността не са

еквивалентни, нито разменими. Бидейки различно наименувани,

образуват добре наредена тройка, която е анизотропна.

7.3.8.3. Съществува обща същност, а не просто аналогия между

анизотропия, добра наредба (следователно аксиомата за избора), и

наименуването, от една страна, и също между изотропията, липсата по

принцип и на добра наредба (което означава отрицание на аксиомата за

избора), и на каквото и да е наименуване. Тя дава възможност аксиомата

за избора, както е описано по-горе, да се приложи и към крайни

множества. Установява еквивалентност между елементите на всяко

множество, ако те са наименувани (изброени) или не. Ако измеренията

на едно пространство се разглеждат като това множество, то може да се

обсъжда една удивителна инвариантност между изотропия и

анизотропия.

7.3.8.4. Терминът “допълнителна независимост” е въведен

по-горе тъкмо за да опише същия вид логическо отношение между КМ и

ЛМ (БМ). Може да се използва както за „крайната“ по-горе, така и за

„безкрайната“ инвариантност. Пространството (като трите изотропни

измерения) и времето (като добре наредени [или наименувани като

минало, настояще, бъдеще] измерения) могат да дадат пример на такава

допълнителна независимост в крайния случай. Следователно самото

понятие за време-пространство включва вече, макар и неявно, горната

„крайна“ инвариантност към аксиомата за избора.

7.3.8.5. Една философска рефлексия спрямо инвариантността

към наименуване или не e съвсем подходяща. Един предмет, ако

неговите елементи са наименувани, може да се приеме за физическа

реалност за разлика от същия предмет, ако неговите елементи не могат

да се наименуват (или изброят) по принцип. Последният е общоприето да

е “математическият модел” за тази физическа реалност, видяна в първия

случай. Философската категория за качество съответства на случая на

физическа реалност, а тази за количество − за “нейния” математически

модел. Епистемологията приема за дадена една неотстранима разлика

между тях. Обаче ако въпросната инвариантност изисква съвпадението

40

им, по такъв начин революционизира епистемологията поради

въвеждането на КМ. КМ е не само универсална мярка, но също така

предполага универсалната хомогенност на цялото битие, цялата вселена

бидейки измервана с нея, или с други думи, КМ предполага

универсалната хомогенна субстанция на квантовата информация.

Границата между физика и математика се заличава след измерване с КМ!

7.3.8.6. Всичко това дава възможност на по-обща гледна точка

що се отнася до отношението между едно и също, но описано с два

различни вида термини: тези на квантовата механика, от една страна, и

тези на общата теория на относителността, от друга:

7.3.8.6.1. “Атомът” на тази еднаквост е кюбитът: триизмерно

единично кълбо, като неговите три измерения могат да имат няколко

различни интерпретации:

7.3.8.6.1.1. (A’) като две стойности на една и съща величина и

стойността на енергията EA’, причиняваща промяна от едната към

другата.

7.3.8.6.1.2. (B’) като две стойности на две спрегнати величини и

стойността на енергията EB’, причиняваща промяната от едната в другата.

7.3.8.6.1.3. (C’) като две вероятности на една и съща величина

и стойността на енергията EC’, причиняваща промяната от едната в

другата.

7.3.8.6.1.4. (D’) като две вероятности на две спрегнати

величини и стойността на енергията ED’, причиняваща промяната от

едната в другата.

7.3.8.6.2. Четириъгълникът A’B’C’D’ е нова интерпретация (в

термините на КМ) на горния четириъгълник ABCD.

7.3.8.6.3. EA’ е “инерционната енергия”, т.е. енергията, която

съответства на “инерционната маса”, а тогава EA’ би трябвало да е

“гравитационната енергия”, съответна на гравитационната маса.

7.3.8.6.4. Обаче EC’ и ED’ биха били нов вид енергия, който

съответства на информацията. Двата вида на такава информация би

могло да се разграничат и нарекат инерционна и гравитационна

информация по аналогия със съответните видове маса.

7.3.8.6.5. Наистина и EC’, и ED’ причиняват някаква промяна във

вероятността и следователно имат смисъл на информация. Понеже и

двете са стойности на вероятност, тя е безразмерна величина. Точна

енергия ѝ съответства взаимно еднозначно. Тя е пропорционална на нея

41

посредством константата на Планк за секунда. Информационна енергия

би било естественото име за нея и би се подразделяла съответно на

гравитационна и инерционна.

7.3.8.6.6. Една философска рефлексия на ново-отделените

видове се натрапва да бъде направена:

7.3.8.6.6.1. Някаква съответна информационна енергия може да

се припише на всеки информационен процес, включително тези в нашите

PC-та. Съответните енергии са невероятно малки, понеже стойностите на

планковата константа за секунда е невероятно малка. Обаче

информационните процеси, които човечеството може да създаде и

управлява понастоящем, са различни по принцип от тези в природата

поне поради тяхната информационна енергия, която е сравнима с

тяхната енергия от маса.

7.3.8.6.6.2. Тази разлика по принцип се състои в отсъствието на

добра наредба що се отнася до квантово-информационните процеси за

разлика от нашите. Енергията от маса, която добре познаваме както като

гравитационна, така и като инерционна, може да се получи от

информационната енергия след каквото и да е добро нареждане, напр.

това причинено от представяне във време-пространството.

7.3.9. Трите основни и фундаментални константи могат да се

разберат в термините на четириъгълника ABCD (A’B’C’D’) или в тези на

КМ. Тези константи са: скоростта на светлината във вакуум, константата

на Планк, гравитационната константа.

7.3.9.1. Скоростта на светлината във вакуум би трябвало да се

свърже с добрата наредба във време-пространство. Тя представя

постоянната пропорционалност на маса и енергия. Следователно се

отнася до точката A (A’) на четириъгълника ABCD (A’B’C’D’), пораждайки

една взаимно еднозначно съответстваща точка B (B’).

7.3.9.2. Константата на Планк се отнася до отсъствието на

каквото и да е добро нареждане по принцип. Та характеризира

квантовото кохерентно състояние и дава възможност да се припише

физическа енергия на всеки информационен процес. Тя представя

постоянната пропорционалност между информация (вероятности, числа)

и енергия. Следователно тя се отнася до точката C (C’) на

четириъгълника ABCD (A’B’C’D’), пораждайки една взаимно еднозначно

съответстваща точка B (B’). Двете точки B (или респективно двете точки

B’), т.е. тези две енергии, породени съответно посредством скоростта на

42

светлината във вакуум и посредством константата на Планк не съвпадат

в общия случай.

7.3.9.3. Гравитационната константа е свързана със страната AC.

Тя определя скорост по-малка от скоростта на светлината във вакуум,

която съответства на дадена енергия при дадено разстояние. Тази

енергия може да се породи както посредством константата на Планк,

така и посредством скоростта на светлината във вакуум. Нейната

същност е да се съпоставят две добри наредби, противоположни по

посока, на дадена енергия, без значение дали тя е информационна

енергия, (приписвана на число, означаващо някаква вероятност или

количество информация) или тя е енергия от маса (приписвана на нещо

физическо, обозначавайки неговото количество маса или казано

философски, неговото количество съществуване или битие). В случая на

второто гравитационната константа определя маса, наричана

гравитационна маса, за всяка енергия. Тъй като масата може да се

определи по два независими начина (с гравитационната константа и със

скоростта на светлината във вакуум) от енергията, трите понятия за

релативистка, инерционна и гравитационна маса могат заради тях да се

наместят така че да се примирят във всеки един случай. Аналогично

същият подход може да оправи евентуалното несъвпадение що се отнася

до двете точки B (или B’): едната определена чрез константата на Планк,

другата – чрез скоростта на светлината във вакуум.

7.3.9.4. Може да се убедим, че гравитационната константа

(както и гравитацията изобщо) играе специална роля да примирява, да

разрешава противоречията или да нагласява математическото и

физическото, освен това – квантовата механика и специалната теория на

относителността, въвеждайки общата относителност. Тя урежда да се

съвместят липсата по принцип на добра наредба, от една страна, и коя

да е добра наредба, от друга. Следователно, гравитацията и нейната

константа дават възможност на инвариантността спрямо аксиомата за

избора да бъде физически възможна.

7.3.9.5. Единствено триъгълникът ABC (A’B’C’) се разглежда

досега, при което трябва да се установи някакво дублиране на точката B

(B’). Естественото е “втората” точка B да се отъждестви като точка D на

четириъгълника ABCD (A’B’C’D’). Ако се направи така, се отъждествяват и

сдвояването и гравитацията като математическия и физическия образ на

едно и също, а гравитационната константа е това, което им дава

43

възможността да съществуват съвместно и мирно.

7.3.10. Могат да се разгледат различните частни случаи на

четириъгълника ABCD (A’B’C’D’) един по един, след като някои от тях

бяха вече споменати:

7.3.10.1. Първата група от частни случаи обхваща съвпадението

на някои от точките A, B, C и D (A’, B’, C’ и D’):

7.3.10.1.1. Най-частният случай е съвпадението на всички точки

A, B, C и D. Той съответства на трите принципа на общата теория на

относителността, както са формулирани от Айнщайн през 1918 г., и на

поправеното уравнение, включващо подходяща ненулева космологична

константа.

7.3.10.1.2. Следващият частен случай е израждането ABCD

(A’B’C’D’) до отсечката AB ≡ CD (A’B’ ≡ C’D’). Той съответства на

първоначалната форма на Айнщайновото уравнение без “Machsches

Prinzip”. По-горе също беше обсъждано.

7.3.10.1.3. Четириъгълникът ABCD (A’B’C’D’) може да се изроди

до триъгълник, ако кои да е две от четирите точки съвпаднат. Това би

могло да се случи, ако един от трите Айнщайнови принципа (1918) е в

сила, което би могло да предизвика съвпадението на A и B, C и D, както

и на A и C съответно. Ако (B и C) или (A и D) съвпаднат, това изглежда

да води до случая на отсечката по физически съображения. Що се отнася

до съвпадението B и D, това би изключило вариантна със сдвояване по

принцип и би могло да се сметне също като един неявен Айнщайнов

принцип, формулиран обаче като хипотезата за скрити променливи (или

параметри) в квантовата механика (напр. Einstein 1957: 82-86).

7.3.10.2. Втората група от интересни частни случаи обхваща

тези на равенство на някои от страните за четириъгълника ABCD

(A’B’C’D’).

7.3.10.3. Да припомним, че четириъгълникът ABCD е

“контравариантен”, докато A’B’C’D’ е “ковариантният”: ABCD се отнася до

резултатите от измерването, докато A’B’C’D’ се отнася до мерките:

7.3.10.4. Механичното движение е обичайно да се мисли

“контравариантно”, т.е. като движението на една част спрямо останалите

от цялото. Обаче винаги може да се тълкува “ковариантно”, което

означава общо и еднообразно движение на всички части спрямо всички

останали части според една съответна промяна на мярката, видима като

това общо движение. Очевидният пример за последното е разширяването

44

на вселената.

7.3.10.5. Как първия и втория вид механично движение се

отнасят помежду си? Има ли обща гледна точка, от която могат да се

мислят като еквивалентни?

7.3.10.6. На пръв поглед евентуална тяхна еквивалентност

изглежда безсмислица даже просто заради огромната разлика по

енергия. Обаче това просто означава, че движението за единица маса,

т.е. неговото кинематично представяне трябва да се разглежда вместо

динамичното. Обратно, ако се приеме за дадена тази еквивалентност,

тогава количеството маса, както и силата на гравитацията могат да се

сметнат като подходяща добавка заради съответния преход към

обичайния динамичен подход:

7.3.10.7. Този преход може да се види в термините на част и

цяло: динамичният е съответен на частта, докато кинематичният – на

цялото, а силата на гравитацията е необходима, за приравни двете

гледни точки помежду им.

7.3.10.8. Една друга мярка, която е обичайната, за отношението

на част и цяло е вероятността, която може да се мисли както като

стандартната, така и като квантовата. Ако е стандартната, явленията на

сдвояване не могат да възникнат: те са специфични за квантовата

вероятност (т.е. нормирана КМ). Както по-горе, гравитацията е това,

което би трябвало да се обсъжда като друга гледна точка към

сдвояването, а именно – която е добре подредена във

време-пространството: тя се появява, поради прехода към КМ

(квантовата вероятност):

7.3.10.9. Оттук следното е вече напълно очевидно: масата е

сдвояване за единица време и двете са енергии: съответно тази на

гладкото (непрекъснато) движение, видяно динамично и тази на

дискретното движение (квантов скок), видяно кинетично. Гравитацията е

това, което трябва да се добави, за да приравни двете гледни точки

помежду им.

7.3.10.10. Имайки наум всичко казано, могат да се

интерпретират отделните равенства на страни, представящи различни

частни случаи на четириъгълника ABCD (или видян “ковариантно”,

A’B’C’D’):

7.3.10.10.1. Вертикалните страни AC (A’C’) и BD (B’D’)

съответстват на инерционната маса и на силите, променящи състоянието

45

на механично движение, понеже причиняват някакво ускорение или

забавяне. Страната AC (A’C’) може да се свърже с

време-пространственото положение на тялото с тази инерционна маса, а

страната BD (B’D) съответно с енергията на тялото. Следователно

евентуалното им равенство като особен случай би означавало

състоянието на инерционно движение, или отсъствието на каквато и да е

сила, действаща на тялото. Понятието за ‘тяло’ предполага то да може да

се разграничи строго от своето обкръжение: може недвусмислено да се

каже дали време-пространствена точка принадлежи на тялото или на

неговото обкръжение. Изборът между тялото и неговото обкръжение

може да бъде изключващ. Следователно всяка енергия може да

принадлежи или на тялото според инерционната му маса, или на силата,

действаща от обкръжението към тялото. Равенството AB (A’B’) и CD (C’D’)

означава равновесие между тялото и обкръжението.

7.3.10.10.2. Може да се мисли за хоризонталните страни AB

(A’B’) и CD (C’D’) до известна степен по аналогия с вертикалните страни,

които току-що бяха обсъдени. Разликата между двата случая се състои в

разликата между ‘тяло’ и ‘поле’. “Полето” в термините на ‘тяло’ е

сечението между едно тяло и неговото обкръжение. Следователно

хоризонталните страни представят неотделимостта на тяло от неговото

обкръжение, докато вертикалните – съответно тяхната отделимост.

‘Полето’ е необходимо, за да опише тази неотделимост като функция на

време-пространствените координати. Така, ‘гравитационното поле’ е

израз, установен по традиция за механичното “поле” в смисъла по-горе.

То произтича от сдвояването на тялото с неговото обкръжение.

Евентуалното равенство на хоризонталните страни AB (A’B’) и CD (C’D’)

би означавало, че действащото гравитационно поле е постоянно, тъй

като степента на сдвояване е постоянна. Ако се въведе по подходящ

начин енергия на сдвояването, равенството по-горе би могло да се

представи по-точно като равенството на гравитационната енергия и тази

на сдвояване. Релевантният подход за въвеждане на енергия на

сдвояване (както и по-горе) е посредством взаимната ентропия на тялото

с обкръжението му за единица време.

7.3.10.10.3. Бележка: първите два Айнщанови принципа (1918)

бяха интерпретирани като съвпадението AC ≡ BD. Това се съгласува с

настоящото разглеждане посредством четириъгълника ABCD (и AB = CD

≠ 0) поради равенството на гравитационната и инерционната маса, което

46

също приравнява гравитационната и инерционната енергия и сила. Това

ще рече, че измерението, в което страните AB и CD могат да се

разположат, просто отсъства в общата теория на относителността.

Всъщност то може да се появи само след като квантовата механика е

въвела допълнителността на страните AC и BD. Обаче общата теория на

относителността еквивалентно представя всяка “дължина” в това

измерение посредством кривината на време-пространството.

7.3.11. Третата група частни случаи би могла да е тази на един

или повече прави ъгли в четириъгълника ABCD (A’B’C’D’). Смисълът на

всеки такъв е неговите две страни (напр. за ъгъла A това AB и АC) да са

независими помежду си. Евентуалната зависимост би означавала, че

съществуват такива обекти, които да са и тяло, и поле или и тяло, и

обкръжението му. Дуализмът вълна-частица установява първото, а

сдвояването − второто.

7.3.11.1. Следното съображение е доста интересно: тъй като

понятието за кинетична енергия е свързано с движението на тяло, а това

за потенциална енергия – с поле (или обкръжението на тялото),

енергията на един квантов обект (“частица”) е и потенциална, и

кинетична, енергията на сдвояване − също.

7.4. Границата на Бекенщайн може да се разглежда по обобщен

начин, като връзка между КМ и ЛМ: поради това би трябвало да се

въведе понятие за температура на мерки като отношението на ЛМ към

КМ. В термините на ЛМ, би представлявало нейната кривина. Моля,

забележете обратното: ако е дадена ЛМ и нейната кривина, тогава КМ

може да се възстанови еднозначно. Такива съображения изискват

уточнение, заради постоянно трите измерения на КМ, но произволен

брой измерения що се отнася до КМ:

7.4.1. За щастие, физически значимият случай е тримерният: ЛМ

и отношението на ЛМ към КМ могат да се получат непосредствено. Що се

касае до общия случай, възможни са различни подходи. Две групи от тях

изглеждат очевидни: единият свежда една произволно-мерна ЛМ до

тримерна, а другият въвежда КМ за всяко измерение. Всичко това е

извън обхвата на настоящето разглеждане.

7.5. Може да се обърне внимание, чe вместо гравитационната

константа в математическата формула за границата на Бекенщайн е

включена тази на Болцман. Това налага да се осветли отношението

между двете константи в настоящия контекст:

47

7.5.1 И двете свързват отсъствието на добра наредба по

принцип с дадена добра наредба във време-пространството.

Следователно, не са свързани с аксиомата за избора и могат естествено

да се интерпретират като константи на физическия избор.

7.5.2. Разграничават се помежду си, както следва:

7.5.2.1. Гравитационната константа е “кинематична” и

“ковариантна”: определя скорост за единица маса (енергия) и

разстояние и свойствата на време-пространство като цяло или на кое да

е цяло в общия случай.

7.5.2.2. Съответно константата на Болцман я допълва като

нейния “динамичен” и “контравариантен” двойник. Тя определя

стойността на енергия за единица температура или на единица енергия

(маса) за единица ентропия. Следователно, константата на Болцман е

тази, която определя свойствата на обект вътре във

време-пространството и локално.

7.5.2.3. Гравитацонната константа и тази на Болцман могат да

се отнесат до всяка от двете компоненти на квантовата температура като

могат да се мислят като кинематичната и контравариантна част и като

динамичната и ковариантна съответно.

7.5.3. Основен извод би могъл да бъде, че общата теория на

относителността е термодинамична теория от определен и твърде

необикновен тип. Нейните характеристики като такава биха били

следните:

7.5.3.1. Тя описва термодинамичните свойства на цялото,

видени отвътре, от гледната точка на нейните части като силово поле, а

именно гравитационното поле.

7.5.3.2. Тези термодинамични свойства са съвсем различни от

онези на един класически статистически ансамбъл поради квантовата

вероятност като нормирана КМ вместо класическата вероятност и

съответната нормирана БМ, от която произхожда.

7.5.3.3. За разлика от класическата вероятност, квантовата е

много тясно свързана със свойствата на време-пространството и

поведението на всички обекти вътре в него. Тази връзка е това, което се

обсъжда фактически и обобщава като теория на гравитацията в общата

теория на относителността.

7.5.4. Понятието за квантова температура е това, което е

призвано за оголи скритата термодинамична същност и на гравитацията,

48

и на общата теория на относителността като вярна теория за нея. Именно

то дава възможност гравитационната константа и тази на Болцман да се

разгледат заедно и в тясна връзка, както по-горе.

7.5.4.1. Гравитационната константа изисква необходимо да

съществува ефективно действащо силово поле за всяка ненулева

енергия посредством някакво ускорение, взаимно еднозначно

съответстващо на тази енергия при определена стойност на скоростта.

7.5.4.2. Болцмановата константа съответно поражда някакви

обекти, определени като такива чрез съответната енергия на тази

температура, върху които горното силово поле може вече да действа.

7.6. “Големият Взрив” се оказва, че е един вид проекция на

реалното положение на нещата в термините на ЛМ и БМ. По-точно, той

възпроизвежда картината сякаш КМ би могла да се редуцира

изчерпателно до две групи от ЛМ (или БМ) или сякаш генезисът на

вселената би могъл да се сведе до две несвързани групи явления: от

една страна, термодинамични и после – гравитационни, от друга. Обаче

тъй като общоприетите идеи и представи (а и предразсъдъци) са

свързани тъкмо с този образ, той може да е изходната точка за описание

на реалното възникване на вселената.

7.6.1. “Големият Взрив” представя картина на първоначална

колосална експлозия, следствията от които можем да наблюдаваме и

обясняваме в термините и законите на добре познатата физика.

Проблемът как, за Бога, би могло да се случи толкова необикновено

събитие като “Големия Взрив” просто се заобикаля и отлага за в бъдеще.

Удобството на “Големия Взрив” лежи във факта, че може да удържи и

така да скрие всички смущаващи въпроси във време, което е отвъд

хоризонта на човешкото познание.

7.6.2. Механичните и гравитационните явления са поставени на

преден план, а термодинамичните са оставени във фона при

илюстрацията, известна като “Големия Взрив”. Биха могли да се

разклатят неговите основания като една първоначална стъпка просто

разменяйки задния и предния план, тоест, както картината изглежда на

обратно:

7.6.3. Това би означавало да се представи възникването на

вселената като наблюдаваното охлаждане по температура (все още

обикновената, а не квантовата) при постоянна енергия и в едно

заварено, вече налично време-пространство или с други думи,

49

експлозията да е само по ентропия. Тъй като различните

време-пространствени положения означават и различни състояния,

нарастването на ентропията би изисквало съответно

време-пространствено разширение, ограничавано от гравитацията.

Разбира се, естеството на този информационен “демон”, който може да

свика цялото разнообразие на вселената в ограничен брой състояния и

така да повиши температурата адиабатно, е не по-малко смущаващо от

самия “Голям Взрив”.

7.6.4. Само след като се въведе КМ, скритите или отложени за

разглеждане творци или демони от всякакъв вид изчезват яко дим от

картината как вселената е възникнала. Следователно, те са били

ненаучен начин КМ да се представи в недостатъчните термини на ЛМ или

БМ, или на строго отделените термодинамика и обща теория на

относителността. С други думи, творци или демони са винаги необходими

при ЛМ (БМ), заради липсващите връзки, допълващи до КМ.

7.6.5. Защо и как трябва творците и демоните да изчезнат яко

дим, заради КМ?

7.6.5.1. КМ предполага и даже изисква в известен смисъл

единството (също еквивалентността, инвариантността, относителността)

на трите аспекта, които иначе са напълно независими във всяка теория

на измерването, основано на ЛМ или БМ: това са дискретното,

непрекъснатото (гладкото) и вероятностното. Бидейки независими

класически, всяко от тях се нуждае от собствена причина да се случи и

може или може да не е причина на всяко от останалите. Например,

вярата в “Големият Взрив” ги подрежда в следния ред. Той се случва

(бидейки форма на дискретното) първи, причинявайки непрекъснато

(гладко) постоянно и даже може би вечно разширение във

време-пространството. Всяко подмножество на това разширяващо се

време-пространство представлява статистически ансамбъл и поражда

вероятности, които физически могат да са само статистически. Така

дискретното (“Големият Взрив”) няма причина и дава възможност да има

творец или демон, за да го породи.

7.6.5.2. КМ изисква само промяна в човешкото мислене: има ли

някой от трите гореспоменати аспекта, тогава останалите два са налични

необходимо, заради КМ. Тъй като разширението на вселената е несъмнен

факт, дискретното и вероятностното трябва да са задължително налични

без каквато и да е друга причина. Те не са причинени от разширението в

50

класическото значение на “причина”, но са необходимо налични,

бидейки негови допълнителни аспекти. Що се касае до времето, то се

отнася само до непрекъснатия аспект, който обаче вече не е универсален

в рамките на КМ. Поради това, въпросът кога (т.е. да се избере момент

време) дискретното или вероятностното са се случили, се случват или ще

се случат е безсмислен: няма нужда от творци или демони, за да се

случат, но те не се случват във времето. Ако някой желае някаква

илюстрация за начина на случването им по отношение на времето, те

могат да се мислят като точки извън времето, но не като преди или след

времето, а още по-малко вътре в него. Ако се иска на всяка цена да се

разположат когато и да е, но в рамките на времето, друг вид на тази

илюстрация все пак е възможен: и дискретното, и вероятностното се

случват във всеки момент от времето.

7.6.5.3. Може да се възрази, че въпросът, кога се случва един

квантов скок е съвсем смислен. Това е така, но само когато квантовият

обект, който е в скок, е част от обхващаща го система, напр. уреда в

квантовата механика. Що се отнася до вселената, има нужда от нещо,

което да включва вселената като своя част. Това би породило “лоша

безкрайност” от еднообразно повтарящи се въпроси: с други думи,

отговорът се отлага вместо да бъде даден. За разлика от това, може (като

нас) да се постулира вселената като това, което не е част от нищо друго,

освен от себе (тя може да е същинска част от себе си). Всъщност

универсалността на КМ се съгласува само с този постулат. Дали и защо е

описано по-горе: 3.2.6.5 и сл.

7.6.5.4. Друг въпрос е че може да се проектира наблюдаваното

разширение назад във времето до едно начало, когато разширението е

започнало. Обаче тази проекция е единствено възможна при условие, че

скоростта на времето е постоянна през цялото време, което е

еквивалентно на запазване на енергията. Това ще рече, че енергия,

съответна на честота в даден минал момент време е същата като тази в

кой да е друг момент. Това не факт, който може да се наблюдава пряко:

по-скоро наблюдаваното разширение му противоречи неявно. Все пак те

могат да се примирят на цената на Големия Взрив. Да се избавим от тях е

много по-естествено, обаче. Всъщност, КМ в общия случай не се

съгласува със закона за запазване на енергията, тъй като последният я

свежда до ЛМ (БМ).

7.6.5.5. Следователно, КМ изисква закона за запазване на

51

енергията да бъде пожертван. Нека видим защо и как:

7.6.5.5.1. Времето и енергията, бидейки две спрегнати

величини, би трябвало да се независими една от друга: обаче законът за

запазване на енергията изисква взаимно еднозначно изображение между

тях (Noether 1918). Ако е даден законът за запазване на енергията, КМ

необходимо се редуцира до едномерна ЛМ (БМ), или с други думи, до

изродения случай на отсечка върху равнината енергия – време.

7.6.5.5.2. КМ изисква да се избавим от закона за запазване на

енергията и за да се отстрани Големият Взрив. Пълната енергия на

вселената трябва да се появи постепенно що се отнася до нейния

непрекъснат (гладък) образ във време-пространството. Това може да се

случи ако и само ако нова допълнителна порция енергия се появява от

нищото във всеки момент от времето. За да се избавим от една нова

версия на творец или демон, който сега действа всеки момент вместо в

едно единствено творение в началото на времето, може да се предложи

някакъв вид положителна обратна връзка, която постоянно въвежда

енергия.

7.6.5.5.3. Тъмните енергия и материя могат да се разглеждат

като непряко свидетелство, че някакво количество енергия се появява

непрекъснато. Наистина би трябвало да е “тъмна” по принцип,

произтичайки от нищото.

7.6.5.5.4. Механизмът на тази положителна обратна връзка,

който да генерира енергия винаги, не е твърде трудно да се предложи

като хипотеза, даже повече от един:

7.6.5.5.4.1. Първи пример може да е както статичният, така и

динамичният (даже по-добре) ефект на Казимир както за вторичното,

така и за първичното (дори по-добре) квантуване. Някои от тези

предсказани ефекти са наблюдавани експериментално (Lamoreaux 1997;

Wilson et al 2011). Същността на всички тях е разграничаването под

формата на време-пространствено раздалечаване (отдалечаване) на две

спрегнати величини или на всяка спрегната двойка величини, или на

квантови двойки обекти, напр. такива като виртуалните двойки,

генерирани от вакуума. Това раздалечаване доказва физическото

съществуване и на двете дуални хилбертови пространства, след като те

могат да се отдалечават едно от друго по експериментално наблюдаем

начин. Например движение със скорост, близка до скоростта на

светлината във вакуум може да породи такова раздалечаване що се

52

отнася до динамичния ефект на Казимир за вторичното квантуване

(Wilson et al 2011). Точно едно достатъчно бързо разширяване би могло

да породи време-пространствено раздалечаване и следователно −

енергия, а именно енергията на две отдалечаващи се виртуални частици,

която вече не се компенсира взаимно.

7.6.5.5.4.2. Освен това КМ може да предложи по-непосредствен

механизъм да се генерира енергия от нищото. Единият от нейните

ипостаси, който не може да се нареди добре по принцип и е

вероятностен, просто число без каквото и да е физическо измерение, се

оказва, че притежава енергия поради инвариантността към добрата

наредба след като се направи във времето. Положителната обратна

връзка би могла да бъде следната. Разширяването на

време-пространството означава две неща: едното е че ентропията на

време-пространствените точки нараства, а другото е че енерия-импулсът

на вселената трябва също да расте като реципрочно (спрегнато) на

време-пространството. Ако ентропията нараства и това естествен закон,

тя изисква за съответната енергия да нараства. Обаче тъй като се

наблюдава постоянно понижаване на температурата, това означава, че

ентропията е нараснала още, пораждайки съответно едно ново

нарастване на енергия-импулса, и всичко се повтаря отново и отново.

7.6.5.5.4.3. С други думи, разширяващата се вселена,

нарастващата ентропия и спадащата температура се съгласуват помежду

си, но не и със закона за запазване на енергията, както не се съгласува

и КМ с него. Нищото, числата или вероятностите се преобразуват в

енергия, т.е. в нещо със скорост, определена от фундаменталните

константи. Това няма нужда от създател или демони, понеже е природен

закон. КМ за разлика от ЛМ (ВМ) е това, което му дава възможност да е в

сила. Понятието за квантова температура помага това да се види.

Тъмните енергия и материя биха могли да са онези, които все още не са

се трансформирали във “видими” неща, , но иначе техните стойности са

“вече” фиксирани от съответния дискретен скок, известен и под името

“Голям Взрив”. “Вече” е в кавички, понеже “Големият Взрив” би трябвало

да се разбере извън времето, както това е обяснено по-горе.

7.6.5.5.5. Разбира се, целта на текста е главно философска.

Изобретяването на по-хитри и може би по-реални положителни обратни

връзки за вселената да възникне по природен закон е по-добре да се

остави на математиците и физиците.

53

7.6.5.6. КМ предполага, че физическото и математическото

повече не са разделени. Това има поне няколко важни философски

следствия или обобщения:

7.6.5.6.1. Съществува възможността един математически модел

да е напълно точно копие на физическата реалност.

7.6.5.6.2. Идеалното и реалното могат да преминават едно в

друго непосредствено или с други думи – да се трансформират помежду

си.

7.6.5.6.3. Психофизическият проблем има просто и естествено

решение: психическите процеси имат физически измерения, такива като

енергия и следователно могат да управляват физически процеси

непосредствено. Този проблем е само епифеномен от класическата

теория на мярката и поради това следователно неизбежно изчезва яко

дим подобно на творците и демоните, след като КМ е била въведена.

7.6.5.6.4. Всеки обект има много сложна скрита структура като

мярката за нея е неговата енергия, съответна на определено количество

квантова информация за единица време. Ако се почне промяна на този

вътрешен строеж по подходящ начин, обектът може да се преобразува

пряко в друг, дори във всеки друг. Всеки физически обект представлява

своето собствено описание, проект, нещо като чертежи да се създаде или

модифицира. Цялата физика винаги и досега е разглеждала всеки обект

като един вид „черна кутия“, изучавайки само нейната (неговата)

“функция на предаване”, която свързва цялото множество входни

физически величини с това на изходните като една функция според

природен закон. Сега има шанса да се погледне в нея и скритата ѝ

структура и начин на работа, които се оказват, че са информационни, но

квантово-, а не класически-информационни.

7.6.5.6.5. Списъкът от подобни удивителни заключения и

обобщения може лесно да се продължи.

8. Перспективата: спекулации за ОКМ: Има ли мярка по-обща

и универсална от КМ? Ако има би могла да се нарече “обобщена квантова

мярка” (ОКМ). Според сегашното знание, дори не можем да си

представим какво може да ни накара да въведем такава мярка или какво

би представлявала.

8.1. Нека постулираме обратното: пълната универсалност на

КМ. От това следват редица философски изводи и нови тълкувания на

добре известни факти. Повечето от тях вече бяха споменати в малко

54

по-различен контекст по-горе. Това, което си струва да се подчертае, е

следното:

8.2. Една универсална мярка както КМ предполага, че всички

обекти са не повече от различни форми на субстанция, споделяна от

всички тях като техен фундамент. Това е квантовата информация и

представлява общо количество, което е и физическо, и математическо по

своята същност. Отдавнашната философска идея за една единствена и

всеобща субстанция вече може да се обсъжда в термините на точните

науки.

55

L ITERA TURE :

Alexandroff, P. 1916. Sur la puissance des ensembles measurable B. –

Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. T.

162 (28 février 1916), p. 323-325. (In Russian: П. Александров. О

мощности множеств, измеримых по Борелю. – В: П. С. Александров.

Избранные труды: Теория функций действительного переменного и

теория топологических пространств. Москва: Наука, 1978, с. 35-39.)

Aspect, A., R.Grangier, and G. Roger. 1981. Experimental tests of

realistic local theories via Bell’s theorem. – Physical Review Letters. Vol. 47,

№ 7, pp. 460-463.

Aspect, A., R.Grangier, and G. Roger. 1982. Experimental Realization of

Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedanken Experiment: A New Violation of

Bell’s Inequalities. – Physical Review Letters. Vol. 49, № 2, pp. 91-94.

Avron, J., A. Elgart. 1999. Adiabatic Theorem without a Gap Condition. –

Communications in Mathematical Physics. Vol. 203, No 2, pp. 445-463

(another link).

Banach, S., A. Tarski. 1924. Sur la decomposition des ensembles de points

en parties respectivement congruentes. – Fundamenta Mathematicae, Vol. 6,

No 1: pp. 244-277.

Bekenstein, J. 1972. Black Holes and the Second Law. – Nuovo Cimento,

Vol. 4, No 15 (August 12, 1972) pp. 737-740.

Bekenstein, J. 2003. Information in the Holographic Universe. – Scientific

American, vol. 289, No 2 (August 2003), pp. 58-65.

Bekenstein, J. 2005. How does the entropy/ information bound work? –

Foundations of Physics. Vol. 35, Issue 11 (November 2005), pp. 1805-1823.

Bohr, N., H. Kramers, J. Slater. 1924. The quantum Theory of Radiation

(With H. Kramers and J. Slater). – Philosophical Magazine. Vol. 47. 785-800.

(Re-print: N. Bohr. Collected works (ed. E. Rüdinger). Vol. 5. The emergency

of quantum mechanics (Mainly 1924 ‒ 1926) (ed. vol. K. Stolzenberg.

Amsterdam ‒ New York ‒ Oxford ‒ Tokyo, North-Holland Physics Publishing ‒

Elsevier Science Publishers B.V., 1984, 101‒118; Н. Бор. Квантовая теория

излучения (Совместно с Г. Крамерсом и Дж. Слетером). ‒ В: Н. Бор.

Избранные научные труды. Т. 1. Москва: „Наука”, 1979, 526-541;

първоначална публикация също така: N. Bohr, H. Kramers, J. Slater. Über

die Quantentheorie der Strahlung. ‒ Zeitschrift der Physik. Bd. 24, №1

(Dezember 1924) S. 69-87.

56

Bell, J. 1964. On the Einstein ‒ Podolsky ‒ Rosen paradox. ‒ Physics (New

York), 1, pp. 195-200. (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum

mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University

Press, 1987, pp. 14-21; another link).

Born, M. 1926. Zur Quantenmechanik der Stoβvorgänge. ‒ Zeitschrift für

Physik. Bd. 37, № 12 (Dezember 1926) S. 863-867; (Quantenmechanik der

Stoβvorgänge) Bd. 38, № 11-12 (November 1926), S. 803-827.

Born, M. 1927. Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik. – Zeitschrift

für Physik. Bd. 40, № 3-4 (März 1927), S. 167-192.

Born, M. 1927. Physical aspects of quantum mechanics. – Nature. Vol. 119

(5 March 1927), 354-357.

Born, M. 1954. The statistical interpretation of quantum mechanics (Nobel

Lecture, December 11, 1954). ‒

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf .

Born, M, V. Fock. 1928. Beweis der Adiabatensatzes. ‒ Zeitschrift für Physik

(A: Hadrons and Nuclei). Bd. 51, No 3-4, S. 165-180.

Clauser, J., M. Horne. 1974. Experimental consequences of objective local

theories. ‒ Physical Review D, Vol. 10, № 2, pp. 526-535.

Dirac, P. 1928. The Quantum Theory of the Electron. – Proceedings of the

Royal Society A: Mathematical, Physical & Engineering Sciences. Vol. 117, No

2 (February 1, 1928) pp. 610-624.

Dirac, P. 1930. A Theory of Electrons and Protons. – Proceedings of the

Royal Society A: Mathematical, Physical & Engineering Sciences. Vol. 126, No

2 (February 1, 1930), pp. 360-365 (another link).

Dirac, P. 1931. Quantized Singularities in the Electromagnetic Field. –

Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical & Engineering

Sciences. Vol. 133 (821) No 9 (September 1, 1930) pp. 60-72 (another link).

Einstein, A. 1910. Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten

und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des kritischen Zustandes. – Annalen

der Physik, Vierte Folge, T. 33 (T. 338), Sechzehntes Heft, S. 1275-1298. (In

Russian: А. Эйнштейн. Теория опалесценции в однородных жидкостях и

жидких смесях. – В: Избранные сочинения. Т. 3. Москва: Наука, 1966, с.

216-236.)

Einstein, A. 1917. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen

Relativitättheorie. – Sitzungsberichte der Königlich preussischen Akademie

der Wissenschaften, Erster Halbband, VI, S. 142-152.

57

Einstein, A. 1918. Prinziplelles zur allgemeinen Relativitätstheorie. –

Annnalen der Physik. Bd. 55, № 4, 241-244.

Einstein, A., B. Podolsky and N. Rosen. 1935. Can Quantum-Mechanical

Description of Physical Reality Be Considered Complete? ‒ Physical Review,

1935, Vol. 47, No 10 (October 15, 1935), pp. 777-780; another link. (In

Russian: Эйнштейн, А., Б. Подолски, Н. Розен. 1936. Можно ли

считать, что квантово-механическое описание физической реальности

является полным? – Успехи физических наук. T. XVI, № 4, с. 440-446.)

Einstein, A. 1957. Autobiographishes. ‒ In: Albert Einstein: Philosopher –

Scientist (ed. P. Schlipp). New York: Tudor Publishing Company (download),

pp. 1-95.

Fiertz, M. 1939. Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit

beliebigem Spin. – Helvetica Physica Acta. Vol. 12, No 1. pp. 3-17.

Gamov, G. 1970. My World line: An Informal Autobiography. New York: The

Viking Press.

Hausdorff, F. 1916. Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. –

Mathematische Annalen. Bd. 77, № 3, S. 430-437.

Heisenberg, W. 1925. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer

und mechanischer Beziehungen. – Zeitschrift für Physik. T. 33, № 1, S.

879-893. (In English: Sources of Quantum Mechanics (ed. van der

Waerden). New York: Dover, pp. 261-276.)

Jacobson, T. 1995. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of

State. – Physical Review Letters, Vol. 75, Issue (August 14, 1995) pp.

1260-1263.

Kochen, S., E. Specker. 1967. The problem of hidden variables in quantum

mechanics. – Physical Review A. Vol. 17, № 1, 59-87.

Lamoreax, S. 1997. Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6 μm

Range. – Physical Review Letters. Vol. 78, No 1 (6 January 1997), pp. 5-8.

Löwenheim, L. 1915. Über Möglichkeiten im Relativkalkül. – Mathematische

Annalen. Bd. 76, № 4, S. 447-470.

Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

Berlin: Verlag von Julius Springer. (In English: J. von Neumann. 1955.

Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: University

Press; In Russian: Й. фон Нейман. 1964. Математические основы

квантовой механики. Москва: „Наука”.)

Noether, E. 1918. Invariante Variationsprobleme ‒ Nachr. d. König.

Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math-phys. Klasse (1918), 235-257. (In

58

English: M. A. Travel, Transport Theory and Statistical Physics 1(3)

1971,183-207. In Russian: Э. Нетер 1959. Инвариантные вариационные

задачы. – В: Вариационные принципы механики. Москва:

Госиздфизматлит, 611-630.)

Pauli, W. 1940. The Connection Between Spin and Statistics. – Physical

Review. Vol. 58, No 8 (October 1940) pp. 716-722.

Schrödinger, E. 1926. An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and

Molecules. – Physical Review. Vol. 28, No 6: pp. 1049-1070.

Schrödinger, E. 1926. Über das Verhältniss der Heisenberg-Bor-Jordanischen

Quantenmechanik zu der meinem. – Annalen der Physik. T. 384, № 8, S. 734-756.

(Also in: Gesammelte Abhandlungen. B. 3. Beitrage zur Quantentheorie.

Wien: Verlag der Österreichischen Akademie des Wissenschaften, Friedr.

Vieweg&Sohn Brunschweig/ Wiesbaden, S. 143-165.)

Skolem, T. 1919. Untersuchung über die Axiome des Klassenkalküls und

über Produktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von

Aussagen betreffen. − Skrifter utgit av Videnskabsakademiet i Kristiania,

Skrifter I, No. 3, 1919, pp. 37-74. (Also in: T. Skolem. Selected works in

logic (ed. E. Fenstad), Oslo etc: Univforlaget, 1970, pp. 67-101.)

Skolem, T. 1919 [1920]. Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die

Erfüllbarkeit und Beweisbarkeit mathematischen Sätze nebst einem

Theoreme über dichte Mengen. − Skrifter utgit av Videnskabsakademiet i

Kristiania, Skrifter I, No. 3, 1919, pp. 1-36. (Also in: T. Skolem. Selected

works in logic (ed. E. Fenstad), Oslo etc: Univforlaget, 1970, pp. 103-136.)

Skolem, T. 1923. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der

Mengenlehre. ‒ In: Matematikerkongressen i Helsingrofs den 4-7 Juli 1922,

Den femte skandinaviska matematikerkongressen, Redogörelse. Helsinki:

Akademiska-Bokhandeln, pp. 217-232. ( Also in: T. Skolem. Selected works

in logic (ed. E. Fenstad), Oslo etc: Univforlaget, 1970, pp. 137-152.)

Sierpiński, W. 1924. Sur la puissance des ensembles measurable (B). –

Fundamenta Mathematicae, vol. 5, issue 1, pp. 166-171.

Smolin, L. 2002. Three Roads to Quantum Gravity. New York: Basic Books.

Weber, H. 1893. Leopold Kronecker. – Jahresbericht der Deutschen

Mathematiker-Vereinigung, Zweter Band. 1891 − 1892, S. 5-31.

Wilson, C., G. Johansson, A. Pourkabirian, M. Simoen, J. Johansson,

T. Duty, F. Nori, P. Delsing. 2011. Observation of the dynamical Casimir

effect in a supeconducting circuit. – Nature, Vol. 479, No 7373 (17 November

2011), pp. 376-379.