אנליזה פונקציונלית.שיעורים.ג'ורג' וייס.תש''ע...

ם, פרויקט של אגודת הסטודנטיהבנק האקדמיהסריקות בוצעו על ידי

אוניברסיטת תל אביב

ויינטראוב יונתןנתרם על ידי:

פונקציונלית אנליזה

שיעורים

וייס' ורג'ג

ע''תש, 'ב סמסטר

23.2.10

1שיעור 6405164מרצה: ג'ורג' וייס

אחוז מהציון, בניין מעבדות בקומה השנייה – המתרגל יובל יפעת:20תרגילים: יהוו [email protected]

2 בניין מעבדות קומה 33תא אתר:

ספרים:

מבוא קורס זה הוא המשך של חדו"א עבור מרחבים אינסוף ממדיים. מה הקשר להנדסה: מרחב הדגימה של

אותות למשל.

סימוניםA×B={a קבוצות הם למעשה ייצירה של זוגות סדורים 2כפל קרטזי של ,b ∣a∈A ,b∈B }.

a הן קבוצת הזוגות B ו Aקבוצת המכפלה הקרטזית של ,bכך שa בתוך Aו ,b בתוך B.

.ℝ×ℝ=ℝ2ניתן לראות כי קונסיסטנטיות עם הגדרת הווקטור:

)Vector Spacesמרחב ווקטורי ( ההגדרה הידועה והאינטואיטיבית היא ווקטור עמודה או שורה כאשר ניתן לחבר אותם ו\או להכפיל את

הווקטור במספר. פעולות: חיבור2 המקיימת Vהינו קבוצה ℂבצורה כללית: מרחב ווקטורי מעל המספרים המרוכבים

וכפל. V×V:+פונקציית החיבור מוגדרת כ: • V-איברים ב2(מתאימה ל Vאיבור ב V.(ℂ×Vפונקציית הכפל מוגדרת כ: • Vמתאימה למספר מ)Cואיבר מ Vאיבר ב V.(

כאשר הפועולת צריכות לקיים:)V בa,b,c(לכל abc=abcחיבור מקיים אסוסיאטיביות: .1

a=0V⋅0כך ש 0V∈Vקיום .2 ; ∀V

⋅a=⋅a⋅aפתיחת סוגריים של הסקלאר:.3

⋅ab=⋅abפתחית סוגריים של הווקטור: .4

a=aכפל צריך לקיים אסוסיציטיביות: .5

a=a⋅1קיום איבר יחידה .6

www.mymentor.co.il/yonatan /לסיכומים נוספים:

http://www.mymentor.co.il/yonatan/

mailto:[email protected]

משפטים הנובעים מהאקסיומות.a−a=0V: 0כך שחיבורם הוא −a=−1⋅a קיים ווקטור הופכי: aלכל ווקטור •

וההגדרה לווקטור הופכי6- לפי אקסיומה a−a=1⋅a−1⋅aהוכחה 1⋅a−1⋅a=[1−1]⋅a=0⋅a 3- לפי אקסיומה

. מש"ל2לפי אקסיומה a=0v⋅0וכן

•a0V=a :הוכחה .a0v=1⋅a0⋅a=10⋅a=1⋅a=aגם כן לפי האקיסומות הנ"ל

. ab=baקיום חילופיות • . ולפי11⋅ab=1⋅ab1⋅ab=abab - 6 ו3הוכחה: לפי האקסיומות

/11⋅ab=11⋅a11⋅b=aabb - 6 ו4האקסיומות a− האגפים ו2מימין ל-b−. עתה נוסיף abab=aabbלסיכום נקבל

מש"לab=ba האגפים ונקבל 2משמאל ל-

חזרה – אנליזה מתמטית של פונקציות (חדוו"א)

x∣∣=∑i∣∣נורמה: • x i

סדרותakסידרה • תקרא חסומה אם קיים M0כך ש∣ak∣≤M ∀ k

akסידרה ווקטורית • ∈ℂn תקרא מתכנסת אם קיים מספרa0 אםlim k0∣∣ak−a0∣∣=0-

בצורה פורמלית מחסרים את המספר מהסידרה ומבצעים נורמה ואז קיבלנו סידרה של מספרים.0שהגבול שלה צריך להיות

קבוצות (הכוללת את השפה שלה) אם כל סידרה שאיבריה בקבוצהסגורהתקרא M⊂ℝnקבוצה •

z0 :∀ומתכנסת ל zn z0 ; z n∈M מחייב כיz0 בתוךMגם כן

}=Mלדוגמה: x∈ℝ2∣∣∣x∣∣≤7}סגורה, כי כל הסדרות המתכנסות חייבות להתכנס לאיבר )כי הקבוצה מכילה את החסם שלהשבקבוצה (

∞,M=[0דוגמה נוספת: סגורה.(

אם קיים רדיוס שבו כל איברי הקבוצהחסומהתקרא M⊂ℝnקבוצה •R0∃קיימים: ; ∣∣X∣∣≤R ∀ x∈M

z (שאינה כוללת את השפה שלה) אם לכל איבר פתוחה תקרא Mקבוצה •B שעבורו הקבוצה rבקבוצה קיים רדיוס z , r ={ x∈ℝn∣∣∣x−z∣∣r }

M :B⊂M) כולה בתוך r(כדור ברדיוס

) יוגדר כקבוצת כל המספרים שניתן לכתוב אותם כגבול שלclos M (באנגלית Mסוגר של קבוצה •M :closסדרות בקבוצה M={ z ∣ z=lim ak ∣ ak∈M }.

}=M :Mלדוגמה x∣x4} הסוגר הינוclosM={ x∣x≤4}כי ניתן לכתוב סידרה וכן לאיברים "שעל השפה"Mשמתכנסת לכל איבר ב + השוליים M הוא הקבוצה M אינטואיציה: הסוגר של


M r

zB


M=closהינה: M- M (בצורה פורמלית): השפה של Mהשפה של • M ∩clos M c

M עם הסוגר של המשלים של M היא החיתוך של הסוגר של M- כלומר השפה של M(משלים הוא c(

ak אם לכל סידרה קומפקטית תקרה Mקבוצה • שאיבריה בMאם קיימת לה תת סידרה ak jהמתכנסת לנקודה בM.

אינטואיציה: קבוצה קומפקטית היא גם חסומה וגם סגורה. ניתן לראות כי קבוצה סגורה כל הסדרות (ובפרט תתי הסדרות). ובנוסף עבור קבוצה סגורה הסידרה צריכה לחזור עלMמתכנסות לגבול ב

עצמה "ולחכור את אותם האזורים שוב ושוב" ולכן נוכל למצוא תת סידרה מתכנסת (לדוגמה ). אבל אם הקבוצה לא חסומה אזי יישנה סידרה הגדלה לאינסוף לא מתחייב...,1,1−,1,1−

כיום תת סידרה מתכנסת.משפט: קבוצה תהיה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה•

f קבוצה קומפקטית וDאם • : Dℝ p פונקציה רציפה אזי כל תת קבוצהM⊂Dתמונתה fקומפקטית: M .קומפקטית


M

MC


פונקציותfפונקציה: • :ℝnℝ p תקרה רציפה בנקודה z0∈ℝ

n אם ורק אם כל סידרה zr∈ℝn

zrהמתכנסת z0 מתכנסת לf zr f z 0

fלדוגמה: הפונקציה :{ 1,2,3}ℝרציפה כי הסדרות היחידות שמתכנסות ל ,z0הן .,2,2,2,2או .....,1,1,1 fועבורם אכן ... zr f z 0

הגדרה אלטרנטיבית. לשם הגדרה האלקטרנטיבית נשתמש בתמונה ההפוכה.•

fתמונה ההפוכה ◦ −1M הינה קבוצת האיברים שfשולחת ל M: f −1M ={ x∈D∣ f x ∈M }

אזי גםM תקרא רציפה אם ורק אם לכל קבוצה סגורה fוההגדרה האלטרנטיבית היא: ◦f −1M גם סגורה (נשים לב כיf −1M יכולה להיות ריקה עבורM מסויימים עם fלא

"על")



2שיעור להשלים



9.3.10

3שיעור

לסכון מטריצות הינהכאשר A=H−1H כך שH תקרא לכסינה אם קיים A∈ℂn×n ,Aבהינתן מטריצה

=diagמטריצה דיאגונלית הערכים העצמיים: [1, ... ,n]=[1 0 00 ⋱ 00 0 n

].

Aראינו בשיעור שעבר כי עבור כל מטריצה ריבועית, אם הערכים העצמיים שונים זה מזה אזי המטריצה בהכרח לכסינה (בכיוון ההפוך ייתכן וויתכן).

מטריצות ג'ורדן

1]מטריצות ג'ורדן הן מהצורה: 10 1

0

0 n 10 n

)Jordan Cellsמטריצת ג'ורדן מורכבת מתאי גו'רדן ([

מעל האלכסון.1כל תא הוא מהצורה של ערכים עצמיים על האלכסון ו-

1תא ג'ורדן מסדר שני: 10 1:מסדר שלישי ,1 1 0

0 1 10 0 1

.

מטריצות ג'ורדן לא לכסינות.

תהליך ליכסון מטריצהA :kלמטריצה ekראשית נמצא ווקטורים עצמיים I−Aek=0נסדר את הווקטורים שהתקבלו .

H−1=[e1בעמודות: e2 ... en יהיו בלתי תלויים לינארית)ek(כאשר חייבים כי [

. עבור ערכים עצמיים שונים הווקטוריםekהערה לגבי אי תלות לינארית של הווקטורים העצמיים העצמיים הם בלתי תלויים לפי המשפט של שיעור קודם. אבל ווקטורים עצמיים של אותו ערך עצמי יכולים

להיות תלויים לינארית וצריך לדאוג לאי לתלות שלהם.

A. הוכחה נחשב מפורשות את: A שמצאנו אכן מלכסנת את Hנוכיח כי H−1ונקבל

A H−1=[1 e1 ... n en ]=H−1

H האגפים לקבלת: 2 את Hעתה נכפיל משמאל ב A H−1=.מש"ל



פונקציות אנליטיות

טרמינולוגיהDדיסק – מסומן • z , r הינו קבוצת הנקודות בדיסק שמרכזו בz ורדיוסו r

D z , r ={ s∈ℂ∣∣x−s∣r }

קבוצה פתוחה (תזכורת) – הינה קבוצה שעבור כל נקודה בה קיים דיסק (לפחות אחד) שמרכזו•בנקודה וכולו בתוך הקבוצה

קבוצה סגורה – הינה קבוצה המשלימה לקבוצה פתוחה• ניתן למצוא עקומה המקשרת ביניהן a,b נקודות 2קבוצה קשורה – בין כל •

) (אין איים בקבוצה:) – הינו קבוצה פתוחה וגם קשורה.domainתחום (•

פונקציה אנליטיתf, הפונקציה בהינתן תחום :ℂתקרא אנליטית אם יש לה נגזרת בכל נקודה בתחום

z∈.

fכאשר נגזרת במישור המרוכב מוגדרת לפי: ' z =lims zf s − f z

s−zכאשר מסלול השאיפה יכול

מכל כיוון).zלהיות כל מסלול, וערך הנגזרת אינו תלוי במסלול השאיפה (ניתן להתקרב ל

logלדוגמה z אינו פונקציה אנליטית לאורך ציר השליליים. הוכחה: נגדירlogשל מספר מרוכב באופן z=rהבא e i ; r0 ; −≤≤ ולכן ,log z=log riעתה יש לנו בעיה עם נרצה לשאוף .

log"מלמעלה" (כלומר מהכיוון החיובי של ציר המדומה) אזי z=−1לנקודה z=log riומלמטה , log z=log r−i 2- כלומר ישנה אי רציפות בשיעור iובפרט הlog.לא רציף

קיבלנו כי הפונקציה אי רציפה ולכן בפרט לא אנליטית)2(הערה – הפיתוח הזה דומה לפיתוח שנעשה בתחילת הקורס שיטות בפיסיקה עיונית

fכמו כן, הפונקציה z =R e [ z אינה אנליטית בשום מקום כי היא אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה.[fולכן z=x0⋅i בכיוון המאוזן: fהנגזרת של ' z =1 :וכן בכיוון המאונך ,z=consti yולכן f ' z =0.הנגזרות בכיוונים השונים שונים ולכן אין נגזרת .

fבצורה דומה נוכל לקבל כי הפונקציה z =∣z∣אינה אנליטת בשום מקום (לפי מסלול שאיפה משיקי או רדיאלי לנקודה)

פונקציות אנליטיות כמרחב ווקטורי פונקציות אנליטיות הוא פונקציה אנליטית, ומכפלה של פונקציה אנליטית בקבוע היא2מישום וסכום

Hפונקציה אנליטית אזי מרחב הפונקציות האנליטיות הוא מרחב ווקטורי ומסומן

תכונות של פונקציות אנליטיותכך שakעבור פונקציה אנליטית, ניתן להגדיר עבור כל נקודה סידרה של מספרים מרוכבים

sup∣ak∣1 / k∞ כאשר)supהינו הסופרימום כלומר האיבר החוסם את הסידרה הקטן ביותר) וכן הטור –

fמקרב את הפונקציה: s=a0a1 s− z a2 s−z 2....



נשים לב כי נובע מההגדרה של פונקציה אנליטית כי אם פונקציה גזירה פעם אחת נובע כי היא גזירהאינסוף פעמים. - זה בניגוד להגדרה עבור מספרים ממשיים!

R :1נשים לב כי טור טיילור של הפונקציה מתכנס רק ברדיוס התכנסות של הטור R=limn∞ sup∣an∣

1n.

limנשים לב כי הקשר הזה יכול להעיד על הסידרה (עבור רדיוס התכנסות אין סופי: n∞ sup∣an∣1n=0(

משפט קושי

אינטגרציה לאורך עקומהg∈Cהמסלול וכן רציפה בקטע זה. בנוסף1 ל-0 מוגדרת על הקטע בין [0,1]

נדרוש כי הפונקציה גזירה למקוטעין.fנניח כי בנוסף יש לנו פונקציה :ℂ רציפה. אזי נוכל להגדיר אנטגרציה שלf

∫: gלאורך מסלול g

f sds:נגדיר את האנטגרל באופן הבא .

∫g

f sds=∫0

1

f g t ⋅g ' t dt כאשרf s= f g t ; ds=g ' t dt

gהאינטואיציה בהגדרה הזאת: ' t dt הינו קטע הדרך שעוברים לאורך האינטגרציה וf g t הוא ערך הפונקציה.

∫נשים לב שלעיתים משתמשים בg

f s∣ds∣=∫0

1

f g t ∣g ' t ∣dt.

מספר הקפות שמבצעת עקומה נגדzמבצעת סביב הנקודה נגדיר את מספר ההקפות של העקומה הסגורה

nהשעון: , z = 12 i∫

dss−zבצורה אינטואיטיבית הגדרה זו דומה להגדרה)

של קורס בקרה – לגבי כמות הלולאות שעושה עקומת נייקויסט.nלמשל בדוגמה , z =−1.

מוגדר תמיד שלם.nנקודה מעניינת האינטגרל שלפיו

משפט קושיfמשפט קושי מדבר על :ℂפונקציה אנליטית, ו מסלול סגור בתוך.

(שלא תקיף במבן הרחב – כלומרלא תקיף נקודות שאינם בתחום נדרוש כי הקפה פעם בכיוון השעון פעם כנגד הוא בסדר) . למשל בתחום הזה: הקו האדום לא טוב

הירוק כן טוב.

∫משפט קושי טוען כי

f s⋅ds=0נשים לב כי אם המסלול נגד כיוון השעון ערכו חיובי, עם כיוון השעון) ערכו שלילי)


g(1)

g(0)

z


Moreraמשפט מוררה תהיה אנליטית אם עבור כל מסלול סגור בצורת משולש fמשפט הפוך למשפט קושי. פונקציה

∫(מספיק לבדוק את המשולשים) מתקיים

f s ds=0

קוטב של פונקציה אנליטיתP יקרה קוטב מסדר n של הפונקציה f אם ניתן לפרק את f בסביבה של P:באופן הבא

f s=g sk 1

s− p...

k n

s− pnk הינה פונקציה רציונלית, וכן gכאשר n≠0.

limניתן לראות כי בסביבת הקוטב הפונקציה מתפוצצת: s p ∣ f s∣=∞.ללא תלות במסלול השאיפה

hלדוגמה: לפונקציה s=e1

s−1אין קוטב בs=1-אבל אם שואפים ל1. אומנם הפונקציה מתפוצצת ב . בסטירה0, אבל מצד שמאל הפונקציה שואפת ל-∞ מצד ימין על ציר הממשים הפונקציה מתפוצצת ל1

למה שקורה עם קוטב.



16.3.10

4שיעור

משפטים בפונקציות אנליטיותr D) וקיים דיסק ברדיוס p(תחום ללא נקודה p אנליטית על תחום fאם • p , r כך שf

אנליטית בכל התחוםfולקבל כי לתחום pחסומה בתוך דיסק זה אזי ניתן לצרף את

בהכרח אנליטת בכל fאזי Pואנליטית על תחום רצפיה על כל fמקרה פרטי: אם •

:נוסחאת קושיממשפטים הללו ניתן לקבל את z∈המקיפה נקודה כללית בתוך , ובהינתן עקומה סגורה בתחום fבהינתן פונקציה

fאזי יישנה נוסחאת קושי: . פעם אחת ושאינה מקיפה שום נקודה מחוץ ל z = 12 i∫

f ss−z

ds

.8להשלים את ההוכחה מהדף של שיעור

f פעמים: n המשוואות 2כמו כן נוכל לגזור את n z = n !2 i∫

f s s−z n1 ds

(ושאינו עובר דרך נקודות מחוץ לzמעגל סביב בrברדיוס משפט המשך נוסף, נבחר מעגל

אזי . (f z = 12r∫

f s∣ds∣כלומר בכל נקודה ערך הפונקצייה זהה לממוצע הערכים

הוא מדד למרחק ולא "מצטמצם" כתוצאה מסכימה על כיוונים∣ds ,∣dsשסביבה. למה? כי בניגוד ל שונים.

fנשים לב כי: z = 12 r∫ f s∣ds∣= 1

2∫−

f zr e id

היא הרמונית – כלומר אין לה מינימום או מקסימום. למה? כי אם יש מקסימום ב f תכונה הנובעת: פונקציה z אזי הערך של הפונקציה ב . z צריך להיות יותר גדול מהערכים שבסביבה של z .ולכן גבוהה מהממוצע –

בסתירה משל.

∣ניתן להוכיח טענה חזקה יותר. משום ו f z ∣= 12 r ∣∫ f s∣ds∣∣≤ 1

2r∫∣ f z ∣∣ds∣אזי לערך .

המוחלט של הפונקציה לא יכול להיות מקסימום! כי אם לערך המוחלט יש מקסימום אזי הוא יותר גבוהה מהממוצע של הערכים המוחלטים בסביבה בסתירה

לחלק הימני של המשוואה.

אנקדוטה: פונקציה אנליטית הקבועה בקטע מסויים קבועה בכל התחום – בגלל שפונקציה אנליטית ניתנתלתיאור באמצעות טור טיילור. טור טיילור זה יכיל רק ערכים קבועים.

מרחב ווקטורי עם נורמה (מרחב נורמי)V:∣∣.∣∣ פונקציית נורמה השולחת כל ווקטור למספר חיובי Vנרצה להגדיר על מרחב ווקטורי [0,∞ )

תכונות:3על הנורמה לקיים

•∣∣x∣∣=0 גוררx= 0v

x∣∣אי שיוויון המשולש: • y∣∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣

∣∣מתקיים: ∈ℂעבור כל • x∣∣=∣∣dcot∣∣x∣∣



, היא פונקציית נורמה. נוכיח לדוגמה את התכונה הראשונה:∣z∣לדוגמה: פונקציית ערך מוחלט מרוכב ∣z∣=∣abi∣=0a2b2=0 מספרים חיוביים נותן מספר חיובי 2ובגלל שסכום של a2=b2=0.

סוגי נורמות (עבור ווקטורים תלת ממדיים):

•∣∣z∣∣p=∣z1∣p∣z2∣

p∣z3∣p1/ p ; 1≤p∞

wניתן להגדיר נורמה עם משכולות • iחיוביים ∣∣z∣∣p=w1∣z1∣pw2∣z2∣

pw3∣z3∣p1 / p

z∣∣∞=max∣∣מקסימום: • {∣z1,∣∣z2,∣∣z3∣}

פונקציות נורמה הוא גם פונקציית נורמה2סכום של •

P∈Cנוכל גם להגדיר נורמה עם מטריצה. נבחר מטריצה • הפיכה. בנוסף נבחר אחת3×3asb∣z=∣∣P⋅z∣∣0∣. זו היא גם נורמה: 0∣∣.∣∣מהנורמות שהגדרנו עד כה (לא חשוב איזו)

נוכל לצייר עבור הנורמות שהגדרנו את מעגל היחידה (קבוצת הנקודות שעבורם) .1הנורמה היא

ניתן לראות את האבולוציה של מעגלי היחידה.


X

Y

P=2

P=1

P=inf


23.3.10

בדפים)4 (שיעור 5שיעור

נורמה של סידרהlבצורה דומה לנורמה של ווקטור, מגדירים נורמה של סידרה. לדוגמה: עבור המרחב 1

∣∣x∣∣p=∑k=1

∞

∣xk∣p

1p ; 1≤p∞.

limניתן להוכיח כי: p∞∣∣x∣∣p=∣∣x∣∣∞=sup {∣xk∣∣k∈ℕ} כאשר)supהינו הסיופרימום של הסידרה, הוא המספר הכי קטן החוסם את הסידרה)

lתזכורת – המרחב n

lהמרחב n :הוא מרחב הסדרות שהסכום הבא הוא סופי עבורים∑i=1

∞

∣x i∣n∞.

lלדוגמה עבור סידרה ב- ∑=∣∣x∣∣הפונקציה הבאה היא נורמה: 1k=1

∞

∣xk∣.

lאבל עבור סידרה ב ∑=∣∣x∣∣לא מתחייב שזו תהיה נורמה2k=1

∞

∣xk∣.כי הסכום לא בהכרח מתכנס ,

BCמרחב נוסף: nJ היא קבוצת כל הפונקציות שהן רציפות, גזירות וחסומות לאחרn−1גזירות רציפה וחסומה.n) ובנוסף הנגזרת הJ(על הקטע

BCלדוגמה 1J .היא קבוצת כל הפונקציות שהן גזירות, וחסומות וגם הנגזרת שלהן רציפה וחסומה

Cnכמו כן J היא קבוצת כל הפונקציות שגם הנגזרת הn שלהן רציפה על הקטעJ.

מכפלה פנימית?V :בדומה לפונקציית הנורמה נוכל להגדיר מכפלה פנימית: על מרחב ווקטורי ,? :V×V ℂ

אקסיומות:4על הפונקצייה לקיים • x y , z = x , z y , z מכפלה פינימית היא לינארית -

• x , z = x , z

• z , x = x , z - כשהופכים את הסדר צריך לקחת "צמוד קומפלקסי"*

• x , x 0 וחיובית.3- מכפלה של ווקטור בעצמו ממשית (מתוך אקסיומה (

משפטים הנובאים מהגדרה הזו:• x , z y = x , z x , y

• x , z =* x , z



מכפלה פנימית על ווקטוריםההגדרה הבאה מגדירה מכפלה פנימית: V=ℂ3למשל עבור x , z =x1 z1 *x2 z2 *x3 z3 *.

בנוסף, לפי קוונטים אחד גם זו היא מכפלה פנימית: x , z =xT H T z חיובית היא מטריצהH- כאשר *x : M ממש כלומר מקיימת עבור כל x , x 0 ; ∀ x≠0.

xTנשים לב כי יישנה רק סוג מכפלה פנימית אחד: הכפלה מהצורה H T z *

מכפלה פנימית על פונקציותC: 1 עד 0עבור פונקציות, למשל כל הפונקציות הרציפות בתחום ואז[0,1]

f , g =∫0

1

f t g * t w t dt 0(עבורw t M(פונקציית משקולות -

דרך מערכת לינארית ואז לבצע מכפלה:f,gבנוסף ניתן להעביר את

f , g =∫0

1

f t g * t dt.

:∞ פונקציית תמסורת רציונלית (פולינום חלקי פולינום) ושאינה שואפת לGכאשר נדרוש כי לG s

s∞∞.

Gלדוגמה: אינטגרטור: s =1s.

∫דוגמא לפונקצייה שהיא אינה מכפלה פנימית: 0

1

∫0

1

x t z * dt d .למה היא לא מכפלה פנימית .

xנבחר t =sin2t ונחשב x , x =∫0

1

sin 2 t dt∫0

1

sin2d=0 4בסיטרה לאקסיומה.


Gf phi


מטריצות חיוביות

תזכורת - מטריצה הרמיטית \ צמודה לעצמה.conjugate transposeשכול לפעולות "טרנספוז" ו"צמוד קומפלקסי" נקרא גם נזכור את הסימון

.A=Aמטריצה תקרא צמודה לעצמה \ הרמיטית מקיימת:

תזכורת – מטריצה אוניטריתHH=Hמטריצה יוניטרית מקיימת: H=I .

תכונות:•H−1=H

1 (האורך) של כל עמודה וכל שורה היא 2נורמה • מטריצה יוניטרית המייצגת טרנספורמציה יוניטרית משמרת נורמה של ווקטורים (ולכן בקוונטים•

מטריצה יוניטרית משמרת את העורך של המצב הקוונטי)מטריצה יוניטרית מייצגת סיבוב ו\או שיקוף•

משפט עבור מטריצות הרמיטיותH). אזי קיימת מטריצה A=Aהרמיטית (A∈ℂn×nנניח ∈ℂ n×n יוניטרית, וכן1,. .. ,n∈ℝ

A=H המקיימים Aערכים עצמיים של [1 0 00 ⋱ 00 0 n

]H.

תזכורות:

A=H לחסינה ניתן לכתוב אותה כ:Aאנחנו מכירים המשפט הזה כ-אם • [1 0 00 ⋱ 00 0 n

]H −1.

.H−1=H יוניטרית: Hאבל בגלל ש

לכסינה ע"י טרנספורמציה יוניטרית, כאשר טרנספורמציה יוניטרית מורכבתAעוד אינטואיציה: •.A הם הווקטורים העצמיים של Hמסיבוב ו\או שיקוף. כמו כן העמודות של

מטריצות חיוביותP(חיובית במובן החלש) אם P≥0תקרא חיובית: P∈ℂn×nמטריצה x , x ≥0 ; ∀ x∈ℂn

Px- כאשר המכפלה הפנימית כאן היא המכפלה הסטנדרטית: , x =xP x.

Pאם P0תקרא חיובית בהחלט P∈ℂn×nמטריצה x , x 0 ; ∀ x∈ℂn , x≠0



משפטים: וגם כל הערכים העצמיים שלה מקיימיםP=P אם ורק אם P≥0 היא חיובית Pמטריצה •

i≥0 ; ∀ i.

וגם כל הערכים העצמיים שלהP=P אם ורק אם P0 היא חיובית בהחלט Pמטריצה •i0מקיימים ; ∀ i.

. קריטריון סילבסטר.P=P המקיימת Pעבור P0דרך נוספת למצוא ש•

(מטריצות ריבועיות הולכות וגדלות מהפינהAiנסתכל על המינורים הראשיים הימנית).

detאם כל המינורים הראשיים מקיימים Ak0 ; 1≤k≤n.

P=[1לדוגמה: 22 A1=1 ,det. אזי [3 A1=1 וכן ,A2=Pוdet A2=−1ולכן

המטריצה לא חיובית!

P≥0משפט יותר חלש, אם • ; P=P אזי נובע (בכיוון אחד) כיdet Ak≥0.

Aלכל מטריצה שהיא: • A≥0 וכןA A≥0

למטריצה הרמיתית ערכים עצמיים אי שליליים.•


A1

A2

An = P


13.4.10


הקשר שבין מרחבי מכפלה פנימית לנורמות

אי שיוויון קושי שוורץ כיx,yבהינתן מרחב ווקטורי שעליו מוגדרת מכפלה פנימית. מתקיים לכל ווקטור

∣ x , y ∣≤ x , x y , y בדפים מגדירים כי)∣∣x∣∣= x , x בהמשך נראה מדוע , ∣ x , y ∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣.

=vהוכחה: נבחר ווקטור x− y מצד אחד . v , v ≥0 מצד שני נציב את .v:ו נפתח

0≤v , v = x , x − y , x − y , x *∣∣2 y , y =∣∣x∣∣2−2 Re [ y , x ]∣∣2∣∣y∣∣2

=עתה נבחר x , y 2

∣∣y∣∣2y∣∣=0∣∣, כי y∣∣≠0∣∣(נניח כי y=0:ובהכרך המשפט מתקיים

0=∣ x ,0 ∣≤∣∣x∣∣⋅0=0 0) נציב ונקבל≤∣∣x∣∣2−∣ x , y ∣2

∣∣y∣∣2מש"לy∣∣2∣∣ האגפים ב2נכפיל את

הוכחה כי x , x =∣∣x∣∣הוא אכן נורמה האקסיומות של פונקציית הנורמה:3כדי להוכיח זאת יש לבדוק את

•∣∣x∣∣=0 x=0קל להוכיח באמצעות הצבה -x∣∣אי שיוויון המשולש• y∣∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣:הוכחה .

∣∣x y∣∣2= x y , x y = x , x 2 Re x , y y , y משום וR e≤∣∣ ; ∀. ∣ומשום ו x , y ∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣ :נקבל∣∣x y∣∣2≤∣∣x∣∣22∣∣x∣∣∣∣y∣∣∣∣y∣∣2=∣∣x∣∣∣∣y∣∣2-נקח שורש ל .

הצדדים וקיבלו את אי שיוויון המשולש2•∣∣ x∣∣=∣∣⋅∣∣x∣∣.גם זה קל להוכיח באמצעות הצבה -

שיוויון המקביליתx∣∣מתקיים השיוויון: y∣∣2∣∣x− y∣∣2=2 ∣∣x∣∣2∣∣y∣∣2 במידה ו∣∣x∣∣2= x , x .

ההוכחה פשוטה, יש להציב מכפלות פנימיות.

x∣∣2=∣∣ניתן להוכיח כי נורמה נובעת ממכפלה פנימית ( x , x כלשהי אם ורק אם היא מקיימת את ( . y ו x שיוויון המקבילית לכל

.ייתר על כן, ניתן לשחזר את המכפלה הפנימית המקורית

אשר אינו נובע ממכפלה פנימית אכן לא מקיים את שיווין∣x∣∣1=∣x1∣∣x2∣∣לדוגמה: ניתן לראות כי המקבילית.



סידרת קושיxn .lim מרחב נורמי (מרחב ווקטורי עם נורמה). נרצה להגדיר גבול של סידרה Vיהי xn=x0.

אבל אנחנו לא יודעים להגדיר גבול של סידרה ווקטורית. - לכן נגדיר את הגבול באמצעות הנורמה:x0 יהיה גבול של סידרהxn (הסידרה מתכנסת) אם ורק אםlimn∞∣∣xn−x0∣∣=0כאן מדובר)

בסידרה של מספרים אז יותר קל)

limnכסידרה המקיימת xnכמו כן נגדיר סידרת קושי , m∞∣∣xn−xm∣∣=0בחדווא אמרנו שהסדרות . היא סידרת קושי אם ורק אם היא מתכנסת. לא ווקטורים) שכולות – סידרה של מספרים (

בנורמה של סדרות זה לא טריוויאלי - נוכיח כי כל סידרה מתכנסת היא גם סידרת קושי•

∣∣xn− xm∣∣=∣∣xn− x0x0− xm∣∣≤∣∣xn− x0∣∣∣∣xm−x0∣∣(המעבר האחרון מאי שיוויון המשולש)

אזי גם השמאלי. מש"ל0ובמידה והגבול הימני הולך ל- הוא סופי) V הכיוון ההפוך לא בהכרח נכון. (הוא כן נכון במידה והממד של •

והנורמה:V=l1דוגמה במרחב של הסדרות שהערך המוחלט שלהם מתכנס: ∣∣x∣∣=∣x1∣

2∣x2∣2...1/2:ונסתכל על הסידרה .

• x1=1 ,0, ...

• x2=1, 12

, 0,0, 0 ....

• x3=1, 12

, 13

,0,0 ....

):nmנוכיח כי זאת סידרת קושי (למשל עבור

xn−xm=0,. .. ,0, 1m1

, 1m2

,.... , 1n

,0 ,0, ...−xn∣∣נחשב את הנורמה: xm∣∣= ∑i=m1

n 1i2≤ ∑i=m1

∞ 1i2=∑i=1

∞ 1i2−∑

i=1

m 1i2

. אבל יודע כי הסכום

∑i=1

∞ 1i2=

2

(ולכן זו היא סידרת קושי).0 לאינסוף הנורמה בהכרח תלך ל-mולכן כאשר נכך את 6

limn , m∞∣∣xn−xm∣∣≤limm∞ 2

6−∑

i=1

m 1i 2=2

6−

2

6=0

,x0=1האם סידרה זו מתכנסת? היא אכן מתכנסת לאיבר: 12

, 13

, 14

, .... אבל .x0∉l1כי

ולכן לא סידרה מתכנסתVלא מתכנס.. ולכן הסידרה לא מתכנסת לאיבר בx0הסכום של איברי )x0 – הוא לא גדול מספיק כדי להכיל את V (זה נראה כאילו משהו דפוק ב



ומרחבי הילברט Banachמרחבי (מרחב זה נקרא גםV היא גם מתכנסת לאיבר בVמרחב נורמי יקרה שלם אם כל סידרת קושי ב•

)Banachמרחב )Hilbertמרחב שלם שהנורמה שלו היא תוצאה של מכפלה פנימית נקרא מרחב הילברט (•

מתמטיקאים נוהגים להשתמש במושג נורמה – כשהם מתכוונים לנורמה הפשוטה ביותר של המרחבעבורה הוא שלם.

לדוגמה:

•V=l1 :אבל עם הנורמה∣∣x∣∣=∣x1∣...ולא הנורמה הלא מתאימה)∣∣x∣∣=∣x1∣2...1 /2(

•V=l p :עבורו הנורמה הטבעית היא∣∣x∣∣pC: 1 ו0מרחב הפונקציות הרציפות בין • ∣∣והנורמה [0,1] f∣∣∞=max t∈[0,1]∣ f t ∣?

∣∣למה? כי ההתכנסות תחת נורמה זו f n− f 0∣∣=מתכנס במידה שווה (מהירות ההתכנסות לא ∣: tתלוייה ב f n t − f 0t ∣≤(

השלמה של מרחב∋V)V שאינו שלם ניתן למצוא מרחב נורמי אחר Vלכל מרחב נורמי V שהוא (

).x∣∣V=∣∣x∣∣V∣∣מתקיים x∈Vכן שלם עם אותה הנורמה (אותה הנורמה, הכוונה היא כי עבור •

∋xשכל איבר • V-הוא גבול של סידרה מV כלומר לא לקחנו מרחב משלים .Vגדול מדיי כך שיש איברים בו שאנחנו לא צריכים.

, וההשלמה היא יחידה. V הוא ההשלמה של Vנאמר כי

כל מרחב נורמי בעל ממד סופי הוא שלם!

Wierstrassמשפט ויישטראס fלכל פונקציה ∈C כך שpn) ניתן למצוא סידרה של פולינומים 1 עד 0(הרציפה בקטע [0,1]

∣∣pn− f∣∣∞0ניתן למצוא סידרה של פולינומים (סופיים) שכל אחד מהם קרוב יותר לפונקציה - (התכנסות במידה שווה). למעשה ניתן למצוא פולינום כך שהמרחק המקסימלי בין

הפונקציה לפולינום קרוב כמה שאנחנו רוצים.לדוגמה (הפונקציה המשולשית בצבע כחול היא לא חלקה אבל עדיין ניתן להתכנס עליה)

פולינום טריגונומטריPפולינום טריגונומטרי הוא פונקציה במרחב trig [− ,]:כלומר פונקצייה שניתן לכתוב אותה כך ,

f t= ∑k=−N

N

ak e i k t=∑k=0

N

[k cos kt sin kt סופי, N(כאשר [ , , a(הם מרובבים

fנשים לב כי −= f



משפט וישטארס השניfנגדיר מרחב הפונקציות הרציפות המקיימות −= f (פונקציות מחזוריות)C p [− ,]עם

∣∣הנורמה הטבעית שלו ( f∣∣∞. (

C במרחב gלכל פונקציה p [− ,]ניתן למצוא סידרה של פולינומים טריגונומטריםgn∈P trig [− ,]-כך שהפולינומים מתכנסים לg :במידה שווה

∣∣ f −gn∣∣∞ 0

זה ההצדקה לפירוק לטור פורייה

הערה תתכן עבור מרחב יותר מנורמה אחת שעבורה הוא שלם

lלדוגמה ∑=x∣∣2∣∣שלם עם הנורמה 2l=1

∞

∣x i∣2

∣x∣∣2=2∣x1∣∣וגם שלם עם הנומה: 22∣x2∣

2∑k=4

∞

∣xk∣2



27.1.10


Lim sup ו Lim inf: k∈ℝכהגדרת עזר נגדיר (עבור סדרות ממשיות

limגבול סופרימום (חסם עליון)• n∞ sup n=limn∞ sup{n ,n1 , n2 , ...}

limגבול אינפרימום (חסם תחתון) • n∞ inf n=lim n∞ inf {n ,n1 ,n2 , ... }

אינטואציה

יש גבול אזי גבול סופרימום וגבול אינפימום מתכנסים לגבולakאם לסידרה •lim supn=lim n ,lim inf n=lim n

מתבדרותlimsup, liminfאם לסידרה אין שום תת סידרה מתכנסת אזי •

limsup. אזי ak=−1kאם לסידרה יש מספר תתי סדרות כל אחת מתכנסת לגבול אחר למשל •lim supיהיה הגבול הכי גדול של תתי סדרות −1k=1ו .liminfיהיה הגבול הכי קטן של תתי

הסדרות

k=eלדוגמה בסידרה: −k1מתקייםlim inf k=1בגלל שכאשר זורקים יותר ויותר איבירים ,

∞limn הולך לאינסוף: nכאשר sup{n ,n1 ,n2 , השפעת האקספוננט דואכת {...

למה – סידרה של סדרות

nנניח ,k≥0 סידרה של סדרות אזי∑k=1

∞

lim infn∞

nk≤lim infn∞∑k=1

∞

nk.

לדוגמה: נניח יש לנו אוסף הסדרות הבאות:1k=1,0,0,0,0....

2k=0,1,0,0,0 ....

3k=0,0,1,0,0 ....

lim infאזי n∞

nk הטור הולך0הינו הגבול של הסדרות בכיוון המאונך (עבור כל טור) – הגבול הזה הוא) )0ל-

lim infאבל n∞∑k

∞

nk ולכן מתקבל1הינו סכום של שורה בודדת ואז לקיחת הגבול. הסכום של שורה הוא

∑=0לבסוף k=1

∞

lim infn∞


∞

nk=1

הוכחה:

lim inf). אזי המשפט הופך ל 2 הולך רק עד n סדרות (2נתחיל מ- klim inf k≤lim inf kk .

בצורה מפורשת:liminfכדי להוכיח את משפט זה נכתוב את

limn∞ [ inf {n ,n1 , .... ,}inf {n ,n1 , ....} ]≤limn∞ [inf {nn , n1n1 ,... } ]



inf]ראשית נוכיח כי: {n ,n1 , .... ,}inf {n ,n1 , ....} ]≤[ inf {nn ,n1n1 , ... }] ואכן זה נכון, כי באגף השמאלי אנחנו רשאים לבחור את האיבר המינימלי בכל סידרה ואז לסכום ובאגף

nהימני אנחנו לא רשאים לבחור את הזוג הקטן ביותר (למשל אם ,n10(הם המספרים המינימליים inf]עתה נאמר כי אם {n ,n1 , .... ,}inf {n ,n1 , ....} ]≤[ inf {nn ,n1n1 , ... אזי[{

הצדדים ולשמור את האי שיוויון.2נוכל לקחת גבול על

∑באותה הצורה, נוכל להוכיח כי מתקיים k=1

N

lim infn∞


N

nk עבור כלN.סופי

∑הם חיוביים nkעתה נאמר כי משום וk=1

N

lim infn∞


N


∞

nk

limN האגפים ונקבל 2עכשיו נקח גבול ל- ∞∑k=1

N

lim infn∞

nk≤limN∞ lim infn∞∑k=1

∞

nk=lim infn∞∑k=1

∞

nk

מש"ל

הערה: מדוע היינו חייבים להשאיף את הסכומים לאינסוף בנפרד?

limNתשובה: לא ניתן לאמר כי ∞ lim infn∞∑k=1

N

nk≤lim infn∞

limN ∞∑k=1

N

nkלא בטוח שאפשר להכניס -

את הגבול פנימה

מרחבים נורמיים - המשך

הוכחה כי מרחב הוא נורמי

lנוכיח כי המרחב ∑=∣∣x∣∣עם הנורמה הטבעית: 1k=1

∞

∣xk∣.הוא שלם

xn∈lכדי להוכיח זאת נכך סידרת קושי היא סידרה שלxn ונוכיח שהיא מתכנסת. בגלל ש 1

xn=xn1נראה כך: xn בסידרה nסדרות נבהיר לגבי האינדקסים. האיבר ה , x n2 ,.....

−xn∣∣ איברים בסדרת קושי, לפי הגדרת הנורמה: 2נסתכל על הנורמה של xm∣∣=∑k=1

∞

∣xnk− xmk∣

−xn∣∣כמו כן מתקים xm∣∣=∑k=1

∞

∣xnk− xmk∣≥∣xnk−xmk∣.(סכום של מספרים חיוביים גדול מאיבר בודד)

−xn∣∣סידרת קושי מתקייםxnמשום ו xm∣∣ 0 .

∑=∣∣0∣∣xn−xmולפי משפט הסנדוויץ מתקיים k=1

∞

∣xnk−xmk∣≥∣xnk− xmk∣ 0

xnk ספציפי מתקיים כי kכלומר עבור .היא סידרת קושי מעל המספרים ולכן בהכרח מתכנסתxnkנגדיר את הגבול של סידרה זו: x0k

x0=x01עתה נגדיר את סידרת הגבולות באופן הבא: , x02 , ....

x0∈lעתה נוכיח כי הסידרה . xnוכן שהיא הגבול של 1

lראשית נוכיח שסידרת הגבולות אכן ב 1 :∑k=1

∞

∣x0k∣=∑k=1

∞

limn∞∣xnk∣משום וlimהוא מקרה פרטי של



liminf:נוכל להשתמש בלמה שלמדנו ∑k=1

∞

limn∞∣xnk∣=∑k=1

∞

lim inf n∞∣xnk∣≤lim inf n∞∑k=1

∞

∣xnk∣עתה

∑נשתמש בהגדרת הנורמהk=1

∞

∣x0k∣≤lim inf n∞∑k=1

∞

∣xnk∣=lim inf n∞∣∣xn∣∣

עתה נשתמש בהערה: כל סידרת קושי במרחב נורמי היא חסומה ( – ראה למטה) ולכן∑k=1

∞

∣x0k∣≤lim inf n∞∣∣xn∣∣∞ מש"ל -x0∈l1.

−xn∣∣כלומר xnהוא הגבול של הסידרה x0עתה נוכיח כי x0∣∣n∞0

−xm∣∣מהגדרה מתקיים: x0∣∣=∑k=1

∞

∣xmk− x0k∣=∑k=1

∞

limn∞∣xmk− xnk∣:עתה נשתמש שוב בלמה

∣∣xm− x0∣∣=∑k=1

∞

lim n∞∣xmk− xnk∣≤lim inf n∞∑k=1

∞

∣xmk−xnk∣=lim inf n∞∣∣xm−xn∣∣

האגפים:2 ב-mעתה נקח את הגבול של-limm∞∣∣xm−x0∣∣=limm∞ lim inf n∞∣∣xm− xn∣∣=limn ,m∞∣∣xm−xn∣∣=0.

צריך להשתמש בהערה:

limאם קיים הגבול m ,n∞

am ,nע אזי נוב limn ,m∞

amn=limn∞[ limn∞

amn]ובמקרה שלנו משום ולסידרת קושי הגבול המשותף קיים אזי ניתן לפרק אותו

כל סידרת קושי במרחב נורמי היא חסומהn כך שלכל Nחיובי, קיים הוכחה, לפי משפט הגבול סידרת קושי מקיימת כי לכל ,m≥N

∣∣xn− xm∣∣ נבחר ,=1 ונקבל כי לכלn≥N:מתקיים

∣∣xn∣∣=∣∣x N xn−xN ∣∣≤∣∣x N∣∣∣∣xn−x N∣∣∣∣x N∣∣1

(השתמשנו באי שוויון המשולש)

maxולכן חסם לסידרת קושי חסומה ע”י: {∣∣x1∣∣,.... ,∣∣xN∣∣,∣∣xN∣∣1}



(בנפנוף יידיים)Lebesgueאינטגרל לבה אינטגרל רימן (המוכר יותר) הוא סכימה של מלבנים קטנים (כאשר גובה המלבן

∫ 0) והשאפה רוחב המלבן ל-fנקבע לפי ערך מייצג של a

b

f x dx

)f(נאמר כי אינטגרל רימן קיים אם אין תלות בערכים המצייגים ב

∣∣הבעיה בשיטה של רימן היא כי אם מגדירים נורמה כזו f∣∣p=∫a

b

∣ f∣pdt1 /p

Lהמרחב p[a ,b].לא שלם לפי הגדרת האינטגרל של רימן

qלמשל עבור הפונקציה t ={ 1 ; if t∈ℚ0 ; if t∉ℚ-בכל1(פונקציה ששווה ל

אחרת) - ננסה לבצע עליה אינטגרציה לפי רימן,0המספרים הרציונלים ו-fאינטגרציה זו תלויה בבחירה של הערכים המייצגים של

ולקבל ערכי אינטגרל רימן שונים מכאן1 או אינסוף מלבנים בגובה 0נוכל לבחור אינסוף מלבנים בגובה נובע שלפונקציה זו אין אינטגרל רימן.

זה יוצר בעיות, ולכן היו צריכים להחליף את ההגדרה.אינטגרל לבה מגדיר אינטגרל בשיטה קצת אחרת.

.x הולך עליה על ציר y – ונסתכל על התמונה שyנבחר קטע קטן סביב ציר yנסכום את האורך של התמונה כפול הגובה של

תכונות של אינטגרל לבהאם קיים אינטגרל רימן אזי אינטגרל לבה מתלקד איתו•בהרבה פונקציות שאין אינטגרל רימן יש אינטגרל לבה•

.0 קיים אינטגרל לבה והוא qלדוגמה, עבור הפונקציה

פונקציה מדידהJ f המוגדרת על קטע fפונקציה : Jℂ .

כל פונקציה שניתן להגדיר אותה באמצעות נוסחא או אלגוריתם (באמצעות טקסט סופי) היא מדידה. אבלידוע כי יישנן פונקציות שאינן מדידות (לא נפגוש אותם בקורס זה)

Lהמרחב p[ J ]

≥1כאשר p∞.

lPנתחיל מהמרחב J מרחב זה מכיל את כל הפונקציות המדידות על קטע קשיר .Jכך שקיים להם

∫) Lebesgueהאינטגרל (אינטגרל J

∣ f t ∣pdt.והוא סופי


X

Y

a b

X

Y

X

Y


על המרחב הזה ננסה להגדיר נורמה

∣∣∣נורמה מהצורה הזאת: f∣∣∣p=∫J ∣ f t ∣pdt

1/ p

- אבל נורמה מהצורה הזאת לא מקיימת

∣∣∣ f∣∣∣=0 f q שהגדרנו:q. לדוגמה פונקציה 0= t ={ 1 ; if t∈ℚ0 ; if t∉ℚ אבל היא0הנורמה שלה היא

.0עצמה לא

יחס שקילות - נרצה להתפתר מהבעיה המציקה הזאת.v a~b בין ווקטורים במרחב ווקטורי E∈V×Vנגדיר יחס שקילות בינרי

יחס שקילות צריך לקיים את האקסיומות:(רפלקסיביות)a~aשקילות לעצמך ••a~b ,b~c a~c(טרנסיטיביות)(סימטריה)a~b~b~aהפיכות •

דוגמה יחס שקילות: אנשים בעלי אותו גיל הם שקולים.

.~מחלקות שקילות – מחלקות שקילות הם קבוצות של ווקטורים השקולים זה לזה תחת יחס השיכילות V למחלקות שיכילות ניתן להגדיר את קבוצת מחלקות השכילות כ: V אחרי שמחלקים את המרחב /~

lעתה נגדיר על p J .יחס שקילותfתהיה שקולה ל g אם ורק אם ∣∣ f −g∣∣p=0.

יחס השקילות הזה מחלק את המרחב למחלקות שהן שקולות זו לזו



4.5.10


)Sets of measure zero (0קבוצות של מידה ) מעל המספרים הממשיים אנלוגי לאורך, ומסומן כ:Lebesque measureמידה (נקרא גם מידת לבה:

..a]לדוגמה המידה של הקטע הסגור ,b] הוא[a ,b]=b−a ,aכמו כן המידה של הקטע הפתוח ,b הינוa ,b=b−a.

aהמידה של קטע אין סופי: ,∞=∞ ,−∞ ,∞=∞

תכונות של מידהJאיחוד של סידרה (סופית או אין סופית ברת מנייה) של קבוצות סופייות או אין סופיות • kשאין

Jלהם נקודות חיתוך k∩ J l=∅ ; ∀ j≠k :M=J 1∪J אזי:...∪2M =J 1 J 2....

•∅=0

ישנה בעיה, הגדרנו את פונקציית המידה עבור קטעים בציר המספרים. אבל לא על כל הקבוצות ניתןלהגדיר את המידה. קבוצות שכן ניתן להגדיר את המידה שלהם נקראות קבוצות לבה או קבוצות מדידות.

).Lebesqueכל הקבוצות שניתן לתאר אותן (בטקסט סופי) הם בהגדרה קבוצות לבה (

0קבוצה בעלת מידה N Nנאמר כי לקבוצה ∈ℝ 0יש מידה :N =0 אם לכל0ניתן למצוא סידרה של קטעים

Jסופיים kכך שN =J 1∪...∪ J k ומתקייםN ≤ ; N∈N .

אינטואיציה: הקבוצה מספיק דלילה כך שניתן לבחור קטעים קטנים כרצונינו שמכסים את כל איברי הקבוצה.

דוגמאות7}הקבוצה: • [7,7]=7−7=0וידוע כי [7,7]- כי הקבוצה הינה הקטע הסגור: {

J– נבחר את סידרת הקטעים 2ℕהמספרים הזוגיים • k=[k , k 2ℕ∈N, בברור[ וכן N =000 ...=0

כסידרת קטעים של[0,1] כי לא ניתן לכתוב את 0לא בעלת מידה [0,1]הקבוצה •J k=[k , k ] ; k∈[0,1].כי כמות המספרים שיש בקטע יותר גדולה מאין סוף בר מנייה

0 מידה של קבוצה אין סופית ברת מניה היא • לא אומר שהיא ברת מנייה. לדוגמה קבוצת קנטור.0אבל לא להפך – אם מידה של קבוצה היא •

מוציאים מהקטע הזה אתA1=[0,1]קבוצת קנטור מוגדרת באופן איטירטיבי מתחילים עם A2=A1השליש האמצעי \ [1/3,2 , לאחר מכן מוציאים את השליש האמצעי בכל קטע שנותר[3/

A2:A3=A2ב \ [1 /9,2 /9 ] וכן הלאה. מתקיים כי [7/9,8/9] \ An=2 /3n−1.

.Anקבוצת קנטור היא החיתוך של כל קבוצות

. עבור2/3n−1 המקיים: nקיים : כי לכל 0ראשית ברור כי מידה של קבוצת קנוטר היא n זה An מכיל את קבוצת קנטור (כי קנטור הוא חיתוך של כלAiואורכו קטן מ (כי



An=2 /3n−1.

: לדוגמה3מצד שני. קבוצת קנטור היא לא ברת מנייה. כי נוכל לכתוב אותה בשבר בבסיס מיוחס לשליש1 בייצוג השיברי (כי 1. עבור קבוצת קנטור לא תתכן הסיפרה 0.120002112

.Cantor∋0.0002220022202020אבל Cantor∌0.120002112האמצעי והוצאנו אותו..) ולכן בבסיס בינארי:1 ל-2עתה נגדיר העתקה חד חד ערכית ועל על כל אחד מהשברים ההופכת את

0.00220230.0011012ההעתקה הזאת ממפה את כל המספרים שבקבוצת קנטור לכל . 1 ל-0 ולכן גודלה של קבוצת קנטור שווה לגודל הקטע בין 1 ל-0המסיפרים בבסיס בינארי בין כלומר אינה ברת מנייה מש"ל

Lחזרה למרחב p[ J ]

lPכאמור בשיעור הקודם הגדרנו את [ J ≥1כאשר [ p∞.

כך שקיים להם האינטגרל (אינטגרלJמרחב זה מכיל את כל הפונקציות המדידות על קטע קשיר Lebesgue (∫

J

∣ f t ∣pdt.והוא סופי

על המרחב הזה ננסה להגדיר נורמה

∣∣∣נורמה מהצורה הזאת: f∣∣∣p=∫J ∣ f t ∣pdt

1/ p

- אבל נורמה מהצורה הזאת לא מקיימת

∣∣∣ f∣∣∣=0 f q שהגדרנו:q. לדוגמה פונקציה 0= t ={ 1 ; if t∈ℚ0 ; if t∉ℚ אבל היא0הנורמה שלה היא

.0עצמה לא

lנגדיר יחס שיכילות על הקבוצה p [ J f, באופן הבא: [ ~g ∣∣∣ f−g∣∣∣p=0.

Lואת p[ J Lנגדיר באמצעות מחלקות השכילות:[ p[ J ]=l p [J ]/ ~

כמה מילים על יחס השכילות

∫נקבל ללא הוכחה: J

∣ f t −g t ∣p dt=0 אם ורק אם∫J

∣ f t −g t ∣dt=0:וזה קורה אם ורק אם {t∈J ∣ f t ≠g t }=0 קבוצת הנקודות שבהם -fשונה מ g (גודל) 0 היא במידה.

כמעט בכל נקודה.g שווה לfניתן לאמר במקום "יחס השכילות" כי

דוגמאותsintנוכל לאמר כי L1[0,1]נסתכל על ∈L1[0,1]פורמלית זה לא אמירה נכונה כי פונקציה לא .

sintיכולה להיות חלק מקבוצה של מחלקות שכילות צריך לאמר כי ∈l 1[0,1] .

sintהכוונה היא נבחר את מחלקת השכילות שמכילה את והיא (מחלקת השכילות) שייכת ל L1[0,1]

sintמהי מחלקת השכילות של נוכל לבחור פונקציותsint כאשר נעשה לה שינויים בנקודות בודדות:

עם sin רגיל ל sin שים לב כי הנדסית או פיזיקלית, אנחנו לא יכולים להבחין בין נ שמוחק LPF השינויים הנקודתיים (מחטים) – כי כל כלי מדידה שיש לנו הוא למעשה


X

Y


yאת השינויים הללו. למשל כל מערכת לינארית הפלט שלה הוא t =∫0

t

g x u x dx אם - u היא ה

sin עם המחטים האינטגרל לא ירגיש את המחטים!! ולא נוכל להבדיל בין הפונקציות בתוך מחלקות .השכילות

fדוגמה נוספת: t= 1 tאינה חסומה אך כן ב -l ∫בגלל ש [0,1]1

0

1

∣ 1 t∣dt∞למעשה כל

fפונקציה t= 1t

; 1 מקיימתf ∈l1[0,1].

LPהגדרה של נורמה על J

fנבחר מחלקת שכילות ∈Lp [J ∣∣, ונגדיר עליה נורמה באופן הבא: [ f∣∣p=∣∣∣ f∣∣∣p ; f ∈ fכלומר - נורמה על מחלקה היא למעשה לוקחים את אחת הפונקציות במחלקה ומבצעים עליה את הנורמה.

.f בוחרים בתוך מחלקת השכילות fנשים לב כי זה לא משנה איזה

−g∣∣∣p=∣∣∣g∣∣∣הוכחה: לפי אי שיוויון המשולש f f∣∣∣p≤∣∣∣ f∣∣∣p∣∣∣g− f∣∣∣pוהרי הגדרנו שכילות לפי ∣∣∣g− f ∣∣∣p=0קיבלנו לבסוף .∣∣∣g∣∣∣p≤∣∣∣ f∣∣∣pבצורה דומה ניתן להוכיח כי .∣∣∣ f∣∣∣p≤∣∣∣g∣∣∣pולכן חייב

להתקיים שיוויון בנורמות. מש"ל

נצטרך כמובן להוכיח את שאר תכונות של הנורמה (בבית)

fרמז: קבוצת השכילות של t=0∈l pJ -של 0היא ווקטור ה L pJ 0∈L pJ



11.5.10

בדפים)8, 7 (שיעור9שיעור

Lהמשך הגדרת המרחב pJ

פעולת החיבורLכדי להוכיח ש pJ .הוא אכן מרחב ווקטורי נצטרך להגדיר פעולת חיבור

f מחלקות שכילות 2נוכל להגדיר חיבור בין hע"י בחירה של אחת הפונקצייות מתוך מחלקות fהשכילות , h :בהתאמה, חיבורם ואז לקיחה של מחלקת שכילות של הפונקציה המחוברת f h

fכלומר h= f h.

(יש להוכיח כי אין זה משנה איזה פונקציה ממחלקת השכילות נבחר נקבל אותה מחלקה, כלומר אםf ≠ f '∈ f ; h≠h '∈h :אזי מתקיים f 'h ' = fhהוכחה בבית -

פעולת הכפלבאותה מידה מגדירים כפל: f = f

L pJ הינו מרחב ווקטורי שלם (מרחב באנךBanach(נקבל ללא הוכחה..

∞Lהמרחב J

l∞Jכדי להגדיר את מרחב זה נתחיל מהגדרת המרחב זהו אוסף כל הפונקציות המדידות והחסומות - f(חסומות בערך מוחלט) המוגדרות: : J∈ℂ.

∣∣∣על המרחב הזה נגדיר את האופרטור: f∣∣∣∞=supt∈J∣ f t ∣.אופרטור זה הוא נורמה ממש

l∞Jקיבלנו נורמה, אז למה אנחנו לא עוצרים ב וצריך לעבור לL∞ J בגלל שישנם אוסף של ? פונקציות שפיסיקלית לא ניתן להבדיל ביניהם וכן נרצה שהם יהיו באותה קבוצת שכילות.

∞Lגם כאן נגדיר את J באמצעות חלוקה שלl∞J :(באותו האופן) למחלקות שכילות l∞J /~=L∞ J לפי יחס השכילותf ~ g אם ורק אם{ x∈J ∣ f x≠g x }=0

∫(וזה שכול לביטוי J

∣ f −g∣=0 ; 1≤∞(

הגדרת חיבור וכפל על המרחבLPהגדרת חיבור וכפל הוא אותו הדבר כמו שעשינו על J



הגדרת הנורמה∣∣לא נוכל להגדיר נורמה כמו מיקודם כ f∣∣∞=∣∣∣ f∣∣∣∞בגלל שלפונקציות שונות באותה מחלקת השכילות

g1xיכולה להיות נורמה שונה. למשל: =0 ; g2x ={0 ; x≠01 ; x=0למרות שg1 ~ g (כי הן נבדלות2

זו בזו בכמות סופית של נקודות) הן בעלות נורמה שנוה.

∣∣ולכן נגדיר את הנורמה בצורה הבאה: f∣∣∞=infg∈f∣∣∣g∣∣∣∞=inf

g∈ fsupt∈J∣ f t ∣הערך הכי קטן שהנורמה יכולה)

לקבל)

∣∣ ומסומן essential supהאופרטור הזה נקרא בקיצור f∣∣∞=ess supt∈J∣ f t ∣.

), תחפש0 (ע”י שינוי של כמות נקודות במידה fהרעיון הוא: תבחר פונקציות באותה מחלקת שכילות של את הסופרימום (מקסימום "מוכלל") של פונקציות הללו ותבחר באינפימום (מינימום "מוכלל")

f, עבור J=[0,1]לדוגמה בקטע t=e−t מתקבלsup∣e−t∣=1.

0 במספר נקודות במידה fהאם ניתן לשנות את הערכית של כך שהערך ירד?

)0לא, כי אנחנו לא יכולים להוריד קטע (קטע הוא לא במידה אלא כמות יחסית דלילה של נקודות והכמות הזאת לא

משפעיה על הסופרימום.

L2Jהמרחב

∣∣מרחב זה מיוחד כי הוא קשור למכפלה פנימית ומקיים: f∣∣2=∫J ∣ f∣t 2dt

1 /2= f , f 1/2

f , g =∫J

f t g * t dt :כמו כן הן מקיימות אי שיוויון קושי שוורץ . f , g ≤∣∣f∣∣2∣∣g∣∣2

Lהכללה עבור מרחבים p , Lqכלליים המתקיים תמיד עבור פונקציותHolderנוכל להגדיר את אי שיוויון הולדר

f ∈Lp J ; g∈Lq J ; 1p1qJ∫∣מתקיים: 1= f t g * t dt∣≤∣∣f∣∣p∣∣g∣∣q.

.p=q=2 עבור Holderניתן לראות כי אי שיוויון קושי שוורץ הוא מקרה פרטי של ≥1 הם מספרים ממשיים המקיימים p,q נשים לב כי p ,q≤∞(יכולים להיות אין סופיים)

אנקדונטה: משום ומספר סופי של נקודות לא משנה את מחלקות השכילות שבמרחב אזי מתקייםL [ ,]=L ,כלומר לא משנה אם בוחרים קטע פחות או קטע סגור -


X

Y

1

X

Y

1


L ל Cהשלמה של C קטע סופי וסגור (קומפקטי) ואוסף הפונקציות הרציפות בקטע Jנניח J :והנורמה

∣∣ f∣∣=∫J ∣ f t ∣pdt

1 / p; 1≤ p∞ נוכל להגדיר להראות כי ההמשלים של .Cכלומר ההגדלה)

Lהקטנה ביותר של פונקציות רציפות כך שהמרחב יהיה סגור) הוא pJ .

יש..L אין מחלקות שכילות בעוד שבCנשים לב לנקודה מעניינת, ב

Lהשוואה של pJ שונים בקטע סופי

L2[aנרצה להוכיח ,b]⊂L1 [a ,b]

L1[a קטע סופי ונסתכל על Jנניח כי ,b ] ; L2 [a ,b] נבחרf ∈L2[a ,b])נשים לב שבצורה fפורמלית היינו צריכים לכתוב ∈L2[a ,b]כי קבוצת השכילות היא בL2ולא הפונקציה עצמה. אבל

אנחנו נזניח את הסימון הזה מתאמי נוכות.

∫ מתקיים: fאנחנו יודעים כי עבור a

b

∣ f t 2∣dt∞.

∫נסתכל על הביטוי a

b

∣ f t ∣⋅1dt≤∣∣∣ f∣∣∣2⋅∣∣1∣∣2 :לפי אי שיויון קושיי שוורץ∣∫a

b

f⋅g * dt∣≤∣∣ f∣∣2⋅∣∣g∣∣2כאשר

fבחרנו =∣ f∣, g=1.

∫מצד אחד a

b

∣ f t ∣⋅1dt=∣∣ f ∣∣∣, ומצד שני 1∣∣ f∣∣∣2⋅∣∣1∣∣2=∣∣ f∣∣2b−a :ולכן∣∣ f∣∣1≤b−a∣∣ f∣∣2.

∣∣משום ו f∣∣2∞ו ,a,b :סופיים בוודאי מתקיים ∣∣ f∣∣1∞ ולכןf ∈L1[a ,b].

L2קיבלנו לבסוף כי [a ,b]⊂L1[a ,b]מש"ל

Lנוכל להכליל ולאמר כי עבור כל קטע סופי p[a ,b]⊂Lq[a ,b] אם ורק אםp≥q

לא ניתן להכליל זאת לקטע אין סופי!לדוגמה:

•p x = 1 x1

.p x ∈L30,∞אבל לא בL2 p x ∉L20,∞

}=qלאומת זאת הפונקציה • x−1 /3 ; 0≤x≤10 ; otherwiseכן ב :L2אבל לא בL3



Hהמרחב ∞

.מרחב זה מוגדר כאוסף כל הפונקציות האנליטיות והחסומות על התחום נוכל להגדיר גם נורמה למרחב הזה באופן הבא:

∣∣ f∣∣∞=sups∈∣ f s ∣

Hנוכל להראות כי ∞הוא מרחב באנך עם הנורמה הזו (המרחב הוא שלם, הוכחה בדפים של שיעור ).1,2 בעמוד 8

תחומים שימושייםתחומיים שימושיים כאשר מדברים על מרחב זה:

} – קבוצת הנקודות Dדיסק היחידה • z∈ℂ∣∣z∣1 }

} – קבוצת הנקודותeחוץ דיסק היחידה • z∈ℂ∣∣z∣1} זה לא בדיוק המשלים של)D(

+ℂחצי המישור הקומפלקסי הימני•

-ℂחצי המישור הקומפלקסי השמאלי •

ניתן לעשות התאמה חד חד ערכית ועל בין התחומים הנ"ל

f ניתן להשתמש בפונקציה e ל Dבין • z =1z

g באמצעות הפונקציה -ℂ ל +ℂבין • z=−z

ניתן להשתמש בפונקציה +ℂ לDבין • z =1− z1 z

fנשים לב כי , g ,.הן הפוכות לעצמן בגלל התאמות אילו ניתן לבנות תיאוריה על כל אחד מהתחומים ולעשות מיפוי לשאר התחומים.

z∈Hלמשל ∞D נוכל לבצע מיפוי ,z 1z ולקבל

1z∈H ∞e

מעגלים}=crנגדיר את המעגל: z∈ℂ∣∣z∣=r }.

z=r על המעגל באופן הבא: משום ו 0נוכל להגדיר מידה e i ; ∈(− , תוגדר כמו0אזי מידה -[−) על הקטע 0מידה ,]



פונקציה על השפהfנוכל לבחור פונקציה ∈H∞ D :ולהגדיר לה הרחבה על מעגל היחידה

f *e i=limr1-

f r e i.(במידה והגבול קיים)

כלומר הולכים על הרדיוס בכיוון השפה ועושים הרחבה לערך על השפה.

Fatouמשפט fיש משפט האומר כי ניתן לעשות את ההרחבה לשפה (הגבול קיים) בכמעט כל נקודה כלומר *e i

.0במעגל פרט לקבוצת נקודות במידה קיים לכל

fבגלל שקיים הגבול על כמעט כל הנקודות, הוא סופי ולכן *∈L∞ c1:בצורה פורמלית) f *e i∈L∞≤ אינם מפריעים למחלקת השכילות.0. ובגלל שקבוצות במידה

∣בגלל ש f z ∣≤Mהפונקציה חסומה בגלל שהיא ב -H אזי גם הגבול קטן מערך החסימה∞∣ f * e i∣≤M. :אם נשתמש במשפט שלמדנו לפני מספר שבועות maximum modulos theorom אם

ישנה פונקציה אנליטית וחסומה בתחום אזי המקסימום מתקבל תמיד על השפה.∣∣נקבל כי f∣∣∞=∣∣ f ∣∣(כאשר ∞∣∣* f∣∣∞ הוא נורמה במרחבH ∣∣בעוד ש ∞ f הוא נורמה במרחב∞∣∣*

L∞(

אינטואיציה: אם משאיפים את הערכים של פונקציה בתוך מעגל היחידה החוצה אל מעגל היחידה לאורך sup שמתקבל על מעגל היחידה שווה לערך ה sup הרדיוס אזי הגבול קיים בכל מקום (כמעט), והערך ה

המתקבל בתוך המעגל.

אנלוגיה לתחומים נוספים ע"י הליכה לאורך הרדיוס כלפי מרכזeנוכל לעשות את אותה הרחבה לתחום •

המעגל כמו כן נוכל לעשות אנלוגיה לחצי מישור הימיני:•

f *i=lim 0+ f iואז f *∈L∞ iℝ

אינטרפטציה הנדסיתH ∞ℂ+ מרחב הזה מתאר פונקציות תמסורת ייציבות בזמן רציף. כמו כןH ∞e מתאר פונקציות

תמסורת ייציבות בזמן רציף.


D

c

r

e

c

r

i omega

alpha

Om

ega


25.5.10

בדפים)9, 8 (שיעור 10שיעור

Hהמרחב 2D

Hהמרחב 2D :הוא מרחב כל הפונקציות האנליטיות במעגל היחידה והמקיימות

supr∈0,1

12 r∫r

∣ f z∣2⋅∣dz∣∞ כאשרr הינו מעגל ברדיוסr.

1נשים לב כי: r∫r

∣ f z ∣2∣dz∣=∫−

∣ f r ei2∣d

למה הכוונה? (בכחול)rנסתכל על מעגל ברדיוס

fונעשה אינטגרציה של z 2.לאורך המעגל. ונדרוש כי הוא סופי

בגלל שהפונקציה אנליטית אזי היא חסומה ולכן האינטגרל לאורך המעגל צריך להיות סופי – איפה יכולה להיות בעיה? כאשר

יכולות להיווצר בעיות..1מתקרבים לרדיוס

1התפקיד של הפאקטור 2rהוא בעצם לחשב את הערך הממוצע של האינטגרל לאורך המעגל (כי

2אורך המעגל הוא r(

בסה"כ התפיקד של הכלל הוא שהערך הממוצע של האינטגרל לארוך המעגל לא ייתבדר

הגדרת נורמה

∣∣על המרחב הזה נגדיר את הנורמה: f∣∣2= supr∈0,1

12r∫r

∣ f z ∣2⋅∣dz∣ .

Hגם כאן בדומה ל נקבל את המשפט כי פונקציית הגבול בכיוון הרדיאלי:∞f *ei= lim

r1,r1f r e i pih קיים כמעט לכל−≤ 0 (כלומר קיים פרט לקטעים במידה(

f(ומכאן נובע כי *∈L2 1:ומתקיים השיוויון (

∣∣ f∣∣2= 12∫−

∣ f * ei∣2dזה דרך אופרטיבית לחשב את הנורמה -


Re

Im

1

r


מהמשפט הזה ניתן לראות כי הנורמה מגיעה ממכפלה הפנימית:

f , g = 12∫−

f *eig ** eid כאשרf , g∈H 2D וg הינו הצמוד הקומפלקסי של**

.gפונקציית השפה של

fמעטה בכל מקום שנכתוב e i כלומר הפונקציה f על השפה נתכוון לפונקציית השפה f *e i.

אנקדוטות המוטיב בפיתוחים שאנחנו עושים היא כי ניתן באמצעות השפה בלבד לשחזר את הפונקציה בכל•

fנקודה בתוך השפה זאת באמצעות משפט קושי: z = 12i∫1

f sdss− z.

מדוע אנחנו תמיד בוחרים את פונקציית הגבול כגבול בכיוון הרדיאלי ולא בכיוון•כלשהו?

יש משפט שאומר שכל גבול בזווית כלשהי (שאינה משיקה) אל המעגל הוא אותוהגבול כמו הכיוון הרדיאלי

Hהכללה לדיסק חוץ היחידה 2e

Hהמרחב 2e :הוא מרחב כל הפונקציות האנליטיות מחוץ למעגל היחידה והמקיימות

supr1

12r∫r

∣ f z ∣2⋅∣dz∣∞ כאשרr הינו מעגל ברדיוסrפונקציית הגבול .

f *e i= limr 1,r1

f r ei pih

Hהמרחב 2ℂ+

Hהמרחב 2ℂ+ :הוא מרחב כל הפונקציות האנליטיות בחצי המישור הימני והמקיימות

sup0∫−∞

∞

∣ f i∣2d ∞ נשים לב שהנקודה הבעייתית ביותר מתקבלת כאשר -0.

∣∣על המרחב הזה נגדיר את הנורמה: f∣∣2= 12

sup0∫−∞

∞

∣ f i∣2d

לפי אותו המשפט נאמר כי פונקציית השפה קיימת כמעט בכל נקודה f *i= lim

0, 0f i כאשרf *∈L2 iℝ ומתקיים∣∣ f∣∣2= 1

2 ∫−∞∞

∣ f *i∣2d-

כלומר גם כאן ניתן להשתמש בפונקציית השפה כדי להשתמש בנורמה.

באותה הצורה ניתן להגדיר על חצי המישור השמאלי



אנקדוטות

Hהפונקציות ב• fלא חייבות להיות חסומות! לדוגמה: 2 z = 11 z

; 01/2נראה כי

fהפונקציה ∈H 2Dלמרות ש)f ∉H∞ D כי כאשרz−1f(מתבדרת

Hאבל בהכרח מתקיים: • ∞D ⊂H 2 D(רק עבור מעגל היחידה)

Hלא מתקיים: ◦ ∞ℂ+ ∉H2ℂ+ למשלf f חסומה אזי f, בגלל ש1= ∈H∞ובגלל

fשהאינטגרל לא מתכנס ∉H 2

•H הוא תמיד מרחב הילברט (ללא תלות בתחום ההגדרה)2

•H הוא תמיד מרחב באנך (ללא תלות בתחום ההגדרה)∞

פעולות במרחבי הילברט

אורטוגונליות במרחבי הילברט אם מתקייםMיקרא אורטוגונלי לM⊂H .x∈H וHנניח כי יש מרחב הליברט m , x =0 ; ∀m∈M.

M כאוסף כל הווקטורים האורטוגונלים לMנוכל להגדיר מרחב אורטוגונלי: למרחב M ort={ x∣x orthogonal toM }.

ort=H{0}לדוגמה ; H ort={0}

הסגור במרחבי הילברטclos מוגדר כ Mהסגור של M⊂H ו Hעבור מרחב הילברט M={ x∈H ∣ inf

m∈M∣∣x−m∣∣=0 }

)0 הוא M הוא אוסף הנקודות כאשר מרחקם לMכלומר הסגור של

M :d לx(הביטוי הבא נקרא המרחק של x ,M = infm∈M∣∣x−m∣∣=0.

:Mכזכור כי יש הגדרה מקבילה לסגור כאוסף כל הגבולות של הסדרות בclos M={ x0=lim xn∣xn∈M }.

תכונות:M⊂closMהסגור של קבוצה מכיל גם אותה•

M=closMקבוצה תהיה סגורה אם היא שווה לסגור שלה: •

במרחבי הליברטspanהH⊂H spanM={1m1..nmn∣n∈ℕ באופן הבא: spanנגדיר את ה , k∈ℂ , mk∈M }

(אוסף כל הקומבינציות הלינאריות כאשר הסכום הוא תמיד סופי!)



יחסים בין הפעולות השונות במרחבי הילברט•closM ort=M ort

•clos M ort=M ort(!המשלים האורטוגונלי הוא תמיד סגור)

•M ortort=clos spanM

M שהוא נקודה במרחב דו ממדי, Mלדוגמה עבור ortהוא הישר (כי זה כל הנקודות שהמכפלה הסקאלרית שלהם עםMהמאונך ל

M ולכן 0 היא (M ortort הוא הישר שמכיל אתMוהוא גם spanMבמרחב סופי כל תת מרחב הוא תמיד סגור ולכן)

spanM=clos spanM(

Lemma קבוצה סגורה וקמורה (קבוצה קמורה הגדרה:S⊂X מרחב הילברט וXעבור

∀ x , y∈S ; ∀∈[0,1] x1− y ∈S כזה: לא- כלומר

x0∣∣=min∣∣המקייימת: x0אזי קיימת ויחידה נקודה x∈S∣∣x∣∣.

יש הגדרה קצת אחרת אבל הן שכולות)5 דף 9(בדפים – שבוע

ניתן למצוא נקודה עם נורמה מינימליתSהפרשנות של המשפט היא שבקבוצה מבין כל הנורמות.

)6 בדפים (שבוע 5הוכחה בעמוד

) – הפירוק האורתוגונליRieszמשפט ריס ( קיימים וייחידים:x∈Xתת מרחב סגור. אזי לכל ווקטור V⊂X מחרב הילברט ו Xעבור

v∈V ; w∈V ort כך שx=vw כלומר) x(מתפרק לרכיבים אורתוגונליים

x∣∣2=∣∣v∣∣2∣∣w∣∣2∣∣ייתר על כן, מתקיימת נוסחאת פיטגורס:

−s={xהוכחה: נגדיר את הקבוצת ההפרשים: y ∣y∈V Vזו היא קבוצה שהיא למעשה "תת מרחב { קמור כי כל קומבינציהV סגור וקמור (V הינה קמורה וסגורה בגלל ש התת מרחב s“מוזז". הקבוצה

בגלל שהוא מרחב) וההזזה בלבד לא תשנה זאת.V עדיין נמצאת בVלינארית של ווקטורים ב

w .w=x−v קמורה וסגורה קיימת נקודה בעלת נורמה מינימלית, נקרא לה Sבגלל ש ; v∈V ,w∈S

=vומתקיים: x−w נוכחי כי ,w∈V ort

−w=xאזי מתקיים w∈Sבגלל ש yעתה נסתכל על האיבר החיסור הכללי . w− y ' ; y '∈V ; ∈ℂ ונטען כיw− y ' ∈S למה? כיw− y '= x−y y ' ובגלל ש

y , y '∈V אזי גם y ' y∈V


M

Span M

= ort o

rt M

ort M

S

X0


w∣∣≤∣∣w−∣∣ הוא בעל הנורמה המינימלית הוא בפרט מקיים: wבגלל ש y∣∣ ; ∀ y∈V ,∈C

w∣∣2≤∣∣w∣∣2−2∣∣נעלה את הביטוי בריבוע ונפתח סוגריים ונקבל: Rew , y ∣∣2⋅∣∣y∣∣2.

=נבחר w , y ∣∣y∣∣2

w∣∣2≤∣∣w∣∣2−∣w∣∣ולכן ננקבל , y ∣∣∣y∣∣2

∣w , y ∣≤0

wאבל מכפלה פנימית לא יכולה להיות שלילית ולכן , y =0 ; ∀ y∈V. הוא נמצא במרחב האורתוגונלי!0 היא v עם כל ווקטור בwבגלל שהמכפלה הסקלארית של

נוכיח יחידות של הפירוק.x=vwנניח כי יש פירוק אחר ; x=v 'w מאותם תתי מרחבים.'

v−v=0נעשה את ההפרש בין הפירוקים: ' w−w ' ומשום ו .v−v ' ∈V ; w−w ' ∈V ort.

אזי ניתן להשתמש במשפט פיתגורס:0ובגלל שמדובר בפריקו אורטוגונלי של ∣∣0∣∣2=∣∣v−v '∣∣2∣∣w−w ולכן חייב לנבוע0ובגלל שהנורמות תמיד חיוביות אזי כל אחד מהם הוא 2∣∣'

v '=v ; w '=w

clos מקיימים: סוף ממדיים מרחבים ווקטורים X=Xאין משמעות ל - clos



1.6.10

בדפים)10, 9 (שבוע 11שיעור

קבוצה אורתונורמלית אורטונורמלית אם קבוצה תהיהיה B⊂X .B מרחב הילברט, וXנניח

e , f ={ 1 e= f0 e≠ f

; ∀ e , f ∈B.

דוגמאות

B={[100] אורטונורמלית: Bאזי X=ℂ3עבור • ,[0−10 ]}

B={2cosאזי X=L2−pi.עבור • nt ∣n∈ℕ}אורטונורמלית

בסיס אורטונורמליתקרא בסיס אורטונורמלי אם היא קבוצה אורטונורמלית וX - B∈X במרחב הילברט B קבוצה

clos span B=X כלומר היא פורשת את המרחב - X .כולו

∑ניתן למצוא ווקטור בx∈Xפרשנות נוספת כל ווקטור k0∈K0

k bk∈span Bקומבינצייה לינארית)

k0∈K∑∣∣סופית) כך ש 0

k bk− x∣∣כלומר ניתן לקרב כל ווקטור ב) .Xע"י סכום סופי המקרב אותו עד כדי .(קטן כמה שרוצים

spanבשביל מה צריך את הסגור של ה B בגלל שהטור הוא סופי לא נוכל לקבל ממש את כל ?xנצטרך לאפשר טורים אין סופיים. אבל טורים אין סופיים הם בעייתיים כי צריך לדאוג שהם יתכנסו.. אז נקח את

הסגור.

) 0 מכיל רק את B (המשלים האורטוגונלי של Bort={0} יקרא בסיס אורטונורמלי אם B משפט שכול הוא

הוכחה:

closאם • span B=X-הצדדים 2נוכל לקחת משלים אורטוגונלי ל clos span Bort=X ort

Xאנחנו יודעים כי ort={0} :ובנוסף ,close span Bort=Bort ort ort=Bortort ortלפי משפט) הואBort) - ובנוסף פעמיים משלים אורטוגונלי על מרחב סגור: 9 בדף של שיעור 5בעמוד

Bortהמרחב עצמו: ort ort=Bortמש"ל

צד שני בצורה דומה•

היא לא בסיס אורטונורמלי – כל מה שצריך זה להראות כי B משפט זה שימושי מאוד כדי להוכיח שקבוצה . 0 פרט לBortיישנו ווקטור נוסף ב



דוגמהB={1}∪{2לדוגמה נוכיח כי הקבוצה: cosnt∣n∈ℕ}∪{ 2sin nt∣n∈ℕ}היא בסיס אורטונורמלי של

X=L2− ,.

ראשית צריך להוכיח שהאיברים בקבוצה הם אורטונורמליים.

closנוכיח כי ה span B=X ראשית ידוע לפי משפט ויישטרס השני כי .span B=C p− ,עם הנורמה

{abs abs {f} }_%inf = “sup” abs {f(t)}אבל אנחנו יודעים כי

{abs abs f}_2 <= {abs abs f}_%inf2ולכן אם ניתן לפרוס עם נורמה אינסוף ניתן לפרוס גם בנורמה

Cעכשיו נטפל בבעיה הבאה pמכיל אך ורק פונקציות רציפות שנקודת ההתחלה והסיום שוות, אבל ב L2..יש גם פונקציות אי רציפות

מכיל פונקציות שניתן לקרב אותן באמצעות טור של פונקציות רציפות.L2למדנו בעבר כי

(באינטרוול קצר –בנוסף כדי לסדר את בעיית נקודת ההתחלה והסיום, נבצע תיקון לפונקציה קרוב ל ) כך שיהיה אותו ערך.0במידה

משפט מרכזי בטורי פורייהB={ek∣k∈K, ונניח K⊂ℤנניח כי יש לנו תת קבוצה של המספרים השלמים: בסיס אורטונורמלי{

.Xבמרחב הילברט

∑=xניתן לכתוב כפרוק: x∈Xאזי כל כל ווקטור k∈K

ak ek(ייתכן סכום אין סופי). כאשר ak= x , ek .

∑=x∣∣2∣∣ובנוסף: k∈K∣ak∣

2

10שבוע lתזכורת – מרחב הסדרות שסכום איבריהם בריבוע מתכנס 2ℕ

המשך דוגמאות}=Bנוכיח כי הסט zn∣n=0,1,2 Hהוא בסיס אורטונורמלי של {... 2D .

על מעגל היחידה למעשה שווה למכפלה הסקאלרית בשפה:Hראשית נזכור כי מכפלה סקאלרית של

f , g = 12 pi ∫−

f ei g *e id.

B :נוכל להציב את הפונקציות ב f n , f m = 12∫−

e ime−i nd=m, n.ולכן אורטוגונלי

זה גם קבוצה פורשת לפי טור טיילור.



אופרטורים לינארים

הגדרהT מרחבי הילברט. פונקציה X,Yיהיו :X Yתקרא אופרטור לינארי אם•T xz =T x T z ; ∀ x , z∈X

•T x =T x ; x∈X ,∈ℂ

Tלעיתים נסמן x =Tx.

אופרטור לינארי חסום∣∣Tx∣∣≤M⋅∣∣x∣∣כך שM≥0במידה ו קיים ; ∀ x∈X .

בדומה לקבוצה לא מדידה, לא ניתן להראות אופרטור לינארי על מרחב הילברט שאינו חסום – לא הצליחולתאר כזה...

Tהערה: כל אופרטור לינארי :X Y כאשר X .הוא מרחב סוף ממדי בהכרח חסום

B או Lהמרחב הווקטור של האופרטרים הלינארים החסומים Lנגדיר X ,Y :מרחב ווקטורי נורמי באופן הבאTS ווקטורים: 2סכום בין • x =T x S x

Tמכפלה בסקלאר: • x =T x

T∣∣=sup∣∣הנורמה תוגדר לפי: •∣∣x∣∣≤1∣∣T x∣∣ .

אינטואיציה:x∣∣=1∣∣ מתקבל על השפה כלומר מספיק לדון במקרה השיוויון: supברוב המקרים ה◦

∣∣T∣∣=sup∣∣x∣∣= 1∣∣T x∣∣

∣∣M ∣∣Tx∣∣≤M⋅∣∣xנתחיל מחסם◦ ; ∀ x∈X נבחר ווקטור ,xמנורמל כך ש ∣∣x∣∣=1ונקבל ∣∣Tx∣∣≤M ולכןsup

∣∣x∣∣=1∣∣T x∣∣הינו הM.הקטן ביותר שחוסם את האופרטור

נשים לב שנורמה זו לא נובעת ממכפלה סקאלרית

Lניתן להוכיח (אבל לא בקורס זה) ש X ,Y .הוא מרחב באנך

דוגמה – מטריצות

T∣∣2=sup∣∣ מתאר מטריצה ונחשב את הנורמה: Tנניח כי ∣∣x∣∣≤1∣∣Tx∣∣2=sup

∣∣x∣∣≤1T x ,T x =sup

∣∣x∣∣≤1T †T x , x

Tנשים לבי כי משום ו †T †=T †T אזיT †T היא מטריצה הרמיטית ניתן לפרק אותה למטריצה T ומטריצה אלכסונית: Hאוניטרית †T =H †H ; H †H= I ,=diag 1,. .. ,mבנוסף בגלל

ההרמיטיות הערכים העצמיים הם חיוביים.



T∣∣2=sup∣∣קיבלנו לבסוף: ∣∣x∣∣≤1 H †H x , x =∣∣T∣∣2=sup

∣∣x∣∣≤1H x , H x .

z=Hעתה נגדיר משתנה חדש xבגלל ש .H מטריצה אוניטרית היא משמרת אורכים ולכן ∣∣z∣∣≤1.

T∣∣2=sup∣∣ולכן: ∣∣z∣∣≤1 z , z = sup

∣z1∣2....∣zm∣

2≤11∣z 1∣

2...m∣zm∣2

נשתמש באינטואיציה.supכדי למצוא את ה.z∣∣=1∣∣יהיה מקסימלי, כלומר ∣∣z∣∣ כך שzראשית ברור לנו כי עדיף לבחור את

∣1∣z1עתה כדי למקסם את הביטוי 2…1∣zm∣

2

בכיווןzנוכל להשתמש או בכולפי לגראנג' או שוב באינטואיציה ולאמר שעדיף להשקיע את כל הנורמה של היא מקסימלית.שבו

T∣∣=max∣∣ולכן בשורה התחתונה אנו מקבלים: T †T כאשר .T †T היא קבוצת הערכים Tהעצמיים של המטריצה †T

Projectorדוגמה – בצורהX בx, לפי המשפט שלמדנו אזי ניתן לפרק כל ווקטור V ותת מרחב סגור Xנבחר מרחב הילברט

x=vwיחידה ; v∈V ,w∈vort.

Px=vאזי הטרנספורמציה:

היא לינארית (הכוחה בבית). נוכיח כי אופרטור זה חסום. ראשית נבצע אי שוויון משולש:∣∣x∣∣2=∣∣v∣∣2∣∣w∣∣2

)V={0}∣∣P∣∣=0(פרט למקרה הפטולוגיP:∣∣Px∣∣=∣∣v∣∣≤∣∣x∣∣∣∣P∣∣=1עתה נחשב את הנורמה של Px∣∣≤M∣∣(הנורמה לפי ∣∣x∣∣(

דוגמה – מקדמי טיילור

X=Hעבור 2D :עבור פריוק טיילורx=∑k=0

∞

ak zk

T. נגדיר אופרטור x=a0,a1,. ...∈l2-

Tאופרטור זה לינארי (להוכיח בבית) והוא מתמיר: :H 2D l l(בבית להוכיח למה ב2 , למה2הסידרה מתכנסת)

להשלים

=x∣∣2∣∣קיבלנו משהו מעניין: 12∫−

∣x∣e i2d =∑k=0

∞

∣ak∣ - במקום לחשב את האינטגרל המסובך הזה2

ניתן פשוט לסכום את המקדמים של טור טיילור.



שיעורשיעור ביום שישי, לא הייתי

בדפים11 בעמוד 3 בדפים עד עמוד 10השיעור עסק בשבוע



8.6.10

בדפים)11שיעור (שבוע

התמרת לפלס

L[uהתמרת לפלס מוגדרת באופן הבא: ]s =∫0

∞

e−st u t dt ; s∈ℂ+.

Lנוכיח בשלבים כי למעשה: :L2[0,∞ ) H 2ℂ+

איזה פונקציות יכולות לעבור התמרת לפלס קיימת? אזי התמרת לפלס היא מכפלה פנימיתu∈L2איך נדע כי התמרת לפלס קיימת? ניתן לראות כי במידה ו

- והמכפלה תמיד קיימת וסופית.L2 פונקציות ב2של

Lu∣יותר מזה, נוכל לתת חסם לערך של התמרת לפלס: s∣=∣ e−st , u ∣≤∣∣e−st∣∣2⋅∣∣u∣∣2=1

2 Re s⋅∣∣u∣∣2

גדל.sניתן לראות כי התמרת לפלס דואכת כאשר

Paley Wienerמשפט ∞,L2[0התמרת לפלס היא יוניטרית מ Hאל ( 2ℂ+ .

נוכיח בשלבים:התמרה זו היא חד חד ערכית ושמרת אורך•

Fנתחיל מהתמרת פורייה: :L2−∞ ,∞ L2iℝ :לפי הנוסחאF f i=∫−∞

∞

f t e−i tdt.

, ובגלל שהיא מרשהfההבדל בין התמרת פורייה ללפלס היא ראשית התמרת פורייה מרשה זמן שלילי של זמן שלילי אזי ההתמרה קיימת אך ורק על הציר המדומה ולא על חצי המישור המרוכב.

Fנשים לב כי הנוסחא הזו: f i=∫−∞

∞

f t e−i tdt.אינה מדוייקת. אין הבטחה שהגבול קיים

Fההגדרה הפורמלית היא: f i=limT ∞∫−T

T

f t e−i tdt?למה .

f כל פונקציה ∈L2−∞ ,∞ היא בהכרח במרחבf ∈L2−T ,T עבורT.סופי לפני ההשאפה

fובהכרח גם ∈L1−T ,T .

eידוע כי it∈L1−T ,T ולכן גםg= f⋅e−i t∈L1−T ,T בגלל ש .g∈L1 אזי∫−T

T

∣g∣∞.

∫ובגלל שהערך המוחלט קטן מאינסוף גם האינטגרל הבא מתכנס: −T

T

g∞קיבלנו הגדרה -

קונסיסטנטית.



∣∣כידוע, התמרת פורייה מקיימת את נוסחאת פרסבל: f∣∣=∣∣F f∣∣ הנורמה של התמרה של)fשווה

=v∣∣2∣∣מוגדרת מעט שונה: L2iℝ) – כאשר הנורמה של fלנורמה של 12∫−∞

∞

∣v i∣2d (

utעתה נחבר פונקציה שרירותית =e− tu t ; 0 כאשר .u∈L2[ 0,∞ ).

נחשב את התמרת פורייה של פונקצייה זו

F ui=∫0

∞

e− t u t e−it dt=Lu i=u i

u של התמרת פורייה שהתקבלה2עתה נחשב את נורמה i לאורך קו ורטיקאליi1

2∫−∞∞

∣ui∣2d = 12∫−∞

∞

∣F ui∣2d =∣∣Fu∣∣

2 =Parseval

∣∣u∣∣2≤∣∣u∣∣2

מה קיבלנו, קיבלנו כי הנורמה לאורך קווים ורטיקלים היא חסומהH ולכן לפי הגדרה שלuע"י 2

u∈H 2ℂ+

0חצי המישור החיובי נובע מהבחירה

של פונקציה מרוכבתsupלמדנו ממשפט בשבועות הקודמים כי השווה על השפה – על הציר המדומה. - הוכחנו חד חד ערכיות

נחשב את הנורמה:

∣∣u∣∣2=sup≥0

12 ∫−∞

∞

∣u i∣2d

אבל הוכחנו כי1 over {2 %pi} int from - %inf to %inf {abs {hat u(%alpha + i %omega)}}^2 d %omega < {abs abs u_%alpha}}^2

ולכן{abs abs hat u}^2 = “sup” csub {%alpha >= 0 } 1 over {2 %pi} int from - %inf to %inf {abs {hat u(%alpha + i %omega)}}^2 d %omega = “sup” {abs abs u_%alpha}}^2 = {abs abs u}^2

ולכן האופרטור איזומטרי – משמר נורמה.

התמרה זו היא על – לא נוכיח כאן, יש בדפים•

בסיסיות. z במבחן הוא מצפה שנדע התמרות לפלס ו


Re S

Im S

alpha


קונבולוציה]u∈L1 אם Zבדומה ל 0,∞ ) ; v∈L2 [0,∞ ]u∗v∈L2אזי ( 0 ,∞ u∗v∣∣¿2≤∣∣u∣∣1⋅∣∣v∣∣2∣∣וכן(

בזמן בדידTime Invariantאופרטורים Sנזכר באופרטור ההזזה: a0,a1,a2, ...=0,a0,a1, ... :האופרטור הכלליT∈L2l+

2 יקרא אינווריאנטי .TS=STבזמן אם

ואזT זה יהיה אותו הדבר כמו להפעיל את Tהמשמעות: אם נקח אות נבצע לו השהייה ואז נפעיל את לעשות השהייה.

)Foures -Segalמשפט פוריס סגל (+l אופרטור חסום ההופךTאם •

+lל 22 -T∈Ll+

2 – אינטואיציה)Tהוא אופרטור ייציב Gהשולח סדרות סופיות לסדרות סופיות) והוא אינווריאנטי בזמן אזי קיים ויחיד פונקציה

G∈H ∞e הפונקציה)G בתחום החיצוני לדיסק) כאשר T= z−1G zכלומר בהינתן פונקציה) u נבצע לה התמרת ז נכפיל אותה בפונקציית התמסורת G ואז נעשה טרנספורם zהפוך ונקבל את

)Tהתוצאה של

=Tאם יישנו אופרטור המוגדר לפי הנוסחא: • z−1G z כאשרG∈H ∞e כללית אזי בהכרחT +T∈Llמקיים

2 והוא בלתי תלוי בזמן

=T מקיימים T,Gאם • z−1G z אזי∣∣T∣∣=∣∣G∣∣∞

הוכחות:

+lנשתמש בבסיס הסטנדרטי של 2 :e0=1,0,0,0... ; e1=0,1,0,0. ..ולכן

u=u0, u1,u2=∑k=0

∞

uk e k נפעיל על .u את T :T u=T ∑k=0

∞

uk ek =∑k=0

∞

ukT ek

ek=Sניתן להסתכל על הבסיס הסטנדרטי באופן הבא: k e0 ולכןTu=∑

k=0

∞

uk T ek =∑k=0

∞

ukT S k e0

Tניתן לראות כי TS=STעתה בגלל ש S k=S k T:נציב זאת ונקבלTu=∑k=0

∞

uk SkT e0

T :g=Tנגדיר את סידרת התגובה להלם של האופרטור e0 ולכןTu=∑k=0

∞

uk Sk g.

Tuנסתכל על נקודה מסויימת בזמן: j=∑k=0

j

uk g j− k=u∗g j.

Z הצדדים: 2 ל-zעתה נעשה התמרת T u =Z g ⋅Z u ועתה נעשה התמרתZהפוכה, כאשר Zנשתמש בנוטציה: g=Gוקיבלנו כיTu=Z−1G Z u עבור כלu ולכן T=Z−1G Z.

בדפים.11 בשבוע 6הוכחה מלאה בעמוד



אופרטור קבוע בזמן בזמן רציףS∈Lאופרטור השהייה בזמן רציף: L

2 [0,∞ ) ; ≥0.

S∈Lאופרטור L2 [0,∞ ) יקרה קבוע בזמן, אם לכל0 :מתקייםT S =S T

לא תלויt כלומר המוצא של האופרטור עד הזמן –הערה: אופרטור שהוא קבוע בזמן הוא תמיד סיבתיu והלך. אם tבכניסה בזמן t≤=0Tut=0.(זה נכון גם לאופרטור בדיד) .

)Fourers Segalמשפט פוריר-סגל (]T∈LL2אם • 0 ,∞ ) (אופרטור חסום) וקבוע בזמן. אזי קיים ויחיד פונקציהG :G∈H ∞ℂ+

T=L−1Gכאשר מתקיים: L כלומר הפעלת)T,שכולה להפעלת טרנספורם לפלס על הכניסה ואז טרנספורם לפלס הפוך)Gהכפלה ב

T=L−1G מקיים Tאם • L כאשרG∈H ∞ℂ+ אזיT:(ייציב) יהיה אופרטור חסום T∈LL2[ 0 ,∞ ) ו Tיהיה קבוע בזמן

T=L−1G מקיימים T,Gאם • L אזי∣∣T∣∣=∣∣G∣∣∞

משפט הדגימה ונרצה לשמור את האינפורמציה שהיאuאינטואיצה: בהינתן פונקציה בזמן רציף

מספקת בזיכרון. לא נוכל לשמור אינסוף אינפורמציה ולכן נדגום את הפונקציה.נדגום את הפונקציה בנקודות מפוזרות אחיד.

לשחזר את האותuהשאלה המתאוררת היא, האם ניתן מתוך הדגימות של המקורי.

uבצורה כללית לא ניתן, כי ייתכנו שינויים באות בזמנים שבין הדגימות. אבל מתברר שאם האות t הוא עד∞−אות עם רוחב פס מוגבל אזי כן ניתן לשחזר את האות בזמן רציף מתוך הדגימות שלו (דגימות מ

∞(

אותות חסומי סרטBLנגדיר את המרחב b={u∈L2−∞ ,∞∣F ui=0 ; ∣∣b} כאשרb0.

כלומר. מרחב הפונקציות החסומות בתדר הוא מרחב כל הפונקציות עבור תדרים הגבוהים מתדר0שהתמרות פורייה שלהם שווה בדיוק ל-

. לדוגמה:bהקטעון

משפט: כל פונקציה עם רוחב פס מוגבל היא אנליטית על כל המישורℂ.

זה נכון בתיאוריה, אבל בפרקטיקה זה בעייתי: כי פירוש הדבר כי אם הפונקציה אנליטית על כל המישור אזי ניתן לפתח אותה בטור טיילור סביב נקודה מסויימת – למשל עבור אות דיבור ניתן לפתח בטור ולדעת מה

הדובר יאמר מעטה ועד עולם. במציאות זה כמובן לא נכון ולכן בהנדסה נותים לאמר כי אות חסום סרט הוא.b≈0 אבל בערך: 0היא לא בדיוק bכזה שתכולת התדר שלו מאבר ל


t

Y

tau 2tau

omega

Fu


sincהחישבות של פונקציית

uקל להראות שהפונקציה: t =sinbtbt

u∈BLמקיימת b.

}=Bניתן להראות כי הקבוצה sinbtbt

; = kb

, k∈ℤ}היא בסיס האורטונורמלי של

BL b(לא הסביר איך)

משפט הדגימה

u∈BLעתה נקבל את משפט הדגימה: עבור פונקציה b אזי עבור כל≤ bt∈ℝוכל

uמתקבלת הנוסחא: t =∑k=−∞

∞

u k sinbt−k bt−k כלומר -uנפרש ע"י סכום של ווקטורי הבסיס

uהאורטונורמלי כאשר k .היא סידרת הדגימות האין סופית

)11 בשבוע 11(הוכחה בעמוד

ההגבלה על מחזור הדגימה

fתדר הדגימה הוא =1⋅2 ; rad / sec בנוסף אנחנו יודעים כי .≤ b

fולכן ≥2bכלומר -

מהתדר הגבוהה ביותר שבאות.2כדי לשחזר נכון יש לדגום בתדר שהוא לפחות פי

טעויות נפוצותsinלעיתים חושבים ש t∈BL b ; b זה לא נכון. למרות שבתדר האות -sinהוא אכן חסום

sinולכן לא מקיים: L2 הוא לא בsinבתדר. הסיבה לכך היא כי t∉BL b.

uבכל זאת ניתן לבצע דגימה, השחזור הוא בעייתי כי הטור לא מתכנס t =∑k=−∞

∞

u k sinbt−k bt−k

למבחן הוא יענה על שאלות .3ביום שלישי הבא ב-

עמודים.2במבחן דף אחד משפט הדגימה בחומר של המבחן אבל ההוכחה שלו לא



אנליזה פונקציונלית.שיעורים.ג'ורג' וייס.תש''ע...

Documents