חישוב שטחים בעזרת אינטגרליםחישוב שטחים בעזרת אינטגרליםחישוב שטחים בעזרת אינטגרליםחישוב שטחים בעזרת אינטגרלים

): הנוסחה ) ( )b

a

S f x g x dx= − ∫

)אז xאם השטח מוגבל בין הפונקציה לבין ציר : הערה ) 0g x =.

23yי גרף הפרבולה "חשב את השטח המוגבל ע. 1 x=,

2והישרים x-ציר ה , 1x x= =.

י גרף "והמוגבל ע X-חשב את השטח הנמצא מעל ציר ה. 2

31הפונקציה

4y x= 4והישרים , 2x x= =.

2י גרף הפרבולה "חשב את השטח המוגבל ע. 3 6 10y x x= − +,

.ציר הסימטריה של הפרבולה ושני הצירים

שב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ח. 42

3y

x x-ציר ה, =

3והישרים , 1x x= =.

י גרף הפונקציה "המוגבל ע, חשב את השטח ברביע הראשון. 5

2

1y x

x= 2והישרים x-ציר ה + , 1x x= =.

x

y

x

y

x

y

y

f(x)

a

g(x)

b

2י גרף הפרבולה "חשב את השטח המוגבל ע. 6 3y x x= − .x-וציר ה +

חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל בין גרף הפונקציה. 7

3 2y x x= − .x-וציר ה +

2נתונה הפרבולה . 8 2 3y x x= − + .המעבירים את ציר הסימטריה של הפרבול. +

.מצא פי כמה גדול השטח הימני מהשטח השמאלי

24י הפרבולה "המוגבל ע, ברביע השלישי, חשב את השטח. 9 5 6y x x= + −

.והצירים

3דרך נקודת המינימום של הפונקציה . 10 26 9y x x x= − + העבירו ישר −

2חשב את השטחים . x-המקביל לציר ה 1,S S.

21י גרף הפרבולה "חשב את השטח המוגבל ע. 11

2y x=

yוהישר x=.

y

x

y

y

x

x

y

1s

2s

y

x

2חשב את השטח הכלוא בין גרף הפרבולה . 12 3y x= −

1yוהישר x= − −.

2מצא את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה . 13 2 3y x x= − + +

.והישר העובר דרך נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים

י הגרפים של הפרבולות "חשב את השטח המוגבל ע. 14

2 21, 3

2y x y x x= = − +.

י הגרפים של הפרבולות "חשב את השטח המוגבל ע. 15

2 22 6 , 6y x x y x= − − = −.

מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה . 16

3 24 4y x x x= − 4yוהישר + x=.

4yי הגרפים של הפונקציות "חשב את השטח המוגבל ע. 17 x=

) - ו )22y x= −

2י הגרפים של הפרבולות "חשב את השטח המוגבל ע .18 6 7y x x= − − −,

( )23y x= .y -וציר ה +

y

x

y

x

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

2י גרף הפרבולה "חשב את השטח המוגבל ע. 19 4y x= הישרים −

3 , 3x x= − . x - וציר ה =

4י גרף הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 20 25 4y x x= − +

. x -וציר ה

31י הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 213

4y x= +

3yוהישר x= +.

פים של הפונקציות י הגר"חשב את השטח המוגבל ע. 22

3 23y x x= 2 - ו − 3y x x= −.

שטח מורכבשטח מורכבשטח מורכבשטח מורכב

): הנוסחה ) ( )b c

a b

S f x dx g x dx= +∫ ∫

2yחשב את השטח המוגבל בין הפרבולה . 23 x= , 6הישרy x= − +

.x-וציר ה

2ונים הגרפים של הפונקציות נת. 24 6 8y x x= − 2y - ו + x= +.

.השטחים המסומניםסכום חשב את

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

b c

f(x) g(x)

a

x

y

2דרך קודקוד הפרבולה . 25 8 7y x x= − .x-העבירו מקביל לציר ה +

.חשב את השטח המסומן

24yשל הפונקציות בשרטוט שלפניך מתוארים הגרפים. 26 x= −

2 -ו 2y x x= .חשב את השטח המסומן. −

2בשרטוט שלפניך מתוארים הגרפים של הפרבולות . 27 3 4y x x= − +

) -ו )24 4y x= =1והישר . − +y x טח המסומןחשב את הש.

פונקציות שורשפונקציות שורשפונקציות שורשפונקציות שורש עםעםעםעםשטחים שטחים שטחים שטחים

yי הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 28 x=

9xוהישר x-ציר ה =.

5yי הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 29 x=

yוהישר x=.

2י הפונקציות "חשב את השטח המוגבל ע. 30 5 ,y x y x= − =

. x-וציר ה

3yי גרף הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 31 x= ,

4xהישר .x-וציר ה =

y

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

י הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 321

yx

והישרים =

, 4 1 0y x x= − =.

2י הפרבולה "חשב את השטח המוגבל ע. 33 9y x=

4xוהישר =.

י הפרבולות "חשב את השטח המוגבל ע .34

( )2 28 , 2 2y x y x= − = −.

2yי העקומות "בל עחשב את השטח המוג. 35 x=,

2 1yx 3xהישר , = .x-וציר ה =

שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשטחים עם פונקציות טריגונומטריותשטחים עם פונקציות טריגונומטריותשטחים עם פונקציות טריגונומטריות

sinyי הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 36 x=

,בין הנקודות x-וציר ה 0x xπ= =.

י הפונקציה "חשב את השטח המוגבל ע. 372

1

cosy

x=

,הישרים 3 4

x xπ π

= = .x-וציר ה −

cosנתונות הפונקציות . 38 , siny x y x= =

0בתחום 2x π≤ ≤.

.ןמצא את השטח המסומ. א

2מצא את השטחים . ב 1,S S.

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

2S 1S

y

x

חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות. 39

sin , sin 2y x y x= 0בתחום = 2x π≤ ≤.

חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות. 40

2

1, 8cos

cosy y x

x= ן שתי נקודות החיתוךבי =

.שלהן הקרובות ביותר לראשית הצירים

חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות. 41

sin , 1y x x y x= + = עד לנקודת המפגש הקרובה ( +

.x-וציר ה) ביותר לראשית ברביע הראשון

לוגריתמיות ומעריכיותלוגריתמיות ומעריכיותלוגריתמיות ומעריכיותלוגריתמיות ומעריכיותשטחים עם פונקציות שטחים עם פונקציות שטחים עם פונקציות שטחים עם פונקציות

י גרף הפונקציה "ב את השטח המוגבל עחש. 421

yx

=

והישרים 2 1

,2 2

ex x= =.

י הגרפים של הפונקציות "חשב את השטח המוגבל ע. 43

24 1,

2y y x

x= 2xוהישר x-ציר ה, = e=.

י גרף ההיפרבולה "ע חשב את השטח המוגבל. 441

yx

=

,והישרים x

y y exe

= .הנמצא ברביע הראשון, =

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

י הגרפים של ההיפרבולות"חשב את השטח המוגבל ע. 45

1 1

,2 6

y yx x

= − =+

1xוהישר = −.

י הגרפים של הפונקציות"חשב את השטח המוגבל ע. 46

,x xy e y e−= 1xוהישר = =.

5חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות . 47 2 , 2x xy e y e−= − =.

י הגרפים של הפונקציות"חשב את השטח המוגבל ע. 48

3 2, , 4x x xy e y e y e= = =.

י גרף הפונקציה"חשב את השטח המוגבל ע .493 1

1

x xy

x

+ +=

+

2xהישר .והצירים ברביע הראשון =

נתונה הפונקציה . 503 23 5 8 8

1

x x xy

x

− + + +=

+ .ברביע הראשון

.x-הפונקציה מעבירים אנך לציר הדרך נקודת המקסימום של

.ל והצירים"האנך הנת השטח המוגבל בין חשב א

נתונה הפונקציה . 513 23 2

1

x x xy

x

− +=

+ .ברביע הראשון

.x-חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לבין ציר ה

x

y

y

x

x

y

y

x

y

x

y

שטחים עם משיק ונורמלשטחים עם משיק ונורמלשטחים עם משיק ונורמלשטחים עם משיק ונורמל

2yלגרף הפרבולה . 52 x= העבירן משיק דרך הנקודה( )3,9

.שעל הפרבולה

.מצא את משוואת המשיק. א

.y-המשיק וציר ה, י הפרבולה"מצא את השטח המוגבל ע. ב

3לגרף הפרבולה . 53 1y x x= + )העבירן משיק דרך הנקודה + )1,3

.שעל הפרבולה

.מצא את משוואת המשיק. א

.y-המשיק וציר ה, י הפרבולה"מצא את השטח המוגבל ע. ב

3לגרף הפונקציה . 54 1y x= 1xהעבירו משיק בנקודה + =.

.x-הפונקציה וציר ה, חשב את השטח המוגבל בין המשיק

2ך של הפונקציה דרך נקודת החיתו. 55 32y x x= −

.העבירו משיק לגרף הפונקציה x-עם ציר ה

.y-המשיק ה, חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה

cosyמצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה . 56 x= , המשיק

ביותר לראשית של לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך הקרובה

.y-וציר ה x-הפונקציה עם ציר ה

3yי גרף הפונקציה "מצא את השטח המוגבל ע. 57 x= ,

)הנורמל לפונקציה בנקודה .y-וציר ה 1,1(

y

x

x

y

y

x

x

y

y

y

x

y

x

2חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה . 58 3 2y x x= − +

)והנורמל לפרבולה בנקודה )2,0.

נתונה הפונקציה . 593

2

x xy

x

−=

+.

x-דרך נקודת החיתוך השמאלית של הפונקציה עם ציר ה

.מעבירים משיק

.מצא את משוואת המשיק. א

ונקציה גרף הפ, חשב את השטח המוגבל בין המשיק. ב

.x-העובר דרך נקודת החיתוך הימנית של הפונקציה עם ציר ה x-והישר המאונך לציר ה

לגרף הפונקציה . 603 2

2

x xy

x

−=

+4xהעבירו משיק בנקודה =.

.מצא את משוואת המשיק. א

.x-המשיק וציר ה, קציה חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונ. ב

:תשובות

1 .7 2 .15 3 .12 4 .2 5 .2 6 .1

42

7 .1

12 8 .

13

5 9 .

111

3

10 .1 3

1 , 64 4

11 .2

3 12 .

14

2 13 .

14

2 14 .2 15 .

241

3 16 .

121

3

17 .2

145

18 .1

133

19 .1

153

20 .8 21 .2 22 .1

312

23 .2

103

24 .1

56

25 .18 26 .1

43

27 .8 28 .18 29.1

46

30 .2

63

31 .4

125

32 .17

32 33 .32 34 .16 35 .

11

3 36 .2 37 .3 1+

2. א. 38 2. ב 2 12 2 , 2 1S S= − = − 39 .1

22

40 .6 3 41 .1

2

π −

42 .2 43 .1

53

44 .1 45 .ln 2 46 .( )2

1e

e

− 47 .10ln 2 6−

48 .5

26

6. א. 52 0.27. 51 8.545. 50 3.568. 49 9y x= 9. ב −

4. א. 53 1y x= . ב −3

4 54 .

11

3 55 .

26

3 56 .

2

18

π− 57 .

11

12 58 .

11

3

2. א . 59 2y x= . א. 60 3.925. ב +1 1

5 133 3

y x= 2.18. ב −

x

y

y

x