חשמל ומגנטיות סיכום

הרצאות סיכומי – ומגנטיות חשמל

2010 ביוני 22

אייזנברג חגי מרצה:

שריר אור ע״י: סוכם

[email protected] והערות: לתיקונים פניות

המבחנים לקראת הערה

יתכנו שתמיד וכמובן חסרים, שרטוטים מספר יש סידור, ודורשים מבולגנים קצת שהם בסיכום קטעים מספר יש כרגעאת ולעדכן החסרים החלקים את להשלים אשתדל אני המבחנים תקופת במהלך אליהן. לב שמתי שלא נוספות טעויותעל לי יודיע אם אשמח אני טעויות שמוצא מי ולכן חומר, להם ולהוסיף לתקן זמן לי יתפנה כאשר פעם, מדי הסיכומים

במייל. כך

העדכון תאריך (כאשר עדכנית הכי לגרסה ישאר תמיד הבא הקישור האקדמי, בבנק מיד יעתדכנו לא הסיכומים אם גםhttp://dl.dropbox.com/u/380910/class_notes/electricity.pdf הראשי): בדף מופיע

לכולם! בהצלחה

עניינים תוכן

7 הרצאות I7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקורס על 1

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רקע 1.1

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלקטרוסטטיקה 2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החשמלי המטען של בסיסיות תכונות 2.1

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קולון חוק ־ החשמלי הכוח 2.2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דרישות / ציפיות 2.2.1

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החשמלי הכוח נוסחת מציאת 2.2.2

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דוגמאות 2.2.3

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המטען צפיפות 2.2.4

1

עניינים ענייניםתוכן תוכן

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החשמלי השדה 2.3

12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שדה? מציירים איך 2.3.1

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גאוס וחוק החשמלי השטף 2.4

14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גאוס חוק 2.4.1

15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רדיאלית מטען התפלגות 2.4.2

16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שמושיות מתמטיות פעולות 2.5

18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלי ופוטנציאל אנרגיה 2.6

19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מטענים מערכת של האנרגיה חישוב 2.6.1

20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פוטנציאל והפרש מסלולי אינטגרל 2.6.2

23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שדה קווי הדגמת 2.6.3

25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גרדיאנט 2.6.4

28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מטען צפיפות של אנרגיה 2.6.5

29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגדיאנט לפי הפוטנציאל הגדרת 2.6.6

29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הממוצעים הערכים משפט 2.6.7

30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לאפלס למשוואת לפתרונות היחידות משפט 2.6.8

30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . curlו־ סטוקס משפט 2.6.9

31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מוליכים 3

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המראות שיטת 3.1

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פואסון למשוואת נומרי פתרון 3.2

35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מוליך על השדה 3.3

35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קיבול 3.4

35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבל 3.4.1

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לוחות קבל 3.4.2

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כדור בתוך כדור קבל 3.4.3

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבלים ומערכות סימונים 3.4.4

38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבל טעינת 3.4.5

38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיאלקטרי חומר 3.4.6

39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . במרחב שדה בתוך דיפול מתנהג כיצד 3.4.7

40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיאלקטרים לחומרים בחזרה 3.4.8

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלקטרודינמיקה 4

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלי זרם 4.1

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . זרם? נמדוד איך 4.1.1

46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הרציפות משוואת 4.1.2

2


47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוהם חוק 4.2

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלית התנגדות 4.2.1

49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלי מעגל בתוך נגד 4.2.2

50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קירכהוף חוקי 4.3

52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלי הספק 4.3.1

52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סוללה ־ כוח מקור 4.3.2

54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תבנין משפט 4.3.3

54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (משתנה) עמיד לא זרם 4.4

54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבל פריקת 4.4.1

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבל טעינת 4.4.2

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטיות 5

55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטיים שדות 5.1

56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי שדה בתוך זרם 5.1.1

57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי שדה של מסלולי אינטגרל 5.2

60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המגנטי השדה יחידות 5.3

60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . וקטורי פוטנציאל 5.4

60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כה עד מתמטיות משוואות סיכום 5.4.1

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קולון כיול 5.4.2

62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ביו־סבר חוק 5.4.3

64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טבעת היוצרת מגנטי שדה 5.4.4

64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ואינסופי סופי סליל היוצר מגנטי שדה 5.4.5

66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אינסופי משטח היוצר מגנטי שדה 5.4.6

67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטיים מולטיפולים פיתוח 5.5

69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המגנטי הכוח מקור 5.6

69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפרטית היחסות לפי החשמלי הכוח 5.6.1

72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפרטית היחסות לפי המגנטי הכוח 5.6.2

73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי משדה כתוצאה חשמלי זרם 5.7

73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי שדה בתוך הנע מוט 5.7.1

74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטי שדה בתוך הנע מעגל 5.7.2

76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . למעגל ביחס הנע מגנטי שדה 5.7.3

77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פארדיי חוק 5.7.4

77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לנץ חוק 5.7.5

78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטית השראה 5.8

3


78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדדית השראה 5.8.1

79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההדדיות משפט 5.8.2

81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RL מעגל – במעגל כרכיב סליל 5.8.3

83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RLC מעגל ־ תהודה מעגל 5.8.4

85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חילופין מתח מקור עם RLC מעגל 5.8.5

87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקבילים RLC מעגל 5.8.6

89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . במשוואות סימטריה חוסר 5.8.7

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקסוואל משוואות סיכום 5.9

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטים חומרים 5.10

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בוהר של האטום מודל 5.10.1

92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בחומר המגנטיות סוגי 5.10.2

93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המגנטות צפיפות שדה 5.10.3

94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלי לקיטוב הקבלה 5.10.4

96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלקטרומגנטים וגלים ובריק בתווך מקסוואל משוואות סיכום 5.11

98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגל אנרגיית 5.11.1

99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בחומר אלקטרומגנטיים גלים 5.11.2

100 תרגולים II100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01.03.2010 ־ 2 תרגול 6

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקורס על 6.0.3

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מידה יחידות 6.0.4

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גאוס וחוק שטף 6.0.5

101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סימטריה 6.0.6

103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09.03.2010 – 3 תרגול 7

103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיברגנץ 7.0.7

104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פוטנציאל 7.0.8

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אנרגיה 7.0.9

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.03.2010 – 4 תרגול 8

108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רוטור 8.0.10

111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חשמלית אנרגיה 8.0.11

112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.03.2010 – 4 תרגול 9

112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . באלקטרוסטטיקה מוליכים 9.0.12

112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . היחידות משפט 9.0.13

4


112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הארקה 9.0.14

113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המראות שיטת 9.0.15

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.04.2010 – 5 תרגול 10

114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבלים 10.1

115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כדורי קבל 10.1.1

115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לוחות קבל 10.1.2

115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כדורים שני 10.1.3

115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גלילי קבל 10.1.4

116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבל אנרגיית 10.1.5

116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . במקביל קבלים חיבור 10.1.6

117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בטור: חיבור 10.1.7

117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבלים לחיבור דוגמאות 10.1.8

119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.04.2010 – 6 תרגול 11

119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הודעות 11.1

120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המולטיפולי הפיתוח 11.2

122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיפול על מומנט 11.2.1

123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיאלקטרי חומר 11.3

125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04.05.2010 – 7 תרגול 12

125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ומוליכות זרמים 12.1

125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הזרם צפיפות 12.1.1

126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוהם חוק 12.1.2

127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נגדים 12.2

127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בטור חיבור 12.2.1

127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . במקביל חיבור 12.2.2

128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נגד של הספק 12.2.3

128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קירכהוף חוקי 12.2.4

129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.05.2010 – 8 תרגול 13

129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטיות 13.1

131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אמפר חוק 13.2

132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.05.2010 – 11 תרגול 14

132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סבר ביו חוק 14.1

134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . וקטורי פוטנציאל 14.2

135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קולון כיול 14.2.1

5


136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01.06.2010 – 12 תרגול 15

137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פארדיי חוק 15.1

137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לנץ חוק 15.2

138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השראות 15.3

140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08.06.2010 – 13 תרגול 16

140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RLC מעגל 16.1

141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חילופין זרם 16.2

141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impedance – עכבה 16.3

144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקסוואל משוואות 16.4

145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.06 – 14 תרגול 17

145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העתקה זרם 17.1

146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מגנטים חומרים 17.2

6

הקורס על 1

I חלק

הרצאות

הקורס על 1

מרצה פרטי

104 חדר מרקס בנין משרד: •

15:00־14:00. ה׳, יום קבלה: שעות •

הקורס אתר

. moodle.huji.ac.il כתובת:

התרגילים. את להגיש ניתן יהיה דרכו ורק התרגילים יפורסמו בו הסילבוס, נמצא באתר •

נלמד. החומר כי לוודא מנת על האחרון השבוע של תקציר לכתוב נדרש שבוע בכל •

השבוע. אותו של לתרגיל פורום שבוע כל יפתח באתר •

הקורס דרישות

מגן %20 – אמצע בוחן •

יותר לקבל ניתן (כלומר ב־10 ויחולקו יסכמו כולם אשר תרגילים 13 יהיו תרגיל. לכל 100 עד מ־0 – תרגילים •התרגילים). על מ־100

%70 – סופי מסחן •

סיכומים. 8 לפחות להגיש נדרש •

עזר חומר

הפתוחה). האוניברסיטה של מתורגמת גרסה (קיימת פורסל – ברקלי של ספר •

פיינמן. של ספר •

מוקדם): מתמטי ידע על (מסתמכים יותר מתקדמים ספרים •

״התנ״ך״. – ג׳קסון של ספר –

לנדאו־ליפשיץ. של ספר –

באתר. גם נמצאת מלאה רשימה •

7

רקע אלקטרוסטטיקה1.1 2

רקע 1.1

גם התווספו ה־20, המאה בתחילת וכו׳. גלים תרמודנמיקה, מכניקה, יחד קלאסית לתורה נחשבת האלקטרומגנטית התורההאלקטרומגנטית התורה אחרות, מתורות להבדיל מהן. הנגזרות וכל הקוונטים ותורת והכללית, הפרטית היחסות תורתהייחסות, תורת ע״י תיקונים שעברה מכניקה למשל אחרות, מתורות להבדיל מקסוואל, משוואות ניסוח עם *הושלמה*פי הקטן גודל סדר עד נכונה היא הקוונטים תורת עבור ואף היחסות, לתורת מתאימה נמצאה האלקטרומגנטית התורה

מהאטום. מאה

שלילי. ומטען חיובי מטען קבוצות: לשתי הנחלק החשמלי המטען של ההקיום התגלה בה תצפיות מתוך התפתחה התורההאטום, מודל פי על השני. את אחד מושכים סימן הפוכי בעוד השני, את אחד דוחים סימן שווי מטענים כי נצפה בנוסף,המסומנים שלילי, מטען בעל ואלקטרונים ,p באות המסומנים חיובי, מטען בעלי מפרוטונים הבנוי מגרעין מורכב האטוםעל נדבר בקורס לרוב ניטרלים). ולכן מטען בעלי אינם אשר ניוטרונים בגרעין קיימים (בנוסף אותו הסובבים ,e באותחשמלי מטען בעלי בטבע נוספים חלקיקים קיימים אך גרעינים, או אלקטרונים יהיו בד״כ אשר מטען, נושאי חלקיקים

זה. בקורס בהם נגע שלא

אלקטרוסטטיקה 2

החשמלי המטען של בסיסיות תכונות 2.1

האלקטרון. למטען בגודלו זהה הפרוטון מטען גודל כי התגלה תצפיות דרך •

של ככפולות רק מופיע בטבע החשמלי המטען כלומר ,(Lonely בודד ולא Discreet בדיד (מלשון המטען בדידות •הפרוטון. או האלטקרון מטען לגודל הזהה מסויים גודל

ישמר המטען משתנה ומספרם החלקיקים סוג אם גם ,(Conserve) נשמר המערכת של המטען סך סגורה, במערכת •בסימנו). והפוך בגודלו הזהה מטען בעל נוסף חלקיק בלי למשל אלקטרון להיווצר יכול לא (לכן

קולון: של ביחידות האלקטרון מטען .C באות המסומן (Coulombs) בקולון נמדד החשמלי המטען ,MKS במערכת •. e = 1.6× 10−19C

. e = 4.8× 10−10esu : אלו ביחידות האלקטרון ומטען ,esu ביחידות נמדד החשמלי המטען ,cgs במערכת •

קולון חוק ־ החשמלי הכוח 2.2

דרישות / ציפיות 2.2.1

השני. את אחד מושכים שונה מטען ובעלי השני את אחד דוחים זהה סימן בעלי מטענים •

. F ∝ qα11 qα2

2 ולכן יותר גדול יהיה הכוח גדולים יותר שהמטענים ככל •

.F ∝ 1|r12|αr ולכן יקטן הכוח יותר רחוקים שהמטענים ככל •

. v = r12 המטענים: בין המחבר הקו בכיוון יהיה אשר מסויים, וקטור בכיוון יהיה הכוח כיוון •

ומטען. מטען כל שמפעיל הכוחות סכום הוא מטענים, מכמה מטען על הפועל הכוח – הסופר־פוזיציה עקרון •

8

קולון חוק ־ החשמלי הכוח 2.2 אלקטרוסטטיקה 2

החשמלי הכוח נוסחת מציאת 2.2.2

. ~F = kqα11 q

α22

|r12|αr v כללי: באופן כי נסכם הכוח וכיוון מהפרופורציות .1

ונצפה נקודה, באותה נקודתיים מטענים שני נשים כי נניח למה? – α1 = α2 = 1 כי נובע הסופר־פוזיציה מעקרון .2המטענים משני הפועלים הכוחות סכום יהיה אחרת בנקודה מטען על הפועל שהכוח הסופר־פוזיציה עקרון לפי

. n > 1 כאשר an + bn = (a+ b)n יתקיים תמיד לא אזי מ־1, שונה החזקה אם אך הללו,

. αr = 2 ולכן בריבוע המרחק עם קטן הכוח כי נמצא מתצפיות בנוסף .3

. k = 1 cgsוב־ k = 9× 109N ·m2

c2 מתקבל MKSב־ עובדים. איתה במערכת תלוי אשר הקבוע, נמצא מתצפיות .4

. ~F = k q1·q2|r12|2 r12 הוא החשמלי הכוח לסיכום,

המכפלה סימן בעקבות דוחים סימן ושווי מושכים סימן שוני מטענים כי לדרישה מתאימה זה נוסחה כי לב נשים 2.1 הערה. q1 · q2

דוגמאות 2.2.3

זהים חיוביים מטענים שני ע״י חיובי מטען על הפועל הכוח מציאת :2.1 איור

נמצא המטענים בין המחבר לציר המאונך ישר על מהשני. אחד d במרחק נמצאים Q מטען בעלי חיוביים מטענים שני: q על הפועל הכוח את נחפש מהציר. r במרחק q נוסף חיובי מטען

~F = 2kqQ cos θ

r2 +(d2

)2 x = 2kqQr[

r2 +(d2

)2]5/2 x~F →

r→∞k

2qQ

r2

9

קולון חוק ־ החשמלי הכוח 2.2 אלקטרוסטטיקה 2

. 2Q בגודל נקודתי מטען קיים בו למצב טוב בקירוב שווה הכוח r >> d שכאשר קיבלנו 2.2 הערה

סימן: שוני הם Q המטענים בו דומה מצב על נסתכל

~F = −2kqQ sin θ

r2(d2

)2 y = −k qQd[r2 +

(d2

)2]3/2 yr >> d →

r→∞−k qQd

r3y

להם. האנכי הציר על ולא מטענים שני של הציר על נמצא המטען כאשר רק הבעיה אותה את לפתור לבית: תרגיל

המטען צפיפות 2.2.4

באנלוגיה מטען של צפיפות עם לעבוד נוח יהיה חלקיקים, של רב מספר המכילים מורכבים גופים עם לעבוד נרצה כאשרקשיח. גוף של מסה לצפיפות

צפיפות: סוגי

. dq = ρdv = ρ(x, y, z) · dx · dy · dz נפחית

. dq = σ(x, y) · dx · dy = σda משטחית

. dq = λdz = λdl קווית

באמצעות קולון חוק את עתה נביע .´Vdq = Q =

´Vρ · dv אינטגרל נבצע הכולל המטען גודל את למצוא בשביל

:( dV ל־ ערך שווה הוא d3r הזו (במשוואה הצפיפות

~Fq = kq∑i

qi|~r − ~ri|2

· ~r − ~ri|~r − ~ri|

= kq∑i

qi|~r − ~ri|3

· (~r − ~ri)

= kq

ˆV

ρ(~r′)(~r − ~r′)|~r − ~r′|3

· d3r′

הטבעת. ממרכז היוצא הציר על הנמצא q נקודת ומטען r ברדיוס אחידה מטען בצפיפות טעונה טבעת קיימת דוגמא:

λ : =dq

dldq = λdl = λrdφ

מטען קיים הטבעת, על הנמצא נקודתי מטען לכל כי , z ציר על רק יופעל הכוח כי לראות ניתן הסיבובית, מהסימטריהיתאפס. xy במישור הכוח ולכן זהה, כוח המפעיל הטבעת של השני מצדה הנמצא זהה

~Fz = kq

ˆ 2π

0

λcosθ

z2 + r2rdφ = kq

2πrλcosθ

z2 + r2

= kq2πrλz

(z2 + r2)3/2

נקודתי ומטען d במרחק נקודתיים מטענים שני קיימים בו שעבר, משיעור לדוגמא זהה המתקבלת התוצאה כי לראות ניתן.( Q = πrλ (כאשר להם האנכי הציר על הנמצא

10

החשמלי השדה אלקטרוסטטיקה2.3 2

החשמלי השדה 2.3

בתור: החשמלי הכוח את עתה ונגדיר ~E(~r) החשמלי השדה את נגדיר

~F = q ~E(~r)

אלקטרומגנטי. שדה האור לדוגמא פיזיקלית, משמעות בעל אלא מתמטי, כלי רק אינו השדה

השדה: את נגדיר מפורש ובאופן [E] = Ntc הינן: השדה של היחידות

~E = k∑i

qi|~r − ~ri|2

· ~r − ~ri|~r − ~ri|

= k∑i

qi|~r − ~ri|3

· (~r − ~ri)

= k

ˆV

ρ(~r′)(~r − ~r′)|~r − ~r′|3

· d3r′

דוגמאות

אחידה: מטען צפיפות בעל אינסופי מישור קיים :1 בעיה

σ =dq

daλ = σdr

רדיוס על אינטגרל ביצוע ע״י הזה השדה את לחשב בשביל הטבעת) (של הקודמת בדוגמא להשתמש ניתן כי לראות ניתןהעיגול:

d ~E(z) = k2πrzσdr

(z2 + r2)3/2z

~E(z) = k

ˆ ∞0

2πσzrdr

(z2 + r2)3/2

=σ

2ε0z

ˆ ∞0

zrdr

(z2 + r2)3/2

=σ

2ε0z(−2)

1

2

z

(z2 + r2)1/2

∣∣∣∣∞0

=σ

2ε0z

במרחק. קטן לא הכוח נקודתי, ממטען בשונה כלומר במרחב, קבוע השדה כי קיבלנו כלומר

הכדור אם (כלומר, במרכזו המונח מטען קיים ובנוסף אחידה, מטען צפיפות בעל (חלול) כדור חצי על נסתכל :2 בעיההכדור). במרכז אז שלם, היה

λ = σrdθ

E0 = k

ˆ π/2

0

2π

r′︷︸︸︷(r cos θ)

z︷︸︸︷(r sin θ)

λ︷︸︸︷σrdθ

(r2 sin2 θ + r2 cos2 θ)3/2z

=σ

4ε0z

ˆ π/2

0

sin 2θdθ =σ

4ε0z

11

החשמלי השדה אלקטרוסטטיקה2.3 2

שדה? מציירים איך 2.3.1

נקודה. בכל השדה של והכיוון הגודל את המציינים במרחב, הפזורים וקטורים באמצעות

במישור וקטורים שדה :2.2 איור

ולכן השדה, עוצמת את מייצגים הקווים וצפיפות השדה, של הכיוון את מייצג השדה לקו המשיק אשר שדה, קווי באמצעותונכנסים חיוביים מטענים מתוך יוצאים שדה קווי בנוסף באיור. המודגשים הקטעים שני בין שונה השדה כי לראות ניתן

שליליים. מטענים לתוך

שדה קווי ע״י חשמלי שדה :2.3 איור

קבוע? חשמלי שדה ניראה כיצד

12

גאוס וחוק החשמלי השטף אלקטרוסטטיקה2.4 2

שדה) קווי (באמצעות קבוע חשמלי שדה :2.4 איור

גאוס וחוק החשמלי השטף 2.4

וגודל המשטח, ״פונה״ לאן מייצג הוקטור שכיוון כך וקטור, ע״י במרחב מישורי משטח ונגדיר אחיד, שדה על תחילה נזתכלהשדה קווי מספר כעל גם השטף על להסתכל ניתן ) המשטח דרך העובר השדה בתור השטף את ונגדיר שטחו, את מייצג

מתמטי: ובאופן המשטח.), דרך העוברים

φ = ~E · ~a

חשמלי שטף :2.5 איור

וקטע המשטח, של קטן חלק על נסתכל ולכן אחיד, אינו והשדה ״ריבועי״ לא המשטח בו הכללי המקרה על נסתכל עתהאחיד: שדה בקירוב הוא דרכו העובר והשדה ״ריבועי״ משטח בקירוב הוא זה קטן

dai << R2

φS =

ˆS

~E · d~a

13

גאוס וחוק החשמלי השטף 2.4 אלקטרוסטטיקה 2

כללי חשמלי שטף :2.6 איור

הקליפה. דרך העובר השטף את ונחפש הקליפה, במרכז הנמצא נקודתי מטען סביב קליפה על נסתכל דוגמא:

φS =

ˆS

kq

R2da =

1

4πε0· qR2· 4πR2 =

q

ε0

הקליפה. בגודל תלוי אינו השטף כי קיבלנו כלומר

גאוס חוק 2.4.1

זהה. הוא נקודותי מטען המקיפים ושונים סגורים משטחים שני של השטף 2.3 משפט

יגיע אשר עד מתנפח) כדור על נמצא היה (כאילו הקטע את ונמשיך הקודמת, מהדוגמא הקליפה על קטן קטע על נסתכלהשני. המשטח אל

: dφda = kq

r2da

dφda′ = kq

r2r′ · d~a′

r′ = r da′ = da

(r′

r

)21

cos2 θ

dq′ = kq

r2da

(r′

r

)21

cos θcos θ = dφ

φS =

ˆS

~E · d~a =

ˆS

∑i

~Eid~a =∑i

ˆS

~Eid~a =1

ε0

∑i

qi

=1

ε0

ˆV

ρdV =q

ε0

גאוס. חוק הוא האחרון השוויון

14

גאוס וחוק החשמלי השטף 2.4 אלקטרוסטטיקה 2

באופן המעטפות שני בין ונחבר עצמו משל במעטפת המטען את נעטוף למעטפת? מחוץ המטען כאשר קורה מהולכן: אינפיטסמלי,

φS′ =q

ε0

φS + φS′ = φS+S′ =q

ε0⇒ φS = 0

המעטפת בתוך שלא מטען :2.7 איור

מוגדר: גאוס חוק כללי, באופן

φS =1

ε0

ˆV

ρdV =

˛S

~E · d~a

לשדה. ביחס רק קולון לחוק שקול הוא גאוס חוק

רדיאלית מטען התפלגות 2.4.2

הנובעת מהסימטריה המטען. התפלגות את המתארת ρ(r) רדיאלית פונקציה עבור נקודה בכל השדה את למצוא ננסהבשימוש כן ועל ,r ברדיוס בכדור המטען את להקיף ניתן ולכן rב־ רק תלוי השדה כי נובע הרדיאליות, מהקואורדינטות

גאוס: בחוק

φ(r) = 4πr2E(r) =1

ε0

ˆV (r)

ρdV =qinε0

E(r) =1

4πε0· qinr2

= k · qinr2

15

שמושיות מתמטיות פעולות אלקטרוסטטיקה2.5 2

דוגמאות

הקודמת: בתוצאה ובשימוש ρ אחידה מטען צפיפות בעל מלא כדור .1

E(r < r0) = k43πr

3ρ

r2=

ρ

3ε0rr

E(r ≥ r0) = k43πr

30ρ

r2

מהמשטח. z במרחק בסיס כל כאשר למשטח, המקבילים בסיסים עם גליל נבנה – גאוס) חוק (דרך אינסופי משטח .2במעטפת ולא הבסיסים דרך עובר השטף כל ולכן למשטח, במאונך הוא השדה כיוון המשטח, של מהסימטריה

גאוס: חוק באמצעות ולכן הגליל,

φS = 2EA =σA

ε0∣∣∣ ~E∣∣∣ =σ

2ε0

. ∆E = σε0

מתקיים ותמיד רציף בהכרח לא הוא השדה

לדעת ונרצה ,ρ אחידה לא רוחבית מטען צפיפות בעל עובי בעל משטח על נסתכל – (לחץ) שטח ליחידת כוח לדוגמא,שטח: ליחידת הפועל הכוח מהו

σ =

ˆρdx

dF = E · dq = Eρ · dx · dAdF

dA= Eρ · dx

F

A=

ˆ x0

0

Eρ · dx

dE =ρ · dxε0

F

A= ε0

ˆ E2

E1

E · dE = ε0E2

2 − E21

2

= ε0

σε0︷︸︸︷

(E2 − E1)(E2 + E1)

2

= ε0σ

ε0· (E1 + E2)

2= σ ·

Average︷︸︸︷< E >

שמושיות מתמטיות פעולות 2.5

אותה ונחתוך מעטפת על נסתכל לאפס. שואף הנפח כאשר נפח ליחידת השטף (Divergence)־ הדיברגנץ 2.4 הגדרהלהגדיר: נוכל ולכן φS = φS1

+ φS2ולכן באמצע

Div ~E = ∇ · ~E = limv→0

1

v

ˆS

~E · d~a

16

שמושיות מתמטיות פעולות אלקטרוסטטיקה2.5 2

להגדרה אינטואיציה :2.8 איור

גאוס: 2.5 משפטˆV

∇ · ~E · dV = φS =

˛S

~E · d~a

גאוס: לחוק הקשר 2.6 הערהˆV

∇ · ~E · dV = φS =

˛S

~E · d~a =1

ε0

ˆV

ρ · dV

האינטגרלים: בין השוויון נובע ומכך

∇ · ~E =ρ

ε0

מקסוואל. ממשוואות חלק והוא הדיפרנציאלי, גאוס חוק הוא זה שוויון

הדיברגנץ: חישוב

dφz = Ez(z + dz)dxdy − E(z)dxdy

=Ez(z + dz)− Ez(z)

dzdxdydz

=∂Ez∂z

dV

div ~E = dφ =

(∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

)dV

17

חשמלי ופוטנציאל אנרגיה אלקטרוסטטיקה2.6 2

הדיברגנץ חישוב :2.9 איור

הפעולה: את נגדיר אם

∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)להגדיר: ניתן ואז

div ~E = ∇ · ~E

קיבלנו Q = 43πr

30ρ כאשר אחידה. מטען צפיפות בעל כדור של לשדה שמצאנו מהפתרון המטען צפיפות מציאת דוגמא,

ההמשך. את להעתיק הספקתי לא ... ~E(r < r0) = ρ3ε0~rש־

חשמלי ופוטנציאל אנרגיה 2.6

חשמלי פוטנציאל חישוב :2.10 איור

עד מהאינסוף כלשהו חשמלי מטען לקחת מנת על הדרושה העבודה על נסתכל החשמלי, הפוטנציאל את לחשב מנת עלמפורש: באופן או מסויים, מחלקיק r למרחק

W12 = W21 = −ˆ r12

∞

q1q2

r2dr = k

q1q2

r|r12∞ = k

q1q2

r12

18


תלות ללא רדיוסים, שני בין דרך אלמנט כל משמר, כח גם ולכן מרכזי כוח הוא חשמלי שכוח שמכיוון לב, לשים ישקפלר). מבעיית כבידה כוח כמו (בדיוק העבודה אותה עליו מתבצעת במסלול,

מטענים מערכת של האנרגיה חישוב 2.6.1

שלה: הכוללת האנרגיה את למצוא בשביל הקודמת מטענים שני של למערכת מטען הוספת של האנרגיה את נחפש

W3 =

ˆ r3

∞~F1+2 · d~s =

ˆ r3

∞(~F13 + ~F23) · d~s = W31 +W32

W = W21 +W31 +W32

המערכת כל של האנרגיה כללי, ובאופן הפוטנציאל, למציאת הסופרפוזיציה בעקרון להשתמש ניתן כי לראות ניתן ולכןהיא:

W =1

2

∑i6=j

kqiqjrij

המערכת... של הפוטנציאלית האנרגיה לבין החשמלי, הכוח שמבצע העבודה בין להבדל לב לשים יש

עבודה להשקיע צריך לא שאליהם במרחב הנקודות כל מהם מהשני. אחד a במרחק 2qו־ −q מטענים שני נתונים דוגמא:הזו? המערכת אל מהאינסוף כלשהו מטען להביא מנת על

W = −k qq′

(x2 + y2)1/2+ k

2qq′

((x− a)2 + y2)1/2= 0

(x− a)2 + y2 = 4(x2 + y2)(x+

a

3

)2

+ y2 =

(2a

3

)2

מעגל: של משוואה קיבלנו כלומר

עבודה השקעת בלי קיימת למערכת מטען הכנסת :2.11 איור

משתנה. השדה איך לראות ונרצה אותו להקטין מנת על הכדור על עבודה ונפעיל , σ צפיפות בעל כדור על נסתכל בעיה:

19


טעון כדור כיווץ :2.12 איור

שעבר): לשיעור (בדומה עליו הפועל ללחץ שווה הכדור את לכווץ מנת על לבצע שצריך העבודה

P = σ < E >

Eoutside =σ

ε0Einside = 0

< E > =σ

2ε0

מכווצים: שאנו פוטנציאל אלנט על נסתכל

du = PA · dr =σ2

2ε0dv =

ε02E2 · dv

, ε02 Eל־2 שווה השדה שם כיווצנו אותה האינפיניטסמלית הטבעת באיזור מאשר חוץ משתנה לא השדה כי מצאנו כלומר

עבודה. השקעת ע״י שדה יצרנו כלומר

פוטנציאל והפרש מסלולי אינטגרל 2.6.2

:(It) המשיקי ולחלק (Ir)הרדיאלי לחלק האינטגרל את לחלק ניתן כי וניראה שדה, בתוך מטען תנועת על נסתכל

20

חשמלי ופוטנציאל אנרגיה 2.6 אלקטרוסטטיקה 2

מסלול על החשמלי הכוח עבודת :2.13 איור

I12 =

ˆ 2

1

~E · d~s = Ir +

=0︷︸︸︷It = k

ˆ r2

r1

q

r2dr = kq

(1

r1− 1

r2

)קיבלנו יחדיו. התוצאה את ולחבר בנפרד שדה כל לפי הפוטנציאל את לחשב ניתן הסופרפוזיציה, עקרון לפי כי לב, נשים

והסיום. ההתחלה בנקודות רק אלא במסלול תלויה אינה הכוח עבודת כי

לכפול רק צריך החלקיק, שמבצע העבודה את למצוא ובשביל הנקודות, שתי בין הפוטנציאל הפרש נקרא ,I12 זה, גודלבמטען:

−I12 ≡ ϕ12 = −ˆ 2

1

~E · d~s

W12 = qϕ12

הם: הפוטנציאל הפרש של היחידות

[ϕ] =J

c= V olt[SI]

לכל ~r1 בין הפוטנציאל הפרש סקאלרי. כשדה הפוטנציאל הפרש את להביע ניתן אזי הצירים, כראשית ~r1 את נגדיר אםהפוטנציאל: יקרא במרחב נקודה

ϕ12 = ϕ(~r1, ~r2) = ϕ(~r)

נקודת את לשנות ניתן במכניקה, כמו אך הכוונה), זאת אחרת, מצויין לא (אם באינסוף הייחוס נקודת את נקבע בד״כהבעיה. לפתרון נוחות לפי היחוס

כ: הפוטנציאל את להביע ניתן נקודתי, מטען עבור

ϕ(~r) = kq

r

אינסופי. תיל שיוצר הפוטנציאל על נסתכל בעיה:

21


ולכן: E = k 2λr r הוא אינסופי תיל של השדה ראינו, כבר כפי

ϕ12 = −ˆ r2

r1

~E · d~r = −kzλˆ r2

r1

dr

r

= −zλk(ln r2 − ln r1)

באינסוף וגם אינסופי תיל שזהו מכיוון באינסוף, כאפס הפוטנציאל את להגדיר ניתן לא זה במקרה כי לב נשים 2.7 הערהאחרות. לנקודות ביחס פוטנציאל להגדיר ניתן כן אבל מטענים, יש

בתוך הפוטנציאל מהו אך נקודתי, מטען של כמו הוא מבחוץ מלא) או קליפה אם (בין כדור של הפוטנציאל כי ראינוקבוע, הוא הכדור בתוך הפוטנציאל ולכן בו, משתנה לא הפוטנציאל אז אפס, הוא הכדור בתוך שהשדה מכיוון הכדור?

הכדור. דפנות שעל לפוטנציאל ושווה

כדורית קליפה של הפוטנציל :2.14 איור

מלא? כדור בתוך הפוטנטציל ניראה איך

ϕ(r) = k

ˆ r

r0

Qr

r30

dr

= kQr2

2r30

|rr0 + ϕ0

= kQ

2r0− kQr

2

2r30

+ ϕ0

= k3Q

2r0− kQr

2

2r30

.ϕ0 = k qr0

או בדפנות הפוטנציאל הוא ϕ0 כאשר

22


מלא כדור של הפוטנציאל :2.15 איור

שדה קווי הדגמת 2.6.3

:( (: בקשות לפי (וידאו מהניסוי תמונות מספר – שמן בתוך מקוטבים חלקיקים ע״י שדה קווי הדגמת

נקודתי מטען :2.16 איור

23


סימן שוני מטענים שני :2.17 איור

סימן שווי מטענים שני :2.18 איור

24


טעונות טבעות שתי :2.19 איור

גרדיאנט 2.6.4

כ־ ומוגדרת וקטורים לשדות אותם ההופכת סקלריים שדות על פעולה היא הגרדיאנט

grad(f) = ~∇f =

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)=∂f

∂xx+

∂f

∂yy +

∂f

∂z

הפוטנציאל: לפי גרדיאנט בתור החשמלי השדה את להביע ניתן בנוסף,

dϕ = − ~E · d~s

dϕ =∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy +

∂yϕ

∂zdz = ∇ϕ · d~s

~E = −∇ϕ

גובה): לקווי (באנלוגיה פוטנצייל״ ״קווי ליצור הגרדיאנט לפי ניתן

25


נקודתי מטען של פוטנציאל קווי :2.20 איור

נקודה. באותה השדה לקווי מאונכים תמיד הפוטנציאל קווי כי לב נשים

ע״י: הגרדיאנט את למצוא ניתן רדיאלית) פונקציה (כולמר r =√x2 + y2 + z2 כאשר 2.8 הערה

~∇f(r) =x√

x2 + y2 + z2

df

drx+

y

r

df

dry +

z

r

df

drz =

df

drr

.~∇ · ~E = ρε0

הוא הדיפרנציאלי גאוס חוק תזכורת:

~∇ · (~∇ϕ) = − ρε0

ע״י הגדיאנט באמצעות גם השוויון את להביע ניתן 2.9 מסקנה

ע״י ישירות אותה ונגדיר .(div grad ϕ (כלומר ∇2ϕ = ~∇ · (~∇ϕ) ע״י לאפלסיין הפעולה את נגדיר 2.10 הגדרה

. ∇2 =(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

).∇2ϕ = − ρ

ε0נכתוב החדשה בהגדרה בשימוש פואסון: נוסחת

. ρ, ϕ,E מהם אחד כל לעבורבין שאפשר גדלים שלושה מצאנו כה עד כי לב נשים 2.11 הערה

הגדלים שלושת בין קשר :2.21 איור

26


. ∇2ϕ = 0 מתקיים מטען, צפיפות אין כאשר לאפלס: משוואתהמשוואה את וגם המשוואה של השפה תנאי נתון) להיות (או למצוא צריך הנ״ל המשוואה את לפתור בשביל

.∂ϕ אותה המקיימת

r במרחק החשמלי ההשדה מהו מהשני. אחד d במרחק מנוגדים סימני בעלי אך שווה בגודל מטענים שני קיימים דוגמא:המטענים? שני ממרכז

דיפול של שדה :2.22 איור

ϕ(r)r>>d

= kq

[1

r − d2 cos θ

− 1

r + d2 cos θ

]

= kqd cos θ

r2 −(d

2

)2

cos2 θ︸︷︷︸(r>>d)⇒→0

= kqd cos θ

r2

= k~p · rr2

השדה: את למצוא נוכל הפוטנציאל מפונקציית

~E(~r) = −~∇ϕ(~r) = −∇(kqd cos θ

r2

)= −∇

(k~p · rr2

)= −∇

(k~p · ~rr3

)= −~∇

(kPxx+ Pyy + Pzz

(x2 + y2 + z2)3/2

)= k

(3~p · ~r(xx+ yy + zz)

(x2 + y2 + z2)5/2− Pxx+ Py y + Pz z

(x2 + y2 + z2)3/2

)= k

(3

(~p · ~r)~rr5

− ~p

r3

)= k

3(~p · r)r − ~pr3

27


מטען צפיפות של אנרגיה 2.6.5

היא: מטענים מערכת (״בניית״) של שהאנרגיה כבר ראינו

U =1

2k∑i6=j

qiqj|~ri − ~rj |

ולכן רצף) (כשיש מטען צפיפות לפי האנרגיה את למצוא עכשיו ונרצה

U =1

2

ˆd3r

ˆd3r′ · k · ρ(~r)ρ(~r′)

|~r − ~r′|

=1

2

ˆd3rρ(~r)

ϕ(~r)︷︸︸︷ˆd3r′ · k · ρ(r′)

|~r − ~r′|

(∗) =1

2

ˆρ(~r)ϕ(~r)d3r

= −ε02

ˆd3r(∇2ϕ)ϕ

מתחת אפס נקבל שלא כדי i 6= j כי היה התנאי נקודתיים מטענים של האנרגיה שמשוואת בעוד כי לב נשים 2.12 הערהזה בעיה לפתור נצטרך כלליים, הם r′ו־ r בה זה במשוואה אך אינסופית, אנרגיה של ממקרים להימנע כדי או לשבר,

נתון. מצב כל עבור

בזהות: נשתמש

~∇ · (ϕ~∇ϕ) = ϕ∇2ϕ+ |~∇ϕ|2

ולכן

(∗) =ε02

ˆd3r|~∇ϕ|2 − ε0

2

ˆd3r~∇ · (ϕ~∇ϕ)

=ε02

ˆd3r| ~E(~r)|2 −

→0︷︸︸︷ε02

ˆd3rϕ~∇ϕ

=ε02

ˆd3r| ~E(~r)|2

גאוס) משפט באמצעות הוא האחרון (המעבר

. ε02 |E|2 מרחבית אנרגיה לצפיפות נוסף ביטוי כן על קיבלנו 2.13 מסקנה

28


הגדיאנט לפי הפוטנציאל הגדרת 2.6.6

~∇ 1

|~r − ~r′|= ~∇ 1√

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

= −1

2· 2(x− x′)x+ 2(y − y′) ˆy + 2(z − z′)z

[[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]3/2

= − ~r − ~r′

|~r − ~r′|3

~E(~r) = k

ˆρ(~r′)(~r − ~r′) · d3r′

|~r − ~r′|3= k

ˆρ(~r′) · ~∇~r

(1

|~r − ~r′|

)· d3r′

= −~∇(k

ˆρ(~r′)

|~r − ~r′|d3r′

)= −~∇ϕ(~r)

ϕ(~r) = k

ˆρ(~r′)

|~r − ~r′|d3r′

פיזיקליים. וחישובים הנחות לבצע מבלי מתמטי, באופן השדה הגדרת דרך ישירות לפוטנציאל הגדרה מצאנו כלומר

הממוצעים הערכים משפט 2.6.7

?+q נקודתי מטען ליד בחלקים!) ולא אחת (כיחידה טעונה כדורית קליפה להעביר בשביל תדרש אנרגיה כמה

כדורית קליפה על הפוטנציאל :2.23 איור

הפוטנציאל: לפי מהתרומה חלק כל של התרומה את לסכום צריך

W =

ˆS

ϕ(s)σda = q′ϕ0

= 4πr20σϕ0

ϕ0 =1

4πr20

ˆS

ϕ(s)da

הממוצע הפוטנציאל בעל q′ נקודתי חלקיק להביא הנדרשת לעבודה שווה הכדורית הקליפה על העבודה כי קיבלנו כלומרכללי: ובאופן ,ϕ0

29


במרכזה. לפוטנציאל שווה כדורית מעטפת על הפוטנציאל ממוצע פוטנציאל, בו שיש מקום בכל 2.14 משפט

המעטפת! בתוך מטען אין כאשר רק נכון המשפט כי לב לשים יש 2.15 הערה

אין בו במקום הפוטנציאל כלומר ,∇2ϕ = 0 לאפלס משוואת על משפט הוא הממוצעים הערכים משפט 2.16 מסקנההמעטפת. זה ובמקרה ,ϕ(s) השפה תנאי לפי הנקבעת מטען,

מקומי. מינימום) או (מקסימום אקסטרמה לעולם יקבל לא ϕ 2.17 מסקנה

הקיצון לנקודת מסביב הנקודות על הממוצעים הערכים משפט את נפעיל אז שכזו, קיצון נקודת קיימת כי נניח הוכחה:במרכז הנקודה ולכן הפוטנציאל, לממוצע שווה להיות צריך באמצע הפוטנציאל ולכן ממנה), גדולים או קטנים כולם (שהם

מסביבה! הנקודות מכל יותר גדולה להיות יכולה לא

לגמרי. יציבות לא או לגמרי יציבות משקל שווי נקודות עם אלקטרוסטטיים שדות אין 2.18 הערה

לאפלס למשוואת לפתרונות היחידות משפט 2.6.8

של מהלינאריות אז ,ϕ(~r), ψ(~r) פתרונות שתי קיימים כי נניח יחיד? שהוא פתרון, לאפלס למשוואת יש אם כי נוכיח איךהם הבעיה של השפה תנאי אם הפתרונות? סכום של הפיזיקלית המשמעות מה פתרון. הוא שלהם הסכום גם הנגזרת

.2ϕ(s) הם השפה תנאי כאשר הןא הפתרונות של הסכום אז ,ϕ(s)

של השפה תנאי אז ,ϕ(s) שפה תנאי לאותם הן הפתרונות ששתי ומכיוון המשוואה, של פתרון הוא ϕ(~r) − ψ(~r) גםלאפס. שווה במעטפת הפוטנציאל הפתרונות, חיסור עבור ולכן ,ϕ(s)− ψ(s) = ϕ(s)−ϕ(s) = 0 הוא הפתרונות חיסורכך המעטפת אל ומהנקודה הנקודה אל מהמעטפת מסלול קיים אז המעטפת, בתוך לאפס שווה שאינה נקודה קימת אם

הממוצעים. הערכים למשפט בסתירה אקסטרמה נקודת קיימת ולכן ויורד, עולה שהוא

curlו־ סטוקס משפט 2.6.9

האינטגרל את להביע ניתן ולכן ,a1, a2 חלקים לשני המסלו את נחלק .I =¸σa~E · d~s המסלולי האינטגרל על נסתכל

.I = I1 + I2 כ־ המסלולי

curl :2.24 איור

מאוד: קטן הוא a שטחם אז מסלולים של רב למספר המסלול את את נחלק בו המצב על נסתכל

curl ~E · a = lima→0

1

a

ˆσa

~E · d~s

curl ~E = lima→0

1

a

30

מוליכים 3

המעטפת: על הקטנים המסלולים כל כסכום הפוטנציאל את להגדיר את להגדיר ניתן זו ומהגדרהˆa

curl ~E · d~a =

˛σa

~E · d~s

סטוקס. מספט הוא הנ״ל השוויון

.. את לחשב בשביל

dIz = Ex(x+dx

2, y)dx+ Ey(x+ dx, y +

dy

2)dy

−Ex(x+dx

2, y + dy)dx− Ey(x, y +

dy

2)dy

=Ey(x+ dx, y + dy

2 )− Ey(x, y + dy2 )

dxdxdy

−Ex(x+ dx

2 , y + dy)− Ex(x+ dx2 , y)

dydxdy

=

(∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

)dxdy

קרטזיות: בקואורדינטות האופורטור את לחשב מנת על ולכן

curl ~E · z =∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

curl ~E =

(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z

)x+

(∂Ex∂z− ∂Ez

∂x

)y +

(∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

)z

=

∣∣∣∣∣∣ x y z

∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ex Ey Ez

∣∣∣∣∣∣ = ~∇× ~E

כי הוא הזה השוויון של והמשמעות ~∇ × ~E = 0 כי נובע ומכך ~∇ × ~E = −(~∇ × ~∇ϕ) = 0 כי (תרגיל) להוכיח ניתןמשמר. שדה הינו החשמלי השדה

הרמונויות. פונקציות נקראים לאפלס משוואת של הפתרונות 2.19 הערה

.n = 0, 1, 2 עבור ~∇× ~E וחישוב (t ⊥ r ש־ כך כיוון הוא t) ~E = λrn t לפי מימדי) (דו השדה פיתוח לבית: תרגיל

מוליכים 3

זרם עובר לא ובמבודד מטענים, תנועת חשמלי, זרם עובר במוליך כאשר ומבודדים, למוליכים בטבע חומרים לקטלג ניתןבינהן. שונות דרגות אלא מובדדים, לגמרי או מוליכים לגמרי חומרים קיימים לא במציאות חשמלי.

עקב לנוע יתחילו המטענים ואז המוליך, מן בחלק רק מרוכז המטען ההתחלתי שבמצב מוליך, אובייקט איזשהו על ניסתכלאנו בקורס, זה בשלב כרגע, עליהם. הפועל חיכוך דמוי כוח עקב יעצרו המטענים מסויים בשלב בינהם. הדחייה כוחותמצב בין (כלומר משקל בשיווי החומר בהם במצבים רק נעסוק ולכן תנועה, ללא כלומר באלקטרוסטטיקה, רק עוסקים

סופי). למצב התחלתי

המוליך שפת ולכן משקל, בשיווי היה ולא נע היה המטען אחר כיוון כל עבור כי לפניו, ניצב המשטח על החשמלי השדהפוטנציאל. שווה משטח היא

31

מוליכים 3

ולכן מתאפס, החשמלי השדה המוליך בתוך ולכן לאפלס, משוואת של הפתרנות ע״י שפתו כעל הפוטנציאל המוליך, בתוךהוא המוליך שיוצר השדה המוליך. שפת על מרוכז מהטען כל

σ · daε0

= E · da⇒ E(s) =σ(s)

ε0

כללי מוליך :3.1 איור

ולהשוואת השני גוף על להתפזר ישאף המטען אחר, לכדור מוליך כבל בעזרת טעון גוף נחבר אם – הארקה 3.1 הגדרההמטען כל כי לאמר ניתן אז הטעון, לגוף ביחס גדול מאוד הוא הכבל את מחברים אליו השני הגוף אם הפוטנציאלים. את

לאינסוף. באנלוגיה לאפס שווה יהיה הפוטנציאל וכי הגדול לגוף יעבור

הארקה :3.2 איור

התנהגות על המסקנות לאור כדור. כל על הפוטנציאל את למצוא ונרצה מוליך, כדור בתוך מוליך כדור על נסתכל בעיה:נקודה: בכל הפוטנציאל חישוב לצורך כדוריות קליפות שתי כעל זה מצב על להתסכל נוכל מוליכים,

ϕ1 = kQ1 +Q2

R1

ϕ2 = kQ2

R2+ k

Q1

R1

32

מוליכים 3

יהיה מה מוליך. בתיל הכדורים שני את מחברים .R1, R2 ורדיוסים Q1, Q2 מטענים בעלי מוליכים כדורים שני בעיה:החיבור? לאחר כדור בכל המטען

כדורים שני חיבור :3.3 איור

משוואות: שתי נקבל הפוטנציאלים והשוואת המטען משימור פתרון:

Q1 +Q2 = Q′1 +Q′2 = Qr

ϕ′ = kQ′1R1

= kQ′2R2

הוא: המשוואות שתי של והפתרון

Q′1 =QTotalR1

R1 +R2

ϕ′ = kQTotalR1 +R2

= kQTotalRTotal

המטענים הנקודתי, מהמטען כתוצאה במרכז. נמצא דווקא שלאו נקודתי מטען יש טעון לא מוליך כדור בתוך בעיה:השפה על המטען התפלגות מהי הכדורית. הקליפה על יסתדרו זה, את זה מבטלים הרגילים שבמצב המוליך בתוך

לקליפה. מחוץ השדה ומהו

מוליך כדור בתוך נקודתי מטען :3.4 איור

כי נקבל גאוס חוק ולפי רדיאלי, יהיה ממנו היוצא השדה אז שווה, הוא המוליך של שפה על שהפוטנציאל מכיוון פתרון:הכדור: במרכז היה הנקודתי המטען בו למצב זהה תיהיה המטען התפלגות

ϕ(r) = kq

r

המוליך. הכדור ממרכז נקודתי מטען של כמו יראה השדה גם ולכן

33

המראות שיטת מוליכים3.1 3

המראות שיטת 3.1

המטען שיוצר השדה מה לאפס. שווה עליו הפוטנציאל ולכן מאורק אינסופי ממשטח h במרחק נמצא נקודתי מטען בעיה:המשטח? על

אינסופי משטח ליד נקודתי מטען :3.5 איור

דיפול של השדה קווי כי מסויים), במרחק שלילי ואחד חיובי אחד מטענים, (שני לדיפול זהה הזה המצב כי נראה פתרון:ולכן: קבוע, הוא בינם הפוטנציאל בו משטח הם אף יוצרים

R2 = h2 + r2

p = 2qhz

~E(z = 0) = k−pR3

= −k 2qh

(r2 + h2)3/2z

נקודתיים. מטענים שני עבור הקורס של הראשון בשבוע שחישבנו לזו זהה תוצאה קיבלנו כלומרלמשטח בסמוך הנקודתי המטען בעקבות שנוצרת המשטח על המטען התפלגות את השדה בעזרת לחשב עכשיו ניתן

המערכת): את את לאזן כדי מהאינסוף מטענים מביא המשטח (כלומר האינסופי

σ(r) = ε0E(r)

q′ =

ˆσ · da =

ˆ ∞0

2πrσ(R) · dr

= −qˆ ∞

0

hr · dr(r2 + h2)3/2

= qh√

r2 + h2|∞0

= −q

ע״י אחרת לבעיה הנתונה הבעיה השלמת ע״י נוספות בעיות לפתור מנת על האחרונה בבעיה להשתמש ניתן 3.2 מסקנהוכו׳. היפוך סימטריה, סיבוב,

פואסון למשוואת נומרי פתרון 3.2

ועוד החיצוני), המעטפת על אפס (למשל השפה תנאי את נקבע המרחב. את המחלקת ״רשת״ מייצרים – ההרפייה שיטת(נקודות השכנות הנקודות על נסתכל הנקודות. בשאר הערכים את למצוא היא המטרה במרכז. ידועות נוספות נקודות

34

מוליך על השדה 3.3 מוליכים 3

זו ובצורה השכנים, של הממוצע בתור בנקודה הפוטנציאל את ונסמן לחשב, נרצה אותה לנקודה ישיר) באופן המחוברותאך לנו, החסרות נקודות לנחש נצטרך התהליך בתחילת הפוטנציאל. את בחלקים ונחשב הרשת, נקודות כל על נעבור

האמיתי. לפוטנציאל קרובה תהיה הסופית התוצאה מספיק, גדולה רשת עבור

מוליך על השדה 3.3

הגוף? של שונים בחלקים שיווצר השדה יהיה מה

ϕ ∝ ER

E ∝ ϕ

R

אשר קטן, מאוד כדור אליו וצמוד גדול מאוד ככדור בקירוב השפיץ את להציג ניתן במוליך. ״שפיץ״ קיים כי נניח ולכןעל ״שפיץ״ על השדה ולכן יותר, גדול השדה יותר קטן Rש־ ככל לעיל, שמצאנו מהיחס שווה. הוא שנים על הפוטנציאל

גדול. מאוד הוא המוליך

קיבול 3.4

ונגדיר עליו, הפוטנציאל בין המוליך קליפת על המטען בין ישר יחס קיים אז ,ϕ פוטנציאל בעל כולשהו, מוליך גוף בהינתןהגוף של הקיבול קבוע בתור הפרופורציה מקדם את

Q = Cϕ

[C] =Coloumb

V olt= Farad

ϕ = kQ

R

Q =R

kϕ⇒ CSphere =

R

k

בסנטימטר. אורך יחידות פשוט הן C של היחידות k = 1 בהן cgs של ביחידות

קבל 3.4.1

של הפוטנציאל את נגדיר .−Qב־ טעון והשני Q במטען טעון אחד בו מוליכים, גופים משני המורכבת מערכת הוא קבלוקיים ,∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 בינם הפוטנציאלים הפרש על נסתכל אם .ϕ2 השני ושל ϕ1 בתור חיובית) (הטעון הראשון הגוף

מהם: אחד כל על המטען לגודל הפוטנציאלים הפרש בין ישר יחס

|Q| = C∆ϕ

המערכת. של גיאומטרית תכונה הוא הקיבול 3.3 הערה

של קבל מערכת הגדרת לפי היא בודד, גוף של הקיבול הגדרת כי לראות ניתן הקבל, של זו הגדרה מתוך 3.4 מסקנהבאינסוף. מטען הקבל על מטען לכל להתאים ניתן כי האינסוף, עם הגוף

35

קיבול מוליכים3.4 3

לוחות קבל 3.4.2

את למצוא נוכל אז σ = QA נגדיר מהשני.אם dאחד במרחק ,−Qו־ Q ב־ הטעונים A שטח בעלי לוחות שני על ניסתכל

ע״י הקיבול

ϕ+ − ϕ− = Ed

E =∆ϕ

d

σ = ε0E = ε0∆ϕ

d=Q

A

Q = ε0A

d∆ϕ

CSlates = ε0A

d

כדור בתוך כדור קבל 3.4.3

,Qב־ הטעון (R2) יותר גדול מוליך כדור בתוך הנמצא ,−Qב־ הטעון (R1) מוליך כדור של ראינו שכבר בדוגמה נזכרולכן:

ϕ1 = 0

ϕ2 = kQ

R2− k Q

R1

C =1

k· R2R1

R2 −R1

קבלים ומערכות סימונים 3.4.4

לוחות): קבל דווקא (לאו כלשהו לקבל כללי סימון

לקבל סימון :3.6 איור

בטור: המחוברים קבלים של מערכת על להסתכל עתה ניתן

36

קיבול 3.4 מוליכים 3

קבלים מערכת :3.7 איור

המטען). אותו את ייצר הקיים הפוטנצילים הפרש שעבור כך בודד מקבל שנדרש (הקיבול השקול הקיבול את למצוא ונרצהבעוד זהה, יהיה לוח כל על המטען בהכרח אז יחדיו, מחוברים האמצעים הלוחות וכי אפס, הוא המטען כל שסף מכיוון

ולכן: ישתנה הפוטנציאל

Q

C= ∆ϕ = ∆ϕ13 = ∆ϕ12 + ∆ϕ23 =

Q

C1+

Q

C2

1

C=

1

C1+

1

C2

1

C=

∑i

1

Ci

פעם. כל סימן מחליפים הלוחות כאשר זהה, הוא קבל כל על המטען כי לב נשים

במקביל: המחוברים קבלים מערכת של הקיבול את למצוא נרצה דומה, באופן

במקביל המחוברים קבלים :3.8 איור

זהה: קבל כל על הפוטנציאל אבל לוח, בכל שווה בהכרח לא המטען זה, במצב

Q = Q1 +Q2 = C1∆ϕ1 + C2∆ϕ2 = C∆ϕ

C = C1 + C2

C =∑i

Ci

37


קבל טעינת 3.4.5

הקבל: לטעינת הנדרשת העבודה מהי

dw = ∆ϕdq =q

Cdq

W =

ˆ Q

0

qdq

C=Q2

2C=

1

2C∆ϕ2

חשמלית, אנרגיה אוגר הקבל עבודה השקעת ע״י – אלקטרוסטטיקה עבור קפיצים כמו הם קבלים כי קיבלנו הזה באופןמכנית. אנרגיה אוגר הוא עבודה השקעת שע״י לקפיץ בדומה

ε02

ˆE2dV =

ε02E2Ad

=ε02

(∆ϕ)2

d2Ad

=1

2ε0A

d∆ϕ2

=1

2C∆ϕ2

כלשהו. קבל טעינת עבור תוצאה אותה את קיבלנו כללי באופן גם כלומר

דיאלקטרי חומר 3.4.6

המפעילים הכוחות בגלל מבודד. חומר לתוכו ונכניס ,Q0 = C0∆ϕ כי כמובן ומתקיים ,Q0ב־ הטעון לוחות קבל על נסתכלעל מספיק אך דיפולים), החומר בתוך נוצרים כלומר ) חלש באופן להתקטב עליו הפנימיים למטענים גורמים הקבל לוחותהחומר של תכונה שהוא εr פי גדל הקיבול כי נקבל החיבור אחרי הקבל. על המטען את ולהקטין לכוחות להתנגד מנת

המבודד.

Q = εrQ0 = εrC0∆ϕ

C = εrC0

קבל בתוך דיאלקטרי חומר :3.9 איור

38


במרחב שדה בתוך דיפול מתנהג כיצד 3.4.7

כי אפס, תהיה שנעשה העבודה סך z בכיוון הדיפול את נניע אם במרחב. z בכיוון שדהאחיד בתוך דיפול על נסתכלהדיפול, על כוח שיופעל מנת על הזוג). על מומנט יופעל כן (אבל זה את זה יבטלו בסימן ההפוכים המטענים על הכוחותהשדה כי ההנחה ותחת שונים, יהיו כוח כל על שפועלים שהכוחות מנת על מאפס שונה להיות צריך זה בכיוון הגרדיאנט

הכוח: את נמצא שווה, בהכרח לא הוא z בכיוון

שדה בתוך דיפול :3.10 איור

Fz = q(E+z − E−z ) = q

∂Ez∂z·∆z

= q∂Ez∂z

d cos θ

= p cos θ∂Ez∂z

= p cos θ(~∇Ez)z ⇒ ~p · ~∇Ez~F = (~p · ~∇) ~E

הדיפול? על הפועל המומנט מהו דיפול. על הפועל לכוח כללית נוסחה היא זו ונוסחה

~N = ~r × ~F = ~p× ~E

N = rF =

F︷︸︸︷qE

r︷︸︸︷d sin θ

= pE sin θ

קווי של להדגמה (בדומה החשמלי השדה בכיוון אותו ליישר המנסה מומנט פועל חשמלי בשדה דיפול על 3.5 מסקנהבמרחב). השדה בכיוון על הסתדרו אשר סולט גרגרי פוזרו בה השדה

נקבל: הזווית לפי המומנט על אינטגרציה לפי דיפול? של הפוטנציאלית האנרגיה מהי

Ue = −pEcosθ = −~p · ~E

בתוך השדה לפי מסתדרות דיפולים, מהוות הן הלו החומר, בתוך המולקולות מדוע ברור הדיפולים, של זו הבנה מתוךלהשפיע יכול המובדד החומר וכך השלילים המטענים לכל מעל קצת נמצאים החיוביים המטענים בו המצב נוצר ולכן הקבל,

הקבל. על

39


הפועל הפוטנציאל את למצוא ונרצה כלשהי, צירים מערכת ונבחר ,ρ(~r) במרחב, כלשהי מרחב התפלגות על עתה נסתכלבהתפלגות): מיקום הוא ~r′ו־ במרחב, הנקודה הוא ~r) במרחב

ϕ(~r) = k

ˆρ(~r′)d3r′

|~r − ~r′|

הקוסינוסים: משפט באמצעות

= k

ˆρ(~r′)d3r′

(r2 + r′2 − 2rr′ cos θ)1/2

= k1

r

ˆρ(~r′)d3r′

(1 + ( r′

r )2 − 2 r′

r cos θ)1/2

:(1 + ε)−1/2 = 1− 12ε+ 3

8ε2 של טיילור טור באמצעות

=k

r

ˆd3r′ρ(r′)

[1− r′

rcos θ + (

r′

r)2 3 cos2 θ − 1

2+O((

r′

r)3)

]=

k

r

ˆρ(~r′)d3r +

k

r2

ˆr′ cos θρ(~r′)d3r′ +

k

r3

ˆr′2

3 cos2 θ − 1

2ρ(~r′)d3r′ +O((

r′

r)3)

= kQTotalr

+

kr2

´~r′·rρ(~r′)d3r⇒︷︸︸︷

k

r2r

ˆ~r′ρ(~r′)d3r′︷︸︸︷k~p · rr2

השנייה והתרומה נקודתי, מטען כמנו נראת המטען התפלגות גדול מספיק במרחק כי לכך מתאימה הראשונה התרומהבמרחב. דיפול של התרומה בעצם היא

לסיכום:

~F = (~p · ~∇) ~E

~Ne = ~p× ~E

Ue = −~p · ~E⇒ ~F = −~∇u = ~∇(~p · ~E)

ϕ(~r) =

Monopole︷︸︸︷kQTotalr

+

Dipole︷︸︸︷k~p · rr2

+

Quadropole︷︸︸︷k

r3

ˆr′2

3 cos2 θ − 1

2ρ(~r′)d3r′

, דיפול) מומנט גם נקרא זה (ביטוי ~p =´~r′ρ(~r′)d3r′ האינטגרל ע״י גם ~p הדיפול וקטור את להגדיר ניתן כי לב נשים

לעיל. בביטוי השלישי בגורם הדמיון ולכן

דיאלקטרים לחומרים בחזרה 3.4.8

מקוטב? להיות יכול מוליך לא חומר איך

40


המטענים כל ראינו, שכבר כפי וכך החשמלי, השדה סביב יסתדרו הדיפולים אז להסתובב, חופשיים הדיפולים אם .1הקיטוב. ויווצר השלילים המטענים ״מעל״ קצת יהיו בחומר החיוביים

אלקטרונים ו״ענן״ חיובי כגרעין האטום על נסתכל אם אז להסתובב, יכולים ולא מוצק חומר בתוך לכודים הם אם .2קלה הפרדה תיווצר שוב וכך השדה, בכיוון ויתעוות יתעקם ה״ענן״ אז האטום, סביב במרחב מטען התפלגות בעל

לחיוביים. השלילים המטענים בין

ליחידת הדיאלקטרי החומר בתוך הנוצרים הדיפולים כמספר N את נגדיר דיאלקטרי. חומר נמצא בו קבל על שוב נסתכלהקיטוב. צפיפות וקטור הוא ~P כלומר ,~PdV = ~pNdV להביע נוכל בסה״כ ולכן בודד, דיפול כוקטור ~p את נפח,

העמודה. שיוצרת הפוטנציאל את לחשב נרצה .~P ובעלת dA השטח בעלת וארוכה גדולה עמודה על נסתכלוהמרחק ~r1 הוא התחתון והקצה ~r2 הוא העליון הקצה של המרחק כאשר העמודה, על dz קטעים של התרומה את נסכום

.θ היא בינהם והזווית ~r הוא העמודה על מהמקטע

dϕA = k

p︷︸︸︷P · dA · dz · cos θ

r2

ϕA = kPdA

ˆ z2

z1

dz cos θ

r2= kPda

ˆ r2

r1

−drr2

= kPdA

(1

r2− 1

r1

).q = PdA המטען בעלי העמודה בקצוות סימן שוני נקודתיים מטענים שני היוצרים לפוטנציאל הדומה פוטנציאל וקיבלנוהמטען צפיפות כי נקבל אז השני, ליד אחד בנמצאים dz קטעים שני ניקח אם כי מההבנה גם זו לתוצאה להגיע ניתןולכן ניטרלית, בסה״כ היא הקטעים של המשותפת השפה ולכן שלילית, והתחתונה חיובית היא מקטע כל של העליונה

העמודות. קצוות של התרומה רק תשאר

במרחב שטח למצוא בשביל אלו, בעמודות להשתמש נווכל עכשיו

41


דיפולים מעמודות המורכב במרחב גוף :3.11 איור

מהגוף הנוצר במרחב שפועל הממוצע השדה על לדבר עכשיו נוכל

< ~E >=1

V

ˆV

~EdV

הראינו כבר אך הפוטנציאל, על מסלולי כאינטגרל השדה מהגדרת היא הגוף בתוך הממוצע השדה על לדבר שנוכל הסיבהאף על הגוף, בתוך העוברים קרובים מסלולים שני ניקח אם ולכן המחושב, השדה על משפיעה לא המסלול צורת כינוכל טוב בקירוב ולכן תהוצאה, אותה את לתת צריך עדיין האינטגרל כל שונה, להיות יכול המסלול על שהפוטנציאל

כי נובע האינטגרל של מהלינאריות מתמטי, באופן הגוף. בתוך קטן בחתך השדה ממוצע על לדבלˆS

< ~E > ·d~s =<

ˆSi

~E · d~s >

נכון השונים הגדלים בין שמצאנו הקשרים כל גם ומהלינאריות ,< ρ ו־< < ϕ > ,< P > על גם לדבר נוכל אופן, באותוהגדלים. ממוצע עבור גם

,σ = P כאשר עצמו בפני קבל בתור עליו להסתכל נוכל כי לב ונשים לקבל, מחוץ המקוטב הדיאלקטרי החומר נסתכל.∆ϕ = P

ε0dו־ ~E = −~P

ε0(כאשר σ′ מטען מושרה הדיאלקטרי החומר ועל σב־ טעון הקבל כאשר קבל, של לוחות בין שוב החומר על נסתכל עכשיו

הקבל). לוחות על המטען מכיוון הפוך המושרה המטען

σ0 = σ + σ′ = εrσ0 − PP = (εr − 1)σ0 = (εr − 1)ε0 ~E = ε0χeE

χe = εr − 1

.Suseptability ־ מניחות נקרא χ הגודל כאשר

Pi = ε0χijEj הוא הוקטורי הקשר .~P ו־ ~E בוקטורים מדובר בעצם אך סקלרי, קשר הוא שכתבנו הקשר 3.6 הערההוקטורים. רכיבים הם Ejו־ Pi כאשר

בכל השדה אזי דיאלקטרי, בחומר המרחב את ונמלא טעונים, מוליכים גופים במרחב קיימים אם כללי, באופן 3.7 הערה

. ~E =~E0

εrיהי המרחב

כיוון. באותו אחיד קיטוב בעל כדור של המטען צפיפות את למצוא ננסה בעיה:

42


הכדור. שפת על רק להיווצר יכול החורג המטען הגדרה, פי על ניטרלי אשר מקוטב, בגוף שמדובר מכיוון פתרון:

אחיד קיטוב בעל כדור :3.12 איור

ולכן: הציר לבין השפה על מיקום בין הזווית על להסתכל מספיק ולכן הקיטוב, בכיוון הציר סביב סימטריה קיימת

σ(θ) = P cos θ

המטען הוא Q כאשר ולכן ,~p0ב־ נסמן אותה הכדור, של הזו למערכת השקול הדיפול את למצוא גם עכשיו נרצהולכן: כי מתקיים אזי הקטן, הדיפול מטעני בין המרחק וקטור הוא ~sו־ המקוטב,

~p0 = Q~s =4π

3R3

~P︷︸︸︷N q~s︸︷︷︸

~p

=4π

3R3 ~P

לשדה: מחוץ והפוטנציאל השדה את לחשב מנת על זה בביטוי להיעזר נוכל עכשיו

~Eouter = k3(~p0 · r)r − ~p0

r3

ϕouter(~r) = kp0 cos θ

r2

הוא: הפוטנציאל כי נקבל עצמה השפה על וכאשר

ϕR(θ) =P

3ε0R cos θ = ϕR(z) =

Pz

3ε0

את מקיים השפה על לפוטנציאל שווה בפנים שהפוטנציאל הפתרון אזי ניטרלי, הוא המטען הכדור שבתוך מכיווןגזירת ע״י ולכן הכדור, בתוך הפוטנציאל אכן זהו מהיחידות ולכן מוליך), עבור לטיעון (בדומה לפלאס משוואת

הגרדיאנט): (לפי הפוטנציאל

~EInner = − P

3ε0z

מספיק השדה את המייצר הגוף כי ונניח קבוע, שדה בתוך הנמצא דיאלקטרי מחובר העשוי כדור עתה נסתכל דוגמא:הכדור? יקוטב כיצד קבוע. נשאר והוא עצמו השדה על משפיע אינו שהכדור כך ורחוק גדול

43


לאחר במרחב השדה ולכן , ~E השדה ככיוון הוא ~P ולכן השדה, בכיוון מקוטב דיאלקטרי חומר כי ראינו כבר פתרון:הוא הקיטוב

~E = E0z + ~Ep

הוא השדה הכדור ובתוך

Ez,in = E0 −P

3ε0= E0 −

P︷︸︸︷ε0

χ︷︸︸︷(εr − 1)Ez,in

3ε0

Ez,in =3

εr + 2E0

הקיטוב: את לחשב ניתן ומכאן

~P = ε03(εr − 1)

εr + 2E0z

לכדור: מחוץ השדה את לחשב גם נוכל ועכשיו

Eout = E0z + ~Ep

מקודם. שמצאנו ~P הדיפול ע״י הנוצר השדה הוא ~Ep כאשר

מחוץ השדה שלמדנו כפי ולכן דיאלקטרי, חומר יש המרחב בכל כאשר Q מטען בעל מוליך כדור על נסתכל דוגמא:,φS = Q

εrε0כי נקבל ישירות השטף את נחשב אם רדיאלי הוא שהשדה מכיוון ולכן , ~E = k Q

εrr2 r הוא למוליךבמעטפת? הכלוא במטען ורק אך תלוי השטף כי האומר גאוס חוק עם מסתדר הזה השטף איך השאלה ונשאלת

הקיטובים, בין העוברת במעטפת ובפרט רדיאלי, באופן במרחב מקוטב הדיאלקטרי שהחומר הוא לבעיה הפתרוןהדיפולים של השני שהחלק בעוד למעטפת מחוץ יצאו מהמטענים חלק ניטרלי, הוא במרחב המטען שסך למרות ולכן

הכולל. המטען על משפיע בסה״כ אשר נוסף, מטען קיים המעטפת בתוך ולכן המעטפת, לתוך יכנסועבור גם כרגיל יתקיים גאוס משפט εrE בתור השדה את נכתוב אם כי לב שנשים ע״י מתמטית, גם להראות נוכל

ולכן: המוליך על ˆהמטעןS

εr ~E · d~a =

ˆV

ρfreeε0

dV

~∇ · (εr ~E) =ρfreeε0

את הכוללת המעטפת בתוך הנמצא מהמטען שונה אשר המוליך, על הנמצא לנוע החופשי המטען ρfreeהוא כאשרבחוק להשתמש נרצה אם ולכן הדיאלקטרי, בחומר החסום המטען הוא ρblockedו־ הדיאלקטרי בחומר המטענים

לכתוב: נוכל כללי באופן לעיל. התיקון את להכניס נצטרך קיום, בו משתמשים שאנו כפי גאוס

~∇ · ~E =ρf + ρbε0

בהמשך: לנו היעזרו נוספות משוואות לקבל נוכל לעיל וממשוואות

~∇ · ((εr − 1) ~E) = −ρbε0

~∇ · ~P = −ρb(

∆P

∆z= ρ⇒ P = σ

)~∇ · (ε0 ~E + ~P ) = ρf

~D := ε0 ~E + ~P~∇ · ~D = ρf

44

אלקטרודינמיקה 4

ההעתקה. שדה להיות ~D את נגדיר כאשר

באופן כי מסתבר איך לאפלס, למשוואת בדומה ~∇ · ~D באמצעות ~D את למצוא נוכל כי מצפים שהיינו למרות 3.8 הערהשקיימים (למרות המטען צפיפות בעזרקת אותו למצוא ניתן תמיד לא ולכן משמר, שדה לא הוא כלומר ,~∇× ~D 6= 0 כללי

אותו). למצוא ניתן כן בהם מסויימים מקרים

אלקטרודינמיקה 4

חשמלי זרם 4.1

במרחב. שליליים, או חיוביים מטענים, של תנועה הוא חשמלי זרם 4.1 הגדרהלימין, משמאל שליליים מטענים לתנועת לשמאל מימין חיוביים מטענים של תנועה בין הקבלה קיימת כי לב לשים ישובאופן שליליים) כניסת או חיוביים עזיבת (בגלל השלילי הכיוון לעבר משתנה ימין בצד המטען סך המקרים שבשני מכיוון

שמאל. בצד דומה

בתוך למשל שקורה כמו בריק, גם לנוע יכול זרם אך מוליך, חוט בתוך למשל כלשהו, תווך בתוך זרם על נדבר בד״כ •לאנודה. הקטודה בין המתחים הפרש בגלל בריק עוברים אלקטרונים בה ואנודה, קטודה עם ריק שפופרת

.[I] =[ColombSec

]הן: חשמלי זרם של היחידות •

כי נניח בד״כ באלקטרודינמיקה, דומה באופן נייחים, המטענים בהן לבעיות עצמינו את הגבלנו באלקטרוסטטיקה, •עמיד. הוא הזרם

I(t) = C כלומר בזמן, משתנה ולא קבוע הוא נתון רגע בכל הזרם אך נעים, המטענים בו זרם הוא עמיד זרם 4.2 הגדרה.C כלשהו קבוע עבור

זרם? נמדוד איך 4.1.1

כמות או נתון, ברגע דרכו העוברים המטענים מספר את נמדדוד אשר במרחב משטח להגדיר נצטרך זרם, להגדיר בשבילנתון. ברגע בו שעוברת המטען

חתך דרך העובר מטען :4.1 איור

45

חשמלי זרם אלקטרודינמיקה4.1 4

N כאשר ולכן כיוון, ובאותו ~u מהירות באותו נעים המטענים כל כי שנניח תחילה ע״י הזרם את למדוד עכשיו נוכל ולכןהרכיב את נחפש לשטף ובדומה ,~u∆t של מרחק נעים החלקיקים נתון ברגע ולכן ,q מטען בעלי החלקיקים מספר הוא

דרכו. העוברים המטענים של למשטח המואנך

Ia =Nqau∆t cos θ

∆t= Nq~u · ~a

וניתן הממוצעת, המהירות על להסתכל ניתן הכיוון, ובאותו המהירות באותה נעים המטענים כל כי נדרוש לא אם גםלמהירות: אחד חלקיק של התרומה לפי טוב קירוב זהו כי לראות

ui = Ui + 〈u〉〈ui〉 = 〈u〉

כי נקבל כו׳) אבוגדו, מספר (ע״י לעיל במשוואה ערכים נציב אם אמפר, אחד של בזרם נע? באמת הזרם מהירות באיזו

1 = 6 · 1023 · 106 · 1.6 · 10−19 · 10−6u

u = 10−5 m

sec

של גודל בסדר היא בזרם החלקיקים מהירות חומר, לשרוף בשביל חזק המספיק זרם שהוא אמפר, של בזרם גם כלומרבשנייה. שערה עובי חצי

צפיפות זה לגודל ונקרא החלקיקים, של מהירויות כשדה ~J := Nq~u ונגדיר ,Ia = Nq~u · ~a המשוואה על שוב נסתכלע״י הזרם את להגדיר נוכל ולכן הזרם,

Ia = ~J · ~a

נקבל במרחב קבוע בהכרח שלא כלשהי זרם וצפיפות כלשהו שטח עבור כללי, באופן עכשיו

IS =

ˆS

~J · d~a

הזרם. צפיפות של השטף הוא הזרם ואכן החשמלי, השטף הגדרת לבין הנ״ל, המשוואה בין דמיון קיים כי לב נשים

אפסת הוא סגור משטח דרך הזרם אם ורק אם עמיד זרם הוא זרם כי להגדיר נוכל לזרםת הנ״ל ההגדרה באמצעותמתמטי: ובסימון מהמשטח, שיצאה הזרם כמות היא שנכנסה הזרם כמות כלומר

IS =

˛S

~J · d~a =

ˆV

~∇ · ~JdV = 0

⇒ ~∇ · ~J = 0

הרציפות משוואת 4.1.2

מקודם: האינטגרלים לשוויון הגענו איך ונראה הזרם לחישוב האינטגרל על שוב נסתכל

Is =

˛S

~J · d~a = −∂QS∂t

46

אוהם חוק 4.2 אלקטרודינמיקה 4

נתון ברגע המעטפת בתוך הכלוא המטען כלומר

−∂QS∂t

= − ∂

∂t

ˆV

ρdV

=

ˆV

~∇ · ~JdV

~∇ · ~J = −∂ρ∂t

שלה. פרטי מקרה היא עמיד זרם עבור התוצאה כאשר הרציפות, משוואת נקראת האחרונה המשוואה

אוהם חוק 4.2

החשמלי, השדה בגלל נעים החשמלי בזרם החלקיקים בד״כ אך החשמלי, הזרם של התנועה ממקור התעלמו כה עדהבא הקשר ומתקיים

~J = σ ~E

מדובר כלומר ,Ji = σijEj יתקיים יותר כללי ובאופן החומר, בסוג התלוי סקלר והוא סגולית, מוליכות נקרא σ כאשר.(Pi = ε0χijEj ) הקיטוב הגדרת עבור ציינו שגם כפי זו, בהגדרה נשתמש לא בד״כ אך בטנזור,

חשמלית התנגדות 4.2.1

ולכן J ∝ u כלומר למהירות, פרופורציונלית הזרם צפיפות כי לב נשים

J ∝ u = at =F

mt =

qE

mt

החלקיקים את שיאיץ שדה ללא פנימיות התנגשויות בעקבות הזרם, בתוך נעים החלקיקים כאשר כי הוא הנ״ל, ליחס הסיבהלהגדיר נוכל ולכן יקטן, הזרם

p(t) =1

2e−t/τ

האופייני הזמן או המהירות, של האופיינית הדעיכה הוא τ כאשר לדעוך, הזרם של הממוצעת למהירות ההסתברות בתורלהתנגשויות.

שהמהירות ההסתברות לבין הרגעית המהירות בין הקושר האינטגרל ע״י הממוצעת המהירות את לחשב נוכל זה נתון בעזרתלאינסוף). שואפת הייתה המהירות p(t) (אילולי תקטן

〈u〉 =

ˆ ∞0

u(t)p(t)dt

=

ˆ ∞0

at

τe−t/τdt = aτ =

qE

mτ

באמצעות הממוצעת המהירות את להביע ניתן ולכן סטטיסטי, משקל שיווי של במנצב נמצאים אנו כי מניחים אנו באינטגרל.τ

47

אוהם חוק אלקטרודינמיקה4.2 4

במפורש: לכתוב נוכל ועכשיו

~J = Nq 〈~u〉 =Nq2τ

m~E ⇒ σ =

Nq2τ

m

הקשרים וקיימים E שדה קיים ובתוכו ,V מתח עליו וקיים ,L ואורך A חתך בעל גליל על עכשיו נסתכל

V ∝ E

I ∝ J

I ∝ V

J ∝ E

מוליך חוט בתוך התנגדות :4.2 איור

(לשים ובנוסף ,V = RI כאשר [R] = Ωohm ־ אוהם של ביחידות הנמדד R ע״י V ל־ I בין היחס את להביע נוכל ולכןמוליכות) מציין פה σ כי לב

J =I

A= σE = σ

V

L

V =L

σAI ⇒ R =

L

σA

הסגולית. ההתנגדות הנק׳רא ρ = 1σ גם נגדיר

מתקיים כי כבר הראינו

~J = σ ~E

:σב־ כתלות משתנה השטף איך השאלה נשאלת ולכן שווה, שניהם על השטף ולכן

קבוע. השדה של השטף גם ולכן קבוע σ ~E של השטף גם ולכן קבוע ~J על השטף אז קבוע, σ אם •

של חתך בתוך שעוברת המטען כמות כי קבוע, עדיין ~J על השטף אז ,xה־ ציר לאורך דועכת פונקציה הוא σ אם •גם אז קבוע, ~J על שהשטף מכיוון חתך. בכל קבוע תישאר אליו, לזרום אחר מקום שום לא שאין מכיוון מוליך,הדיורגנס לפי אז גדל, ~E של השטף אם השוויון. על לשמור כדי גדל ~E בהכרח אז דועך σש־ מכיוון אך ,σ ~E על

הזורמים. אלו מלבד המוליך, בתוך נוספים מטענים קיימים

48

אוהם חוק אלקטרודינמיקה4.2 4

השינוי את היוצר זה (הוא Q מטען קיים בינהם בהפרדה כאשר ,σ1, σ2 במרחק קבועים קטעים לשני מחולק σ אם •יתקיים אז ,(σב־

J =I

A= σ1E1 = σ2E2

E1 =J

σ1, E2 =

J

σ2

E2 − E1 = J

(1

σ2− 1

σ1

)=

(∗)︷︸︸︷σ

ε0=

Q

Aε0

Q = ε0I

(1

σ1− 1

σ2

)הקטע. של המוליכות ולא באמצע בחתך משטחית מטען צפיפות היא (∗)

חשמלי מעגל בתוך נגד 4.2.2

קבל): של לסימול (בדומה הבא הסימול ע״י שלו במבנה תלות ללא ,R כלשהי התנגדות בעל נגד לסמן נוכל מעתה,

לנגד כללי סימול :4.3 איור

הנגדים שני על הזרם וכי המתחים, לסכום שווה הוא השקול הנגד על שהמתח מכיוון אז בתור, נגדים שני מחברים אםכי נקבל זהה

V = V1 + V2

IR = IR1 + IR2

R = R1 +R2

49

קירכהוף חוקי אלקטרודינמיקה4.3 4

בתור נגדים חיבור :4.4 איור

שווה יהיה והזרם נגד, כל שעל על למתח שווה יהיה השקול, הקבל על על המתח אז במקביל, נגדים שני מחברים אםולכן הזרמים לסכום

I = I1 + I2V

R=

V

R1+

V

R2

1

R=

1

R1+

1

R2

במקביל נגדים חיבור :4.5 איור

קבלים. מחיבור הפוך בדיוק הוא נגדים חיבור כי קיבלנו בעצם

קירכהוף חוקי 4.3

המטען). שימור (מחוק אפס הוא לצומת הנכנסים הזרמים סכום .1

50

קירכהוף חוקי 4.3 אלקטרודינמיקה 4

הראשון קירכהוף חוק :4.6 איור

לאפס. שווה סגורה כריכה דרך המתחים מפלי סכום .2

הבאה: הנגדים צומת על נסתכל בעיה:

פתרון:

I1R+ I23R = V

−I1R− I33R+ I23R = 0

I2 + I3 = I1

51

קירכהוף חוקי אלקטרודינמיקה4.3 4

מטריצה: ע״י זאת משוואת מערכת ונפתור 1 3 01 −3 31 −1 −1

I1I2I3

=

VR00

~I =

392919

V

R

I =5

9

V

R

RTotal =9

5R

חשמלי הספק 4.3.1

כי מתקיים אז I זרם עובר ובו V מתחים בהפרש מוליך על נסתכל אם

∆W = ∆q · V

P =∆W

∆t=

∆q

∆t· V = I · v

מוגבלת לא זאת תכונה ולכן אוהם, בחוק שימוש מבלי זאת וכל המוליך, על ובמתח בזרם תלוי ההספק כי קיבלנו ולכןעמיד...). (זרם אוהם חוק של בהנחות

כי ולקבל להציב נוכל אז מתקיימים), אכן הם כי לבדוק לזכור (צריך מתקיימים אוהם לחוק התנאים אם עכשיו,

P = I2R =V 2

R

סוללה ־ כוח מקור 4.3.2

ע״י: חשמלי כוח מקור נסמן

לסוללה סימול :4.7 איור

גם לה קיימת הסוללה, של הפנימי המבנה בגלל אך מניע, אלקטרו כוח כא״מ, הנקרא ε חשמלי מתח מייצרת הסוללהכי יתקיים אז R התנגדות בעל בודד נגד עם פשוט למעגל סוללה נחבר אם ולכן ,r פנימית התנגדות

I =ε

R+ r

V = IR =εR

R+ r

52

קירכהוף חוקי 4.3 אלקטרודינמיקה 4

סוללה עם פשוט חשמלי מעגל :4.8 איור

:R2 הנגד על הזרם את לחשב נרצה בו הבא, המעגל מתואר בעיה:

פתרון:

I1 = I2 + I3

ε1 − I1R1 − I2R2 = 0

ε3 + I2R2 − I3R3 = 0

מטריצה: בעזרת זאת בעיה נפתור שוב ולכן −1 1 1R1 R2 00 −R2 R3

I1I2I3

=

0ε1ε2

ע״י כוקטורים זו משוואה לכתוב ונוכל

RI = ε

הוא: שלה והפתרון

I2 =R3ε1 −R1ε3

R1R2 +R2R3 +R3R1

53

(משתנה) עמיד לא זרם 4.4 אלקטרודינמיקה 4

תבנין משפט 4.3.3

השקול המתח ומקור הנגד את למצוא נרצה יותר, גדול למעגל נקודות בשתי המחובר ונגדים, סוללות נמצאים בו במעגלממקודם) משוואה (אותה הבא במשוואה בשימוש אז המערכת, של

RI = ε

המערכת על הכולל המתח אז ,R2 הנגד מצדי הנקודות בשתי המעגל אל להתחבר ונרצה האחרונה, בדוגמא נסתכל אםלעיל. והמשוואה הכולל הזרם לפי תהיה וההתנגדות הנגד, על המתחים הפרש הוא

(משתנה) עמיד לא זרם 4.4

קבל פריקת 4.4.1

הפוטנציאלים הפרש בגלל המפסק, את שנסגור אחרי פתוח. שכרגע ומפסק לנגד טעון קבל מחובר בו הבא, במעגל נסתכלרגע בכל משתנה הנגד, על גם ולכן הקבל, על המתח כאשר הנגד, דרך הקבל לוחות בין לנוע יתחילו הקבל על המטענים

ישתנה. שהזרם נצפה ולכן הקבל, במטען השינוי בגלל

במוליכים: נתון ברגע העוברת המטען כמות הוא הזרם כי כללי, באופן נסמן

I = −dQdt

ולכן לאפס שווה המתחים סך קירכהוף, חוקי ולפי

Q

C− IR = 0

נקבל המשוואות הצבת וע״י

Q

C= −RdQ

dt

הוא שלה הפתרון ולכן דיפרנציאלית משוואה וזו

dQ

Q= − dt

RCˆ t

0

dQ

Q= − 1

RC

ˆ −t0

dt

lnQ(t)

Q0= − t

RC

הבאות: המשוואות את לחלץ ניתן ומכאן

Q(t) = Q0e− tRC = CV0e

− tRC

I(t) =V0

Re−

tRC

V (t) = V0e− tRC

54

מגנטיות 5

קבל טעינת 4.4.2

הרלוונטיות, המשוואות את נכתוב שוב טעון. לא הקבל ותחילה סוללה, גם לו שנחבר רק הקודם, כמו מעגל על נסתכלונכתוב הקבל) לטעינת ההפוכה המטענים תנועת (בגלל הההפוך בכיוון פועל הזרם כי לב נשים פעם אך

I =dQ

dt

V − IR− Q

C= 0

dQ

dt+

Q

RC=

V

R

Q(t) = CV (1− e− tRC )

I(t) =V

Re−

tRC

VC(t) = V(

1− e− tRC

)

לפי והמתח המטען כמות בזרם, במערכת אופייני זמן קיים הקבל, ופריקת טעינת הבעיות, בשתי כי לב נשים 4.3 הערההאופייני, הזמן אחרי אז קבל, פריקת על נסתכל אם המערכת. של האופייני הזמן בתור τ = RC לסמן נוכן כאשר הזמן,

ההתחלתי. מערכו ( 1e ) כשליש יהיה הקבל על המטען

משוואות גם נקבל דרכה קירחוף, חוקי כתיבת ע״י זו מערכת לפתור עתה נוכל וקבלים, נגדים יש בה מערכת קיימת אםהבאה: המערכת לדגומא, משוואות. מערכת בעזרת לפתור נוכל אותן דפירנציאליות,

מגנטיות 5

ועצמים למתכות ונמשכו משכו זאת למרות אך מטען, מבחינת ניטרליות היו אשר באבנים, נצפה המגנטי הכוח במקור,להסביר. יכלה לא האלטקרוסטטיקה בו באופן טעונים

מגנטיים שדות 5.1

לשדה ביחס פועל המגנטי הכוח המגנטי. הכוח של הכוח שדה יהיה אשר , ~B באות נסמן אותו חדש וקטורי שדה נגדירכעובדה: אותה נקבל כרגע אך הבאות בהרצאות נסביר אותה הבאה, הנוסחה לפי

~F = q~v × ~B

של ימין יד כלל לפי וכיוונו וגודלו, המטען במהירות תלוי הכוח כי לב ונשים לורנץ״, ״כח גם נקרא זו מנוסחה לפי זה כוחהיא הכוחות ומשוואת חשמלי וכוח מגנטי כוח עליו פועל כלשהו מטען על הכל, בסך הוקטורית. המכפלה

~F = q ~E + q~v × ~B

הן המגנטי השדה של היחידות

[B] =

[F

qv

]=

N

Colomb · msec

=N

A ·m= Tesla = 104gauss

55

מגנטיים שדות מגנטיות5.1 5

בכיוון עליו יפעל הכוח מעלה, כלפי נע החלקיק כאשר אז הדף), אל ״נכנסים״ השדה (קווי הבא השדה על נסתכל אםשמאל.

מגנטי שדה בתוך מטען :5.1 איור

,r ברדיוס מעגלית בתנועה ינוע המטען ואם משמר, שדה הוא ולכן לתנועה, בניצב פועל תמיד המגנטי הכוח כי לב נשיםכי לכתוב נוכל

F = qvB =mv2

r

r =mv

qB

ω =v

r=qB

m

מגנטי שדה בתוך זרם 5.1.1

הבאה: בנוסחה זו תופעה לתאר ונוכל חשמליים, זרמים ע״י נוצר המגנטי השדה כי למדים אנו מתצפיות

~B =µ0

2π· Irθ

θ =(−yr ,

xr , 0), r = (תזכורת: התווך של (הרשאות) הפרמיטיוויות קבוע הוא µ0ו־ הזרם, ממקור המרחק הוא r כאשר

.((xr ,

yr , 0)

הזרם. כיוון עם לאורכו ונע zה־ מציר r במרחק q ומטען ,zה־ ציר על אינסוף מוליף תיל דרך העובר קבוע זרם דוגמא:הוא המטען על הפועל הכוח ולכן לעיל, המשוואה לפי וגודלו הזרם, סביב מעגלי בכיוון הוא הזרם ע״י הנוצר השדה

~F = −qv µ0

2π

I

rr

56

מגנטי שדה של מסלולי אינטגרל מגנטיות5.2 5

.zה־ ציר עבר אל פועל והכוח

חשמלי זרם ליד מטען :5.2 איור

באורך מוליך תיל בתוך חשמלי זרם על נסתכל מעלה כלפי הנע חלקיק שבמקום רק דומה, בעיה על נסתכל דוגמא:זמ ביחידת בתיל העוברת המטען כמות הוא בתיל הזרם מעלה. כלפי הנעים מטענים של רצף למעשה כלומר ,lבתיל. העובר הזרם את נקבל המהירות כפול , qll כלומר בתיל, המטען ״ממוצע״ על נסתכל אם ולכן ,I2 = ql

vl ן

ולכן

F2 = qlv2B2 = B2I2l =µ0I1I2l

2πr

החוק כי לב נשים בנוסף .r l כאשר l באורך סופים תילים שני עבור גם נכונה הזו המשוואה כי לב ונשיםהתילים כי ונקבל שווים, תיל כל על הפועלים הכוחות ולכן זה, במקרה גם פועל ותגובה) (פעולה ניוטון של השלישי

זה. את זה דוחים היו התילים אז בכיוון, מנוגדים היו הזרמים אם לחילופין, זה. את זה מושכים

הם התילים שני בו (במקרה התילים שני מבין הקצר האורך את ניקח תמיד האחרונה, בדוגמא כי לב נשים 5.1 הערהסופיים).

מגנטי שדה של מסלולי אינטגרל 5.2

סביבו: סגור במסלול השדה על ההאינטגרל את לחשב ונרצה מהדף״, ״היוצא אינסופי תיל על נסתכל

57


מגנטי שדה של מסלולי אינטגרל :5.3 איור

ולכן: המעגליים, המסלולים על להסתכל מספיק עבודה מבצעת א לא לשדה ניצב בכיוון שתנועה ומכיווןˆ

2

B · dl = B2L = B1L1 =

ˆ1

B · dl

⇒˛C

B · dl = 0

אפס, היא סגור מסלול כל של המסלולי האינגטרל כי להראות נרצה אבל אפס, הוא שכזה סגור מסלול של האינגטרל ולכן.~∇× B = 0 כי להראות נרצה ולכן

~∇× B = ~∇×(− y

x2 + y2,

x

x2 + y2, 0

)µ0I

2π

=

(0, 0,

1

x2 + y2− 2x2

(x2 + y2)2 +

1

x2 + y2− y2

(x2 + y2)2

)µ0I

2π

= ~0

סגור? במסלול עצמו התיל את נקיף אם יקרה מה˛C

B · d~l = 2πrB(r) = µ0I

:µ0I הוא תיל סביב סגור מסלול כל הקודמת, בתוצאה בשימוש כי לב נשים אבל

58


תיל של הקפה של הכללה :5.4 איור

תיילים מספר מקיף המסלול כאשר´CB · dl = µ0

∑i Ii כי להראות להראות נוכל תיילים, הקפת של סופרפוזיציה ע״י

שונים. זרמים ובעלי שונים בכיווניםעל המסלול את נגדיר עוד כל ישרים, לא תילים עבור גם נכונה האחרונה הנוסחה כי אמפירית בצורה התגלה מתצפיות

ימין. יד כלל לפי המסלול כיוון ע״י נקבע הכיוון כאשר נורמל), ע״י המוגדר משטח (כלומר מכוון מסויים משטח

סגורה במעטפת החשמלי השטף ־ חשמליים למטענים גאוס לחוק זו נוסחה בין אנלוגיה קיימת כי לב נשים 5.2 הערהרק תלוי סגור, במסלול המגנטי השדה של המסלולי האינטגרל אופן ובאותו המעטפת, בתוך הנמצאים במטענים רק תלוי

המסלול. משטח את החוצים בזרמים

ולכן IS =´S~J · d~a ע״י זרם הגדרנו כזכור כללי, ˛באופן

σS

~B · d~l = µ0

ˆS

~J · d~a

סטוקס: משפט ולפי

µ0

ˆS

~J · d~a =

ˆS

~∇× ~B · d~a

⇒ ~∇× ~B = µ0~J

הרביעית. מקסוואל משוואת היא הנ״ל השוויון 5.3 הערה

~B+ ~S ולכן אפס, יהיה שלו curlה־ ,~S משמר שדה לכל אז הנ״ל, המשוואה את המקיים מגנטי שדה ~B בהינתן 5.4 הערההמשוואה. של פתרון גם הוא

סופי): אין (תיל תא״ס ע״י הנוצר המגנטי השדה של הדיברגנס את לחשב עתה נרצה

~∇ · ~B =µ0I

2π~∇ ·(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2, 0

)=

µ0I

2π

(2xy

x2 + y2− 2xy

x2 + y2

)= 0

59

המגנטי השדה יחידות 5.3 מגנטיות 5

השדה, מקורות את נותנת שדה של הדיברגנץ כי ונזכיר לתא״ס, רק ולא כללית, תוצאה היא ~∇ · ~B = 0 הנ״ל התוצאהמגנטי שדה קו כל ולכן מגנטיים, מונופולים ואין מגנטיים מטענים אין ולכן מקורות, אין המגנטי לשדה כי נובע מכך ולכן

במטען). ונגמרים המתחילים חשמליים שדה מקווי (להבדיל עצמו על נסגר

המגנטי השדה יחידות 5.3

ולכן ~∇× ~B2 = ~∇× ~B1 = µ0~J כלומר , ~B1, ~B2 המגנטי לשדה פתרונות שני קיימים כי ונניח ~J נתון

~B0 = ~B1 − ~B2

~∇× ~B0 = 0

משוואת מתקיימת ולכן ~∇ · ~B = 0 מתקיים ותמיד הפוטנציאל), הוא b) ~B0 = ~∇b(~r) ולכן משמר שדה הוא ~B0 ולכןהמרחב בכל כי הפתרון אז סימטרית, היא המערכת שמהאינסוף מכיוון b(∞) = b0 כי לדרוש נוכל . ∇2b = 0 לאפלס

ולכן היחיד הפתרון היא לאפלס משוואת של הפתרונות מיחידות ולכן לאפלס משוואת את מקיים b(~r) = b0

~∇b = 0

⇒ ~B0 = 0

⇒ ~B1 = ~B2

המגנטי. לשדה יחידות הראינו ולכן

וקטורי פוטנציאל 5.4

כה עד מתמטיות משוואות סיכום 5.4.1

˛~Bd~l = µ

∑in

Iin = µ0

ˆS

~J · d~a

~∇× ~B = µ0~J

~∇ · ~B = 0~∇ · ~E =

ρ

ε0~∇× ~E = 0

מתקיים: ~ψ וקטורי ושדה ψ סקלרי שדה לכל כי גם נזכיר

~∇×(~∇ψ)

= 0

~∇ ·(~∇× ~ψ

)= 0

הפוטנציאל כלומר ,~∇ψ = ~E כלשהו סקלרי שדה של כגרדיאנט לכתיב ניתן חשמלי שדה כל כי לב נשים הנ״ל, מהשוויונותהסקלרי, לפוטנציאל בהקבלה ולכן ,~∇× ~ψ = ~B כלשהו וקטורי שדה של curlכ־ לכתיבה ניתן מגנטי שדה וכל (הסקלרי),

הוקטורי. הפוטנציאל זה לשדה ניקרא

60

וקטורי פוטנציאל 5.4 מגנטיות 5

ביחידות? נקבע הוקטורי ההפוטנציאל גם ביחידות, נקבע המגנטי שהשדה מכיוון האם שאלה:

כי ~B = ~∇×(~A+ ~∇ψ

)גם אז ~B = ~∇× ~A מתקיים אם כלומר משמר, שדה כדי עד תשובה:

~∇×(~A+ ~∇ψ

)= ~∇× ~A+

=0︷︸︸︷~∇×

(~∇ψ)

= ~∇× ~A

ונכתוב: החדש בשוויון עכשיו נשתמש

~∇× ~B = ~∇×(~∇× ~A

)= µ0[

~∇×(~∇× ~A

)]x

=∂

∂y

(~∇× ~A

)z− ∂

∂z

(~∇× ~A

)y

=∂

∂y

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)z

− ∂

∂z

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)y

=∂2Ax∂y2

− ∂2Ax∂z2

+∂

∂x

(∂Ay∂y

+∂Az∂z

)= −∂

2Ax∂x2

− ∂2Ax∂y2

− ∂2Ax∂z2

+∂

∂x

(∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

)= −∇2Ax +

∂

∂x

(~∇ · ~A

)= µ0Jx

את לפשט נרצה לעבודה, נוחה לא זו שמשוואה מכיוון .zו־ y עבור כאלו משוואות 2 עוד קיימות האחרון, לשוויון בנוסףקולון. בכיול נעזר כך ובשביל הביטוי,

קולון כיול 5.4.2

משמר שדה כלומר כלשהו, סקלרי קבוע ~Aל־ להוסיף ניתן כי שראינו מכיוון ~∇ · ~A = ש־0 כך ~A מציאת הוא קולון כיול

.~∇ ·(~A+ ~∇ψ

)= ש־0 כך כזה שדה נחפש ולכן כלשהו, ~∇ψ ע״י

את למצוא פשוט תמיד לא כי אם הנ״ל, המשוואה את המקיים כזה ψ קיים תמיד זאת, נוכיח שלא אף על 5.5 הערהלמשוואה. הפתרון

ע״י גם הקודמת המשוואה את לכתוב קולון בכיול בשימוש ניתן

−∇2Ax +∂

∂x

(~∇ · ~A

)= −∇2Ax = µ0Jx

שלה: והאינטגרל החשמלי הפוטנציאל של המשוואה את ונזכיר פואסון, משוואת שוב קיבלנו ולכן

−∇2ψ =ρ

ε0

ψ(~r) =1

4πε0

ˆρ (~r′)

|~r − ~r′|d3r

61


למציאת האינטגרל את לכתוב נוכל פיזיקאליים שיקולים וללא המשוואה של מהמתטיקה ישירות דומה, באופן ולכןהוקטורי: הפוטנציאל

Ax (~r) =µ0

4π

ˆJx (~r′)

|~r − ~r′|d3r′

⇒ ~A (~r) =µ0

4π

ˆ ~J (~r′)

|~r − ~r′|d3r′

ולכן: r2 = x2 + y2 גלילית סימטרי לפי ולכן אינסופי, תיל של הפוטנציאל את למצוא נרצה דוגמא:

~A (~r) = −µ0I

4πln(r2)z

המגנטי: השדה את שוב למצוא נוכל זו וממשוואה

~B = ~∇× ~A =

(∂Az∂y

,∂Az∂x

, 0

)= −µ0I

4π

(2y

x2 + y2,−2x

x2 + y2, 0

)=

µ0I

2πr

(−yr,−x

r, 0)

=µ0I

2πrθ

ביו־סבר חוק 5.4.3

הזרם: לצפיפות הזרם בין הקשר את נכתוב תחילה

J =I

a

הזרם אם ולכן זמן, ליחידת העובר המטען כמות הוא I כי הנ״ל השוויון מתקיים כמובן אז החתך, שטח הוא a כאשרשטח. ליחידת המטען את נקבל אז המצב) זה קטן מספיק (ובקטע קבוע

הקשר קיים בנוסך,

~Jd3r = J · a · dl = I · dl

לכתוב: נוכל ולכן

~A(~r) =µ0

4π

ˆI · d~l|~r − ~r′|

=µ0I

4π

ˆd~l

|~r − ~r′|

על אינטגרל לעשות באמצעותו שניתן מכיוון פיזיקאליות, לא תוצאות לתת יכול הנ״ל האינטגרל כי לב נשים 5.6 הערההזרם כי נבדוק תמיד ולכן עמיד), זרם של ההנחה תחת (כלומר הגיוני לא הוא שפיזיקאלית דבר סגור, לא במסלול זרם

באינסוף. נסגר שהמעגל או סגור, במסלול היא

62


הפוטנציאל: על זרם קטע של התרומה את למצוא בשביל הקודמת במשוואה ונשתמש שמצאנו, הקשר את לחקור נמשיך

d ~A(~r) =µ0I

4π

d~l

|~r − ~r′|

ולכן: r = x2 + u2 ולכן במישור, העובר הזרם על נסתכל אם

d ~A (~r) =µ0I

4π

dl′x√(x2 + y2)

⇒ d ~B (~r) = ~∇× d ~A = − ∂

∂y(dAx) z

=µ0Idl

4π

yz

(x2 + y2)3/2

=µ0I · dl4πr2

y

rz

=µ0I · dl · sin θ

4πr2z

=µ0I

4π

d~l × rr2

קואורדינטות. בכל נכונה האחרונה המשוואה אך

ביו־סבר: חוק

d ~B (~r) =µ0I

4πr2d~l × r

~B (~r) =µ0I

4π

˛l

d~l × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

כאשר רק פיזיקאלית משמעות בעלת היא האחרונה המשוואה גם הוקטורי, הפוטונציאל לחישוב באינטגרל כמו 5.7 הערהבאינסוף). ״נסגר״ (או סגור הוא התיל על המסלול

נחמד יהיה זה הבאות במשוואות f זה מה יודע מישהו (אם הכיוון על הגבלות ללא הקודמת, לתוצאה להגיע נוספת דרךלדעת):

~∇× (f(~r)~v) = ~∇f × ~vd ~B = ~∇× d ~A

=µ0I

4π~∇× d~l′

|~r − ~r′|

=µ0I

4π~∇(

1

|~r − ~r′|

)× d~l′

=µ0I

4π

(− (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

)× d~l′

=µ0I

4π· d~l × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

הזרם. צפיפות לפי מכוון תמיד הוקטורי הפוטנציאל 5.8 הערה

63

וקטורי פוטנציאל מגנטיות5.4 5

טבעת היוצרת מגנטי שדה 5.4.4

סבר: ביו חוק בעזרת

dB (~r) =µ0I

4π· d~l × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

זרם: זורם בה מוליכה טבעת שיוצרת zה־ ציר על המגנטי השדה את לחשב נוכל

טבעת היוצרת מגנטי שדה :5.5 איור

dB|z =µ0I

4π· d~l × rr2

∣∣∣∣∣z

=µ0I

4πr2cos θ · dl

=µ0I

4π· Rr3dl

~B = dBz2πRz

=µ0IR

2

2r3z =

µ0IR2

2 (z2 +R2)32

z

Bz=0 =µ0I

2Rz

ואינסופי סופי סליל היוצר מגנטי שדה 5.4.5

ציר על כלשהי בנקודה (סולונואיד) סליל שיוצר המגנטי השדה את לחשב בשביל האחרונה בתוצאה להשתמש עתה נרצההוא n (כאשר כי לכתוב נוכל טבעת, כל של התרומה על אינטגרציה בעזרת דקות. מטבעות המורכבת גליל כלומר ,zה־

הגליל) של אורך ליחידת הכריכות מספר

64


סליל של מגנטי שדה :5.6 איור

r =R

sin θdi = nIdz

z = r cos θ = R cot θ

dz = R−dθsin2 θ

dB =−µ0R

2

2· sin3 θ

R3· nIR dθ

sin2 θ

B = −ˆ θ2

θ1

µ0nI

2sin θdθ

=µ0nI

2(cos θ1 − cos θ2) z

. ~B = µ0nIz כי נקבל אינסופי סליל עבור ולכן

. ~B = µ0nIzל־ ושווה קבוע (zה־ ציר על לא (גם הסליל בתוך נקודה בכל המגנטי השדה 5.9 טענה

גם המגנטי השדה האינסוף לפי ומהסימטריה מעלה, כלפי יהיה בגליל נקודה בכל השדה הגלילית, מהסימטריה מדוע?.zה־ לציר המקביל ציר על לשדה שווה zה־ ציר על השדה מדוע להסביר רק נותר ולכן ,zה־ ציר לפי קבוע

העבודה לאפס. שווה זה מסלול על העבודה סך שראינו, וכפי המקביל, והציר zה־ ציר על העובר מרובע מסלול נבנההצלעות על השדה כי השוויון מתקבל ולכן השדה, בכיוון לא הן כי לאפס שווה xy למישור המקבילות הצלעות על

שווה: zה־ לציר המקבילות

aB0 − aB′ = 0⇒ B′ = B0

לסליל? מחוץ השדה מה שאלה:

65

וקטורי פוטנציאל מגנטיות5.4 5

כי לאפס שווה לגליל מחוץ נקודה בכל השדה תשובה:

aB0 + aB′′ = µ0naI = aB0

⇒ B′′ = 0

הזרם לרכיב לתיחס ניתן ולכן קלה, הטייה בעלות אלה שטוחות, מטבעות מורכב באמת אינו הסליל כי לב נשים הערה:(בסופרפוזציה העוברים ותיליים מטבעות, מורכב הסליל כאילו מעלה, כלפי שנע הזרם ורכיב הטבעות, בכיוון שנעבתוך כי לב ונשים מעלה, כלפי הזרם של התרומה את לחשב עתה נרצה הטבעות. דרך אותן) מחברים ממש לא –שדה היוצר לו נגדי תיל קיים ,xy למישור המקביל בכיוון שדה היוצר תיל לכל כי לשדה, תורמים לא התילים הגלילתורמים התילים כל כי להראות ניתן ולמעשה שונה, הוא המצב לגליל מחוץ השפעתו. את המבטל ההפוך בכיוון

הגליל. במרכז יחיד כתיל עוברים היו כאילולגליל ומחוץ ,zה־ ציר בכיוון אחיד שדה נוצר הגליל שבתוך היא הרכיבים, של הכוללת ההשפעה אינסופי, בגלילה״כמעט השדה קווי כי לראות ניתן סופי, גליל עבור אינסופי. תיל כשל xy למישור המקבילות שדה ״טבעות״ נוצרות

הבא: השרטוט לפי הגליל, אל הנכנסים השדה קווי על ויסגרו הגליל מן שיצאו לאחר יתעקמו בתוכו אחידים״

אינסופי משטח היוצר מגנטי שדה 5.4.6

j = I∆y = J∆y∆z

∆y = J∆z המשטחית הזרם צפיפות את נגדיר 5.10 הגדרה

לפי מרובע מסלול נבנה השדה את לחשב בשביל .xy במישור אינסופי משטח דרך j משטחית בצפיפות זרם על נסתכלהבא: השרטוט

אינסופי משטח של מגנטי שדה :5.7 איור

ולכן

2aB = µ0ja

~B = ±µ0j

2y

∆B‖ = µ0j

בצפיפות זרם זורם ובמשטח , למשטח מתחת ~B−ו־ המשטח מעל ~B+ מגנטי שדה נתון בו ההפוך, המצב על עכשיו נסתכלולכן: לורנת כוח בזרם מטען כל על פועל ולכן ,j משטחית

F = Il 〈B〉 = Ja∆zbB+ −B−

2

PPressure = JB+ −B−

2=

1

2µ0·(B2

+ −B2−)

66

מגנטיים מולטיפולים פיתוח 5.5 מגנטיות 5

מגנטיים מולטיפולים פיתוח 5.5

המרחב: בכל הנוצר המגנטי השדה את למצוא ונרצה ,xy במישור הנמצאת לולאה נתונה

לולאה היוצרת מגנטי שדה :5.8 איור

הוקטורי: בפוטנציאל ובשימוש r r′ כאשר zy במישור הנמצאת נקודה על נסתכל בה״כ, (~mמ־ להתעלם ניתן (כרגע

~A(~r) =µ0I

4π

˛dl′

|~r − ~r′|

|~r − ~r′| =

√z2 + (y − y′)2

+ x′2

=√z2 + y2 − 2yy′ + y′2 + x′2

u√r2 − 2yy′ = r

√1− 2yy′

r2

u r

(1− yy′

r2

)= r − y′ y

r

= r − y′ sin θ

~A(~r) =µ0I

4π

˛xdx′ + ydy′

r − y′ sin θ

כל ולכן ,y′ sin θ ביטוי ואותו שונה כיוון בעל מקביל קטע יש הלולאה על קטע לכל ,y על שבאינטגרל מכיוון כי לב, נשים

67

מגנטיים מולטיפולים פיתוח 5.5 מגנטיות 5

ולכן יתאפס, dy′ על האינטגרל

~A (~r) =µ0I

4π

˛xdx′

r − y′ sin θ

=µ0I

4πrx

˛dx′

1− y′

r sin θ

uµ0I

4πrx

˛ (1 +

y′

rsin θ

)dx′

ולכן אפס, תמיד הוא קבוע על סגור מסלול על והאינטגרל

=µ0I sin θ

4πr2x

˛y′dx′

עם נשארנו ולכן הלולאה שטח או הסגור, המסלול לשטח פשוט שווה¸y′dx′ האינטגרל

~A (~r) =µ0Ia sin θ

4πr2x

העובר והזרם הצורה שטח לפי נקבע גודלו כאשר משטח, של נורמל לוקטור (בדומה ~m := I~a ע״י ~m הוקטור את נגדירלרשום נוכל ועתה דרכה)

~A (~r) =µ0m sin θ

4πr2x =

µ0 ~m× r4πr2

החשמלי. הדיפול של לפיתוח בדומה קירוב ביצענו בעצם 5.11 הערה

המגנטי. הדיפול וקטור נקרא ~m 5.12 הגדרה

הבא: הביטוי את נקבל כדוריות, בקואורדינטות

~A =µ0

4π· m sin θ

r2ϕ

החשמלי: הדיפול של הסקלרי לפוטנציאל לדמיון לב ונשים

ϕ = k~p · rr2

Spherical︷︸︸︷=

p cos θ

r2

הפוטנציאל: מתוך המגנטי השדה את לרשום גם נוכל ועתה,

~B = ~∇× ~A

⇒ Br =1

r sin θ

(∂

∂θ(sin θAϕ)

)=

µ0

4π· 2m cos θ

r3

Bθ =1

r

(− ∂

∂r(rAϕ)

)=

µ0

4π· m sin θ

r3

Bϕ = 0

68

המגנטי הכוח מקור מגנטיות5.6 5

החשמלי: לדיפול בהשוואה ושוב

~E = −~∇ϕ

Er = −∂ϕ∂r

= k2p cos θ

r3

Eθ = −1

r· ∂ϕ∂θ

= kp sin θ

r3

Eϕ = 0

חשמלי? ודיפול מגנטי דיפול של והחשמליים המגנטיים השדות ניראים איך

zה־ בציר הפועל הכוח את לחשב ונרצה I וזרם a, b צלעות בעל xy במישור שהוא נניח ובה״כ מרובע על נסתכל דוגמא:המרובע: שיוצר המגנטי מהשדה כתוצאה הנוצר

Fz = qv ~B = I∑

lB

= −I[b(Bx

(a2

)−Bx

(−a

2

))+ a

(By

(b

2

)−By

(b

−2

))]= −Iab

[Bx(a2

)−Bx

(−a2)

a+By(b2

)−By

(− b

2

)b

]

= −Iab(∂Bx∂x

+∂By∂y

)= m

∂Bz∂z

:xyל־ ביחס θ כלשהו בזווית המרובע כאשר כלומר כללי, באופן

Fz = m cos θ∂Bz∂z

= ~m · ~∇Bz

היוצא וחלק הלוח אל הנכנס לחלק במרחב, המחולק אחיד שדה קיים כאשר רק הבעיה אותה על נסתכל אםמומנט יפעל כן אבל כוח, יפעל לא אז מהלוח,

Nm = ~F × ~R = IbBa sin θ

= mB sin θ = ~m× ~B

היא: המערכת של האנרגיה ולכן

Um = −~m · ~B

המגנטי הכוח מקור 5.6

הפרטית היחסות לפי החשמלי הכוח 5.6.1

לא הפרטית, ביחסות כי הקודם מהסמסטר ונזכר ייחוס, מערכות בין נשמר החשמלי המטען כי הפרק בתחילת ציינונשמרים שכן גדלים וקיימים וכו׳) זמן מרחק, אנרגיה, מסה, (כמו שונות ייחוס מערכות בין במעבר נשמרים הגדלים כל

(4־תנע).

69

המגנטי הכוח מקור מגנטיות5.6 5

העוברים השדה וקווי המעטפת תשתנה איך לדעת ונרצה סביבו, כאוס מעטפת ונבנה כלשהו, מטען בעל גוף על עתה נסתכלבשימוש למעטפת מחוץ לנקודות לעבור יכול לא המעטפת בתוך שנקודות מכיוון .~v במהירות הנעה למערכת במעבר דרכהיתקיים: עדיין אך ישתנו, והמשטח המעטפת השדה, כלומר, המערכות, בין קבוע ישאר השטף אז לורנץ׳, בטרנספורמציית

˛S

~E · d~a =

˛S′

~E′ · d~a′

המטען סביב גאוס מעטפת :5.9 איור

הייחוס מערכות בין במעבר ישתנה השדה איך לראות ונרצה התנועה, ציר ציר על מוליכים לוחות שני על עתה נסתכלהשונות.

β =v

c, γ =

1√1− β2

Eab =σab

ε0⇒ E =

σ

ε0

E′a

γb =

γσ aγ b

ε0

E′ = γσ

ε0= γE

70

המגנטי הכוח מקור 5.6 מגנטיות 5

לורנץ בטרנספורמציית החשמלי השדה שינוי :5.10 איור

המקביל לרכיב השדה רכיב את לפרק נוכל נקודה, בכל שדה על נסתכל אם אז במנוחה, המטענים שבה במערכת נמדד Eויתקיים לתנועה, הניצב ורכיב לתנועה

E′‖ = E‖

E′⊥ = γE⊥

טעונים לוחות בין השדה :5.11 איור

71

המגנטי הכוח מקור 5.6 מגנטיות 5

כי ונזכר המערכות, בין הכוח יתשנה איך עתה, לראות נרצה

P ′‖ = γP‖

P ′⊥ = P⊥

∆t′ = γ∆t

לפי ישתנה הכוח ולכן

F ′‖ = F‖

F ′⊥ =1

γF⊥

F ו־′ נע, החלקיק בה המעבדה מערכת היא F כאשר בתנועה, הוא כאשר החלקיק ״רואה״ כוח איזה עכשיו, לבחון נרצהבתנועה: הנמצאת החלקיק מערכת היא

F ‖ = qE‖

F ′‖ = qE′‖ = qE‖

F ′⊥ = qE′⊥ = qγE⊥

F⊥ = qE⊥

הפרטית היחסות לפי המגנטי הכוח 5.6.2

במהירות נעים (−λ) השלילים היונים כלומר ,I זורם בו נע כאשר ,λ,−λ מצפיפות המורכב מוליך תיל על עכשיו נסתכלהמטען שסך כיוון כוח, עליו יפעל לא אז במנוחה, נמצא המטען כאשר לידו. הנמצא מטען על ונסתכל ,I = λv0 ולכן v0

המטען. תנועת למרות אפס, הוא רואה הוא אותו

שלילים מטענים זורמים בו תיל ליד מטען :5.12 איור

מערכת בין γ0 למעבדה, המטען מערכת בין γ′ נסמן המעבדה. במערכת נע, המטען כאשר המצב אותו על עכשיו נסתכלהחלקיק: שרואה השדות את לחשב נוכל ולכן למטען, האלקטרונים מערכת בין γו־ למעבדה האלקטרונים

E′y+ =2k

rγ′λ

λ0 =λ

γ0

E′y− = −2k

r· γ · λ

γ0

72

מגנטי משדה כתוצאה חשמלי זרם מגנטיות5.7 5

הפועלים הכוחות את לחשב נוכל עכשיו

vElectrons-Charge =v′ − v0

1− v′v0

c2

β =β′ − β0

1− β′β0

γ =1√

1− β2=

1√1−

(β′−β0

1−β′β0

)2

=

[(1− β′β0)

2 − (β′ − β0)2

(1− β′β0)2

]−1/2

=

[1− 2β′β0 + β′2β2

0 − β′2 + 2β′β0 − β20

(1− β′β0)2

]−1/2

=

[(1− β′β0)

2

(1− β′2) (1− β20)

]1/2

= (1− β0β′) γ′γ0

⇒ E′y =2kλ

r

(γ′ − γ

γ0

)=

2kλ

r(γ′ − (1− β′β0) γ′)

=2kλ

rγ′β0β

′

F ′y = qE′y

Fy = k2λq

rβ0β

′ = k2q

I︷︸︸︷λv0 v

′

rc2= qv′

∼B︷︸︸︷k

2I

rc2' qv′B

B =2kI

rc2=µ0I

2πr

⇒ µ0 =1

ε0c2

⇒ µ0ε0 = c2

החשמלית התורה של הקבועים בין ולקשר החשמלי, והשדה הפרטית היחסות מתוך ישירות לורנץ׳ לכוח הגענו ולכןהאור. מהירות לבין והמגנטית

מגנטי משדה כתוצאה חשמלי זרם 5.7

מגנטי שדה בתוך הנע מוט 5.7.1

הכלליות הגבלת בלי נניח .v במהירות y בכיוון הנע מוליך מוט על נסתכל ,Bzל־ השווה z בכיוון קבוע מגנטי שדה קייםולכן המוט, לקצה ינוע השליליים המטענים המגנטי מהכוח כתוצאה ולכן לנוע, חופשיים במוט השלילים החלקיקים כיהכוח בין משקל לשיווי תגיע המערכת אשר עד לנוע ימישיכו המטענים המוט. בקצוות ושליליים חיוביים מטענים יצטברו

השני. על אחד המטענים שמפעילים החשמלי הכוח לבין המגטי

f = q~v × ~B

f∗ = −q ~E

73


חשמלי שדה בתוך מוליך מוט :5.13 איור

כי: המגנטי השדה עבור נקבל החשמלי, השדה של ייחוס מערכות למעבר בדומה אז המוט, מערכת על נסתכל אם עכשיו,

B′z = γBz

f ′x = qγvBz = qE′

E′ = γ~v × ~B

את מצאנו עתה כך שונות, ייחוס במערכות החשמלי מהכוח כתוצאה המגנטי הכוח את שמצאנו שכפי לב נשים 5.13 הערהמבלי המגנטי, הכוח מתוך האלקטרומגנטית התורה כל את ״לפתח״ יכולנו ולכן המגנטי, מהכוח כתוצאה החשמלי הכוח

החשמלי. הכוח עם להתחיל

מגנטי שדה בתוך הנע מעגל 5.7.2

ε = 1q

¸~f · d~s ע״י מוגדר הכא״מ כי ונזכיר אחיד), (לא z בכיוון מגנטי שדה בתוך הנע ריבועי מעגל על עכשיו נסתכל

זו: במערכת המעגל עבור ולכן

ε =1

q(−qvB1a+ qvB2a) = va (B2 −B1)

74

מגנטי משדה כתוצאה חשמלי זרם 5.7 מגנטיות 5

מגנטי שדה בתוך נע ריבועי מעגל :5.14 איור

:([φ] = Tesla ·m2 = Weber הם (יחידותיו המגנטי בשטף עכשיו נעזר

φ :=

ˆS

~B · d~a

⇒ dφ = a · v · dt ·B1 − a · v · dt ·B2

dφ

dt= av (B1 −B2)

דרכו הנע סגור במעגל הנוצר הכא״מ לבין המגנטי בשטף השינוי בין חדש יחס מצאנו ולכן

ε = −dφdt

,S′ הוא המשטח dt זמן שלאחר כך מגנטי, שדה בתוך הנע בזמן המשתנה כלשהו S משטח על כללי, באופן עכשיו נסתכל.φS′ (t+ dt)ו־ φS (t) על נסתכל ולכן ∆S הוא בינהם השטחים והפרש

המגנטי השטף עובר דרכו משטח :5.15 איור

75


כי נקבל אז משתנה, לא קבוע בשטח משטח השטף שסך מכיוון

φS′ (t+ dt)− φS (t) + φ∆S = 0

⇒ −φ∆S = dφ

dφ = −ˆ

∆S

~B · d~a

=

ˆS

~B · (~v · dt× d~s)

⇒ dφ

dt=

˛S

~B · (~v × d~s)

= −˛S

(~v × ~B

)· d~s

= −˛ ~f

q· d~s = −ε

⇒ ε = −dφdt

המערכת. על כלשהן הגבלות בלי הקשר אותו את קיבלנו שוב ולכן

למעגל ביחס הנע מגנטי שדה 5.7.3

ולכן השדה מקורות מתנועת כתוצאה במרחב נע המגנטי השדה אבל במקומו, נשאר המעגל בו ההפוך, המצב על נסתכל

B′z =1

γBz

~E = ~v × ~B

ε = va (B2 −B1) = −dφdt

של המקור זה שבמקרה רק הבעיה), אותה של שונות ייחוס במערכות רק מדובר (כאמור התוצאה אותה את קיבלנו ולכןהמגנטי. הכוח היה הכא״מ מקור בה הקודמת הדוגמא לעומת החשמלי, בשדה הוא הכא״מ

למעגל ביחס נע מגנטי שדה :5.16 איור

76

מגנטי משדה כתוצאה חשמלי זרם 5.7 מגנטיות 5

כתוצאה נע המגנטי השדה השדה, מקורות מתנועת כתוצאה תיווצר השדה שתנועת במקום אם קורה היה מה שאלה:השדה? מקורות את שיוצרים בזרמים מהשינוי

על השפעתו ולכן השדה, ממקורות בנפרד מוגדר המגנטי שהשדה מכיוון התוצאה, אותה את מקבלים הינו תשובה:מקורותיו. של בפרטים תלויה לא המערכת

פארדיי חוק 5.7.4

:ε הכא״מ עבור מתקיים תמיד במרכיביה, תלות ללא מערכת, כל עבור

ε =

˛∂S

~E · d~s = − d

dt

ˆS

~B · d~a = −dφdt

סטוקס: משפט באמצעות

˛∂S

~E · d~s =

ˆS

(~∇× ~E

)· d~s = − d

dt

ˆS

~B · d~a = −ˆS

d ~B

dt· d~a

⇒ ~∇× ~E = −∂~B

dt

המגנטי. השדה ללא נכונה שהייתה ,~∇× ~E = 0 למשוואה תיקון מהווה האחרונה המשוואה 5.14 הערה

לנץ חוק 5.7.5

השטף. לשינוי שיתנגד שטף יווצר ובעזרתו זרם יצור השטף, משינוי המושרה הכא״מ 5.15 משפט

המגנטי השדה כאשר אך ימין, יד כלל של הרגיל בכיוון יהיה בלולאה הזרם קטן, המגנטי השדה כאשר אחרות, במיליםבכיוון: הפוך יהיה הזרם גדל,

לנץ חוק :5.17 איור

77

מגנטית השראה 5.8 מגנטיות 5

מגנטית השראה 5.8

הדדית השראה 5.8.1

הכא״מ את לחשב ונרצה הלולאות) אחת ע״י (הנוצרים במרחב השדה קווי ועל במרחב, מוליכות לולאות שתי על נסתכל.1 מלולאה הנוצר מהשדה כתוצאה 2 לולאה דרך השטף את נחשב ולכן הלולאה, על המושרה

φ21 =

ˆS2

~B1 · d~a2 ∝ I1

ולכן משתנה לא הלולאות בין הגיאומטריה בו המצב על נסתכל

ε21 = −dφ21

dt∝ −dI1

dt⇒ φ21 = M21I1

ε21 = −M21dI1dt

ויחידותיו ההדדית ההשראות נקרא הביטויים) בין הפרופורציה (מקדם M21 הגודל

[M ] =V

A· sec = Ω · sec = Henry

R1ב־ הזרם של כפונקציה R2 טבעת של השטף את לחשב ונרצה R2 R1 ברדיוסים טבעות שתי על נסתכל דוגמא:ולכן

B0 =µ0I

2R1

מקבילים. שכמטע השדה קווי לפי קבוע, בקירוב הוא השדה הטבעת במרכז כי לב נשים

φ21 =µ0I12R1

πR22

M21 =πµ0R

22

2R1

השווה ללולאה מחוץ השטף על להסתכל נוכל הבעיה, את לפשט וכדי (הפוך), ל־2 1 בין ההשפעה את נחשב עתה,(של רב במרחק המגנטי לשדה בקירוב נעזר אפס. הוא האינסופי המשטח כל על שהשטף מכיוון בתוכה, לשטף

מגנטי) דיפול

Br =µ0

4π· 2m cos θ

r3

Bθ = −µ0

4π· m sin θ

r2

φ12 =µ0

4π·ˆ ∞R1

πR22I2r3

2πrdr

=πµ0I2R

22

2

˛ ∞R1

dr

r2

=πµ0R

22I2

R1

⇒M12 =πµ0R

22

2R1= M21

78


ההדדיות משפט 5.8.2

ולכן מגנטי, שדה עובר שדרכו S משטח נתון

φS =

ˆ~B · d~a =

ˆS

(~∇× ~A

)· d~a

Stokes︷︸︸︷=

˛∂S

~A · d~S

הפוטנציאל הוא ~A2) זרמים המוליכות כלשהן טבעות שתי עבור M21ל־ M12 בין היחס למציאת זו בתוצאה נשתמש:(2 לולאה על הוקטורי

~A2 =µ0I14π

˛∂S1

d~S1

|~r2 − ~r1|

φ21 =

˛~A2 · d~S2

=µ0I14π

ˆ [ˆd~S1

|~r2 − ~r1|

]· d~S2

=µ0I14π

¨d~S1 · d~S2

|~r2 − ~r1|

M21 =µ0

4π

‹d~S1 · d~S2

|~r2 − ~r1|= M12

הטבעות. של הזרם או בגיאומטריה תלות ללא M12 = M21 כי מתקיים תמיד כן, ועל

פראדי מחוק ולכן הטבעת, דרך חשמלי זרם פועל מכאן ולאחר מגנטי, שדה עובר שדרכה אחת לולאה על נסתכל דוגמא:כא״מ: ויווצר הלולאה על עצמית השראה תהיה כי נצפה

ε11 = −dφ11

dt= −L1

dI1dt

.L1 = M11 כאשרהנוסחה את לתקן נצטרף אז ״מעוך״), סליל (כמו יחדיו לולאות מספר מחברים היינו בודדת, לולאה במקום אם

הלולאות). מספר הוא N (כאשר ε = −N dφdt ע״י לעיל

נקבל ולכן שלו), לקוטר ביחס (ארוך ארוך סליל על נסתכל דוגמא:

B = µ0nI

(n =

N

l

)φ = µ0nIπR

2

ε = −N dφ

dt= −µ0nNπR

2 dI

dt

L = µ0n2lπR2

ההספק: על נסתכל לעיל? הזרם את ליצור מנת על להשקיע צריך עבודה כמה

dU = εIdt

= LdI

dtI · dt

= L · I · dI

U =1

2LI2

79


ולכן המגנטי, לשדה תעבור הזרם ביצירת המושקעת האנרגיה במעגל? נגד קיים לא אם הזו האנרגיה הולכת לאןהשדה של המרחבית האנרגיה את לחשב נוכל

UEnergyVCylinder

=12LI

2

πR2l=µ0n

2lπR2

2πR2l·(B

µ0n

)2

=B2

2µ0

מקבילים בתילים הלולאה חיבור ע״י גדולה, אחד לולאה של בעיה לולאות, מספר עם בעיה כל להכליל ניתן כי לראות ניתןהמערכת: על השפעותו את מבטל תיל בכל המנוגד שהזרם כך דקים,

זרם לולאות מספר הכללת :5.18 איור

המכלילה: הלולאה של האנרגיה דרך המערכת כל של האנרגיה את להסתכל עתה נרצה

U =1

2LI2 =

1

2· µ0I

2

4π

¨d~s · d~s′

|~r − ~r′|

=µ0

8π

¨(I · d~s) · (Id~s′)|~r − ~r′|

=1

2

ˆ~A (~r) · (Id~s)

=1

2

ˆ~A · ~Jd3r

U =1

2µ0

ˆ~A ·(~∇× ~B

)d3r

:~∇ ·(~B × ~A

)= ~A ·

(~∇× ~B

)− ~B ·

(~∇× ~A

)הוקטורית בזהות נעזר

U =1

2µ0

ˆ~B ·

~B︷︸︸︷(~∇× ~A

)d3r +

1

2µ0

Gauss︷︸︸︷ˆ~∇ ·(~B × ~A

)d3r

=1

2µ0

ˆ~B · ~Bd3r +

1

2µ0

ˆ∂

~B × ~Ad2r

80

מגנטית השראה מגנטיות5.8 5

ולכן אפס ולקבל לאינסוף השני הביטוי את להשאיף נוכל באינסוף שדה מקורות אין ואם

U =1

2µ0

ˆ|B|2 d3r

RL מעגל – במעגל כרכיב סליל 5.8.3

ומפסק: סליל נגד, מכא״מ, המורכב הבאה המעגל על נסתכל

סליל עם זרם מעגל :5.19 איור

היא: המעגל של הזרמים משוואת

ε− LdIdt− IR = 0

שפתרונה: דיפרנציאלית משוואה וזו

I (t) =ε0R

(1− e−RL t

)

81


הזרם של הדעיכה גרף :5.20 איור

הכא״מ: לקיצור נוסף מפסק נוסיף כן ועל המתג, קצות בין אינסופי מתח נוצר הנ״ל, במעגל

מתוקן מעגל :5.21 איור

הזרמים משוואת את נקבל ועכשיו

LdI

dt+ IR = 0

I = I0e−RL t

82


היא: זה במעגל הנגד על שנעשתה העבודה

W =

ˆ ∞0

Pdt =

ˆ ∞0

I2Rdt

= I20R

ˆ ∞0

e−2RL tdt

= −I20R

L

2Re−

2RL t

∣∣∣∣∞0

=LI2

0

2

RLC מעגל ־ תהודה מעגל 5.8.4

בקבל: הכא״מ את נחליף בו הבא, המעגל על נסתכל

RLC מעגל :5.22 איור

83

מגנטית השראה מגנטיות5.8 5

Q0 = CV0

VC − VL = IRQ

C− LdI

dt− IR = 0

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+Q

C= 0

Q (t) = A1e−λ1t +A2e

−λ2t

λ1,2 =−RL ±

√R2

L2 − 4LC

2

α :=R

2L

ω0 :=1√LC

ω :=√ω2

0 − α2

λ1,2 = −α± i√ω2

0 − α2

= −α± iωQ (t) = Q′0e

−αt (eiωt + e−iωt)

= Q0e−αt cosωt

⇒ I (t) = −dQdt

= −Q0 (−α cosωt− ω sinωt) e−αt

= Q0

√ω2 + α2

(α√

ω2 + α2cosωt+

ω√ω2 + α2

sinωt

)e−αt

cosϕ :=α√

ω2 + α2

tanϕ :=ω

α

ω2 + α2 = ω20 =

1

LC

⇒ I (t) = CV01√LC

(cosϕ cosωt+ sinϕ sinωt) e−αt

= V0

√C

Lcos (ωt− ϕ) e−αt

פאזה... הפרש עם הזרם, של דועכת משוואה קיבלנו כי לב נשים 5.16 הערה

(זרם) בתנועה לשינוי המתנגדת מסה מהווה הסליל ריסון, מהווה הנגד כאשר הרמוני, מתנד של לבעיה מקבילה זו מערכתהבאים: המצבים על נסתכל ולכן לקפיץ, המקביל גורם מהווה והקבל

כלל. תנודות יבצע לא המעגל R > 2√

LC יתר ריסון •

84


אחת תנודה יצבע המעגל – R = 2√

LC קריטי ריסון •

בדעיכה. תנודות מספר יבצע המעגל – R < 2√

LC חלש ריסון •

לא שהוא מצב במתח, קפיצה הייתה ולכן מאפס, שונה היה אפס ברגע בזרם השינוי אז ,(ϕ = 0) פאזה הייתה לא לא אםיתכן. לא זה מצב כן ועל פיזיקאלית, הגיוני

גם נוכל .e−2αt ⇒ τ = 12α = L

R לפי דועכת האנרגיה ולכן , 12CV

2, 12LI

2 לפי היא והסליל הקבל של שהאנרגיה מכיוון. 1e ל־ דועגת שהאנרגיה עד ברדיאנים התנודות מספר – Q = ω

2α = ωLR האיכות קבוע את להגדיר

חילופין מתח מקור עם RLC מעגל 5.8.5

חילופין: מתח מקור לו ונוסיף האחרון המעגל על נסתכל

חילופין מתח עם RLC מעגל :5.23 איור

85


ε(t) = ε0 cosωt

= ε0eiωt

I(t) = I0ei(ωt+ϕ)

I = −dQdt

Q (t) = −ˆIdt = − I0

iωei(ωt+ϕ)

0 = ε0eiωt − I0

iωCei(ωt+ϕ) − I0ωLei(ωt+ϕ) − I0Rei(ωt+ϕ)

ε0I0

=

[i

(ωL− 1

ωC

)+R

]eiϕ

=

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

ei(arctan(ωLR −1

RωC )+ϕ)

tanϕ =1

RωC− ωL

R

⇒ ε0I0

=

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

I0 =ε0√

R2 +(ωL− 1

ωC

)2נקרא זה מצב – I0 = ε0

R יהיה הזרם זה ובמצב ω = 1√LC

ולכן ωL − 1ωC = 0 כאשר מקסימלי? יהיה הזרם מתי

נקבל: התדירות כנגד ההתחלתי הזרם של גרף נשרטט אם קבוע. בהפרש המתח אחרי עוקב הזרם בו תהודה,

תהודה גרף :5.24 איור

המתח. את יקדים תמיד והזרם tanϕ = 1RωC כי נקבל ,L = 0 בו RC למעגל מתאימה הנוסחה •

בקבל). קצר (כלומר C →∞ בו RL למעגל מתאימה הנוסחה •

86


עדיין מאלקטרוסטטיקה קירכוף חוקי בו חילופין, מתח ומקורות נגדים קבלים, סלילים, המכיל כללי מעגל על עתה נסתכלכלומר ∑נכונים

i∈Intersection

Ii = 0

∑i∈Closed circuits

∆εi = 0

,(Impedance)העכבה נקרא z כאשר ,ε = zI, z ∈ C כלומר מרוכבים, מספרים בעזרת εו־ I של בייצוג נשתמש כאשרמתירות. הנקרא Y = z−1 גם מוגדר ובנוסף באוהם, הנמדד מרוכב גודל שהוא

״מחיקת״ ע״י במעגל רכיב לכל מתאים z נמצא מכאן ולאחר כללי, באופן תחילה נחשב האחרון, המעגל עבור למשלמהמעגל. האחרים הרכיבים

ε0eiωt = zI0e

i(ωt+ϕ)

ε0 = zε0 ·eiϕ√

R2 +(ωL− 1

ωC

)2⇒ z =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

e−iϕ

רכיב: כל של לעקבות הנוסחה את הבא בטבלה נרשום ולכן

z Y = z−1

R(L = 0, C →∞) R 1R

L (R = 0, C →∞) iωL −iωL

C (R = 0, L = 0) − iωC iωC

השונים הרכיבים של המקדמים :1 טבלה

גם אז אלו, חוקים מתוך ישירות נבעו נגדים של החיבור חוקי של ומכיון מתקיימים, קירכוף שחוקי מכיוון כי לב, נשיםבמקביל: חיבור מתקיים העקבה עבור

1

z=

1

z1+

1

z2

בטור: חיבור ועבור

z = z1 + z2

מקבילים RLC מעגל 5.8.6

בטלפון) הבא:(שרטוט המעגל על נסתכל

87


היא לעיל הכללים לפי כולו המעגל של העקבה

z =

(1

R+ i

(ωC − 1

ωL

))−1

ε = zI =I

1R + i

(ωC − 1

ωL

)⇒ I =

[1

R+ i

(ωC − 1

ωL

)]ε0e

iωt

=

I0︷︸︸︷√1

R2+

(ωC − 1

ωL

)2

ε0 e

i

ωt+ϕ︷︸︸︷

arctan

(RωC − R

ωL

)

באמצעות: הם המעברים

R+ iI = ρeiθ

ρ =√R2 + I2

tan θ =I

R

הרגעי ההספק כי נקבל הנגד עבור רק המערכת? של ההספק מהו

P =V 2

R=V 2

0

Rcos2 ωt

כי נקבל הממוצע ההספק ועבור

〈P 〉 =V 2

0

2R=V 2rms

R

Vrms :=V0√

2

Irms :=I0√

2

זרם או מתח עבור מקבלים שהיינו המתח או הזרם היא שלו והמשמעות root mean square הוא RMSה־ 5.17 הגדרהההספק. אותו את שיתן קבוע

כי נקבל כללי באופן

P = εI = ε0 cos (ωt) · I0 cos (ωt+ ϕ)

= ε0I0(cos2 (ωt) · cosϕ− cosωt sinωt sinϕ

)〈P 〉 =

ε0I02

cosϕ

= εrmsIrms cosϕ

88


במשוואות סימטריה חוסר 5.8.7

אחד סביב גאוס משטח על מסילה על ונסתכל הקבל, של הלוחות אחד סביב J של השטף ועל RC מעגל על נסתכלנקבל סטוקס ממשפט ולכן ,S′ב־ נסמן המשטח שארית ואת ∂Sב־ הנסמנה הלוחותˆ∂S

~B · d~s =

ˆS

(~∇× ~B

)· d~a = µ0I

ˆ∂S′

~B · d~s =

ˆS′

(~∇× ~B

)· d~a = 0

כולו המסלול על כי נראה נוספת בדרך לסתירה. והגענו

~∇ · ~J = −∂ρ∂t˛

S+S′

~J · d~a =

ˆVS+S′

(~∇ · ~J

)dV

= − d

dt

ˆVS+S′

ρdV =

= − d

dtQT

מקיים שני מצד כי נקבל אמפר מחוק אבל˛S+S′

~J · d~a =1

µ0

ˆS+S′

(~∇× ~B

)· d~a

=1

µ0

ˆVS+S′

~∇ ·(~∇× ~B

)dV = 0

את שתקיים נוספת פונקציה נוסיף אמפר, חוק את לתקן מנת על אמפר. לחוק הרציפות משוואת בין סתירה קיבלנו ולכןהשוויון:

~J =1

µ0

(~∇× ~B + ~f (r, t)

)⇒ 1

µ0

ˆV

~∇ · ~fdv =

ˆV

−∂ρ∂tdV

~∇ · ~f = −µ0∂ρ

∂t

= −µ0ε0∂

∂t

(~∇ · ~E

)= − 1

c2~∇ ·

(∂ ~E

∂t

)~f = − 1

c2∂E

∂t

מקסוואל: לפי המתוקן אמפר חוק את קיבלנו ולכן

~∇× ~B = µ0~J +

1

c2· ∂E∂t

89

מקסוואל משוואות סיכום מגנטיות5.9 5

מקסוואל משוואות סיכום 5.9

~∇ · ~E =ρ

ε0~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = −∂~B

∂t

~∇× ~B = µ0~J +

1

c2· ∂

~E

∂t= µ0

(~Jc + ~Jd

)~Jd := ε0

∂ ~E

∂t

כה. עד עבדנו שעימו הרגיל מטענים זרם הוא ~Jcו־ ההעתקה זרם נקרא ~Jd כאשר

מגנטים חומרים 5.10

מגנטי: דיפול מומנט על תזכורת

~m := aI~N = ~m× ~B

U = −~m× ~B

~F = ~∇(~m · ~B

)וחלק למגנטים נמשכים מהחומרים חלק כי ראו ובנוסף המגנטי, כח פועל לא המגנטי החומר בתוך כי גילו מתצפיותזרמים קיימים מגנטיים חומרים בתוך כי הניח אמפר אלו, תצפיות מתוך אלו. לתצפיות עונה אשר מודל נחפש ולכן נדחים,שעל בוהר, של האטום במודל נשתמש הנ״ל, המודל את לתאר בשביל המגנט. של המגנטי השדה את היוצרים חשמליים

המודל. תיאור לצורך דיו טוב קירוב מהווה הוא שגוי, היותו אף

בוהר של האטום מודל 5.10.1

נעים הגרעין וסביב חשמלית מבחינה ניטרלים אשר וניוטרונים חיובי מטען בעלי פרוטונים מהכיל מגרעין מורכב האטוםאנרגיה) רמות (לפי מסויימים ברדיוסים להימצא יכול האלקטרון כלומר בדידים, במעגלים שלילי מטען בעלי אלקטרונים

מסלולים. אותם בין אפשרי רדיוס בכל ולא

90

מגנטים חומרים 5.10 מגנטיות 5

האטום מודל :5.25 איור

ולכן האלקטרון של מחזור בזמן העוברת המטען כמות על נסתכל האלקטרון, היוצר הזרם את לחשב בשביל

I = ev

2πr

ולכן כדיפול אותו לייצג נוכל אז זרם, כלולאת האלקטרון מסלול את נייצג אם ולכן

m = πr2 ev

2πr=evr

2

הוא האלקטרון של הזוויתי והתנע

L = mevr

האלקטרון) של לתנועתו המגנטי הכוח בין (היחס המגנטומכני היחס כי נקבל ומכאן

m

L= − e

2me

כא״מ: גם היוצר החשמלי, בשטף השינוי את לחשב ונרצה מגנטי, שדה בקבת נמצא האטום כי נניח עתה

dφ = πr2dB

ε =F · 2πr

q= πr2 dB

dt

dB =2

qrF · dt =

2

qrme · dv

∆v =qr

2meB

ששאר (בהינתן להשתנות צריך הסיבוב הרדיוס גם אז משתנה, האלקטרון מהירות אם כי יודעים אנו פשוטה, ממכניקההמשתנה והרדיוס הנוכחי הרדיוס לקבל נצפה ולכן קבועים, האקטרון של הרדיוסים בהר מודל לפי אבל קבועים), הגדלים

ע״י: זאת ונראה זהה, יהיה הכוחות בעקבות

F0 =mev

2

r⇒ r =

mv2

F0

F0 (r) = ?

91

מגנטים חומרים מגנטיות5.10 5

להגיע נוכל הכוח ידעת ללא גם כי נראה ?F0 הכוח מהו אך ובמהירות, בכוח הרדיוס של התלות את קיבלנו כלומררדיוס: בכל בחופשיות לנוע יכול היה אילו האלקטרון של הרדיוס ,r′ את לחשב ננסה זהים. ההרדיוסים כי לתוצאה

∆v =qv2B

2F0

⇒ r′ =m (v + ∆v)

2

F0 + q (v + ∆v)B

(∆v v) ∧ (qvB F0)⇒ r′ =m

F0

(v2 + 2v∆v

)(1− q

F0(v + ∆v)B

)

=mv2

F0+

2mv∆v

F0−

2mv∆v

F20︷︸︸︷

mqv2B

F 20

v+ . . .

=mv2

F0= r

המהירות משינוי וכתוצאה האלקטרון את להאט פועל אשר כא״מ, יוצר המגנטי השדה כלומר ־ הרצוי לשוויון הגענו ולכןבמומנט: מהשינוי כתוצאה מתאזן אשר

∆m =e∆vr

2= −er

2· qrB

2me

⇒ ∆m = −e2r2

4meB

~F =) כוח יווצר ולכן מאפס שונה יהיה שלו הגרדיאנט משתנה, הדיפול שוקטור מכיווון הדיפול, משוואות לפי ולכן

״דיאמגנטיות״. קוראים זו לתופעה – (~∇(~m · ~B

)בעל מסתובב טעון כדור כעל אלקטרון על לחשוב ניתן אלקטרון. של ספין במושג נעזר המודל, המשך את לתאר בשביל:h = 6.62×10−34J ·sec פלאנק בקובע ובשימוש הספין, הוא S עצמו, סביב האלקטרון של הזוויתי והתנע ~m מגנטי דיפול

S =h

4π

⇒ m

S= − e

2mege

המהווה g-factor נקרא ge והגודל ,QED החשמליים הכוחות של המוכללת התורה של תוצאה הן אלו משוואות כאשרהפוכים בכיוונים להיות נוטים אלקטרונים של שהספינים מסתבר .ge = 2.0023 הוא וגודלו זה יחס של הפרופורציה קבועהכוח. ועל המגנטי הדיפול על כן ועל האלקטרון מהירות על המשפיע נוסף גורם קיים ולכן אחרים, אלקטרונים בקרבתמגנטי כוח בשנית נקבל ולכן המגנטי השדה לכיוון להסתובב יכול הדיפול כיוון ולכן לנוע, חופשיים באלקטרונים בו בחומר

k > 0 קבוע עבור היחס מתקיים זו בתופעה –

∆m = kB

פאראמגנטיות. קוראים זו ולתופעה

בחומר המגנטיות סוגי 5.10.2

k < 0,∆m = kB דיאמגנטיות:

k > 0 פארמגנטיות:

92


מפסיקים וכאשר לכיוון, הניתנים ספינים יש שבו חומר הוא לשדה. המומנטים בין לינארי קשר שאין תופעה פרומגנטיות:שכזה לחומר דוגמא אנרגיה. מינימום יש הפוכים השדה קווי שני וכאשר נשארות, הקורלציות המגנטי, השדה אתמגנטי שדה לו יהיה החיצוני, המגנטי מהשדה הרחקתו לאחר וגם מגנטי, שדה בקרבת ״מתמגנט״ אשר ברזל, הוא

משלו.את בשנית למגנט מספיק חזק מגנטי שדה יופעל אשר עד תיפסק החומר של המגנטיות החומר, את מחממים כאשר

החומר.

המגנטות צפיפות שדה 5.10.3

דיאלקטרים, חומרים של הקיטוביות להגדרת בדומה משלה, דיפול וקטור יהיה בחומר נקודה שלכל כך ~M חדש שדה נגדיר.~m =

´~MdV ש־ כך

מהצורה משוואה כלומר החשמלי, לשדה הקיטוביות בין שמצאנו הלינארי לקשר בדומה ~Bל־ ~M בין לינארי קשר נחפשבהמשך): ונתקנה מדוייקת לא (שהיא

~M ∼=1

µ0χm ~B

לקטעים הטבלה את נחלק .dz עובי בעלת מעלה, כלפי וקבוע אחיד ~Mש־ כך מעלה, כלפי פולריזציה בעל טבלה על נסתכלהוא הדיפול מומנט קטן בקטע ולכן da קטנים

M · da · dz = I · da

מתקיים ולכן אותו, המקיף שפתו על לזרם השווה

M =I

dz= j

ימין. יד כלל לפי בכיוון משטחית זרם צפיפות אותה מקיפה dz · da אינפיניטסמלית קובייה כל עבור כלומר

וישאר יתבטלו, בגוף הפנימים הזרמים כל אז הזרם, אותו זורם בהן גם אשר אחרות, בקוביות מוקפת קובייה שכל מכיווןהמוליך. שבשפת הזרם רק

לב לשים (ניתן ומורכבים גדולים גוף של המגנוט את לחשב מנת על השנייה גבי על אחת הטבלות את לערום נוכל, עתהבטבלאות/פרוסות). במקום בעמודים השתמשנו בה הקיטוב, הגדרת לאופן להגבלה

? ~M את היוצר השדה מהו . ~M מגנטיזציה בעל גליל על נסתכל דוגמא:ולכן φS = ש־0 וראינו המסתובב), הגליל עם (בתרגיל מקבילות בעיות ראינו כבר

ˆS0

~B · d~a =

ˆS′0

~B · d~a

=

ˆS′′0

B · d~a

=

ˆs0

⟨~B⟩· d~a

= 〈B〉 · a = Ba

〈B〉 :=1

V

ˆV

~Bd~V

93


יווצר אז מהדף״, ה״יוצאים M(1)z ,M

(2)z ,z בכיוון מזרמים כתוצאה מומנטים בעלות ״קוביות״ שתי על נסתכל אם

ש־ כך זרם )בינהןM (2)z −M (1)

z

)dz = Jxdydz

Jx =M

(2)z −M (1)

z

dy=∂Mz

∂y

ובאופן הדף״, אל ״נכנסים ולכן ,y בכיוון מזרמים כתוצאה הנוצרים מומנטים בעלות ״קוביות״ שתי על נסתכל אםנקבל דומה

−(M (2)y −M (1)

y

)dy = Jxdydz

Jx = −M(2)y −M (1)

y

dz

= −∂My

∂z

כי נקבל בסה״כ ולכן

Jx =∂Mz

∂y− ∂My

∂z

בעזרת לחישוב ניתנים (bounded (הנקראים בחומר הנוצרים המקרוסקופים הזרמים בסה״כ ולכן

~Jb = ~∇× ~M

חשמלי לקיטוב הקבלה 5.10.4

זההים שדה קווי נראה לגופים מחוץ מגנטי, קיטוב בעל ואחד חשמלי קיטוב בעל אחד מהצד, גלילים שני על נסתכל אםהגוף, בצוות מרוכז המטען כל בו לגוף שקול החשמלי הקיטוב בעל הגוף כי הראינו כאשר בדיפולים), שמדובר (מכיוון

בו. הזורם J אחיד משטחי לזרם שקול המצב כי המגנטי השדה עבור הראינו ועתה

השדה קווי המגנטי השדה בעל הגוף בתוך קעורים, קווים בעלת היא הגוף בתוך השדה קווי צורת החשמלי שבשדה בעודקמורים. יהיו

הייתה כאילו לבעיה להתייחס ניתן המגנטי, השדה עבור לגוף מחוץ השדה קווי את למצוא מנת על כי ראינו למעשהקיימים לא ־ פיזיקאלית משמעות לכך אין כי לזכור (אך החשמלי בקיטוב כמו הגוף בקצוות ״מגנטית״ מטען צפיפות קיימת

כך: לחשבו וניתן מתמטי), ככלי המשמש וירטואלי מטען רק זהו מגנטים, מטענים

B = −~∇ϕm~∇ · B = µ0ρm

ולכן המגנטי, הקיטוב לאור מקסוואל משוואות על לדבר נוכל עתה

~∇× ~B = µ0~J = µ0 (Jfree + Jbounded)

= µ0

(Jf + ~∇× ~M

)~∇×

(~B

µ0− ~M

)= Jfree

94


(H השדה פשוט (או H המגנטי השדה או ההשראות, שדה גם הנקרא , ~H חדש שדה להגדיר נוכל עתה

~H =1

µ0

~B − ~M

~∇× ~H = Jf

בו לשלוט ניתן לא כי מועט ההעתקה לשדה כי נזכיר . ~D ההעתקה השדה לבין ~H השדה בין להגבלה לב נשים 5.18 הערההחשמליים הזרמים על שולטים אנו מעבדה בתנאי זאת, להבדיל . ~E החשמלי בשדה להשתמש נוטים ולכן מעבדה, בתנאי

מגנטיים. שדות עם היומיומית לעבודה שימושי הוא זה שדה ולכן , ~B בשדה ולא ~H המגנטי בשדה ולכן

אינטגרלי קשר גם למצוא נוכל לעיל, הקשר מתוךˆS

(~∇× ~H

)d~a =

ˆS

~Jf · d~a

=

ˆ∂S

~H · d~l = Ifinside

נקודה, בכל Jf = 0 כלומר חופשיים, זרמים אין אם ולכן הקשורים, מהזרמים מושפע לא H החומר בתוך גם כי לב נשיםמשמר. שדה הוא ולכן ,~∇× ~H = 0 אז

~∇ · ~H =1

µ0

~∇ · ~B − ~∇ · ~M = ρmf + ρmb

השדה את לפתור נוכל בעזרתן אשר וירטואלים מטענים ע״י אותם לפתור ניתן חופשיים, זרמים אין בהן בבעיות ולכןהחשמלי. השדה על שלמדנו החוקים בעזרת

: ~Mל־ ~B בין שמצאנו הקשר את עתה נתקן

~M = χm ~H

~B = µ0

(~H + ~M

)= µ0 (1 + χm) ~H

= µ0µ ~H

µ := 1 + χm

נוספות: נוסחאות

~M = χm ~H = χm

(1

µ0

~B − ~M

)~B = µ0

(~H + ~M

)= µ0 (1 + χm) ~H = µ0µ ~H

µ := 1 + χm

~M =~B

µ0− ~H =

~B

µ0−

~B

µ0µ=

1

µ0· µ− 1

µ· ~B =

1

µ0· χmχm + 1

· ~B

95

אלקטרומגנטים וגלים ובריק בתווך מקסוואל משוואות סיכום מגנטיות5.11 5

אלקטרומגנטים וגלים ובריק בתווך מקסוואל משוואות סיכום 5.11

מקצה נעו ושלילים חיובים מטענים כאיול כך על להסתכל ניתן ולכן ,~P קיטוב בו נוצר ש״פתאום״ ניטרלי חומר על נסתכלולכן ,∂

~P∂t הוא החומר בתוך הזרם ולכן ~P הקיטוב כשל היא שעברה המטען כמות ולכן השני, לקצה הקיטוב של אחד

הזה: הנוסף הזרם איבר את ולהוסיף מקסוואל משוואות את לתקן צריכים אנו דיאלקטרי תווך בתוך

~∇× ~B = µ0

(~J + ε0

∂ ~E

∂t+∂ ~P

∂t

)

= µ0

(~J +

∂ ~D

∂t

)

:( ~H של האחרונה המשוואה ע״י מובעת לעיל (המשוואה בתווך מקסוואל משוואות את לכתוב נוכל ועתה

~∇ · ~D = ρf

~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇ · ~B = 0

~∇× ~H = ~Jf +∂ ~D

∂t

בריק: מקסוואל משוואות

(∗) ~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇ · ~E = 0

~∇× ~B =1

c2· ∂

~E

∂t~∇ · ~B = 0

ברוטור: (∗) את נציב מקורות? בו אין אם בריק האלו המשוואות של הפתרון מה השאלה נשאלת

~∇×(~∇× ~E

)= −~∇× ∂ ~B

∂t= − ∂

∂t

(~∇× ~B

)= − 1

c2· ∂

2 ~E

∂t2

−∇2 ~E + ~∇(~∇ · ~E

)= − 1

c2· ∂

2 ~E

∂t2

∇2 ~E − 1

c2· ∂

2 ~E

∂t2= 0

הוא: שלה והפתרון הגלים, משוואת היא האחרונה המשוואה

~E = ~f (z − v · t)

פתרון: אכן זהו כי נבדוק גל. נקראת במרחב צורתה את משנה שלא זו פונקציה כאשר

f ′′ − v2

c2f ′′ = 0⇒ v = ±c

~E = ~f+ (z − ct) + ~f− (z + ct)

96

אלקטרומגנטים וגלים ובריק בתווך מקסוואל משוואות סיכום 5.11 מגנטיות 5

(zה־ ציר בכיוון הנע (גל הוא הנ״ל המשוואה של המסויימים הפתרונות אחד

~E = ~E0eik(z−ct) = ~E0e

i(kz−ωt)

ω = kc

שכזכור 1µ0ε0

אלא c במשוואות רשום היה לא במקור אך האור, למהירות השווה קבועה במהירות הנע גל קיבלנו כלומר

באותה הידועים אחרים מגלים בשונה אלקטרומגנטי. גל כנראה הוא שהאור ההקבלה הגיעה ומכאן c2 = 1µ0ε0

מתקייםתווך שקיים היא תקופה באותה נכונות) (הלא ההשערות אחת ולכן בריק, נע האור כלשהו, תווך בתוך נעו אשר תקופה,המגנטי, השדה עבור גם זהה פיתוח לבצע ניתן כי לב נשים האור. גלי נעים כביכול ובו (Ether) אתר קראו לו כלשהו,

החשמלי. השדה על רק נסתכל תחילה אך שכאלה, גלים נקבל עבורו וגם

בניצב נע הוא כלומר מישור, הוא קבוע הגל בו גיאומטרית) (מבחינה שהמקום כלומר מישורית גל הוא ש״גילינו״ הנ״ל הגלע״י שלו המחזור וזמן הגל אורך את לתאר ניתן ולכן אלו, למישורים

λ =2π

k

T =2π

ω

f =ω

2π=kc

2π=c

λ

הוא הנ״ל הגל של כללי מקרה

~E = ~E0ei(~k·~r−ωt)

~k · ~r = c

~k השני ובמקרה הגל, מספר נקרא k הראשון במקרה מישורי. גל הוא גם ולכן מישור מגדיר ~k · ~r = c כי לב נשים כאשרכיוון. בכל לנוע יכול זה וגל הגל, וקטור נקרא

דומה ובאופן הגל, מורכב ממנו החשמלי השדה תכונות את ייקם הוא כי נכריח הגל, על נוספים תנאים למצוא כדי עתההמגנטי: השדה עבור גם ישר כתוב

~∇ · ~E = i (kxEx0 + kyE

y0 + kzE

z0 ) ei(

~k·~r−ωt) = 0

⇒ ~k · ~E = 0⇒ ~k ⊥ ~E~k · ~B = 0⇒ ~k ⊥ ~B

: ~∇× ~E = −∂ ~B∂t גם יקיים הגל כי נדרוש ועתה הגל. לוקטור מאונכים החשמלי והשדה המגנטי השדה כלומר

~∇× ~E = i~k × ~E0ei(~k·~r−ωt) = −∂

~B

∂t

~B =~k

ω× ~E0e

i(~k·~r−ωt)

⇒ ~B0 =1

ck × ~E0

⇒ ~E0 × ~B0 =1

ck

.B0 = E0

c הגדלים בין קשר קיבלנו גם כי לב ונשים לזה, זה במאונך נעים והחשמלי הגמנטי הגל כי קיבלנו ולכן

מקסוואל): למשוואות האפשריים הפתרונות אחד (זהו זה לעבר זה נעים גלים שני בו המצב על עכשיו נסתכל

~E = ~E0ei(~k·~r−ωt) + ~E0e

i(~k·~r−ωt)

= 2 ~E0ei~k·~r cosωt

97

אלקטרומגנטים וגלים ובריק בתווך מקסוואל משוואות סיכום 5.11 מגנטיות 5

המגנטי השדה הגלים. שני של סופרפוזיציה והוא צורתו, את משנה רק אל במרחב מתקדם לא אשר עומד, גל נקרא וזהוהוא: זה גל של

~B = B0ei(~k·~r−ωt) − ~B0e

i(~k·~r+ωt)

= 2E0

cei(

~k·~r−π2 ) sinωt

הגל. קיטוב נקרא E0 של הכיוון

הגל אנרגיית 5.11.1

האנרגה את לחשב נרצה ולכן וכו׳), פוטוסינטזה (חום, אנרגיה להם מעביר בעצמים פוגע הוא כאשר האור כי יודעים אנוהאנרגיה: בצפיפות נעזר כך ולשם בגל, הנמצאת

U =1

2

(ε0E

2 +1

µ0B2

)=

1

2

(ε0E

2 +1

µ0· E

2

c2

)= ε0E

2

(אנרגיה ההספק את למצוא נרצה כלומר זו, ״מהירות״ למצוא נרצה ולכן להתקדם, צריכה שבו האנרגיה גם נע, הגל כאשרהאנרגיה: שטף או לשטח, זמן) ליח׳

S =

´ λ0Udz

T=

ω

2π· ε0ˆ λ

0

E20 cos2 (kz − ωt) dz

=ω

2πε0E

20

λ

2=

λ

2πkcε02E2

0

=1

2

√ε0µ0E2

0 =

√ε0µ0E2rms

הריק. של ההתנגדות נקרא לפעמים הוא ולכן√

ε0µ0

= 377Ω הגודל .[Wattm2

]שטח ליחידת הספק הן S של היחידות

להגדיר גם עתה נוכל כללי באופן ולכן התוצאה, אותה את ונקבל המגנטי השדה עבור S את לחשב נוכל , אופן באותוע״י ~S הוקטור את

~S = 2 · 1

2

√ε0µ0E2

0 k =1

µ0

~E0 × ~B0

הגל. ההתקדמות בכיוון הוא ~S ולכן הגל וקטור הוא ~k כזכור כאשר

ולכן UB = 12

1µ0

~B · ~Bו־ UE = 12ε0E

2 = 12ε0

~E · ~E כזכור אחרת. בדרך בשנית החישוב אותו את עתה נבצע

du

dt=

(1

2ε0 ~E · ~E +

1

2ε0 ~B · ~B

)′= ε0 ~E ·

∂ ~E

∂t+

1

µ0

~B · ∂~B

∂t

בתוך: מקסוואל במשוואות בשימוש עתה

du

dt=

1µ0︷︸︸︷ε0c

2 ~E ·(~∇× ~B − µ0

~J)− 1

µ0

~B ·(~∇× ~E

)=

1

µ0

[~E ·(~∇× ~B

)− ~B ·

(~∇× ~E

)]− ~E · ~J

= − 1

µ0

~∇ ·(~E × ~B

)− ~J · ~E

98

אלקטרומגנטים וגלים ובריק בתווך מקסוואל משוואות סיכום מגנטיות5.11 5

מתקיים ולכן (Poynting) פוינטינג וקטור לו ונקרא ~S := 1µ0

~E × ~B הוקטור את נגדיר

du

dt+ ~∇ · ~S = − ~J · ~E

האנרגיה. של השטף הוא ~S ולכן האנרגיה, צפיפות עבור רציפות משוואת זו

בחומר אלקטרומגנטיים גלים 5.11.2

במשוואות: נזכר

~∇ · ~D = ρf (1)

~∇× ~E = −∂~B

∂t(2)

~∇ · ~B = 0 (3)

~∇× ~H = ~Jf +∂ ~D

∂t(4)

~H =1

µ0µ~B (5)

~D = ε0ε ~E (6)

(4, 5) ~∇× ~B = µ0µ

(~Jf +

∂ ~D

∂t

)(7)

(~∇× (2)

)~∇×

(~∇× ~E

)= − ∂

∂t

(~∇× ~B

)(8)

(7→ 8) , (6) − ~∇2 ~E + ~∇(~∇ · ~E

)= − ∂

∂t

(µ0µ~Jf + ε0εµ0µ

∂ ~E

∂t

)(9)

(6, 1) ~∇2 ~E − εµc2 ·∂ ~E∂t =

1

ε0ε~∇ρf + µ0µ

∂ ~Jf∂t

(10)

מתקיים ואז לאפס שווה ימין אגף כי להניך ניתן אז ״שקוף״ החומר בו במצב

~∇2 ~E − n2

c2∂2 ~E

∂t2= 0

הראינו כלומר ,v = cnכי־ ומתקיים מאופטיקה מכירים (חלקינו) אותו השבירה אינדקס הרי שהוא n =

√εµ נגדיר כאשר

כאלו. ״שקופים״ חומרים קיום (מלבד אחרות הנחות ללא מקסוואל, משוואות מתוך ישירות האור של השבירה את

99

01.03.2010 ־ 2 תרגול 6

II חלק

תרגולים

01.03.2010 ־ 2 תרגול 6

בעתיד. השלמה תהיה שאולי ואמר 1 תרגול על מדלג המתרגל

הקורס על 6.0.3

http://moodle.huji.ac.il הקורס: אתר

13:00־12:00. , 225 ב׳ דנציגר קבלה: שעות

6586707־02 טלפון:

הקורס: ציון

מבחן. ־ נקודות 90 .1

מכן. לאחר בשבוע חמישי ליום להגשה ראשון ביום יפורסם – תרגילים) 13 (סה״כ תרגילים ־ נקודות 10 .2

אמצע בוחן ־ מגן נקודות 20 .3

שבועי. פידבק .4

מידה יחידות 6.0.4

C = 1√ε0µ0

ע״י מוגדר (קולון) Cו־ K = 9·109Nt×m2

C2 = 14πε0

מוגדר: בה M.K.S במערכת נעבוד תמיד אנו זה בקורס.

גאוס וחוק שטף 6.0.5

שכאשר וכמובן זה, משטח בתוך שעבר הזרם מהו מציין אשר צינור) בתוך (למשל חתך הוא שטף מים, לזרם באנלוגיהבאופן אפס). כדי (עד יקטן השטף אנכי, למצב קרוב יותר שהמשטח וככל מירבי, יהי השטף לזרם בניצב הוא המשטח

.Velocity of liquid×Area vector – הרוחב שטח דרך זמן ביחידת העובר הנוזל נפח הוא השטף פורמלי, יותר

החתך): כיוון הוא nו־ השדה, וקטור הוא ~E (כאשר סקלרית כמכפלה השטף את נגדיר מתמטי, באופן

dφ = d ~E · ds · n = d ~E · d~s⇒ φ =

ˆ ˆd ~Ed~s

כדור): של סגורה צורה הוא σL) גאוס חוק את נמצא מכאןˆσL

~E · d~s =

ˆ 2π

0

ˆ π

0

k · qr2

r2

sin θ · dθ · dϕ = 4πkq

נקבל ולכן , dq = ρdV לכל´d ~Ed~s = 4πkdq נקבל ρ ˆלהתפלגות

~Ed~s = 4πk

ˆdq = 4πkQtotal

100

01.03.2010 ־ 2 תרגול 6

סימטריה 6.0.6

אינטגרציה ע״י ישירות לפתור ניתן זה. מישור שיוצר השדה את ונחפש ,σ מטען צפיפות בעל אינסופי טעון מישור על נסתכלשטח אם השני. מהצד שלו המקבילה את וגם מסויים משטח ניקח גאוס. חוק ע״י לפתור גם ניתן טבעות. אינסוף עלהמנסרה צדדי של תרומה שאין מכיוון ,4πkAσ הוא המנסרה כך על השטף סך .Aσ הוא בו המטען אז A הוא המשטח

. E = 2πkσ נקבל ולכן E ·Aל־ שווה גם השטף שני ומצד משטח כל אז 2πkAσ הוא משטח בכל השטף אז לשטף,

גגג :6.1 איור

אינסופי: מישור דרך החשמלי השדה של השטף את מצאו בעיה:

ישירה. אינטגרציה בעזרת .1

במשטח: טבעות של אינטגרציה על נסתכל פתרון:

:6.2 איור

101

01.03.2010 ־ 2 תרגול 6

הוא השטף ולכן | ~E| = kqr2+d2 הוא בודדת טבעת של השדה

~E ·∆~s = | ~E| · |∆~s| · cos θ =kq

r2 + d22πr ·∆r d√

r2 + d2

φ =

ˆ~Ed~s =

ˆ ∞0

2πkq · d r · dr(r2 + d2)3/2

= 2πkqd ·ˆ

dy

2y3/2− 2πkqd · 1√

r2 + d2

∣∣∣∣∞0

=2πkqd√d2

= 2πkq

גאוס. חוק בעזרת .2

המשטחים: שני בין המחבר גליל ועל מקבילים אינסופיים משטחים שני על נסתכל פתרון:

4πkq = φlower base + φupper base + φsurrounding

ולכן: השטף אותו הבסיסים לשני מהסימטריה

4πkq = 2φbase + φsurrounding

ולכן:

0 ≤ φsurrounding = |ˆ ˆ

kq

R2· cos θ · ds ≤ kq

R2· 2d · 2πR

=4dπkq

R→

R→∞0

ולכן

φplain = limR→∞

|2πkq − qsurrounding| = 2πkq

במרחב? נקודה בכל ~E השדה מהו . R ברדיוס ρ = ρ0

(rr0

)n, n > −3 מטען בצפיפות טעון כדור :2 בעיה

גאוס: וממשפט כדורית, מעטפת נבחר פתרון:

φ = 4πk ·Qin(r)

Qin(r) =4πρ0

rn0

ˆr2 · rn · dr

=4πρ0

rn0

1

n+ 3

rn+3 r < R

Rn+3 r > R

φ = 4πr2 · E

E(r) =4πkρ0

(n+ 3)rn0· R

n+3

r2, (r > R)

E(r) =4πρ0k

(n+ 3)rn0rn+1 r<R

= kQrn+1

Rn+3

102

09.03.2010 – 3 תרגול 7

המרחב? בכל ~E מהו לדעת ונרצה לשפה, המשיק R/2 ברדיוס כדיר מוציאים ρ בצפיפות טעון R ברדיוס מכדור :3 בעיה

הקטן: מהכדור הגדול הכדור חיסור ע״י ( n = 0 (כאשר הקודמת בתוצאה ונעזר הסופרפוזיציה בעקרון נשתמש פתרון:

~E =

kQ~rr3 r < RkQ~rR3 r > R

~Eout,r>R =kQ~r

r3− kQ

8

~r − R2 x

|~r − R2 x|3

~Ehollow =kQ~r

R3−kQ(~r − R

2 x)

8(R/2)3

~Ein =kQ~r

R3−kQ(~r − R

2 x)

8∣∣~r − R

2 x∣∣3

R1 רדיוס בעל מלא גליל הוא הפנימי כאשר השני), בתוך (אחד אחיד ציר בעלי אינסופיים גלילים שני קיימים :4 בעיהבמרחב? ~E מהו . λ = 2πrσ = πR2

1ρ נגדיר כאשר ,−λ בצפיפות R2 רדיוס בעל חלול גליל והחיצוני λ בצפיפות

הגליל). של (מהסימטריה θב־ תלות ואין אינסופי) (הגליל hב־ תלות אין מהסימטריה, פתרון:

המעטפת: דרך השטף . r ורדיוסו h וגובהו הגלילים כמרכז שמרכזו גליל ניקח

E(r) · 2π · r · h = 4πk [λ · h− λh] = 0

⇒ E(r > R2) = 0

E(r) · 2πrh = 4πkλh,R1 < r < R2

E(r) =2kλ

r

E(r) · 2πrh = 4πkr2

R21

, r < R1

E(r) =

(2kλ

R21

)· r

09.03.2010 – 3 תרגול 7

דיברגנץ 7.0.7

~∇ · ~F =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)· ~F =

∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

המתמטי: גאוס ˚משפטv

~∇ · ~FdV =

‹~F · ds

(מוטיבציה): מימד בחד דוגמאˆ x2

x!

df

dxdx = f(x2)− f(x1)

103

09.03.2010 – 3 תרגול 7

בנקודה. ה״שטף״ זהו כלומר div~F = limV→0

‚~F ·d~sV נוספת הגדרה

הדיפרנציאלי: גאוס ›חוק~E · d~s = 4πk

ˆρdV

‹~E · d~s

Gaus︷︸︸︷=

˚~∇ ~EdV ⇒

~∇ · ~E = 4πkρ

הפונקציה על נסתכל דוגמא:

~F = zxx+ zyy + (y2 − x2)z

~∇ · ~F = z + z + 0 = 2z

~r =√x2 + y2 + z2

~∇ · ~r = 1 + 1 + 1 = 3

פוטנציאל 7.0.8

r לפי נגזרת פשוט הוא הדיברגנץ כדוריות, בקואורדינטות הפוטנציאל. φכהפרש את ונגדיר ~E = −~∇φ לשוויון לב נשיםכלומר:

~∇φ =∂φ

∂rr +

1

r

∂φ

∂θ+

1

r · sin(θ)

∂φ

∂ϕϕ

נקודתי מטען מעבור ולכן

φ =kq

r

:φ(∞) = 0 עבור הפוטנציאלית האנרגיה את למצוא בשביל

U(~r) = q′ · φ(~r)

.1v =1j1c

כלומר בוולט הם הפוטנציאל הפרש של היחידות כאשרהפרש בין במעבר אחד אלקטרון שצובר האנרגיה – הפוטנציאלית האנרגיה לתיאור 1ev ביחידות גם נשתמש בנוסף

אחד. וולט של פוטנציאלים

מהירותו? (שינוי) מה .200V של פוטנציאלים בהפרש ממעבר כתוצאה גדלה שלו שהאנרגיה אלקטרון יש דוגמא:

האלקטרון על שנעשתה העבודה פתרון:

W = e · 200v = 3.52 · 10−17J

מהירותו: ולכן

v =

√2W

m≈ 0.03c

104

09.03.2010 – 3 תרגול 7

.d באורך היא הקוביה כשצלע שלה קודקוד בכל q בגודל מטענים עם קובייה קיימת דוגמא:

לבעיה שרטוט :7.1 איור

הקובייה? במרכז ~E מהו .1

הקובייה? במרכז φ מהו (א)

הקובייה? למרכז מהאינסוף q נוס, מטען להביא הדרושה האנרגיה מהי (ב)

?−qב־ יוחלפו העליונים המטענים 4 אם ו־(2) ל(1) התשובה תשתנה איך (ג)

הסופיים) החישובים בכתיבת הסתפקתי ולכן ההסברים, כל את להעתיק הספקתי לא שלי: (הערה פתרון:

המטענים. של מהסימטריה לאפס שווה במרכז השדה .1

מטען). כל של נפרש חישוב (ע״י φ = 16 kq√3d

ש־ נמצא המטענים של מהסופרפוזיציה .2

U = q · φ(0)− q · φ(∞) = 16 kq2

√3d

מתקיים: φ(∞) = 0 וכאשר φ(0) את יודעים אנחנו ב־(2) החישוב לפי .3.

במרכז: השדה את תחילה נחשב .4

8 · k q

(√

3d/2)2· 1√

3z =

32kq

3√

3d2z

כי נמצא הקודמת, בתוצאה ובשימוש הבעיה של מהסימטריה אשר במרכז, הפוטנציאל את עתה נחשבלאפס. שווה הפוטנציאל

הפוטנציאל מהו אחידה. מטען בהתפלגות Q במטען טעון והוא a, b ניצביו שאורכי זווית ישר משולש נתון דוגמא:בקודקוד?

105

09.03.2010 – 3 תרגול 7

בעייתי משולש :7.2 איור

הוא: הפוטנציאל ולכן ,Q = ab2 · σ ⇒ σ = 2Q

ab המטען: צפיפות את נמצא פתרון:

φ =∑ k ·∆Q

r→ˆkdq

r=

ˆkσdxdy√x2 + y2

y = xb

a= x tan θ

φ = kσ ·ˆ a

0

dx

[ˆ x tan θ

0

dy · 1√x2 + y2

]:dy = x

cos2 θdx ולכן y = x · tan θ′ש־ כך משתנים חילוף נבצע

= kσ

ˆ a

0

ˆ θ

0

1

cos θdθ′

= kσa

ˆ θ

0

1

cosθ′dθ′

1

cos θ=

1 + sin θ

cos θ + cos θ sin θ=

=cos2 θ + sin2 θ + sin θ

cos θ + cos θ sin θ

=cos θ

1 + sin θ+

sin θ

cos θˆcos θ

1 + sin θ+

sin θ

cos θ= − ln |1 + sin θ|+ . . . = ln

(1 + sin θ

cos θ

)φ = kσa · ln

(1 + sin θ

cos θ

)=

2kQ

bln

(b

a+

√1 +

b2

a2

)

במרכז הפוטנציאל בין היחס מהו ונשאל במרחב, הטעון ריבוע של אחרת בעיה לפתור הזו, בבעיה בשימוש ניתן דוגמא:הקודקודים. באחד הפוטנציאל לבין

106

09.03.2010 – 3 תרגול 7

במרכז: הפוטנציאל לחישוב הקודם בפתרון להשתמש נוכל משולשים, ל־8 הריבוע את נחלק אם פתרון:

8kσ · a2· ln

(1 +

√2

2√2

2

)= 8

kσa

2· ln(

1 +√

2)

בקודקוד: הפוטנציאל את ונמצא משולשים, לשני הריבוע את נחלק דומה, באופן

2kσ · a · ln(1 +√

2)

. φ(O)φ(O′) = 2 הוא היחס ולכן

φ(~r) = :(r = |~r| (כאשר מהראשית במרחק רק התלוי פוטנציאל נתון (1 שאלה א׳, מועד תשס״ו ־ (מבחינה תרגיל:.φ0e

−r2/a2

.~r2 = (a, 0, וב־(0 ~r1 = (0, 0, ב־(0 ~E את מצאו .1.~r1, ~r2ב־ ρ את מצאו .2

?~r2ל־ ~r1מ־ השדה) על משפיע לא המטען במיקום שהשינוי (בהנחה נקודתי q מטען להעברת העבודה מהי .3המרחב? המטען סך מה .4

פתרון:

ולכן: ~E = −~∇φ כי התרגול בתחילת ראינו .1

~−∇φ =

(∂φ

∂rr +

1

r

∂φ

∂θθ +

1

r sin θ

∂φ

∂ϕϕ

)= φ0

1

a22~re−r

2/a2

=2~r

a2φ(~r)

~E(0, 0, 0) = 0

~E(a, 0, 0) =2

ae−1φ0 · r

מתמטית: זהות תחילה ניראה .2

~∇ · (f ~A) =∂

∂x(fAx) +

∂

∂y(fAy) +

∂

∂z(fAz)

=∂f

∂xAx +

∂f

∂yAy +

∂f

∂zAz + f(

∂Ax∂x

,∂Ay∂y

,∂Az∂z

)

=

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)(Ax, Ay, Az) + f ~∇ ~A

= (~∇ · f) ~A+ f · ~∇ ~A

בזהות: ובשימוש לתרגיל וחזרה

ρ(~r) = ε0~∇ · ~E =2ε0a2

~∇(φ~r)

=2ε0a2

(~∇φ · ~r + φ · 3)

=2ε0a2

(−2r2

a2+ 3)φ

ρ(~r1) =6ε0a2φ0

ρ(~r2) =2ε0a2φ0

1

e

107

16.03.2010 – 4 תרגול 8

העבודה: את נחשב .3

W = q[φ(~r2)− φ(~r1)] = qφ0

[1− 1

e

]

~E = 2a2~r ·φ0 ·e−r

2a2

נקודה: בכל לשדה הביטיו וע״י הכדורית הסימטריה באמצעות הבעיה את לפתור ניתן .4ניתן אפס. הוא המטען סך ולכן לאפס שווה השטף גם ולכן לאפס שואף r →∞ כאשר השדה כי לראות ניתןהמלא (הפתרון Q =

´ρdV – ב־(2) שקיבלנו ρל־ הביטוי על אינטגרציה ביצוע ע״י גם הבעיה את לפתור

הקורס). ברשימות נמצא

אנרגיה 7.0.9

התפלגות של העבודה את למצוא מנת על ולכן U = 12

∑i 6=j

kqiqjrij

היא מטענים מספר של מערכת של שהאנרגיה ראינומטען:

W =1

2

∑i,j

qiφi(~rj)⇒1

2

ˆρ(~r)φ(~r)du

=−1

8πk

ˆv

∇2φ · φdv = − 1

8πk(~∇φ) · φ|∞ +

1

8πk

ˆv

(~∇φ)2dv =

=1

8πk

˚v

| ~E|2dv

. ∇2φ = ~∇(~∇φ)ב־ בשימוש שנעשה לשימוש לב נשים

16.03.2010 – 4 תרגול 8

רוטור 8.0.10

~∇× ~F |x = lims→01s

´~Fd~xx 8.1 הגדרה

הסגורה. המסילה כיוון לפי ימין יד כלל לפי הוקטור כיוון 8.2 הערה

´(~∇× ~F )d~s =

´~Fd~l (סטוקס) 8.3 משפט

∣∣∣∣∣∣ i j k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣ = i(∂Fz∂y −

∂Fy∂z

)+ j

(∂Fz∂x −

∂Fx∂z

)+ j

(∂Fy∂x −

∂Fx∂y

)חישוב:

לאפס! שווה תמיד חשמלי שדה של הרוטור 8.4 הערה

הבאה. הדוגמא דרך סטוקס משפט של השוויון את נראה דוגמא:שבשרטוט המסילה על ונסתכל E = y

a x+ xb y השדה נתון

108

16.03.2010 – 4 תרגול 8

סטוקס משפט בדיקת :8.1 איור

ישירות: המסלולי האינטגרל את נמצא תחילה

C1 : (x, y) = (x, 0)⇒ d~l = dxx, 0 ≤ x ≤ aC2 : (x, y) = (a · cosθ, a sin θ), 0 ≤ θ ≤ 45

d~l =d(x, y)

dθdθ = a(− sin θ, cos θ)dθ

C3 : (x, y) =

(a− s

2

√2,a− s

2

√2

)d~l =

d(x, y)

ds· ds = −

√2

2(1, 1)ds

109

16.03.2010 – 4 תרגול 8

עצמו: האינטגרל את נחשב ועתהˆC1

~E · d~l =

ˆ a

0

E0

(0

ax+

x

by)

)dxx = 0

ˆC2

~E · d~l =

ˆ π/4

0

E0

(sin θx+

a

bcos θy

)· a · (−sinθx+ cos θy)dθ

= E0a

ˆ π/4

0

(ab

cos2 θ − sin2 θ)dθ

cos(2θ) + 1

2= cos2 θ

ˆC2

(...) = E0 · a ·[a

b

sin 2θ + 2θ

4· sin 2θ − 2θ

4

]π/40

= E0a

(a

4b+

1

4+aπ

8b− π

8

)ˆC3

~E · d~l = −E0

ˆ a

0

(1

a· a− s√

2x+

1

b· a− s√

2y

)(x+ y)

1√2ds

= E0

ˆ a

0

s− a2

(1

a+

1

b

)ds

= E0a

[s2 − 2as

4

(1

a2+

1

ab

)]a0

= E0a

(−1

4− a

4b

)המסלול: כל סך על האינטגרל בסה״כ,

˛∂s

~E · d~l =E0 · a

8

(ab− 1)π

הרוטור: דרך האינטגרל את עתה נחשב

ˆ(~∇× ~E)d~s

On this example!︷︸︸︷=

ˆ(~∇× E)z · ds

= E0

ˆ (1

b− 1

a

)ds

= E0

(1

b− 1

a

)ˆds

=

(1

b− 1

a

)πa2

8E0

=E0πa

8

(ab− 1)

למשפט! בהתאם התוצאה אותה את שוב וקיבלנו

110

16.03.2010 – 4 תרגול 8

חשמלית אנרגיה 8.0.11

העבודה את ונסכום במרחב שלהם המיקום אל מהאינסוף אחד אחד ונעבירים המערכת של המטענים את ניקח 8.5 הגדרהזאת. לבצע הנדרשה

1

2

∑i

∑j

kqiqjrij

=∑i>j

kqiajrij

רציף: ובאופן

1

2

ˆρ · ϕ(~r)dv =

ε02

˚ [(~∇φ)2 − ~∇(φ~∇φ)

]dv

=ε02

˚V

| ~E|2dV −‹

φ~∇φds

כאשר לאינסוף שואף‚ → 1

R︷︸︸︷φ

→ 1R2︷︸︸︷~∇φ

→R2︷︸︸︷ds הביטוי כך), תמיד לא זה (חשוב! סופית היא המטען התפלגות כי ההנחה תחת

היא האנרגיה בסה״כ ולכן לאינסוף, שואף R

ε02

˚V

| ~E|2dV

באמצעות נחשב ולכן , ~E(r) =

− 2kλ

r r r < R

0 r > Rהוא אינסופי גליל של השדה אינסופי. גליל של האנרגיה חישוב דוגמא:

לעיל: האינטגרל

∆V =1

8πk

(˚ R/2

0

(−2kλ

r

)−˚ R

0

−2kλ

rdV

)

=1

8πkL2π

(ˆ R

R/2

(2kλ

r

)2

r · dr

)

= −2πL

8πk4k2λ2 ln r|RR/2

= −k · Lλ2 · ln(

R

R/2

)= −kLλ2 · ln(2)

. −kλ2 ln(2) היא גליל למטר העבודה כלומר

בהתאמה. ρA, ρB בצפיפויות A,B טעונים גופים שני נתונים תרגיל:

הגופים? בין האנרגיה כלומר בנייתה), אנרגיית (ללא המערכת אנרגיית מהי .1

כאשר קורה מה .d בינהם ,ρAוהמרחק ρB אחידים טעונים ,R רדיוס בעלי כדורים, הגופים ששתי נתון .2?d >> R

:Bו־ A ליצירת האנרגיה את הכללית מהאנרגיה נחסיר פתרון:

UTotal = UA + UB + USystem

=ε02

˚| ~EA|2dV +

ε02

˚| ~EB |2dV + USystem

UTotal = 0 +1

8πk

˚V

( ~EA + ~EB)2dV

111

23.03.2010 – 4 תרגול 9

:2 חלק

U ′ =1

4πk

˚

הבאה. לפעם אותו אעדכן אני הפתרון את לי ישלחו אם התרגיל... את להעתיק סיימתי לא 8.6 הערה

23.03.2010 – 4 תרגול 9

באלקטרוסטטיקה מוליכים 9.0.12

המוליך. בתוך ~E = 0 •

למוליך. מאונך הוא המוליך) לפני סמוך אלא פניו, על ממש (לא המוליך פני על החשמלי השדה •

פוטנציאל. שווי הם ושפתו ומוליך •

לעיל). ההנחות את שייקים (כך שפתו פני על יתפלג המטען טעון, המוליך אם •

. ~E = 4πkσr המוליך בקירבת השדה •

היחידות משפט 9.0.13

אינסופיים, וכו׳ תילים משטחים, עבור (גם סופי הוא המרחב כי ונניח מטען, והתפלגויות מטענים מוליכים, קיימים במרחבעובדים). אנו בו המידה לקנה ביחס גדולים מאוד אבל סופים, הם כי נניח

המקיימת: φ פונקציה קיימת אם

.i מוליך לכל (קבוע) φ = ci •

.∇2φ = −4πkρ פואסון משוואת מתקיימת התחום בתוך •

מוליך). כל (עבור‚i~Ed~s = 4πkQi גאוס: חוק מתקיים •

קבוע. כדי עד המערכת של הפוטנציאל הוא φ אזי

הארקה 9.0.14

.ϕ = 0 הוא המוליך של הפוטנציאל מכך וכתוצאה מאוד, דק בתיל ממנו) גדול המאוד לגוף (או לאינסוף המחובר משטח

מאוד קטן d המרחק כי גם ומתקיים מהשני, אחד d במרחק σ1,2 מהמטען צפיפויות בעלי משטחים שני נתונים בעיה:הצפיפות σ′) המוליך של צד כל על המטען צפיפות מהי טעון. לא מלבני מוליך יש המשטחים בין המשטח. מאורך

.(σ2 עבור σ′′ו־ ,σ1 בעל הלוך ליד

112

23.03.2010 – 4 תרגול 9

.σ′ + σ′′ = 0 מתקיים המטען ומשימור הבעיה של מהסימטרייה פתרון:לקיים: שצריך המוליך בתוך השדה על נסתכל ולכן ~E = 2πkσ הוא אינסופי משטח של השדה

2πk(σ2 + σ′′ − σ1 − σ′)(−z) = 0

σ2 + σ′′ + σ′′ − σ1 = 0

σ′′ =σ1 − σ2

2

σ′ =σ2 − σ1

2

.R2 ברדיוס והגדולה R1 רדיוס בעלת הקטנה בתיל. המחוברות השנייה בתוך אחת מוליכות, קליפות שתי קיימות בעיה:מהמרכז. R3 במרחק הספרות בין נקודתי מטען קיים בנוסף

.r > R2 בתחום ~E את מצאו .1

במרכז. (הפוטנציאל) ϕ את מצאו .2

הקליפות. על המושרים המטענים Q1,2 את מצאו .3

לסיכום. אותה אוסיף אני לבעיה הפתרון את לי ישלחו אם פתרון:

המראות שיטת 9.0.15

תנאים מייצרים אשר ״פיקטיבים״ במטענים בשימוש רציפים, גופים של מורכבת בעיה נמיר היחידות, במשפט בשימושלמצוא. שרצינו בבעיה לפטונציאל דומה יהיה הדומה בבעיה הפוטנציאל היחידות משפט ולפי הבעיה, לתנאי דומים

לכדור? מחוץ ϕ מהוא .a במרחק לו מחוץ ומטען R ברדיוס מוליך כדור קיים בעיה:

שלבים לפי פתרון:

המוליך. ממרכז b במרחק הכדור בתוך q עם הציר על דמה מטען נציב .1

המטען עם ציר אותו על אותם נבחר הבעיה (לצורך המוליך פני על A,B בנקודות הפוטנציאל את נאפס .2לכדור). מחוץ

ϕ(A) =kq

a−R+

kq′

R− b= 0

q′

q=

b−Ra−R

φ(B) =kq

a+R+

kq′

b+R= 0

q′

q= − b+R

a+R

⇒ (b− r)(a+ r) = −(b+ r)(a−R)

2ab = 2R2

b =R2

a⇒ b < R

q′ = qR2/a−Ra−R

− qR

a· R− aa−R

= −qRa

113

13.04.2010 – 5 תרגול 10

הוא ~sו־ הכדור, על כלשהי לנקודה qמ־ המרחק הוא ~d הוקטור אם הכדור. כל פני על אפס ϕ שאכן נוודא .3אזי: הכדור), (מרכז הצירים מראשית המרחק הוא ~rו־ q′מ־ המרחק

|~d| =√~d · ~d =

√(~r − ~a)(~r − ~a) =

√R2 + 2ax+ a2

|~s| =√R2 − 2bx+ b2 =

√R2 − 2

R2

ax+

R4

a2

=R

a

√a2 − 2ax+R2 =

R

a|~d|

ϕ(~r) =kq

|~d|+kq′

|~s|

=kq

|~d|− qR

aka

R

1

|~d|= 0

שרצינו. התנאי את מקיים הוא ולכן

בפרט היחידות, למשפט התנאים את מקיים טרם זה במצב שהפוטנציאל מכיוון היחידות. משפט לפי נתקן .4לא הוא הכדור, במרכז −q′ מטען נוסיף אם ולכן הכדורית, המעטפת בתוך מטען קיים כי גאוס, חוק את

יתקיים. גאוס וחוק אפס יהיה המטען סך המעטפת בתוך ואז קבוע), הוספת (מלבד הפוטנציאל על ישפיע

13.04.2010 – 5 תרגול 10

קבלים 10.1

מתקים ϕ פוטנציאל בעל כלשהוא מוליך עבור

ϕ = ϕ∞ −ˆ ~x

∞~E · d~l

המוליך. על נקודה היא ~x כאשרונגדיר פקטור באותו E את תגדיל Q הגדלת

ϕ

Q= Const =

1

C

הגוף. של בגיאומטריה רק תלוי C והקבוע

החדש? ϕ מהו דק. בתיל הגופים את מחברים .ϕ1, ϕ2 בפוטנציאלים מוליכים שני נתונים תרגיל:

מתקיים החיבור לפני פתרון:

Q1 = C1ϕ1

Q2 = C2ϕ2

Q1 +Q2 = C1ϕ1 + C2ϕ2

יתקיים החיבור אחרי

Q′1 = C1ϕ

Q′2 = C2ϕ

Q′1 +Q′2 = ϕ(C1 + C2)

Q′1 +Q′2 = Q1 +Q2

114

קבלים 10.1 13.04.2010 – 5 תרגול 10

בסה״כ ולכן

ϕ =C1ϕ1 + C2ϕ2

C1 + C2

.ϕ ≈ ϕ1 כי נקבל C1 C2 כאשר

כדורי קבל 10.1.1

הקיבול? מהו – R ברדיוס מוליך כדור

ϕ =kQ

R⇒ Q

ϕ=R

k⇒ [C] = Farad

.1Colon הוא הקבל על המטען 1V olt הוא קבל על המתח כאשר היא 1F של ההגדרה

לוחות קבל 10.1.2

הוא בינהם השדה כי לקרב ניתן אזי d √A מקיים בינהם d המרחק כאשר A שטח בעלי לוחות שני על נסתכל אם

ולכן אינסופי לוח של כמו אחיד שדה

E = 4πkσ ⇒ ϕ = 4πkσ

ˆdz = 4πkσd

σ =Q

A

∆ϕ = 4πkQ

Ad⇒ C =

Q

∆ϕ=

A

4πkd

כדורים שני 10.1.3

בינהם? הקיבול מהו

External︷︸︸︷R1 ,

Internal︷︸︸︷R2 ורדיוסים משותף מרכז בעלי כדורים שני

ϕ =kQ

R1− kQ

R2=R2 −R1

R1R2· kQ

Q

|ϕ|=

R1R2

R1 −R2· 1

k

גלילי קבל 10.1.4

נגדיר אינסופי. לגליל נקרב וכך הגליל, של לעובי ביחס ארוך מספיק הקבל כאשר נקרב ארוך, ליחידת קיבול על נסתכל−λ החיצונית ועל λ היא הפנימי הגליל על הקווית המטען צפיפות ובנוסף ,R1 החיצוני R2והרדיוס הפנימי הרדיוס את

115

קבלים 10.1 13.04.2010 – 5 תרגול 10

ולכן

~E =

0 r < R2

2kλr r R2 < r < R1

0 r > R2

ϕ = 2kλ ln(r) + c

∆ϕ = 2kλ(ln(R1)− ln(R2))

= 2kλ lnR1

R2

Q = λL

Q

∆ϕ· 1L =

1

2k ln R1

R2

קבל אנרגיית 10.1.5

−W = U =

ˆ Q

0

V dq =

ˆ Q

0

q

Cdq =

Q2

2C

אזמתקיים Q ידוע ולא המתח ידוע אם

Q

C= ε

U =C2ε2

2C=Cε

2

במקביל קבלים חיבור 10.1.6

הבאה: המערכת נתונה

במקביל קבלים חיבור :10.1 איור

116

קבלים 10.1 13.04.2010 – 5 תרגול 10

נקבל הקבלים כל על המתחים משוויון אזי הקבלים, על מתח המייצר מקור הוא ε כאשר

C1ε = Q1, C2ε = Q2

Cε =∑

Qi

Cε = ε∑

Ci

C =∑

Ci

בטור: חיבור 10.1.7

נקבל ולכן זהה, הוא קבל כל על המטען המטען, משימור

Q = ε1C1

Q = ε2C2

ε =∑

εi =∑ Qi

CiQ

ε=

∑ 1

Ci

קבלים לחיבור דוגמאות 10.1.8

הבאה: הקבלים במערכת קבל כל על Qiו־Vi מהו בעיה:

קבלים בעיית :10.2 איור

117

קבלים 10.113.04.2010 – 5 תרגול 10

פתרון:

Q1 +Q2 = −Q3

CTotal =1

C1 + C2+

1

C3

Q3 = V CTotal

Q1 · C1 = V − V3

V3 =Q3

C3

Q1 =V − Q3

C3

C1

|Q2| = | −Q3 −Q1|

=

∣∣∣∣∣V −Q3

C3

C1+Q1

∣∣∣∣∣V2 = V − V3

הבאה: הקבלים מערכת של השקול הקיבול מה בעיה:

קבלים בעיית :10.3 איור

הבאה: המשוואות מערכת את נקבל והמטענים המתחים על האילוצים לפי פתרון:

Q4 +Q6 +Q7 = 0

Q1 +Q2 +Q4 = 0

Q3 +Q6 = 0

Q7 +Q5 = 0

C1Q1 + C2Q2 = V

C4Q4 + C7Q7 + C5Q5 + C2Q2 = 0

C6Q6 + C4Q4 + C1Q1 + C3Q3 = 0

ושות׳). מטלב (או מטריצות ע״י לפתור ניתן זו משווואות ומערכת

118

27.04.2010 – 6 תרגול 11

קבלים בעיית :10.4 איור בעיה:

לוח? כל על המטען מהו .1

המערכת? אנרגיית מהי .2

?H בצורת המרכזית הצומת את מוציא אם האנרגה תשתנה בכמה .3

פתרון:

.1(1

C1+

1

C2

)−1

= C

C1 = C2 =A

4πkd(8πkd

A

)−1

= C

⇒ Q = V C

=AV

8πkd

U = CV 2

2 = AV 2

16πkd .2

המערכת: של החדשה האנרגיה את נחשב .3

C =A

4πk(3d)⇒ U =

1

2CV 2

C =2

3Cold ⇒ U =

2

3Uold

27.04.2010 – 6 תרגול 11

הודעות 11.1

03.05.2010 עד להגשה דיאלקטרים של והתחלה מולטיפולים – 7 תרגיל •

119

המולטיפולי הפיתוח 11.2 27.04.2010 – 6 תרגול 11

ה־10.05.2010 עד להגשה דיאלקטרים – 8 תרגיל •

13.05.2010 עד להגשה זרמים – 9 תרגיל •

התרגילים. לצורך המולטיפולי הפיתוח על סיכום לאתר הועלה

המולטיפולי הפיתוח 11.2

בשניים, נטפל כאשר אך ,KQr לפי במרחב הפוטנציאל את לחשב קל בראשית, הנמצא אחד מטען על רק מסתכלים כאשרלפשט נוח המערכת. את לתאר בשביל בוקטורים להשתמש ונאלץ יותר, למורכב נהפך הביטוי מטענים, יותר או שלושה

המדוייק. הביטוי על במקום הבעיה של הקירוב על ולהסתכל לדיפול, באנלוגה כאלו מערכות

במרחב: הפוטנציאל את למצוא ונרצה zה־ ציר על מהראשית d במרחק הנמצא מטען על נסתכל

מולטיפולי פיתוח :11.1 איור

ϕ =kq

|~r′|r′2 = r2 + d2 − 2rd cos θ

ϕ =kq√

r2 + d2 − 2rd cos θ

120


נקבל ולכן dr 1 ולכן d r בו המצב על נתסכל

ϕ =kq

r· 1√

1 +(dr

)2 − 2dr cos θ

1√1− x

≈ 1 +x

2+

3x2

8

ϕ ≈ kq

r

1− d2

2r2+d cos θ

r+

[(d

r

)2

+ 2d

rcos θ

]23

8

+ o(

(d

r

)3

)

=kq

r

[1− d cos θ

r+d2

r2

(3 cos2 θ

2− 1

2

)+ o(

d

r)3

]

=kq

r+

Dipole︷︸︸︷kqd

r2cos θ+

kqd2

2r3(3 cos2 θ − 1) + ...

d cos θ = ~d · r

נקבל ולכן −d2 ו־ d2 ב־ zה־ ציר על הנמצאים ושלילי, חיובי מטענים, שני על נסתכל עכשיו

ϕ = 2kq d2r2

cos θ =kq~d · ~rr3

נקבל אז הדיפול) מומנט גם (נקרא הדיפול וקטור בתור ~p = q~d נסמן ואם

ϕ = k~p · ~rr3

נסמן מערכת כל עבור כללי, באופן

~p =∑i

qi~ri ⇒ˆV

ρ(~r)~rdV

בכלליות לסמן נוכל ואז

ϕ =kQ

r+ k

~p · ~rr3

+k

2r5~r(←→Q←→r

)ולכן מטריצה מציין הוא ←→x הסימון כאשר

←→Q←→r =

Qxx Qxy QxzQyx Qyy QyzQzx Qzy Qzz

xyz

δij =

1 i = j

0 i 6= j

Qij =∑a

qa(3rairaj − δijr2

a

)Qij →

ˆρ(~r)(3rirj − δijr2)dr

121


הקודם הדיפול עבור דוגמא:

r1 = (0, 0, d)

r2 = (0, 0,−d)

Qxx = q(0− d2)− q(0− d2) = 0

Qyy = q(...) = 0

Qzz = q(3d2 − d2)− q(3d2 − d2) = 0

Qij = 0

ϕ =k(q − q)

r+ k

~p · ~rr3

+ 0 = k~p · ~rr3

r R עבור ϕב־ המוביל הסדר מהו .ρ(~r) = ρ0zR ש־ כך R ברדיוס כדור נתון בעיה:

פתרון:

QTotal =

ˆ 2π

0

ˆ π

0

ˆ R

0

ρ0z

R· r2 sin θdrdϕdθ

=

˚ϕ0

Rr2 · cos θ

rsin θdrdϕdθ

=

¨(...)

− cos 2θ

4

∣∣∣∣π0

= 0

Px =

˚ρ0z

Rxr2 sin θdrdθdϕ

=

˚ρ0

cos θ

rsin θ cosϕdrdθdϕ = 0

Py = ... = 0

Pz =

˚ρ0

(cos θr)2

R· r2 sin θdrdθdϕ

= 2πR4

5· 2

3ρ0 =

4π

15ρ0R

4

ϕ =4π

15kρ0

R4z

r3

E = −~∇ϕ =4π

15

kϕ0R4

r3·(

3z~r

r2− ~z)

דיפול על מומנט 11.2.1

עליו הפועל המומנט את לחשב ונרצה קבוע, חשמלי שדה בתוך הנמצא דיפול על נסתכל

~N =~d

2× q ~E −

~d

2× (−q ~E) = ~p× ~E

122

דיאלקטרי חומר 11.327.04.2010 – 6 תרגול 11

היא אותו לסובב בשביל הדרושה העבודה אז השדה, בכיוון נמצא הדיפול אם

W = −2

ˆ θ

0

q ~E · d2θdθ

=

ˆ θ

0

qEdθ sin θ = qEd(1− cos θ)

היא לשדה ביחס בזווית הדיפול של האנרגיה ולכן

U(θ) = −~p · ~E

דיאלקטרי חומר 11.3

הוא ובנוסחה ,~P ∝ ~E כי מתקיים בטבע בד״כ מערכת. של הדיפול וקטור את המגדיר ~P = Nq · ~δ הגודל את נגדיר~P = ε0χ~Eכ מוגדר

הם (ρp) החומר ובתוך (σP ) החומר שפת על המטען התפלגויות כי נקבל זה מגודל

σP = ~P · rρP = −~∇~P

מקומית, מטען צפיפות להיווצר יכולה מורכב שדה בתוך אך אפס, היא החומר בתוך הצפיפות אחיד שדה בתוך כאשרלספק צריך ניטרלי, לא הוא הצפיפות על האינטגרל (כאשר מקרה בכל ניטרלי להישאר צריך החומר המטען משימור אך

הסבר). לזה

הפונקציה את נגדיר בנוסף

~D := ε0 ~E + ~P = ε ~E = ε0(1 + χ) ~E

~∇ · ~D = ρTotal + ρp = ρfree

.ρ(~r) = Ar2 ש־ כך הדיאלקטרי הכדיר את טוענים .b− a בעובי מוליכה בקליפה מוקף a ברדיוס דיאלקטרי כדור בעיה:

מוליך כדור בתוך דיאלקטרי כדור :11.2 איור

123

דיאלקטרי חומר 11.3 27.04.2010 – 6 תרגול 11

במרחב? החשמלי השדה מהו .1

הדיאלקטרי? בחומר המושרים ρ, σ מהם .2

המוליכה? בקליפה המושרה המטען מהו .3

במערכת? החשמלית האנרגיה מהי .4

הספירה: בתוך הכלוא המטען את נחשב כללי באופן פתרון:

q(r) =

ˆ 2π

0

ˆ π

0

ˆ r

0

A

r2· r2 sin θdθdϕdr

= 4πAr

q(a) = 4πAa

כי נקבל למוליך) מחוץ (אבל הכדור בתוך השדה את לחשב בשביל ~Dב־ נעזר .1

4πr2 ~D = q(r)r

~E =~D

ε=

4πAr

4πr2ε=A

rεr

כי נקבל למוליך) (ומחוץ לכדור מחוץ

~E = k4πAa

r2

.2

~P = ~D − ε0 ~E =(1− ε0

ε

)Ar r

σp = ~P · r =(

1− ε0ε

) Aa

ρp = −(

1− ε0ε

) Ar2

השוויון מתקיים אכן כי נבדוקˆρ(r)dV =

(−1 +

ε0ε

)4πAa

σ · S =(

1− ε0ε

)A4πa

מתאפס. המושרה המטען סך כי קיבלנו אכן ולכן

של הפנימית השפה על המטען ולכן להתאפס, צריך השטף המוליך, בתוך מעטפת נבנה אם גאוס, חוק לפי .3ולכן הדיאלקטרי החומר של הכולל למטען שווה להיות צריך המוליך

σa = −4πaA

4πa2= −A

a

החיצונית הקליפה עבור דומים ומשיקולים

σb =4πaA

4πb2=Aa

b2

124

04.05.2010 – 7 תרגול 12

.4

1

2

ˆ~E · ~DdV = U

U =1

2

˚ a

0

~E · ~Dr2 sin θdrdθdϕ+1

8πk

˚~E2r2 sin θdrdθdϕ

= ... =2πA2a

ε0

(ε0ε

+a

b

)

04.05.2010 – 7 תרגול 12

הסעיף את לעשות לא ממליצים כרגע ....´∞

01r2 2πrdrל־ הדומה אינטגרל היא תיל של אנרגיה – 8 בתרגיל 2 השאלה

הזה.

מתנהג השדה אז זה, למקרה היחידות משפט של הכללה עושים אם דיאלקטרים. חומרים שני בין חיץ של בשאלה רמז:. Er2 כמו

דומה. יהיה החיץ בקרבת השדה ולכן הצדדים, שני בין רציף עובר Eש־ מכיוון לשאלה: נוספת המלצה

ומוליכות זרמים 12.1

הזרם צפיפות 12.1.1

חתך שטח ביחידת העובר המטען כמות את מייצגת והיא ,J(~r) := ρ(~r)~v(~r) ע״י הזרם צפיפות את נגדיר 12.1 הגדרהזמן. ליחידת

של היחידות כאשר מסויים. חתך בתוך העובר המטען כלומר I := dqdt =

˜S~J · d~s ע״י הזרם את נגדיר 12.2 הגדרה

.Coulombsec או באמפר הם זרם

מתקיים המטען שימור מחוק ולכן ,Q0 הוא בכדור המטען t = 0 ברגע כאשר מטענים, כדור דרך ויוצאים נכנסים דוגמא:

Qinside +Qout = Q0˚dρ

dtdV =

d

dt

˚ρdV =

dQinsidedt

= −dQoutdt

= −¨

~j · d~s

כי נקבל המתמטי כאוס ממשפט ולכן˚

dρ

dtdV = −

˚V

~∇ · ~JdV

⇒ d

dtρ+ ~∇ · ~J = 0

באנלוגיה נסתכל אם אינטואטיבי, באופן ונקודה. נקודה בכל אחיד הוא סגור תווך בתוך שהזרם לכך ההצדקה וזוהצינור), הצרת (או הצינור התרחבות בגלל תשתנה הנוזל שמהיורת אף על כי קבוע, ישאר הזרם אז בצינור, לזרם

החתך. שטח הגדלת כנגד יבוא זה שינוי אבל

125

ומוליכות זרמים 12.1 04.05.2010 – 7 תרגול 12

אוהם חוק 12.1.2

הסגולית המוליכות בתוך σ = 1ρ נגדיר אם כולן! לא אך לפיו, מתנהגות המערכות שרוב אמפירי יחס הוא ~J ∝ ~E היחס

מתקיים אז החומר של

~J = σ ~E

ע״י הזרם את לחשב נוכל אז ,V מתח בעל כוח למקור המחובר A ושטח l אורך בעל קבוע אורכי מוליך עבור דוגמא:

I =

¨~J · d~s

= σ

¨~Eds

E · l = V

I = σEA = σV A

l≡ V

R

R :=l

Aσ=ρl

A

כי נקבל הקודמת בדוגמא בשימוש ולכן b וגובה c רוחב ,a באורך תיבה של ההתנגדות את למצוא נרצה דוגמא:

Rbc =a

bcσ,Rac =

b

acσ,Rab =

c

abσ

מחבר V המתח מקור כאשר ,b גדול ורדיוס a קטן ברדיוס כדורית קליפה נתונה – כדורית קליפה של ההתנגדות בעיה:? r = aב־ המטען צפיפות מהי לחיצונית. בפנימית השפה בין

היא שלהן ההתנגדות ולכן ,r ורדיוס dr בעובי כדוריות לספרות הקליפה את נחלק כך ולשם ,R את נמצא ראשית פתרון:ספרה כל של ההתנגדות את ונחשב תיבה, של כמו בקירוב

dR =1

σ

dr

4πr2

R =

ˆ b

a

dR =1

4πσ

1

r

∣∣∣∣ba

=1

4πσ

(1

a− 1

b

)=

b− a4πσab

השדה את נחשב עתה,

~E =~J(~r)

σ=

4πRab

b− a~J(~r)

~J =I

4πr2

⇒ ~E =V ab

b− a· 1

r2

~E =

0 r < aV abb−a ·

1r2 a < r < b

126

נגדים 12.204.05.2010 – 7 תרגול 12

או q = 1kvabb−a כולל ובמטען a ברדיוס המוליכה הקליפה של השדה וזהו

Σ =q

4πa2=

V b

b− a· 1

4πak

הסגולית). המוליכות σ עם להתבלבל לא (כדי המטען צפיפות Σהיא כאשר

מהי .a, v הרדיוס בין V מתח מחברים .σ1 ומוליכות ,cו־ b הרדיוסים בין נוספת כדורית קליפה כעת דוגמא: המשך?r = bב־ המטען צפיפות

פתרון:

R =

ˆ b

a

1

σ

dr

4πr2+

ˆ c

b

1

σ1

dr

4πr2

=1

4π

[1

σa− 1

σb+

1

σ1b− 1

σ1c

]~E =

~J(~r)σ = I

4πr2σ r a < r < b~J(~r)σ1

= I4πr2σ1

r b < r < c

היא: bב־ הצפיפות כי נקבל גאוס ומחוק

Σb =1

4πk

(I

4πbσ1− I

4πb2σ

)=

I

16π2b2k

(1

σ1− 1

σ

)

נגדים 12.2

בטור חיבור 12.2.1

R =∑i

Ri ⇐

V = IR

IR1 + . . . = IR

במקביל חיבור 12.2.2

V = IR = I1R1 = I2R2 = . . .

I = I1 + I2 + . . .1

R=

∑i

1

Ri

127

נגדים 12.2 04.05.2010 – 7 תרגול 12

נגד של הספק 12.2.3

P =dW

dt=d(qV )

dt= V

dq

dt= IV = I2R =

V 2

R

קירכהוף חוקי 12.2.4

ממנה. היוצאים הזרמים לסכום שווה לצות הנכנסים הזרמים סכום – מטען שימור .1

לאפס. שווה המתחים סכום המעגל, בתוך סגור מסלול לכל כלומר משמר, החשמלי פוטנציאל .2

בטלפון) ענף:(תמונה בכל בו הזרמים את למצוא ונרצה הבאה, המעגל נתון דוגמא:

I1 = I2 + I3

FEBA → I1R− 2V + I22R+ I1R+ V = 0

⇒ (4I2 + 2I3)R = 0

DCBE → I3R− 2V + I3R− I22R+ 2V = 0

⇒ (−2I2 + 2I3)R = 0

⇒ I2 = I3 =V

6R

I1 = I2 + I3 =V

3R

הזמן. של כפונקציה המטען מהו למצוא וצריך פרוק, הקבל t = 0 בזמן – קבל טעינת דוגמא:

I = I1 + I2

I2 =dQ

dtLeft circuit→ 0 = Ir + I1R− ε

Right circuit→ 0 = Ir +Q

C− ε

⇒ I1 =Q

RC

ε = I1r + I2r +Q

C

ε =Qr

RC+dQ

dtr +

Q

C

ולכן דיפרנציאלית, משוואה קיבלנו ולכן

Qr +Q

RC(r +R) = ε

RT :=rR

r +Rτ := RTC

Q+Q

τ=

ε

r

128

11.05.2010 – 8 תרגול 13

ההומוגני: הפתרון

dQ

Q= −dt

τ

lnQ = −t+ C

Q = Ae−t/τ

הפרטי: הפתרון

0 +qpτ

=ε

r

qp =τε

r

בסה״כ ולכן

Q(t) = Qh + qh =τε

r+Ae−t/τ

dis =τε

r

(1− e−t/τ

)

11.05.2010 – 8 תרגול 13

מגנטיות 13.1

הן: נשתמש בהן הכלליות הנוסחאות

~FLorentz = q(~v × ~B

)µ0I =

˛I

~Bd~l

נקבל אמפר וחוק סטוקס במשפט בשימוש האחרונה מהמשוואה כאשר

µ0~j = ~∇× ~B

נע (כלומר ~v0 = v0 cosαx+ v0 sinαz מהירות ובעל ~r = ב־0 t = 0 בזמן הנמצא m מסה עם q חלקיק קיים דוגמא:.(xz במישור

?~r(t) התנועה משוואת מהיא . ~E = Ezו־ ~B = By מגנטי שדה במרחב קיים בנוסף,

כוחות: משיקולי תחילה פתרון:

~F = m~a = q(~E + ~v ×B

)mvx = ⇒ mvx − qvzB = −qvzBmvy = 0⇒ y = 0

mvz = mvzq (E + vxB)⇒= qvxB

⇒ m2vx = −q2B2

(E

B+ vx

)⇒ m2vz = −q2B2vz

129

מגנטיות 13.1 11.05.2010 – 8 תרגול 13

נשתמש בו (גודל EB = vd נסמן ובנוסף זמן) חלקי (אחד 1

[T ] של יחידות בעל הוא כי לב ונשים ω = qBm נסמן

הפרטית). היחסות לאור במגנטיות בעתיד

vx = −ω2 (vx + vd)

vz = −ω2vZ

הן: הדיפרנציאליות המשוואות של הפתרון ולכן

vz = C · cos (ωt) +D sin (ωt)

vx = A cos (ωt) + B sin (ω)− vd

למהירות: ההתחלה תנאי עם נתחיל .A,B,C,D הקבועים את למצוא בבשביל ההתחלה תנאי את להציב רק ונותר

t = 0⇒ v0 sinα = C

t = 0⇒ v0 cosα = A

:~v כלומר הכוח עבור ההתחלה תנאי את נציב עתה

vz (0) =q

m(E + v0 cosα ·B) = ωD

vx (0) = −

ω︷︸︸︷qB

m(v0 sinα) = ωB

כי קיבלנו בסה״כ ולכן,

vx = [cos (α) cos (ωt)− sinα cos (ωt)] v0 + vd cos (ωt) + vd

= v0 cos (ωt+ α) + vd (cos (ωt)− 1)

vz = v0 sin (ωt+ α) + vd sin (ωt)

התנועה: משוואת את אלו ממשוואות נקבל ולכן

x(0) = z(0) = 0

x(t) =v0

ω[sin (ωt+ α)− sinα] +

vdω

(sin (ωt)− ωt)

z(t) =v0

ω[− cos (ωt+ α) + cosα] +

vdω

(1− cos (ωt))

הבאים. הפרטיים המקרים על נסתכל מקרים: תת

מעגלית תנועה נקבל ולכן vd = 0 ולכן E = 0 .1

F (t) =v0

ω(sin (ωt+ α)− sinα, cosα− cos (ωt+ α))

⇒ R =v0

ω=v0m

qB, ~R0 = R (− sinαx, cosαz)

~r(t) −~R0 = R (sin (ωt+ α) ,− cos (ωt) + α)

(תמונה) ציקלואיד של תנועה נקבל ולכן v0 = 0 .2

~r(t) =vdω

(sin (ωt) ,− cosωt) +vdω

(−ωt, 1)

130

אמפר חוק 13.2 11.05.2010 – 8 תרגול 13

אמפר חוק 13.2

הרלוונטיות: ˛המשוואות~Bd~l = µ0I

~∇× ~B = µ0~J

ε0µ0 =1

c2

בחזרה. שבגליל הזרם כלל את שמחזיר תיל ישנו הגליל במרכז .~j = j0ra z זרם זורם a ברדיוס אינסופי בגליל תרגיל:

בתיל? I הזרם מהו .1

במרחב? ~B מהו .2

פתרון:

I = −¨S

~jd~s = −ˆ 2π

0

ˆ a

0

j0r

az · dϕ · r · z · dr

= −2π · r3

3· j0a

∣∣∣∣a0

= −2πa2j03

לפי הוא השדה כיוון כי נקבל ביו־סבר ומחוק ברדיוס, רק תלוי המגנטי השדה הבעיה, של הגלילית מהסימטריהואז: r קבוע במרחק הגליל סביב סגור מסלול על נסתכל .B = B(r)θ ולכן ימין, יד ˛כלל

~Bd~l = B(r) ·ˆdl = B(r) = 2πr

µ0I(r) =

0 r > a−2πa2j0

3 + 2πr3j03a r < a

⇒ ~B(~r) =

0 r > aµ0j0

3

(r2

a −a2

r

)θ r < a

את מצאו .~j = j0y אחיד זרם זורם בפלטה במרכזה. עובר xy שמישור כך 2d בעובי אינסופית פלטה נתונה דוגמא:תמונה) (יש במרחב. המגנטי השדה

לרשום: נוכל ימין יד וכלל בבעיה הסימטריה משיקולי פתרון:

~B =

B(z)x z > 0

−B(z)x z < 0˛~Bd~l = 0 + 0 +B(z) · l + 0

= µ0I =

µ0lzj0 z < d

µ0ldj0 z > d

⇒ ~B(z) =

µ0dj0x z > d

µ0zj0x −d < z < d

−µ0dj0x z < −d

131

25.05.2010 – 11 תרגול 14

25.05.2010 – 11 תרגול 14

סבר ביו חוק 14.1

הוא קולון חוק כי נזכיר

d ~E =1

4πε0· ρdV ~r

r3

~E =1

4πε0

ˆρd3r′ (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

הוא סבר ביו חוק וכי

d ~B =µ0

4π·~jdV × ~r

r3

~B =µ0

4π

ˆ ~j (~r) d3r′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

Id~l =∣∣∣~j∣∣∣ · dS · d~l

⇒ ~B = =µ0

4π

ˆI · d~l × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

דוגמאות:

:z ציר על המגנטי השדה את למצוא ונרצה ,R ברדיוס מעגלית זרם כריכת נתונה .1

~B (z) =µ0I

2· R2

(z2 +R2)3/2

z

הוקטורית: המכפלה ע״י ישיר באופן או בהרצאות), שעשינו (כפי הזוויות לפי זאת לפתח ניתן − sin θcos θ

0

× −R cos θ−R sin θ

z

=|z R

⇒ ~B (~r) =µ0

2 · π· I · 2πR2

(R2 + z2)3/2

ובהרצאות סביבו, המגנטי השדה את לחשב ונרצה זרם, המוליך ישר תיל נתוך בו ההפוך, המצב על נסתכל .2כי ראינו

~B(R, θ

)=µ0Iz × R

2πR

בנקודות השדה את לחשב ונרצה ,I = 0.5A כאשר ,z לציר ביחס 15 בזווית הנמצאים תילים שני נתונים .3למטר). m) C (1m, 0, 0) , D (0,−1m, 0)

132

סבר ביו חוק 14.1 25.05.2010 – 11 תרגול 14

בנפרד. אחד כל התילים היוצרים השדות של סופרפוזיציה בעזרת זאת בעיה לפתור ניתן:Cמ־ הרחוק התיל היוצר השדה על ניסתכל

R

1m= sin 75

R = 1m · cos 15

⇒ ~B(C) =µ0I(−z)

2π · 1m · cos 15

השדה של וכיוונו גודלו ולכן מהנקודה, R מרחק באותו נמצא התיל ,Cל־ הקרוב התיל עבור כי לב ונשיםבסה״כ ונקבל זהה

~B (C) = 2.07 · 10−7Tesla (−z)

גודל ומכיוון התילים, שני עבור מרחק אותו מרוחקת הנקודה כי לב ונשים ,D נקודה עבור חישוב אותו נבצעאפס. הוא השדה סך מנוגד, כיוונם אך זהה, השדה

ולכן שלו, המקסימלית התאוצה מה לדעת ונרצה 1m/sec במהירות הנע אלקטרון קיים כי נניח

~F = q~v × ~B

~a =~F

m=

e

me

∣∣∣~v × ~B∣∣∣

=max

3.64 · 104m/sec2

.~v = v0z במהירות הנע אינסופי σ (x, z) = σ0 cos (kx) טעון משטח מונח (x, z) במישור – זרם מישור קיים .4

x−.(תמונה לכיוון פונה השדה כי נקבל אז ,x = 0 סביב cos של מהסימטריה ?y ציר על השדה כיוון מה (א)בטלפון)

133

וקטורי פוטנציאל 14.225.05.2010 – 11 תרגול 14

אינגטרל באמצעות נחשב השדה? גודל מה (ב)

~B =µ0

4π

ˆ ~j × (~r − ~r′) d3r

|r − r′|3

~j = ρ~v

⇒ =µ0v0z

4π×ˆρ (x′, y′, z′) (~r − ~r′)

|~r − ~r′|dx′ · dy′ · dz′

=µ0v0z

4π×ˆdx′ · dz′ · (~r − ~r′)σ (x′, y′)

|~r − ~r′|3

~r′ =

x′, =0︷︸︸︷y′ , z′

~r = (0, y, 0)

~r − ~r′ = (−x′, y′,−z′)|~r − ~r′| =

√x2 + y2 + z2

σ0 cos (kx′) z ×

−x′y−z′

= σ0 cos (kx′)

−y−x′

0

⇒ ~B =

µ0v0σ0

4π

ˆdx′dz′ cos (kx′)(√x2 + y2 + z2

)3

−y−x′

0

ˆ ∞−∞

(z2 + a2

)−3/2= 2

בחישוב: yה־ מרכיב להתעלם נוכל אז ,x בכיון הוא השדה כי מ־א׳ שראינו מכיוון

Bx = −µ0v0σ0y

4π

ˆ ∞−∞

2 cos (kx)

y2 + x′2dx′

ופתרונו: טריוויאלי, לא הוא הנ״ל האינטגרל

a > 0⇒ˆ ∞−∞

cos kx

a2 + x2dx =

π

ae−ka

נקבל: זה באינגטרל ובשימוש

Bx (y) = −µ0v0σ0y

2π· π|y|e−k|y|

= −µ0v0σ0

2πsgn (y) e−k|y|

בין רציפות אי קיימת ולכן בכיוון, המנוגדים שונית שדות לשני מחולק המרחב כי נקבל אז k = 0 אםהתחומים. שני

וקטורי פוטנציאל 14.2

עבור אבל , ~E = −~∇φ פוטנציאל עבורות להגדיר ניתן אז ~∇× ~E = ש־0 מכיוון המגנטי, השדה עבור כי בהרצאות ראינומתקיים זאת למרות כי ניזכר סקלרי. פוטנציאל עבור להגדיר ניתן לא ולכן ~∇× ~B = 0 כי מתקיים תמיד המגנטי השדה

. ~B = ~∇× ~A ע״י וקטורי פוטנציאל עבורו להגדיר נוכל ולכן ,~∇ · ~B = 0

134

וקטורי פוטנציאל 14.2 25.05.2010 – 11 תרגול 14

גם אז וקטורי, פוטנציאל הוא ~A אם כלומר סקלרי, שדה לו להוסיף וניתן ביחידות, נקבע לא הוקטורי הפוטנציאל. ~B = ~∇× ~A′ המקיים וקטורי פוטנציאל הוא ~A′ = ~A+ ~∇ψ

מהם: הנוצרים המגנטים השדות את לחשב ונרצה ~A2 = (0, B0x, ו־(0 ~A1 = (−B0y, 0, 0) נתונים דוגמא:

~B1 = ~∇× ~A1 =

∣∣∣∣∣∣ x y z

dx du dz−B0y 0 0

∣∣∣∣∣∣ = B0z

~B2 = ~∇× ~A2 = B0z

כיול עבורו ולמצוא הפוטנציאלים הפרש על להסתכל ניתן השדה? אותו את נקבל כי מראש לדעת דרך יש האם:ψ סקלרי כשדה

~A2 − ~A1 = (B0y, V0x, 0) = ~∇ψ ~A1 = (−B0y, 0, 0)

⇒ dψ

dx= B0y

dψ

dy= B0x

dψ

dz= 0

⇒ ~A2 = (0, B0x, 0)

ψ = B0yx+ c (y) = B0yx+ c (x)

⇒ ψ = B0xy + C

קולון כיול 14.2.1

כאמור: אותו לכייל ונרצה ~∇ · ~A = λ 6= ש־0 כך ~A נתון נניח .~∇ · ~A = ש־0 כך מכיול וקטורי פוטנציאל למצוא נרצה

~A′ = ~A+ ~∇ψ

0 = ~∇ · ~A′ = ~∇ · ~A+ ~∇ ·(~∇ψ)

⇒ ~∇ ·(~∇ψ)

= ∇2ψ = −λ

הוא: שלה שהפתרון פואסון, משוואת קיבלנו ולכן

ψ =

˚λdV ′

|~r − ~r′|

קולון. לכיול להגיע ניתן תמיד ולכן

כיול לפי מכיול אינו זה פוטנציאל גליליות. בקואורדינטות ~A (~r) = A0

(zr

)ln(rr0

)z וקטורי פוטנציאל נתון דוגמא:

המתוקן: הפוטנציאל את למצוא נרצה כן ועל קולון,

~∇ · ~A =A0

rln

r

r0

135

01.06.2010 – 12 תרגול 15

ש־ כך שדה מחפשים אנו ולכן

∇2ψ = −~∇ · ~A = −A0

rln

r

r0

:rב־ רק תלויה זו פונקציה כי לב ונשים

1

r· ddr

(r · dψ

dr

)=−A0 ln r

r0

r

rdψ

dr= −A0 (r ln r − ln r) + C

~A′ = A0 . . .

להיעזר ונוכל נוספות הקבלות יהיו אינסופי), תיל (עבור בעבר שפתרנו זה בעיה כמו כי בתרגילים לב לשים 14.1 הערהבהם. הקודמים בחישובים

הבעה הוקטורית הזהות קיימת

~∇× ~B = µ0~j

~∇× ~B = ~∇×(~∇× ~A

)= −~∇

(~∇ ~A)−∇2 ~A

אלו: במקרים מתקיים ולכן ~∇(~∇ ~A)

= 0 קולון בכיול כי לב ולשים

∇2 ~A = −µ0~j

לרכיבים: ובפירוק

∇2Ax = −µ0jx

∇2Ay = −µ0jz

∇2Az = −µ0jz

גם מתקיים ולכן

µ0 =1

ε0c2

⇒ ∇2Ax =1

ε0

~j

c2

01.06.2010 – 12 תרגול 15

פואסון במשוואת להשתמש ומומלץ ,z ציר בכיוון הזרם את הגליל על בשאלה להזניח ניתן – 5 שאלה – 12 תרגיל לגבי.14 פרק בפיינמן פתורה הבעיה – (∇2 ~A = −µ0

~j) הוקטורי לפוטנציאל

136

פארדיי חוק 15.101.06.2010 – 12 תרגול 15

פארדיי חוק 15.1

ע״י הכא״מ את נגדיר

ε =

˛γ

~F · d~lq

= − d

dt

ˆSγ

~B · d~s = − d

dtΦ

˛γ

~F · d~lq

=

˛γ

~E · d~l

⇒ ~∇× ~E = −∂~B

dt

לנץ חוק 15.2

השטף. לשינוי הפוך בכיוון יהיה הנוצר המגנטי שהשדה כך זרם מושרה בזמן, המשתנה מגנטי שדה בתוך נתון, במעגל

בנגדה ומחוברים מזה זה a במרחק מקבילים מוליכים תיילים 2 על מחליק – חיכוך) (אין m מסה בעל מוליך מוט בעיה:בקצה. R

.(x (בכיוון v0 היא המוט מהירות t = 0 ובזמן קבוע, ~B, מגנטי שדה קיים התיילים בין

המוט? של v (t) מהו .1

הנגד? דרך האנרגיה איבוד מה .2

לורנץ לפי לרשום נוכל ולכן זכרם, בו נוצר אז המגנטי השדה בתוך נע שהמוט מכיוון פתרון:

eE = evB

V = avB

I =avB

R

פארדי חוק ע״י גם לתוצאה להגיע ניתן אחר, באופן

Φ = a×B → Φ = aBv

|ε| = avB → I =ε

R=avB

R

m~v = ~F = −IaBy × z =a2B2v

Rx

v (t) = v0e−t/τ

τ :=mR

B2a2

האנרגיה: איבוד את נחשב עתה

W =

ˆ t

0

εIdt =

ˆ t

0

I2Rdt

=v2

0B2a2

R2

ˆ t

0

e−2t/τdt

=mv2

0

2

(1− e−2t/τ

)= mv2

0 −mv2

137

השראות 15.301.06.2010 – 12 תרגול 15

השדה הם מה .α קבוע זוויתית בתאוצה להסתובב ומאולצת σב־ אחידה טעונה a ברדיוס אינסופית גלילית קליפה בעיה:במרחב?

l באורך קטע דרך המטען כמות ולכן θ = αt2

2 היא הזויתית המהירות פתרון:

ql = aθlσ =aαlt2σ

2I = q = aαlσt

מלבנית לולאה ע״י ולכן

ˆ~Bd~l =

µ0I inside

0 outside

~B =

µ0σaαtz r < a

0 r > a

אינסופית. הקליפה כי z רכיב אין ~Eל־הרדיאלי השדה את למצוא בשביל גלילית גאוס מעטפת נבנה

φr>a = 4πk · 2πa · lσ= 2πrlEradial (r)

⇒ Er (r) =

aσε0r

r > a

0 r < a

הגליל סביב עיגול על אינטגרלי ע״י θ בכיוון השדה את נחשב עתה

ˆ~E · d~l =

πa2

(−dBdt

)r > a

πra(−dBdt

)r < a

Eθ = −

a3

2rµ0σα r > aar2 µ0σα r < a

השראות 15.3

עצמית: השראות

ε = −LdIdt

הדדית: השראות

εA = −MABdIBdt

MAB = MBA =µ0

4π

˛ ˛d~l1 · d~l2|~r1 − ~r2|

138

השראות 15.3 01.06.2010 – 12 תרגול 15

הבא: השרטוט לפי אנכי מזרם v בכיוון הנעד a× a בגודל מוליכה כריכה נתונה בעיה:

בכריכה? ε מהו −y בכיוון v עבור .1

.ε את שוב לחשב ונרצה הזרם כיוון עם נעה הכריכה עתה .2

האחרון. המקרה עבור L את לחשב נרצה .3

פתרון:

.1

~B =µ0I

2πrz

Φ =

ˆ r+a

r

a · dr · µ0O

2πr

=µ0Ia

2πln

(r + a

r

)|ε| =

∣∣∣Φ∣∣∣ =

∣∣∣∣µ0Ia

2π· r

r + a· r − (r + a)

r2· v∣∣∣∣

=

∣∣∣∣− µ0Ia2

2πr (r + a)v

∣∣∣∣השעון כיוון נגד כלומר לנץ, חוק לפי היא הכא״מ כיוון

זה במקרה הפוטנציאל את נחשב .2

Φ =µoIvt

2πln

(r + a

r

)Φ =

µ0Iv

2πln

(r + a

r

)V =

µ0Iv

2πln

(r + a

r

)

:L חישוב .3

Φ =

L︷︸︸︷µ0a

2πln

(r + a

r

)I

כריכות: nו־ a רדיוס ,l באורך סליל עבור L חישוב דוגמא:

L?= πa2µ0n

2l

B = µ0nI

Φ = n · e · πa2 · µ0nI

= πa2µ0n2lI

⇒ L =−Φ

I= πa2µ0n

2l

139

08.06.2010 – 13 תרגול 16

זרמים זורמים בהם מהשני אחד h מרחק b ברוחב אינסופיים מוליכים פסים משני הבנויי מערכת על נסתכל דוגמא:?h b כאשר L מהו .I בגודל מנוגדים

B =1

2µ0j

j =I

b

Φ = 2µ0I

2bhz

ולכן בתחום, פס לכל זהה שדה קיבלנו ולכן

Φ =µ0

bhzI = −ε = LI

L =µ0hz

b

L/per distance unit =µ0h

b

היא b× h× z תיבה עבור האנרגיה

U =1

2µ0

ˆ (µ0I

b

)2

dV =1

2µ0

(µ0I

b

)2

bhz

=1

2µ0

1

bhzI =

1

2LI2

08.06.2010 – 13 תרגול 16

RLC מעגל 16.1

מתקיים זרם עובר ודרכו L עצמית השראות בעל רכיב עבור כללי באופן

VL = L · I = L · QVR = IR = IQ

V =Q

C

חיצוני) מתח מקור (ללא מתקיים (RLC (מעגל וקבל נגד סליל, הרכיבים: שלושת את המכיל מעגל עבור ולכן

LQ+RQ+Q

C= 0

המתנד: למשוואת מקבילה זו ומשוואה

mx+ αx+ kx = 0

140

חילופין זרם 16.2 08.06.2010 – 13 תרגול 16

:λ סימון ע״י הוא, המשוואה ופתרון

Lλ2 +Rλ+1

C= 0

λ1,2 = − R

2L±

√(R

2L

)2

− 1

LC

ω20 :=

1

LC

α2 :=R

2L

ω :=√α2 − ω2

0

:R2 < 4LC כאשר כלומר הזמן, עם הדועך ההומוגני הפתרון כי נקבל ולכן

Q (t) = e−αtA cos (ωt+ ϕ)

כי נקבל R2 > 4LC בו ובמקרה

Q (t) = e−αt(Aeωt +Be−ωt

)מרוכבים: מספרים באמצעות כללי באופן המשוואה את להציג נוכל

Q (t) = e−αt(Ae−iωt +Beiωt

)

חילופין זרם 16.2

המגנטי השטף ולכן .ωy כלומר ,y ציר סביב מסובבת t = ב־0 xy במישור לולאה

Φ = ~B · (Sn) = BS cos (ωt)

ε = −dΦ

dt=

V0︷︸︸︷ωBS sin (ωt)

הלולאה. למישור המאונך הוקטור הוא nו־ הלולאה שטף הוא S כאשר

Vrms = V0√2

ונסמן 1T

´V 2dt =

V 20

2R הוא ממוצע חישוב (תזכורת, הממוצע המתח את נחשב ההספק, את לחשב נרצה אם.Vrms =∼ 230V מתקיים רגיל בשקע חשמלי מתח עבור כאשר

Impedance – עכבה 16.3

תהיה הזרמים משוואת ולכן לקבל המחובר V = V0eiωt (= V0 cos (ωt)) חילופין זרם מקור עם מעגל נתון

Q = CV = CV0eiωt

I = Q = iωCV0e−iωt = iωCV

zC :=V

I=

1

iωC

141

Impedance – עכבה 16.308.06.2010 – 13 תרגול 16

כי נקבל סליל עם רק מעגל אותו עבור

V = LI1

iωV0e

iωt =1

iωV = LI

ZL := iωL

.ZR := R כרגיל מתקיים נגד ועבור

המרוכב): הזרם הוא I) בעכבה ובשימוש ,V = V0 cos (ωt) = Re(V0e

iωt)

מתח מקור עם RLC מעגל עבור דוגמא:

V0eiωt = I

(R+

1

iωC+ iωL

)המשוואה: של הממשים הערכים על נסתכל עם ולכן

I = Re

(R+ 1

iωC + iωL

V0eiωt

)−1

= Re [V0 cos (ωt) + V0i sin (ωt)]−1

= Re

([V0 cos (ωt) + V0i sin (ωt)] ·

[R+ i

(ωL− 1

ωC

)])−1

= Re

([V0 cos (ωt) + V0i sin (ωt)] ·

R− i[ωL− 1

ωC

]R2 +

(ωL− 1

ωC

)2)

= V0

R · cos (ωt) +(ωL− 1

ωC

)sin (ωt)

R2 +(ωL− 1

ωC

)2R√

R2 +(ωL− 1

ωC

)2 = cosϕ

(ωL− 1

ωC

)√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2 = sinϕ

ϕ = arctan

(ωL− 1

ωC

)⇒ I0 =

V0√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2I = I0 cos (ωt+ ϕ)

במקביל: מחוברים הרכיבים כל בו ,V = V0 sin (ωt) = Im(V0e

iωt)

בו אחר בחיבור מעגל על נסתכל דוגמא:

142

Impedance – עכבה 16.3 08.06.2010 – 13 תרגול 16

במקביל חיבור :16.1 איור

z =

(1

R+

1

iωL+ iωC

)−1

I =V

z= V0e

−iωt(

1

R+

1

iωL+ iωC

)I = Im

(V

z

)= V0

(cos (ωt) ·

[]ωC − 1

ωL

]+ sin (ωt)

1

R

)

:V = V0 cos (ωt) בו הבא המעגל על נסתכל דוגמא:

z =

(iωC +

1

iωL

)−1

+1

iωC

= −i(ωL− 1

ωL

)−1

− i 1

ωL

I = Re

(V0e

iωt

z

)= V0 sin (ωt)

Cω(1− LCω2

)2LCω2 − 1

2LCω2 = 1, I →∞

ω2 =1

2LC

את לשנות הקיבול שינוי ע״י ניתן כאשר וקבל, סליל נגד – זרם לולאת – מאנטנה המורכב רדיו, מקלט של מעגל דוגמא:המוגברת: התדירות

R = 9743Ω

L = 2.78 · 105Henry

143

מקסוואל משוואות 16.4 08.06.2010 – 13 תרגול 16

95.5MHz התדר כלומר ב׳״ ״רשת את לקלוט ונרצה

ω0 =

√1

LC= 2π · 95.5 · 106

⇒ C = 10−13F

מקסוואל משוואות 16.4

הוא ~∇× ~B = µ0~j למשוואה מקסוואל של התיקון

~∇× ~B = µ0~j +

1

c2∂ ~E

∂t

נקבל קולון חוק עם בשילוב הנ״ל המשוואה על דיברגנץ נפעיל אם .µ0ε0 = c−2 מתקיים כאשר

0 = µ0~∇ ·~j +

1

c2∂

∂t~∇ · ~E = 0

⇒ 0 = ~∇ ·~j +∂

∂tρ

~∇ ·~j = − ∂

∂tρ

לכתוב נוכל אז המעתק כזרם ~jd = ε0∂ ~E∂t נגדיר אם כאשר

~∇× ~B = µ0

(~j +~jd

)

.V0 במתח ונמצא d a בינהם שהמרחק a ברדיוס מעגליים מלוחות המורכב קבל נתון דוגמא:.R נגד דרך להתפרק מתחיל קבל t0 בזמן

הקבלים. לוחות מרכזי את המחבר מישר r במרחק המגנטי השדה מהו

כי יתקבל מהסימטריה פתרון:

144

15.06 – 14 תרגול 17

~B (r) = B (r) θ˛~B · d~l = µ0 (I + ID)

σ =Q

a

ID =

ˆl

ε0 ~Ed~s = −ε0Eπr2

= −ε0σ

ε0πR2

= −QπR2( ra

)2 1

π= −Q

( ra

)2

⇒ˆ

~B · d~l = µ0I ·(

1 +( ra

)2)

2πrB = µ0I ·(

1 +( ra

)2)

I =V0

Re−t/RC

15.06 – 14 תרגול 17

העתקה זרם 17.1

כי בהרצאות הראינו

~∇× ~B = µ0~j +

1

c2∂ ~E

∂t

~∇× ~E ∝ −∂~B

∂t

נקבל האחרונה המשוואה על אינטגרציה בעזרתˆ

~B · d~l = µ0 (I + ID)

ID =1

µ0

ˆ1

c2· ∂

~E

∂tds

ואם d a כי מתקיים כאשר ,d בינם והמרחק a רדיוס בעלי עיגול בצורת קבל לוחות שני עם מעגל על נסתכל דוגמא:.r a אז הקבל בתוך r נקודה על נסתכל

בטעינת כתלות בזמן המשתנה ~E שדה היוצר מסוים מטען הקבל לוחות על יש נתון רגע בכל הקבל, טעינת בעתהקבל. בתוך מגנטי שדה יווצר ולכן העתקה, זרם הקבל לוחות בין קיים ולכן הקבל,

145

מגנטים חומרים 17.2 15.06 – 14 תרגול 17

לעיל, באינטגרל בשימוש

2πrB (r) = 0− 1

c2πr2 ~E

=πr2σ (t)

c2ε0

= µ0πr2 Q

πa2

= µ0

( ra

)2

I

⇒ B (r) =µ0

2π

r

a2I

I =V0

Re−

tRC

מגנטים חומרים 17.2

מתקיימים ועבורו ~M הוא המגנוט צפיפות וקטור תכי בהרצאו הראינו

(∗) ~j = M × n~j = ~∇× ~M~H = µ−1

0~B + ~M

µ :=µ

1− zµ0

~H = µ−1 ~B

~m = z ~B

פארמגנט נקרא והחומר µ > µ0 כי מתקיים z > 0 עבור כאשר

דיאמגנט. נקרא החומר µ < µ0 ומתקיים z < 0 כאשר

פרמיאבלי: חומר בתוך תיל של מגנטי שדה דוגמא:

2πrH = I

⇒ ~B =

Iµ1

2πr θ r < RIµ2

2πr θ r > R

המגנטי השדה את לחשב ונרצה µ1, µ2 בעל חלקים לשני מחולק המרחב כאשר תיל, של שדה על עתה נסתכל דוגמא:נוסף תיל למקם נוכל היחידות ממשפט ,µ1 בשטח השדה את לחשב בשביל המראות, לשיטת בדומה המרחב, בכל

ולכן ,I ′ זרם בעל מהחיץ a במרחק

H1 =I (x− a) y − yx

2π |~r − ax|+I ′ (x+ a) y − yx

2π |~r + ax|

ולכן I ′′ בזרם תיל התיל, של מקום באותו השנינמקם האיזור ובעבור

H2 =I ′′ (x− a) y − yx

2π |~r − ax|

146

מגנטים חומרים 17.215.06 – 14 תרגול 17

התנאים: כל את שיקיימו כך הפתרון את נאחד עתה,

µ0H1x = µ1H2x

µ0 (I + I ′′) = I ′′µ1

H1y = H2y

I ′′ = I − I ′

I ′ =µ− µ0

µ+ µ0I

I ′′ =2µ0

µ+ µ0I

קיים הטורוס בתוך הטורוס. בתוך השדה את לחשב ונרצה מוליך, תיל מלופף שסביבו טורוס חצי על נסתכל דוגמא:מוליך. בתיל הוא אף המלופף נוסף טורוס

המגנטי השדה מהו ליפופים), N2 (בעל החיצוני בטורוס I2 ועובור ליפופים) N1 (בעל הפנימי בטורוס I1 עבור.µ הוא הטורוסים בין התווך אם במרחב?

אמפר: חוץ באמצעות

r > R+ a ⇒ ~B = 0

2πrH = N2I2

B1 = µ0N2I22πr

B2 = µ0N1I1 +N2I2

2πr

המושרים? הזרמים מהם

~H = µ0~B − ~M

147

חשמל ומגנטיות סיכום

Documents