задачи на движение
TRANSCRIPT
Решение заданий
В14 (задачи на движение)
по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике
№26578. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два
автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь.
Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а
вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей
скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В
одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
v s
1
2
х
s
s
0,5s24
0,5sх + 16
+
sх
1) 24
2) х + 16
s = v · t
0,5s24
0,5sх + 16
+ =sх
=
t = vs
Решение. Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, где
х > 0, тогда скорость второго автомобиля на второй
половине пути равна x + 16 км/ч. Примем расстояние
между пунктами за s. Автомобили были в пути одно и то
же время, отсюда имеем:
Ответ: 32.
)16(241
16
5,0
24
5,0
хх
xx
)16(2412)16(5,0 xxхх
076882 xх
24
32
х
x
– не удовл-ет условию х >0
sx
s
x
ss:
16
5,0
24
5,0
32x
№26580. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75
км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше,
чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если
известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже
автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
v s
х
75
7575х
х + 40
s = v · t
75
х75
х + 40– = 6
75х + 40
– 6 ч
t = vs
Решение. Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, где х >0,
тогда скорость автомобилиста равна x + 40 км/ч.
Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:
Ответ: 10.
2:)40(2)40(25 xxxx
0500402 xх
50
10
х
x
– не удовл-ет условию х >0
3
)40(6
40
7575
xx
xx
10x
№26584. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-
километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч
большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа
раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к
финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
v s
1
2 х 88
88
88х
х + 3
s = v · t
88
х88
х + 3– = 3
88х + 3
– 3 ч
t = vs
Решение. Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста,
где х > 0, тогда скорость первого велосипедиста равна x + 3
км/ч. Второй велосипедист был в пути на 3 часа больше,
чем первый, отсюда имеем:
Ответ: 8.
3:)3(3)3(88 xxxx
08832 xх
11
8
х
x
– не удовл-ет условию х >0
)3(33
8888
xx
xx
8x
№39369. Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и
вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на
2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если
скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
v s
224
224х – 1
s = v · t
– 2ч
х + 1
– = 2224
х – 1
224
х + 1
224
х – 1
224
х + 1
t = vs
Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, где
х > 0, тогда скорость лодки по течению реки равна х + 1
км/ч, скорость лодки против течения – х – 1 км/ч. Зная, что
на путь по течению реки она затратила на 2 часа меньше,
чем на обратный путь, имеем:
Ответ: 15.
21211224 2 : xxx
2252 х
15
15
х
x
– не удов-ет условию х >0
1121
224
1
224
xx
xx
15x
1224 2 x
№39443. Теплоход проходит по течению реки до пункта
назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт
отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода
в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в
пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после
отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
v s
247
24716 + х
s = v · t
+ 39–7=32 ч.
16 – х
+ = 32247
16 + х247
16 – х
247
16 + х247
16 – х
t = vs
Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость теплохода,
где х >0, тогда скорость теплохода по течению равна 16 + х
км/ч, скорость теплохода против течения равна 16 – х
км/ч. Зная, что теплоход был в пути 39 – 7 = 32 часа,
имеем:
Ответ: 3.
32256321616247 2 :xxx
92 х
3
3
х
x
– не удовл-ет условию х >0
xxxx
16163216
247
16
247
3x
2256247 x
№40125. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между
ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из
A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно
со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку
на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь
столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость
баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
v s
390
390х
s = v · t
+ 9чх + 3
= + 9390
х390
х + 3
390
х390
х + 3
t = vs
Решение. Пусть x км/ч – на пути из A в B, где х > 0, тогда
скорость баржи на обратном пути (из В в А) равна х + 3
км/ч. Зная, что она затратила на обратный путь столько
же времени, сколько на путь из A в B, имеем:
Ответ: 10.
9393390 : xхxx
013032 хх
13
10
х
x
– не удовл-ет условию х >0
393
390390
xх
xx
10x
хx 3130 2
№112457. Из двух городов, расстояние между которыми равно 320
км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля.
Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости
равны 75 км/ч и 85 км/ч?
Решение. Пусть t ч – время движения автомобилей до
встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 75t км, а
второй – 85t км. Зная, что расстояние, пройденное
автомобилями равно 320 км, имеем:
75 t + 85 t = 320
160 t = 320
t = 2
Ответ: 2.
320
75 км/ч 85 км/ч
№112517. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 300
км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и
встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B.
Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ
дайте в км/ч.
Решение. Пусть х км/ч – скорость движения автомобиля,
выехавшего из города А. Расстояние, которое он проехал до
встречи равно 300 – 180 = 120 км. Зная, что время движения
автомобилей до встречи равно 2 ч, имеем:
2 х = 120
х = 60
Ответ: 60.
300А В
180
№113079. Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из
города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после
этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч
второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если
автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A.
Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть х км/ч – скорость движения автомобиля,
выехавшего из города А. Расстояние, которое проехал до
встречи второй автомобиль равно 450 – 240 = 210 км.
Значит, время его движения равно 210 : 70 = 3 ч. Т.е. первый
автомобиль был в пути на 1 час дольше – 4 ч, и проехал
расстояние в 240 км, имеем:
450А В
240
70 км/ч
4 х = 240
х = 60
Ответ: 60.
№113079. Из городов A и B навстречу друг другу выехали
мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа
раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48
минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A
велосипедист?
SА В
48 мин
v t s
y s
sх
s = v · t
– 3 ч
sхsy
Решение. Пусть S км – расстояние между городами А и В.
скорость мотоциклиста примем за х км/ч, а скорость
велосипедиста за у км/ч. Мотоциклист затратил на весь
путь на 3 часа меньше, чем велосипедист:
3x
S
y
S
3
xy
yxS
yx
xyS
3
Они встретились через 48 мин = 0,8 часа после выезда:
yx,S 80
Таким образом, yxух,yx
xy
580
3
222415 хухxy :
2
4415
х
у
х
у
Введем новую переменную:
уу,уу,yx,S 458048080 Таким образом,
04154 2 zz
0 z,zх
у
4
1
4
z
z – не удовл-ет условию z >0
4
1z
Вернемся к исходной переменной: ух,х
у4
4
1
Откуда время движения велосипедиста равно 4 часам.
Ответ: 4.
№113153. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 300
метров меньше, чем скорый, и на путь в 420 км тратит времени
на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда.
Ответ дайте в км/ч.
420А В
Решение. Скорость товарного поезда меньше, чем скорого
на 300 м/мин или на
ч/км
ч
км,18
60
1
30
Пусть х км/ч – скорость товарного поезда, тогда скорость
скорого поезда х + 18 км/ч. На путь в 420 км товарный поезд
тратит времени на 3 часа больше, чем скорый, отсюда
имеем:
Таким образом,
v t s
х + 18
х
s = v · t
– 3 ч
420
420
420
х420
х + 18
318318420 : xхxx
18318
420420
xх
xx
хx 1818140 2
02520182 хx
Ответ: 42.
60
42
х
x
– не удовл-ет условию х >0
42x
№113367. Расстояние между городами A и B равно 390 км. Из
города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за
ним со скоростью 70 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль
в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль
прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в
километрах.
Решение. Обозначим расстояние от А до С за S км, скорость
автомобиля – за x км/ч. Тогда время движения на этом
участке можно выразить уравнением:
390А В
70 км/ч 30 мин
C
2
1
70
S
x
Sдля автомобиля для мотоциклиста
S
х
S 390
2
1
70
2для мотоциклиста для автомобиля
А время движения автомобиля на всем участке от А до В:
;х
S
,S
x
S
390
2
1
70
2
2
1
70
;х
S
,S
x
S
390
70
352
70
35
;S
SS
,S
Sх
70
35390
70
352
35
70
35390390352 2 SSS
0136503552 2 SS
Ответ: 210.
532
210
,S
S
– не удовл-ет условию S >0
210S
S
S
SS70
70
35390
70
352
№113439. Два пешехода отправляются одновременно в одном
направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка.
Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через
сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 400
метрам?
v t s
1
2
х
(x + 0,5) · t
x · tt
х + 0,5
s = v·t
4050 ,xtt,x
80,t
0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут
Ответ: 48.
t– 0,4км
4050 ,xtt,xt
4050 ,t,
Решение.
№113587. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном
направлении из двух диаметрально противоположных точек
круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут
мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из
них на 10 км/ч больше скорости другого?
Решение. Пусть х км/ч – скорость первого мотоциклиста,
тогда скорость второго – х + 10 км/ч. Пусть через t часов
мотоциклисты поравняются в первый раз. Тогда
расстояние, пройденное первым мотоциклистом:
165010 ,txxt
Ответ: 48.
810 t
810 txtxt
80,t
0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут
S для 2 мотоциклиста
№114151. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6
км, одновременно в одном направлении стартовали два
автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через
40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один
круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
1 способ:
Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля. За 2/3 часа
первый автомобиль прошел на 6 км больше, чем второй,
отсюда имеем:
2
36
3
2
3
2114 х
Ответ: 105.
2
36114 x
105х
2 способ:
За 40 минут первый автомобиль обогнал второй на 6 км,
значит за 60 минут обгонит на 9 км, т.е. скорость второго
на 9 км/ч меньше скорости первого, значит,
х = 114 – 9 = 105 км/ч
S для 2 автомобиля
№114651. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист.
Через 40 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом
за ним отправился мотоциклист. Через 16 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 42
минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, у км/ч – скорость
мотоциклиста. Тогда до первой встречи велосипедист
проехал 40 + 16 = 56 мин = 14/15 ч, расстояние – 14/15·х км;
мотоциклист проехал 16 мин = 4/15 ч, расстояние – 4/15·у
км. Поскольку они проехали одно и тоже расстояние,
получим:
14/15·х = 4/15·у
До второй встречи велосипедист проехал 56 + 42 = 98 мин =
= 49/30 ч, расстояние – 49/30·х км; мотоциклист проехал
16 + 42 = 58 мин = 29/30 ч, расстояние – 29/30·у км, что на
один круг больше, чем у велосипедиста, т.е.:
29/30у – 49/30х = 35
Ответ: 70.
303530
49
30
29
2
15
15
4
15
14
;xy
,yx
;xy
,yx
10504929
727
105015 у
70у
№115027. Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A
в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним
отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула
обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км.
Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
105А В40
1 час
Решение.
Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч.
Пусть х км/ч – собственная скорость яхты, тогда скорость
яхты по течению равна х + 4 км/ч, а скорость яхты против
течения равна х – 4 км/ч. Время, которое затратил плот
на путь в 40 км равно 40 : 4 = 10 часов. Яхта, проделав
путь из А в В и обратно, затратила на 1 час меньше,
значит 9 часов.
Имеем: 3
449
4
105
4
105
xx
xx
1634435 2 ххx
048703 2 хх
Ответ: 24.
3
2
24
х
x
– не удовл-ет условию х >0
24x
№115195. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль
ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени – со
скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть t ч – время, затраченное на весь путь; 0,5·t·67 км –
первая часть пути, 0,5·t·85 км – вторая часть пути. Тогда
среднюю скорость находим по формуле:
t
sv .ср
t
t,t,v .ср
85506750
t
t,v .ср
856750
76.срv
Ответ: 76.
№115255. Путешественник переплыл море на яхте со средней
скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со
скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
s = v · t v t s
561 s
s17s
17
s561
S
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения. Пусть S км –
весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:
t
sv .ср
3334
2561
561
34
2
561
33
2
56117
2
S
S
SS
S
SS
Sv .ср
33.срv
Ответ: 33.
№115351. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 45
км/ч, вторую треть – со скоростью 70 км/ч, а последнюю – со
скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
S S S
45 км/ч 70 км/ч 90 км/ч
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения. Пусть 3S км –
весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:
6330
3630
630
30
3
630
7914
3
907045
3
S
S
SSS
S
SSS
Sv .ср
63.срv
Ответ: 63.
№115851. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120
км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со
скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения.
Путь, пройденный автомобилем равен:
S = 2 · 120 + 1 · 100 + 2 · 95 = 530 км.
Затраченное на весь путь время:
t = 2 + 1 + 2 = 5 ч,
тогда средняя скорость равна:
v = 530 : 5 = 106 км/ч
Ответ: 106.
№116351. Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч,
следующие 200 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со
скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения.
Путь, пройденный автомобилем равен:
S = 180 + 200 + 180 = 560 км.
Затраченное на весь путь время:
t = 180 : 60 + 200 : 80 + 180 : 120 = 3 + 2,5 + 1,5 = 7 ч,
тогда средняя скорость равна:
v = 560 : 7 = 80 км/ч
Ответ: 80.
№116385. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч,
проезжает мимо придорожного столба за 45 секунд. Найдите длину
поезда в метрах.
Решение. Скорость поезда равна:
с/мс/мс
мч/кмv
9
200
36
800
3600
10008080
За 45 секунд поезд проходит мимо придорожного столба
расстояние равное своей длине:
мs 1000459
200
Ответ: 1000.
№116737. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч,
проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 300 метров, за
33 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
300
Решение.
Скорость поезда равна:
с/мс/мс
мч/кмv
3
50
36
600
3600
10006060
За 33 секунды поезд проходит мимо лесополосы, то есть
проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и
самого поезда, и это расстояние равно :
мs 550333
50
Ответ: 250.
Поэтому длина поезда равна 550 – 300 = 250 метров.
№117737. По двум параллельным железнодорожным путям в
одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда,
скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина
товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского
поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда,
равно 3 минутам 9 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Скорость опережения товарного поезда пассажирским равна:
с/мс
мч/кмv
9
50
3600
100020205070
За 3 мин 9 секунд или 189 секунд один поезд проходит мимо
другого, то есть преодолевает расстояние равное сумме их
длин
мs 10501899
50
Ответ: 150.
Поэтому длина пассажирского поезда равна
1050 – 900 = 150 метров.
№118237. По двум параллельным железнодорожным путям друг
навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости
которых равны соответственно 85 км/ч и 50 км/ч. Длина
пассажирского поезда равна 300 метрам. Найдите длину скорого
поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского
поезда, равно 28 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Скорость сближения поездов равна:
с/мс
мч/кмv
2
75
3600
10001351355085
За 28 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть
каждый из поездов преодолевает расстояние равное сумме
их длин
мs 1050282
75
Ответ: 750.
Поэтому длина скорого поезда равна
1050 – 300 = 750 метров.
Использованы рисунки:
• Коллекция картинок из галереи SMART Notebook 11
• http://www.art-saloon.ru/ru/set.aspx?SetID=116 – транспорт
• http://www.art-saloon.ru/ru/comment.aspx?ItemID=5746 – гоночный
автомобиль
• http://www.fantasianew.ru/category/piraty-i-korsary-papo/ – плот
Использованы материалы:
• http://mathege.ru/or/ege/Main.html
• http://reshuege.ru/