Երկրաչափության Ուսուցչի ձեռնարկ

отччюцФПют 6-8

Ուսուցչի ՅեոնարկԼ. Ս. Աթանասյանի և ուրիշների

Երկրաչափություն 6, 7, 8 դասագրքերով դասավանդէղու համար

ԾՐԵՎԱՆ, «ԱՍՏԴհԿ-59», 2000|».

ԴՏՀ 371.13:514 ԳՄԴ 74.262 Ե 894

Ե 894 Երկրաչափություն 6-8. Ուսուցչի ձեռնարկ / Կազմող Ս. է. Հ ա կ ո բ յ ա ն .--Եր., Աստղիկ-59, 2000, -80 Էջ:

. 4306010502 ՕՈոոԵ--------------- :----2000 թ. 0.|քՂ74Չք?9860(01) ֊2000 HU V /4.ՃՕՃ

ISBN 99930-857-5-8

© «Աստղիկ-59» հրատարակչություն, 2000թ. © Ս. է. Հակոբյան, 2000թ.

Առաջաբաե.......................................................................... 3Երկրաչափության ծրագիրը..................................................... 51. Բացատրագիր. ..................................... ........ .......................

շ Սովորողների երկրաչափական պատրաստվածությանրներկայացվող պահանջները.............................................................. 6

3. Երկրաչափության դասընթացի բովանդակությունը 74. Ուսումնական նյութի' ըստ դասագրքերի մոտավոր թե

մատիկ պլանավորու մ...................................................................... 9

Գլուխ 1 Ուսուցումը 6-րդ դասարանում

Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինակելի պլանավորու մ՛ ^1. Նախնական երկրաչափական տեղեկություններ............................. 132. Եռանկյուններ........................................................................ 203. Զուգահեռ ուղիղներ................................................................ 244. Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև... 275. Երկրաչափական կառուցումներ................................................. 31

Գլուխ 2 Ուսուցումը 7-րդ դասարանում

Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինսւկսլի պլանավորում՜ ^46. Քառանկյուններ ............................................................... 357. Շրջանագիծ ...................................................................... 398. Մակերես............................................................................. 469. Նման եռանկյուններ............................................................... 51

Գլոէխ 3 Ուսուցումը 8-րդ դասարանում

Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինակելի պլանավորում՛ ^Ю. Նման պատկերներ........ ....................................................... 5511. Եռանկյունների լուծումը........................................................ 6012- Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը........................... 6713. Վեկտորներ ......................................................... *.............. 71

Տարեվերջյան ստուգողական աշխատանքների տարբերակներ 76Լրացուցիչ գրականության ցանկ............................................................ 78

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Կազմող Սարիբսկ Հակոբյան

Երկրաչափություն 6-8.

Ուսո ւ ց չ ի ձ ե ռնարկ

Խմբագիր Ռիտա ԽաչատրյանՀամակարգչային ձևավորումը

Գ ո հ ա ր Խ ա չ ա տ ր յ ա ն հասմիկ Հովհաննիսյան

Հրաւոարւսկիչ-տնօրեն' Ս. -?. Չունգուրյան Վերստուգող սրբագրիչ' Ռ. Ս. Հակոբյան Շապիկի ձևավորումը Մ.Զ. Առաքելյան Հրատարակ. պատասխանատու' Ս. Ի. Ապրեսյան

«ԱՍՏՂԻԿ-59» հրատարակչություն (Երևան. Նորք, 2-րդ նրբանցք, տ. 32)

Ա Ռ Ա Ձ Ա Բ Ա Ն

.Այս ձեռնարկը նախատեսված է ուսուցչի Համար, ով 6-8 դասա- ր աններ ում երկրաչափությունը դասավանդում է Լ.Ա. Աթանասյանի 1ւ ուրիշների «Երկրաչափություն 6», «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8» դասագրքերովI Նախկինում Հրատարակված դասագրքերի բովանդակությունն ու մեթոդական առան ձնա Հատկությունները ուսուցիչներին Հիմնականում ծանոթ են'. Սակայն նոր Հրատարակված դասագրքերում առկա են որոշ փոփոխություններ, որոնք կապված են Հետևյալ Հանգամանքների Հետ՛.1. Մաթեմատիկայի առարկայական սլետական ծրագրում կատար-

վել են որոշակի փոփոխություններ, մասնակի տեղաշարժեր կան առանձին թեմաների Հաջորդայնության մեջ, կան թեմաներ, որոնք չեն ընդգրկված նոր ծրագրում, կան նաև. լրացված նոր թեմաներՎերջիններս Հատկապես վերաբերում են տարածական պատկերների նախնական ուսումնասիրությանը, ինչը նախորդ դասընթացում նախատեսված էր միայն ավագ դպրոցում՛Դասագրքերում Հաշվի են առն փած բոլոր այն սլականջները, որոնք բխում են առարկայական ծրագրի փոփոխություններից!

2. Հաչվի առնելով ուսուցիչների և. մեթոդիստների կողմից տարի-ների րնթացքում կատարված դիտողություններն ու առաջարկությունները դասագրքերում մասնակիորեն լրամշակվել է խնդիրների և վարժությունների Համակարգը: Ընդ որումընդգրկված են որոշակի թփոփ ւգարգ և մի^ին բարդության խնդիրներ, որոնց քանակը նախորդ տարիներին Հրատարակված դասագրքերում զգալիորեն քիչ էր'

3. Հանրակրթական դպրոցների 6-8 դասարաններում արդեն գործածության մեջ է մտել ՀանրաՀաշվի Ավետական ծրագրի նոր տարբերակը և դրան Համապատասխան նոր դասագրքերը.* ԱնՀրաժեշտ էր Համապատասխանություն սոգւսՀոփել նույն դասարանների Հ ան ր աՀ աշփի և երկրաչափության դասագրքերի մի£ե_! Այստեղ պետք է նկատի ունենալ, որ ՀանրաՀաշվական և. երկրաչափական գիտելիքները ոչ միայն լրացնում են միմյանց, այլև, դրանց ուսուցումն իրականացվում է միաժամանակ, և. մեկը կիրառվում է մյուսի մեջ:

Ղասադրքերի մեկ այլ ոՀ էական փոփոխություն կապված * է այն բանի Հետ, որ դրանք ըստ դասարանների Հրատարակվում են առանձին գրքերով, ինչը աշակերտի Համար ավելի մատչելի և դյուրին է դարձնում իր դասարանի դասագրքից օգտվելը.

Անդրադառնալով ուսուցչի ձեռնարկին նշենք, որ шуЬ Հիմ֊ նա կան ում կատարում է մեթոդական ուղեցույցի դեր Նրա֊նում, րստ դասարանների, րնդգրկված են Հետևյալ բաժիններր.

պլան ա վո֊րումր,թեմաների ուսուցման Հիմնական Հարցերր,սովորողներին ներկայացվող Հիմնական պաՀանֆներր րստ թեմաների,սովորողների ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր րստ թեմա֊ ների,ստուգողական աշխատանքների տարբերակներ,լրացուցիչ դրականության ցանկ թեմաների ուսումն ասի֊ րության Համար'.Նկատենք, որ ուսուցչի ձեռնարկում ինչպես ինքնուրույն

*, աշխատանքի, այնսլես էլ ստուգողական աշխատանքների տար~ րերակներից մեկր (վեր^ինր) նախատեսնած է համեմատաբար

\ ա վելի բարձր մ ա1|արդաԼք[ւ ււլաա ր աս m ո ւ|}յ ան համար I Ւնչ / վերաբերում է դասագրքերի խնդիրներին, նշենք, որ դրանք

կազմում են երեք խումբ'Առածին խ ումբ խնդիրներր, որոնք զետեղված են յուրա֊

քանչյուր պարագրաֆում, հիմնական են. դրանք ծառայում են տվյալ թեմայի Հասկացությունների 1ւ փաստերի յուրացմանր*. ^Ր^ՐՈՐԳ խՈԼ-մբ խնդիրներր զետեղված են յուրաքանչյուր գրլ֊ խի վերջում որպես լրա^ու^չ խնդիրներ. դրանք ծառայում են տվյալ թեմայի դիտելիքներր կրկնելուն, յուրացնելուն 1ւ խորացնելուն', երրորդ խումբր դժվարին խնդիրներ են, որոնք նախատեսված են մաթեմատիկայի նկատմամբ Հատուկ Հետաքրքրություն ցուցաբերող աշակերտների ան Հատ ական աշխատանքի Համար: Այդ խնդիրներր կարելի է օգտագործել նաև. նախ ասիր ական պարապմունքների րնթացքում:

Ավելորդ չէ Հիշեցնել, որ այս ձեռնարկում ամփոփված նյու֊•թերր ավելի շատ խորՀուրդ են, բայց ոչ պարտադրանք: Ուսու֊ ցիչրք կախված իր փորձից և աշակերտների պատրաստության մակարդակից ու Հակումներից, կարող Է կատարել ան Հրաժեշտ փոփոխություններ և լրացումներ.*

ուսումնական նյութի դասաժամ ային օրինակելի

1 Սույն ձեռնւսկում օգտագործված են Լ.Ս. Աթանասյանի և ուրիշների[1] մեթոդական հանձնարարականներում սւմվտվւված նյութերը:

Ծ Ր Ա Գ Ի Ր

Հանրակրթական դպրոցի 6-8-րդ դասարանների համար

1. ԲԱՑԱՏՐԱԳԻՐ

Հանրակրթական դպրոցում ուսումնասիրվող առարկաների համակարգում երկրաչափությունն ունի կարևոր դեր: Այն հանգամանքը, որ այդ դասընթացում աշակերտներն առավելագույն չափով հնարավորություն են ստանում զարգացնել և դրսևորել իրենց երևակայությունն ու մտավոր կարողությունները, առավել կարևոր է դարձնում այդ առարկայի դերն ու նշանակությունը: Ութամյա դպրոցի երկրաչափության դասընթացում ընդգրկված նյութը սովորողներին հնարավորություն է տալիս ամբողջական պատկերացում ունենալ հարթաչափության և որոշ տեղեկություններ տարածաչափության մասին:

Դասընթացը պայմանականորեն կարելի է բաժանել Երեք մասի (ըստ դասարանների): Այդ մասերից յուրաքանչյուրում առանձնացված է մի բաժին, որն իր երկրաչափական բնույթով և ժամաքանակով հիմնականն է: Դասընթացի վերջում ներմուծվում է նաև վերլուծական երկրաչափության որոշ տարրեր: Դասընթացում մեծ տեղ է տրվում խնդիրներին, մասնավորապես' կառուցման խնդիրների ավելի ակտիվ գործածությանը: Ընդհանրապես, ժամաքանակի ավելի քան կեսը պետք է հատկացնել խնդիրների լուծմանը, իսկ դրանք ունեն ինչպես ճանաչողական, այնպես էլ կիրառական ուղղվածություն:

սւ. Երկրաչափության ուսուցման նպատակներն ու խնդիրներըՈւթամյա ուսուցման շրջանակներում երկրաչափության ուսուցման

հիմնական նպատակներն են.■հարթաչափության մասին ամբողջական և տարածաչափության

մասին պարզագույն պատկերացումների ձևավորումը և զարգացումը, ֊ընդհանուր մտահորիզոնի զարգացումը և ընդլայնումը, մտավոր

կարողությունների զարգացումը,֊մաթեմատիկական գիտելիքների լիարժեքության և ամբողջա

կանության ապահովումը,֊գործնական կիրառությունների և միջառարկայական կապերի ապահովումը:

Ե Ր Կ Ր Ա Չ Ա Փ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

Այդ նպատակն Ծրի իրականացումը ննթադրում է հնւոեյալ հիմնական խնդիրնսրի լուծումը.

■հիմնական հարթաչափական հասկացությունների, համապատասխան երկրաչափական պատկերների հատկությունների կանոնավոր ուսումնասիրությունը,

֊տարածաչափական հիմնական հասկացությունների և համապատասխան Երկրաչափական պատկերների նախնական ուսումնասիրությունը, աշակերտների տարածաչափական գիտելիքների ձևավորման համար նախադրյալների ապահովումը,

֊երկրաչափական փաստերի հիմնավորման ունակությունների, երկրաչափական մտածելակերպի ձևավորումը և զարգացումը,

֊հարթաչափական, այդ թվում հանրահաշվի և եռանկյունաչափության տարրերի կիրառմամբ լուծվող, խնդիրների լուծման հմտությունների ձևավորումը և զարգացումը:

р. Երկրաչափության ծրագրի կաոուցվածքըԵրկրաչափության ծրագիրը բաղկացած է չորս բաժիններից. «Բա

ցատրագիր», «Սովորողների երկրաչափական պատրաստվածությւսնը ներկայացվող պահանջներ», «Երկրաչափության դասընթացի բովանդակությունը», «Ուսումնական նյութի մոտավոր թեմատիկ պլանավորում»:

Առաջին բաժնում ձևակերպված են երկրաչափության ուսուցման հիմնական նպատակները և խնդիրները:

Երկրորդ բաժնում նախատեսվում է նյութի յուրացման երկու մակարդակ պարտադիր և ցանկալի: Վերջինս կարող է ապահովվել առավել առաջադիմող աշակերտների ինքնուրույն, ինչպես նաև ուսուցչի կողմից հանձնարարված լրացուցիչ աշխատանքի շնորհիվ:

Երրորդ բաժնում ներկայացված է ուսուցման ենթակա հիմնական հարցերի ցանկը:

Չորրորդ բաժնում ուսումնական նյութը ներկայացված է ըստ առանձին թեմաների համապատասխան ժամաքանակներով:

2. ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՊԱՏՐԱՍՏՎԱԾՈՒ- ԹՏԱՆԸ ՆԵՐԿԱՅԱՑՎՈՂ ՊԱՀԱՆՋՆԵՐԸ

6-8-րդ դասարանների աշակերտների երկրաչափական գիտելիքները, կարողությունները և հմտությունները պետք է բավարարեն հետևյալ պահանջներին:

Պարտադիր մակարդակ1. Տիրապեւոել հարթաչափության լեզվին, իմանալ հիմնական հար

թաչափական հասկացությունները, ձևակերպել և առանձին դեպքերում ապացուցել թեորեմները:

2. Կարողանալ խնդրի պայմանը պատկերել գծագրի վրա և լուծել պարզագույն խնդիրներ կիրառելով նաև հանրահաշվի և Եռանկյունաչափության տարրեր:

3. Կարողանալ կիրառել հարթաչափական Փաստերը պարզագույն խնդիրներ լուծելիս:

4. Թեորեմների ապացուցման օրինակների միջոցով պատկերացում կազմել համադրման և հակասող ենթադրության մեթոդների մասին:

Ցանկալի մակարդակ1. Ազատ տիրապեւոել հարթաչափության լեզվին և ծանոթ լինել

տարածաչափության հիմնական հասկացություններին: Ունենալ ամբողջական պատկերացում հարթաչափության մասին, կարողանալ ձևակերպել և ապացուցել բոլոր հիմնական թեորեմները:

2. Կարողանալ կիրառել հարթաչափական պատկերների հատկությունները խնդիրներ լուծելիս:

3. Կատարել վերլուծություններ և ընդհանրացումներ, տիրապետել ապացուցման հիմնական մեթոդներին:

3. ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ

Երկրաչափական պատկերներ և նրանց հավասարությունը: Սահմանում, աքսիոմ, թեորեմ: Փոխհակադարձ թեորեմներ:

Կետ, ուղիղ, հարթություն, հատված, բեկյալ, ճառագայթ, անկյուն: Հատվածների և անկյունների հավասարությունը: Հատվածի երկարությունը և նրա հատկությունները: Երկու կետերի հեռավորությունը: Անկյան կիսորդը և նրա հատկությունները: Կից և հակադիր անկյունները և նրանց հատկությունները: Անկյան մեծությունը և նրա հատկությունները: Անկյան աստիճանային չափը:

Հատվող և զուգահեռ ուղիղներ: Ուղիղների զուգահեռության հայ- տանիշները: Ուղղահայաց ուղիղներ: Թեորեմներ ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության մասին: Հատվածի միջնուղղահայացի հատկությունը: Կետի հեռավորությունը ուղղից: Զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը:

Եռանկյունը և նրա հիմնական տարրերը: Միջնագիծ, բարձրություն, կիսորդ: Եռանկյունների հավասարությունը: Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները: Եռանկյան անկյունների գումարը: Համեմատական հատվածներ: Նման եռանկյուններ: Նման եռանկյունների պարագծերի և մակերեսների հարաբերությունը: Եռանկյան անհավասարությունը: Եռանկյան միջին գիծը, և նրա հատկությունները: Ուղղսսն-

կյուն եռանկյուն, հավասարության և նմանության հայտանիշները: Պյութագորասի թեորեմը: Սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:

Սինուսների և կոսինուսների թեորեմները: Եռանկյունների լուծումը: Քառանկյուններ: Զուգահեռագիծ, նրա հատկություններն ու հայ-

տանիշները: Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի, նրանց հատկությունները: Սեղան, սեղանի միջին գիծ: Բազմանկյուն, կանոնավոր բազմանկյուն: Բազմանկյան անկյունների գումարը: Ուղղանկյան, զուգահեռագծի, եռանկյան, սեղանի, կանոնավոր բազմանկյան մակերեսները:

Շջանագիծ և շրջան, նրանց տարրերը: Կենտրոնային անկյունը և նրա հատկությունը: Ներգծյալ անկյունը և նրա հատկությունը: Շրջանագծի շոշափողը և նրա հատկությունները: [Կետի աստիճանը շրջանագծի նկատմամբ]*:

Եռանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր: Ներգծյալ և ար- տագծյալ քառանկյուններ: Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ ե ար- տագծյալ շրջանագծերը: Շրջանագծի երկարության և տրամագծի հարաբերությունը: Շրջանագծի երկարությունը: Աղեղի երկարությունը: Շրջանի մակերեսը: Սեկտորի և սեգմենտի մակերեսները:

Պատկերների համաչափությունը:Կետերի բազմություն: Կարկինը և քանոնը որպես կառուցման հիմ

նական գործիքներ: Կառուցման խնդիրներ:Վեկտոր: Վեկտորի երկարությունը ե ուղղությունը: Երկու վեկտորնե

րի կազմած անկյունը: Վեկտորների գումարը և էոսւրբերությունը: Վեկտորի բազմապատկումը թվով: Հւսմագիծ վեկտորներ: Տարագիծ վեկտորներ: Վեկտորի պրոյեկցիա:

Երկրաչափության կիրառություններ: Չափումներ տեղանքում: Քառանիստ, զուգահեռանիստ, ուղղանկյունանիստ, խորանարդ, պրիզ

մա, բուրգ, գլան, կոն, գունդ, գնդային մակերևույթ: Տարածական պատկերների (ուղղանկյունանիստի և խորանարդի) մակերևույթների մակերեսները:

[ ] փակագծերում նշված նյութը նախատեսված է ոչ պարտադիր ուսումնասիրման համար:

4.Ուսումնական նյութի' ըստ դասագրքերի մոտավոր թեմատիկ պլանավորում

6-րդ դասարան(շաբաթական 2 ժամ, ընդամենը 68 ժամ)

Նախնական երկրաչափական տեղեկութ՛յուններ (12 ժամ)Ներածություն: 1.Կետեր, ուղիղներ, հատվածներ: 2.Ուղղի ձողանշումը տեղանքում: Յ.ճսւռւսգայթ: 4.Անկյուն: 5.Երկրաչւսփակւսն պատկերների հավասարությունը: 6.Հատվածների և անկյունների համեմատումը: 7.Հւստվածի երկարությունը: 8.Չւսւիման միավորներ: Չափիչ գործիքներ: 9.Անկյւսն աստիճանային չափը: 10.Անկյունների չափումը տեղանքում: 11.Կից և հակադիր անկյուններ: 12.Ուղղւսհայաց ուղիղներ:13.Ուղիղ անկյունների կառուցումը տեղանքում:

եռանկյուններ (13 ժամ)14.Եռանկյուն: 15.Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշը: 16.Ուղղին ուղղահայաց: 17.Եռսւնկյւսն միջնագծերը, կիսորդները և բարձրությունները: 18.Հւսվասարասրուն եռանկյան հատկությունները: 19.Եռւսնկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշը:20.Եռւսնկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշը:

Ջուգւսհեռ ոււփղներ (11 ժամ)21.Զուգահեռ ուղիղների սահմանումը: 22.Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտւսնիշները: 23.Զուգահեռ ուղիղների կառուցման գործնական եղանակներ: 24.Երկրաչափության աքսիոմների մասին: 25.Զու- գահեռ ուղիղների աքսիոմը: 26.Թեորեմներ երկու զուգահեռ ուղիղներով և հատողով կազմված անկյունների մասին:

Առնչություններ եռանկյան կողմերի ե անկյունների միջև (16 ժամ) 27.Թեորեմ եռանկյան անկյունների գումարի մասին: 28.Սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ: 29.Թեորեմ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև առնչությունների մասին: ՅՕ.Եռսւնկյան անհավասարությունը: 31.Ուղղանկյուն եռանկյունների որոշ հատկություններ: 32.Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հւսյտանիշները:33.Կետի հեռավորությունը ուղղից: 34.Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը: 35.Բեկյալի երկարությունը: 36.[Անկյունային ւսնդրւսդար- ձիչ]: 37.Պատկերւսցում քառանիստի մասին:

Երկրաչափական կառուցումներ (8 ժամ)38.Շրջանագիծ: 39.Կառուցումներ կարկինով և քանոնով: 40.Ուղղահայաց ուղիղների և զուգահեռ ուղիղների կառուցումները: 41.Հատվածի միջնակետի կառուցումը: Հատվածի միջնուղղահայացը: 42.Ան- կյան կիսորդի կառուցումը: Անկյան կիսորդի հատկությունը: 43.Եռանկյան կառուցումը ըստ երեք տարրերի:

Կրկնություն և գիտելիքների ստուգում (8 ժամ)


Քառանկյուններ (17 ժամ)1.Բազմանկյուն: 2.Ուռուցիկ բազմանկյուն: Յ.Քառանկյուն: ^Զուգահեռագիծ: 5.Զուգսւհեռւսգծի հայտւսնիշները: 6.Եռանկյան միջին գիծը:7.Թալեսի թեորեմը: 8.Սեղսւն: 9.Ուղղանկյուն: 10.Շեղանկյուն և քառակուսի: 11.Առանցքային և կենտրոնային համաչափություններ: 12.Տարա- ծական պատկերներ: 13.Զուգահեռանիստ: 14.Ուղղանկյունանիստ և խորանարդ: 15.Պրիզմսւ (հատվածւսկողմ): 16.Բուրգ:

Շրջանագիծ (22 ժամ)17.Երկու կետերով անցնող շրջանագիծը: 18.Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը: 19.Շրջանագծի որոշումը երեք կետերով: 20.Շրջանա- գծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը: 21.Շրջանագծի շոշափող:22.Շրջանագծի աղեղի աստիճանային չափը: 23.Թեորեմ ներգծյալ անկյան մասին: 24.Անկյան կիսորդի և հատվածի միջնուղղահայացի հատկությունները: 25.Թեորեմ եռանկյան բարձրությունների հատման կետի մասին: 26.Եռանկյան միջնագծերի հատման կետը: 27.Ներգծյալ շրջանագիծ: 28.Արտագծյալ շրջանագիծ: 29.Երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը: ՅՕ.Կետերի երկրաչափական տեղը: 31 .Պատկերացում գլանի մասին: 32.Պատկերացում կոնի մասին: ՅՅ.Պւստկերւսցում գնդի մասին:

Մակերես (14 ժամ)34.Բազմանկյան մակերեսի հասկացությունը: 35.Քառակուսու մակերեսը: 36.Ուղղանկյան մակերեսը: 37.Զուգահեռագծի մակերեսը: 38.Եռւսն-. կյան մակերեսը: 39.Սեղանի մակերեսը: 40.Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը: 41.Ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսը: 42.Պյու- թւսգորասի թեորեմը: 43.Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը:

Նման եռանկյուններ (9 ժամ)44.Համեմատական հատվածներ: 45.ՆՅւսն եռանկյունների սահմանումը: 46.Եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշը:47.Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը: 48.Եռանկյուն- ների նմանության երրորդ հայտանիշը: 49.Եռանկյունների նմանության մի քանի կիրառություններ:

Կրկնություն Լ գիտելիքների ստուգում (6 ժամ)


Նման պատկերներ (14 ժամ)1.Նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը: 2.Նման եռանկյունների գծային տարրերի հարաբերությունները: Յ.Երկրաչափական

պատկերների նմանության մասին: 4.Համեմատական հատվածները ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: 5.Եռանկյան կիսորդի հատկությունը: 6. Երկու ուղղի' մի քանի զուգահեռ ուղիղներով հատումից առաջացած հատվածների համեմատականությունը: 7.Եռւսնկյունների նմանության գործնական կիրառություններ: 8.Հատվող լարերի հատկությունը:9.Շրջանագծի հատողի և շոշւսւիողի հատկությունը:

Եռանկյունների լուծում՛ը (20 ժամ)10.Ուղղւսնկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը: 11.Սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքները 30°,45°,60° անկյունների համար: 12.Առնչություններ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյուների միջև: 13.Կոորդինսւտների ուղղանկյուն համակարգ:14.Հատվածի միջնակետի կոորդինատները: 15.Կետերի հեռավորությունը կոորդինատներով: 16.Սինուս, կոսինուս, տանգենս: ^.Եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը: 18.Բերման բանաձևեր: 19.Կետի կոորդինատների հաշվման բանաձևերը: 20.Թեորեմ եռանկյան մակերեսի մասին: 21 .Սինուսների թեորեմը: 22.Կոսինուսների թեորեմը:23.Եռւսնկյունների լուծումը: 24.Չավտղսւկան աշխատանքներ: 25.Զու- գահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը: 26.Քառանկյան մակերեսի բանաձևը: 27.Հերոնի բանաձևը: 28.Եռանկյան մակերեսի, կողմերի և արտագծյալ շրջանագծի շառավիղի կապը:

Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը (11 ժամ) 29.Կանոնավոր բազմանկյուն: ՅՕ.Կանոնւսվոր բազմանկյանը արտագծած շրջանագիծ: 31.Կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած շրջանագիծ: 32.Կանոնավոր բազմանկյան մակերեսի, նրա կողմերի և ներգծյալ շրջանագծի շառավիղի հաշվման բանաձևեր: ՅՅ.Կանոնւսվոր բազմանկյունների կառուցումը: 34.Շրջանագծի երկարությունը: 35.Շրջանի մակերեսը: 36.Շրջանային սեկտորի մակերեսը: 37.Սեգմենտի մակերեսը:

Վեկտորներ (11 ժամ)38.Վեկտորի հասկացությունը: 39.Վեկտորների հավասարությունը:40.Վեկտորների տեղադրումը տրված կետից: 41 .Երկու վեկտորների գումարը: 42.Վեկտորների գումարման օրենքները: Զուգահեռագծի կանոնը: 43.Մի քանի վեկտորների գումարը: 44.Վեկտորների հանումը:45.Վեկտորի և թվի արտադրյալը: 46.Վեկտորների կիրառությունը խնդիրներ լուծելիս: 47.Վեկտորի վերածումը ըստ երկու տարագիծ վեկտորների: 48.Վեկտորի կոորդինատները: 49.Վեկտորների կազմած անկյունը: 50.[Վեկտորների սկալյար արտադրյալը]:

հարթաչափության աքսիոմների մասին (2 ժամ)Որոշ տեղեկություններ երկրաչափության պատմությունից (1 ժամ) Կրկնություն և գիտելիքների ստուգում (9 ժամ)

ԳԼՈՒԽ 1

ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ 6-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՈՒՄ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ԴԱՍԱԺԱՄԱՅԻՆ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ

Գլուխ 1 Նախնական երկրաչափական տեղեկություններ 121. Ուղիղ և հատված 22. ճառագայթ և անկյուն 13. Հատվածների և անկյունների համեմատումը 14. Հատվածների չափումը 15. Անկյունների չափումը 26. Ուղղահայաց ուղիղներ 2

Գլուխ 1-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 2 Եռանկյուններ 13

^ Եռանկյունների հավասարության առաջինհայտանիշը 3

2 Եռանկյան միջնագծերը, կիսորդները ևբարձրությունները 4

_ Եռանկյունների հավասարության երկրորդ ևերրորդ հայտանիշները 3

Գլուխ 2-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 3 Զուգահեռ ուղիղներ 11

1. Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները 32. Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը 5

Գլուխ 3-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1թ. ո.հ. ճ Առնչություններ եռանկյան կողմերի ն ւսնկյուն-4ԼՈԼ|Ա4 ների միջև 16

1. Եռանկյան անկյունների գումարը 32 Առնչություններ եռանկյան կողմերի և

անկյունների միջև 33. Ուղղանկյուն եռանկյուններ 4ձ Եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև

առնչությունների որոշ կիրառություններ 3Գլուխ 4-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1

Գլուխ 5 Երկրաչափական կառուցումներ 81. Կառուցումներ կարկինով և քանոնով 32. Կառուցման խնդիրներ 2

Գլուխ 5-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Դասընթացի կրկնության դասեր 6Գիտելիքների տարեվերջյան ստուգում և գնահատում 2

Ընդամենը 68

1.ՆԱԽՆԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

1. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Առաջին գլխում դիտարկվում են պարզագույն երկրաչափական պատկերներ' կետ, ուղիղ, հատված, ճառագայթ, անկյուն, ուսումնասիրվում են հատվածների և անկյունների համեմատման և չափման հարցերը, ներմուծվում են կից և հակադիր անկյունների, ուղղահայաց ուղիղների հասկացությունները: Այդ հասկացությունները ներմուծվում են ակնառու այն պատկերացումների հիման վրա, որոնք ձևավորվել են սովորողների' 1-5-րդ դասարաններում մաթեմատիկայի ուսումնասիրման և կուտակված փորձի շնորհիվ: Աքսիոմի հասկացությունը այս և երկրորդ գլուխներում չի ներմուծվում, աքսիոմները բացահայտ տեսքով չեն ձևակերպվում: Միաժամանակ, նկարագրական ձևով բերվում են այն ելակետային դրույթները, որոնք անհրաժեշտ են երկրաչափական պատկերների հատկությունների ուսումնասիրության համար:

Սովորողների ակնառու պատկերացումների վրա են հիմնված նւսև այդ գլխի խնդիրների լուծումը: Գլխում շարադրված երկրաչափական նյութի գործնական կիրառությունը բացահայտվում է «Ուղղի ձողանշումը տեղանքում», «Չափման միավորներ: Չափիչ գործիքներ», «Անկյունների չափումը տեղանքում» դասերի ընթացքում: Իսկ այդ գործնական աշխատանքները կարող են կատարվել ուսումնական տարվա հարմար ժամանակում: ՜֊

Ուսուցման հ ի մ ն ա կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն ե ր ն ո ւ խ ն դ ի ր ն ե ր ը ' ըստ պարսպրաֆննրի, հետևյալներն են.§1. Համակարգել աշակերտների գիտելիքները կետերի և ուղիղների

հնարավոր դասավորության մասին, պարզաբանել «Ցանկացած երկու կետերով անցնում է ուղիղ, ընդ որում' միայն մեկը» դրույթի

իմաստը, ներմուծել հատվածի հասկացությունը, նկարագրել տեղանքում ուղիղներ տանելու (ձողանշելու) գործնական եղանակները:

§2. Պարզաբանել, թե ինչ է ճառագայթը, անկյունը, ներմուծել անկյան ներքին և արտաքին տիրույթների հասկացությունները, ծանոթացնել ճառագայթների և անկյունների տարբեր նշանակումներին:

§3. Ներմուծել երկրաչափության կարևոր հասկացություններից մեկը' պատկերների հավասարությունը, մասնավորապես, հատվածների և անկյունների հավասարությունը, ինչպես նաև հատվածի միջնակետի և անկյան կիսորդի հասկացությունները:

§4. Պարզաբանել հատվածների չափման գործնական անհրաժեշտությունը, ներմուծել հատվածի երկարության հասկացությունը, դի- տարկել հատվածների երկարությունների հատկությունները, ծանոթացնել հատվածների չափման գործիքներին:

§5. Ներմուծել անկյան աստիճանային չափի հասկացությունը, դիտար- կել անկյունների աստիճանային չափի հատկությունները, ներմուծել սուր, ուղիղ և բութ անկյունների հասկացությունները, նկարագրել տեղանքում անկյուններ չափելու գործիքներից օգտվելու եղանակները:

§6. Ներմուծել կից և հակադիր անկյունների հասկացությունները, դի- տարկել դրանց հատկությունները, նեմուծել ուղղահայաց ուղիղների հասկացությունը և ցույց տալ, թե ինչպես կիրառել այդ հասկացությունները խնդիրներ լուծելիս:

1.բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

§1-

Я* [i տ ե Ն ա լ քանի ուղիղ կարելի է տանել երկու կետով, քանի ընդհանուր կետ կարող են ունենալ երկու ուղիղները:^ ш р п ւլ ա Ն ա լ ' նշանակել կետը և ուղիղները նկարի վրա, պատկերել կետերի և ուղիղների, երկու ուղիղների փախադարձ դասավորության հնարավոր դեպքերը, բացատրել ինչ է հատվածը, նկարի վրա պատկերել և նշանակել հատվածները:

§2-

Գ ի ա Ь ն ա լ, թե որ երկրաչափական պատկերն է կոչվում անկյուն: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ պատկերել և նշանակել ճառագայթ, նշանակել չփռված և փռված անկյունները, ըստ նկարի անվանել անկյունների տարրերը, նկարի վրա ցույց տալ, թե որ պատկերն է չփռված անկյան ներքին և արտաքին տիրույթները, հասկանալ, թե որ ճառագայթներն են անկյունը տրոհում երկու անկյան, տանել այդպիսի ճառագայթները:

Գ ի տ ե ն ա լ, թե որ երկրաչափական պատկերներն են կոչվում հավասար, որ կետն է կոչվում հատվածի միջնակետ, որ ճառագայթն է կոչվում անկյան կիսորդ:Կ ա ր ո դ ա նալ համեմատել հատվածները և անկյունները, համեմատման արդյունքը գրառել, մասշտաբային քանոնի օգնությամբ նշել հատվածի միջնակետը, անկյունաչափի օգնությամբ տանել անկյան կիսորդ:

§4-Գ ի տ ե ն ա լ , որ չափման ընտրված միավորի դեպքում ցանկացած տրված հատվածի երկարությունն արտահայտվում է որոշակի դրական թվով:կ ա ր ո ղ ա ն ա լ մասշտաբային քանոնի օգնությամբ չափել տրված հատվածը և նրա երկարությունը արտահայտել սանտիմետրերով, միլիմետրերով, մետրերով, գտնել հատվածի երկարությունն այն դեպքում, երբ տրված հատվածը կետով տրոհվում է երկու հատվածների, որոնց երկարությունները հայտնի են, լուծել 36-38, 42, 43 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§5.Գ ի տ ե ն ա լ , թե ինչ է աստիճանը, ինչի են հավասար րոպեն ե վայրկյանը:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' օգտագործելով անկյունաչափը գտնել տրված անկյունների աստիճանային չափերը, պատկերել սուր, ուղիդ և բութ անկյուններ, լուծել 55-58 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§6.Գ ի տ ե ն ա լ, թե որ անկյուններն են կոչվում կից և ինչի են հավասար կից անկյունների գումարը, թե որ անկյուններն են կոչվում հակադիր և ինչ հատկությամբ են օժտված դրանք, թե որ ուղիղներն են կոչվում ուղղահայաց, ինչպես նաև ւսյն վւաստը, որ երրորդ ուղղին ուղղահայաց երկու ուղիղները չեն հատվում:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ կառուցել տրված անկյան կից անկյուն, պատկերել հակադիր անկյուններ, լուծել 66, 67, 69, 74, 75, 79 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

1.գ. Խորհուրդներ խնդիրների լուծումների գրառման վերաբերյալ

Այս գլխի խնդիրներից շատերի համար բավական է, որ սովորողները կատարեն ճիշտ գծապատկերում և ըստ գծագրի համառոտ

§ 3 .

գրառեն լուծումը: Ստորև բերվում են 40, 46, 47, 48 խնդիրների լուծումների օրինակելի ձևակերպումներ1:40. Տրված են ' С կետը АВ հատվածի միջնակետն է, АВ=64 սմ, D- ն

СА ճառագայթի կետ է, CD=15 սմ: Գտնել BD-ն և DA-ն:Լ ո ւ ծ ո ւ մ : AC=CB=AB:2=32ufr 60=60+ՇԸ=32սմ+15սմ=

=47սմ: AD=AC-DC=32ll^5l^=17ufr46. Տրված О, A և В կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա, ОА = 12սմ,

ОВ = 9 սմ: Գտնել MN-ը, որտեղ М-ը ОА-ի միջնակետն է, N-ը ОВ-ի միջնակետը:

Լ ո ւ ծ ո ւ մ : ОМ = ֊ 04 = 6 սմ, ON = ֊ 0B = 4,5 սմ:

ա) 0 կետը գտնվում է AB հատվածի վրա, ուստի' այն գտնվում է MN հատվածի վրա: MN=OM+ 0N=6 սմ+4,5 սմ = 10,5 սմ: բ) A և В կետերը գտնվում են մի ճառագայթի վրա, որի սկզբնակետը 0 կետն է, ուստի М և N կետերը գտնվում են նույն ճառագայթի վրա: ON+NM=OM, որտեղից' MN=OM-ON=6u^4,5 սմ=1,5 սմ:

47. 0-ն տրված AB հատվածի վրա գտնվող կետ է: AB=a: Գտնել MN-ը, որտեղ М-ը АО-ի միջնակետն է, N-ը DB-ի միջնակետը:

Լ ո ւ ծ ո ւ մ : MO = -AO, NO = -OB,2 2

MN = МО + ON = — (АО + OB) = — АВ = — а:2 2 2

48. Տրված է АВ=28 սմ, М-ը АС-ի միջնակետն է, N-ը' DB-ի միջնակետը, MN=16 սմ: Գտնել CD-ն:

Լ ո ւ ծ ո ւ մ : AB=2MC+CD+2DN=28 սմ (1) MN=MC+CD+DN=16u^ 2MC+2CD+2DN=32 սմ (2)

(2) հավասարությունից հանենք (1) հավասարությունը, ստանում ենք Շ0=32սմ-28սմ=4սմ:

1. p. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1.1. Քանոնով գծեք ուղիղ և այն նշանակեք b տառով:

ա)Նշեք b ուղղի վրա գտնվող M կետ: բ) Նշեք b ուղղի վրա չգտնվողի կետ:

1 Խնդիրների լուծման վերաբերյալ մանրամասն մեկնաբանությունների և խորհուրդների համար տե ս [1] կամ [13] ուղեցույցը:

գ)Օգտագործելով е և й պայմանանշանները' գրառեք «М կետը գտնվում է b ուղղի վրա» և «N կետը չի գտնվում b ուղղի վրա» նախադասությունները:Առանց քանոնի գծեք ուղիղ և քանոնով ստուգեք արդյունքը: Վարժությունը կրկնեք մի քանի անգամ:Գծեք M կետում հատվող a և b ուղիղներ: a ուղղի վրա նշեք Mկետից տարբեր N կետը:ա)Արդյո՞ք տարբեր են MN և a ուղիղները:բ) b ուղիղը կարո՞ղ է, արդյոք, անցնել N կետով:

Լրացուցիչ հանձնարարությունՔանի՞ հատման կետ կարող են ունենալ երեք ուղիղները: Դիտար- կեք հնարավոր դեպքերը: Կատարեք գծապատկերում:Հարթության վրա տրված են երեք կետ: Քանի՞ ուղիղ Է կարելի տանել այդ կետերով այնպես, որ յուրաքանչյուր ուղիղն անցնի այդ կետերից առնվազն երկուսով: Դիտարկեք բոլոր հնարավոր դեպքերը: Կատարեք գծապատկերում:

§2-Տարեք որևէ a ուղիղ:

ш)а ուղղի վրա А.В և С կետերը նշեք այնպես, որ А կետը գտնվի В և С կետերի միջև:բ)Թվարկեք А սկզբնակետով ճառագայթները: q)AB ճառագայթի վրա նշեք D կետ: A.B և D կետերի դասավորության ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր:Գծագրեք hk չփռված անկյուն:

ա)Անկյան գագաթից տարեք այնպիսի է. ճառագայթ, որով hk անկյունը տրոհվի երկու անկյան:բ)Թվարկեք բոլոր այն անկյունները, որոնք կազմված են h,k և է. ճառագայթներով:գ)Տարեք այնպիսի m ճառագայթ, որ հ ճառագայթի հետ կազմի փռված անկյուն:

Լրացուցիչ հանձնարարությունՏրված են անկյուն և երկու կետ: Դիտարկեք այդ կետերի' անկյան նկատմամբ դասավորության բոլոր դեպքերը:

§3.О սկզբնակետով հ ճառագայթի վրա ОА և ОВ հատվածները տեղադրեք այնպես, որ А կետը գտնվի О և В կետերի միջև:

1. Օգտագործելով <, >, = պայմանանշանները գրառեք ОА և ОВ հատվածների համեմատման արդյունքը:

2. Գծագրեք ABC չփռված անկյուն և տարեք որևէ BD ճառագայթ, որը ABC անկյունը տրոհի երկու անկյան: Օգտագործելով <,>,= պայմանանշանները' գրառեք անկյունների համեմատման արդյունքը, ա) ABC և ABD անկյունների համար, բ) ABC և DBC անկյունների համար:

§4-1-ին տարբերակ

1. b ուղղի վրա C.D և E կետերը նշված են այնպես, որ ՇՕ=6սմ, DE=8ui5: Որքա՞ն կարող Է լինել CE հատվածի երկարությունը:

2. M կետը AB հատվածի միջնակետն Է, և МВ=4ф5 Յսմ: Գտեք АВ երկարությունը. ա)դեցիմետրերով, բ)սանտիմետրերով:

2-րդ տարբերակ1. m ուղղի վրա A,B և С կետերը նշված են այնպես, որ AC=12u^

AB=8ufr Որքա՞ն կարող Է լինել BC հատվածի երկարությունը:2. P կետը MN հատվածի միջնակետն Է, և 1\/11տ1=14դմ: Գտեք PN

հատվածի երկարությունը' արտահայտելով. ա)դեցիմետրերով, բ)մետրերով:

3-րդ տարբերակ1. Տրված են CD հատվածը և M կետը, ընդ որում' ՇՕ=17սմ, Շ1\/1=13սմ,

DM=5u^-M կետը արդյոք գտնվո՞ւմ Է CD հատվածի վրա:2. b ուղղի վրա C,D,E և F կետերը հաջորդաբար նշված են այնպես,

որ CD=EF: CD և EF հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը հավասար Է12,4սմ: Գտեք С և E կետերի հեռավորությունը:

§5.1-ին տարբերակ

ABC փռված անկյունը BD ճառագայթով տրոհված Է երկու անկյան, որոնցից մեկը 34°-ով մեծ Է մյուսից: Գտեք առաջացած անկյունները:

2-րդ տարբերակABC ուղիղ անկյունը BD ճառագայթով տրոհված Է երկու անկյան, որոնցից մեկը 4 անգամ մեծ Է մյուսից: Գտեք առաջացած անկյունները:

3-րդ տարբերակABC փռված անկյունը BD ճառագայթով տրոհված Է երկու անկյան, որոնց տարբերությունը 46° Է: Գտեք առաջացած անկյունները:

4-րդ տարբերակABC ուղիղ անկյունը BD ճառագայթով տրոհված է 5:4 հարաբերությամբ: Գտեք BD ճառագայթի և ABC անկյան կիսորդի կազմած անկյունը:


1. Կից անկյուններից մեկը 27°-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ կից անկյունները:

2. Գտեք այն բոլոր չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու ուղիղների հատումից, եթե այդ անկյուններից երկուսի գումարը 226° է:

2-րդ տարբերակ1. Կից անկյուններից մեկը 9 անգամ մեծ է մյուսից: Գտեք այդ կից

անկյունները:2. Գտեք այն բոլոր չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու

ուղղի հատումից, եթե այդ անկյուններից մեկը 81°-ով փոքր է մյուսից:

3-րդ տարբերակ1. Գտեք կից անկյունները, եթե նրանց աստիճանային չափերը

հարաբերում են, ինչպես 2:7:2. Գտեք այն բոլոր չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու

ուղիղների հատումից, եթե նրանցից երկուսի տարբերությունը 71 է:

1.Է. Ստուգողական աշխատանք N1

1-ին տարբերակ1. B,C և D կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Հայտնի է, որ ՑԾ=17սմ

ԸՇ=25սմ: Որքա՞ն կարող Է լինել ВС հատվածի երկարությունը:2. МС և DE ուղիղների հատումից առաջացած МОЕ և DOC հակադիր

անկյունների գումարը 204* է՛ Գտեք MOD անկյունը:3. Անկյունաչափի օգնությամբ գծագրեք 7(ք-ի անկյուն և տարեք նրա

կից անկյան կիսորդը:

2-րդ տարբերակ1. M.N և К կետերը գտնվում են մի ուղղիւվրա: Հայտնի է, որ

MN= 15սմ, MK= 18սմ: Որքա՞ն կարող է լինել МКհեռավորությունը:2. AD և ВС ուղիղների հատումից առաջացած АОВ և COD հակադիր

անկյունների գումարը 10ff է: Գտեք BOD անկյունը:

3. Անկյունաչափի օգնությամբ գծագրեք 13?-ի հավասար անկյուն և տարեք նրա կիցանկյան կիսորդը:

3-րդ տարբերակ1. M.N և Р կետերը գտնվո՞ւմ են, արդյոք, մի ուղղի վրա, եթե

МР=12ий, MN=5u PN=8ud'2. Գտեք այն չփռված անկյունները, որոնք առաջանում են երկու

ուղիղների հատումից, եթե այդ անկյուններից երկուսի տարբերությունը 37° է:

3. AB և CD ուղիղները փոխուղղահայաց են և հատվում են О կետում: ОЕ ճառագայթը AOD անկյան կիսորդն է: Գտեք СОЕ անկյունը:

2. ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ2. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Երկրորդ գլխում ուսումնասիրվում են եռանկյունների հավասարության հւսյտանիշները: Թեորեմների մեծ մասի ապացուցումը կառուցվում է ըստ հետևյալ սխեմայի, հավասար էտանկյուննսրի որոնում, դրանց հավասարության ապացուցում, էտանկյուննէտի հավասարությունից բիտդ հէոոեանբնէւրի վէտլուծություն: Եռանկյունների հավասարության հայւուս- նիշները լայն հնարավորություն են բացում խնդիրների լուծման համար, դրանով իսկ ընձեռելով մտահանգումներ կատարելու փորձ ձեռք ՜ բերելու հնարավորություն:

Առաջին և երկրորդ հայտանիշների ապացուցման հիմքում ընկած Է եռանկյուններից մեկի' մյուսի վրա վերադրմամբ համընկնելու փաստի բացահայտումը: Դա նշանակում է, որ եռանկյունների հավասարությունը ապացուցվում Է ըստ պատկերների հավասարության սահմանման:

Ապացուցման այս եղանակը դիտողական Է, ընկալելի Է սովորողների համար, լիովին համապատասխանում Է պատկերների հավասարության մասին նրանց պատկերացումներին:

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշների ուսումնասիրման սկզբնական շրջանում ցանկալի Է ավելի շատ ուշադրություն դարձնել պատրաստի գծագրերով խնդիրների լուծմանը: Հետագայում սովորողներին աստիճանաբար պետք Է նպատակաուղղել' ըստ խնդրի պայմանների գծապատկերներ կատարելուն, ինչը զգալիորեն կհեշտացնի եռանկյունների հավասարության հայտանիշները տեսնելուն:

Ուսուցման հ ի մ ն ա կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն ե ր ն ո ւ խ ն դ ի ր ն ե ր ը ' ըստ պարագրաֆների, հէոոեյալնէՅրն էՅն.

20___

§1 .Ներմուծել եռանկյան և նրա տարրերի հասկացությունները, թեորեմի և թեորեմի ապացուցում հասկացությունները, ապացուցել եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշը:

§2.Ներմուծել ուղղի ուղղահայացի հասկացությունը, ապացուցել ուղղահայացի մասին թեորեմը, ներմուծել եռանկյան միջնագծի, կիսորդի և բարձրության հասկացությունները:

§Յ.Ուսումնասիրել եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ հայտանիշները, մշակել հմտություններ այդ հայտանիշները խնդիրների լուծման ընթացքում օգտագործելու համար:

2. բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

§1.Գ ի տ ե Ն ա լ ինչ է եռանկյան պարագիծը, թե որ եռանկյուններն են կոչվում հավասար, եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի ձևակերպումն ու ապացուցումը:Կ ւ ս ր ո ւ լ ա Ն ա լ բացատրել, թե որ պատկերն է կոչվում եռանկյուն, անվանել եռանկյան տարրերը, լուծել 101-104, 108 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§շ.Я * ի ա ե Ն ա լ ուղղին ուղղահայացի մասին թեորեմի ձևակերպումը, հավասարասրուն եռանկյան հատկությունների մասին թեորեմների ձևակերպումներն ու ապացուցումները:Կ ա ր п դ ա ն ա լ ' բացատրել, թե տրված կետից տրված ուղղին տարված հատվածներից որն է կոչվում ուղղահայաց, թե ինչ են եռանկյան միջնագիծը, կիսորդը, բարձրությունը, թե որ եռանկյունն է կոչվում հավասարասրուն, կատարել 112-116 առաջադրանքների տիպի գործնական առաջադրանքներ և լուծել 117-119, 125, 128, 130, 132 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§3՛Գ ի տ ե ն ա լ եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ հայտանիշների ձևակերպումներն ու ապացուցումները: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' լուծել 134-136, 138, 142, 150-153 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

2. գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1-

1-ին տարբերակԱպացուցեք դասագրքի նկար 57-ի ABD և ACD եռանկյունների հավասարությունը, եթե АВ=АС և Z1=Z2: Գտեք ABD և ADB անկյունները, եթե ZADC=120° և ZACD=42°:

2-րդ տարբերակԱպացուցեք դասագրքի նկար 58-ի ABC և ADC եռանկյունների հավասարությունը, եթե BC=AD և Z1=Z2: Գտեք ACD և ADC անկյունները, եթե ZABC=108°, ZBAC-32°:

3-րդ տարբերակՀայտնի է որ, AMKP=AMiKiPi, ընդ որում' ZM=ZMi, ZK=ZK1: MP և МтР! կողմերի վրա Е և Ei կետերը նշված են այնպես, որ ME=M1E1: Ապացուցեք, որ АМЕК^М^!^:

§2-

1-ին տարբերակՀավասարասրուն եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է, որ. ա)նրանցից մեկը 105° է, բ)նրանցից մեկը 38° է:

2-րդ տարբերակՀավասարասրուն եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է: Գտեք • այդ եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է, որ. ա)նրանցից մեկը 62° է, բ)նրանցից մեկը 98 է:

Լրացուցիչ խնդիր Գտեք այն եռանկյան կողմերը, որի պարագիծը կողմերից մեծ է 9սմ-ով, 8սմ-ով և 7սմ-ով:


1. Ապացուցեք դասագրքի նկար 79-ի РВО և ТСО եռանկյունների հավասարությունը, եթե հայտնի է, որ ВО=СО և ZB=ZC: Գտեք ОСТ եռանկյան կողմերը, եթե Բ6=3սմ, 013=4սմ, ԲՕ=5սմ:

2. Դասագրքի 76, բ նկարում AiC^AiC և CiB^CBv Ապացուցեք, որ A1B1 ճառագայթը CAtCi անկյան կիսորդն է:2-րդ տարբերակ

1. ABC և A-|B-|Ci եռանկյուններում AB=AiB1, ZA=ZAi, ZB=ZB1,: ВС և B-jCi կողմերի վրա D և Di կետերը նշված են այնպես, որ

ZCAD=ZCiA1Di: Ապացուցեք որ. lu)AADC=AAiDiCi,p)AADB=AA1DiB1:

2. MNP-ն MP հիմքով հավասարասրուն եռանկյուն է: К-ն МР հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ NK ճառագայթը MNP անկյան կիսորդն է:

3-րդ տարբերակ1. 1. DEC և DiE-1C1 եռանկյուններում DE=D1Ei, ZD=ZD1, ZE=ZEi: DE

և DiEi կողմերի վրա P և Pi կետերը նշված են այնպես, որ ZDCP=ZD1C1P1: Ապացուցեք, որ. iu)ADCP=AD1C1P1, р)ДСРЕ= =АС1Р1Е1

2. MNP-ն МР հիմքով հավասարասրուն եռանկյուն է, իսկ ND-ն այդ եռանկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ MD և PD հատվածները հավասար են:

2.ե. Ստուգողական աշխատանք N2

1-ին տարբերակ1. ABC և MNO եռանկյունները հավասար են, ընդ որում ZA-ZN,

ZB-ՀՕ, ZC=ZM: Գտեք այդ եռանկյունների համապատասխանաբար հավասար կողմերը:

2. AB և CD հատվածներն ունեն ընդհանուր միջնակետ Օ-ն: Ապացուցեք, որ ZDAO=ZCBO:

3. AD ճառագայթը A անկյան կիսորդն է: A անկյան կողմերի վրա В և С կետերը նշված են այնպես, որ ZADB=ZADC: Ապացուցեք, որ AB=AC:

2-րդ տարբերակ1. ABC և EFK եռանկյունները հավասար են, ընդ որում' AB=FK,

AC-EF, BC-EK: Գրեք այդ եռանկյունների համապատասխանաբար հավասար անկյունները:

2. D կետը ME և PK հատվածների ընդհանուր միջնակետն է: Ապացուցեք, որ ZKMD=ZPED:

3. D անկյան կողմերի վրա M և К կետերը նշված են այնպես, որ DM=DK: P կետը գտնվում է D անկյան ներսում, և PK=PM: Ապացուցեք, որ DP ճառագայթը MDK անկյան կիսորդն է:

3-րդ տարբերակ1. ABC և FHO եռանկյունները հավասար են, ընդ որում ՀԹ=ՀՕ և

AB=HO: Գտեք այդ եռանկյունների համապատասխանաբար հավասար մյուս կողմերն ու անկյունները:

□

2. АСЕ և DBF եռանկյունների մեջ CE=BF, ZC=ZB, ZE=ZF: AAj-ը և DDrD ACE և DBF եռանկյունների կիսորդներ են: Ապացուցեք, որ AA1 — DDp

3. A անկյան կողմերի վրա В և С կետերը նշված են այնպես, որ АВ=АС: М կետը գտնվում է А անկյան ներսում, և MB=MC: AM ուղղի վրա D կետը նշված Է այնպես, որ M կետը գտնվում Է A և D կետերի միջև: Ապացուցեք, որ ZBMD=ZCMD:

3. ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒՂԻՂՆԵՐՅ.սւ. Թեմ՜այի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այս գլխում ներմուծվում է երկրաչափության կարևորագույն հասկացություններից մեկը զուգահեռ ուղիղների հասկացությունը, տրվում է որոշակի պատկերացում աքսիոմի և աքսիոմատիկ մեթոդի մասին: Ուսումնասիրվում են զուգահեռ ուղիղների հայտանիշներն ու հատկությունները: Երկրաչափական նոր փաստերի հիման վրա էապես ընդլայնվում է դիտարկվող խնդիրների շրջանակը: Զուգահեռ ուղիղների ուսումնասիրությունը հարուստ նյութ է տալիս նաև արտադասարանական աշխատանքների համար: Աշակերտներին կարելի է ծանոթացնել, մասնավորապես, մաթեմատիկայի զարգացման պատմության հարցերին' կապված Էվկլիդեսի հինգերորդ պոստուլատի հետ:

Ուսուցման հ ի մ ն ա կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն ե ր ն ո ւ խ ն դ ի ր ն ե ր ը ' ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.§1.Ներմուծել զուգահեռ ուղիղների հասկացությունը, դիտարկել երկու՛

ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները' կապված խաչադիր, միակողմանի և համապատասխան անկյունների հետ, ցույց տալ, թե ինչպես են դրանք կիրառվում խնդիրներ լուծելիս:

§2.Պատկերացում տալ երկրաչափության աքսիոմների մասին, ներմուծել զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը, դիտարկել զուգահեռ ուղիղների հատկությունները և ցույց տալ, թե ինչպես են դրանք կիրառվում խմդիրներ լուծելիս:


§1-

Գ ի տ ե ն ա լ ' զուգահեռ ուղիղների սահմանումը, այն անկյունների անվանումը, որոնք առաջանում են երկու ուղիղները հատողով հատելիս, ուղիղների զուգահեռության հայտանիշների ձևակերպումները: Իմանալ, թե որ հատվածներն ու ճառագայթներն են զուգահեռ:^ ա p ո ւլ ա ն ա լ ' նկարի վրա ցույց տալ խաչադիր, համապատասխան, միակողմանի անկյուններ, ապացուցել երկու ուղիղների զուգա-

2 4

հեռության հայտանիշները և դրանք կիրառել 183-186, 191, 194 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

Գ ի տ ե ն ա լ ' զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը և նրա հետևանքները, զուգահեռ ուղիղների հատկությունների ձևակերպումները: կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել զուգահեռ ուղիղների հատկությունները և դրանք կիրառել 196-199, 201, 203-205, 209 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:


§1-

1-ին տարբերակ1. Արդյոք զուգահե՞ռ են դասագրքի 98 նկարում պատկերված а և b

ուղիղները, եթե Ճ1=Ճ6:2. P կետը EL և KF հատվածների ընդհանուր միջնակետն է: Ապացու

ցեք, որ EF\\KL:

2-րդ տարբերակ1. Արդյոք զուգահե՞ռ են դասագրքի 98 նկարում պատկերված a և b

ուղիղները, եթե Ճ1+Ճ7=180°:2. MQ և MP հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր F միջնակե

տում: Ապացուցեք, որ MN||PQ:

3-րդ տարբերակ1. AC ընդհանուր հիմքով ABC և ADC հավասարասրուն եռան

կյունները հավասար են: Ընդ որում' Թևն գագաթները գտնվում են AC ուղղի տարբեր կողմերում: Ապացուցեք, որ. ա) А£||С1>,

P)BC||m:2. Երկու ուղիղներ հատողով հատելիս առաջացել են ութ անկյուններ,

որոնցից մեկը 2 անգամ փոքր է մյուսից: Արդյոք բացառվու՞մ է այդ ուղիղների զուգահեռ լինելը:

1. a և b զուգահեռ ուղիղները հատողով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 37°-ով մեծ է մյուսից: Գտեք այդ անկյունները:

§2-


2. ABC ուղղանկյուն եռանկյան С ուղիղ անկյան գագաթով տարված է АВ կողմին զուգահեռ CD ուղիղը: Գտեք եռանկյան A և В անկյունները, եթե ZDCB=37°:

2-րդ տարբերակ1. a և b զուգահեռ ուղիղները հատողով հատելիս առաջացած միա

կողմանի անկյուններից մեկը 4 անգամ մեծ է մյուսից: Գտեք այդ անկյունները:

2. D ուղիղ անկյուն ունեցող CDE եռանկյան С գագաթով տարված է DE ուղղին զուգահեռ СР ուղիղը: Գտեք եռանկյան С և Е անկյունները, եթե ZPCE=49°:

3. դ. Ստուգողական աշխատանք N3

1-ին տարբերակ1. EF և PQ հատվածները հատվում են իրենց M միջնակետում:

Ապացուցեք, որ PE\\QF:2. DM հատվածը CDE եռանկյան կիսորդն է: M կետով տարված է CD

կողմին զուգահեռ և DE կողմը N կետում հատող ուղիղ: Գտեք DMN եռանկյան անկյունները, եթե ZCDE=6ff :

2-րդ տարբերակ1. MN և EF հատվածները հատվում են իրենց P միջնակետում: Ապա- .

ցուցեք, որ EN\\MF:2. AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է: D կետով տարված է AB

կողմին զուգահեռ և AC կողմը F կետում հատող ուղիղ: Գտեք ADF եռանկյան անկյունները, եթե ZBAC=72?:

3-րդ տարբերակ1. AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն t: D կետով տարված է AB

կողմը E կետում հատող ուղիղ այնպես, որ AE=ED: Գտեք AED եռանկյան անկյունները, եթե ZBED=64>:

2. AB հատվածի M միջնակետով տարված է CD հատվածը այնպես, որ ACj|BD; Ապացուցեք, որ М-ը CD հատվածի միջնակետն է:

4-րդ տարբերակ1. DM հատվածը CDE եռանկյան կիսորդն է: M կետով տարված t DE

կողմը N կետում հատող ուղիղ այնպես, որ DN=MN: Գտեք DMN եռանկյան անկյունները, եթե ZCDE=7<f:

2. AD և ВС հատվածները հատվում են М կետում, ընդ որում AB=CD և AB\\CD: Ապացուցեք, որ M կետը AD և BC հատվածների միջնակետն է:

4.ԱՌՆՉՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԿՈՂՄԵՐԻ ԵՎ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ


Այս գլխում բւսցահայտվում են եռանկյունների նոր, հետաքրքիր ե կարևոր հատկություններ: Գլուխն սկսվում է երկրաչափության կարևոր թեորեմներից մեկով' եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմով: Այնուհետև դիտարկվում են եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև առնչություններ, ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հատկությունները և հայտանիշները:

Նախնական ծանոթություն է տրվում տարածական պատկերների մասին որպես օրինակ դիտարկելով քառանիստը:

Ուսուցման հ ի մ ն ա կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն ե ր ն ո ւ խ ն դ ի ր ն ե ր ը ' ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.§1.Ապացուցել եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմը, դրա

հետևանքները, ներմուծել սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյունների հասկացությունները, ցույց տալ, թե ինչպես են կիրառվում ապացուցված թեորեմները խնդիրներ լուծելիս:

§2.Դիտարկել եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև առնչությունների մասին թեորեմները, այդ թեորեմներից հետևանքները, ցույց տալ, թե դրանք ինչպես կիրառել այլ թեորեմներ ապացուցելիս և խնդիրներ լուծելիս:

§Յ.Դիտարկել ուղղանկյուն եռանկյունների որոշ հատկություններ և հայտանիշներ, ցույց տալ, թե ինչպես են դրանք կիրառվում խնդիրներ լուծելիս:

§4.Դիտարկել եռանկյան կողմերի և անկյունների առնչությունների մի քանի կարևոր կիրառություններ, այդ թվում' ուղղահայացի և թեքի երկարությունների, ինչպես նաև երկու կետերը միացնող հատվածի և բեկյալի համեմատությունները, ծանոթություն տալ քառանիստի մասին:


§1-

Գ ի տ ե ն ա լ ' եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմը և նրա հետևանքները, թե որ անկյունն է կոչվում եռանկյան արտաքին անկյուն, որ եռանկյունն է կոչվում սուրանկյուն, ուղղանկյուն, բութանկյուն: կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմը և նրա հետևանքները, լուծել 226-232, 237 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§շ.Գ ի տ ե ն ա լ և կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև առնչությունների մասին թեորեմները և դրանցից բխող հետևանքները, եռանկյան անհավասարության մասին թեորեմը, կարողանալ դրանք կիրառել 241-245, 248, 249 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§3-Գ ի տ ե ն ա լ ' ուղղանկյուն եռանկյունների 1-3 հատկությունները, ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշների ձևակերպումները:կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել ուղղանկյուն եռանկյունների հատկությունները և հավասարության հայտանիշները, դրանք կիրառել 260- 262, 264, 266, 269, 271 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§4.Գ ի տ ե ն ա լ ե _ կ ա ր ո ղ ա ն ա լ համեմատել կետից ուղղին տարած ուղղահայացը և թեքը, երկու կետը միացնող հատվածը և բեկյալը, դրանք կիրառել 276, 278, 282, 288, 290, 291, 295, 296 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

4. գ.հնքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1-

1-ին տարբերակ1. Հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից մեկը 96° է: Գտեք

եռանկյան մյուս անկյունները:2. CDE եռանկյան մեջ տարված է CF կիսորդը, ընդ որում' ZCED=32°,

ZCFD=72°: Գտեք D անկյունը: 7

2-րդ տարբերակ1. Հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից մեկը 108° է: Գտեք

եռանկյան մյուս անկյունները:2. CDE եռանկյան մեջ տարված է CF կիսորդը, ZD=68°, ZE=32°: Գտեք

CFD անկյունը:

3-րդ տարբերակ1. MP հիմքով և 64 -ի հավասար N անկյունով MNP հավասարասրուն

եռանկյան մեջ տարված է MH բարձրությունը: Գտեք ZPMH-ը:2. CDE եռանկյան մեջ տարված են F կետում հատվող CK և DP

կիսորդները, ընդ որում ZDFK=78°: Գտեք ZCED-ն:

4-րդ տարբերակ1. CE հիմքով և 102°-ի հավասար D անկյունով CDE հավասարասրուն

եռանկյան մեջ տարված է CH բարձրությունը: Գտեք ZDCH-ը:ABC եռանկյան մեջ տարված են К կետում հատվող AM և BN կիսորդները, ընդ որում' ZAKN=85°: Գտեք ZACB-ն:

§2-

) 1-ին տարբերակABC եռանկյան մեջ տարված է BD կիսորդը, ZA=75°, ZC=35°: ա) Ապացուցեք, որ ABDC-O հավասարասրուն է: բ) Համեմատեք AD և DC հատվածները:

2-րդ տարբերակCDE եռանկյան մեջ տարված է EF կիսորդը, ZC=90°, ZD=30°: ա) Ապացուցեք, որ ADEF-ը հավասարասրուն է: բ) Համեմատեք CF և DF հատվածները:


1. ABC սուրանկյուն եռանկյան AC կողմի D միջնակետից տարված են AB և BC կողմերին ուղղահայացներ DE-ն և DF-ը: Հայտնի 4, որ DE=DF: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է:

2. Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը հավասար է 60°-ի, իսկ ներքնաձիգի և փոքր էջի գումարը հավասար է 18 սմ: Գտեք ներքնաձիգը և փոքր էջը:

2-րդ տարբերակ1. АВ հատվածի միջնակետով տարված է а ուղիղը: А և В կետերով

տարված են а ուղղին AC և BD ուղղահայացները: Ապացուցեք, որ AC=BD:

2. E ուղիղ անկյունն ունեցող CDE ուղղանկյուն եռանկյան մեջ տարված է EF բարձրությունը: Գտեք CF-ը և FD-ն, եթե Շ0=18սմ, իսկZDCE=30°:

3-րդ տարբերակ1. О չփռված անկյան կիսորդի М կետով այդ անկյան կողմերին

տարված են МА և MB ուղղահայացները: Ապացուցեք, որ AO=BO:2. AB ներքնաձիգով և 60°-ի հավասար A անկյունով ABC ուղղանկյուն

եռանկյան մեջ տարված է CH բարձրությունը: Գտեք ВН-ը, եթե AH=6ufr


1-ին տարբերակ1. CDE եռանկյան մեջ M կետը գտնվում է CE կողմի վրա, ընդ որում'

ZCMD-ն սուր է: Ապացուցեք, որ DE>DM:2. Հավասարասրուն բութանկյուն եռանկյան պարագիծը 45 սմ է, իսկ

նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ Է Ցսմ-ով: Գտեք այդ եռանկյան կողմերը:

3. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ՀՇ=9ժ, Հ8=6ծ}, AB= 15սմ: Գտեք ВС-ն:

2-րդ տարբերակ1. MNP եռանկյան մեջ К կետը գտնվում Է MN կողմի վրա, ընդ որում

ZMKP : Ապացուցեք, որ KP<MP:2. Բութանկյուն հավասարասրուն եռանկյան կողմերից մեկը 17սմ-ով

փոքր Է մյուսից: Գտեք այդ եռանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 77սմ Է:

3. Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը 6ժ է, իսկ ներքնաձիգի և փոքր էջի գումարը 42 սմ: Գտեք ներքնաձիգը:

3-րդ տարբերակ1. MNK եռանկյան մեջ ZK=3f, ZM=6(f, NP-ն եռանկյան կիսորդն է:

Ապացուցեք, որ MP<PK:2. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 45սմ Է, իսկ նրա կողմերից

մեկը մյուսից մեծ Է 12սմ-ով: Գտեք այդ եռանկյան կողմերը:

3. С ուղիղ անկյունով DCE ուղղանկյուն եռանկյան մեջ տարված է EF կիսորդը, ընդ որում FC= 13սմ: Գտեք F կետի հեռավորությունը DE ուղղից:

4-րդ տարբերակ1. CDE եռանկյան մեջ ZE=7(f, ZD=6tf, ЕК-ն եռանկյան կիսորդն է:

Ապացուցեք, որ KC>DK:2. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 50սմ է, իսկ նրա կողմերից

մեկը 13սմ-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ եռանկյան կողմերը:3. MNP սուրանկյուն եռանկյան M անկյան կիսորդը NK բարձրու

թյունը հատում է О կետում, ընդ որում' OK=9ufc Գտեք О կետի հեռավորությունը MN ուղղից:

5. ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ 4ԱՌՈէ8Ո|-ՄՆԾՐ*5.Ш. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այն գլուխը հիմնականում նվիրված է երկրաչափական կառուցումներին, որոնք կատարվում են քանոնի և կարկինի օգնությամբ: Կարևոր է այն հանգամանքը, որ այդ կառուցումները ունենալու են ոչ այնքան գործնական, որքան տեսական բնույթ: Դա երկրաչափական ավանդական նյութ է, որը նպատակաուղդվւսծ է սովորողների գիտելիքների ամրապնդմանը և նրանց պատկերային և հատկապես տրամաբանական մտածողության զարգացմանը:

Գլխի սկզբում դիտարկվում է շրջանագիծը, տրվում է նրա սահմանումը և պարզաբանվում են նրա տարրերի որոշ առնչություններ: Այնուհետև դիտարկվում են կառուցման խնդիրներ, բացատրվում դրանց առանձնահատկությունները և ցուցադրվում որոշակի օրինակների վրա: Այս գլուխը մեծ հնարավորություններ է ընձեռում գիտելիքների, այդ թվում' կից և հակադիր անկյունների հատկություններին, եռանկյունների հավասարության հայտանիշներին, զուգահեռ և ուղղահայաց ուղիղների հատկություններին և երկրաչափական բազմաթիվ այլ փաստերին վերաբերող գիտելիքների կրկնության և ամրապնդման համար:

Ուսուցման հ ի մ ն ա կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն ե ր ն ո ւ խ ն դ ի ր ն ե ր ը ' ըստ պարագրաֆննրի, հստեյալնսբն Mi.§1 .Ներմուծել շրջանագծի հասկացությունը, պարզաբանել, թե որոնք

են նրա հիմնական տարրերը, ծանոթացնել քանոնի և կարկինի' իբրև Երկրաչափական կառուցումների գործիքների հետ, (սովորողները դրանց մասին, իբրև գծագրական գործիքների, արդեն գիտեն), նկարագրել կառուցման խնդիրների իմաստն ու լուծման եղանակները, բացատրել տրվածին հավասար հատվածի և տրվածին հավասար անկյան կառուցման խնդիրների լուծումները:

§2.Պարզաբանել կառուցման խնդրի լուծման առանձնահատկությունները, ձևավորել լուծման քայլեր կատարելու հմտություններ, դի- տարկել հատվածի միջնուղղահայւսցի և անկյան կիսորդի հատկությունները և դրանք կիրառել կառուցման խնդիրներ լուծելիս, բացատրել եռանկյան' ըստ երեք տարրերի կառուցման խնդիրների լուծումները:

5.p. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջներն

§1-

Գ ի տ ե ն ա լ ' շրջանագծի սահմանումը, իմանալ, թե ինչ է շրջանագծի կենտրոնը, շառավիղը, լարը, տրամագիծը, աղեղը:Կ ա ր ո ւ լ ա Ն ւ ս լ ' կարկինի և քանոնի օգնությամբ կատարել պարզագույն կառուցումներ, տրվածին հավասար հատվածի, հավասար անկյան, տրված շառավիղով շրջանագծի կառուցումները, լուծել 315-318, 321-322, 325, 328 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§2-

՜ Կ ա ր ո ւ լ ա ՛ մ ա լ ' քանոնի և կարկինի օգնությամբ կառուցել հատվածի միջնուղղահայացը, անկյան կիսորդը, տրված կետով անցնող և տրված ուղղին ուղղահայաց և զուգահեռ ուղիղները, կառուցել եռանկյունը' ըստ տրված երեք տարրերի, լուծել 331-334, 341-343 խնդիրների տիպի խնդիրներ:


§1-

1-ին տարբերակKM և EF հատվածները О կենտրոնով շրջանագծի տրամագծերն են: Ապացուցեք, որ ա) ZFEM=ZKME, բ) KE և MF հատվածները հավասար են:

2-րդ տարբերակME և PK հատվածները О կենտրոնով շրջանագծի տրամագծերն են: Ապացուցեք, որ ա) ZEMP=ZMPK, բ) MK և PE հատվածները հավասար են:

3-րդ տարբերակО կենտրոնով շրջանագծում AC տրամագիծը և OB շառավիղը տարված են այնպես, որ BC լարը հավասար է շառավյղին: Գտեք ZAOB-ն:

32___ _


1. Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցեք տրված հատվածի միջնակետը:

2. Կառուցեք եռանկյուն' տրված երկու կողմով և դրանց կազմած անկյունով:

2-րդ տարբերակ1. Կարկինի ե քանոնի օգնությամբ կառուցեք տրված անկյան կի

սորդը:2. Կառուցեք եռանկյուն տրված կողմով և նրան առընթեր երկու

անկյունով:

3-րդ տարբերակ1. Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցեք տրված հատվածի

միջնուղղահայացը:2. Կառուցեք եռանկյունը' տրված երկու կողմերով ե դրանցից մեկին

տարված բարձրությունով:


1-ին տարբերակ1. Կառուցեք տրված а ուղղի վրա չգտնվող տրված А կետով անցնող

ուղիղ, որը զուգահեռ է а ուղղին:2. Գծագրեք AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն և, կարկինի ու

քանոնի օգնությամբ, տարեք В գագաթով անցնող բարձրությունը:

2-րդ տարբերակ1. Կառուցեք տրված а ուղղի վրա չգտնվող А կետով անցնող ուղիղ,

որն ուղղահայաց է а ուղղին:2. Գծագրեք ВС հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն և, կարկինի

ու քանոնի օգնությամբ, կառուցեք AC սրունքին տարված միջնագիծը:

3-րդ տարբերակ1. Կառուցեք տրված a ուղղի վրա գտնվող A կետով անցնող ուղիղ,

որն ուղղահայաց է a ուղղին:2. Գծագրեք A ուղիղ անկյունով ABC հավասարասրուն ուղղանկյուն

եռանկյուն և, քանոնի ու կարկինի օգնությամբ, BC ներքնաձիգի միջնակետով տարեք AC Էջին զուգահեռ ուղիղ:

ԳԼՈՒԽ 2

ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ 7-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՈՒՄ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ԴԱՍԱԺԱՄԱՅԻՆ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄ

Գլուխ 6 Քառանկյուններ 171. Բազմանկյուններ 22. Զուգահեռագիծ 33. Թալեսի թեորեմը: Սեղան 34. Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի 45. Պատկերացում բազմանիստերի մասին 2

Գլուխ 6-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 7 Շրջանագիծ 22

1. Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը 32. Շրջանագծի շոշափող 33. Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ 34. Եռանկյան չորս նշանավոր կետերը 35. Ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր 46. Պատկերացում գլանի, կոնի և գնդի մասին 3

Գլուխ 7-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 8 Մակերես 14-

1. Բազմանկյան մակերեսը 22. Զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները 43. Խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթ

ների մակերեսները 24. Պյութագորասի թեորեմը 3

Գլուխ 8-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 9 Նման եռանկյուններ 9

1. Նման եռանկյունների սահմանումը 32. Եռանկյունների նմանության հայտանիշները 4

Գլուխ 9-ի կրկնություն 1Գիտելիքների ստուգում 1Դասընթացի կրկնության դասեր 4Գիտելիքների տարեվերջյան ստուգում Լ գնահատում 2

Ընդամենը

6. ՔԱՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ


Այս գլուխը հիմնականում նվիրված է քառանկյունների առավել կարևոր տեսակների զուգահեռագծի, ուղղանկյան, շեղանկյան, քառակուսու և սեղանի ուսումնասիրությանը: Նյութի շարադրանքը հիմնականում ավանդական է, որը ուսուցչին հնարավորություն է տալիս ազատ կերպով օգտագործել եղած մեթոդական մշակումները և դասավանդման փորձը:

Գլխի վերջում դիտարկվում են կենտրոնային և առանցքային համաչափությունները, որոնք այստեղ ներմուծվում են ոչ թե որպես հարթության ձևափոխություններ, այլ որպես զուտ երկրաչափական պատկերների հատկություններ, ընդ որում' նշվում են ուսումնասիրվող քառանկյունների համաչափությունների տարրերը:

Գլուխն ավարտվում է տարածական պատկերների ուսումնասիրությամբ. ծանոթություն է տրվում բազմւսնիստերի զուգահեռանիստի, պրիզմայի, ուղղանկյունանիստի, խորանարդի և բուրգի մասին, պատկերացում է տրվում նրանց տարրերի' գագաթների, կողերի, նիստերի և դրանց միջև որոշ առնչությունների վերաբերյալ:

Ուսուցման հ ի մ ն ա կ ա ն ն պ ա տ ա կ ն ե ր ն ո ւ խ ն դ ի ր ն ե ր ը ' ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.§1 .Ներմուծել բազմանկյան, ուռուցիկ բազմանկյան հասկացություննե

րը, արտածել նրա ներքին անկյունների գումարի բանաձևը և դի- տարկել քառանկյունը որպես բազմանկյան մասնավոր դեպք:

§2.Ներմուծել զուգահեռագծի հասկացությունը, ուսումնասիրել նրա հատկությունները և հայտանիշները, ամրապնդել ստացված գիտելիքները խնդիրներ լուծելու ընթացքում:

§Յ.Ներմուծել եռանկյան միջին գծի հասկացությունը, ապացուցել Թա- լեսի թեորեմը, ներմուծել սեղանի հասկացությունը, ուսումնասիրել նրա հատկությունները և դրանք կիրառել խնդիրներ լուծելիս:

§4.Մանրամասն ուսումնասիրել զուգահեռագծի մասնավոր տեսակները ուղղանկյունը, շեղանկյունը և քառակուսին, ծանոթացնել դրանց գործնականում հաճախ հանդիպող մոդելների հետ:

§5.0նդհւսնուր ծանոթություն տալ տարածական պատկերների, մասնավորապես, բազմանիստերի' զուգահեռանիստի, ուղղանկյունա- նիստի, խորանարդի, պրիզմայի և բուրգի մասին, ցույց տալ դրանց մոդելները, պարզաբանել տարրերի փոխադարձ դասավորությունը և առնչությունները այդ տարրերի միջև:

6. p. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

§1-

Դ | ւ ս ւ ե Ն ա լ ' բազմանկյան, ուռուցիկ բազմանկյան սահմանումները, ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարի բանաձևի արտածումը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' տարբերել բազմանկյան տարրերը, կիրառել գիտելիքները 2-12 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§2.Ղ* է Ա1 ե Ն ա լ ' զուգահեռագծի սահմանումը, զուգահեռագծի հատկությունների և հայտանիշների ձևակերպումները:կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել զուգահեռագծի հատկությունները և հայտանիշները, դրանք կիրառել 16,19, 23-26, 31 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§3-Գ ի տ ե ն ա լ ' սեղանի սահմանումը, եռանկյան և սեղանի միջին գծի հատկությունների, հավասարասրուն սեղանի հատկությունների և հայտանիշի ձևակերպումները:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյան և սեղանի միջին գծերի հատկությունները, հատվածը բաժանել ո հավասար մասերի' կարկինի և քանոնի օգնությամբ, լուծել 35, 40, 41, 42, 50 խնդիրների տիպի խնդիրներ:

§4.Գ ի տ ե ն ա լ ' ուղղանկյան, շեղանկյան, քառակուսու սահմանումները, նրանց հատկությունների և հայտանիշների ձևակերպումները, ուղղի և կետի նկատմամբ համաչափ կետերի և պատկերների սահմանումը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ուղղանկյան, շեղանկյան և քառակուսու հատկություններն ու հայտանիշները կիրառել 53-57, 62-65 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս, կառուցել համաչափ կետեր' ուղղի և կետի նկատմամբ, ճանաչել առանցքային և կենտրոնային համաչափությամբ օժտված պատկերները:

§5-Գ ի տ ե ն ա լ , թե ինչ է տարածական պատկերը, թե ինչ է զուգահեռանիստը, ուղղանկյունանիստը, խորանարդը, պրիզման, բուրգը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ճանաչել նշված տարածական մարմինները, որոշել նրանց նիստերի, կողերի, գագաթների թիվը, լուծել 91-94, 96, 99, 100 խնդիրների տիպի խնդիրներ:


§11-ին տարբերակ

1. Գտեք ուռուցիկ տասնմեկանկյան անկյունների գումարը:2. Ուռուցիկ բազմանկյան յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է 135°:

Գտեք այդ բազմանկյան կողմերի թիվը:

2-րդ տարբերակ1. Գտեք ուռուցիկ տասներկուանկյան անկյունների գումարը:2. Հավասար անկյուններով ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների

գումարը 1260° է: Գտեք այդ բազմանկյան կողմերի թիվը:

3-րդ տարբերակՈւռուցիկ բազմանկյան յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է 150°: Գտեք այն ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը, որի կողմերի թիվը երկու անգամ փոքր է, քան տրված բազմանկյան կողմերի թիվը:

§2-

1-ին տարբերակABCD-ն զուգահեռագիծ է: А անկյան կիսորդը հատում է ВС կողմը N կետում, իսկ В անկյան կիսորդը AD կողմը М կետում: Ապացուցեք, որ ABNM-ը զուգահեռագիծ է:

2-րդ տարբերակABCD-ն զուգահեռագիծ է: А անկյան կիսորդը հատում է ВС կողմը N կետում, իսկ С անկյան կիսորդը' AD կողմը М կետում: Ապացուցեք, որ ANCM-ը զուգահեռագիծ է:

3-րդ տարբերակԱպացուցեք, որ զուգահեռագծի բութ անկյան գագաթով նրա կողմերը պարունակող ուղիղներին տարված ուղղահայացների կազմած անկյունը հավասար է զուգահեռագծի սուր անկյանը, իսկ սուր անկյան գագաթով տարված ուղղահայացներով կազմված անկյունը զուգահեռագծի բութ անկյանը:


Գտեք հավասարասրուն սեղանի սրունքները, եթե հիմքերը հավասար են 14 սմ և 3 սմ, իսկ անկյուններից մեկը' 120 :

2-րդ տարբերակԳտեք հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը, եթե մեծ հիմքը հավասար է 16սմ, սրունքը 10սմ, իսկ անկյուններից մեկը' 60°:

3-րդ տարբերակABCD հավասարասրուն սեղանի AC անկյունագիծը կիսում է BAD անկյունը: Գտեք սեղանի պարագիծը, եթե AD հիմքը հավասար է 12սմ, իսկ ADC անկյունը' 60°:


1. Գտեք շեղանկյան անկյունները, եթե անկյունագծերը կողմի հետ կազմում են անկյուններ, որոնցից մեկը 30°-ով փոքր է մյուսից:

2. ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են О կետում: Ապացուցեք, որ AOD և АОВ եռանկյունները հավասարասրուն են:

2-րդ տարբերակ1. Ուղղանկյան անկյունագծերի կազմած անկյունը հավասար է 80 :

Գտեք ուղղանկյան կողմերի հետ անկյունագծերի կազմած անկյունները:2. Ապացուցեք, որ շեղանկյան կողմերի միջնակետերը ուղղանկյան

գագաթներ են:

3-րդ տարբերակ1. ABCD շեղանկյան ВАС անկյան կիսորդը հատում է ВС կողմը М

կետում: Գտեք շեղանկյան անկյունները, եթե ZAMC=120°:2. Կառուցեք ABCD ուղղանկյունը ըստ AB կողմի և AOB անկյան,

որտեղ Օ-ն ուղանկյան անկյունագծերի հատման կետն է:


1. Քանի՞ գագաթ և քանի՞ կող ունի ութանկյուն պրիզման:2. Խորանարդի նիստերից մեկի պարագիծը հավասար է 20 սմ: Գտեք

խորանարդի բոլոր կողերի երկարությունների գումարը:

2-րդ տարբերակ1. Քանի՞ գագաթ, քանի՞ կոդ և քանի՞ նիստ ունի վեցանկյուն բուրգը:2. Ուղղւսնկյունանիստն ունի 4մ x 5մ x Յմ չավտեր: Գտեք նրա բոլոր

կողերի երկարությունների գումարը:

3-րդ տաարբերակ1. Ինչպե՞ս է կոչվում բուրգը, եթե այն ունի 13 նիստ: Քանի՞ կող և քա

նի՞ գագաթ ունի այդ բուրգը:

2. Պրիզմայի հիմքը 6սմ երկարություն ունեցող կողմով հավասարակողմ եռանկյուն է, իսկ կողմնային նիստերը քառակուսիներ են: Գտեք պրիզմայի բոլոր կողերի երկարությունների գումարը:6. դ. Ստուգողական աշխատանք N11-ին տարբերակ

1. ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք անկյունագծերի կազմած անկյունը, եթե ZABO=3(f:

2. KMNP զուգահեռագծի մեջ տարված է MKP անկյան կիսորդը, որը E կետու մ հատու մ է MN կողմը:

ա) Ապացուցեք, որ KME եռանկյունը հավասարասրուն է:բ) Գտեք KP կողմը, եթե ME=10u իսկ զուգահեռագծի պարագիծըհավասար Է 52 սմ.2-րդ տարբերակ

1. KMNP շեղանկյան անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք КОМ եռանկյան անկյունները, եթե MNP անկյունը Յժ Է:

2. ABCD զուգահեռագծի BC կողմի վրա վերցված Է M կետն այնպես, nրAB=BM:

ա) Ապացուցեք, որ АМ-ը BAD անկյան կիսորդն Է:բ) Գտեք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե ծծ=8սմ, CM=4uմ:3-րդ տարբերակ

1. ABCD ուղղանկյան С գագաթով տարված Է BD անկյունագծին զուգահեռ ուղիղ, որը М կետում հատում է АВ ուղիղը: М կետով տարված Է AC անկյունագծին զուգահեռ ուղիղ, որը N կետում հատում է BC ուղիղը: Գտեք ACMNքառանկյան պարագիծը, եթե BD անկյունագիծը հավասար 18 սմ:

2. ABCD զուգահեռագծի A և D անկյունների կիսորդները հատվում են M կետում, որը գտնվում է BC կողմի վրա: DM ճառագայթը N կետում հատում Է AB ուղիղը: Գտեք ABCD զուգահեռագծի պարագիծը, եթե AN= 10սմ:

Շրջանագծի սահմանումը և նրա մասին նախնական պատկերացումներ տրվել են 6-րդ դասարանի դասընթացում: Տվյալ թեմայի ուսուցման հիմնական խնդիրն է ընդլայնել շրջանագծի մասին սովորողների' արդեն ունեցած պատկերացումները և ներմուծել դրան առնչվող նոր հասկացությունները: Թեմայի տեսական նյութի ընկալու-

7 . Շ Ր Զ Ա Ն Ա Գ Ի Օ7. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

մը սովորողների համար առանձնակի դժվարություններ չի հարուցում, ինչը ուսուցչին թույլ է տալիս առավել, քան նախկինում, հենվել սովորողների ինքնուրույն աշխատանքի վրա զարգացնելով դասագրքով ինքնուրույն աշխատելու կարողություններ:

Դրա հետ մեկտեղ դասագիրքը բովանդակում է շատ թվով խնդիրներ, որոնք կարևորություն ունեն հաջորդ թեմաների յուրացման համար: Այդպիսին են, օրինակ, 172, 176, 201, 216, 219, 249, 252 խնդիրները, որոնք արժանի են հատուկ ուշադրության:

Այս գլխի նյութը հիմնականում ավանդական է' բացառությամբ վերջին պարագրաֆի, որը նվիրված է պտտման մարմիններին' գլանին, կոնին և գնդին: Ծանոթություն է տրվում այդ մարմինների հիմնական հատկությունների, նրանց տարրերի և դրանց միջև որոշ առնչությունների մասին:

Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները ՜ ըստ պարագրաֆննրի, հնտնյալնէտն սն.§1.Դիւուսրկել երկու կետերով անցնող շրջանագծերի կենտրոնների դա

սավորությունը, շրջանագծի լարի և նրա միջնակետով անցնող շառավիղի հատկությունները, երեք կետերով անցնող շրջանագիծ կառուցելու հարցը կախված այդ կետերի փոխադարձ դասավորությունից:

§2.Դիտարկել ուղղի և շրջանագծի փոխադարձ դասավորության դեպքերը, ներմուծել շրջանագծի շոշափողի հասկացությունը, ուսումնասիրել նրա հատկությունն ու հայտանիշը, ինչպես նաև միևնույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածների հատկությունը:

§Յ.Ներմուծել շրջանային աղեղի աստիճանային չափի, կենտրոնային և ներգծյալ անկյունների հասկացությունները, ապացուցել թեորեմ' ներգծյալ անկյան չափման մասին և ձևակերպել այդ թեորեմից բխող հետևանքները:

§4.Դիտարկելով անկյան կիսորդի և հատվածի միջնուղղահայացի հատկությունները' ապացուցել, որ եռանկյան կիսորդները հատվում են մի կետում, կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են մի կետում, բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են մի կետում և միջնագծերը հատվում են մի կետում, այդ ապացուցումների արդյունքում եզրակացնել, որ յուրաքանչյուր եռանկյան հետ առնչվում են չորս նշանավոր կետեր:

§5.Ներմուծել բազմանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերի հասկացությունները, ապացուցել թեորեմներ եռանկյանը ներգծյալ և եռանկյանն արտագծյալ շրջանագծերի մասին, պարզաբանել ներ- գծյալ և արտագծյալ քառանկյունների հատկությունները, ինչպես նաև հանգամանորեն դիտարկել երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորության դեպքերը, ընդհանուր պատկերացում տալ կառուց

40

ման խնդիրներ լուծելիս կԾաԾրի երկրաչափական սւէհփ հասկացության կիրառության մասին:

§6.Ընդհանուր ծանոթություն տալ շրջանագիծ պարունակող տարածական մարմինների' գլանի, կոնի և գնդի մասին, նկարագրել այդ մարմինների ստացումը պտտման միջոցով, ցույց տալ դրանց մոդելները, պարզաբանել տարրերի միջև ակնհայտ առնչությունները, ինչպես նաև հարթության հետ հատումից առաջացած հատույթները:


§1.Գ ի տ ե ն ա լ ' երկու կետերով անցնող շրջանագծերի կենտրոնների դասավորությունը, լարի միջնակետով անցնող շառավիղի ու այդ լարի հատկությունները:Կ ա ր ո ւ լ ա Ն ա լ ' կառուցել տրված երեք կետերով անցնող շրջանագիծը, գիտելիքները կիրառել 125, 131, 132 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§2.Я* է ա ե Ն ա լ' ուղղի և շրջանագծի փոխադարձ դասավորության դեպքերը, թե որ ուղիղն է կոչվում շրջանագծին շոշափող, շոշափողի հատկությունը և հայտանիշը:կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 136, 141-144, 152 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§3.Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ անկյուններն են կոչվում կենտրոնային և որոնք' ներգծյալ, թե ինչպես է որոշվում շրջանային աղեղի աստիճանային չափը, ներգծյալ անկյան մասին թեորեմը և հետևանքները: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել ներգծյալ անկյան մասին թեորեմը, գիտելիքները օգտագործել 155-162, 179 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§4.Գ ի տ ե ն ա լ ' անկյան կիսորդի և հատվածի միջնուղղահայացի մասին թեորեմները և նրանց հետևանքները, ինչպես նաև եռանկյան բարձրությունների հատման մասին թեորեմը:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել նշված թեորեմները և գիտելիքները կիրառել 180-185, 188-192 տիպի խնդիրներ լուծելիս:

Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ շրջանագիծն է կոչվում բազմանկյանը ներգծյալ և որը բազմանկյանը արտագծյալ, ներգծյալ և արտագծյալ եռանկյունների մասին թեորեմները, ներգծյալ և արտագծյալ քառանկյունների հատկությունները:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել նշված թեորեմները, գիտելիքները կիրառել 196, 197, 212, 214, 220, 221 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§6.Գ ի տ ե ն ա լ , թե ինչպես են ստացվում գլանը, կոնը, գունդը, դրանց հիմնական տարրերը:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ճանաչել գլանը, կոնը, գունդը, գիտելիքները կիրառել 231-233, 236-238,242-243 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

7.գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1-

1-ին տարբերակ1. АВ և CD հատվածները շրջանագծի տրամագծերն են: Ապացուցեք,

որ BD և AC լարերը հավասար են:2. Նկարագրեք երեք կետերի դասավորության այնպիսի դեպք, երբ

կետերը չեն կարող գտնվել միևնույն շրջանագծի վրա:

2-րդ տարբերակ1. AB և CD հատվածները շրջանագծի տրամագծերն են: Ապացուցեք,

որ AD և BC լարերը հավասար են:2. AB հատվածը О կենտրոնով շրջանագծի տրամագիծ է, իսկ АС-ն և

СВ-ն այդ շրջանագծի հավասար լարեր են: Գտեք АОС անկյունը:

3-րդ տարբերակ1. Կառուցեք շրջանագիծ, որն անցնի տրված հատվածի միջնակետով

և ծայրակետերից մեկով: Այդպիսի քանի՞ շրջանագիծ կա:2. Շրջանագիծն անցնում .է ABC եռանկյան բոլոր գագաթներով, ընդ

որում АС-ն տրամագիծ է: Ապացուցել, որ ZB-ն ուղիղ անկյուն է:


1. КМ-ը և KN-ը К կետից О կենտրոնով շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածներն են: Գտեք КМ-ը և KN-ը, եթե OK=12u^ ZMKN=120°:

§5.

2. ABCD շեղանկյան անկյունագծերը հատվում են О կետում: Ապացուցեք, որ BD ուղիղը շոշափում է А կենտրոնով և ОС-ին հավասար շառավիղով շրջանագիծը:

2-րդ տարբերակ1. Գտեք г շառավիղով շրջանագծին А կետով տարված շոշափողների

АВ և AC հատվածները, եթե ո=9սմ, և ZBAC=90°:2. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BD

միջնագիծը: Ապացուցեք, որ BD ուղիղը շոշափում է С կենտրոնով,AD-ին հավասար շառավիղով շրջանագիծը:

3-րդ տարբերակ1. АВ և AC ուղիղները շոշափում են О կենտրոնով շրջանագիծը (В-ն

և С-ն շոշափման կետերն են): АО հատվածի և շրջանագծի հատման կետով տարված է այդ շրջանագծին շոշափող երրորդ ուղիղը, որը АВ-ն հատում է М կետում, իսկ АС-ն' N կետում: Գտեք АВ և AC շոշափողների հատվածները, եթե հայտնի է, որ AMN եռանկյան պարագիծը 24սմ է:

2. С ուղիղ անկյունով ABC Եռանկյան մեջ ZB=30°, AC=8u^ իսկ CD-ն այդ եռանկյան բարձրությունն է: Գտեք A կենտրոնով այն շրջանագծի շառավիղը, որը շոշափում է CD ուղիղը:


1. Շրջանագծի մեջ MON կենտրոնային անկյունը 44°-ով մեծ է MKN ներգծյալ անկյունից: Գտեք այդ անկյունները:

2. А, В, С կետերը գտնվում են О կենտրոնով շրջանագծի վրա, ընդ որում ZAOB=80 , իսկ uBAC=140°: Գտեք ABC եռանկյան անկյունները:

2-րդ տարբերակ1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան գագաթները գտնվում են 10սմ շառա-

վիղով շրջանագծի վրա: Գտեք uBC-ն, եթե BC լարը հավասար է շառավիղին:

2. ABC եռանկյան գագաթները գտնվում են О կենտրոնով շրջանագծի վրա, ընդ որում' ZBOC=65 , ZAOC=38°: Գտեք ABC եռանկյան անկյունները:

3-րդ տարբերակ1. A և В կետերը գտնվում են О կենտրոնով շրջանագծի վրա: Գտեք О

կետի հեռավորությունը АВ լարից, եթե АВ աղեղը 90° է, իսկ АВ լարը' 18սմ: Q

ABC եռանկյան AB, BC, AC կողմերը համապատասխանաբար К, М, N կետերում շոշափում են շրջանագիծը: Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե uKM:uMN:uNK=6:5:7:


MKN եռանկյան KN կողմի միջնուղղահայացը E կետում հատում է MN կողմը: Գտեք МЕ-ն և EN-ը, եթե KE=4u^ MN=6ufr ABC հավասարասրուն եռանկյան AC հիմքին տարված միջնագիծը A անկյան կիսորդի հետ հատվում է О կետում: Ապացուցեք, որ АО=ОС:

2-րդ տարբերակMKN եռանկյան KN կողմի միջնուղղահայացը Е կետում հատում է MN կողմը: Գտեք MN-ը, եթե KE=12m5, ME=4,5ufr ABC հավասարասրուն եռանկյան AC հիմքին առընթեր անկյունների կիսորդները հատվում են О կետում: Ապացուցեք, որ եռանկյան В գագաթով տարված բարձրությունն անցնում է О կետով:

3-րդ տարբերակABC հավասարասրուն եռանկյան AB սրունքի միջնուղղահայացը BC սրունքը հատում է D կետում: Գտեք DC-ն, եթե АВ-ն 8սմ է, իսկ ABD եռանկյան պարագիծը' 18սմ:Կառուցեք շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվի տրված եռանկյան կողմերից մեկի վրա, իսկ մյուս երկու կողմերով անցնող ուղիղները շոշափեն այդ շրջանագիծը: Քանի՞ լուծում ունի խնդիրը:


Ուղղանկյուն եռանկյան էջերի գումարը 17սմ է, իսկ նրան ներգծած շրջանագծի շառավիղը' 2սմ: Գտեք եռանկյան պարագիծը: Ապացուցեք, որ ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետը նրան արտագծած շրջանագծի կենտրոնն է:

2-րդ տարբերակՈւղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը 2սմ է, իսկ պարագիծը 24սմ: Գտեք եռանկյան էջերի գումարը:Ապացուցեք, որ շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետը նրան ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է:

3-րդ տարբերակ1. Ապացուցեք, որ շրջանագծին ներգծած սեղանը հավասարասրուն է:2. Ապացուցեք, որ երկու հատվող շրջանագծերի կենտրոններով

անցնող ուղիղն ուղղահայաց է այդ հատման կետերով անցնող ուղղին:

1-ին տարբերակ1. 4սմ ե 8սմ կից կողմերով ուղղանկյունը պտտվում է կողմերից մեկի

շուրջը: Որոշել ստացված գլանի առանցքային հատույթի պարագիծը: Դիտարկել բոլոր դեպքերը:

2. 60° անկյուն ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունը մեծ էջի շուրջը պտտելիս առաջացել է կոն, որի հիմքի շառավիղը 7,5սմ է: Գտեք այդ կոնի ծնորդը:

2-րդ տարբերակ1. Գլանի առանցքային հատույթը 64սմ պարագծով քառակուսի է:

Գտեք այն ուղղանկյան չափսերը, որի պտտումից առաջացել է այդ գլանը:

2. Ուղղանկյուն եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը 30° է, իսկ ներքնաձիգը' 14սմ, պտտվում է մեծ էջի շուրջը: Որոշեք այդ պտտումից առաջացած կոնի առանցքային հատույթի պարագիծը:

3-րդ տարբերակ1. Ուղղանկյուն սեղանի փոքր հիմքը 8սմ է, մեծ սրունքը' 1 Օսմ, իսկ

մեծ անկյունը' 150 : Այդ սեղանը մեծ հիմքի շուրջ պտտելիս առաջանում են ընդհանուր հիմքով կոն և գլան: Որոշել այդ կոնի և գլանի ծնորդները և հիմքերի շառավիղը:

2. Որոշել այն գնդի շառավիղը, որի մեծ շրջանագծին ներգծած ուղղանկյան անյունագիծը 15սմ է:

7.դ. Ստուգողական աշխատանք N 2ք

1-ին տարբերակ1. Շրջանագծի А կետից տարված են AC տրամագիծը և երկու լարեր'

АВ-ն և AD-ն, որոնք հավասար են այդ շրջանագծի շառավիղին: Գտեք ABCDքառանկյան անկյունները և AB, BC, CD, AD աղեղների աստիճանային չափերը:

2. Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 15սմ է, իսկ գագաթի անկյունը' 12մ: Գտեք այդ եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը:

§6-

2-րդ տարբերակ1. BD հատվածը О կենտրոնով շրջանագծի տրամագիծն է: AC լարը

ուղղահայաց Է OB շառավիղին և կիսում է այն: Գտեք ABCD քառանկյան անկյունները և AB, BC, CD, AB աղեղների աստիճանային չափերը:

2. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 9սմ Է, իսկ հիմքը 18սմ: Որոշեք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

3-րդ տարբերակ1. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը հա

վասար է այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի տրամագծի քառորդ մասին: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

2. AM և CN լարերը հատվում են В կետում: Ապացուցեք, որ ABC անկյունը չափվում Է AC և MN աղեղների աստիճանային չափերի կիսագումարով:

8 . Մ Ա Կ Ե Ր Ե Ս8.Ш. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Մակերեսի գաղափարը և որոշ բազմանկյունների, մասնավորապես' ուղղանկյան և եռանկյան մակերեսները հաշվելու բանաձևերը սովորողներին հայտնի են դեռևս 4-5-րդ դասարանների դասընթացից: Գլուխ 8-ի նպատակն է ընդլայնել և խորացնել սովորողների պատկերացումները մակերեսների չափման վերաբերյալ, արտածել ուղղանկյան, զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները հաշվելու բանաձևերը, օգտագործելով մակերեսի հասկացությունը ապացուցել երկրաչափության հանրահայտ թեորեմներից մեկը' Պյութագորասի թեորեմը, ինչպես նաև պատկերացում տալ տարածական մարմինների' խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթների մակերեսների հաշվման մասին: Նկատի ունենալով, որ այս թեմայի հարցերն առնչվում են թվի (կամ մեծության) քառակուսի արմատի հասկացությանը, իսկ այդ գաղափարը հանրահաշվի դասընթացում ներմուծվում է 7-րդ դասարանի դասընթացի վերջին քառորդում, նպատակահարմար է համարվել «Մակերես» թեման ևս զետեղել 7-րդ դասարանի դասընթացի վերջին քառորդում: Դա ուսուցչին թույլ կտա ներդաշնակեցնել հանրահաշվի և երկրչափության միջառարկայական կապերը, այս թեմայում ընտրված խնդիրները նախապատրաստում են քառակուսի արմատի հասկացության յուրացումը և ընդհակառակը:

Ուշադրության է արժանի մի կարևոր հանգամանք ևս: Դասընթացում «Մակերես» թեմային հաջորդում է «Նման եռանկյուններ» թեման, իսկ վերջինիս տեսության շարադրանքի հիմքում ընկած է մեկական հավասար անկյուններ ունեցող եռանկյունների մակերեսների հարաբերության մասին թեորեմը: Այդ առումով բացառիկ է տվյալ թեորեմի մեթոդական նշանակությունը, և նրա հանդեպ պետք է ցուցաբերել առանձնահատուկ մոտեցում:

Ուսուցման հիմն ա կ ա ն նպատակներն ու խնդիրները' ըստ պարագրաֆների, հետևյալներն են.§1.Պատկերացում տալ մակերեսների չափման մասին, պարզաբանել

մակերեսների հիմնական հատկությունները, արտածել քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսների հաշվման բանաձևերը:

§2.Հենվելով մակերեսների հիմնական հատկությունների և ուղղանկյան մակերեսի մասին թեորեմի վրա արտածել զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները հաշվելու բանաձևերը, ինչպես նաև, որ կարևոր է, ուսումնասիրել մեկական հավասար անկյուն ունեցող եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

§Յ.Պւսրզաբւսնել խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսների հասկացությունները, ծանոթացնել այդ մակերեսները հանվելու բանաձևերիս:

§4.Ուսումնասիրել երկրաչափության հիմնական թեորեմներից մեկը' Պյութագորասի թեորեմը և դրա հակադարձ թեորեմը լրացուցիչ գիտելիքներ հաղորդելով հակադարձ թեորեմի մասին:


§1-

Գ ի տ ե ն ա լ ' մակերեսի հիմնական հատկությունները, ուղղանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձևը:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 269-277, 280, 281խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§2-

Գ ի տ ե ն ա լ ' զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները հաշվելու բանաձևերը, մեկական հավասար անկյուն ունեցող եռանկյունների մակերեսների հարաբերության մասին թեորեմը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' արտածել այդ բանաձևերը, գիտելիքները կիրառել 287-292, 302-305, 311, 315, 318, 319 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

Գ ի տ ե ն ա լ' խորանարդի մակերևույթի մակերեսի, ուղղանկյունսւ- նիստի լրիվ և կողմնային մակերևույթների հաշվման բանաձևերը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 325-333 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§4.Գ ի տ ե ն ա լ ' Պյութագորասի թեորեմը և այդ թեորեմի հակադարձ թեորեմը:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 339-345, 348-353, 356-358 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:


§1-

1-ին տարբերակABCD ուղղանկյան А գագաթով և ВС կողմի М միջնակետով անցնող ուղիղը հատում է DC կողմի շարունակությունը N կետում: Այդ ուղղանկյան պարագիծը 48սմ է, AD կողմը երկու անգամ մեծ է AB կողմից: Գտեք, ա) ABCD ուղղանկյան մակերեսը, բ) ADN եռանկյան մակերեսը:

2-րդ տարբերակABCD ուղղանկյան A գագաթով և CD կողմի E միջնակետով անցնող ուղիղը հատում է BC կողմի շարունակությունը F կետում: Այդ ուղղանկյան պարագիծը 46սմ է, իսկ BC կողմը 5սմ-ով մեծ է AB կողմից: Գտեք, ա) ABCD ուղղանկյան մակերեսը, բ) ABF եռանկյան մակերեսը:

3-րդ տարբերակABCD ուղղանկյան BC կողմի վրա վերցված են E և F կետերն այնպես,

որ BE=^-EF=FC: Այդ ուղղանկյան պարագիծը 44սմ է, իսկ

BC:AB=7:4: Գտեք, ա) ABCD ուղղանկյան մակերեսը, բ) ADK եռանկյան մակերեսը, որտեղ К-ն AE և DF ուղիղների հատման կետն է:

§2-

1-ին տարբերակ1. Զուգահեռագծի կողմերը հավասար են 1 Օսմ և 6սմ, իսկ այդ

կողմերի կազմած անկյունը 150° է: Գտեք այդ զուգահեռագծի մակերեսը:

§3.

2. Ապացուցեք, որ ուղղանկյունը անկյունագծերով տրոհվում է չորս հավասարամեծ եռանկյունների:

2-րդ տարբերակ1. Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30° է, իսկ բութ անկյան գագաթից

տարված բարձրությունները հավասար են 4սմ և Յսմ: Գտեք այդ զուգահեռագծի մակերեսը:

2. Ապացուցեք, որ շեղանկյունը անկյունագծերով տրոհվում է չորս հավասարամեծ եռանկյունների:

3-րդ տարբերակ1. Գտեք այն շեղանկյան մակերեսը, որի անկյունագծերը հավասար

են 8սմ և 6սմ:2. Ապացուցեք, որ զուգահեռագիծը անկյունագծերով տրոհվում է չորս

հավասարամեծ եռանկյունների:


1. Գտեք Յսմ կողմով խորանարդի մակերևույթի մակերեսը:2. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 36սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ

կողմնային կողը 4սմ է: Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի' ա) կողմնային մակերևույթի մակերեսը, բ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը:

2-րդ տարբերակ1. Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը 45սմ2 է: Գտեք նրա մի նիստի

մակերեսը:2. Ուղղանկյունանիստի հիմքի կողմերից մեկը կրկնակի մեծ է մյուսից,

իսկ պարագիծը 18սմ է: Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողմնային կողը 5սմ է:

3-րդ տարբերակ1. Սկզբում խորանարդի յուրաքանչյուր կողը մեծացրին 2 անգամ, իսկ

հետո յուրաքանչյուր նիստի մակերեսը փոքրացրին 5 անգամ: Մեծացա՞վ, թե՞ փոքրացավ խորանարդի մակերևույթի մակերեսը և քանի՞ անգամ:

2. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 20սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ նրա լրիվ մակերևույթի մակերեսը կրկնակի մեծ է կողմնային մակերևույթի մակերեսից: Գտեք ուղղանկյունանիստի չափսերը:


1. Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 22սմ և 6սմ են, իսկ մեծ սրունքը 20սմ է: Գտեք սեղանի մակերեսը:

2. Գտեք 10սմ և 24սմ անկյունագծերով շեղանկյան պարագիծը:

2-րդ տարբերակ1. Ուղղանկյուն սեղանի սրունքները 7սմ և 25սմ են, իսկ փոքր հիմքը

2սմ Է: Գտեք սեղանի մակերեսը:2. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը, եթե նրա հիմքը Ցսմ

Է, սրունքը' 5սմ:

3-րդ տարբերակ1. ABCD ուղղանկյուն սեղանի AC անկյունագիծն ուղղահայաց Է CD

սրունքին և AD հիմքի հետ կազմում Է 60°-ի անկյուն: Գտեք սեղանի մակերեսը, եթե AD=24ufr

2. ABCD շեղանկյան BK բարձրությունը AD կողմը տրոհում է AK=6uմ և 1<0=4սմ հատվածների: Գտեք շեղանկյան մակերեսը ե անկյու- նագծերը:

8.դ. Ստուգողական աշխատանք N 31-ին տարբերակ

1. Զուգահեռագծի կից կողմերն են 32սմ և 26սմ, իսկ նրա անկյուններից մեկը 15Մ է: Գտեք այդ զուգահեռագծի մակերեսը:

2. Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 120սԺ է, իսկ նրա բարձրությունը 8սմ: Գտեք սեղանի բոլոր կողմերը, եթե հիմքերից մեկը 6սմ-ով մեծ Է մյուսից:

1-ին տարբերակ1. Զուգահեռագծի անկյունագծերից մեկը նրա բարձրությունն Է և

հավասար է 9սմ: Գտեք այդ զուգահեռագծի կողմերը, եթե նրա մակերեսը 108սմ է:

2. Գտեք AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե AB=12uմ, BC= 14սմ, AD=30ub ՀՑ=15մ:

3-րդ տարբերակ1. Զուգահեռագծի կողմերը 12սմ և Ցսմ են, իսկ բութ անկյան գագա

թից տարված բարձրությունների կազմած անկյունը Յժ է: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

2. ABCD սեղանի CD սրունքի M միջնակետը հատվածներով միացված է А և В գագաթներին: Ապացուցեք, որ АВМ եռանկյան մակերեսը կրկնակի փոքր է տրված սեղանի մակերեսից:

9 . ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

9.IU. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Նմանության հասկացությունը հարթաչափության դասընթացի կարևորագույն հասկացություններից մեկն է: Սովորողները ծանոթ են իրականության մեջ հանդիպող այնպիսի առարկաների, որոնք ակնառու պատկերացումներ են տալիս նման պատկերների մասին: Այդպիսիք են աշխարհագրական քարտեզները, լուսանկարները, մեքենաների, նավերի, ինքնաթիռների մոդելները և այլն: Այս գլխում քննության են սանրվում հիմնականում նման եռանկյունները: Նման եռանկյունների սահմանումը տրվում է ոչ թե նմանության ձևափոխությունների հիման վրա, այլ անկյունների հավասարության և նմանակ կողմերի համեմատակա- նության միջոցով: Եռանկյունների նմանության հայտանիշների ապացուցումները զգալիորեն պարզեցվել են շնորհիվ այն բանի, որ դրա համար օգտագործվել է մեկական հավասար անկյուն ունեցող եռանկյունների մակերեսների հարաբերության մասին թեորեմը: Նկատենք, որ այս թեմայի ուսումնասիրությունը 7-րդ դասարանում չի սպառվում, և այն շարունակվելու է նաև 8-րդ դասարանում:

Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները' ըստ պարագրաֆների, հետևյալներն են.§1.Ներմուծել համեմատական հատվածների հասկացությունը, հենվե

լով դրա վրա սահմանել նման եռանկյունների հասկացությունը:§2.Դիտարկել եռանկյունների նմանության երեք հայտանիշները, սովո

րողների մոտ ձևավորել խնդիրներ լուծելիս այդ հայտանիշները կիրառելու հմտություններ:

9.p. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

§1-

Գ ի տ ե ն ա լ ' համեմատական հատվածների, նման եռանկյուններիսահմանումները: □

Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 398-405, 407, 408խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§շ.Գ ի տ ե ն ա լ ' եռանկյունների նմանության երեք հայտանիշները:Կ ա J1 ո ւ լ ա ն ա լ ' ապացուցել նմանության հայտանիշներն արտահայտող թեորեմները, դրանք կիրառել 412, 413, 417-420, 426, 427, 432, 433 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:


§1-

1-ին տարբերակABC և KMN նման եռանկյունների մեջ ZB=ZM, ZC=ZN, AC=3u^ 1<14=6սմ, MN=4ufr Գտեք, ա) ВС-ն, բ) ABC և KMN եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

2-րդ տարբերակPQR և ABC նման եռանկյունների մեջ ZQ=ZB, ZR=ZC, ԲՕ=Յսմ, PR=4u^ AB=6uմ: Գտեք, ա) АС-ն, բ) PQR և ABC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

3-րդ տարբերակABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ZC=90°, ZB=30°, AB=12u^ իսկ CD-ն բարձրություն է: Ապացուցեք, որ ACD ե ABC եռանկյունները նման են, և գտեք այդ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:


ABC եռանկյան BC կողմը 12սմ է: AC և BC կողմերի վրա համապատասխանաբար M և N կետերը նշված են այնպես, որ ZMNC=ZA, Շ1\/1=6սմ, CN=4ufr Գտեք АС-ն:

2-րդ տարբերակС ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան BC էջը 12սմ է: AC էջի վրա նշված E կետից AB ներքնաձիգին տարված է EF ուղղահայացը: Գտեք АВ-ն, եթե հայտնի է, որ AE=10u^ EF=6ufr

3-րդ տարբերակABC եռանկյանս գագաթը հատվածով միացված է CB կողմի D կետին այնպես, որ ZADC=ZCAD+ZDAB: Գտեք եռանկյան AC կողմը, եթե ՇԸ=4սմ, BC=9ufr

9.գ. Ստուգողական աշխատանք N4

1փն տարբերակ1. BC և AD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում

են О կետում: ա) Ապացուցեք, որ BO:OD=CO:OA, բխտեք ВС-ն, եթե AO= 15սմ, ՕՇ=9սմ, AD=25uմ:

2. Գտեք ABC և KMN եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը, եթե AB=8uմ, ԹՇ=12սմ, АС=16иЬ ա=10սմ, MN=15uJ, NK=20u&.

2-րդ տարբերակ1. ABC եռանկյան AB և CB կողմերի վրա նշված են

համապատասխանաբար M և N կետերն այնպես, որ MN//AC: ա)Ապացուցեք, որ ABBN=CBBM, բ) գտեք MN-ը, եթե AM=6uմ, Ց1 =8սմ, AC=21 սմ:

2. Տրված են PQR և ABC եռանկյունների կողմերը' ԲՕ-16սմ, Ձ/4=20սմ, ԲԲ=28սմ և AB=12uմ, 8Շ=15սմ, AC=21ufr Գտեք այդ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

Յ-րդ տարբերակ1. Ապացուցեք, որ սեղանի հիմքերի միջնակետերով անցնող ուղիղն

անցնում է նաև սեղանի անկյունագծերի հատման կետով:2. AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի AC անկյունագիծը սեղանը

տրոհում Է երկու նման եռանկյունների: Գտեք այդ սեղանի մակերեսը, եթե AB=25uti, 8Շ=20սմ, AC=15uմ:

ԳԼՈՒԽ 3 ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ 8-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՈՒՄ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ԴԱՍԱԺԱՄԱՅԻՆ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՊԼԱՆԱՎՈՐՈՒՄԳլուխ 10 Նման պատկերներ 14

1. Նման եռանկյունների հատկությունները 42. Նմանության կիրառություններ 43. Ուղիղների' շրջանագծի հետ հատումից 3

առաջացած հատվածների համեմատականությունըԳլուխ 10-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 11 Եռանկյունների լուծումը 20

1. Առնչություններ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի ևանկյունների միջև 3

2. Կոորդինատային հարթություն 33. Անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը 34. Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների

միջև 45. Մակերեսների հաշվման այլ բանաձևեր 4

Գլուխ 11-ի կրկնություն 2Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 12 Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը 11

1. Կանոնավոր բազմանկյուններ 4 -2. Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը 5

Գլուխ 12-ի կրկնություն 1Գիտելիքների ստուգում 1Գլուխ 13 Վեկտորներ 11

1. Վեկտորի հասկացությունը 22. Վեկտորների գումարումը և հանումը 23. Վեկտորների բազմապատկումը թվով: Վեկտորների

կիրառությունը խնդիրներ լուծելիս 24. Տարագիծ վեկտորներ 3

Գլուխ 13-ի կրկնություն 1Գիտելիքների ստուգում 1Զրույց հարթաչափության աքսիոմների մասին 2Զրույց երկրաչափության զարգացման պատմության մասին 1Դասընթացի կրկնության դասեր 7Գիտելիքների տարեվերջյան ստուգում ն գնահատում 2

Ընդամենը' 68

10. ՆՄԱՆ ՊԱՏԿԵՐՆԵՐ10.ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական huipgbpQ

10-րդ գլխի հիմնական նպատակն է ամրապնդել սովորողների արդեն ունեցած գիտելիքները երկրաչափական պատկերների նմանության վերաբերյալ, ընդլայնել ու խորացնել այդ գիտելիքները ապահովելով դրանց կիրառական ուղղվածությունը: Նման պատկերների հատկությունների ուսումնասիրության հիմքում ընկած են եռանկյունների նմանության հասկացությունը և երեք հայտանիշները: Առաջին դասերը նվիրված են նման եռանկյունների մակերեսների և համապատասխան նույնանուն գծային տարրերի' պարագծերի, միջնագծերի, բարձրությունների և կիսորդների հարաբերություններին: Այդ դասերն ունենալու են նաև կրկնողական նշանակություն, քանի որ տվյալ թեման, փաստորեն, յոթերորդ դասարանի վերջին թեմայի անմիջական շարունակությունն է, որ ծրագրով նախատեսվել է ուսումնական նյութի ծանրաբեռնվածության հավասարաչափ բաշխման նպատակով: Նմանության հասկացության հետագա կիրառությունը տվյալ գլխում արտահայտվում է ուղղանկյուն եռանկյան մեջ համեմատական հատվածների, եռանկյան կիսորդի հատկության, ինչպես նաև երկու ուղղի' մի քանի զուգահեռ ուղիղներով հատումից առաջացած հատվածների համեմա- տականության դիտարկման ընթացքում: Այդ բոլորի արդյունքում ընդհանրացվում է, այսպես կոչվող, ՆմԱՆությԱՆ մեթոդի գաղափարը, որը ցուցադրվում է ինչպես կառուցման խնդիրներ լուծելիս, այնպես էլ տեղանքում չափողական աշխատանքներում հանդիպող խնդիրներ լուծելիս: Ցանկալի կլինի ուսումնական տարվա հարմար ժամանակում տեղանքում կատարել այդպիսի գործնական աշխատանքներ: Նմանության հասկացության կիրառության ճանաչողական նշանակության կարևոր հարցերից մեկը ուղիղների' շրջանագծի հետ հատումից առաջացած հատվածների համեմատաբանության ուսումնասիրությունն է: Շրջանագծի հատվող լարերի հատկության և շրջանագծի հատողի և շոշափողի հատկության դիտարկումները ուշագրավ են հատկապես նրանով, որ շրջանագծի հատկությունների բացահայտումը կատարվում է նմանության հասկացության հիման վրա:

Ընդհանրապես պետք է նկատի ունենալ, որ նմանությունը երկրաչափական պատկերների ուսումնասիրության հիմնարար նշանակության հասկացություն է, և այն կիրառվում է հետագա, գրեթե, բոլոր թե

մաների ուսումնասիրության ընթացքում (հիշենք, որ պատկերների հավասարությունը ևս կարելի է դիտել որպես նմանության մասնավոր դեպք, երբ նմանության գործակիցը հավասար Է 1-ի):

Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները' ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.§1.Դիտարկել նման եռանկյունների մակերեսների և նրանց նույնանուն

գծային տարրերի հարաբերությունը, ընդհանուր պատկերացում տալ կամայական տեսքի երկրաչափական պատկերների նմանության մասին, սահմանել կենտրոնային նման պատկերները:

§2.Դիտարկել ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հատվածների համեմատա- կանությունը, ապացուցել եռանկյան կիսորդի հատկության մասին թեորեմը, ուսումնասիրել երկու ուղղի' մի քանի զուգահեռ ուղիղներով հատումից առաջացած հատվածների հւսմեմւստականու- թյունը (Թալեսի ընդհանրացված թեորեմը), ձևավորել և զարգացնել կարողություններ նմանության մեթոդից օգտվելու համար ինչպես կառուցման խնդիրներ լուծելիս, այնպես Էլ տեղանքում չափողական աշխատանքներ կատարելիս:

§Յ.Դիտարկելով ուղիղների' շրջանագծի հետ հատումից առաջացած հատվածների համեմատականությունը շարունակել ուսումնասիրել շրջանագիծը' քննության առնելով հատվող լարերի հատվածների հատկությունը և շրջանագծի հատողի ու շոշափողի հատվածների միջև առնչությունը:


§1-Գ ի տ ե ն ա լ ' նման եռանկյունների մակերեսների և դրանց նույնանուն գծային համապատասխան տարրերի (պարագծերի, միջնագծերի, բարձրությունների, կիսորդների) հարաբերությունների առնչությունները, պատկերացում ունենալ կենտրոնային նման պատկերների մասին: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ապացուցել նշված հարաբերություններին վերաբերող պնդումները, գիտելիքները կիրառել 4-12, 15-18 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§2-Գ ի տ ե ն ա լ ' ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրության և ներքնաձիգի վրա առաջացած հատվածների հա- մեմւստականությունը, եռանկյան կիսորդի հատկության մասին թեորեմը:

կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել նշված թեորեմներն ու դրանց հետևանքները, գիտելիքները կիրառել 22, 25-28, 30-32, 35, 45, 48 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§3.Գիտենալ հատվող լարերի հատվածների հատկությունը և շրջանագծի հատողի ու շոշափողի հատկությունն արտահայտող թեորեմներն ու հետևանքները:Կ արուլաՆւս լ ապացուցել հատվող լարերի հատվածների հատկությունն արտահայտող թեորեմը, գիտելիքները կիրառել 57-59, 61-67, 71 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:


§1-

1-ին տարբերակ1. Երկու նման եռանկյուններից առաջինի պարագիծը 8 անգամ փոքր

է երկրորդի պարագծից: Որոշեք երկրորդ և առաջին եռանկյունների ա)նմանակ կողմերի հարաբերությունը, բ)մակերեսների հարաբերությունը:

2. Ապացուցեք, որ նման ուղղանկյուն եռանկյուններին արտագծած շրջանագծերի շառավիղները հարաբերում են, ինչպես նրանց ներքնաձիգները:

2-րդ տարբերակ1. Երկու նման եռանկյուններից առաջինի մակերեսը 36 անգամ մեծ է

երկրորդ եռանկյան մակերեսից: Որոշեք առաջին և երկրորդ եռանկյունների' ա)նմանակ կողմերի հարաբերությունը, բ)պարագծերի հարաբերությունը:

2. Ապացուցեք, որ նման ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգները հարաբերում են, ինչպես այդ ներքնաձիգներին տարված միջնագծերը:

3-րդ տարբերակ1. Երկու նման ուղղանկյուն եռանկյուններից մեկի ներքնաձիգը 18սմ

է, իսկ մակերեսը 9 անգամ մեծ է մյուսի մակերեսից: Գտեք այդ եռանկյունների ուղիղ անկյան գագաթներից տարված միջնագծերը:

2. Ապացուցեք, որ երկու նման ուղղանկյուն եռանկյուններին ներգծած շրջանագծերի շառավիղների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին:

§ 21-ին տարբերակ

1. С ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան CD բարձրությունը 12սմ է, և այն ներքնաձիգը տրոհում է հատվածների, որոնցից BD-ն 16սմ է: Գտեք АС-ն, ВС-ն, АВ-ն, AD-ն:

2. Գտեք այն հատվածները, որոնց տրոհվում է 4սմ, 6սմ և 7սմ կողմերով եռանկյան մեծ կողմը նրան տարված կիսորդով:

2-րդ տարբերակ1. С ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան CD բարձրությունը

л/8 սմ է, իսկ AC էջը Յսմ: Գտեք АВ-ն, ВС-ն, AD-ն, BD-ն:2. 4սմ, 5սմ, Ցսմ կողմերով եռանկյան փոքր կողմին տարված է եռան

կյան կիսորդ, որով այդ կողմը տրոհվում է երկու հատվածների: Գտեք այդ հատվածները:

3-րդ տարբերակ:1. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 25սմ է, իսկ նրան տարված

բարձրությունը 12սմ: Գտեք եռանկյան էջերը:2. ABC եռանկյան В անկյունը կրկնակի մեծ է А անկյունից: В անկյան

կիսորդը AC կողմը տրոհում է AD=6uմ և ԸՇ=Յսմ հատվածների: Գտեք ABC եռանկյան անկյունները:


1. Շրջանագծի AB և CD լարերը հատվում են К կետում, ընդ որում АВ լարը К կետով տրոհվում է 10սմ և 6սմ երկարությամբ հատվածների: Ի՞նչ երկարության հատվածների է տրոհվում CD լարը К կետով, եթե հայտնի է, որ CD-ն АВ-ից մեծ է Յսմ-ով:

2. Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Հատողի արտաքին մասը 4սմ է, ներքին մասը' 12սմ: Գտեք շոշափողի հատվածը:

2-րդ տարբերակ1. Շրջանագծի MN և KL լարերը հատվում են А կետում, ընդ որում'

այդ կետով MN-ը տրոհվում է 1սմ և 15սմ երկարությամբ հատ

վածների: А կետով ինչպիսի՞ հատվածների է տրոհվում KL լարը, եթե հայտնի է, որ KL-ը երկու անգամ փոքր է MN-ից:

2. Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող ե շոշափող: Հատողը 18սմ է, իսկ շոշափողի հատվածը' 12սմ: Գտեք հատողի ներքին և արտաքին մասերը:

3-րդ տարբերակ1. Շրջանագծի ներսում վերցված А կետով տարված են երեք լարեր:

Հայտնի է, որ А կետը այդ լարերից երկուսը տրոհում է 2:1 հարաբերությամբ: А կետով ի՞նչ հարաբերությամբ է տրոհվում երրորդ լարը:

2. Շրջանից դուրս տրված կետից տարված են այդ շրջանագծին երկու հատողներ, որոնց ներքին մասերը հավասար են: Ապացուցեք, որ այդ հատողների արտաքին մասերը ես հավասար են:

10.դ. Ստուգողական աշխատանք N1

1-ին տարբերակ1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան BC նեքնաձիգին տարված AD

բարձրությունը 12սմ է, իսկ AB Էջը'20սմ: Գտեք AC Էջը:2. Շրջանագծի MN լարը К կետում հատվում Է ОА շառավիղին, որն

այդ կետով կիսվում Է, իսկ MN լարը տրոհվում Է հատվածների հ/11<=1սմ, KN-Ցսմ: Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը:

2-րդ տարբերակ1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան BD բարձրությունը 24սմ Է և AC

ներքնաձիգից անջատում Է 18սմ-ի հավասար DC հատվածը: Գտեք AB Էջը:

2. 12սմ շառավիղով շրջանագծի AB լարը С կետում հատվում Է ОМ շառավիղին, որն այդ կետով կիսվում Է, իսկ АВ լարը տրոհվում Է 6:1 հարաբերությամբ: Գտեք АВ լարը:

3-րդ տարբերակ1. ABCD հավասարասրուն սեղանի AC անկյունագիծն ուղղահայաց Է

CD սրունքին: Գտեք սեղանի բարձրությունը, եթե նրա հիմքերն են 10սմ և Ցսմ:

2. Շրջանից դուրս գտնվող М կետից շրջանագծին տարված են շոշափողներ և կենտրոնով անցնող հատող, ընդ որում շոշափողի հատվածը 8սմ է, իսկ հատողի արտաքին մասը 4սմ: Գտեք շոշափման կետերի հեռավորությունը միմյանցից:

11.ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

11.ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այս գլխի հիմնական նպատակն է եռանկյունաչափության տարրերի ներմուծման միջոցով ընդլայնել երկրաչափական պատկերների հետազոտության շրջանակը: Այդ նպատակով նախ ծանոթություն է տրվում եռանկյունաչափության այն տարրերին, որոնք անհրաժեշտ են ուղղանկյուն եռանկյունները լուծելու համար: Այնուհետև, օգտագործելով կոորդինատային ուղղանկյուն համակարգը, ներմուծվում են 0°-ից 180° անկյունների սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը, ապացուցվում են սինուսների և կոսինուսների թեորեմները: Եռանկյունաչափության տարրերը կիրառվում են ինչպես եռանկյունների լուծման խնդիրների, այնպես էլ երկրաչափական պատկերների մակերեսների հաշվման բանաձևեր արտածելու ընթացքում:

Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրներն ՜ ըստ պարագրաֆների հետնյալներն են.§1.Ներմուծել ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի

և տանգենսի հասկացությունները, հաշվել դրանց արժեքները 30°, 45° և 60° անկյունների համար:

§2.Ամփոփել և ընդհանրացնել սովորողների' հանրահաշվի դասընթացից արդեն ստացած գիտելիքները կոորդինատների մեթոդի մասին, զարգացնել երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս հանրահաշվական ապարատ կիրառելու կարողություններ, այդ թվում կոորդինատների համակարգը հարմար ձևով ներմուծելու, դիտարկվող խնդրի պայմանները կոորդինատներով արտահայտելու և խնդիրը հանրահաշվական հաշվումների միջոցով լուծելու կարողությունը:

§Յ.Ներմուծել 0°-ից 180° անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը, արտածել բերման բանաձևերը և բանաձևեր կետի կոորդինատները հաշվելու համար, որոնք անհրաժեշտ են եռանկյան մակերեսի մասին թեորեմի և կոսինուսների թեորեմի ապացուցման համար:

i 60 գ........

§4.Ապացուցել եռանկյան մակերեսի մասին թեորեմը, սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, սովորողներին ծանոթացնել եռանկյունների լուծման մեթոդներին և չափողական այն աշխատանքներին, որոնք հիմնված են նշված թեորեմների կիրառության վրա:

§5.Եռանկյունաչափության տարրերի կիրառության միջոցով արտածել մակերեսների հաշվման բանաձևեր, այդ թվում' զուգահեռագծի (կից կողմերով և անկյունով), քառանկյան (անկյունագծերով և դրանց կազմած անկյունով), եռանկյան (երեք կողմերով' Հերոնի բանաձևը), ինչպես նաև բացահայտել եռանկյան մակերեսի, կողմերի և արտսւ- գծյալ շրջանագծի շառավիղի միջև կապը:


§1-

Գ ի տ ե ն ա լ ' ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի սահմանումները, եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը, 30°, 45°, 60° անկյունների համար սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքները:կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը, անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքներից մեկի միջոցով որոշել մյուսների արժեքները, գիտելիքները կիրառել 101-104, 108-110, 113,114 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§ 2-

Գ ի տ ե ն ա լ ' ծայրակետերի կոորդինատներով տրված հատվածի միջնակետի կոորդինատները հաշվելու բանաձևը, հատվածի երկարությունը (երկու կետերի հեռավորությունը) հաշվելու բանաձևը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ընտրել կոորդինատային ուղղանկյուն համակարգ, պարզ խնդիրների տվյալները արտահայտել կոորդինատներով, գիտելիքները կիրառել 117-128 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§3.Գ ի տ ե ն ա լ ' թե ինչպես են ներմուծվում 0°-ից 180° անկյունների սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, կետի կոորդինատների հաշվման բանաձևերը, բերման բանաձևերը 90°±а, 180°-а տեսքի անկյունների համար: Կ ա յ ւ ո ւ լ ա ն ա լ ապացուցել եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը, անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքներից մեկի

միջոցով գտնել մյուսների արժեքները, օգտվել բերման բանաձևերից, գիտելիքները կիրառել 141-149, 156 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§4.Գ ի տ ե ն ա լ ' եռանկյան մակերեսի մասին թեորեմը' սինուսների և կոսինուսների թեորեմները:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել նշված թեորեմները, գիտելիքները կիրառել 157-161,165-167,169 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§5.Գ ի տ ե ն ա լ ' զուգահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը (կից կողմերով և անկյունով), քառանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևը (անկյունագծերով և դրանց կազմած անկյունով), Հերոնի բանաձևը: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 178-184, 186 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

11 .գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§ 11-ին տարբերակ

1. Հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը 4սմ է, սրունքը' 6սմ, իսկ անկյուններից մեկը 120°: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը և բարձրությունը:

2. Գտեք sinA-ն և tgA-ն, եթե cosA=0,8:

2-րդ տարբերակ1. Ուղղանկյուն սեղանի փոքր հիմքը Յսմ է, մեծ սրունքը' 4սմ, իսկ

անկյուններից մեկը 150°: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը և փոքր սրունքը:

2. Գտեք sinA-ն և tgA-ն, եթե cosA=0,6:

3-րդ տարբերակ1

1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան AB ներքնաձիգը 6սմ է, իսկ cosA= —:О

Գտեք եռանկյան պարագիծը:

12. Գտեք sina-ն և cosa-ն, եթե tga= —4

§2-

1-ին տարբերակ1. Տրված են А(1,2) և В(3,-4) կետերը: Գտեք С կետի կոորդինատները,

եթե հայտնի է, որ В կետը AC հատվածի միջնակետն է:2. Տրված են եռանկյան գագաթները A(7,5), B(0,4), С(6,0): Գտեք

եռանկյան ВС կողմին տարված միջնագծի երկարությունը:

2-րդ տարբերակ1. Տրված են А(0,6) և М(2,4) կետերը: Գտեք В կետի կոորդինատները,

եթե հայտնի է, որ М-ը АВ հատվածի միջնակետն է:2. Տրված են եռանկյան գագաթները' А(5,10), В(5,0), С(2,1): Գտեք

եռանկյան AB կողմին տարված միջնագծի երկարությունը:

3-րդ տարբերակ1. Տրված են եռանկյան կողմերի միջնակետերը M(2,4), N(3,2), К(4,5):

Գտեք եռանկյան գագաթները:2. Ապացուցեք, որ ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե տրված

են նրա գագաթները A(-4,2), B(-3,5), C(0,6), D(-1,3):

§3Նկատի ունենալով, որ եռանկյունաչափության որոշ տարրեր

սովորողներին արդեն ծանոթ են 1-ին պարագրաֆից, ուսումնական նյութի իմացությունը նպատակահարմար է ստուգել' օգտագործելով մ՛աթեմ՛ատիկական թելադրություն.1. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը հավասար են Յսմ, 4սմ, 5սմ: Գտեք

այդ եռանկյան ամենափոքր անկյան սինուսը:2. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը հավասար են 26մ, 24մ և 10մ:

Գտեք եռանկյան մեծ սուր անկյան տանգենսը:3. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 6դմ է, իսկ նրա հանդիպակաց

անկյունը 30°: Գտեք այդ եռանկյան ներքնաձիգը:4. Հաշվելով ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկի

սինուսը աշակերտն ստացել է 1,5 թիվը: Հաշվումներն արդյոք ճի՞շտ է կատարել նա:

63 |-Е2ШР

5. Գտեք սուր անկյան սինուսը, եթե նրա կոսինուսը — է:13

6. Գտեք սուր անկյան տանգենսը, եթե նրա սինուսը 0,8 է:ց

7. Գտեք բութ անկյան տանգենսը, եթե նրա կոսինուսը է:41

*

1-ին տարբերակօ

1. Գտեք tga-ն, եթե sina=— և 90°<a<180°:5

1 2-Jl2. Միավոր կիսաշրջանագծի վրա տրված է A(—,------------------) կետը: Որոշեք3 3

OA ճառագայթի' աբսցիսների դրական կիսառանցքի հետ կազմած անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:

3. Բաղդատեք sina-ն և տտթ-ն, եթե a<p<90°:

2-րդ տարբերակ

1. Գտեք tga-ն, եթե cosa=- — (90°<a< 180°):5

1 -у/з2. Միավոր կիսաշրջանագծի վրա տրված է А(^՛՜^՜) Կետը: Որոշեք

ОА ճառագայթի՝ աբսցիսների դրական կիսառանցքի հետ կազմած անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը:

3. Բաղդատեք cosa-ն և օօտթ-ն, եթե a<p<90°:

3-րդ տարբերակ1

1. Գտեք tga-ն, եթե cosa=- —:8

2. Հաշվեք 150° անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը:3. Դասավորեք նվազման կարգով. էց40°, էց95°, 1:

§4Մաթեմատիկական թելադրություն

1. Գտեք այն եռանկյան մակերեսը, որի կողմերն են Ցսմ, Ցսմ, 1 Օսմ:

2. Գտեք անկյան կոսինուսը, եթե նրա սինուսը — է:

3. Գտեք անկյան սինուսը, եթե նրան կից անկյան սինուսը 0,4 է:4. ОА ճառագայթը աբսցիսների դրական կիսառանցքի հետ կազմում է

30° անկյուն: Գտեք А կետի կոորդինատները, եթե ОА=8ф5:5. Որոշեք, թե սուրանկյու՞ն, ուղղանկյու՞ն, թե՞ բութանկյուն է

1

եռանկյունը, եթե նրա երկու անկյուններն են 35° և 56°:

6. Միավոր կիսաշրջանագծի А կետն ունի Уз չ 2 ' 2

կոորդինատ

ները: Գտեք ОА ճառագայթի Ox դրական կիսառանցքի հետ կազմած անկյունը:

7. Գտեք 135° անկյան տանգենսը:8. Որոշեք' սու՞ր, ուղի՞ղ, թե՞ բութ է a անկյունը, եթե lli)cos(x<0,

p)tga>0, q)sina<1:

1-ին տարբերակ1. Խնդիր' 157,ա:2. Խնդիր' 165,բ:3. Խնդիր 169,ա:

2-րդ տարբերակ1. Խնդիր 157,բ:2. Խնդիր' 165,ա:3. Խնդիր' 169,գ:

3-րդ տարբերակ1. Խնդիր 161:2. Խնդիր 167:3. Խնդիր 172:


1. Խնդիր' 180:2. Խնդիր 183:

2-րդ տարբերակ1. Խնդիր 181:2. Խնդիր' 185:

3-րդ տարբերակ1. Խնդիր 182:2. Խնդիր'191:

11.դ. Ստուգողական աշխատանք N 2

1-ին տարբերակ1. Գտեք ОА ճառագայթի և Ox դրական կիսառանցքի կազմած

անկյան տանգենսը, եթե A(-1,3):2. Լուծեք ABC եռանկյունը, եթե Հ!3=3ժ, ՀՇ=10!?, BC=3<j2 սմ:3. Հաշվեք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե նրա անկյունագծերը հա

վասար են Ցսմ և 5սմ, իսկ դրանց կազմած անկյուններից մեկը 12Ժ է:

2-րդ տարբերակ1. Գտեք OA ճառագայթի և Ox դրական կիսառանցքի կազմած

անկյան տանգենսը, եթե A(-3,3):2. Լուծեք BCD եռանկյունը, եթե ZB=4tf, ՀԾ=6Ժ, ВС=4з մ:3. 36սմ մակերեսով քառանկյան անկյունագծերից մեկը Ցսմ է: Գտեք

նրա մյուս անկյունագիծը, եթե հայտնի է, որ անկյունագծերի կազմած անկյունը 4մ Է:

3-րդ տարբերակ1. Գտեք ОС ճառագայթի և Ox դրական կիսառանցքի կազմած

անկյունը, եթե C(J3,1/՜2. Լուծեք CDE եռանկյունը, եթե ՀՇ=6Ժ, ՇՕ=8դմ, Շ£-5դմ:3. Գտեք 13սմ, 14սմ և 15սմ կողմերով եռանկյան մեծ բարձրությունը:

12.ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՇՐՋԱՆԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ

12.UI. Թեմ՛այի ուսուցման հիմնական հարցերըԱյս գլխի նյութը ավանդական է, քննության են առնվում հարցեր,

որոնք վերաբերում են շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի հաշվմանը: Նախապես դիտարկվում են կանոնավոր բազմանկյունները, ապացուցվում են կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած և արտագծած շրջանագծերի մասին թեորեմները:

Շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի հաշվման բանաձևերի արտածման հիմքում ընկած են հաջորդականության սահմանի ինտուիտիվ պատկերացումը: Շրջանագծին ներգծած (արտագծած) կանոնավոր բազմանկյան կողմերի թվի անսահմանափակ մեծացման դեպքում նրա պարագիծը ձգտում Է այդ շրջանագծի երկարությանը,1 իսկ մակերեսը շրջանագծով եզերված շրջանի մակերեսին:

Ուսուցման հիմն ական նպատակներն ու խնդիրները' ըստ պարագրաֆննրի, հնտեյալննրն սն.§1.Ներմուծել կանոնավոր բազմանկյան հասկացությունը, ապացուցել

կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած և արտագծած շրջանագծերի մասին թեորեմները, արտածել բանաձևեր, որոնք արտահայտում Են կանոնավոր բազմանկյան կողմի և մակերեսի կապերը ներգծած և արտագծած շրջանագծերի շառավիղների հետ, ինչպես նաև դի- տարկել կանոնավոր բազմանկյունների կառուցման խնդիրներ:

§2.Դիտարկել շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի հաշվման բանաձևերը, արտածել շրջանային աղեղի երկարության, շրջանային սեկտորի և սեգմենտի մակերեսների հաշվման բանաձևերը:


§ 1Գ ի տ ե ն ա լ կանոնավոր բազմանկյան սահմանումը, կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած շրջանագծի և արտագծած շրջանագծի մասին թեորեմները, կանոնավոր բազմանկյան անկյան, կողմի, մակերեսի և նրան ներգծած ու արտագծած շրջանագծերի շառավիղների հաշվման բանաձևերը:

1Ջգուշսւցում ' տպագրելիս դասագրքի 34-րդ կետում C , R’,Pn նշանակումների մեջ «’» նշանը չի արտատպվել:

Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' ապացուցել նշված թեորեմները և արտածել նշված բանաձևերը, գիտելիքները կիրառել 215, 217, 219, 229, 233, 240 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§շ.Գ ի տ ե ն ա լ շրջանագծի և շրջանային աղեղի երկարությունների, շրջանի, շրջանային սեկտորի և սեգմենտի մակերեսների հաշվման բանաձևերը:Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 243-246, 265, 269, 270, 271 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:


§1.Թեմայի լավ յուրացման համար օգտակար է լուծել կրկնողական բնույթի հետևյալ խնդիրները.1. Ուռուցիկ հնգանկյան բոլոր անկյուններն իրար հավասար են: Գտեք

այդ անկյուններից յուրաքանչյուրը:2. Ապացուցեք, որ երկու հավասար բարձրություններ ունեցող եռան

կյունը հ՛ավասարասրուն է:3. 5սմ շառավիղով շրջանագիծը А անկյան կողմերը շոշափում է В և С

կետերում: Գտեք АВ և AC հատվածների երկարությունները, եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը անկյան գագաթից 16սմ է:

4. Երկու շրջանագծեր հատվում են A և В կետերում: Ապացուցեք, որ АВ հատվածն ուղղահայաց է նրանց կենտրոններով անցնող ուղղին:

5. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան միջնագծերից մեկի վրա, իսկ արտագծած շրջանագծի կենտրոնը այդ նույն միջնագծի կամ նրա շարունակության վրա:

6. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը կրկնակի փոքր է նրան արտագծած շրջանագծի շառավիղից:

7. ABCD քառանկյունը ներգծած Է շրջանագծին: Ապացուցեք, որZA+ZC=ZB+ZD:

8. Ապացուցեք, որ г շառավիղով շրջանագծին արտագծած ցանկացած բազմանկյան Տ մակերեսը հաշվվում Է S=pr բանաձևով, որտեղ р-ն այդ բազմանկյան կիսապարագիծն է:

1-ին տարբերակ1. Խնդիր 215,բ:2. Խնդիր 217,գ:3. Խնդիր 218դ:4. Ապացուցեք, որ կանոնավոր վեցանկյան մեկընդմեջ վերցված երեք

գագաթները կանոնավոր եռանկյան գագաթներ են:

2-րդ տարբերակ1. Խնդիր'215,դ:2. Խնդիր'217,ա:3. Խնդիր 218,գ:4. Ապացուցեք, որ կանոնավոր ութանկյան մեկընդմեջ վերցված չորս

գագաթները կանոնավոր քառանկյան գագաթներ են:

§2-

Մաթեմ՛ատիկական թելադրություն1. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա կողմը ձգում

է արտագծած շրջանագծի 18°-ի աղեղ:2. Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրան արտագծած շրջանագծի

շառավիղը 2սմ է:3. Ավարտեք նախադասությունը. «Շրջան է կոչվում հարթության այն

մասը ... »:4. Գտեք կանոնավոր եռանկյան մակերեսը, եթե նրա կենտրոնի

հեռավորությունը գագաթից 2դմ է:5. Գտեք քառակուսուն ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե նրան

արտագծած շրջանագծի շառավիղը 2սմ է:6. Ինչի է հավասար օօտՕ°-ը:7. Գտեք կանոնավոր 9-անկյան անկյունը:8. Կարկինի և քանոնի միջոցով կառուցեք կանոնավոր վեցանկյուն:

1-ին տարբերակ1. խնդիր 245:2. խնդիր 255:3. խնդիր 271,բ:4. Լրացուցիչ խնդիր 262,ա: а

2-րդ տարբերակ1. Խնդիր'243,բ:2. Խնդիր' 264,ա:3. խնդիր 271,դ:4. Լրացուցիչ խնդիր 262,բ:

12.դ. Ստուգողական աշխատանք N3

1-ին տարբերակ1. Շրջանագծին ներգծած կանոնավոր եռանկյան պարագիծը 45սմ է:

Գտեք այդ շրջանագծին ներգծած կանոնավոր ութանկյան կողմը:2. Գտեք շրջանի մակերեսը, եթե նրա շրջանագծին ներգծած քառա

կուսու մակերեսը 72դԺ Է:3. Գտեք 8սմ շառավիղով աղեղի երկարությունը, եթե նրա աստիճա

նային չափը 15Ժ է:

2-րդ տարբերակ1. Շրջանագծին ներգծած կանոնավոր եռանկյան պարագիծը 48մ Է:

Գտեք այդ շրջանագծին ներգծած քառակուսու կողմը:2. Գտեք շրջանագծի երկարությունը, եթե նրան ներգծած կանոնավոր

վեցանկյան մակերեսը 72 3 utf է:3. Գտեք շրջանային սեկտորի մակերեսը, եթե նրա աղեղի աստիճա

նային չափը 12Ժ է, իսկ շրջանագծի շառավիղը' 12սմ:

3-րդ տարբերակ1. Շրջանագծին ներգծած քառակուսու պարագիծը 48սմ Է: Գտեք այդ

շրջանագծին ներգծած կանոնավոր հնգանկյան կողմը:2. Գտեք ընդհանուր կենտրոնով երկու շրջանագծերով սահմանա

փակված օղակի մակերեսը, եթե փոքր շրջանագծի շառավիղը Յսմ Է, իսկ մեծ ինը' 7սմ:

3. Գտեք սեգմենտի մակերեսը, եթե նրա լարի երկարությունը 4մ է, իսկ աղեղի աստիճանային չափը 6ժ:

13.ՎԵԿՏՈՈՆԵՈ

13.ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերըԱյս գլխով ավարտվում է դասընթացի բովանդակությունը: «Վեկ

տորներ» թեմայի ուսուցումը պետք է կատարել երկու տեսանկյունից: Տեսանկյուններից մեկը վեկտորի իբրև ուղղորդված հատվածի հասկացության կիրառությունն է երկրաչափական խնդիրների լուծման ընթացքում: Դրա համար ելակետ են ծառայում ֆիզիկական մի շարք մեծությունների ընդհանրացումն ու վերացարկումը: Դրա հետ մեկտեղ ընդհանուր ծանոթություն է տրվում վեկտորական հանրահաշվի տարրերի մասին, ինչը հնարավորություն է տալիս երկրաչափական տարբեր իրավիճակներ արտահայտող խնդիրները փոխադրել հանրահաշվական մի քանի ստանդարտ խնդիրների: Այսպիսով, «Վեկտորներ» թեմայի միջոցով հաստատվում են միջառւսրկայական էական կապեր ֆիզիկայի, երկրաչափության և հանրահաշվի միջև: Նկատենք, որ թեմայում ընդգրկված խնդիրների համակարգն այնպիսին է, որ մասամբ նպաստում է դասընթացի կրկնողությանը, և միաժամանակ բավարար հիմք է հանդիսանում սովորողների հետագա կրթության շարունակման համար: Վեկտորներին վերաբերող գիտելիքների հետագա ընդլայնումն ու խորացումը նախատեսվում է ավագ դպրոցի դասընթացում:

Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները' ըստ պարագրաֆների հետևյալներն են.§1.Ներմուծել վեկտորի, նրա երկարության, համագիծ և հավասար վեկ

տորների հասկացությունները, սովորեցնել պատկերել և նշանակել վեկտորները, տեղադրել վեկտորը հարթության ցանկացած կետից:

§2.Ներմուծել երկու վեկտորների գումարի հասկացությունը, հիմնավորել դրանց գումարման օրենքները և դրանց հիման վրա ներմուծել երեք և ավելի վեկտորների գումարի հասկացությունը, ներմուծել տրվածին հակադիր վեկտորի հասկացությունը, սահմանել երկու վեկտորների տարբերությունը, սովորեցնել եռանկյան, բազմանկյան և զուգահեռագծի կանոնները:

§Յ.Ներմուծել վեկտորը թվով բազմապատկելու գործողությունը, սովորեցնել այդ արտադրյալի հատկությունները, մի քանի օրինակով լուսաբանել վեկտորների կիրառությունը երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս և թեորեմներ ապացուցելիս: □

§4.Ներմուծել վեկտորի կոորդինատների հասկացությունը, հիմնավորել, կոորդինատներով տրված վեկտորների հետ գործողությունների կանոնները, ծանոթություն տալ երկու վեկտորների կազմած անկյան և վեկտորների սկալյար արտադրյալի մասին:

13.բ. Սովորողներին ներկայացվող պահանջները.

§ 1Գ ի տ ե ն ա լ վեկտորի, համագիծ վեկտորների և հավասար վեկտորների սահմանումները:կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' պատկերել և նշանակել վեկտորները, տրված վեկտորը տեղադրել տրված կետից, գիտելիքները կիրառել 296-298, 300- 307 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§2-Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ վեկտորն է կոչվում երկու վեկտորների գումար, երկու վեկտորների տարբերություն, տրվածին հակադիր վեկտոր, եռանկյան, բազմանկյան և զուգահեռագծի կանոնները: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ' գիտելիքները կիրառել 308, 309, 311, 314, 314-320, 325 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§3.Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ վեկտորն է կոչվում վեկտորի և թվի արտադրյալ: Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ձևակերպել վեկտորի և թվի արտադրյալի հատկությունները, վեկտորների կիրառմամբ ապացուցել սեղանի միջին գծի մասին թեորեմը, գիտելիքները կիրառել 334, 337-342, 347 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§4.Գ ի տ ե ն ա լ համագիծ վեկտորների մասին լեմմի և վեկտորների վերածման մասին թեորեմի ձևակերպումները, կոորդինատներով տրված վեկտորների հետ գործողությունների կանոնները:Կ ա |1 п ղ ւ ս ն ա լ ' բացատրել, թե ինչ է վեկտորների կազմած անկյունը, գիտելիքները կիրառել 354-356, 359, 363 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

§1-

1-ին տարբերակ— » — »

1. Պատկերեք որևէ а վեկտոր: Կառուցեք այնպիսի MN և PQ—> —>

վեկտորներ, որ MN = a , PQ tl а :— > — >

2. ABCD-ն զուգահեռագիծ է: Ապացուցեք, որ AB = DC:

2-րդ տարբերակ_ —> —>

1. Պատկերեք որևէ b վեկտոր: Կառուցեք այնպիսի AB և CD

վեկտորներ, որ AB Ti b, CD = b:— > — >

2. M, К, N, Р կետերը չեն գտնվում մի ուղղի վրա, և KM = PN: Ապացուցեք, որ KMNP-ն զուգահեռագիծ է:

3-րդ տարբերակ—) —>

1. M կետը գտնվում է AB հատվածի վրա: Կառուցեք MK և MN

վեկտորներն այնպես, որ MK = AB, MN = BA: Գտեք KN-ը, եթեAB=a:

— > — »2. О կետը գտնվում է ABCD քառանկյան ներսում, АО = ОС,

BO = OD: Ապացուցեք, որ AB = DC:

13.գ. ԻՆքնուրույն աշխատանքի նյութեր

1-ին տարբերակՏրված է BC ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Կառուցեք

2-րդ տարբերակՏրված է AB ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Կառուցեք

§2-

p = /Ш+ АС- ВС վեկտորը և գտեք |р| -ն, եթե АВ = 8 սմ:

- I _ Im = BA+ ВС- СА վեկտորը և գտեք |m| ֊ը, եթե ՑՇ=9սմ:

3-րդ տարբերկՏրված է AD և ВС հիմքերով ABCD սեղանը: Կառուցեք

а = АВ+ CD— ВС վեկտորը և գտեք |а|-0, եթե AD=12֊ud, BC=5ufr


1. Գծագրեք a և b երկու տարագիծ վեկտորներ, |<5| = 3սմ, |ծ| = 2սմ:

_ 1 - Կառուցեք p = 3a-—ծ վեկտորը:

— > — >2. KMNP-ն զուգահեռագիծ է: m = KM և ո = KP վեկտորների միջոցով

—) — >արտահայտեք MA և AB վեկտորները, որտեղ А-ն PN հատվածի կետ է, PA:AN=2:1, В-ն MN հատվածի միջնակետն է:

2-րդ տարբերակ1. Գծագրեք m և ո երկու տարագիծ վեկտորներ, |m| = 2 սմ, |ո| = 3սմ:

_ 1 _Կառուցեք a = 3m—ո վեկտորը:3

2. ABCD զուգահեռագծի մեջ М-ը CD-ի միջնակետն է, N-ը AD կողմի

կետ է, և AN:ND=1:2: CN ե MN վեկտորներն արտահայտեք b = ВС— >

և а = BA վեկտորների միջոցով:

3-րդ տարբերակ1. ABC եռանկյան մեջ ZC=90°, AC=3u^ 6Շ=4սմ: Կառուցեք

b = — CA+ 2CB- 0,5AB վեկտորը:3

2. ABCD սեղանի մեջ AB||CD, AB=3CD: m = DA և ո = DC— > — >

վեկտորների միջոցով արտահայտեք AM և MN վեկտորները, որտեղ М-ը BC հատվածի միջնակետն է, իսկ N-ը AB կողմի այնպիսի կետ է, որ AN:NB=2:3:


( 3Գրառեք х\-2,—{ 4

կոորդինատային վեկտորների:Գտեք a + b վեկտորի կոորդինատները, եթե a{2,-4} b{-1,0}:ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք— ) — )

АВ և АО վեկտորների կազմած անկյունը:

2-րդ տարբերակԳրառեք у{-4,0} վեկտորի վերածումը'ըստ i և j կոորդինատային վեկտորների:Գտեք a-b վեկտորի կոորդինատները, եթե a{0,-4}, b{l,-l}:ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք

ВС և ВО վեկտորների կազմած անկյունը:

3-րդ տարբերակԳրառեք 2х + у վեկտորի վերածումը ըստ i և j կոորդինատային վեկտորների, եթե x{-1,0} y{3,4}:

а և b վեկտորները տարագիծ են: Հւսմագի՞ծ, թե՞ տարագիծ են й և a + b վեկտորները: Պատասխանը հիմնավորեք:Գտեք а{-1,1} վեկտորի կազմած անկյունը Ox դրական կիսառանցքի հետ:

1 Յ.դ. Ստուգողական աշխատանք N 4

1-ին տարբերակE և F կետերը գտնվում են ABCD զուգահեռագծի համապատասխանաբար AD և BC կողմերի վրա, ընդ որում AE=ED, BF:FC=4:3:

— > — ) — >ա) EF վեկտորն արտահայտեք m = AB և ո- AD վեկտորներով:

վեկտորի վերածումը ըստ i և j

բ)Կարո’ղ է, արդյոք х-ի ինչ-որ արժեքի դեպքում տեղի ունենալ— » — »

EF = X • CD հավասարությունը:2. Որոշեք а{1,3} վեկտորի և կոորդինատային \ վեկտորի գումարի

կոորդինատները:

2-րդ տարբերակ1. К կետը գտնվում Է ABCD զուգահեռագծի АВ կողմի վրա, իսկ М

կետը' CD կողմի վրա, ընդ որու մ' AK=KB, CM:MD=2:5:) — ) — >

ш)КМ վեկտորն արտահայտեք р = АВ և q = AD վեկտորներով:բ)Կարո՞ղ է, արդյոք, х-ի ինչ-որ արժեքի դեպքում տեղի ունենալ

KM = X • CB հավասարությունը:2. Որոշեք Б{2,1} վեկտորի և կոորդինատային j վեկտորի տարբեր ու- (

թյան կոորդինատները:

3-րդ տարբերակ1. M և N կետերը ABCD զուգահեռագծի BC և CD կողմերի

— > — > — >միջնակետերն են: AC վեկտորն արտահայտեք m = AM և ո = ANվեկտորներով:

2. Որոշեք a{v/3,l} վեկտորի կազմած անկյունները կոորդինատային \

և j վեկտորներից յուրաքանչյուրի հետ:

Տարեվե ր ջ յան ստո ւ գ ո ղական ա շխատանք ի տարբե րակնե ր

1-ին տարբերակ1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB ներքնաձիգին տարված CD

բարձրությունը 12սմ է, իսկ AD հատվածը 9սմ: Գտեք. ш)ВС-0, р)АВС եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը, q)ABC և ADC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:

2. 2սմ և 8սմ հիմքերով հավասարասրուն սեղանին ներգծած Է շրջանագիծ: Գտեք, ախեղանի սրունքը, բխեղանի մակերեսը, գ)ներ- գծյալ շրջանագծի երկարությունը:

2-րդ տարբերակ1. ABC եռանկյան մեջ AB=14u£ AC=15uմ, ՑՇ=13սմ: Գտեք ABC

եռանկյան ա) ամենափոքր բարձրությունը, բ) արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը, գ) ներգծյալ շրջանագծի երկարությունը:

2. Զուգահեռագծի փոքր անկյունագիծն ուղղահայաց է կողմին, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ կողմը տրոհում է Ցսմ և 16սմ երկարությամբ հատվածների: Գտեք, ա) զուգահեռագծի կողմերը, բ) զուգահեռագծի անկյունագծերը, գ) զոպա՝ հեռագծի մակերեսը:

3-րդ տարբերակ1. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած Է

շրջանագիծ, որը AB և BC կողմերը շոշափում Է համապատասխանաբար M և H կետերում: ա) Ապացուցեք, որ MBH և ABC եռանկյունները նման են, բ) գտեք ZBAC-O և այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե AB=2մ, MH=W:

2. AD և ВС հիմքերով հավասարասրուն սեղանի մեջ ՀՕ=6ժ, ВС= 12սմ, ՀBCA=ЗԺ: ա) Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է, բ) գտեք ACD եռանկյանն արտագծած շրջանագծի երկարությունը, գ) հաշվեք ABCD սեղանի մակերեսը:

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Փ., Глазков Ю.А. и лр. Изучение геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации к учевиику. Книга дляучителя. - 3-е изд. -М.: Просвещение, 2000.

2. Атанасян JI.C., Бутузов В.Ф. и др. Дополнительные главы к школьному учевиику. -М.: Просвещение, 1997.

3. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы /Научно-практическое объединение “Мир и семья”, Санкт-Петервург, 1995.

4. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Снининский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней иисоле / -М.: Просвещение, 1975.

5. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике! -М., Наука, 1989. Глава 12.

6. Гусев В.А. Справочник школьника по геометрии/ -М.: Аквариум, 1997.7. Погорелов А.В. Геометрия / -М.: Просвещение. АО “Московские

учевники”, 1995.8. Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М., Чернишева Л.Ю. Геометрия в 6-ом

классе! -М.: Просвещение, 1986.9. Карницевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6-ом классе I -М.*

Просвещение, 1983.10. Фирсов В.В. Планирование оБязателытых результатов овучения

математике/-М.: Просвещение, 1989. Глава 2(2.3), 3(3.3), 4(4.2).11. Дудиицын 10.11. Геометрия 7-11 классы: планирование и контрольные

районы. / НПО “Овразоваиие”, I Полугодие, II полугодие. -М., 1998,99.12. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами

исследования для 8 класса/для 9 класса. - М.: Просвещение, 1999, 2000.1 3 . Աթանասյան Լ. Ս., Բուտոզով Վ. Ն. և ուրիշ. Մեթոդական ուղեցույց.

երկրաչափությունը 6-8-րդ դասարաններում / «Միտք», Երևան, 1998:

14. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ/«Միտք», Երևան, 1997. Գլուխ 9:15. Նիկիտին Ն. Ն., Մասլովա Գ. Գ.. երկրաչափական խնդիրների

ժողովածու. VI-VIII դասարանների համար I Հայպետհրատ, Երևան, 1963:

Երկրաչափության Ուսուցչի ձեռնարկ

Education