電路學 - [第四章] 儲能元件

電路學第四章儲能元件：感應器與電容器

李健榮助理教授

Department of Electronic EngineeringNational Taipei University of Technology

大綱

• 儲能元件• 電容器• 串聯電容器與並聯電容器的等效電容• 電感器• 串聯電感器與並聯電感器的等效電感

Department of Electronic Engineering, NTUT2/21

儲能元件 (Energy-Storage Elements)

• 電容器與電感器是可以儲存及釋放能量的元件，因此一般常稱之為儲能元件。

• 在理想情況下，它們儲存的能量，可在以後某些時候釋回。換言之，電容器和電感器電路有記憶能力(儲存的能量可重新叫出 )，因此有時亦稱之為動態 (Dynamic)元件。


電容器之電容量及電壓、電流關係

• 電容器上儲存的電荷 q 與外加電壓 v 成正比，因此 q = Cv。其中 C為比例常數，稱為電容器的電容量或簡稱電容，由上式得，其中單位為庫侖/伏特，簡稱為法拉(Farad，縮寫為F)

• 電容器中電壓與電流的關係由

平行板電容器

+

−v

+ q

− qv

+

−

qC

v=

i

+

−C

+

−

v可得

其中C在一般情況均為定值，又由上式可知，當 v 為定值時，則 i = 0，換句話說，對直流穩態而言，理想電容器為開路。

q Cv= dqi

dt=及

( )d Cv dvi C

dt dt= =


範例1

• 例1：圖(a)電路中，設 C = 1 F，且外加電壓 v(t) 之波形如圖(b) 所示，試求電流 i(t) 之波形。

其波形如圖 (c) 所示。

由圖 (b) 可得

因此−10 1 2

1

t

(c)

i(t)( ) ( )

0 , 0

,0 1

2 ,1 2

0 ,2

t

t tv t

t t

t

−∞ < < ≤ <= − − ≤ < ≤ < ∞

( ) ( )0 , 0

1 ,0 1

1 ,1 2

0 ,2

t

tdv ti t C

tdt

t

−∞ < < ≤ <= = − ≤ < ≤ < ∞

v(t)i(t)

+− C

(a)(b)

t − (t −2)1

1 20t

v(t)

0 0


範例2

• 例 2：求圖(a)中之電壓 v(t)，其中電流 i(t) 之波形，如圖(b)所示，且 C = 1 F。

A. t ≤ 0 時，i = 0，

C. t ≥ 時，i = 0，

B. 0 ≤ t ≤ 時，i = K，1K

1

1/K0 t

v(t) (c)

( ) ( ) ( )10 0

tv t dt v

C −∞= + −∞ =∫

( ) 0v −∞ =其中，由此步驟知 ( )0 0v =

( ) ( ) ( )0

10

tv t K dt v Kt

C= + =∫

由上已知，而當時( )0 0v = 1t

K= ( )1

1 VvK

=

( ) ( )1

1 10 1

t

K

v t dt vC K

= + =

∫

其中

電壓 v(t) 的波形如圖 (c) 所示。

( )11 Vv

K =

(a)

+

−1 F

+

−

v(t)

i(t)

(b)

K

1/ K0t

i(t)

1K


儲存於電容器的能量

• 儲存在電容器中的能量 wc(t)：

又依據

由及

可得電容器中的能量為

因，所以

上式亦可表示為

( ) ( )tw t vi dt

−∞= ∫

dvi C

dt=

( ) ( )t t

C

dvw t vi dt v C dt

dt−∞ −∞

= =

∫ ∫ ( ) ( )21

2

tt

C v dv Cv t−∞

−∞

= =∫

( ) 0v −∞ = ( ) ( )212Cw t Cv t=

q Cv=

( ) ( ) ( ) ( )21 1

2 2C

q tw t q t v t

C= =


電容器電壓之連續性

• 電容器上的電壓具有連續的特性，亦即電容器上的電壓，在正常情況下其值不會瞬間改變。

• 電容器電壓之所以具連續性，可由解釋，因若

欲瞬間 (dt→0)改變電容器電壓值，則項會趨近無限

大，亦即會有無限大之電流通過電容器，也就是需要無限

大的功率。但此在物理上為一不可能之事，因而跨在電容

器上的電壓不能瞬間改變，但電流可以不連續，亦即可以

瞬間改變。

( )i C dv dt=

( )dv dt


範例3

• 例3：下圖電路中已知 , , 開關在 t = 0 時關上，求 , 及之值。

1.電容器上的電壓為連續，即 v(0+) = v(0－)。

2.電容器上的電流可為不連續，例如本例題 i(0－) = 2A 但 i(0+) = 4A，即電流瞬間自 2A 變為 4A。

3.關上開關一段時間後，電容上的電壓因釋放能量到電阻而逐漸降至零，此即電容器的放電行為，此種特性在下一章將進一步分析。

4.電容器上的電壓達一穩定直流值時，其電流將為零。

( )1 0 14 Vv − = ( )2 0 6 Vv − =( )1 0v + ( )2 0v + ( )0i +

( ) ( ) ( )1 10 0 14 Vv v+ −= =

( ) ( ) ( )2 20 0 6 Vv v+ −= =

( ) ( )1

140 2 A

2 5i − = =

+

( ) ( )1

14 60 4 A

2i + −= =

4µF

+

−

+

−v1

t = 02 Ω

5 Ω1µF

i

v2


僅含電容器的奇異電路

• 僅含電容器的奇異電路(Singularity Circuits with Capacitors)：

雖然在大部分的情況中，電容器上的電壓具有連續性，但在一些特殊電路中，由於開關的強迫閉合，會使得電容器上的電壓有不連續性現象，此種電路一般稱為奇異電路。

V+−

C

t = 0


串聯電容器的等效電容

• 串聯電容器的等效電容

+−

i

+

−v CT

v

(b) 等效電路

+−

+

−

+

−v1

+

−v

(a) 串聯電容器

i

v2

vN

C1

C2

CN

且

若圖 (b)為圖 (a) 之等效電路，則1 2

1 1 1 1

T NC C C C= + + +⋯

( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Nv t v t v t v t= + + +⋯


並聯電容器的等效電容

• 並聯電容器的等效電容

若圖(b) 為圖(a)之等效電路，則 1 2T NC C C C= + + +⋯

i2

C2

i1

C1i

iN

CN

+

−v

(a) 並聯電容器

CT

+

−vi

(b) 等效電路


電感器之電感值

• 設磁通 f 通過每一匝線圈，則此 N 匝線圈所交鏈到的全部磁通量為 ϕ = N f

• 在一個線性電感器內， ϕ 與通過電感器之電流 i 成正比，即 ϕ = Li

• 其中比例常數 L 即為電感，其單位為韋伯 / 安培，一般簡稱為亨利 ( Henry，縮寫為 H )，因此 1 Wb/A即為 1 H。

電感器電流與磁通

f

N匝

i

i

+

v

−

ϕ = N f


電感器中電壓與電流的關係

• 法拉第電磁感應定律：只要 ϕ有變化，則會在線圈兩端感應出電壓即

• 電感器的電路符號如右圖所示，當電感器外接直流電流源時，則 vL = 0

因此一個理想的電感器對直流穩態而言，相當於短路。

• 藉由積分，可求出電感器在 t0至 t所產生的電流

其中為至所累積之電流，又故

電感器之電路符號

L

vL−+

i( )L

d Nfd div L

dt dt dt

φ= = =

( ) ( ) ( )0

0

1 t

ti t v t dt i t

L= +∫

( ) ( )1 ti t v t dt

L −∞= ∫

L

div L

dt=

( )0i t t = −∞ 0t t= ( ) 0i −∞ =


範例4

• 例4：圖 (a) 之電路，其電流源之波形如圖 (b) 所示，試求其電壓之波形。

v(t)波形如圖 (c) 所示i(t) 可表示成

可得

(a)

+

−i(t) 1 H v(t)

t −(t − 2)0 01

1 20t

(b)

i(t)

(c)−10 1 2

1

t

v(t)( ) ( )

0 , 0

,0 1

2 ,1 2

0 ,2

t

t ti t

t t

t

−∞ < < ≤ <= − − ≤ < ≤ < ∞

( ) ( )0 , 0

1 ,0 1

1 ,1 2

0 ,2

t

tdi tv t L

tdt

t

−∞ < < ≤ <= = − ≤ < ≤ < ∞


儲存於電感器的能量

• 儲存在電感器中的能量wL(t)：

依及

可得

因，所以

( ) ( )tw t vi dt

−∞= ∫

div L

dt=

( ) ( ) ( )212

t t t t

L

dvw t vi dt C idt L idi Li t

dt −∞−∞ −∞ −∞

= = = =

∫ ∫ ∫

( ) 0i −∞ = ( ) ( )212Lw t Li t=

( ) ( )212Cw t Cv t=

儲存在電容器中的能量wC(t)：


電感器電流之連續性 (範例5)

• 電感器中的電流具有連續性的特性，亦即是電感器中的電流，在正常情況下，其值不會瞬間改變。

• 例6：下圖電路中，已知 i1(0－) = 3 A，若開關在 t = 0 時打開，求 i2(0－) , i1(0+) , i2(0+) , v(0－) 及 v(0+) 。

此時由 KVL 可得

即電感器形同短路，所以

在 t = 0 之前 (t = 0+) 瞬間，電感器電流 i1為 3A ，所以

6 Ω+

−30V

t =02 Ω

+ −v6 Ω

1H i1

i2

( ) ( )1 10 0 3 Ai i+ −= =

L

div L

dt=

( ) ( )30 1 0 V

dv

dt− = =

( ) ( )30

0 6 A2 6 // 6

i − = =+

( ) ( ) ( )2 10 0 0 6 3 3 Ai i i− − −= − = − = ( ) ( ) ( )0 3 6 3 6 36 Vv + = − ⋅ + − ⋅ = −

( ) ( )2 10 0 3 Ai i+ += − = −


在開關打開之前的瞬間：

僅含電感器的奇異電路

• 和一些電容器組成的奇異電路相同，一些電感器組成的奇異電路中，亦會發生電流不連續性的情況。

I L

t = 0


串聯電感器與並聯電感器的等效電感

• 串聯電感器的等效電感

若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路，則比較

及

可得

+− LT

i

v+−v

LN

L2

L1

+

−vN

+

−v2

+

−v1

i

(a) 串聯電感器 (b) 等效電路

1 2 Nv v v v= + + +⋯ 1 2 N

di di diL L L

dt dt dt= + + +⋯ ( )1 2 N

diL L L

dt= + + + ⋅⋯ T

div L

dt=

( )1 2T NL L L L= + + +⋯


串聯電感器與並聯電感器的等效電感

• 並聯電感器的等效電感

欲使圖 (b) 與圖 (a) 為等效電路，則由

可得且

及

i L1 L2 LN

iN+

−v

i1 i2

(a) 並聯電感器

+

−v LTi

(b) 等效電路

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

1 0 2 0 01 2

1 1 1t t t

Nt t tN

i t vdt i t vdt i t vdt i tL L L

= + + + + + +∫ ∫ ∫⋯

( ) ( ) ( )0

1 0 2 0 01 2

1 1 1 t

NtN

vdt i t i t i tL L L

= − + + + + + + +

∫⋯ ⋯ ( ) ( )

00

1 t

tT

i t vdt i tL

= +∫

1 2

1 1 1 1

T NL L L L= + + +⋯ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Ni t i t i t i t= + + +⋯


本章總結

• 本章旨在讓同學了解到電容器與電感器乃儲能元件，並且電容器之電壓具有連續性而流經電感器的電流具有連續性。因此電路中若具有開關時，可利用電壓或電流的連續性質來得知開關前後一瞬間元件上之電壓或電流。

• 電容串聯：

• 電容並聯：

• 電感串聯：

• 電感並聯：


1 2

1 1 1 1

T NC C C C= + + +⋯

1 2T NC C C C= + + +⋯

( )1 2T NL L L L= + + +⋯

1 2

1 1 1 1

T NL L L L= + + +⋯