Формули по статистика за бизнис и економија

Статистика за бизнис и економија: ФОРМУЛИ

- 1 -

Дескриптивна анализа Sturges-ово правило

Nk log3,31+= k

xxi minmax −=

Релативна фреквенција

∑ i

i

ff

Аритметичка средина

N

xM

N

1ii∑

==

∑

∑

=

== k

1ii

i

k

1ii

f

xfM

Геометриска средина

NNx...xxMg ⋅⋅⋅= 21

N fk

ff kxxxMg ⋅⋅⋅= ...2121

Геометриска стапка

10011

1

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −N N

g yy

r

100−= gg Mr NNxxxMg ⋅⋅⋅= ...21

Хармониска средина

∑=

= k

1i i

h

x1

NM

∑

∑

=

== k

1i i

i

k

1ii

h

xf

fM

Медијана

if

fN

LMeMe

⋅−

+=∑ 1

12

Модус

iffff

ffLMo ⋅

−+−−

+=)()( 3212

121

Интервал на варијација

minmaxv xxi −=

Интерквартилна разлика 13 QQiq −=

Средно апсолутно отстапување

N

MxSO

N

1ii∑

=

−=

∑

∑

=

=

−= k

1ii

k

1iii

f

MxfSO

Варијанса

( )

N

MxN

1i

2i

2∑=

−=σ

∑

∑

=

=

−=σ k

1ii

k

1i

2ii

2

f

)Mx(f

Стандардна девијација

2σσ = Коефициент на варијација

100⋅σ

=M

Cv

Коефициент на интерквартилна варијација

13

13

QQQQ

CQ +−

=

Стандардизирано отстапување

σ−

=Mx

Z i

Коефициент на асиметрија

33

3 σ=α

M

∑

∑

=

=

−= n

ii

n

iii

f

MxfM

1

1

3

3

)(

Коефициент на сплоснатост

44

4 σ=α

M

∑

∑

=

=

−= n

ii

n

iii

f

MxfM

1

1

4

4

)(


- 2 -

Веројатност Класична веројатност

nnP A

A =)(

Статистичка веројатност

NNP A

A =)(

Условна веројатност

)()()\(

BPBAPBAP ∩

= , 0)B(P >

Бајсова теорема

∑=

= k

1iii

iii

)E(P)E\A(P

)E(P)E\A(P)A\E(P

Случајна променлива и распореди на веројатноста Функција на распоред

)()( xXPxF ≤= dx)x(f)x(Fx

∫ ∞−=

Очекувана вредност

∑=

=n

iii pxXE

1)( ∫

+∞

∞−= dxxxfXE )()(

Варијанса

∑=

−=n

1ii

2i

2x p)]X(Ex[σ

∫+∞

∞−−= dx)x(f)]X(Ex[ 2

i2xσ

Bernoulli-ев распоред ( ) pXE = ( )p1p2

x −=σ Биномен распоред

xnx )p1(p)xn

()x(P −−=

( ) npXE = )p1(np2x −=σ

npqpq −

=α3 npq

pq6134−

+=α

Хипергеометриски распоред

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

nN

xnN

xN

)xX(P

21

np)X(E = 1NnN)p1(npX −

−⋅−=σ

Poisson-ов распоред

!xe)xX(P

xλλ−==

Врска помеѓу биномните и Poisson-овите веројатности

!)()1(

xnpepp

xn xnp

xnx−

− ≈−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Униформен распоред

n1)xX(P ==

21n)X(E +

= 12

1n22x

−=σ

Нормален распоред

2

2

2)(

21)( σ

−−

πσ=

Mx

exf

03 =α 34 =α

∫ ∞−=≤=

xdxxfxXPxF )()()(

Стандардизиран нормален распоред

σ−

=MxZ

0=M 12 =σ 03 =α 34 =α

∫ ∞−=≤=

zdzzfzZPzF )()()(

)()()( zFzFzZzP −−=<<−


- 3 -

Студентов t-распоред

2)1(2

)1()

2(

)2

1()(

+−

+Γπ

+Γ

=n

nx

nn

n

xf

0=M 2

2

−=σ

nn

03 =α 4

634 −+=α

n

2χ распоред

( ))

2(2

)()2

exp(

2

22

22

2

υΓ

χ⋅χ

−=χ υ

−υ

f

ν=M νσ 22 =

ν=α

24

3 ν

+=α1234

Статистички примерок Прост случаен примерок (без повторување)

)!(!!

nNnN

nN

K−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Прост случаен примерок (со повторување)

nNK = Статистичкo оценување Интервал на доверба за M

x2

x2

zxMzx σσ αα +≤≤−

( )2

12/α

α −=zF nxσ

=σ

)1(1

22

−

−=σ∑=

nn

xnxn

ii

x )1n(n

xnfxn

1i

2i

2i

x −

−=∑=σ

Интервал на доверба за 0P

pp zpPzp σσ αα 2/02/ +≤≤−

nfp = ( )

212/

αα −=zF

1)1(

−−

=n

pppσ

Стратификуван примерок

xx zxMzx σσ αα 2/2/ +≤≤−

nxn

x ii∑= ∑= inn NN

nn ii =

( )2

12/α

α −=zF nn 2

iix

∑=

σσ

p2/0p2/ zpPzp σσ αα +≤≤−

npn

p ii∑= ( )2

12/α

α −=zF

∑∑ ⋅=−−

⋅= 22

2

2

2

1)1(

ipi

i

iiip n

nn

ppnn

σσ

Поправен (корективен) фактор

1−−

=′N

nNc

Оптимална големина на примерок

2

22/

2

2

zn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

εσα

xz σε α 2/2=

)1(2

22

2/2

22/

2

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

⋅⋅=

Nz

zNnεσ

σ

α

α

22/

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

εα pqzn

Оценување врз основа на мал примерок

x2/,1nx2/,1n StxMStx ⋅+≤≤⋅− −− αα

p2/,1n0p2/,1n StpPStp ⋅+≤≤⋅− −− αα


- 4 -

Тестирање на статистички хипотези Статистика на тестот

x

Mxzσ−

= xSMxt −

=

p

Ppz

σ0−

= pSPp

t 0−=

nPP oo

p)1( −

=σ

21

21

xx

xxz−

−=σ

21

21

xxSxxt

−

−=

2

22

1

21

21 nnxxσσ

σ +=−

)1()1( 22

222

222

11

211

211

21 −

−+

−

−= ∑∑

− nnxnxf

nnxnxf iiii

xxσ

21

21

pp

ppz−

−=

σ

21

21

ppSppt

−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=−

21

11)1(21 nn

ppppσ

21

21

21

2211

nnff

nnpnpnp

++

=++

=

Критична вредност

21)z(F

2

αα −=

( ) αα =zF ( ) αα −=− 1zF 1 p -вредност p -вредност= ( )[ ]zF12 −

p -вредност= ( )zF p -вредност= ( )zF1− Анализа на варијанса Анализа на варијанса со еден фактор

RAT SSS += ( ) )()1(1 rrnrrn −+−=−

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑= === =

−+−=−r

1i

n

1j

2ij

r

1i

2r

1i

n

1j

2ij xxxxnxx

∑∑= =

−=r

1i

n

1j

22ijT rn

SxS

rnS

n

SS

2

r

1i

2i

A −=∑= ATR SSS −=

1rS

V AA −=

rnrS

V RR −⋅=

R

A

VV

F = 21 ,; νναF

nV

QT Rrrn;r; −= α

Анализа на варијанса со два фактора

∑∑= =

−=r

1i

n

1j

22ijT rs

SxS

rsS

s

SS

2

r

1i

2i

A −=∑=

rsS

r

SS

2

s

1j

2j

B −=∑=

)SS(SS BATR +−=

1rSV A

A −=

1sSV B

B −=

)1s)(1r(S

V RR −−=

R

AA V

VF = R

BB V

VF =

( )( ) sV

QT R1s1r;r;A −−= α

( )( ) rV

QT R1s1r;s;B −−= α

Хи-квадрат тест Тест во облик на распоред

∑=

−=

r

1it

i

2tii2

f)ff(

χ

Тест на независност

∑∑= =

−=

r

1i

k

1jt

ij

2tijij2

f)ff(

χ


- 5 -

Проста праволиниска регресија и корелација Оценување

ixi0iY εββ ++=

i10' xbby +=

,iii yye −=

( )221xxn

yxxynb

∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= xbyb 10 −=

Мерки на репрезентативноста

( ) ( ) ( )∑∑∑ ′−+−′=− 2ii

2i

2i yyyyyy

( )2n

xybyby2nyy

S 1022

−

−−=

−

′−= ∑∑∑∑

∑∑

−

−⋅= 22

2221

2

ynyxnx

br

Тестирање

1b

1

Sbt =

∑ −=

22bxnx

SS1

11 b2n;2/11b2n;2/1 StbStb ⋅+≤≤⋅− −− αα β Предвидување

pp 'y2n;2/pp'y2n;2/p' St'y)y(ESty ⋅+≤≤⋅− −− αα

p'p xbby 10 +=

∑ −−

+= 22

21xnx)xx(

nsS p

y'p

pp y2n;2/ppy2n;2/p St'yYSt'y ⋅+≤≤⋅− −− αα

∑ −

−++= 22

2p

y xnx)xx(

n11sS

p

Корелација

( ) ( )2222 yynxxn

yxxynr

∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑

−⋅−

−=

rSrt =

2nr1S

2

r −−

=

Повеќекратна праволиниска регресија и корелација Оценување

ii xxY ε+β+β+β= 22110

22110'i xbxbby ++=

yydxxdxxd

y

222

111

−=−=−=

( )

( )22122

21

y121y221

2

221

22

21

y221y122

1

dddd

dddddddb

dddd

dddddddb

∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑

∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑

−

−=

−

−=

22110 xbxbyb −−= Мерки на репрезентативноста

3nddbddbd

3n)'yy(

s y22y112y

2ii

−

−−=

−

−= ∑∑∑∑

∑∑∑ +

= 2y

y22y112

dddbddb

R

)R1()1k(n

1n1R 22 −+−

−−=

Тестирање

1b

11 S

bt = 2b

22 S

bt =

( )22122

21

22

bdddd

dsS

1 ∑∑∑∑

−=

( )22122

21

21

2 ∑∑∑∑

−=

dddd

dsSb

Предвидување

sty)y(Esty 3n;2/'pp3n;2/

'p ⋅+≤≤⋅− −− αα

p22p11o'p xbxbby ++=


- 6 -

Корелација

∑∑ ∑+

= 2y

y22y11

dddbddb

R

)r1()r1(

rrrr

2xx

2yx

xxyxyxxyx

jij

jiji

ji−−

⋅−=⋅

Непараметарски методи Вилксонов тест на рангот со знаци

Hii MXd −=

∑=

++ =n

iiRW

1

41)n(nM W

+=+

24121 )n)(n(n

W

++=+σ

+

+−=

+

W

WMWZ

σ

Тест во облик на збир на рангови

21)n(nWW БA

+=+

12)1n(nn

2)1n(nW

Z21

1A

+

+−

=

Тест со знаци

2n2nSMSZ

−=

−=

σ

Спирманов коефициент на корелација

)n(n

dr

n

ii

s 1

61 2

1

2

−−=

∑=

Индексни бројки Индивидуални индекси

100yy

Ib

ib,i ⋅= 100

1

⋅=−i

iv,i y

yI

Групни индекси

100pqpq

I00

01q ⋅=∑∑ 100

00

000

1

⋅=∑∑

pq

pqqq

I q

100pqpq

I10

11q ⋅=∑∑ 100

111

0

11 ⋅=

∑∑

pqqq

pqI q

[ ][ ] 100

)pp(q)pp(q

I100

101q ⋅

+

+=∑∑

∑∑

∑∑ ⋅=

10

11

00

01q pq

pqpqpq

I

100qpqp

I00

01p ⋅=∑∑ 100

pq

pqpp

I00

000

1

p ∑∑

=

100qpqp

I10

11p ⋅=∑∑ 100

pqpp

pqI

111

0

11p

∑∑=

[ ][ ] 100

)qq(p)qq(p

I100

101p ⋅

+

+=∑∑

∑∑

∑∑ ⋅=

10

11

00

01p qp

qpqpqp

I

100pqpq

I00

11pq ⋅=

∑∑


- 7 -

Анализа на временски серии RSCTY ⋅⋅⋅=

Праволиниски тренд

it bxay +=

yn

ya == ∑

∑∑= 2x

xyb

2n)yy(

S2

tiyt −

−= ∑

yt2n;2

t*

iyt2n;2

t StyySty ⋅+<<⋅−−−

αα

Параболичен тренд

2t cxbxay ++=

nxcy

a2∑∑ −

= ∑∑= 2x

xyb

224

22

)x(xnxyyxn

c∑∑∑∑∑

−

−=

3n)yy(

S2

t

−

−= ∑

yt3n;2

tiyt3n;2

t StyySty ⋅+≤≤⋅−−

∗

−αα

Експоненцијален тренд

xt bay ⋅=

nylog

alog ∑= ∑∑= 2x

ylogxblog

100)1b(re ⋅−= Модифициран експоненцијален тренд

xt abky +=

12

23

yyyy

br

−−

= 1

12

−−

= rbyy

a ayk −= 1

Метод на однос спрема општиот месечен (квартален) просек

12y

y i∑= 4

yy i∑=

Циклична компонента

100yy)RC(

t

⋅=⋅

)!d()dd)(dn(

f td 3

1322 2

+++−−

=

12)3n(5f t

1−

= 60

)4n(11f t2

−=

6021n4f t

повеќеи 3−

=

Формули по статистика за бизнис и економија

Documents