الفصل الثالث البرمجة الخطية بإستخدام إكسل

مهارات االداره فى االحصاء وبحوث العمليات البرمجه الخطيه بأستخدام االآسيل: الثالثالفصل

71

الثالثالفصل

بأستخدام االآسيلالبرمجــة الخطيــة

Linear Programming with Excel

قسم االحصاء والرياضه-مدحت عبدالعال. د.أ جامعة عين شمس–ه آلية التجار

البرمجــة الخطيــة بأستخدام االآسيل

Linear Programming with Excel :مقدمــــة

Mathematical Programming modelsيعتبر أسلوب البرمجة الخطية أحد نماذج البرمجة الرياضية

من الموارد لمجموعة معلومة من األنشطة وذلك تحقيقًا أخذ فى االعتبار آيفية توظيف مجموعة محددةوالذى ي

لهدف ما مثل تعظيم األرباح أو تخفيض التكاليف وأن األمثلة العملية الستخدام أسلوب البرمجة الخطية آثيرة

الواجب إنتاجها من آل سلعة أو ما منها على سبيل المثال مشكلة تخطيط اإلنتاج ومشكلة تحديد عدد الوحدات

تسمى بتوليفة اإلنتاج أو مشاآل المخزون ونجد أن أهم وأول خطوة نحو استخدام أسلوب البرمجة الخطية هى

بناء النموذج الرياضى الذى يعبر عن المشكلة محل الدراسة أو صياغة المشكلة فى صورة مجموعة من

. حلهاالمعادالت والمتباينات حتى يسهل بعد ذلك

:بناء النموذج الرياضىدعنا نستعرض بعض األمثلة لشرح آيفية بناء النموذج الرياضى أو تصميم برنامج خطى والذى يمكن تطبيق

. أسلوب البرمجة الخطية علية

:مثـال )1(المطلوب لكل ) بالدقائق(وآان الوقت شرآة ما تقوم بإنتاج ثالثة سلع وذلك من خالل ثالث مراحل صناعية

:ة فى آل مرحله والوقت المتاح يوميًا لكل مرحلة بالدقائق باإلضافة إلى ربح الوحدة موضحًا بالجدول اآلتىوحد

المرحلة الوقت المتاح )دقيقة(الوقت الالزم للوحدة يوميا المنتج الثالث المنتج الثانى المنتج األول

430 1 2 1األولى 460 2 صفر 3 الثانية 420 صفر 4 1 الثالثة

جنيه5 جنيه2 جنيه3 ربح الوحدة .وآان المطلوب صياغة هذه المشكلة فى صورة برنامج خطى لتعظيم أرباح هذه الشرآة

:الحــلوالتى تحقق أعظم ) عدد الوحدات الواجب إنتاجها من آل منتج(إن هذه المشكلة تتلخص فى تحديد توليفة اإلنتاج

.نتاجية المتاحة للمراحل اإلنتاجيةربح ممكن للشرآة فى حدود الطاقة اإل

:افترض أن

X1 ⇐ تمثل عدد الوحدات من المنتج األول.

X2 ⇐ تمثل عدد الوحدات من المنتج الثانى.

72


73

X3 ⇐ تمثل عدد الوحدات من المنتج الثالث.

الشرآة من الثالث منتجات هو مجموع حاصل ضرب ربح الوحدة فى عدد الوحدات وبالتالى فأن إجمالى أرباح

:المنتجة من الثالث منتجات، والتى يمكن صياغتها رياضيا آما يلى

Total profit= 32 1 0 5 2 3 ΧΧΧΧ ++=

. تمثل الربح الكلىX0حيث أن

إلنتاجية وهى أن الوقت المتاح يوميًا على المراحل اConstraintsيالحظ فى هذه المشكلة أن هناك قيود

دقيقة وهذا يعنى أن وقت التشغيل 420 دقيقة وللمرحلة الثالثة 460 دقيقة وللمرحلة الثانية 430للمرحلة األولى

لهذه المراحل ال يمكن أن يتجاوز هذا الوقت وبالتالى فأن الوقت المستغل يجب أن يكون مساويًا للطاقة القصوى

لتعبير عن هذه القيود المفروضة على المراحل اإلنتاجية فأن الطاقة المتاحة لكل مرحلة تمثل قيد، ل. أو أقل منه

ففى المرحلة األولى آان الوقت الالزم لكل وحدة من المنتجات الثالثة على الترتيب دقيقة، ثالثة دقائق ودقيقة،

إن هذه المتباينة تمثل عدد الدقائق المطلوبة لكل منتج مضروبة فى عدد ا

:ا يلىوبالتالى فأن القيد الذى يعبر عن المرحلة األولى يمكن صياغته آم

لوحدات المنتجة وبالطبع فإن إجمالى 430 3 321 ≤++ ΧΧΧ

الوقت المطلوب إلنتاج عدد معين من المنتجات الثالثة يجب أن يكون أقل من أو يساوى الطاقة القصوى لهذه

ن المرحلة الثانية والقيد الذى يعبر عن المرحلة الثالثة يمكن وبناًء على ما تقدم فإن القيد الذى يعبرع. المرحلة

آما يلى صياغتهما

420 0 4 460 2 0 3

321

32 1

≤++

≤++

ΧΧΧΧΧΧ

اإلنتاج وهنا يكون عدد الوحدات وألن أى مصنع أو شرآة يمكنها أن تنتج عدد ما من المنتجات أو تتوقف

:وبالتالى يمكن صياغة النموذج الرياضى للتعبير عن هذه المشكلة آما يلى

O

عن

وب آخر أن عدد الوحدات المنتجة يجب أن تكون المنتجة صفر فأنه اليمكن إنتاج عدد وحدات سالبة أو بأسل

موجب أو أصفار وال يمكن أن تكون عدد الوحدات المنتجة سالبة وهذا ما يسمى بقيد عدم السلبية

Non-negativity Constraint وهذا القيد يجب إضافته للبرنامج الخطى وذلك ألنه فى الحياة العملية عندما

البرمجة الخطية تكون المشكلة آبيرة ويتم حلها عن طريق الكمبيوتر فيجب إضافة هذا القيد حتى نستخدم أسلوب

. ال نضيع وقت الكمبيوتر فى البحث عن حلول قيمتها سالبة وهى ال تعنى شيء بالنسبة لنا فى الحياة العملية

: يلىويمكن صياغة قيود عدم السلبية للثالث منتجات آما

ZeroZeroZero

3

2

1

≥

≥

≥

ΧΧΧ

bjective Function دالة الهدف تعظيم األرباح


74

Maximize

32 5 210 3 ΧΧΧ Χ+

حيث أن القيود هى

Zero , , 420 0 4 460 2 0 3

3 21

321

3 21

≥

≤++

≤++

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ

حل مشكلة البرمجة الخطية

م األرباح أو تخفيض التكاليف أو أن الهدف من التعبير عن مشكلة

)طريقة السمبلكس(

+=

Subject to

430 2 321 ≤++ ΧΧΧ

ما فى صورة برنامج خطى قد يكون تعظي

:الخطية هماوهناك طريقتان لحل مشكلة البرمجة تخفيض الوقت الالزم إلتمام عملية ما،

الحل البيانى -1

الحل الجبرى -2

:الحل البيانى للبرامج الخطية -1فقط ليس أآثر من ذلك حتى يمكن ب أن يكون عدد المتغيرات اثنان

:برامج الخطية بيانيًا

.لى المحور الرأسى

األفقى والنقطة الثانية على

حصل على اإلحداثى الخاص

اثى الخاص محو•

•

Feasible تحديد منطقة الحلول الممكنة بعد- 3

أن الحل البيانى لمشكلة البرمجة الخطية يتطل

.تمثيلهما على المحورين األفقى والرأسى

شكلة ال ويمكن اتباع الخطوات التالية لحل م

يتم تمثيل المتغير األول على المحور األفقى والمتغير الثانى ع-1

يتم التعبير عن آل قيد بخط مستقيم يمر خالل نقطتين، النقطة األولى على المحور -2

:طتين على ثالث خطوات همالمحور الرأسى، ويمكن الحصول على هاتين النق

يساوى صفر فن) ممثال للمحور الرأسى(نفترض أن المتغير الثانى •

. ويتم تحديد موقعها على المحور األفقى)X,0(بالمتغير األول وتصبح النقطة هى

ر األفقى(نفترض أن المتغير األول حصل على اإلحديساوى صفر فن) ممثال لل

. ويتم تحديد موقعها على المحور الرأسى(Y,0)بالمتغير الثانى وتصبح النقطة

.يتم توصيل هاتين النقطتين بخط مستقيم معبرًا عن القيد

يتم) فيما عدا قيود عدم السلبية( التعبير بيانيًا عن جميع القيود

Solution Space . ومنطقة الحلول الممكنة هى منطقة ينطبق عليها جميع القيود أو بمعنى آخر يتحقق

فإن منطقة الحلول تقع أسفل المستقيمات المعبرة " أصغر من"فيها جميع القيود ويالحظ أنه إذا آانت القيود

قة الحلول الممكنة تقع أعلى أما إذا آانت القيود أآبر من فإن منط.عن القيود وفى اتجاه نقطة األصل

.المستقيمات المعبرة عن القيود وفى اتجاه معاآس لنقطة األصل


75

ي- 4

.ض

ه بيانيًا بخط مستقيم يوازى المحور

تحقق أعلى قيمة إذا آانت المشكلة تم اختبار نقاط منطقة الحلول الممكنة مع دالة الهدف واختيار النقطة التى

تعظيم واختيار النقطة التى تحقق أقل قيمة إذا آانت المشكلة تخفي

فإذا آان القيد . إذا احتوى قيد على متغير واحد فيمكن التعبير عنه بخط مستقيم رأسيًا أو أفقيًا حسب المتغير _ 5

فقط فيتم تمثيل) الذى يمثل المحور األفقى(يحتوى على المتغير األول

فيتم تمثيله بيانيًا ) الذى يمثل المحور الرأسى(فقط أما إذا آان القيد يحتوى على المتغير الثانى . الرأسى

وبصورة عامة فإن القيد الذى يحتوى على متغير واحد يتم تمثيله بيانيا . بخط مستقيم يوازى المحور األفقى

.بخط مستقيم موازيًا للمحور اآلخر

:مثــال )2(رحلتين صناعيتين فإذا آان الجدول ان آل منتج يجب أن يمر على م1، 2 وآX Xشرآة ما تقوم بإنتاج منتجين

الالزم لكل منتج فى آل مرحلة بالدقائق وآذلك الطاقة القصوى لكل مرحلة ى يوضح الوقت .اآلت

الطاقة القصوىX2المنتج X1المنتج المرحلة اإلنتاجية 180 2 مرحلة أولى 150 2 3 مرحلة ثانية

ن جنية المطلوب حل هذه 6 تX2ر الوحدة من جنية و50وى X1فإذا علمت أن

من آل منتج لتعظيم أرباح لوحدات الواجب رمجة الخطية بيانيًا لتحديد المشكلة باست

0ساوى بح تسا ربح الوحدة م

إنتاجها عدد ا خدام أسلوب الب

.الشرآة

:الحــل : غة هذه المشكلة فى صورة برنامج خطى آما يلىيمكن صيا

Maximize X0 = 50X1 + 60X2

Subject To

2X1 + 3X2 ≤ 180

3X1 + 2X2 ≤ 150

.سى1لحل هذه المشكلة بيانيًا يتم تمثيل المنتج •

.يد إحداثيات القيد األوليتم تحد •

األولى نفت

0)

X1, X2 ≥ 0

X على المحور األفقى والمنتج X2على المحور الرأ

بهذا تصبح النقطة2 على 180 تساوى ناتج قسمة X1 تساوى صفر وبالتالى تصبح X2رض أن

(90,.

بهذا تصبح النقطة الثانية 3 على 180 تساوى ناتج قسمة X2 تساوى صفر وبالتالى تصبح X1 نفترض أن

(0,60) .


76

. تساوى صفرX2 عندما تكون X1 تساوى صفر ثم حساب قيمة X1تكون

ى للحصول على النقطتين الذين يمثالن القيد األول حيث يتم حساب قيمة وبصورة أسهل يتم تصميم الجدول اآلت

X2 عندما

90 0 X1

0 60 X2

Second point First point

:القيد الثانى

X 50 0 1

0 75 X2

:التمثيل البيانى

هى منطقة الحلول الممكنة حيث أنOABCمنطقة نجد أن ال) 1(من الرسم رقم

X1 = 0 , X2 = 0 إحداثياتهــا O النقطة

X1 = 0 , X2 = 60 إحداثياتهــا A النقطة

8

هى X0 2 وحيث أن دالة

فى دالة يتم الت عويض ب

X0 = 50(0) + 60(0) = 0 النقطة(O)

X0 = 50(0) + 60(60) = 3600 النقطة(A)

X1 = 18 , X2 = 4 إحداثياتهــا B النقطة

X1 = 50 , X2 = 0 إحداثياتهــا C النقطة

+ X1 50 = الهدف 60X

كل نقطة :الهدف آما يلى


77

(B)النقطة 3780 = 2880 + 900

X0 = 50(50) + 60(0) = 2500 النقطة)C(

تحقق أعلى ربح ممكن Bألرباح فإن النقطة و تعظيم ا

2 وحدة من ال48 وإنتاج X1ج األول

:

X0 = 50(18) + 60(48) =

وهذا يعنى أنه يجب على الشرآة إنتاج وحيث أن الهدف ه

.Xمنتج الثانى وحدة من المنت18

مثـال )3( آيلو جرام ويستخدم فى صنعها مادتين 150افترض أن إحدى الشرآات تنتج إحدى السلع التى يجب أن تزن

للوحدة وإلنتاج وحدة واحدة من المنتج النهائى 8 تكلفتها X2 جنية للوحدة والمادة 2فتها جنية

Xفإذ ا علمت أن آل وحدة من . على األقلX وحدة من 14 على األآثر وX وحدة من 20فال

2

تكلX1خام، المادة

بد من استخدام

121

الواجب استخدامها من الخامتين المشكلة ماهى الكمية . آيلو جرام10 تزن X آيلو جرام وآل وحدة من 5تزن

.لكل وحدة من المنتج النهائى لتخفيض التكاليف إلى أدنى حد

:الحـــل : يمكن صياغة المشكلة فى شكل برنامج خطى آما يلى

: القيود هىMinimize X0 = 2 X1 + 8 X2 هو تخفيض التكاليف

: عنه رياضيا آما يلى لو جرام ويمكن التعبير آي150القيد األول يعبر عن الوزن النهائى للمنتج وهو

5 X1 + 10 X2 = 150

وحدة على األآثر، 20 وهى

. وحدة14

14X ≥

:يمكن صياغة البرنامج الخطى آما يلى

Min X0 = 2 X1 + 8 X2

Subject to

5 X + 10 X2 = 150

1 20

X2 14

الهدف

X1القيد الثانى يعبر عن عدد الوحدات الواجب استخدامها من المادة

. وحدة20وهذا يعنى أن الكمية المستخدمة يجب أن تكون أقل من أو تساوى

20X ≤ 1

وحدة على األقل، وهذا 14 وهى x2القيد الثالث يعبر عن عدد الوحدات الواجب استخدامها من المادة

يجب أن تكون أآثر من أو تساوى يعنى أن الكمية المستخدمة من هذه المادة

2

قيود عدم السلبية وهى

0X,X 21 ≥

1

X ≤

≥


X1 , X2 ≥ 0

78

: يلىيتم تحديد إحداثيات آل قيد آما

142 ≥X 20X1 ≤ 150105 21 Χ+ =Χ

0 0 X120 0 X130 0 1X

0 14X20 0 X20 15 X2

من الرسم نجد أن منطقة الحلول الممكنة هى المنطقة المظللة والنقاط التى يمكن اختبارها مع دالة الهدف هى

.Cة والنقطB والنقطة Aالنقطة

X1 = 0 , X2 = 15 إحداثياتهــاAالنقطة

X1 = 20 , X2 = 14

X

X

X

تكلفة ممكنة وهى تعنى أنه ف إلى

وحدة من المادة الخام 14 دام و

X1 = 2 , X2 = 14 إحداثياتهــاBالنقطة

إحداثياتهــاCالنقطة

Min X0 = 2 X1 + 8 X2 وحيث أن دالة الهدف هى

A 0 = 2 (0) + 8 (15) = 120عند النقطة

B 0 = 2 (2) + 8 (14) = 116عند النقطة

C 0 = 2 (20) + 8 (14) = 152عند النقطة

أدنى حد، فإن النقطة تحقق أقل Bوحيث أن دالة الهدف هى تصغير التكالي

واستخدامX1حدتان من المادة الخام لتصغير التكاليف إلى أدنى حد يجب استخ

X2


حل مشكلة البرمجة الخطية باستخدام أسلوب السمبلكس :يتم تحويل جميع المتباينات إلى معادالت وذلك على النحو التالى -1

79

عد يعبر عن الطاقة العاطلة يتم إضافة متغير مسا" ≥ أصغر من أو يساوى"إذا آان القيد متباينة •

Slack Variable حيث يتم إضافة متغير لكل قيد وعدد المتغيرات يساوى عدد القيود وربح آل

.متغير مساعد فى دالة الهدف يساوى صفر

سالب Surplus Variableيضاف إليه متغير زائد " ≤أآبر من أو يساوى"إذا آان القيد متباينة •

Artificialثم يضاف إليه متغير صناعى . شارة وعدد المتغيرات الزائدة يساوى عدد القيوداإل

Variable بعدد المتباينات وربحه فى دالة الهدف رقم آبير جدًا هو "M- " وتعتبر المتغيرات

.الصناعية هى المتغيرات األساسية فى جدول الحل األول

:دة أعمدة هىيتم تكوين جدول الحل األول ويتكون من ع -2

وهى جميع المتغيرات Basic Variables (BV)العمود األول ويسمى عمود المتغيرات األساسية •

.الوهمية التى تم إضافتها إلى المتباينات

ونضع فيه أرباح المتغيرات الوهمية Ciالعمود الثانى يسمى عمود الربح ويرمز له بالرمز •

. نبدأ بها الحلوالتى) متغيرات صناعية-متغيرات مساعدة(

آل عمود يمثل متغير سواء آان متغير أساسى أو متغير وهمى ...... األعمدة من الثالث،الرابع •

.بالترتيب

ويحتوى هذا العمود على ثوابت المعادالتConstantsعمود الثوابت •

. وهو العمود األخيرRatioعمود النسبة •

متغير نضع معامل المتغير فى دالة الهدف الصف األول يحتوى على أسماء المتغيرات وأسفل آل •

(Ci) وهذا الصف يسمى

.نضع معامالت المتغيرات آل معامل فى مكانة -3

وذلك لكل متغير من متغيرات الجدول حيث يتم ضرب معامالت آل متغير من عمود الربح Ziيتم حساب -4

.ويوضع الناتج أسفل الجدول) العمود األول(

. من معامالت المتغيرات فى دالة الهدفZiج طرح صف وهو نات(Ci-Zi)يتم حساب صف -5

وهو يعنى دخول (Ci-Zi) وهو صاحب أآبر رقم سالب من صف Pivot Columnنحدد العمود الرئيسى -6

.Entering Variableمتغير هذا العمود الحل ويسمى المتغير الداخل

عمود النسبة يمكن . النسبة وهو صاحب أصغر رقم موجب فى عمود Pivot Rowنحدد الصف الرئيسى -7

: حسابه آما يلى


ColumnvotttanCons

PiRatio =

ر الخارج من شمل المتغي سى ي ود الرئي عم

م الحل وي

يتم إح -8

الصف الرئي

معادلة

سى، ود الرئي ى العم وال عمود النسبة يساوى عمود الثوابت مقسومًا عل

ى المتغير الخارج Leaving Variableس

متغير العمود الرئيسى يدخل الحل طاردًا متغير الل العمود الرئيسى محل الصف الرئيسى أى أن

:سى وذلك باستخدام المعادلة اآلتية

:تعديل الصف الرئيسى

تقاطع الصف الرئيسى مع (رقم المحور ÷ عناصر الصف الرئيسى القديم = صف الرئيسى الجديد

)سى

ld Pivot row ÷ Pivot number

عناصر ال

العمود الرئي

Modification of main Now = O

: معادلة تعديل باقى الصفوف

ع =

هذا ال

) ⎟⎜⎟⎜⎜⎝

−=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ C

Row Old Row New

*

و -9 يتم

الحل .حتى نصل إلى الحل األمثل) 8-6( ونكرر الخطوات (Ci-Zi) ثم صف Ziالصف الرئي حساب

األمثل ي

م4(

اطع × عناصر الصف الرئيسى الجديد -) صف غير رئيسى(ناصر أى صف قديم ع فى تق ذى يق رقم ال ال

صف مع العمود الرئيسى

( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎛⎞⎛Row

pivot newtoefficien

column Pivot onModificati

ين الجدول التالى حيث أن المتغير الذى ظهر فى العمود الرئي سى يحل محل المتغير الذى ظهر فى تك

سى ثم نعيد

. قيما سالبه أو أصفار(Ci-Zi)تحدد بالحصول على جميع قيم صف

:ثـال )

المطلوب : الخطى التالىاستخدام طريقة السمبلكس إليجاد الحل األمثل للبرنامج

Max

321

≤++

≤++

ΧΧΧΧΧΧ

3 21o X X 9 X X ++=

Subject to

0,,321

≥ΧΧΧ15223

932

321

:الحــلود ع القي ث أن جمي ساوى "حي ن أو ي غر م ى مع" أص ا إل تم تحويله ساعد في ر م افة متغي Slack ادالت بإض

Variable،وبهذا تصبح القيود آما يلى موجب اإلشارة لكل قيد:

9 S32 1321 =+++ ΧΧΧ

80


81

15S 223 2321 =+++ ΧΧΧ

دف، ة اله ى دال ساعدة أصفار ف رات الم اح المتغي صورة ونالحظ أن أرب ى ال صبح ف ة الهدف ت أن دال الى ف وبالت

:التالية

213210 S0S09 ++++= ΧΧΧΧ

رات ار أن المتغي ساعدة وبناء ًا عليه فأن جدول الحل األول يمكن أن يأخذ الصورة التالية مع األخذ فى االعتب الم

:هى التى نبدأ بها الحل األول

Iteration 1 S2S1X3X2X1 Ratio Constant CiB.V 0 0 1 9 1

4.59 0132 10 S1

7.5 15 1022 30 S2 0 0 0 1 9 1 Ci - Zi

: نالحظ ما يلى1من الجدول رقم

لمتغيرات األساسية والتى نبدأ بها S2 , S1لمتغيرات التى تم إضافتها إلى القيود وهىا جدول الحل األول هى ا •

. وأرباحها أصفار

اح فى تم حسابه لكل عمود على حده وهو مجموع حاصل ضرب قيم عمود المتغير Ziصف • ود األرب i عم

وتم تظليل (Ci - Zi) وهو صاحب أآبر رقم سالب فى صف Pivot Column الرئيسى •

. هذا العمود

وهو Ratio من عمود النسبة

. وتم تظليل هذا الصفS1صف

الرقم داخل (الرقم الذى يقع فى تقاطع الصف الرئيسى مع العمود الرئيسى رقم المحور هو •

.2يساوى

سى الجديد ويالحظ أن • يتم تعديل الصف الرئيسى القديم لنحصل على الصف

X2 وبعد التعديل سوف يصبح S1ئيسى القديم هو

New main row = old main row ÷ Pivot element

C

: تم حسابها آما يلىXi المقابلة للمتغير Ziوعلى سبيل المثال قيمة

Z1 =1 (0) + 3 (0) = 0 + 0 = 0

.اقى المتغيرات آل متغير على حدةوهكذا لب

تم تحديد العمود

وهو صاحب أصغر نسبة موجبةPivot Rowتم تحديد الصف الرئيسى •

وهو هنا ) مربع

المتغير األساسى فى الرئي

الصف الر

New main row =


82

2/121

=÷==÷==÷=

=÷=

مع مالحظة أن رقم تقاطع هذا الصف مع العمود الرئيسى S2رئيسى وهو صف •

: وذلك على النحو التالى(2)يساوى

New other row = old row - new main row * Pivot element of this row 3 −=

12*01

1*)2/01)2/2

022

=−=−=−=−=−=

=−=

Table 2 Final tableau

5.429020

2/1212/323

122=÷==÷=

يتم تعديل الصف الغير

22*)2/1( =

22*

1(3(*1

62*5.415 =−=

S2S1X3X2X1 Ratio Constant 0 0 1

C9 1

i B.V

4.5 0 0.5 1.5 1 0.5 9 X2

0 2 0 S2 6 1 -1 -1 40.5 0 -4.5 -12.5 0 -3.5 Zi 0 0 4.5 13.5 9 4.5 Ci - Zi

جميع عناصره أصفار أو أرقام سالبة فهذا يعنى الوصول إلى الحل األمثل ويمكن (Ci - Zi)وحيث أن صف

:دول آما يلىتفسير هذا الج

رار ى فال نعيره ر الق ى متغي وى عل ل يحت أى اهتمام وهذا يعنى أن الحل األمث

ة الثابت X2د الثوابت يمكن التعرف على قيمة متغير القرار الذى دخل الحل ففى صف نجد أن قيم

.40.5صى قيمة ممكنة لدالة الهدف وهى

ويمكن تلخيص النتائج التى حصلنا عليها آما

0

32

=

من عمود المتغيرات األساسية يمكن التعرف على المتغيرات التى دخلت الحل ونجد فى هذا العمود متغيرين •

S2 , X2 وحيث أن S2متغير وهم

X2 فقط وأن متغيرات القرار األخرى X3 , X1ال تدخل الحل .

من عمو •

. 4.5 تساوى X2 وهذا يعنى أنه يجب أن تكون قيمة 4.5

وعمود الثوابت يمكن التعرف على أق(Ci-Zi)من صف •

:يلى

5.40 05.401 ==

XMaxXX

=X


83

Excel بأستخدام برنامج أآسيل حل مشاآل البرمجه الخطيه

:مثال )5( أن النموذج الخطى الذى تم استخدامه هو . امج االآسيلدعنا نحاول حل المشكله السابقه بأستخدام برن

Max

321 ≤++ ΧΧΧ

: فى صورة ثالث جداول هىExcel فى برنامج Spreadsheetيتم إدخال بيانات هذه المشكلة فى ورقة عمل

The Input tableجدول المدخالت

tارجدول القر bl

The computation and output tableجدول الحسابات والمخرجات

جدول المدخالتففى

321 X X 9 X Xo ++=

Subject to

0,,

15223 321

≥

≤++

ΧΧΧΧΧΧ

932

321

The decision a e

ار، ويالحظ فى هذا الجدول أنه اليحتوى يتم إدخال القيم

الت أو

جدول القرارأما فى

التى يمكن استخدامها ألتخاذ القر

على أى معاد .حسابات

األيمن الق أى معادالت مثل جدول فيتم وضع الطر الجدول اليحتوى يود و

.المدخالت

رجات أما جدول الحسابات

على ف من هذا

ستخدمة والمخ لكنه يحتوى فق المعادال يحتو أى

:رقة عمل

ت الم ط على بيانات و ى على فهو ال

.لتحديد تشكيلة المنتجات التى تحقق أعظم ربح ممكن

خطوات إدخال البيانات فى و

"المتغيراتالعنوان

.على الترتيب X1, X2, X3المتغيرات وهى

"الثوابت أو الطرف االيمن من القيود"يتم آتابة E5 فى الخليه .7

. الترتيب يتم ادخال معامالت المتغيرات فى القيود االول ثم الثانى علىB6:D7فى الخاليا .8

. يتم ادخال معامالت دالة الهدف لكل متغير على حدىB8:D8فى الخاليا .9

1. .Spreadsheet1 واختيار ورقة العمل األولى Excel يتم تحميل برنامج أآسيل

2. A2 باستخدام برنامج 1حل مشكلة البرمجه الخطيه رقم " يتم إدخال عنوان المشكلةفى الخلية

."االآسيل

A4 "جدول المدخالت" الجدول فى الخلية يتم إدخال عنوان .3

المنتجات أو "يتم آتابة A5 فى الخاليه .4

.يتم آتابة عنوان آل قيد وآذلك دالة الهدف A6:A8اليافى الخ .5

ماء سيتم ادخال ا B5:D5 فى الخاليا .6


84

فأن جدول فى .10

: سوف يأخذ الشكل التالى

وبهذا. يتم ادخال الثوابت أو الطرف االيمن لكل قيد على الترتيبE6:E7الخاليا

المدخالت A B C D E

1

آسيل 2

حل مشكلة البرمجه الخطيه

م برنامج اال باستخدا1رقم

3

جدول المدخالت 4

المنتجات أو المتغيرات 5 X1 X2 X3 الثوابت أو الطرف االيمن من القيود

القيد االول 6 1 2 3 9

7 القيد الثانى 3 2 2 15

8 دالة الهدف 1 9 1

وذلك على سبيل اProblem1.xls يتم حفظ الملف بأسم .11

X1 فى الخاليا وذلكB11:D11 حيث يتم ادخال القيمه صفر لكل متغير وهذة

.لمثال

وهو يحتوى على الكميات التى يجب إتخاذ قرار بإنتاجها من ) الجدول الثانى(ل القرار يتم تصميم جدو .12

X2, X3 , اتجالمنت

.القيم تعتبر قيم مبدئيه للحل وسوف يتم تغيرها فيما بعدD A B C

جدول القرار 11

ت أو المتغيراتالمنتجا 12 X1 X2 X3

عدد الوحدات الواجب انتاجها 13 0 0 0

، ويالحظ أن جميع خاليا هذا الجدول تحتوى على معادالتمخرجاتجدول الحسابات واليتم تصميم .13

تم وضع الرقم صفر Formulas لحساب تشكيلة المنتجات التى تحقق أعظم ربح ممكن، ويالحظ أنه

مبدئى لبداية الحل ويمكن وضع أى رقم أخر آما سيتضح الهدف من ذلك آرقم B13:D13فى الخاليا

:فيما بعد A B C D E

جدول الحسابات والمخرجات 15

القيد االول 16 =B13*B6 =C13*C6 =D13*D6 =SUM(B16:D16)

القيد الثانى 17 =B13*B7 =C13*C7 =D13*D7 =SUM(B17:D17)

اجمالى الربح 18 =B13*B8 =C13*C8 =D13*D8 =SUM(B18:D18)

مهارات االداره فى االحصاء وبحوث العمليات البرمجه الخطيه بأستخدام االآسيل: الثالثالفصل B13*B6= المعادله B16سنجد فى هذا الجدول فى الخليه •

85

فى احتياجات هذا المنتج من B13 والموجوده فى الخليه X1الول

B6 موجوده فى الخليهالقيد االول

وهذة المعادله تحسب ناتج ضر C13*C6=لمعادلC16 هذا الجدول فى الخليهسنجد فى •

المنتج من والموجوده فى الخل X2 الثانىالوحدات الواجب انتاجها من المنتج

.C6 والموجوده فى الخليه القيد االول

ناتج ضرب D13*D6=لمعادلD16سنجد فى هذا الجدول فى الخليه • وهذة ال

تياجات هذا المنتج الموجوده ف الثالث من المنتج

والموجوده فى الخليه القيد االول

حسب مجموع احتياجات الث SUM(B16:D16)= المعادله E16 سنجد فى الخليه • وه

من تحقق القيد االول والقائل القيد االول،منتجات من هذا المجموع والهد

.اوى الطرف االيمن من القيد

•

استخدامها لتعظيم دالة الهدف آما سيتضح فى

الخطوات ال

األمثلSolverاستخدام • Solverمن قائمة أدوات : إليجاد الحل

وهذة المعادله تحسب ناتج ضرب عدد

الوحدات الواجب انتاجها من المنتج ا

.وال

ه عدد ا ب

فى احتياجات هذا C13 يه

ه عدد ا معادله تحسب

منفى اح D13 ى الخليه وX3الوحدات الواجب انتاجها

D6.

الث ذة المعادله ت

هو التأآد أن ايجاد من ف

مجموع احتياجات الثالث منتجات يجب أن يكون اصغر من أو يس

هذة المعادالت االربعه تم اعادتها مره ثانيه بالنسبه للقيد الثانى وذلك فى الخاليا • B17:E17.

سنجد المعادالت التى تحسب ربح آل منتج على حدى ثم اجمالى ارباح الثالث B18:E18لخاليا فى ا

والتى سوف يتم E18منتجات والموجود فى الخليه

.تاليه

Tools نختار

:فتظهر أمامنا الشاشة التالية


م

ت

ى الخلية المشكلة المطلوب تعظيم إجمالى الربح وهو موجود فأ

ا

ى حالة

ذا المثال

ا

آل منتج وهى موجودة فى الخاليا لت وهى فى هذا المثال تمثل عدد الوحدات من

فسوف 10 مثل آخر

.يتم تغيره برقم يعبر عن عدد الوحدات األمثل الذى يحقق أعظم ربح

نموذج وفى هذا الجزء يتم تحديد القيود الهيكلية لل: Subject to the Constrainsتحديد القيود

ومفتاح اإلضافة يستخدم Delete وإلغاء Change وتغير Addوسنجد هناك ثالث مفاتيح هى إضافة

إلضافة قيد جديد، مفتاح التغير يستخدم لتعديل أوتغير قيد تم إدخاله ومفتاح اإللغاء يستخدم إللغاء قيد تم

:ة فنحصل على الشاشة التاليAddيتم الضغط على مفتاح اإلضافة .إدخاله

:يت إآمال الخانات فى هذه الشاشة على النحو التالى

وفى هذه الخانة يتم تحديد الخلية التى نريد تعظيمها أوتدنيتها Set Target Cellحديد خاليا الهدف

. وفى هذه وجعلها تساوى مقدار معين

E18والتى تحتوى على اجمالى االرباح من الثالث منتجات .

Maxختيار طبيعة دالة الهدف Equal to وفى هذا يتم إختيار نوع دالة الهدف هل هو تعظيم : أوتدنية

Value of Min وفى هذا الجزء اليجوز إختيار أآثر من نوع واحد، وف أويساوى مقدارمعين

Value of وفى ه. يتم إدخال القيمة المراد الوصول إليها فى المربع األبيض الذى أمامها إختيار

Max يتم إختيار تعظيم.

وفى هذا يتم تحديد الخاليا المراد تغيرها : By changing cellsلخاليا المراد تغيرها لتحقيق الهدف

حقيق دالة الهدف،

B13:D13 ولو فرض وضع أى رقمصفر والتى تم وضع قيمة مبدئية لها تساوى

86


87

ويمثل Constraint وهى تمثل الجانب األيسر من القيد، Cell Referenceفى هذه الشاشة سنجد

، وفى المنتصف بينهما سنجد قائمة تحتوى على العالمات التى أو المقدار الثابتالجانب األيمن من القيد

: القيد وهمى عن العالقة بين طرفللتعبيريمكن استخدامها فى

o ى أصغر من أويساو =<

o يساوى =

o أآبر من أويساوى =>

Ok يتم الضغط على Constraintقيد

o صحيح int

o فئات bin

Cell Reference ثم تحديد فيتم إختيار أحدهم طبقًا لطبيعة آل قيد، بعد تحديد الطرف األيسر من القيد

طبيعة العالقة بين طرفى القيد ثم تحديد الطرف األيمن من ال

: نات قيد آخر وهكذا فى هذه المشكلة نجد أن القيود تأخذ الشكل التالىإلعادة إدخال بيا

يجب على القارىء أن يتذآر دائمًا أن معادالت األآسيل

ها ث أن عدد الوحدات الواجب انتاج

ونجد ايضًا ان E16الخليه

. E6الطاقه القصوى لهذا المصدر موجوده فى الخليه

يعبر عن القيد الثانى فى النموذج الرياضى، وهو أن اجمالى احتياجات هالسابقاشه القيد الثالث فى الش

تجات من المصدر الثانى يجب أن اليتجاوز الطاقه القصوى لهذا المصدر وهذا القيد هو الثالث من

E17<=E7اجمالى االحتياجات من المصدر الثانى موجوده فى الخليه ، ونجد أن E17 ونجد ايضًا ان

. E7الطاقه القصوى لهذا المصدر موجوده فى الخليه

Excelتتعامل مع الخاليا وليست القيم داخل الخاليا .

B13:D13>=0نجد أن القيد االول يعبر عن قيد عدم السلبيه، حي

B13:D13 هذة الوحدات يجب أن تكون اآبر من أو تساوى صفرلتعظيم دالة الهدف موجوده فى المدى .

القيد االول فى النموذج الرياضى وهو اجمالى احتياجات الثالث عن يعبر فى هذة الشاشهالقيد الثانى

وهذا القيد هو صدرمنتجات من المصدر االول يجب أن تكون اصغر من أو تساوى الحد االقصى لهذا الم

E16<=E6 . فنجد أن اجمالى االحتياجات من المصدر االول موجوده فى


88

.Solverشه الرئيسيه من

فنحصل على الشاشه التاليه والتى Optionsالختيارات بعد اآمال جميع القيود يتم الضغط على مفتاح ا

وذلك الن النموذج الذى يتم حله Assume Linear Model" افترض أن النموذج خطى"يتم اختيار

للعوده الى الشا Okيتم الضغط على مفتاح . هو نموذج خطى

:التاليه لنحصل على الشاشه Solveيتم الضغط على مفتاح

، وحدود Sensitivity، تحليل الحساسيه Answer وهى الحل Reportsستجد فى هذة الشاشه التقارير

. نحصل على الحل االمثل لهذة المشكلهOk، باختيار التقرير االول والضغط على Limitsالحل االمثل

:والذى يأخذ الشكل التالى


وحده من 4.5صفر وحده من المنتج االول،

.B13:D13المنتج الثانى، صفر وحده من المنتج الثالث وذلك فى المدى

.E18 جنيه وهو موجود فى الخليه 40.5اعظم ربح يمكن تحقيقه يساوى

انتاجها يساوى من هذا الشكل نجد أن عدد الوحدات الواجب

89


90

:مثال )6(حدات المطلوبة ألنتاج آل وحدة وآان عدد الوX2 ,X1بأفتراض أن مصنع ما يقوم بأنتاج نوعين من السلع هما

:موضحة بالجدول األتى

المتاحX1X2المنتج

آجم 850 آجم 10 آجم 40مادة خام

ساعة عمل50 ساعه 1 ساعه 1وقت الماآينات

ساعة عمالة40 ساعه 1 ساعه 1عمالة

وحدة 35لحد األقصى لهذا المنتج وحدات آل أسبوع وا10 هوX2الذى يجب إنتاج من المنتج وآان الحد األدنى

. جنيه150هو X2 جنيه وربح الوحدة من المنتج 200 هو X1فإذا آان ربح الوحدة من المنتج .آل أسبوع

آسيل البرنامج أ المطلوب تصميم البرنامج الخطى الذى يعبر عن هذه المشكلة بشرط تعظيم األرباح واستخدام

Excel لحل هذه المشكلة.

:الحل : البرنامج الخطى لهذه المشكلة يمكن صياغته رياضيًا آما يلىإن

Max 2 150+= XX 200 X 10

Subject to

0X,X35X10X

40XX50XX

850X10X40

21

2

2

21

21

21

≥≤

≥≤+

≤+≤+

: فى صورة ثالث جداول هىExcel فى برنامج Spreadsheetيتم إدخال بيانات هذه المشكلة فى ورقة عمل

The Input tableجدول المدخالت

The decision tableالقرارجدول

The computation and output tableجدول الحسابات والمخرجات

جدول المدخالتففى

اليحتوى يتم إدخال القيم التى يمكن استخدامها ألتخاذ القرار، ويالحظ فى هذا الجدول أنه

.تعلى أى معادالت أوحسابا

من القيود وهذا الجدول اليحتوى على أى معادالت مثل جدول األيمن فيتم وضع الطرف جدول القرارأما فى

.المدخالت


91

ت والمخرجات فهو اليحتوى على أى بيانات ولكنه يحتوى فقط على المعادالت المستخدمة جدول الحساباأما

: ورقة عمل

األولى celأآسيل يتم تحميل .1 .Spreadsheet1ختيار ورقة ال

حل المال عنوا الخليةفى .2

مشكلةالخالفى .3 .خ

ت C6:Cى الخالف .4 يتم

.لتحديد تشكيلة المنتجات التى تحقق أعظم ربح ممكن

خطوات إدخال البيانات فى

عمل واExمج برنا

B3 ن المشكلة" ."2 رقمثال يتم إدخ

ال بيانات الB6:B12يا يتم إد

المنتج 12يا من .X1 إدخال بيانا

.X2 يتم إدخال بيانات المنتج D6:D12ى الخاليا من ف .5

يتم إدخال بيانات المدخالت المتاحة أسبوعيًا وهذا الجدول يسمى جدول E6:E11 الخاليا منىف .6

:المدخالت وذلك آما يلى A B C D E

1

2

2حل المثال رقم 3

4

جدول المدخالت 5

المنتجات 6 X1 X2 الطاقه القصوى

40 الخاماحتياجات الوحده الواحده من الماده 7 10 850

احتياجات الوحده الواحده من وقت الماآينات 8 2 1 50

احتياجات الوحده الواحده من وقت العماله 9 1 1 40

الحد االقصى للطلب 10 0 1 35

الحد االدنى للتعاقد 11 0 1 10

ربح الوحده الواحده 12 200 150

.PROBLEM2.xls بأسمظ الملف يتم حف .7

ن ) الجدول الثانى(ر وهو يحتوى على الكميات التى يجب إتخاذ قرار بإنتاجها مميم جدول القرايتم تص .8

: يتم إدخال البيانات التاليةB14:D15 ففى الخاليا X2 ,X1 المنتجينC D A B


المنتجات 14 X1 X2

عدد الوحدات الواجب انتاجها 15 0 0


ات والمخرجات، ويالحظ أن جميع خاليا هذا الجدول تحتوى على معادالت يتم تصميم جدول الحساب 6.

92

صفرقق أعظم ربح ممكن، ويالحظ أنه تم وضع الرقم

دئى لبداية الحل ويمكن وضع أى رقم أخر آما سيتضح الهدف من ذلك

:ت آما يلى

Formulas لحساب تشكيلة المنتجات التى تح

C15:D15 آرقم مب فى الخاليا

.فيما بعد

B16:E21 تصميم جدول الحسابات والمخرجا يتم .7 فى الخاليا A B C D E

جدول الحسابات والمخرجات 16

المنتجات 17 X1 X2 Total

اجمالى االحتياجات من المواد الخام 18 =C7*C$15 =D7*D$15 =SUM(C18:D18)

اجمالى االحتياجات من وقت الماآينات 19 =C8*C$15 =D8*D$15 =SUM(C19:D19)

اجمالى االحتياجات من وقت العماله 20 =C9*C$15 =D9* 0) D$15 =SUM(C20:D2

اجمالى الربح 21 =C12*C15 =D12*D15 =SUM(C21:D21)

األمثلSolverاستخدام .8 : إليجاد

o قائمة أدواتTools نختار Solverفتظهر أمامنا الشاشة التالية :

الحل

من

ذه ة عليتم إآمال

أوتدنيتها وفى هذه الخانة يتم تحديد الخلية التى نريد تعظيمهاSet Target Cellتحديد خاليا الهدف

ة المطلوب تعظيم إجمالى الربح وهو موجود فى الخلية

أوتدنية Maxف هل هو تعظيم ا

Min أويساوى مقدارمعين Value ofحالة حد، و زء اليجوز إختيار أآثر من وفى هذا

دخال القيمة المراد الوصول إليها فى المربع األبيض الذى أمامهاValue of إختيار لمثال . وفى

xيتم إختيار تعظيم

شاشال :ى النحو التالىالخانات فى ه

. وفى هذه المشكلأوجعلها تساوى مقدار معين

E21.

إختيار نوع دالة الهدوفى هذا يتم :Equal toختيار طبيعة دالة الهدف

فى نوع وا الج

هذا ايتم إ

Ma.


93

لت

م يعبر عن عدد الوحدات األمثل الذى يحقق أعظم ربح .ي

نو

By changing cells : تغيرهاوفى هذا يتم تحديد الخاليا المراد اليا المراد تغيرها لتحقيق الهدف الخ

حقيق دالة الهدف، وهى فى هذا المثال تمثل عدد الوحدات من آل منتج وهى موجودة فى الخاليا

C15:D15 سوف ف10 ولو فرض وضع أى رقم آخر غير 10 والتى تم وضع قيمة مبدئية لها تساوى

تم تغيره برق

:جد أن القيود تأخذ الشكل التالى

نجد أن القيد

850X10X40 21 ≤+

:من ورقة العمل التى تم إدخال بيانات هذه المشكلة فيها نجد أن

.C15 وحدة مادة خام موجودة فى الخلية40 وهى X1ها من المنتج األول عدد الوحدات الواجب إنتاج

.D15 وحدات مادة خام موجودة فى الخلية 10وهى X2 عدد الوحدات الواجب إنتاجها من المنتج الثانى

عدد وحدات المادة الخام .C7موجودة فى الخلية X1عدد وحدات المادة الخام الالزمة لوحدة المنتج

وحدة 850المادة الخام المتاحة أسبوعيًا وهى .D7موجودة فى الخلية X2لوحدة المنتج الالزمة

.E7موجودة فى الخلية

:نجد أن الطرف األيسر من القيد عبارة عن

حاصل ضرب عدد + إحتياج الوحدة من المادة الخام 1

1

C18فى الخلية

: األول يأخذ الشكل الرياضى األتى

فى X حاصل ضرب عدد الوحدات من المنتج

X2 .الوحدة من المادة الخامفى إحتياج الوحدات من المنتج

آما يلىXالمنتج إحتياج الوحدة من C7*C15= : من المادة الخام يمكن حسابها

وذلك

=D7*D15 من المادة الخام يمكن حسابها آما يلى : X2 إحتياج الوحدة من المنتج

D18 وإجمالى إحتياج المنتجين من المادة الخام هو وذلك فى الخلية:

C7*C15+D7*D15=Sum (C18:D18)


E18 وحيث أن الطرف األيمن من نجد أن إجمالى إحتياج المنتجين من المادة الخام موجود فى الخلية ،

E7(القيد لية خموجود فى ال) 850

94

:رياضيًا آما يلى ت االزم من العمالة لكل منتج والذى يمكن صياغته

40XX 21 ≤+

9E20Eويمكن صياغة هذا القيد بأستخدام

7E18E :، إذا يمكن وضع القيد فى الشكل التالى =<

:اآينات لكل منتج والذى تم صياغته رياضيًا آما يلىالقيد الثانى وهو يعبر عن الوقت الالزم من وقت الم 8E19E =<

القيد الثالث ويعبر عن الوق

=> :األآسيل آما يلى

والذى يأخذ الشكل الرياضى X2القيد الرابع ويعبر عن الحد االدنى الواجب انتاجه من المنتج الثانى

10X 2 C15>=D11: آما يلى والذى يمكن آتابته بأستخدام االآسيل≤

ذى يأخذ الشكل للثانى واالقيد الخامس ويعبر عن الحد االقصى من الوحدات الواجب انتاجها من المنتج ا

35Xالرياضى 2

:االتى

D15<=D10: والذى يمكن آتابته بأستخدام االآسيل آما يلى≥: التالى

قيد عدم السلبيه ويمكن صياغته فى صورة معادلتين المعادله االولى تعبر عن عدم السلب للمنتج االول

منتج الثانى، وهذين القيدين يمكن صياغتهما بأستخدام االآسيل لل

:آما يلى

سيجد

اختص

ange

القيود الثالثه االولى موجود فى المدى والطرف االيمن لهذة القيود E18:E20ستجد

يود الثالثه االولى فى قيد واحد يعبر طرفه االيسر عن مدى

الثالثة

باقى ا

والتى يتم اشه التاليه بعد اآ

وذلك الن النموذج الذى يتم حله هو نموذج Assume Linear Model" طىاختيار

.خطى

ية

والمعادله الثانيه تعبر عن عن عدم السلبية

C15>=D11ويعبر عن قيد عدم السلبيه للمنتج االول

D15>=D11ويعبر عن قيد عدم السلبيه للمنتج الثانى

ويمكن . القأرىء أن عدد القيود التى تم ادخالها ثمانية قيود، وهذة الطريق تعادل استخدام القيود يدويًا

Dataمدى البيانات آسيل وهى استخدام الموجوده فى اال Facilitiesار عدد القيود بأستخدام التسهيالت

Rآما يلى :

أن الطرف االيسر من

الق وبهذا يمكن صياغتةE7:E9موجود فى المدى

وهكذا بالنسبه الى E18:E20<=E7:E9: يمن يعبر عن المدى الخاص بهم آما يلى قيود معًا وطرفه اال

.لقيود

فنحصل على الشOptions يتم الضغط على مفتاح االختيارات مال جميع القيود

افترض أن النموذج خ"

.Solver للعوده الى الشاشه الرئيسيه من Okيتم الضغط على مفتاح


Solveيتم : الشاشه التاليهلنحصل علىالضغط على مفتاح

تحليل الحساسيه Answer وهى الحلReportsستجد فى هذة الشاشه التقارير ،Sensitivity وحدود الحل ،

والذى يأخذ . الحل االمثل لهذة المشكله نحصل على Ok، باختيار التقرير االول والضغط على Limitsاالمثل

:الشكل التالى

A B C D


المنتجات 14 X1 X2

عدد الوحدات الواجب انتاجها 15

95

10 30

من المنتج 10 سنجد عدد الوحدات الذى يجد انتاجه من آل منتج لتحقيق اعظم ربح وهو C15:D15فى الخاليا

. جنيه6500 سنجد اعظم ربح يمكن تحقيقه وهو E21فى الخليه . وحده من المنتج الثانى30االول و


96

الفصل الثالث البرمجة الخطية بإستخدام إكسل

Documents