举出实例 :

E:\??\???? 3.0\GSKETCHP.EXE a:\xsj2

椭圆的定义 : 平面内到两个定点 F1, F2 的距离的和等于常数 2a 的点的轨迹叫做椭圆 . 这两个定点 F 1, F 2 叫做椭圆的焦点 . 两个焦点的距离 |F1F2|=2c 叫做焦距 .(2a>2c 即 a>c)注意：• [1] 平面上 ---- 这是大前提• [2] 动点 M 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和是常数 2a • [3] 常数 2a 要大于焦距 2C

CaMFMF 2221

[ 一 ] 椭圆定义

F1 F2 x

y

0

M

1. 椭圆标准方程的推导过程 : 问题 :已知椭圆的两个焦点为 F1,F2, 焦距是 2c, 椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于 2a.(a>c>0) 求椭圆的方程 .

F2

M

F1

Y

XO

(x,y)

解 :取线段 F1F2 所在的直线为 X轴 .

设 M(x,y) 为椭圆上任一点则 |MF1|+|MF2|=2a

线段 F1F2 的垂直平分线为 Y轴建立直角坐标系如图 ,则 F1(-c,0)F2(c,0)

[ 二 ] 椭圆的标准方程

已知椭圆的两个焦点为 F1,F2, 焦距是 2c, 椭圆 上的点到两个焦点的距离的和等于 2a.(a>c>0) 则椭圆的方程 .1焦点在 X轴上的椭圆的标准方程 .

2 焦点在 Y轴上的椭圆的标准方程 .

),0(),0()0(1 212

2

2

2

cFcFbab

x

a

y

222 bac 对于 1 ， 2 均有等式

12

2

2

2

b

y

a

x)0,()0,(

)0(

21 cFcF

ba

M(x,y)Y

X

F2

F1

O

y

X

M

Y

F2F1 O

(x,y)

2 2

2 2

x y+ =1

a b2 2

2 21

y x

a b

(a>b>0)

(a>b>0)

2. 椭圆的标准方程的认识 :

椭圆的标准方程 :(1) 焦点在 x 轴上

(2) 焦点在 y 轴上

（ 1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 1。（ 2）椭圆的标准方程中三个参数 a、 b、 c满足 a2=b2+c2 。（ 3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数 a、 b、 c的值。（ 4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定。（ 5）椭圆的标准方程是由三个参数 a、 b、 c及焦点位置唯一确定， 即只要知道三个参数 a、 b、 c的值，就可以写出椭圆的标准方程。因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待定系数法 （其步骤是 ; 先设方程、再求参数、最后写出方程），其关键是求 a、 b的值。

例题精析1

1625

22

yx

例 1 ：已知椭圆的方程为： ，则

a=_____ ， b=_______ ， c=_______ ，焦点坐标

为： ____________ 焦距等于 _____; 若 CD 为过

左焦点 F1 的弦，则三角形 F2CD 的周长为 ____.

5 4 3

(3,0) 、 (-3,0) 6

20

O

y

F1 F2

C

D

25

23

例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 :

(1)两个焦点的坐标分别是 (-4,0) 、（ 4,0), 椭圆

一点 P 到两焦点的和等于 10; (2) 两个焦点的坐标分别是 (0,-2) 、 (0,2), 并且 椭圆经过 ( , ).

(2) 焦点坐标为： _____________ 焦距等于 _____;(1) a=_____ ， b=_______ ， c=_______;

1. 已知椭圆的方程为： 则2 1

(0,-1) 、 (0,1) 2

5

352

252

145

22

xy

(3) 曲线上一点 P 到焦点 F1 的距离为 3 ，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离等于 _________ ，则三角形 F1PF2 的周长为 _______. xO

y

F1

F2

P

2.若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ,

则 k 的范围是 ___________ ．

112

22

k

y

k

x

2

31 k

[1] 椭圆的标准方程有几个？

答：两个。焦点分别在 x 轴、 y 轴。[2] 给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上

答：在分母大的那个轴上。

CByAx 22[3] 什么时候表示椭圆？答： A 、 B 、 C 同号时。[4] 求一个椭圆的标准方程需求几个量？

答：两个。 a 、 b 或 a 、 c 或 b 、 c