出 版：电子科技大学出版社 ( 成都市建设北路二段四号，邮编： 610054)...
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数学物理方程 李明奇 田太心 主编. 出 版：电子科技大学出版社 ( 成都市建设北路二段四号，邮编： 610054) 责任编辑：徐守铭 发 行：电子科技大学出版社 印 刷：成都蜀通印务有限责任公司 开 本： 787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425 千字 版 次： 2006 年 4 月第一版 印 次： 2007 年 8 月第二次印刷 书 号： ISBN 978 7 81114 098 9 印 数： 2001—5000 册 定 价： 28.00 元. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
出 版：电子科技大学出版社 ( 成都市建设北路二段四号，邮编：610054)责任编辑：徐守铭发 行：电子科技大学出版社印 刷：成都蜀通印务有限责任公司开 本： 787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425 千字版 次： 2006 年 4 月第一版印 次： 2007 年 8 月第二次印刷书 号： ISBN 9787811140989印 数： 2001—5000 册定 价： 28.00 元
数学物理方程李明奇 田太心 主编
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目 录
第一章 绪论笫二章 定解问题与偏微分方程理论第三章 分离变量法第四章 行波法第五章 积分变换
第六章 Green函数法 第七章 Bessel函数 第八章 Legendre多项式
第九章 保角变换法第十章 非线性数学物理方程简介
第一章 绪论
1.1 常微分方程基础1.2 积分方程基础1.3 场论基本概念1.4 常用算符与函数
1.5 常用物理规律
1.1 常微分方程基础
一、一阶微分方程
一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为 :
( , ),y f x y ( , )d ( , )d 0p x y x q x y y
1 ．可分离变量的一阶微分方程
( )d ( )df x x g y y
2 ．齐次方程
d( )
d
y yf
x x ( )u xu f u
3 ．一阶线性微分方程
( ) ( )y p x y q x ( )d ( )de ( )e d
p x x p x xy q x x c
4 ． Bernoulli方程
( ) ( ) ny p x y q x y
(1 ) ( ) (1 ) ( )u n p x u n q x
( 0, 1)n
二、高阶微分方程
1 ．可降阶的二阶微分方程
( , )y f x y ( , )y f y y
( , )pp f y p
2 ． n 阶常系数齐次线性微分方程
( ) ( 1) ( 2)1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n
n ny a x y a x y a x y a x y
定理 1 的特解可以通过方程
的特解之和求得。
1
L ( )n
ii
y f x
L ( ), 1, , iy f x i n
（ 1 ）特征方程有 n个不同的实根 ，则 ， 为任意常数；
（ 2 ）特征方程有 r个不同的实根 ，其重数分别为 ， ，则其中， 为任意常数。
（ 3 ）若 ，特征方程有 r个不同的复根 （ ），其重数分别为 ，所有复根重数之和为，则
1 2, , , n
1e i
nx
ii
y c
ic
定理 2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：
1 2, , , n 1 2, , , rn n n
1=
r
kk
n n 1
, 0 , 1 , ( 1)1
( )ei ir
n xi i i i
i
y c c x c x
, i jc
( )ia x R 1 2, , , r
k k k i 1 2, , , rn n n
1, 0 , 1 , ( 1)
1
1, 0 , 1 , ( 1)
1
( )e sin
( )e cos
i i
i i
rn x
i i i i ii
rn x
i i i i ii
y c c x c x x
d d x d x x
3 ．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
设 为 对应的齐次方程的 i ( )重根，其中， 与 分别是次多项式， 为常数。则存在次多项式 使非齐次方程有如下形式的特解：
0 0( )e xmy py qy p x
定理 3:
( )mp x( )np x
00, 1, 2i
( )mq x
0( )e ximy x q x
与 分别是 次多项式， 与 为常数，则的特解为：
定理 4:
( )mp x ( )np x , m n0 0 0( 0)
00 0e [ ( )cos ( )sin ]x
m ny py qy p x x p x x
00 0e [ ( )cos ( )sin ]xk
l ly x p x x q x x
二阶非齐次线性微分方程定理 5:
)(xfqyypy 的特解为
2 11 2
0 01 2 1 2
( ) ( )d d
( , ) ( , )
x xy f y fy y y
y y y y
通解为2 1
1 2 1 1 2 20 0
1 2 1 2
( ) ( )d d ( ) ( )
( , ) ( , )
x xy f y fy y y C y x C y x
y y y y
三、 Euler 方程
在微分方程中，我们还经常遇到一类特殊的非常系数非齐次线性微分方程—— Euler 方程的求解：
( ) 1 ( 1)0 1 1 ( )n n n n
n np x y p x y p xy p y f x
0
D(D 1) (D 1) (e )n
tn k
k
p k y f
四、 Bessel 方程
定义 2 二阶线性微分方程
2 2 2( ) 0x y xy x y
称为 Bessel 方程， 为非负常数。
定义 4 二阶线性微分方程
22 2 1
02
x y xy x m y
称为半奇数阶 Bessel 方程。
(m为整数 )
定义 5 二阶线性微分方程 2 2 2( ) 0x y xy x y
称为虚宗量 Bessel 方程。
五、 Legendre 方程与 SturmLiouville 方程
定义 6 二阶线性微分方程 2(1 ) 2 ( 1) 0, [ 1, 1]x y xy n n y x
称为 n阶 Legendre 方程。
定义 7 二阶线性微分方程
d d ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0
d d
y xk x x q x y x
x x a x b≤ ≤
称为 SturmLiouville 方程。
六、微分方程解的理论基础定义 8 对于一阶微分方程，称以下问题为 Cauchy 问题：
0 0
( , )
( )
y f x y
y x y
定义 9 对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
1 2 3 4 5
( , , , ) 0, ( , )
( ) ( ) ( ) ( )
f x y y y t
a y a y a y a y a
设为 方程 的平凡解，若 ，当 时，对 ，有 ，则称 解稳定。
定义 10:
0y ( , )y g x y
0 0 00, , ( , ) 0, x I x y
0 0( , )y x 0x x
0 0( , , )y x x y 0y
定义 11:
设 为方程 的平凡解，若 ，当 时， ，有 ，则 称解不稳定。
0y ( , )y g x y
0 0 00, , 0, x y 0y
1 0x x 1 0 0( , , )y x x y 0y
1.2 积分方程基础
定义 1 积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若方程关于未知函数是线性的，则称之为线性积分方程；否则该积分方程称为非线性积分方程。
定义 2 若未知函数只出现在积分号下，称为第一类线性积分方程；若未知函数不仅出现在积分号下，还出现在其他部分，则称为第二类线性积分方程。
定义 3 若含参数齐次方程 ，在 有非零解，则 称为特征值，相应的解为特征函数。特征函数构成的空间称为线性空间，其维数称为 的重数。
( ) ( , ) ( )db
ay x k x t y t t
0
0
0
定理 1 若 在 ， 在 内都连续，且 ， ， 。级数 在 一致绝对收敛，并且为方程
的唯一解。
( )f x [ , ]x a b ( , )k x t [ , ] [ , ]a b a b
( )f x m≤ ( , )k x t M≤
1
M b a
0
( )i
i
i
x
[ , ]x a b
( ) ( ) ( , ) ( )db
ay x f x k x t y t t
定义 4 若 ， 与 都线性无关，则 称为退化核。 为退化核，则方程
变为代入原方程得
1
( , ) ( ) ( )n
i ii
k x t x t
( )i x ( )i t
( , )k x t
( , )k x t
( ) ( ) ( , ) ( )db
ay x f x k x t y t t
1
( ) ( ) ( ) , ( ) ( )da
n b
i i ii
y x f x x y y t y t ti
1
,n
i i ik kk
y f y
( ) ( )d , ( ) ( )d , 1, , b b
ik i k i ia a
t t t f t f t t i n
1.3 场论基本概念
一、散度与通量设 S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量为 ，则向量场 沿曲面 S的第二类曲面积分
0n ( , , )x y zA
0d dS S
S A S A n
称为向量场通过曲面 S 向着指定侧的通量。
如果 S是一分片光滑的闭曲面，为外法向， V为 S所包围的空间区域，由 Gauss 公式有
0d d
( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d
( )d d d
S S
S
x y z
V
S
p x y z y z q x y z z x r x y z x y
p q r x y z
A S A n
其中， 称为向量场的散度，记为 ，即
x y zp q r
div A
div x y zp q r A
二、环流量与旋度
对于给定向量场
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z p x y z q x y z r x y z A i j k
设 L为场内一有向闭曲线， L上与指定方向一致的单位切向量为 ，则称积分0
0d dL L
s A r A
为向量场沿有向闭曲线 L的环流量。
设 S是以 L为边界的有向曲面，曲线 L的方向与曲面 S的侧符合右手规则，由 Strokes 公式，有
d ( , , )d ( , , )d ( , , )d
[( )cos ( )cos ( )cos ]d
L L
y z z x x y
S
p x y z x q x y z y r x y z z
r q p r q p S
A r
其中，向量 为有向曲面S的单位法向量 的方向余弦，向量场的旋度记为 ，且
{cos , cos , cos }
0n
rot Arot ( ) ( ) ( )y z z x x yr q i p r j q p k A
旋度是一个向量，它是由向量场产生的向量场，称为旋度场。
1.4 常用算符与函数一、常用算符求导算子 D ：
D ( ) ( )f x f x
梯度算子 与 Laplace 算子 是两个最基本的算符：
, , x y z
2 2 2
2 2 2x y z
设为向量场， 为数值函数，则有以下公式：
( , , )u u x y z
grad u u
div A A
rot A A
2 grad u u u u
( ) uv u v u v
定理 1 设平面区域 D由分段光滑的闭曲线 L围成，函数 、 在 L上具有一阶连续偏导数，则有 Green 公式：
( , )p x y ( , )q x y
( , )d ( , )d [ ( , ) ( , )]d dx yLD
p x y x q x y y q x y p x y x y
式中， L的方向为区域 D边界曲线的正向。
定理 2 设曲线 L为分段光滑的空间有向闭曲线， S为以 L为边界的任意分片光滑的有向曲面。函数 、 、 在包含 S的某一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有 Strokes 公式
( , , )p x y z ( , , )q x y z ( , , )r x y z
d d d d d d
( , , )d ( , , )d ( , , )dL
S
y z z x x y
p x y z x q x y z y r x y z zx y z
p q r
定理 3 设分片光滑的有向闭曲面围成空间区域 V。函数 、 、 在 V上具有一阶连续偏导数，则有 Gauss 公式：
( , , )p x y z ( , , )q x y z ( , , )r x y z
( , , ) ( , , )d d ( , , )d d ( )d d dx y z
S V
p x y z dydz q x y z z x r x y z x y p q r x y z
式中， S为空间区域 V的外侧。
二、 函数、函数与误差函数
1 ． 函数是指
1
0( ) e d , 0x tx t t x
2 ．函数是指1
1 1
0( , ) (1 ) d , 0, 0p qp q t t t p q
函数的主要性质有：
( , ) ( , )p q q p
( ) ( )( , )
( )
p qp q
p q
3 ．误差函数是指2
0
2erf ( ) e d
π
xtx t
余误差函数是指
ercf ( ) 1 erf ( )x x
主要性质有：2
2 4 6
1 e 1 3 4 4 5 6ercf ( ) (1 )
2 (2 ) (2 )π
x
xx x x x
三、常用结论
命题 1 ，其球坐标表示为 。 n 为以原点为球心，半径为 r的球面的外侧，则
( , , )u u x y z ( , , )u u r
r
uu
n
命题 2
2
21
1 1 1cos
2 2 1 2 cos( )n
n
kk n t
k t k
| | 1k
1.5 常用物理规律1 ． Newton 第二定律。平动规律： ；转动规律： 。
2 ． Hooke 定律。 （ 1 ）在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的伸长成正比： 。其中， k为弹簧的弹性系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。
（ 2 ）弹性体的应力 p与弹性体的相对伸长成正比： 。其中， Y为杨氏模量，表示相对伸长。
F maM I
f kx
xp Yu
3 ． Fourier 实验定律（即热传导定律）。当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在 dt时间内，沿热流方向流过面积微元 dS的热量为，其中 k称热传导系数，它与物体的材料有关；式中的负号表示热量由高处流向低处；为温度沿热流方向的方向导数。热流密度 q为
d( , )
d d n
Qq ku x t
S t
4 ． Newton 冷却定律。设 为周围介质的温度， 为物体的温度。物体冷却时单位时间内流过单位面积放出的热量与物体和外界的温度差（ ）成正比，即热流密度 q为 。
5 ．热量守恒定律。物体内部温度升高所吸收的热量，等于流入物体内部的净热量与物体内部的源所产生的热量之和。
0u
su
0su u
0sq k u u
6 ．扩散实验定律。当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。沿粒子流方向流过面积微元 dS的粒子质量为 ，其中 k称为扩散系数，它与材料有关；负号表示粒子流由浓度高处流向低处， 为温度沿热流方向的方向导数。粒子流密度 q为 。
7 ．电荷守恒定律。电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。
d ( , )d dnM ku x t S t
nu
( , )nq ku x t
8 ． Coulomb 定律。放置于坐标原点的电量为 e的点电荷所产生电场（介电常数为）的电位势为 。
9 ． Gauss 定律。通过一个任意闭合曲面的电通量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的倍。即 。其中， 为介电常数， 为体电荷密度。
4π
eu
r
1
1d d
S V
v
E S
10 ． JouleLenz 定律。电流通过纯电阻的一导体时所放出的热量跟电流强度的平方、导线的电阻和通电的时间成正比。即 。11 ． Kirchhoff 定律。（ 1 ）第一定律。会合在节点的电流代数和为零，即 。（ 2 ）第二定律。沿任一闭合回路的电势增量的代数和为零，即 。
2Q RtI
1
0n
kk
I
1 1
n n
k k kk k
I R
12 ． Faraday电磁感应定律。不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比，即
式中， N为感应回路串联线圈的匝数。此即Faraday电磁感应定律。由该定律知，当闭合回路（或线圈）中的电流发生变化而引起自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为
式中， L为自感系数。
d
dN
t
d
dL
t
2.1 波动方程及定解条件2.2 热传导方程及定解条件2.3 稳态方程的定解问题2.4 方程的化简与分类2.5 二阶线性偏微分方程理论2.6 函数
笫二章 定解问题与偏微分方程理论
2.1 波动方程及定解条件一、波动方程的建立
细弦线横振动问题。设有一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在 x轴上的 L处，受到扰动，开始沿 x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于 x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数所满足的规律。
u
T1
0 x x+dx L x
T2
gdx
2
1
二、定解条件1 ．初始条件
波动方程含有对时间的二阶偏导数。因此，一般要给出两个初始条件。对于做机械运动的物体，其初始条件可以从系统各点的初位移和初速度考虑，即
0
0
( )
( )
t
t t
u x
u x
2 ．边界条件描述物理问题在边界上受约束的状态，归结为三类边界条件。（ 1 ）第一类边界条件：给出未知函数 u在边界上的分布值。例如，长为 L的细弦线横振动，细弦线的两端固定在原点和 x轴的 L处，其边界条件为，称固定端。 （ 2 ）第二类边界条件：给出未知函数 u在边界上的法向导数值。（ 3 ）第三类边界条件：第一类和第二类边界条件的线性组合。
0 0, 0x x Lu u
2.2 热传导方程及定解条件
一、热传导方程 细杆的横截面积为常数 A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，以致在任何时刻都可以把横截面积上的温度视为相同，密度为。试求细杆的温度分布规律。
x x x+dx L 0
二、扩散方程的建立 *
设半导体材料每点的横截面积相等，其值为 A；在这块材料中，有一种杂质正在扩散，我们用 u表示杂质浓度，即单位体积内所含杂质的质量；由于各个横截面上杂质的浓度不一样，而且它又是随时间改变的（设同一时间同一横截面上各点处的浓度是相同的），所以浓度 u既是位置 x的函数，又是时间 t的函数，即 。求 满足的规律。
A
x x 0 x+dx
( , )u x t ( , )u x t
三、定解条件1 ．初始条件
热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只要一个初始条件——初始时刻的温度分布。
2 ．边界条件（ 1 ）第一类边界条件，给定温度在边界上的值。若细杆在x=0端保持为零度， 端保持为 度，则有： ， 。
（ 2 ）第二类边界条件，给定温度在边界上的法向导数值。（ 3 ）第三类边界条件，给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系。
Tx L0 0xu x Lu T
2.3 稳态方程的定解问题一、静电场的电位方程
设空间有一分布电荷，其体密度为 ， E 表示电场强度， 表示电位，在国际单位制下，静电场满足：（ 1 ）静电场的发散性： ； （ 2 ）静电场的无旋性： ； （ 3 ）静电场存在场势函数：
( , , )x y z( , , )u x y z
E
0 E
u E
二、自由电磁波方程设空间中没有电荷，且和分别表示电场强度和磁场强度。由电磁场理论，描述介质中电磁场运动的 Maxwell方程组的微分形式为
0
0
t
t
HE
EH E
E
H
三、稳态场定解条件的提法
1 ．边界条件边界条件共分三类，第一类、第二类、第三类边界条件也是分别给出边界上未知函数值、未知函数的导数值或两者的线性关系。稳态场方程加上第一类、第二类、第三类边界条件构成的定解问题分别称为第一类、第二类、第三类边值问题，也依次称为 Dirichlet 问题、Neumann 问题和 Robin 问题。
2 ．衔接条件性质 1 在两种介质的分界面上，静电场电势的边值关系为
式中， 与 分别为界面两侧介质的电势和介电常数； n 是界面上由介质 1 指向介质2 的法向单位向量； 是界面上的自由电荷面密度。
2 11 2 2 1, f
u uu u
n n1 2, u u 1 2,
f
性质 2 若为 导体的电势， 为绝缘介质的电势， 为封闭面 S 所包围的电量的代数和，则在导体与介质分界面上电势 u 的边值关系为
1u2u
fQ
1 2u u 22 f
u
n2
2 d f
S
uS Q
n
3 ．有限性条件例如，在静电场中常利用在坐标原点电势有限的条件（当原点无点电荷时）。
4 ．周期性条件由于物理量在同一点、在同一时刻有确定值，在采用球坐标系（或柱坐标系）时，就必然导致周期性条件，因为与 均表示空间同一点，由电势的唯一性可得
, , 2π , , u r u r
, , 2πr ( , , )r
2.4 方程的化简与分类
一、方程的化简、特征方程
二、方程的分类若在区域 D中某点 ，有 （或 ），我们就称方程式在点为双曲型（或抛物型，或椭圆型）。若方程在某个区域中的每一点均为双曲型（或抛物型，或椭圆型），我们就称方程在区域 D上是双曲型（或抛物型，或椭圆型）。
0 0, x y 0 0, 0
2.5 二阶线性偏微分方程理论
一、叠加原理
定义 1 泛定方程是线性的，而且定解条件也是线性的，这种定解问题称为线性定解问题。
定义 2 对于一个算子 T ，若满足
则称算子 T 为线性算子。
1 1 2 2 1 1 2 2T T Tc u c u c u c u
叠加原理 1 设满足线性方程（或线性定解条件）
（ ）那么这些解的线性组合必满足方程（或定解条件）： 。
叠加原理 2 设满足线性方程（或线性定解条件）
（ ）且级数收敛，并满足算子中出现的偏导数与求和记号交换次序所需要的条件，那么满足线性方程（或定解条件）
L i iu f1, 2, , i n
1L
n
i ii
u c f
L i iu f1, 2, i
1L i i
iu c f
叠加原理 3 设满足线性方程（或线性定解条件）
其中， M 表示自变量组； M0 为参数组。且积分
收敛，并满足中出现的偏导数与积分运算交换次序所需要的条件，那么满足方程（或定解条件）
特别地，当满足齐次方程（或齐次定解条件）时，也满足此齐次方程（或齐次定解条件）。
0L , u f M M
0 0, dv
U M u M M M
0 0L ( ) , dv
U M f M M M
二、齐次化原理齐次化原理 1
设 满足齐次方程的 Cauchy 问题（这里， M 是自变量组 为参数）
, ; w t M ( , , ), x y z
23
2L , ,
0, , t t
M R tt
f Mt
齐次化原理 2
设 满足 Cauchy 问题 , ; t M
3L , ,
, t
M R tt
f M
则 Cauchy 问题3
0
L ( , ), , 0
0t
uu f t M M R t
tu
0
, ; dt
u t M
三、解的适定性
一个定解问题提得是否符合实际情况，当然必须靠实践来证实。然而从数学角度来看，可以从三方面加以检验：（ 1 ）解的存在性：研究所归结出来的定解问题是否有解。（ 2 ）解的唯一性：研究定解问题是否只有一个解。（ 3 ）解的稳定性：即看当定解条件有微小变动时，解也相应地只有微小的变动，则称解具有稳定性。在具体问题中解的稳定性是必需的，否则所得的解就无实用价值。
2.6 函 数（ 1 ）对称性。 ，即 是偶函数。形式地作变量代换 ，对于任何连续函数 ，有
这就说明了等式的合理性。更一般地，有对称性，即对任何连续函数，有把上式中的与变换位置，得 。
（ 2 ）函数的导数。设 ，则由 定义的算符称为函数的导数。这个定义的合理性可由下面形式的分部积分看出：
( ) ( )x x ( )xx t ( )x
0( ) ( )d ( ) ( )d ( ) (0)tx x x t t t t
0 0( ) ( )x x x x
0 0 0( ) ( )d ( ) ( )d ( )x x x x x x x x x
0 0 0( ) ( )d ( )x x x x x
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d (0)x f x x x f x x f x x f
1( )f x C ( ) ( )d (0)x f x x f
3.1 齐次弦振动方程的分离变量法3.2 热传导方程混合问题分离变量
法3.3 二维定解问题分离变量法3.4 高维混合问题的分离变量法3.5 非齐次方程定解问题的解3.6 非齐次边界条件定解问题的解3.7 SturmLiouville 固有值问题
第三章 分离变量法
3.1 齐次弦振动方程的分离变量法
一、求解弦振动方程的混合问题2
0
0 0
, 0 , 0
0, 0
( ), ( )
tt xx
x x L
t t t
u a u x L t
u u
u x u x
其中为 已知函数。
( ), ( )x x
1 ．当时 ，方程 的通解为
0 0X X ( ) e ex xX x A B
2 ．当时 ，方程 的通解为。其中 A,B 为两个任意常数。代入边界条件，得
0 0X X X Ax B
(0) 0 0, ( ) 0X A B X L A L B
3 ．当时 ，方程 的通解为
0 0X X
( ) cos sinX x A x B x
二、级数解的物理意义
1
π π π
( , ) ( cos sin )sinn nn
n at n at n xu x t C D
L L L
π, sin sinn n n n
n xu x t N t
L
2 2 1 π, tan ,n
n n n n nn
C n aN C D
D L
( , )u x t 是由一系列频率不同、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波振幅的大小和相位的差异，由初始条件决定，而圆频率与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。
πn
n a
L
三、解的适定性1 ．解的存在性
2
0
0 0
, 0 , 0
0, 0
,
tt xx
x x L
t t t
u a u x L t
u u
u x u x
1 1
π π π( , ) ( cos sin )sinn n n
n n
n at n at n xu u x t C D
L L L
可以验证上述 Fourier 解，既满足方程，又满足边界条件和初始条件。为了保证解的存在性，我们需要以下两个充分条件：
4 3, x C x C
(0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) 0L L L
2 ．能量积分和解的唯一性
弦振动的动能为 ，而位能为 ，弦振动的总能量称为一维波动方程的能量积分。在没有外力作用的情况下，总能量应该是守恒的。
2
0
1( ) d
2
L
tK t u x 2
0
1( ) d
2
L
xV t Tu x ( ) ( ) ( )E t K t V t
( )E t
3.2 热传导方程混合问题分离变量法
在讨论热传导方程混合问题的求解时，如果所取的边界条件是第一类的，当使用分离变量法时，它与上节所运用过的求解方法相类似，这里就不再重复了。如果所取的边界条件其一端点上是第一类的，另一端点上是第二类的，那么当使用分离变量法时，其基本思路和步骤与上节所运用过的求解方法也是一致的，只是特征值问题有所不同。
定理 1 （极值原理） 区域 R为 ， Г为区域R的边界。假设函数 在闭域 ： 上连续，在上满足热传导方程，则该函数在区域上的最大值、最小值必在其边界曲线 Г上取得，即
0 , 0x L t T ( , )u x t R 0 , 0x L t T≤ ≤ ≤ ≤
max , max , , min , min , RR
u x t u x t u x t u x t
定理 2 热传导混合问题的解具有唯一性和稳定性。
3.3 二维定解问题分离变量法
求解下列定解问题：
其中， A 为常数。
0
2 2
02 2 2
1 10, ( )
cos
u u u
u A
3.4 高维混合问题的分离变量法例 1 求边长分别为 的长方体中的温度分布，设物体表面温度保持零度，初始温度分布为
例 2 求解三维静电场的边值问题：
, , a b c
( , , , 0) ( , , )u x y z x y z
0, 0 , 0 , 0
0, , , , 0
, 0, , , 0
, , 0 0, , , ,
xx yy zzu u u x a y b z c
u y z u a y z
u x z u x b z
u x y u x y c x y
3.5 非齐次方程定解问题的解
I ： 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
L L ( , ), 0,
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
( , 0) ( ), ( , 0) ( )
t x
x
x
t
u u f x t t x x x
a u x t u x t
a u x t u x t
u x x u x x
这里 ， 及分别是关于及的二阶常系数线性偏微分算子， 都是非负常数，。当 是一阶算子时，问题 I 中的初始条件只有： 。求解这类定解问题的一般方法有两种：固有函数法和齐次化原理法。
Lt Lx
1 2 1 2, , , 2 2 0( 1, 2)i i i Lt
( , 0) ( )u x x
3.6 非齐次边界条件定解问题的解现将解定解问题的主要步骤小结如下：1 ．根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单。圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便。2 ．若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作函数的代换使之化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解。3 ．非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程的定解问题，其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题。第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解或用齐次化原理求解。
3.7 SturmLiouville 固有值问题一、 SturmLiouville 方程
定理 1 对于第三类边值问题[ ( ) ] ( ) ( ) 0,
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
k x y q x y x y a x b
y a hy a
y b hy b
在条件 k(x)及其一阶导数 和在 上连续， k(x) ， ，在区间 内为正， 在 内连续，且在端点 a 和 b 上至多有一级极点，而 k(x) 与 至多有一级零点，
( )x [ , ]a b
( )x ( , )a b ( )x ( , )a b
( )x
（ 1 ）固有值具有可数性。存在无穷多个实的固有值递增序列 ；与其对应的固有函数 。（ 2 ）固有值的非负性。 。（ 3 ）固有函数系的正交性。设 是任意两个不同固有值，则对应的固有函数 与在区间 以权函数 正交，即有
1 2 3 n lim nn
1 2 3( ), ( ), ( ), , ( ), ny x y x y x y x
0n ≥
m n
( )my x ( )ny x
[ , ]a b ( )x
( ) ( ) ( )d 0, b
n ma
x y x y x x m n
4 ．展开定理。定义在区间 上并满足固有值问题的边界条件的任意个具有一阶连续导数 f(x) 和二阶逐段连续导数的函数可按固有函数系 展成绝对且一致收敛的级数
[ , ]a b
{ ( )}ny x
1
( ) ( )n nn
f x f y x
其中
2
( ) ( ) ( )d
( ) ( )d
b
na
n b
na
x f x y x xf
x y x x
称为展开式的系数或广义 Fourier 系数。
4.1 一维波动方程的 dAlembert 公式
4.2 半无界弦振动问题4.3 高维波动方程 Cauchy 问题4.4 非齐次波动方程解法
第四章 行波法
4.1 一维波动方程的 dAlembert 公式
定义 1 由过点 的两条斜率分别为 的直线在 x轴所截得的区间 称为点的依赖区间。
定义 2 区间 的决定区域是指过 点作斜率为 的直线 ，过点 作斜率为 的直线，它们和区间 一起构成的三角形区域。
( , )x t1
a
[ , ]x at x at
1 2[ , ]x x 1x
1
a1x x at 2x 1
a 2x x at
1 2[ , ]x x
t
(x, t)
x 0 x at x+at
x=x2 at x=x1+at
t
x=x2 at x=x1+at
0 x1 x2 x
t
x=x1 at x=x2+at
0 x1 x2 x
(a) (b)
(c)
4.2 半无界弦振动问题一、端点固定端点固定的半无界弦振动定解问题是
2 0, 0
( , 0) ( ), ( , 0) ( ), 0
(0, ) 0
tt xx
t
u a u x
u x x u x x x
u t
≤
为了把半无界问题作为保持 的无界问题来处理，必须把 、 和 延拓到整个无界区域。
(0, ) 0u t ( , )u x t ( )x ( )x
二、端点自由定解问题是
2 0, 0
( , 0) ( ), ( , 0) ( ), 0
(0, ) 0
tt xx
t
x
u a u x
u x x u x x x
u t
≤
同理，将 dAlembert 解代入，得 1 1
(0, ) 02 2xu t at at at at
a
又由于初始位移和初始速度独立，得 , at at at at
可见， 及 均应为正常化的偶函数。
x x
4.3 高维波动方程 Cauchy 问题
一、三维波动方程 的球对称解
2ttu a u
将波函数 u用空间球坐标（ ）表示。球对称就是指 u与 都无关。在球坐标系中，波动方程变为
, , r ,
2 22
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1sin
sin sin
u u u ur
r r r r r a t
22
2 2 2
( ) 1 ruru
r a t
二、三维波动方程 Cauchy 问题平均值法
平均值法可以将三维无界空间的自由振动转化成球对称情形，把一维的 dAlembert 公式推广到三维。设在以 为中心、 r为半径的球面 上的平均值为 。则
( , , , )u x y z t
( , , )M x y z MrS
( , )u r t
2
1 1( , ) ( , )d ( , )d
4π 4πM Mr rS S
u r t u M t S u M tr
三、二维波动方程 Cauchy 问题的降维法
二维波动方程 Cauchy 问题是
2 , , , 0
, , 0 , , , , 0 ,
tt xx yy
t
u a u u x y t
u x y x y u x y x y
（ ）
2
1( , ) d d
4π M Mat atS S
u M t S Sa t t t
dS
M at
y 0
x
z
d
四、波动方程 Cauchy 问题一维、二维、三维的比较
考查二维和三维波动方程 Cauchy 问题
2
0 0
, , , 0
( , ), ( , )tt
t t t
u a u x y t
u x y u x y
2
0 0
, , , , 0
( , , ), ( , , )tt
t t t
u a u x y z t
u x y z u x y z
1 ． 是一个任意函数。令
则 是函数 在区间 上的算术平均值，积分的大小依赖于区间的中点 x和区间的半径长。2 ．函数 ，总满足方程 。3 ．如果要求 还满足初始条件 ，则只需将被积函数 换成 。如果 还要求满足初始条件 ，只需将 换成 。两者都换了以后， 就成为波动方程一维初值问题的解。
( )x 1( , ) ( )d
2
x at
x atV x t
at
( , )V x t ( ) [ , ]x at x at
1 2
[ ( , )]( , ),
tV x tu tV x t u
t
2
tt xxu a u1u
0 ( )t tu x ( )x ( )x
2u 0 ( )tu x
( )x ( )x 1 2u u
五、 Poisson 公式的物理意义
4.4 非齐次波动方程解法
为了求解无界空间中非齐次波动方程定解问题2
0 0
( , , , ) , ,
( , , ), ( , , )tt
t t t
u a u f x y z t x y z
u x y z u x y z
，
将定解问题化为2
0 0
, ,
( , , ), ( , , )tt
t t t
u a u x y z
u x y z u x y z
，
2
0 0
( , , , ) , ,
0, 0tt
t t t
u a u f x y z t x y z
u u
，
5.1 Fourier 变换5.2 Fourier 变换的应用5.3 Laplace 变换5.4 Laplace 变换的应用5.5 其他的积分变换
第五章 积分变换
5.1 Fourier 变换一、 Fourier 变换的定义
定理 1 若 , 且在一个周期内只有有限个第一类间断点与极值点，则
其中
( ) ( 2 )f x f x L
0
1
( ), π π
cos sin ( 0) ( 0)2 ,
2n n
n
f x xa n x n x
a b f x f xL L x
为连续点
为不连续点
1 π( )cos d
1 π( )sin d
L
nL
L
nL
n xa f x x
L Ln x
b f x xL L
0, 1, 2, n
定义 1 称为 f(x) 的 Fourier 变换， f(x) 称为 的 Fourier逆变换。
ˆ ( )f ˆ ( )f
Fourier 变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式，这样的 Fourier 变换许多性质也可以从物理上得到解释。
二、正（余）弦变换的定义
定义 2 Fourier 余弦变换是指
定义 3 Fourier逆余弦变换是指0
ˆ ( ) ( )cos dcf f x x x
0
2 ˆ( ) cos dπ cf x f x
( )
定义 4 Fourier 正弦变换是指
定义 5 Fourier逆正弦变换是指
0
ˆ ( ) ( )sin dsf f x x x
0
2 ˆ( ) ( )sin dπ sf x f x
三、 Fourier 变换的基本性质
性质 1 Fourier 变换是一个线性变换：对于任意常数 、与任意函数 、 有
1( )f x 2 ( )f x
1 2 1 2F ( ) ( ) F[ ( )] F[ ( )]f x f x f x f x
定义 6 设 都满足 Fourier 变换的条件，则称为 的卷积。记为
1 2( ), ( )f x f x 1 2 df x f
1 2( ), ( )f x f x
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )df x f x f x f
性质 2 的卷积的 Fourier 变换等于 的 Fourier 变换的乘积：
1 2( ), ( )f x f x1 2( ), ( )f x f x
1 2 1 2F[ ( ) ( )] F[ ( )]F[ ( )]f x f x f x f x
11 2 1 2
ˆ ˆ( ) ( ) F [ ( ) ( )]f x f x f f
性质 3 乘积的 Fourier 变换等于它们各自的Fourier 变换的卷积再乘以系数 ，即
1 2( ), ( )f x f x1
2π
1 2 1 2
1 ˆ ˆF[ ( ) ( )] ( ) ( )2π
f x f x f f
性质 4
ˆF[ ( )] j ( )f x f
( )F[ ( )] ( j ) [ ( )]k kf x F f x
性质 5 ˆ ( ) F[ j ( )]f xf x
性质 6 设为任意常数，则 0x 0j
0F[ ( )] e F[ ( )]xf x x f x
性质 7 设 为任意常数，则 0 0j
0ˆF[e ( )] ( )x f x f
性质 8 1
F[ ( )d ] F[ ( )]j
x
f t t f x
性质 9 1 ˆF[ ( )] ( )f at fa a
性质 10 F[ ( )] ( )f x g F[ ( )] 2π ( )g x f
性质 11 + 22 1 ˆ( )d ( ) d
2πx x ff
性质 12 j j0F[ ( )] e d e 1x x
xx x x
（ ）
四、 n 维 Fourier 变换
1 1 2 2
1 2 1 2
j( )1 2 1 2
F( , , , ) F[ ( , , , )]
( , , , )e d d dn n
n n
x x xn n
f x x x
f x x x x x x
1 2( , , , )nf x x x 1 1 2 2j( )1 2 1 2
1F( , , , )e d d d
(2π)n nx x x
n nn
n维 Fourier 变换具有的性质
1 2 1 2F[ ] F[ ] F[ ]f f f f
1 2 1 2F[ ] F[ ]F[ ]f f f f
1 2 1 22
1F[ ] F[ ] F[ ]
(2π)f f f f
F j F[ ], 1, 2, , kk
ff k n
x
F[ ] F[ j ], 1, 2, , kk
f x f k n
五、 Fourier 变换在常微分方程中的应用
例 3 求解 0y xy
1 1 1ˆ ˆ ˆF( ) ( j ) F( )
j j jxy F xy y i y y y 2 ˆF( ) ( j ) yy
2 21 / 2 / 2 j1( ) F e e d
2πx
R
c cy x
5.2 Fourier 变换的应用
Fourier 变换法求解步骤为：
（ 1 ）对定解问题作 Fourier 变换；（ 2 ）求解像函数；（ 3 ）对像函数作 Fourier逆变换。
j ˆF[ ( , )] ( , )e d ( , )xu x t u x t x u t
2 2j j
2 2
2 2
ˆd d ( , )F[ ( , )] ( , )e d ( , )e d
d dˆ ˆF[ ( , )] ( j ) ( , ) ( , )
x xtt tt
xx
u tu x t u x t x u x t x
t t
u x t u t u t
5.3 Laplace 变换
一、 Laplace 变换的定义定义 1 积分变换 称为 的 Laplace 变换，记作 称为 Laplace逆变换，记
作
0( ) ( )e dsxf s f x x
( )f x
L[ ( )] ( )f x f s j
j
1( ) ( )e d
2πjsxf x f s s
( )f s
1L [ ( )] ( )f s f x
二、 Laplace 变换的存在定理
定理 1 若 f(x) 函数满足下述条件：（ 1 ）当 x<0 时 ,f(x)=0 ；当 时， f(x) 在任一有限区间上分段连续。（ 2 ）当 时， f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数 M及 ，使得，则 在半平面上存在且解析。
0x≥
x
0 0 ≥ 0( ) , 0xf x Me x ≤ ≤
L[ ( )] ( )f x f s
三、常用函数的 Laplace 变换1 ．若 （ a 为复数），则
2 ．若 或 （ ），则
( ) eaxf x c( )
00
eL[ e ] e e d , Re Re
s a xax ax sx c c
c c x s as a s a
( ) sinf x bx cosbx b R
0
( j ) ( j )
0
2 2
L[sin ] sin e d
1 e e d
2j
1 1 1 , Re 0
2j j j
sx
s b x s b x
bx bx t
x
bs
s b s b s b
3 ．若 ， ，则
分别令 ，则
即
( )f x x Re 1
1 10 0
11L[ ] e d e d( ) , Re 0sx sxx x x sx sx s
s s
1 ( 0, 1, 2, )
2n n 及
1
21 1 π
L[ ]2
xss
1 1L
πx s
1 1
1 L[ ]n
n n
n nx
s s
！
四、 Laplace 变换的性质
1 ．线性定理
若 为任意常数，则
1 2, a a
1 1 2 2 1 1 2 2L[ ( ) ( )] L[ ( )] L[ ( )]a f x a f x a f x a f x
1 1 11 1 2 2 1 1 2 2L [ ( ) ( )] L [ ( )] L [ ( )]a f s a f s a f s a f s
2 ．延迟定理
L[ ( )] e L[ ( )]sf x f x 0 ≥
3 ．位移定理设 a 为复数，则有
0L[e ( )] ( ), Re( )ax f x f s a s a
4 ．相似定理
1L[ ( )] 0
sf cx f c
c c ，
5 ．微分定理
设 分段连续，则
( ) ( ) ( 1, 2, )nf x n
2
( ) 1 2 ( 1)
L[ ( )] L[ ( )] (0)
L[ ( )] L[ ( )] (0) (0)
L[ ( )] L[ ( )] (0) (0) (0)n n n n n
f x s f x f
f x s f x sf f
f x s f x s f s f f
6 ．积分定理
0
1L[ ( )d ] [ ( )]
x
f L f xs
7 ．像函数的微分定理
d( ) L[( ) ( )]
d
nn
nf s x f x
s
8 ．像函数的积分定理
( )d L[ ( ) / ]s
f u u f x x
9 ．卷积定理
1 2 1 2L[ ( ) ( )] L[ ( )] L[ ( )]f x f x f x f x
10．
L[ ( )] 1x L[1] 1/ s
五、展开定理
1 ． Jordan引理
设 L为平行于虚轴的固定直线 , 为一族以原点为中心并在 L左边的圆弧， 的半径随 而趋于无穷。若在 上，函数 满足 ，则对任一正数 x ，均有
nC
nC n
nC ( )g s lim ( ) 0n
n s Cg s
lim ( )e d 0n
sx
n Cg s s
2 ．展开定理设解析函数 满足条件：( )g s
（ 1 ）在开平面内只有极点为其奇点，且这些极点都分布在半平面 上；
（ 2 ）存在一族以原点为圆心，以 （ ）为半径的圆周 ，在这族圆周上 ， ；
（ 3 ）对任意一个 ，积分 绝对收敛。则 的原像 f(x) 为
0 1 2, , , , , ks s s s
0Re s ≤
nRlim nn
R
nC nC lim ( ) 0n
g s
0 ≥j
j( )dg s s
( )g s
( ) Res[ ( )e , ]sxk
kf x g s s
5.4 Laplace 变换的应用
例 1 用 Laplace 变换求解 5.2节例 4 的定解问题
2
0
, 0, 0
(0, )
( , 0) 0
t xxu a u x t
u t u
u x
5.5 其他的积分变换
定义 1 Hankel 变换是指，为 Bessel 函数。
定义 2 Hankel逆变换是指 定义 3 Mellin 变换是指
定义 4 Mellin逆变换是指
0( ) ( ) ( ) d , 1/ 2H s xf x J sx x x
≥
( )J x
0( ) ( ) ( ) df x sH s J sx s s
1
0( ) ( ) dsM s f x x x
j
j
1( ) ( ) d
2πj
cs
cf x M s x s
6.1 Poisson 方程与 Laplace 方程的边值问题6.2 Green 公式及调和函数的性质6.3 Dirichlet 与 Neumann 问题解的适定性6.4 Poisson 方程 Dirichlet 问题 Green 函数法6.5 几种特殊区域上 Dirichlet 问题的 Green 函
数6.6 Laplace 方程与热传导方程的基本解6.7 波动方程的基本解6.8 Poisson 方程边值问题近似求法简介
第六章 Green 函数法
6.1 Poisson 方程与 Laplace 方程的边值问题
Dirichlet 问题（第一类边值问题）：在空间中某一区域 V的边界 S上给定了一个连续函数 ，要求找出一个函数 满足以下定解问题
( , , )u x y z
0, ( , , )
( , , )S
u x y z V
u x y z
( , , ), ( , , )
( , , )S
u f x y z x y z V
u x y z
称这两个定解问题分别为 Laplace 方程 Dirichlet 问题与 Poisson 方程 Dirichlet 问题。
Neumann 问题（第二类边值问题）：在空间中某光滑的闭曲面 S上给出连续函数 ，要求找出一个函数 ，在 V内满足
( , , )u x y z
0, ( , , )
( , , )S
u x y z V
ux y z
n
( , , ), ( , , )
( , , )S
u f x y z x y z V
ux y z
n
这里是 S的外法线方向。则称这两个定解问题分别为Laplace 方程 Neumann 问题与 Poisson 方程 Neumann 问题。
Robin 问题（第三类边值问题）：若在 V内满足
( , , )u x y z
0, ( , , )
( , , ), ( , , )S S
u x y z V
uu x y z x y z
n
( , , ), ( , , )
( , , ), ( , , )S S
u f x y z x y z V
uu x y z x y z
n
称这两个定解问题分别为 Laplace 方程Robin 问题与 Poisson 方程 Robin 问题。
6.2 Green 公式及调和函数的性质
一、 Green 公式设 V是以分片光滑的曲面 S为边界的有界区域， 在 上连续 , 在 V内具有一阶连续的偏导数，则成立如下的 Gauss 公式
( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z V S
d cos , cos , cos , dx y z
V S
P Q R V P x Q y R z S n n n
d cos , cos , cos , dx y z
V S
P Q R V P x Q y R z S n n n
d d d dS V V V
u v u v v u v v u v v S
d dS V
u v v u u v v u v S
0 0 0
0
1 1 1 1 1( ) d d
4π 4πMM MM MMS V
uu M u S u V
r r r
n n
定理 1 Poisson 方程 Robin 问题
( , , ), ( , , )
( , , ), ( , , )S S
u f x y z x y z V
uu x y z x y z
n
的解为
0 0 0
0
1 1 1 1 ( )( ) [ ( ) ( ) ( )]d d
4π 4πMM MM MMS V
f Mu M M M S v
r r r
n
其中，侧向量为曲面外侧。
推论 1 Laplace 方程 Robin 问题
0, ( , , )
( , , ), ( , , )S S
u x y z V
uu x y z x y z
n
的解为
0 0
0
1 1 1( ) [ ( ) ( ) ( )]d
4π MM MMS
u M M M sr r
n
其中，侧向量为曲面外侧。
二、调和函数性质
定义 1 如果函数 在区域 （ S是区域 V的边界）上连续，具有二阶的连续偏导数，且满足 Laplace 方程：
( , , )u x y z V S
0, ( , , )u x y z V
则 称为区域 V上的调和函数。( , , )u x y z
性质 1 设 是区域 V上的调和函数，则有
( , , )u x y z
d 0S
uS
n
其中，是 n 沿 V的边界面 S的外法线方向。
推论 2 Laplace 方程 Neumann 问题：
0
S
u
u
n
有解的必要条件为 。
d 0S
S
性质 2 设是 区域上的调和函数，则有( , , )u x y z
0 0
0
1 1 1( ) d
4π MM MMS
uu M u S
r r
n n
其中， n 是沿 V的边界面 S的外法线方向。
性质 3 设 是区域 V上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即
( , , )u x y z ( , , )u x y z
0 2
1( ) ( )d
4πSR
u M u M SR
其中， 是以为 球心、 R 为半径的球面，且 完全落在 V 中。
RS0M
RS
性质 4 （极值原理） 假设 在有界区域 V内是调和函数，在闭区域 上连续，若 不为常数，则 的最大值和最小值只能在边界面 S 上达到。
( )u M
V S ( )u M
( )u M
推论 4 设在有界区域 V内的调和函数，在闭区域 上为连续，如果还在 V 的边界面 S 上恒为零，则它在 V 内各点处的值都等于零。
V S
推论 5 设在有界区域 V内的两个调和函数，在闭区域 上为连续，如果它们还在区域 V的边界面 S上取相等的值，则它们在 V内所取的值也彼此相等。
V S
6.3 Dirichlet 与 Neumann 问题解的适定性
定义 1 设定解问题由边界条件 得到的解为 ，由边界条件 得到的解为 ，如果在所讨论的区域中，对于任给的 ，总可以找到 ，使得当时 ， ，称解对边界条件是稳定的。
1 1u2 2u
0 0 1 2
1 2u u
定理 1 方程 的 Dirichle 问题的解是唯一的，对边界条件是稳定的。
定理 2 方程 的 Neumann 问题的解，若不计任意常数的差别，也仍然是唯一的。
定理 3 方程 的 Neumann 问题的解对边界条件不稳定。
0u
0u
0u
6.4 Poisson 方程 Dirichlet 问题 Green 函数法
一、空间 Dirichlet 问题 Green 函数法
Green 函数的性质主要有：
（ 1 ） Green 函数在 有一个奇点 ，其中
（ 2 ） Green 函数是以下 Poisson 方程 Dirichlet 问题的解
0M0
0
1( , ) ( )
4π MM
G M M v Mr
0
2 20 0( ) ( ) , =0MMr x x y y v
0 0 0( , ) ( ), ,
0S
G M M M M M M V
G
（ 3 ）定解问题的 Green 函数 仅依赖于区域，与边界条件无关。只要求得了区域的 Green 函数，就可以解决一类 Poisson 方程 Dirichlet 问题。（ 4 ）对于一些特殊区域，如球与半空间、圆与半平面等， Green 函数都可用简单的物理方法求得。（ 5 ） Green 函数有对称性：
0( , )G M M
1 2 2 1( , ) ( , )G M M G M M
定理 1 Poisson 方程 Dirichlet 问题
( , , )
( )S
u f x y z
u M
的解为
00 0
( , )( ) ( ) d ( , ) ( )d
S V
G M Mu M M S G M M f M V
n
定理 2 Laplace 方程 Dirichlet 问题
0
( )S
u
u M
的解为
00
( , )( ) ( ) d
S
G M Mu M M S
n
二、平面中 Dirichlet 问题的 Green 函数法
定理 3 平面 Poisson 方程 Robin 问题
( , ), ( , )
( , ), ( , )L L
u f x y x y D
uu x y x y
n
的解为
0 0
0
0
1 1 1 1( ) ( , )ln ( , ) ln d
2π 2π
1 1 ln ( , )d
2π
MM MML
MMD
u M x y x y Sr r
f x yr
n
定理 4 平面 Laplace 方程 Robin 问题
0, ( , )
( , ), ( , )L L
u x y D
uu x y x y
n
的解为
0 0
0
1 1 1 1( ) ( , )ln ( , ) ln d
2π 2πLMM MM
u M x y x y Sr r
n
式中 n为曲线 L的外法向量。
定理 5 平面 Poisson 方程 Dirichlet 问题
( , ), ( , )
( , )L
u f x y x y D
u x y
的解为
00 0
( , )( ) ( , ) d ( , ) ( , )d
LD
G M Mu M x y S G M M f x y
n
定理 6 平面 Laplace 方程 Dirichlet 问题
0, ( , )
( , )L
u x y D
u x y
的解为
0( ) ( , ) dL
Gu M x y S
n
定义 2 若 满足以下定解问题，则称之为平面区域上 Poisson 方程 Dirichlet 问题的 Green 函数：
0( , )G M M
0 0 0( , ) ( ), ,
0L
G M M M M M M D
G
其中，封闭曲线 L 为区域 D 的边界。
三、 Poisson 方程初始边界问题的 Green 函数法
定义 3 定解问题
0, (0, ), (0, )
(0, ) ( , ) 0
( , ) 0, ( , 0) ( )
G x a y b
G y G a y
G x b G x x s
的 解称为时边问题( , )G x y
0, (0, ), (0, )
(0, ) ( , ) 0
( , ) 0, ( , 0) ( )
u x a y b
u y u a y
u x b u x f x
的 Green 函数。
定理 7 时边问题
0, (0, ), (0, )
(0, ) ( , ) 0
( , ) 0, ( , 0) ( )
u x a y b
u y u a y
u x b u x f x
的解为
0( , ) ( ) ( , )d
a
u x y f s G x s y s
6.5 几种特殊区域上 Dirichlet 问题的 Green 函数
一、球和半空间上的 Green 函数定理 1 Poisson 方程 Dirichlet 问题
( , , )
( )S
u f x y z
u M
在球域上的解为2 2
00 02 2 3/ 2
0 0
1( ) ( ) d ( , ) ( )d
4π ( 2 cos )S V
R ru M M S G M M f M V
R R r Rr
推论 1 Laplace 方程 Dirichlet 问题
0
( )S
u
u M
在球域上的解为2 2
00 2 2 3/ 2
0 0
1( ) ( ) d
4π ( 2 cos )S
R ru M M S
R R r Rr
定理 2 Poisson 方程 Dirichlet 问题
0
( , , )
( )z
u f x y z
u M
在半空间 z>0 上的解为
00 02 2 2 3/ 2
0 0 0
( , )1( ) d d ( , ) ( )d
2π [( ) ( ) ]V
z x yu M x y G M M f M V
x x y y z
推论 2 Laplace 方程 Dirichlet 问题
0
0
( )z
u
u M
在半空间 z>0 上的解为
00 2 2 2 3/ 2
0 0 0
( , )1( ) d d
2π [( ) ( ) ]
z x yu M x y
x x y y z
二、圆和半平面上的 Green 函数定理 3 平面 Poisson 方程 Dirichlet 问题
2 2 2
( , ), ( , )
( , )x y R
u f x y x y D
u x y
的解为
2 2 2
0 1
2 20
0 2 20 0
0
1( ) ( )d
2π 2 cos
1 1 1 ln ln ( , )d
2π
x y R
MM MMD
R ru M M S
R R Rr r
Rf x y
r r r
推论 3 平面 Laplace 方程 Dirichlet 问题
2 2 2
0, ( , )
( , )x y R
u x y D
u x y
的解为
2 2 2
2 20
0 2 20 0
1( ) ( )d
2π 2 cosx y R
R ru M M S
R R Rr r
定理 4 上半平面 Poisson 方程 Dirichlet 问题
0
( , )
( )
xx yy
y
u u f x y
u x
的解的表达式为
0 1
2 2
1 1 1 1( , ) ( )d ln ln ( , )d
π ( ) 2π MM MMD
yu x y s S f x y
s x y r r
推论 4 上半平面 Laplace 方程 Dirichlet 问题
0
0
( )
xx yy
y
u u
u x
的解的表达式为
2 2
1( , ) ( )d
π ( )
yu x y s s
s x y
三、第一象限上的 Green 函数平面第一象限上的 Green 函数相当于求解定解问题
0
0 0
( ), 0, 0
0, 0x y
G M M x y
G G
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
M3 M2
M0 M1
6.6 Laplace 方程与热传导方程的基本解
一、 Lu=0 型方程的基本解
定义 1 方程 的解称为方程 的 Green 函数，又称为基本解。放置于坐标原点的电量为的点电荷的场的势函数满足Poisson 方程：
L ( )u M L ( )u f M
( , , ) ( , , )u x y z x y z
定义 2 方程 的解称为 Poisson 方程 的基本解。
定理 1 若 U 是一个基本解， u 是相应齐次方程 的任一解，则 仍是基本解，而且方程的全体基本解都可以表示成这种形式。
定理 2 若 是连续函数， 满足方程 ，则卷积
( , , ) ( , , )u x y z x y z ( )u f M
L 0u U u L ( )u f M
( )f M ( )U M L ( )u M
3
0 0 0( ) ( )dR
U f U M M f M M
二、 Poisson 方程的基本解定理 3 空间 Poisson 方程的特解为 0L ( ) /u M
3
00
0 0
( )1( ) d
4π ( , )R
Mu M M
r M M
其中，
2 2 20( , ) ( ) ( ) ( )r M M x y z
三、热传导方程 Cauchy 问题的基本解定理 4 设 是连续函数，且存在，则定解问题
( ), ( , )M f M t ( , ) ( ), ( , ) ( , )U M t M U M t f M t
L ( , , , )
( , , , 0) ( , , )
uu f x y z t
tu x y z x y z
的解为
3
3
0
0
( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d
( , , , ) , , d d d
d ( , , , ) ( , , , )d d d
t
R
t
R
u x y z t U M t M U M t f M
U x y z t
U x y z t f
定理 5
（ 1 ）一维热传导方程 Cauchy 问题的基本解为
（ 2 ）二维热传导方程 Cauchy 问题的基本解为
（ 3 ）三维热传导方程 Cauchy 问题的基本解为
2
2
1( , ) exp
42 π
xU x t
a ta t
2 2 2
2
1( , , ) exp
42 π
x yU x y t
a ta t
3 2 2 2
2
1( , , , ) exp
42 π
x y zU x y z t
a ta t
四、热传导方程边值问题的基本解定义 3 定解问题
L , 0, 0
(0, ) ( , ) 0
( , 0) ( )
tu u t x l
u t u l t
u x x
的解 称为( , )U x t
L ( , ), 0 , 0
(0, ) ( , ) 0
( , 0) ( )
tu u f x t x l t
u t u l t
u x x
的基本解。
定理 7 热传导方程边值问题
L ( , ), 0, 0
(0, ) ( , ) 0
( , 0) ( )
tu u f x t t x l
u t u l t
u x x
的解为
0 0 0( , ) ( , ) ( )d d ( , ) ( , )d
l t l
u x t U x s t s s U x s t f s s
6.7 波动方程的基本解一、波动方程 Cauchy 问题的基本解定义 1 定解问题
2
2L , , , , 0
( , 0) 0, ( , 0) ( )t
uu x y z t
tu M u M M
的解 称为 Cauchy 问题( , )U M t
23
2L ( , ), 0,
( , 0) ( ), ( , 0) ( )t
uu f M t t M R
tu M M u M M
定理 1 设 都是连续函数，都存在，则 Cauchy 问题
( ), ( ), ( , )M M f M t , , U U U f
23
2L ( , ), 0,
( , 0) ( ), ( , 0) ( )t
uu f M t t M R
tu M M u M M
的解为
0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )dt
u M t U M t M U M t M U M t f Mt
二、波动方程边值问题的基本解
定义 2 定解问题L , 0 , 0
(0, ) ( , ) 0
( , 0) 0, ( , 0) ( )
tt
t
u u x l t
u t u l t
u M u M x
的解 称为边值问题
( , )U M t
L ( , ), 0 , 0
(0, ) ( , ) 0
( , 0) ( ), ( , 0) ( )
tt
t
u u f x t x l t
u t u l t
u M x u x x
的基本解。
定理 3 设 都是连续函数，则边值问题
( ), ( ), ( , )x x f x t
L ( , ), 0 , 0
(0, ) ( , ) 0
( , 0) ( ), ( , 0) ( )
tt
t
u u f x t x l t
u t u l t
u M x u x x
的解为
0 0
0 0
( , ) ( ) ( , )d ( ) ( , )d
d ( , ) ( , )d
l l
t l
u M t s U x s t s s U x s t st
f s U x s t s
6.8 Poisson 方程边值问题近似求法简介
一、 Ritz 法定义 1 称为
极值问题的 EulerLagrange 方程。
( ( )) ( , , )db
aJ y x F x y y x
d0
d
F F
y x y
二、 Ritz 法 Dirichlet 定理
定理 1 （ Dirichlet ） Laplace 方程第三边值问题的解，使泛函取得最小值；反之，使泛函取得最小值的函数 ，一定是 Laplace 方程第三边值问题的解。
Γ
0, ( , )
xx yyu u x y
uku v
n
2( , )u u x y C
7.1 Bessel 方程及其幂级数解7.2 Bessel 函数的母函数及递推公
式7.3 Bessel 函数的正交性及其应用7.4 Bessel 函数的其他类型
第七章 Bessel 函数
7.1 Bessel 方程及其幂级数解
一、 Bessel 方程的引出
例 1 设有一个半径为的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。
例 2 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为 1 的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初始速度为。求其传播规律（假设对极角对称）。
( , )x y
21
二、 Bessel 方程的求解
定义 1 Neumann 函数( )cos π ( )
( )sin π
J x J xY x
称为第二类 Bessel 函数。
这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类 Bessel 函数，记作
2
20
( ) ( 1)2 ! ( 1)
n mm
n n mm
xJ x
m n m
7.2 Bessel 函数的母函数及递推公式
一、 Bessel 函数的母函数（生成函数）定义 1 函数 称为 Bessel 函数的母函数。1
( )2ex
zz
j cos j
j j0
1
01
e ( ) j e
( ) [ ( ) j e ( ) j e ]
( ) 2 j ( )cos
x n nn
n
n n n nn n
n
nn
n
J x
J x J x J x
J x J x n
二、 Bessel 函数的积分表达式1
( )2
1
1 e( ) d
2πj
x
n nCJ x
π πj sin j 1 j j( sin )
π π
π
π
1 1( ) e (e ) je d e d
2πj 2π
1 cos( sin )d , ( 0, 1, 2, )
2π
x n x nnJ x
x n n
三、 Bessel 函数的递推公式
第二类 Bessel 函数也具有与第一类 Bessel 函数相同的递推公式：
1
1
1 1
1 1
d[ ( )] ( )
dd
[ ( )] ( )d
2( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )
n nn n
n nn n
n n n
n n n
x Y x x Y xx
x Y x x Y xx
nY x Y x Y x
xY x Y x Y x
四、渐近公式、衰减振荡性和零点Bessel 函数的渐近公式
3/ 22 π π( ) cos ( )
π 2 4n
nJ x x o x
x
零点的近似公式π 3π
π , ( )2 4k
nx k k Z
( )nJ x
( )nJ x 的无穷多个实零点是关于原点对称分布的，必有无穷多个正零点。 ( )nJ x
1 ． 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布的。因而， 必有无穷多个正的零点；2 ． 的零点与 的零点是彼此相间分布的，即 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的零点；3 ．以 表示 的正零点，则 当时无限地接近于 ，即 几乎是以 2 为周期的周期函数。
( )nJ x
( )nJ x
( )nJ x 1( )nJ x
( )nJ x
1( )nJ x( )nm ( )nJ x
( ) ( )1
n nm m m
π ( )nJ x π
7.3 Bessel 函数的正交性及其应用
一、 Bessel 函数的正交性定理 1 Bessel 函数系 具有正交性：
( )
( 1, 2, )n
mnJ r m
R
( ) ( )
2 2 ( ) 2 2 ( )01 1
0, ( )d 1 1
( ) ( ), 2 2
n nRm k
n n n nn m n m
m krJ r J r r
R R R J R J m k
定义 1 定积分 的平方根，称为Bessel 函数的模值。
2 ( )
0
1d
Rn
n mrJ r rR
( )1 n
n mJ rR
定理 2 若 在区间 [0, R]至多有有限个跳跃型间断点，则 f(x) 在区间（ 0, R）内在连续点处的 Bessel展开级数收敛于该点的函数值，在间断点收敛于该点左右极限的平均值。
( ), ( )f x f x
( )
1
( )n
mm n
m
f r A J rR
( )
2 02 ( )1
1( ) d
( )2
nRk
k nn
n k
A rf r J r rR R
J
二、 Bessel 函数应用举例
例 1 设 是方程的 所有正根，试将函数展开成 Bessel 函数 的级数。
( 1, 2, )n n 0 ( ) 0J x 2( ) 1 , (0 1)f x x x
0 ( )nJ x
例 2 半径为 b ，高为 h 的均匀圆柱体，下底和侧面保持为零度，上底温度分布为 。求圆柱内的稳定温度分布。
2r
7.4 Bessel 函数的其他类型一、第三类 Bessel 函数第三类 Bessel 函数又名 Hankel 函数，它是由下列公式来定义的：
(1) ( ) ( ) j ( )n n nH x J x Y x (2) ( ) ( ) j ( )n n nH x J x Y x j 1
( ) ( )1
d( ) ( )
dn i n i
n nx H x x H xx
( ) ( )1
d( ) ( )
dn i n i
n nx H x x H xx
( ) ( ) ( )1 1
2( ) ( ) ( )i i i
n n n
nH x H x H x
x
( ) ( ) ( )1 1
d( ) ( ) 2 ( )
di i i
n n nH x H x H xx
，
，
二、虚宗量的 Bessel 函数
关于第二类虚宗量 Bessel 函数 定义如下：
( )nK x
（ 1 ）当是非整数时
（ 2 ）当为整数时
π[ ( ) ( )]( )
2sin πn n
n
I x I xK x
n
π[ ( ) ( )]( ) lim
2sin πa a
n a n
I x I xK x
a
三、 Kelvin 函数（ Thomson 函数）0 0
22
2 20 0
2 4 2 1 4 2 4 4 2
2 2 2 20 0 0 0
( j) ( j j)
j j1 j ( 2) ( 1) ( )
( !) 2 ( !)
j ( 2) j ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
[(2 )!] [(2 1)!] [(2 )!] [(2 1)!]
m mm m
m m
k k k k k k k k
k k k k
J x J x
x x
m m
x x x xj
k k k k
3 5 7
1
1 ( 2) ( 2) ( 2)ber ( )
2 1!2! 2!3! 3!4!2
x x x xx
3 5 7
1
1 ( 2) ( 2) ( 2)bei ( )
2 1!2! 2!3! 3!4!2
x x x xx
四、球 Bessel 函数不论是对热传导方程或对波动方程分离变量，都会导出所谓的球 Bessel 方程
22 2 2
2
d d2 [ ( 1)] 0
d d
R Rr r k r v v R
r r
22 2
2
d d2 [ ( 1)] 0
d d
y yx x x v v y
x x
8.1 Legendre 方程及其幂级数解8.2 Legendre 多项式的母函数及递推公
式8.3 Legendre 多项式的展开及其应用8.4 连带 Legendre 多项式
第八章 Legendre 多项式
8.1 Legendre 方程及其幂级数解
一、 Legendre 方程的引出在球坐标系中 Laplace 方程为
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
u u ur
r r r r r
22
2
d d(1 ) 2 ( 1) 0
d d
P Px x n n P
x x
二、 Legendre 方程的求解2
22
d d(1 ) 2 ( 1) 0
d d
y yx x n n y
x x
2 41 0
( 1) ( 2)( 1)( 3)1
2! 4!
n n n n n ny a x x
3 52 1
( 1)( 2) ( 1)( 3)( 2)( 4)
3! 5!
n n n n n ny a x x x
三、 Legendre 多项式1 ． Legendre多项式
2
0
(2 2 )!( ) ( 1)
2 !( )!( 2 )!
Mm n m
n nm
n mP x x
m n m n m
其中
, 22
1, 2 1
2
nn k
Mn
n k
2 ． Legendre多项式的微分表达式—— Rodrigues公式
定理 1 满足 Rodrigues 公式
21 d( ) ( 1)
2 ! d
nn
n n nP x x
n x
( )nP z
3 ． Legendre多项式的积分表达式
定理 2 满足积分表达式( )nP z
2
1
! ( 1)( ) d
2πj 2 ( )
n
n n nC
nP z
z
8.2 Legendre 多项式的母函数及递推公式
一、 Legendre 多项式的母函数1 ( 1)/ 2 / 2
( 1)/ 2 / 2 / 2 2
/ 2
1
1 2 1 2 1( ) 2 2 d
2πj 1 1 ( 1)
1 ( 1) d
2πj 2 ( )
( )
n
nn
C
n
n nC
n
x x xc x
x
P x
2 0
1( , ) ( )
1 2
nn
n
G x z P x zxz z
称为 Legendre 多项式的母函数。( , )G x z
二、 Legendre 多项式的递推公式定理 1 Legendre 多项式满足以下的递推公式：
1 1
1
1 1
(2 1) ( ) ( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1, 2, 3,
n n n
n n n
n n n
n xP x nP x n P x
P x xP x nP x
nP x xP x P x
n
8.3 Legendre 多项式的展开及其应用
一、 Legendre 多项式的正交性定理 1 Legendre 多项式序列 在区间 [-1,1] 上正交，即
0 1( ), ( ), , ( ), nP x P x P x
1
1( ) ( )d 0, ( ; , 0, 1, 2, )m nP x P x x m n m n
二、 Legendre 多项式的归一性
定理 2 Legendre 多项式满足
12
1
2( )d , ( 0, 1, 2, )
2 1nP x x nn
三、展开定理的叙述
定理 3 若在区间 [1, 1]至多有有限个跳跃型间断点，则 f(x) 在区间 (1, 1) 内连续点处的Legendre 多项式展开级数收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。
0
( ) ( )n nn
f x c P x
1
1
2 1( ) ( )d , 0, 1, 2,
2n n
nc f x P x x n
8.4 连带 Legendre 多项式
一、连带 Legendre 多项式的定义
连带 Legendre 方程
2 22
2 2
d d(1 ) 2 ( 1) 0
d d 1
y y mx x n n y
x x x
二、连带 Legendre 多项式的正交性和归一性1 1
2 2 ( ) 2
1 1
12 ( ) ( 1)
1
1( 1) 2 ( )
1
[ ] d (1 ) [ ] d
d (1 ) d
dd
[(1 ) ]dd
m m mn n
m m mn n
m m mn n
P x x P x
x P P xx
P x P xx
1 12 2 1 ( 1) 2
1 1
11 2
1
[ ] d ( )( 1) (1 ) [ ] d
( )( 1) [ ] d
m m mn n
mn
P x n m n m x P x
n m n m P x
12
1
( )! 2[ ( )] d
( )! 2 1m
n
n mP x x
n m n
三、 Laplace 方程在球形区域上的 Dirichlet 问题
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 1 cos 10
sin sin
( , ), , 0 π, 0 2π r R
u u u u u
r r r r r
u f r R
≤ ≤ ≤ ≤
0( , , ) ( , )n
nn
u r r Y
9.1 保角变换及其性质9.2 保角变换降维法9.3 Laplace 方程的保角变换解
法
第九章 保角变换法
9.1 保角变换及其性质区域 D内第一类保角变换有如下性质：
（ 1 ）在 z 平面上区域 D内任意一个以点为中心的无穷小圆周，当只考虑 的线性部分时，对应于w 平面上一个以 为中心的圆周，且其环绕的方向与原圆周相同。（ 2 ）变换具有保角性，在 连续映射之下，若则通过已知点 的任两条有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变。（ 3 ）变换具有保形性。对于 D内的第一类保角变换，若变换是单叶的，即对于 ，有 ，则称是保形变换。
( )f z
0 0( )f z
9.1 保角变换及其性质
( )f z
( )f z 0'( ) 0f z
0z
( )f z
1 2z z 1 2( ) ( )f z f z ( )f z
9.2 保角变换降维法1 ．保角变换降维法
有半无限大平板 y>0 ，在边界 y=0 上，处保持温度 。在 处温度保持为零度。求平板上温度分布。
| |x a
0u | |x a
Z平面 11( ,)平面 ( ,)平面
0u
0uaa
0u
2 ．保角变换降维法一般定理
定理 1 如果 是 Laplace 方程 的解，那么当 由一保角变换成一个 的函数，仍满足 Laplace 方程。
( , )x y2 2
2 20
x y
( , )x y , u v
2 2
2 20
x y
9.3 Laplace 方程的保角变换解法
经常要求一个二元的实函数在已知的区域中调和并满足已知区域的边界条件，也就是求解 Laplace 方程的问题。把复杂的边界化为简单边界，不妨利用保角变换法。前面已经证明，一个Laplace 方程的解经过保角变换后仍然是相应的 Laplace 方程的解。下面举例说明如何通过保角变换法来解 Laplace 方程。对于 Laplace 方程，可用分离变量法或解的积分公式来解决。但如果边界的形状比较复杂，分离变量法和积分公式用起来都有困难，则常可用保角变换把某个（边界形状比较复杂）区域内的 Laplace 边值问题变换为某个新区域（边界形状比较简单，比如圆、上半平面或带形域等）的 Laplace 边值问题。
10.1 典型非线性方程10.2 行波解10.3 HopfCole 变
换10.4 逆散射方法10.5 Bäcklund 变
换
第十章 非线性数学物理方程简介
10.1 典型非线性方程
定义 1
定义 2
0t x xxu uu au 0a 称为 Burgers 方程。
6 0t x xxxu uu u 称为 KdV 方程。
定义 3
0t x xx xxxu uu u u 0 0 称为 KdVB 方程。
定义 4
20
d ( )0
dtt xx
V uu c u
u 称为 KleinGordon 方程。
定义 5 2
j 0t xxu u u u 称为非线性 Schrödinger 方程或 NLS 方程。
定义 6
( , )t x x xxxu uu u u f x t 称为 KuramotoSivashinsky （ KS ）方程。
定义 7
偏微分方程的行波解是指具有形式的解。
( )u F x ct
10.2 行 波 解一、 Burgers 方程的行波解
Burgers 方程的行波解： 1
1 2 1 21 0 1 2 0
( ) ( )( )exp 1 exp
2 2
u u s u u su u c u u c
a a
s x ct
L2
L1
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
1.5
1
0.5
0
0.5
1
三、 SineGordon 方程的行波解
设 SineGordon 方程的行波解为
( ) ( )u u s u x ct
22 2
0 02
d( ) sin 0
d
uc c V u
s
二、 KdV 方程的行波解KdV 方程的行波解为
2 0( )sech
2 2
s scu c
s x ct
2
1.5
1
0.5
0
0.5 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
c=4
c=2
四、 NLS 方程的行波解
NLS 方程有一个非常简单的单频解
j( )e kx tu A 22k A
10.3 HopfCole 变换
定理 1 扩散方程 与 Burgers 方程的解之间满足
t xxv av 0t x xxu uu au
ln2
vu a
x
定理 2 若 是线性方程 与的解，则
( , )v v x t 0x xxv v 0t xxxv v
2
2
ln2
vu
x
是 KdV 方程 的解。
6 0t x xxxu uu u
定理 3 若 是线性方程与 的解，则
( , )v v x t 0, 05t xx xxx x xxv v v v v
0x xxv v
12 lnln 12
15
vu v
x x
是 KdVB 方程 的解。0t x xx xxxu uu u u
10.4 逆散射方法求解 KdV 方程的 Cauchy 问题的逆散射法可以归纳为：（ 1 ）一维 Schrödinger 方程在无穷维空间的特征值问题及相应系数；（ 2 ）确定 t=0 时散射信息，归纳得出任意时刻的散射信息，得到 ；（ 3 ）由 ，求得 。
( , )x t2
2
d( ) ( , )
dt u x t
x
( , )u x t
10.5 Bäcklund 变换
1 ．不同方程之间的 Bäcklund变换设 分别为非线性偏微分方程与线性偏微分方程， T,K 是微分算子。若存在微分算子 P,Q使下面方程组成立：
T ( , ) 0, K ( , ) 0u x t v x t
P , , ,
Q , , ,
x x t
t x t
u u v v v
u u v v v
则称方程组为 Bäcklund 变换（ u,v 可以互换）。
2 ．自 Bäcklund变换
设 是同一个非线性方程的不同解。若存在微分算子 P,Q使下面方程组成立：
1 2( , ), ( , )u x t u x t
2 1 12 1
2 1 12 1
P , , , ,
Q , , , ,
u u uu u a
x x t
u u uu u a
t x t
则称方程组为自 Bäcklund 变换。
