МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
DESCRIPTION
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ. В. В. Жук, к. ф .-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им . О. Жаутыкова , Алматы. Сайт: www.zhukmath.ru , e-mail : [email protected] , [email protected]. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИ
Я УГЛОВ МЕЖДУ
ПЛОСКОСТЯМИВ. В. Жук, к.ф.-м. н.,
учитель математики высшей категории,заведующий кафедрой математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова, Алматы
Сайт: www.zhukmath.ru,e-mail: [email protected], [email protected]
Основные методы нахождения угла между плоскостями
1. Классический (геометрический) метод2. Площадь ортогональной проекции3. Угол между нормалями4. Угол между плоскостью и нормалью к
другой плоскости5. Векторный метод6. Теорема о трех синусах7. Теорема косинусов для двугранного угла8. Свойства трехгранных углов9. Метод прямоугольного тетраэдра 110.Метод прямоугольного тетраэдра 2
(А. Фельдман)11. Координатный метод
1. Классический (геометрический) метод
Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна . Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.
3
1,
, 3,
, , , .
: ; .
AB BC AC
SA ABC SA
SB AC SC AB
Найти
1, , 3, , , , .
: ; .
AB BC AC SA ABC SA SB AC SC AB
Найти
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
, ,
2, 3.
A B AB AC AC B C BC
A B AC B C AA
1
3,
2AM SA AM
1 1 1 1;SAC SA B
1 1 1 1,
Потеореме отрех
перпендикулярах
B M SA C M SA 1
1 1cos cos , arccos
5 5B CB
2. Площадь ортогональной проекции
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого много-угольника, умноженной на косинус угла между плоскостями много-угольника и его проекции.
'' cos cos
SS S
S
Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна . Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.
3
1,
, 3,
, , , .
: ; .
AB BC AC
SA ABC SA
SB AC SC AB
Найти
1, , 3, , , , .
: ; .
AB BC AC SA ABC SA SB AC SC AB
Найти
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
2 ,
cos cos
cos2
B SA С A SA C
B SA С
A SA С
1 1 1
1 1
3 15,2 2
3 3cos
515
SAA SA CS S
A SA C
1
1 1
1 1
1 1cos SAA
SA C
С A SAA
SA SA C
S
1 1
3 1cos cos2 2 1 ,
5 5
1arccos
5
A SA С
3. Угол между нормалямиТочка Е – внутри двугранного у α гла величиной α. EF и EG – перпендикуляры на грани угла. Найдите
угол FEG равен π – α.
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.
,
; ;
a
b
a b
4. Угол плоскостью и нормалью к другой плоскости
Угол между плоскостями равен прямому углу минус угол между одной из этих плоскостей и нормалью к другой плоскости.
; ;2
a a
Задача 2. На ребре С’D’ куба ABCDA’B’C’D’ отметили точку М – середину этого ребра№ Найти угол между плоскостями (ACD’) и (DCM).
5. Векторный метод
Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна . Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.
3
1,
, 3,
, , , .
: ; .
AB BC AC
SA ABC SA
SB AC SC AB
Найти
1, , 3, , , , .
: ; .
AB BC AC SA ABC SA SB AC SC AB
Найти
2 2 2
, ,
3, 1, 1,
10, 0,
2
a AS b AB c AC
a b c
ab ac bc
����������������������������������������������������������������� �����
0, 0,cos
,
m nm n
m nm n
������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
3 0 0
10 1
21
0 12
a b c
a
b
c
, 0,
0, 6 2 0,
2 0.0;
m xa yb zc m SB m AC
xa yb zc b a x y z
y zxa yb zc c
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
4 2 ,
,
2 4 ,
3 1cos ,
515 151
arccos .5
m a b c
аналогично
n a b c
��������������������������������������������������������
6. Теорема о трех синусах
Теорема. В одной из граней двугранного угла, равного γ, проведена прямая, не параллельная его ребру и составляющая с ребром угол, равный α. Если β – угол между данной прямой и плоскостью грани двугранного угла её не содержащей, то .sin sin sin
Задача 3. Стороны прямоугольника равны 1 и 2. Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости
π, а диагональ прямоугольника образует с ней угол,
равный β. Найти угол между плоскостью π и плоскостью прямоугольника. 2
sin sin5
5arcsin sin
2
1, , 3, , , , .
: ; .
AB BC AC SA ABC SA SB AC SC AB
Найти
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 1 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ СИНУСАХ
7. Теорема косинусов для двугранного угла
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О КОСИНУСОВ ДЛЯ
ДВУГРАННОГО УГЛА
8. Свойства трехгранных углов
9. Метод прямоугольного тетраэдра 1
РАССМАТРИВАЛСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ
10. Метод прямоугольного тетраэдра 2 (А. Фельдман)
А. Фельдман, Метод прямоугольногоТетраэдра // Математика. 1 сентября, №7, 2012, с. 12-21
11. Координатный метод
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА
Пусть плоскости заданы своими уравнениями:
тогда
.
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0,
: 0,
A x B y C z D
A x B y C z D
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos ; .A A B B C C
A B C A B C