ogurtsovaok.files.wordpress.com · web view3. Сумма углов треугольника....

Министерство образования и науки

ФГБОУ ВПО Нижегородский государственный педагогический университет

Элементарная математика: геометрические фигуры и их свойства в задачах на доказательство и вычисление

Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики,

информатики и физики

Нижний Новгород2011

Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета

Кузнецова Л.И., Кириллова С.В., Огурцова О.К.Элементарная математика: геометрические фигуры и их свойства

в задачах на доказательство и вычисление: Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н. Новгород: НГПУ, 2011, 72 с.

В пособии представлен раздел курса элементарной математики «Планиметрия. Задачи на доказательство и вычисление». В него включены темы «Треугольник», «Четырехугольник», «Окружность». В каждой теме содержатся основные теоретические положения, наборы решенных ключевых задач, выделены характерные для темы методы и приемы решения задач, приведены списки задач для аудиторной и самостоятельной работы, темы рефератов, указана литература к ним.

Предназначено для студентов факультета математики, информатики и физики, обучающихся по специальности «032100.00 – Математика с дополнительной специальностью».

Рецензент: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор кафедры теории и методики обучения математике.

Отв. за выпуск: С.В. Кириллова, доцент кафедры теории и методики обучения математике.

2

ВведениеЦель данного учебно-методического пособия по планиметрии –

оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики

в усвоении курса элементарной математики, в частности раздела

«Планиметрия. Задачи на доказательство и вычисление». Раздел содержит

три дидактические единицы: геометрия треугольника, геометрия

четырехугольника и геометрия окружности. В разработке каждой

дидактической единицы представлено следующее содержание:

систематизированный теоретический материал; задачи, иллюстрирующие

применение этого материала; комментарий к поиску и решению ключевых

задач, в котором отражены основные методы и приемы поиска и решения

задачи; список задач для аудиторной и самостоятельной работы студентов.

Для каждой дидактической единицы запланированы следующие виды

учебной деятельности студентов.

1. Аудиторные занятия: лекции и практикумы.

2. Самостоятельная работа студентов:

- подготовка к практическим занятиям: изучение математической

литературы по каждой теме, анализ учебников по математике для школы,

выполнение практических заданий, подготовка к выступлению (по теории

или с решением конкретных задач);

- разработка материалов для проведения микросреза (теоретического

характера) по конкретной теме;

- разработка материалов для проведения микросреза (практического

характера) по конкретной теме;

- создание "методической копилки" (подбор упражнений для

конкретной темы, наглядные пособия, дидактические материалы, творческие

упражнения, дифференцированные задания и др.);

- самостоятельное изучение отдельных тем;

- написание реферата по конкретной теме;

3

- подготовка к контрольным работам по отдельным темам и к

тестированию.

3. Контроль самостоятельной работы студентов:

- текущий контроль (выполнение кратких письменных работ; создание

«банка» задач; решение задач из списков);

- промежуточный контроль (выполнение контрольных работ; отчет по

спискам задач).

Для организации самостоятельной деятельности студентов в пособие

включены, кроме списков задач, темы рефератов (приложение 2), список

литературы и две контрольные работы (приложение 1). Темы рефератов

подобраны таким образом, чтобы углубить и расширить материал

представленного в пособии раздела планиметрии. Список литературы

содержит источники, в которых находится достаточно теоретического и

задачного материала для подготовки к практическим занятиям, написания

рефератов, подборки заданий для микросрезов, создания собственного

«банка» задач по конкретной теме. Контрольные работы отражают уровень

обязательных требований к знаниям и умениям студентов по данному

разделу и предназначены для подготовки к аудиторной контрольной работе.

Задачи, представленные в пособии, частично заимствованы из

литературы, частично составлены авторами. Ответы к задачам прилагаются.

Примерный тематический план изучения раздела

№ Т Е М Ы Часы

Задачи для

аудиторной

работы

Задачи для

самостоятельной

работы

Л Е К Ц И Я

1-2.Методы и приемы решения

геометрических задач4 10-15

П Р А К Т И Ч Е С К И Е З А Н Я Т И Я

3. Сумма углов треугольника.

Неравенства в треугольнике.

Равнобедренный и прямоугольный

2 16-20 21-25

4

треугольники

4. Признаки и свойства равенства и подобия треугольников 2 26-30 31-35

5. Пропорциональные отрезки в треугольниках 2 36-40 41-45

6. Площадь треугольника. Метод площадей 2 46-50 51-55

7.Теоремы синусов, косинусов, формулы для вычисления длин медиан, биссектрис

2 56-60 61-65

8. Теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля в решении задач 2 66-70 71-75

9.Понятие четырехугольника, виды четырехугольников, их свойства и признаки

2 81-85 86-90

10. Метрические соотношения в четырехугольнике 2 91-95 96-100

11.Площадь четырёхугольника. Метод площадей в решении задач на четырёхугольники

2 101-105 106-110

12. Контрольная работа № 1 2 П р и л о ж е н и е 1

13.Окружность и круг. Измерение углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в круге

2 118-122 123-127

14.Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник

2 128-132 133-137

15. Вневписанная окружность. Вспомогательная окружность 2 138-142 143-147

16. Контрольная работа № 2 2 П р и л о ж е н и е 1

17.Окружность, описанная около четырехугольника. Окружность, вписанная в четырехугольник

2 148-152 153-157

Изучение раздела «Планиметрия. Задачи на доказательство и

вычисление» направлено на формирование у студента следующих

компетенций:

- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,

восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения

(ОК-1);

- способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);

- готов к взаимодействию с коллегами, к работе в коллективе (ОК-7);

5

- готов использовать основные методы, способы и средства получения,

хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как

средством управления информацией (ОК-8);

- способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях

(ОК-9);

- способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и

полемики (ОК-16).

- осознанием социальной значимости своей будущей профессии,

обладанием мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности

(ОПК-1);

- владением основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);

-владеет основными положениями классических разделов

математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой

основных математических структур и аксиоматическим методом (СК-1);

- владеет культурой математического мышления, логической и

алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру

математического знания, взаимосвязь между различными математическими

дисциплинами, реализовывать основные методы математических

рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта

решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики,

корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания

(СК-2);

- способен понимать универсальный характер законов логики

математических рассуждений, их применимость в различных областях

человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук,

значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и

практике, общекультурное значение математики (СК-3);

- владеет математикой как универсальным языком науки, средством

моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением

математических моделей для решения практических проблем, понимать 6

критерии качества математических исследований, принципы

экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4);

- владеет содержанием и методами элементарной математики, умеет

анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики

(СК-5).

В результате освоения раздела обучающийся:

знает:

аксиомы и определения абсолютной геометрии;

признаки и свойства треугольников и их частных видов

(равнобедренный, равносторонний, прямоугольный);

признаки и свойства биссектрис, медиан, высот, средних линий в

треугольниках разных видов;

определения, свойства, признаки отношений равенства и подобия

треугольников;

теоремы о метрических соотношениях в треугольниках;

определения, свойства, признаки параллелограмма и его частных видов

(прямоугольника, ромба, квадрата);

теорем о площадях четырехугольников и их частных видов;

метрические соотношения в четырехугольниках;

какие дополнительные построения характерны для треугольников,

четырехугольников, в частности, трапеции;

определения окружности, радиуса, диаметра, хорды, касательной к

окружности, секущей;

теоремы о диаметре, перпендикулярном к хорде, о свойстве и признаке

касательной к окружности, о свойствах касательных, проведенных к

окружности из одной точки;

теоремы об углах, связанных с окружностью (центральный, вписанный,

с вершиной внутри круга, с вершиной вне круга, образованный

касательной и хордой);

теоремы о метрических соотношениях в окружности;7

свойства, касающиеся взаимного расположения двух окружностей;

теоремы о замечательных точках в треугольнике;

определения и свойства окружности, описанной около треугольника,

вписанной и вневписанной в треугольник окружностей;

ситуации, в которых окружность выступает как вспомогательная

фигура (дополнительное построение);

имеет представление:

об анализе и синтезе как методах рассуждения, поиска решения задачи,

исходя из её требования (анализ) или условия (синтез), об аналитико-

синтетическом методе;

об анализе и синтезе как методах решения задач на доказательство и

вычисление;

о методах от противного, исчерпывающих проб, полной индукции в

решении задач;

о сущности конструктивного (синтетического) и алгебраического

методов решения задач;

о сущности метода площадей и приемах, входящих в метод площадей;

умеет применять перечисленные выше знания и представления к

решению типовых геометрических задач на доказательство и

вычисление;

владеет методами равных треугольников, подобных треугольников,

алгебраическим методом, методом площадей, приемом

дополнительных построений.

8

Тема 1. Геометрия треугольникаОсновные теоретические положения

I.Произвольный треугольник

: , , – углы, , , - стороны.

1. .

2. , – внешний, .

3. Определение и свойства равных

треугольников. Признаки равенства треугольников.

4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.

Если в и , , , то удобно записывать

~ , тогда без рисунка можно записать .

5. Пропорциональные отрезки.

, ,

.

Если – середина , то – середина .

6. Биссектриса, медиана, высота. Их определения, свойства.

а) биссектрисы пересекаются в одной точке;

б) прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке (эта точка

называется ортоцентром треугольника);

в) медианы пересекаются в одной точке (эта точка называется

центроидом треугольника);

г) медианы точкой пересечения делятся в отношении : , считая от

вершины;

д) если – биссектриса в треугольнике, то ;

.

9

С

A B

La

c

b

D

A B

CD

N

MOAB||CD

е) если и –

прямые, содержащие высоты

и треугольника ,

то ~ , .

7. Теорема косинусов.

.

– острый,

– тупой,

– прямой.

8. Теорема синусов: , – радиус описанной

окружности треугольника.

9. Площадь треугольника.

, . , – радиусы

описанной и вписанной окружностей соответственно, – полупериметр

треугольника.

10.Следствия из теоремы о площади треугольника.

; Если – точка пересечения медиан, то

,

11. 12.Средняя линия треугольника

10

A B

CB1

A1

A B

C

A1B1

С

D BA

С

B1 A1

C1

M

A B

Три средние линии образуют

четыре равных треугольника,

подобных треугольнику

с коэффициентом .

II.Равнобедренный треугольник

Определение, свойства, признаки: углы, прилежащие к основанию,

равны; биссектриса, медиана, высота, проведенные к основанию, совпадают.

III.Равносторонний треугольник

1. Биссектриса, медиана, высота, проведенные из одной вершины,

совпадают. Треугольник имеет центр – точка пересечения биссектрис,

медиан, высот, центр вписанной и описанной окружностей.

2. Если – сторона треугольника, то , , , .

IV.Прямоугольный треугольник

1.

.

2. .

3. ;

;

;

.

4. .

5. Теорема Пифагора и ей

обратная:

.

6.

,

,

,

,

=

.

11

C C1

A1 BA

C

C1

B1 A1

A B

A1B1|| AB, A1B1= AB.И средние линии образуют четыре равных треугольника, подобных треугольнику ABC с коэффициентом .

C

B

MH

mc

hc

b

a

A

V.Метод площадей

(формулы площадей треугольников, многоугольников, свойства

площадей используются при решении задач и доказательстве теорем,

в условиях и требованиях которых ничего не говорится о площадях.)

Основные приемы

1. Линейные (угловые) элементы и соответствия между ними можно

найти, применяя различные формулы для вычисления площади треугольника

(многоугольника).

2. Если треугольник (многоугольник) разбит на несколько треугольников,

то можно использовать свойство о том, что сумма площадей частей равна

площади исходного многоугольника (см. доказательство теоремы Пифагора в

учебнике [2]).

3. Отношение отрезков можно заменить отношением площадей

треугольников (см. доказательство теорем Менелая и Чевы в учебнике [3]).

4. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то

можно использовать тот факт, что отношение произведений сторон,

заключающих равные углы, равно отношению площадей соответствующих

треугольников. (см. доказательство первого признака подобия треугольников

в учебнике [2]).

5. При доказательстве геометрических неравенств можно использовать

неравенство для треугольника: .

VI.Теоремы Менелая и Чевы

1. Теорема Менелая.

Пусть на сторонах или на продолжении сторон ,

, треугольника отмечены точки , , ,

не совпадающие с его вершинами, причем

, , . Тогда если точки

, , лежат на одной прямой, то ;

обратно: если , то точки , , лежат на одной прямой.

12

A1

C1

B

A

С

B1

2. Теорема Чевы.

Пусть на сторонах или продолжениях сторон , , треугольника

отмечены точки , , , не совпадающие с его вершинами, причем

, , . Тогда если прямые , ,

пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то ; обратно:

если , то прямые , , пересекаются в одной точке или попарно

параллельны.

VII.Дополнительные построения в треугольнике

1. Строится биссектриса, медиана, высота к основанию в равнобедренном

треугольнике.

2. Проводится высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

3. Удвоение медианы в треугольнике:

.

Появляются равные отрезки, равные углы,

пары равных треугольников, параллелограмм.

4. Если требуется получить половину отрезка, если есть середина одной

стороны треугольника, то может быть полезна средняя линия в треугольнике.

5. Точки , , определяют четыре

отношения:

, , , .

Если два из них известны, то два других можно

найти с помощью дополнительного построения

|| или || .

13

С

A

O

B

B1 A1

С1

A1 B1

C1

C

A B

C

M

N

BA

B

B1

A

A1

B2A2

C

6. Если одна сторона в треугольнике в два раза больше другой, то

проводится медиана к большей стороне.

7. Если один угол в треугольнике в два раза больше другого, то

проводится биссектриса большего угла.

8. Если речь идет о сумме двух сторон, то на продолжении одной из них

за общую вершину откладывают другую.

Если речь идет о разности сторон, то от их общей вершины на большей

стороне откладывается меньшая.

Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических

положений

Задача 1. Через вершину треугольника проведена прямая,

перпендикулярная биссектрисе угла , а из вершины проведен

перпендикуляр к этой прямой. Доказать,

что периметр треугольника больше

периметра треугольника [2, № 345].

Решение. 1. Периметры треугольников

и равны соответственно

и .

Следовательно, нужно доказать, что .

2. «Спрямим» ломаную : на продолжении отрезка за точку

отложим отрезок , равный (рис.1). Применяя неравенство

треугольника для треугольника получим .

Осталось доказать, что .

3. равнобедренный по определению. По свойству внешнего угла

треугольника имеем: , или

, откуда следует, что прямые и параллельны

(по признаку по соответственным углам).

Так как прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых (

) то она перпендикулярна и другой ( ).

D

Рис. 1

A

B C

C1

K

HC1

В равнобедренном треугольнике отрезок – высота, а значит, и

медиана. Поскольку отрезок – часть отрезка , то – медиана и

высота в треугольнике и, значит, – равнобедренный, .

4. Итак, получим: , ,

, то есть .

Комментарий к задаче

1) Самый сложный шаг в поиске решения задачи – второй. Как

появляется мысль о дополнительном построении? – Есть теорема, которая

позволяет сравнить сумму отрезков с одним отрезком - неравенство

треугольника. Значит, можно попытаться получить нужный треугольник.

Почему спрямляем ломаную , а не ? – Потому что нужно чтобы

отрезки и или равные им были сторонами треугольника, иначе не

сможем получить неравенство с нужным знаком.

2) Равенство отрезков и можно доказать и другими

способами: например, установить, что , тогда

– биссектриса в равнобедренном треугольнике и, значит, медиана и

высота; можно доказать равенство треугольников и .

3) В решении задачи нигде не использовалось условие о

перпендикулярности прямых и . Выбирая в качестве точки

различные точки на прямой , перпендикулярной биссектрисе угла ,

убеждаемся, что найденное решение подходит для каждого случая, если

треугольник существует и не совпадает с треугольником . Таким

образом, задачу можно сформулировать следующим образом: Через

вершину треугольника проведена прямая , перпендикулярная

биссектрисе угла . Докажите, что если точка принадлежит прямой и

не совпадает с точкой и точкой пересечения прямыx и , если они

не параллельны, то периметр треугольника больше периметра

треугольника .

Как видим, при решении задачи может быть использован практически

весь материал, изучаемый в курсе геометрии седьмого класса, она допускает

различные способы решения, в них требуется дополнительное построение,

которое подсказывает логика решения. Все это и наличие лишнего условия

делает задачу интересной и полезной.

Задача 2. Дан треугольник , в котором углы и равны по .

Отрезок – биссектриса треугольника. Доказать, что .

Решение.

1. На стороне отложим отрезок ,

равный . Теперь нужно доказать, что

(рис. 2).

2. По построению треугольник

равнобедренный с углом при вершине ,

тогда .

3. Угол – внешний угол треугольника , ,

откуда следует, что , т.е. - равнобедренный по

признаку, .

4. Построим перпендикуляры и к сторонам угла ;

по свойству биссектрисы угла. Нетрудно установить, что ,

. Прямоугольные треугольники и равны по

катету и прилежащему к нему острому углу, тогда их гипотенузы равны, т.е.

.

5. Из равенств и , получим, что .

Итак, .


1) Как и в первой задаче, здесь потребовалось дополнительное

построение. Однако, несмотря на то, что в обоих случаях задействована

сумма отрезков, дополнительные построения выполняются разные. Выведем

такую эвристику: если требуется доказать, что сумма двух данных отрезков

равна третьему, тоже известному отрезку, то можно от конца отрезка-

CM

D

A B

N KРис. 2

результата на нем отложить отрезок, равный одному из слагаемых, и

доказать, что отрезок-остаток равен второму слагаемому.

Поскольку равенства и равносильны, то аналогичным

образом можно поступать, если требуется доказать, что разность двух

отрезков равна третьему.

2) Заключение о равенстве отрезков (углов) при конструктивном

(синтетическом) решении чаще всего делается из равнобедренности

треугольника или из равенства треугольников, что устанавливается с

помощью признаков. В задаче 2 использованы оба способа (см. пп. 3 и 4 в

решении).

3) Равенство отрезков и легко доказывается из равенства

треугольников и . Тем не менее, целесообразно использовать этот

факт как известный, т.к. он довольно часто используется при решении задач с

биссектрисой и не имеет смысла доказывать его каждый раз (см. задачу 10).

Задача 3. В непрямоугольном треугольнике проведены высоты

и . Доказать, что треугольник подобен треугольнику с

коэффициентом .

Решение. Треугольник может быть остроугольным и

тупоугольным, причем тупым может быть угол и не . Поэтому

возможны три различных случая (рис. 3а, б, в).

a) б) в)Рис. 3

B C

A

C1B1

B C

A

B1

C1

B1

C1

A

C

B

1. (по двум углам), тогда (по

определению подобных треугольников). Из равенства первых двух

отношений получим пропорцию . В треугольниках и

угол – общий и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны.

Значит, ~ .

2. Если – коэффициент подобия, то . Но (в случаях а

и в) или (в случае б). Таким образом, если , то

и , и ; если , то и , и

. Итак, .


1) Приведенное выше решение не зависит от вида треугольника.

2) В доказательстве используется второй признак подобия треугольни-

ков, что встречается довольно редко.

3) Задача может быть решена и другими средствами. Так, наличие

прямых углов наводит на мысль о дополнительном построении: здесь точки

, , , лежат на одной окружности, точки , , и точка пересечения

высот также лежат на одной окружности. Приведенное выше решение

представляется нам более экономным.

4) Из подобия треугольников и можно вывести следствие о

равенстве углов.

5) Если провести третью высоту – , то она пройдет через точку

пересечения первых двух и эта точка называется ортоцентром, а треугольник

- ортоцентрическим.

Факт, доказанный в задаче 3, позволяет установить связь между углами

(сторонами) исходного и ортоцентрического треугольников, что порождает

довольно большую группу задач.

Задача 4. Медиана треугольника равна его высоте . Найти

угол .

Решение. 1. Вероятно, треугольник может быть как остроуголь-

ным, так и тупоугольным. Поэтому будем рассматривать два случая

(рис.4 а, б).

2. Равные отрезки и не связаны никакой определенной фигурой.

Поэтому требуется дополнительное построение: нужно получить

треугольник, сторонами которого служат отрезки, равные отрезкам и

или известным частям этих отрезков. Такое построение подсказывает точка

– середина : проведем через точку отрезок , параллельный .

Тогда (по свойству параллельных прямых) и

(объясните почему).

3. В прямоугольном треугольнике катет равен половине

гипотенузы . Тогда, по свойству прямоугольного треугольника,

, а (рис.4, а) или

(рис. 4,б).

Ответ. или .


1) Если в условии даны два равных элемента треугольника, из которых

один – медиана, то через конец медианы (середину отрезка) проводят

прямую, параллельную второму элементу.

Здесь можно было выполнить другое стандартное дополнительное

построение – удвоение медианы. Получили бы параллелограмм, например,

B

A M

NH

Cа)

BN

M

H

A Cб)

Рис.4

. Затем через точку нужно было бы провести параллельно ,

. Этот способ решения был бы несколько длиннее.

2) Если в треугольнике задано отношение равенства двух отрезков и

требуется найти угол, то нередко случается, что он оказывается элементом

треугольника особого вида: равностороннего, прямоугольного

равнобедренного или прямоугольного, в котором катет в два раза меньше

гипотенузы.

Задача 5. Точка делит сторону треугольника в отношении

: , считая от точки . Точка лежит на стороне и отрезок делится

отрезком в отношении : , считая от точки . Найти отношения : и

: , где – точка пересечения прямых и .

Решение. По условию имеем треугольник , в котором , :

: , , и пересекаются в точке и : : (рис. 5).

Требуется найти отношения : и : .

1. Чтобы иметь возможность перейти от иско-

мого отношения к заданным, т.е. заменить одни

отношения другими, проведем через точку

прямую , параллельную прямой , получим

пропорции (1) и (2). Из

условия следует, что (3). Из пропорций

(2) и (3), перемножая, получим , или , . Вычитая из

обеих частей последнего равенства по 1 после упрощений будем иметь:

; . Учитывая равенство (1), находим: .

2. Теперь проведем || (рис. 5). Отношение : заменим

равным ему отношением : . Получим пропорции : : (см. пункт 1

решения). : : : (следует из условия). Выполним умножение:

, т.е. .

MY

T

Z X BA

C

Рис.5

Ответ. : : ; : : .


1) Точки , и задают четыре отношения – отношения, в которых

точка делит отрезок , – отрезок , – отрезки и . Если задать

два из этих отношений, то два других можно найти.

2) Если требуется найти отношение отрезков или доказать

пропорциональность отрезков, то можно пытаться через точку провести пря-

мую, параллельную заданной прямой, чтобы получить угол, стороны кото-

рого пересечены параллельными прямыми.

В ситуации задачи 5 проводим прямые, параллельные и . Иногда

достаточно одной прямой (как в п.1), иногда требуются обе прямые (как в

п.2).

3) В поиске решения существенную роль играет умение из пропорции

получать её производные. Например, если верное равенство, то верны

следующие равенства: , , , , , ,

, и другие.

Задача 6. Высота треугольника, равная см, делит угол треугольника в

отношении : , а основание треугольника на части, меньшая из которых

равна см. Найти площадь этого треугольника.

Решение.

Пусть в треугольнике – высота,

см, , см (рис.6).

1. Проведем биссектрису в треугольнике

, тогда .

2. В треугольнике высота является биссектрисой,

следовательно, – равнобедренный и в нем – медиана, т.е.

см.

С

A BK H

Рис.6

3. По свойству биссектрисы : : , или : : , т.е.

.

4. Для сокращения записей введем обозначение: , .

В прямоугольном треугольнике имеем: , , .

Применяя к нему теорему Пифагора, получим уравнение ,

которое приводится к виду . Уравнение имеет корни и .

Следовательно, см, (см).

5. см2.

Ответ. см2.


1) Задачи 1-4 решены конструктивным (или его называют

синтетическим) методом. Задачи 5 и 6 решены алгебраическим методом. В

задаче 5 применялся прямой счет, а в задаче 6 пришлось решать квадратное

уравнение. В других задачах могут быть использованы и линейные

уравнения, и уравнения более высоких степеней, системы уравнений,

неравенства.

2) Наличие условия о том, что один из углов в 2 раза больше другого,

наводит на мысль о проведении биссектрисы большего угла. В данном

случае мысль оказалась плодотворной: получили биссектрисы в двух

треугольниках и использовали разные их свойства, которые дали результат.

3) Как видим, теорема Пифагора используется не только для

нахождения длины отрезка, но и для получения уравнения с неизвестными.

Задача 7. Дан треугольник и точка на его стороне . Выразить

длину отрезка через длины отрезков , , , .

Решение.

1. Отрезок – общая сторона треугольников

и , для которых углы и – смежные (Рис.

P

A

B Cm n

p

Рис. 7

с b

7). Пусть , . Выразим стороны, лежащие против этих

углов по теореме косинусов:

,

, т.е.

.

2. Умножим первое равенство на n, а третье - на m и сложим их:

.

Так как , то поделим обе части равенства на и получим

Ответ. .


1) Для нахождения зависимости между длинами отрезков может быть

использована теорема косинусов. При этом довольно часто она записывается

не для искомого отрезка, а для известного (как в задаче 7).

2) Полученный в задаче факт впервые установил английский математик

М.Стюарт и опубликовал его в труде «Некоторые общие теоремы» в 1746

году. Соответствующая теорема носит имя Стюарта.

3) Если – медиана в треугольнике , то n=m= . Если AP -

биссектриса, то с:b=m:n и , (в обозначениях задачи 7).

Используя теорему Стюарта, или проводя рассуждения, как и в задаче 7, по-

лучим: , .

Задача 8. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки, взя-

той внутри неравностороннего треугольника, до прямых, содержащих сто-

роны треугольника, заключена между наименьшей и наибольшей из высот


Решение.

Пусть , , – стороны

треугольника , , , –

его высоты, – точка внутри

Ah2

h3

h1

B Ca

bc

Рис.8

M

треугольника, , , – расстояния от точки до прямых, содержащих сто-

роны треугольника (рис. 8).

Для определенности будем считать, что .

1. Если – площадь треугольника , то (по свой-

ству площадей), или (1). Из формул для площади треуголь-

ника находим: , , . Подставляя в равенство (1) вместо , ,

их выражения через площадь и упрощая, получим

(2).

2. Умножим обе части равенства (2) на :

(3).

Так как – наименьшая из высот или ,, то , <1 и ,

.

Учитывая последние два неравенства, из равенства (3) получим:

.

3. Аналогично докажем, что .


1) В тексте задачи нет упоминаний о площадях. При решении же

используются свойства площадей, формулы для вычисления площади тре-

угольника. Говорят, что задача решена методом площадей.

Метод площадей относится к аналитическим методам решения геомет-

рических задач.

2) Откуда появляется мысль об использовании теории площадей? - Вы-

соты треугольника, расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок, ас-

социируются с формулами площади треугольника, поэтому метод площадей

и приходит на ум.

3) Метод площадей включает в себя ряд приемов. Некоторые из них,

наиболее часто встречающиеся, перечислены в теоретических положениях.

При решении задачи 8 использованы приемы 1 и 2.

Задача 9. Доказать, что прямые, проходящие через середины сторон

треугольника и середины соответствующих высот, пересекаются в одной

точке.

Решение.

Пусть , , – середины сторон , и треугольника ,

, , – высоты, , , – середины высот (рис. 9 а, б). Требуется

доказать, что прямые , , проходят через одну точку.

1. Прямая параллельна прямой по свойству средней линий

треугольника. Так как – середина и || , то пересекает

отрезок в его середине (по теореме Фалеса), т.е. . Таким

образом, точки , , принадлежат прямым, содержащим стороны

треугольника . Обозначим , , .

Согласно теореме Чевы, достаточно доказать, что .

2. Из подобия треугольников и , и следует

пропорциональность отрезков: , или, с учетом п. 1 решения,

. При этом векторы и сонаправлены и векторы

и сонаправлены. Таким образом, получим равенство .

3. Аналогично пункту 2 докажем, что , .

С

С

A B BA

A3

B1 A3

B1

C1 C1

C3

A2

A2

A1

A1

B3B3

B2

B2

Рис. 9б)

C2

а)

С3

С2

4. Точки , , – основания высот треугольника . Известно, что

прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, сле-

довательно, по теореме Чевы, .


1) В задаче представлена классическая ситуация для применения

теоремы Чевы. Она используется в п.4 сначала как необходимое условие

прохождения трех прямых через одну точку, а затем как достаточное, что

отмечено в п.1 решения.

2) С помощью теоремы Чевы можно доказать, что три прямые

проходят через одну точку, что произведение трех отношений равно , найти

отношение из равенства , если два множителя известны.

3) Двойственной для теоремы Чевы является теорема Менелая. Она

выражает необходимое и достаточное условие принадлежности трех точек

одной прямой.

Задачи10. Докажите, что множеством точек, лежащих внутри угла, меньшего

развернутого, и равноудаленных от его сторон, является биссектриса угла.

Как изменится требование задачи, если: а) угол развернутый;

б) рассматривать все точки плоскости, а не только лежащие внутри угла?

11. Через каждую вершину треугольника проведена прямая,

перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине.

Проведенные прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите,

что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы


12. Пусть прямые, содержащие высоты треугольника , пересекаются в

точке . Убедитесь в том, что каждая из четырех точек , , , есть

ортоцентр треугольника с вершинами в трех оставшихся точках.

13. Докажите, что три прямые, соответственно перпендикулярные сторонам

треугольника и не проходящие через одну точку, образуют треугольник,

равноугольный с данным.

14. Докажите, что треугольник является прямоугольным тогда и только

тогда, когда в нем медиана, проведенная к большей стороне, равна половине

этой стороны.

15. Докажите теорему Ван-Обеля:

Если на сторонах , и треугольника взяты точки , ,

так, что прямые , , , проходят через точку , то выполняется

равенство: .

Как изменится равенство, если точки , , , лежат на прямых,

содержащих стороны треугольника ?

16. Дана окружность и точка . Точки и лежат на окружности, причем

– ближайшая к точка окружности, а – наиболее удаленная от точка

окружности. Найдите радиус окружности, если и .

17. Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой,

то треугольник равнобедренный.

18. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами

биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой,

проведенными из той же вершины, пополам.

19. В равнобедренном треугольнике с основанием высота равна

половине биссектрисы . Найдите углы треугольника .

20. В треугольнике , причем – наибольшая из высот. Докажите,

что .

21. Докажите, что во всяком треугольнике .

22. Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана,

проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший

угол.

23. Докажите, что в треугольнике, у которого разность углов при основании

равна прямому углу, биссектрисы внутреннего и внешнего углов при

вершине равны.

24. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен . Докажите,

что высота треугольника, проведенная к основанию, составляет половину

биссектрисы угла при основании.

25. В треугольнике сторона равна , а медианы, проведенные из

вершин и C, равны соответственно и . Найдите третью медиану.

26. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла,

делят этот угол на три равные части. Найдите углы треугольника.

27. Угол C при вершине равнобедренного треугольника равен .

Найдите зависимость между основанием и боковой стороной треугольника

(без привлечения тригонометрических функций).

28. В треугольнике отрезок , соединяющий основания высот и

, виден из середины стороны под прямым углом. Найдите

величину угла .

29. Докажите теорему: В остроугольном треугольнике высоты треугольника

содержат биссектрисы углов при вершинах ортоцентрического треугольника.

Как изменится заключение теоремы, если треугольник не

остроугольный?

30. Из точки внутренней области угла проведены перпендикуляры

и к его сторонам и . Из точек и проведены

перпендикуляры и к сторонам и соответственно. Докажите,

что прямые и перпендикулярны.

31. Высоты треугольника пересекаются в точке . Известно, что

. Найдите угол .

32. Дан равнобедренный треугольник . На его основании взята точка

такая, что . Найдите величину угла .

33. В треугольнике один угол в два раза больше другого, а разность длин

противолежащих им сторон равна . Длина третьей стороны равна .

Вычислите площадь треугольника.

34. Точки , , – основания высот треугольника . Углы треугольника

A1 равны , , . Найдите углы треугольника .

35. В равнобедренном треугольнике из середины основания

проведен перпендикуляр к стороне . Пусть – середина отрезка .

Докажите, что прямые и перпендикулярны.

36. Биссектриса внешнего угла при вершине треугольника пересекает

прямую в точке . Докажите, что .

37. В треугольнике точка – середина биссектрисы . В каком

отношении прямая делит сторону , если известно, что ?

38. Дан треугольник . Известно, что , , . Биссектриса

угла пересекает сторону в точке . Прямая, проходящая через точку

, параллельная , пересекает продолжение биссектрисы в точке .

Найдите длину отрезка .

39. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла

проведен перпендикуляр к гипотенузе, а из точки – перпендикуляры

и к катетам и . Докажите, что а) ;

б) .

40. В прямоугольном треугольнике с прямым углом через вершину

и середину высоты проведена прямая, пересекающая катет в точке .

Докажите, что .

41. Биссектрисы и треугольника передаются в точке , ,

, , . Найдите периметр треугольника.

42. В треугольнике ( ) через середину стороны проведена

прямая, параллельная биссектрисе угла , которая пересекает прямые и

соответственно в точках и . Докажите, что .

43. В треугольнике прямая, проходящая через вершину и делящая

медиану точкой в отношении , считая от вершины, пересекает

сторону в точке . Найдите отношения и .

44. В прямоугольном треугольнике с прямым углом проведена высота

и перпендикуляры и к сторонам и соответственно.

Найдите длины отрезков и , если , .

45. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна . Проекция вершины

прямого угла на гипотенузу делит её на два отрезка, из которых меньший

относится к большему, как больший ко всей гипотенузе. Найдите площадь


46. Стороны , и треугольника равны соответственно см, см

и см. Вычислите площадь треугольника, заключенного между высотой и

биссектрисой, проведенными из вершины .

47. Медианы треугольника равны , и . Найдите площадь этого


48. На сторонах и треугольника взяты точки и , так, что

. В каком отношении прямая делит медиану,

выходящую из вершины ?

49. Докажите, что разность расстояний от точки на продолжении основания

равнобедренного треугольника до прямых, содержащих боковые стороны, не

зависит от положения этой точки.

50. Дан равнобедренный треугольник , в котором и .

Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки пересечения

биссектрисы угла со стороной к стороне .

51. Высоты и равнобедренного треугольника с основанием

пересекаются в точке , . Найдите площадь треугольника .

52. В треугольнике проведены биссектрисы и . Найдите

отношение площадей треугольников и , если , , .

53. Внутри правильного треугольника со стороной взята произвольная .

Найдите сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

54. Стороны , и треугольника равны соответственно см, см,

см. Найдите расстояние от точки пересечения высот треугольника до

вершины .

55. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника,

равны , и . Найдите площадь треугольника.

56. Дан треугольник , в котором и . Найдите две другие

стороны треугольника, если их сумма равна .

57. Углы и треугольника соответственно равны и . Найдите угол

между высотой и медианой этого треугольника.

58. Дан треугольник, в котором биссектриса одного из углов равна

произведению заключающих его сторон, деленному на их сумму. Найдите этот

угол.

59. Числа , , выражают длины медиан некоторого треугольника.

Докажите, что если выполняется равенство , то треугольник

прямоугольный.

60. Биссектриса угла треугольника пересекает сторону в точке .

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к биссектрисе внешнего

угла C треугольника , пересекает прямую в точке , а прямая,

проходящая через точку перпендикулярно биссектрисе угла , пересекает

сторону в точке . Найдите длину биссектрисы , если , 8.

61. Найдите угол треугольника и радиус описанной около него

окружности, если , и .

62. Биссектрисы и треугольника пересекаются в точке . Известно,

что , . Найдите углы треугольника .

63. Докажите, что если , , – медианы треугольника, причем

, то треугольник прямоугольный.

64. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны см и см, а

биссектриса угла между ними содержит см.

65. Стороны треугольника равны см, см, см. Найдите периметр

ортоцентрического треугольника.

66. С помощью теоремы Чевы докажите, что в треугольнике: а) медианы

пересекаются в одной точке; б) биссектрисы пересекаются в одной точке; в)

прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

67. Найдите отношения, в которых ортоцентр треугольника делит каждую из

его высот, если известны углы треугольника.

68. На медиане треугольника дана точка . Прямые и

пересекают стороны и соответственно в точках и . Докажите, что

отрезок параллелен стороне .

69. Отрезки и – биссектрисы треугольника , луч –

биссектриса его внешнего угла, причем точка лежит на прямой .

Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.

70. На сторонах , и треугольника или их продолжениях

отмечены соответственно точки , , , лежащие на одной прямой.

Докажите, что точки , и симметричные соответственно точкам , ,

относительно середин сторон , , и , также лежат на одной прямой.

71. Найдите отношения, в которых делятся биссектрисы треугольника точкой

их пересечения, если стороны треугольника равны , , .

72. На сторонах , , и треугольника отмечены точки , ,

соответственно так, что прямые , , делят периметр треугольника

пополам. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке и найдите

отношения, в которых эта точка делит отрезки , , , если стороны

треугольника равны , , .

73. На стороне треугольника отмечены точки и , симметричные

относительно середины , а на сторонах и отмечены соответственно

точки и , и , симметричные относительно середин этих сторон.

Докажите, что отрезки , и пересекаются в одной точке тогда и

только тогда, когда отрезки , и пересекаются в одной точке.

74. Биссектрисы внешних углов , и C треугольника пересекают

продолжения противоположных сторон в точках , , . Докажите, что

точки , , и лежат на одной прямой.

75. Докажите, что если прямая, не проходящая через вершины треугольника

, пересекает его стороны , , соответственно в точках , , ,

то середины отрезков , и лежат на одной прямой.

Тема 2. Геометрия четырёхугольника

Основные теоретические положенияI. Произвольный выпуклый четырёхугольник

1. Диагонали пересекаются.

2. Сумма углов равна .

3. .

4.

5. –параллелограмм, где –

середины сторон . Если , то

– ромб. Если , то –

прямоугольник. Если и , то –

квадрат.

6. Средние линии и пересекаются и точкой пересечения делятся

пополам.

7. , где – стороны, – диагонали,

– длина отрезка, соединяющего середины диагоналей (формула Эйлера).

II. Частные виды четырехугольников

1. Трапеция

1. Средняя линия параллельна основаниям и равна

их полусумме.

2. Прямая, содержащая среднюю линию, делит

пополам любой отрезок, заключённый между

прямыми, содержащими основания трапеции.

3. .

4. – равнобедренный,

, , лежат на средней

линии.

C

OD

B

A

φd1

d2

M

B

A

Q

N

C

P

D

aA

D C

B

h

b

l

D

A

CF

NM

B

5.

, где – середина .

2. Равнобедренная трапеция

1. Диагонали равны.

2. Углы при основании равны.

3. , где , – средняя линия.

3. Основные дополнительные построения в трапеции

.

,

,

.

4. Параллелограмм

1. Определения, свойства, признаки

параллелограмма и его частных видов.

2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне,

равна .

3.

D C

A B

QO

A B

D CH

CD

A BK

P F

A B

D CH

A B

D CMb

a A B

CD Nb

a

bφ

a

ha

d1

d2

α

4. – биссектрисы

; –

равнобедренные, , ,

.

5. , ,

5. Прямоугольник 6. Ромб 7. Квадрат

где – смежные

стороны, –

диагональ, – угол

между диагоналями.

; , где

– сторона, – угол

между сторонами, –

диагонали.

, где –

сторона, –

диагональ.


положений

Задача 76. Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции,

точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, и

середины оснований трапеции лежат на одной прямой [2, п.84].

Решение. Пусть – точка пересечения диагоналей

и трапеции ( ), – точка

пересечения и , и – середины сторон

и соответственно (рис. 10). Докажем, что ,

.

1. Из подобия треугольников и следует,

что Тогда подобны треугольники и , т.к. как

A

D

NM

C

B

A M B

D P C

K E

S

M CB

OB1 C1

A N DРис. 10

соответственные при параллельных прямых и Значит,

, т.е. .

2. Проведём ( ), , . Тогда , т.к.

- медиана , а медиана делит любой отрезок, параллельный основанию

и с концами на сторонах треугольника, пополам. В результате, аналогично

предыдущему случаю докажем, что , т.е. .


1) Задача, раскрывая свойство трапеции, демонстрирует один из

возможных способов и, в свою очередь, даёт новый способ доказательства

принадлежности трёх точек одной прямой. Поэтому достраивание трапеции

до треугольника с помощью нахождения точки пересечения её боковых

сторон становится одним из дополнительных построений в трапеции.

2) Основная идея представленного доказательства – использование

подобия треугольников и того факта, что от данного луча в заданную

полуплоскость можно отложить только один угол, равный данному углу. Но

существуют и другие способы решения этой задачи. Также примечательно

использование особого свойства медианы треугольника – делить пополам

любой отрезок, с концами на сторонах треугольника и параллельный

основанию.

3) Проведение дополнительного построения во второй части

доказательства обусловлено общим подходом к решению – необходимостью

доказать равенство углов на основе подобия треугольников.

Задача 77. В трапеции известны основания и ( ). Вычислить

длину отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, параллельного

основаниям и:

а) проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции;

б) рассекающего трапецию на две подобные трапеции;

в) соединяющего середины боковых сторон трапеции;

г) делящего площадь трапеции пополам.

Сравнить рассматриваемые отрезки.

Решение.

а) Пусть – точка пересечения

диагоналей и трапеции (

), , , тогда

, , (рис. 11).

Достроим трапецию до

треугольника , где – точка

пересечения и . Проведём в

медиану из вершины .

Тогда (см. задачу 76). Т.к. медиана делит любой отрезок,

параллельный основанию и с концами на сторонах треугольника, пополам, а

, , , то .

Введём обозначение: . Тогда из подобия треугольников и

следует, что (1), из подобия треугольников и

следует, что (2). Сложим (1) и (2): . Тогда

. Значит, – среднее гармоническое величин и .

б) Пусть ( ) и рассекает трапецию на две

подобные трапеции и , где , (рис. 11). Тогда

, т.е. – среднее геометрическое для и .

в) Учитывая, что - средняя линия трапеции (рис. 11),

получаем – среднее арифметическое для и .

г) Пусть ( ) делит площадь трапеции пополам

(рис. 11), т.е. . Обозначим . Тогда имеем:

K

bD C

OM1 M2

N2

R

SA BK1 a

h2

h1

N1

L1 L2

M N

Рис.11

, где и – высоты трапеций и . Значит,

(3).

Дополнительное построение: и . Тогда и

, . Из подобия треугольников и следует, что

(4), т.к. и являются также высотами соответственно в

и . Из (3) и (4) следует, что , т.е. , тогда

– среднее квадратичное для и .

Известна связь между средними: , где , ,

причём равенство выполняется при . Тогда можно утверждать, что

.


1) Задача раскрывает интересные факты, связанные с трапецией, и

наглядно иллюстрирует связь между средними двух величин, причём тот

факт, что можно доказать и геометрически.

2) В ходе рассмотрения пункта а) используется одно из

дополнительных построений в трапеции и свойство принадлежности особых

точек трапеции одной прямой, доказанное в задаче 76. Также примечательно

использование особого свойства медианы треугольника - делить пополам

любой отрезок, с концами на сторонах треугольника и параллельный

основанию. Это позволяет получить первую формулу на основе подобия

соответствующих треугольников. Идея использования подобия фигур далее

также прослеживается и при рассмотрении пункта б) и г).

3) Проведение дополнительных построений в пункте г) обусловлено

рассмотрением соответствующих высот в трапециях, равных по площади, и

получением первой пропорции, определяющей отношение этих высот.

Поэтому далее логично используется тот факт, что отношение

соответствующих высот в подобных треугольниках равно коэффициенту

подобия.

Задача 78. При пересечении биссектрис всех углов параллелограмма

образовался четырёхугольник. Доказать, что этот четырёхугольник –

прямоугольник. Каков будет вид этого четырёхугольника, если исходная

фигура – прямоугольник, ромб, квадрат? [2, № 428]

Решение.

1. По свойству параллелограмма биссектрисы

углов, прилежащих к одной стороне,

перпендикулярны. Значит, если , , ,

– биссектрисы , , ,

параллелограмма соответственно, то

, тогда – прямоугольник

(рис. 12).

2. Если – прямоугольник, тогда . Т.к. , –

биссектрисы , , то точка равноудалена от прямых и .

Аналогично, равноудалена от и . Значит, т.к. , то .

Аналогично, . Тогда , т.е. – квадрат.

3. Если – ромб или квадрат, то его диагонали делят углы пополам

и взаимно перпендикулярны, т.е. выродится в точку.


1) В задаче используется много интересных фактов: свойство

биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне; свойство

равноудалённости точек биссектрисы угла от сторон угла; прямая,

параллельная данным прямым и проходящая посередине между ними, как

множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых; свойство

сохранения угла между попарно параллельными прямыми. В свою очередь,

Рис.12

раскрывается интересный факт, связанный с параллелограммом и его

частными видами.

2) Доказательство основано на использовании определений, свойств и

признаков прямоугольника, ромба, квадрата. Причём используемый в задаче

признак прямоугольника следует непосредственно из его определения, а вот

признак квадрата (ромба) является теоремой, обратной к свойству

диагоналей ромба.

Задача 79. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий

середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Решение. Пусть задана трапеция с основаниями и ,

=3, =5, , где и –

середины и

соответственно (рис. 13).

1. Проведём , . Тогда

, и .

2. Проведём , . Тогда

, , , т.е. – медиана треугольника

.

3.Удвоим медиану , получим отрезок , . Тогда –

параллелограмм, . Получаем .

4. , значит треугольник – прямоугольный,

тогда .

Ответ. .


Решение задачи базируется на двух основных дополнительных

построениях: прямой, параллельной диагонали трапеции, и удвоение

медианы треугольника. Так же как вспомогательное становится

необходимым построение прямой, параллельной отрезку, соединяющему

K

D ECN O

A BM

Рис.13

середины оснований трапеции. Чем вызваны все эти построения? –

Необходимостью получить треугольник, стороны которого равны заданным

отрезкам или кратны им. Поэтому, сначала получили треугольник со

сторонами и , затем треугольник со сторонами и . Площадь

последнего оказалась равной площади трапеции.

Задача 80. Доказать, что середина отрезка, соединяющего точки

пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника,

лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей (теорема Гаусса).

Решение. Пусть прямые,

содержащие стороны и

четырёхугольника ,

пересекаются в точке , а прямые,

содержащие стороны и , – в

точке ; – середина , и –

середины диагоналей и

соответственно (рис. 14).

1. Т.к. точки , и лежат

на прямых, содержащих стороны

треугольника , принадлежат одной прямой, то на основе равенств

(1), (2) и (3), по теореме Менелая, получаем:

(4).

2. Отметим , и – середины отрезков , и соответственно.

Тогда , , – средние линии треугольника . Используем тот факт,

что прямая, содержащая среднюю линию треугольника, есть множество

середин отрезков, соединяющих вершину треугольника с точками на прямой,

содержащей основание. Значит , , , т.е. точки лежат

на прямых, содержащих стороны треугольника .

M

NB

X

YK A

ZT

E

C

DРис. 14

3. По свойству средней линии треугольника , тогда

, т.е. (5).

4. Аналогично пункту 3 получаем: (6), (7). Тогда,

учитывая равенства (4) - (7), по теореме Менелая, можно сделать вывод, что

точки , и принадлежат одной прямой.


1) В задаче представлена ситуация для применения теоремы Менелая.

Она используется сначала в п. 1 как необходимое условие принадлежности

трёх точек одной прямой, а затем в п. 4 как достаточное.

2) Введение в рассмотрение в п. 2 середин соответствующих отрезков

обуславливается необходимостью поместить заданные точки на стороны

(или их продолжения) некоторого треугольника, что требуется для

использования теоремы Менелая. В результате рассматривается прямая,

содержащая среднюю линию треугольника, как множество середин отрезков,

соединяющих вершину треугольника с точками на прямой, содержащей

основание. Так же применяется тот факт, что средняя линия треугольника

равна половине основания.

Задачи81. Докажите, что если противоположные стороны выпуклого

четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка,

соединяющего середины двух других противоположных сторон.

82. Докажите, что если сумма расстояний между серединами

противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его

периметра, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

83. Докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка

пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон,

лежат на одной прямой.

84. На сторонах параллелограмма вне него построены квадраты. Докажите,

что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами

квадрата.

85. Внутри квадрата взята точка , такая, что , .

Найдите .

86. Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух

противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме

двух других сторон, то этот четырёхугольник – трапеция или

параллелограмм.

87. На двух сторонах треугольника вне него построены квадраты. Докажите,

что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной

вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника,

выходящей из той же вершины.

88. Диагонали трапеции пересекаются в точке . Треугольник , где

– меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что

треугольник, вершинами которого являются середины отрезков , и ,

равносторонний.

89. Через вершину параллелограмма проведена прямая,

пересекающая прямые , и соответственно в точках , и .

Докажите, что отрезок является средним пропорциональным между

и .

90. На сторонах квадрата взяты точки и так, что ,

. Найдите .

91. Биссектрисы углов и параллелограмма пересекают сторону

в точках и соответственно, причём эти точки делят сторону на три

равные части. , . Найдите периметр параллелограмма.

92. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна , основания

равны и . Найдите расстояние между серединами оснований.

93. Дана трапеция с боковыми сторонами , и верхним

основанием . Известно, что . Найдите .

94. Смежные стороны параллелограмма равны и , а один из его углов

равен . Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

95. Внутри прямоугольника взята точка . Известно, что , ,

. Найдите .

96. В выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются в точке .

Известно, что , , . Найдите все

углы четырёхугольника. Докажите, что .

97. Докажите, что если боковые стороны трапеции перпендикулярны, то

сумма квадратов её оснований равна сумме квадратов диагоналей.

98. В трапеции основания и равны и соответственно. Через

точку , принадлежащую стороне и делящую её в отношении ,

проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая

сторону в точке . Докажите, что .

99. Основания трапеции равны и , боковые стороны и . Биссектрисы

углов при одной боковой стороне пересекаются в точке , а при другой – в

точке . Найдите .

100. В параллелограмме , . Биссектрисы углов и

пересекаются в точке , углов и – в точке . Найдите .

101. Точки , , , соответственно середины сторон , , ,

параллелограмма . Докажите, что при пересечении прямых , , ,

образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к

площади параллелограмма .

102. В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в

точке . Площади треугольников и равны соответственно и .

Найдите площадь трапеции.

103. В выпуклом четырёхугольнике точки , , , являются

серединами сторон , , , соответственно. – точка пересечения

отрезков и . Известно, что и . Найдите длины

диагоналей и , если площадь четырёхугольника равна .

104. На стороне параллелограмма отмечены точки и так, что

. Отрезки и пересекаются в точке . Площадь

параллелограмма равна . Найдите площадь треугольника .

105. Дан ромб , его диагонали равны и . Из вершины тупого угла

проведены высоты и . Найдите площадь четырёхугольника .

106. Через концы меньшего основания трапеции проведены две

параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали

трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один

пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей

трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему

основанию трапеции.

107. Прямая, проходящая через вершину параллелограмма ,

пересекает прямые и в точках и соответственно. Найдите ,

если и равны соответственно

и .

108. Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке

, лежащей на стороне . Площадь параллелограмма равна , .

Найдите наибольшую сторону параллелограмма.

109. Диагонали трапеции пересекаются в точке , основания и

равны и , а площадь равна . Найдите площадь треугольника .

110. Найдите высоту трапеции, если её диагонали взаимно

перпендикулярны и равны и .

Тема 3. Геометрия окружности

Основные теоретические положения1. 2.

PF, PK –касательные 1) PF=PK; 2) ; 3) ; 4) .

3. , ,,

,

,

, ,где AF и MK – касательные.

4. 5. 6.

AB||CD||MN

.R – радиус окружности, OP=d.

PM N

C D

A B

d

PC

AB

D

O

A

FB

O

N

C

M

D

K

С

O

MA

B

D

O

F

K

P

P

M

BD

A

d

C

O

7. Окружность, описанная около треугольника.а) Центр O – точка пересечения

серединных перпендикуляров к

сторонам.

б) .

в) SABC= .

8. Окружность, вписанная в треугольник.

а) Центр O – точка пересечения

биссектрис.

б) .

в) AC1= AB1=p-a,

BA1= BC1=p-b,

CB1 =CA1=p-c.

г) , .

9. Вневписанная окружность треугольника.

а) Касается одной стороны и продолжений двух других сторон – на рисунке

стороны BC=a и продолжений AB и AC.

б) Центр Oa – точка пересечения биссектрис угла A и углов, смежных с B и С.

в) .

O

c

ab

BA

C

R

С

O

A B

B1 A1

C1

b a

c

Ap-a

O

B′ B B1

A1

rα

C1

C Oα

r

г) .

д) .

10. Окружность, описанная около четырехугольника.

а) Окружность можно описать около

четырехугольника тогда и только тогда, когда

суммы противоположных углов равны по 180о.

.

б) Центр окружности – точка пересечения

серединных перпендикуляров к сторонам.

в) Из а) следует, что окружность можно

описать около прямоугольника, квадрата, равнобедренной трапеции.

11. Окружность, вписанная в четырехугольник.

а) Окружность можно вписать в

четырехугольник ABCD тогда и только

тогда, когда AB+CD=AD+BC.

б) Окружность можно вписать в ромб, в

квадрат.

в) Центр окружности – точка пересечения

биссектрис углов четырехугольника.

г) , где r – радиус вписанной окружности, .12. Касающиеся окружности (две).

Внешнее касание

б)

Внутреннее касание

а) Две окружности касаются имеют единственную общую точку и общую

касательную в этой точке.

B

A R

O

D

C

D cC

BA

bd

a

O

r

A

NB

M

C P D

O1

O2

а)

MO2O1

б) Линия центров проходит через точку касания.

в) На рисунке а) CD – общая внешняя касательная, NP – общая внутренняя

касательная , .

13. Две пересекающиеся окружности.

O1O2 AB,

O1O2 делит AB пополам.

CD – общая касательная

M – середина CD.

14. Вспомогательная окружность.

1) 2) 3)

Точки A, B, M, N, P в каждом случае лежат на одной окружности.

4) 5) 6)

Точки A,B,M лежат на

одной окружности с

центром O.

MA∙MB= MC∙MD

Точки A,B,C,D лежат

на одной окружности.

A

B

O2O1

A

B

MC D

N M

P

A B

M N

A B

αα α

180o-αA B

M

N

A B

M

α

2

OM

D

B

A

C

M

A

C

B

D


положений

Задача 111. Пусть и – две непересекающиеся хорды

окружности. – середина дуги , и – точки пересечения хорд и

с хордой (рис. 15 ). Доказать, что точки , , , лежат на одной

окружности.

Решение.

1. = =

(свойство угла с вершиной внутри

окружности).

2. Т.к. , то =

, т.е. точки , , , лежат на

одной окружности.


1) Точки , , , должны лежать на одной окружности, значит,

четырехугольник, – вписан в эту окружность. По признаку

четырехугольника, вписанного в окружность – суммы противоположных

углов равны . Поэтому требуется установить связь между величинами

противоположных углов четырехугольника .

2) Далее, используем свойство угла с вершиной внутри окружности

(для угла ) и угла, вписанного в окружность ( ). Сумма дуг

окружности, через которые выражены углы и , равна . Это

позволяет сделать вывод, что четырехугольник – вписан в окружность,

т.е. точки , , , лежат на одной окружности.

Задача 112. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол. Через

две точки касания этих окружностей со сторонами угла, лежащие на разных

сторонах угла и на разных окружностях, проведена прямая. Доказать, что при

A

K

F

B

C

D

M

Рис.15

пересечении этой прямой с данными окружностями отсекаются хорды

равной длины.

Решение.

1. Пусть дан и в него вписаны две непересекающиеся окружности.

и точки касания окружностей и одной стороны угла, точки , -

точки касания окружностей и другой стороны угла. Проведем прямую ,

которая пересекает окружности в точках и (рис. 16). Покажем, что

хорды и равны.

2. Из точки проведены к окружности

меньшего радиуса касательная и

секущая , где - точка

пересечения и окружности. По

свойству касательной и секущей,

проведенных из одной точки, получим

. Аналогично, для второй окружности, имеем

.

3. Т.к. ( и , значит ) то

, откуда следует, что .

4. Поскольку , и и , тогда

.


1) Прямая является секущей к обеим окружностей, поэтому,

используя ее, необходимо найти связь между касательными к окружностям.

2) Для нахождения этой связи применим теорему о свойстве

касательной и секущей к окружности, проведенным из одной точки. А

именно, к первой окружности – касательная, – секущая; ко второй

– касательная, – секущая.

3) Свойство общих касательных к окружностям связывает отрезки

и равенством. Последующие выкладки п.4 задачи приводят к

требуемому результату.

O

D1

B1

C2

D2

B2

C1

Рис.16

Задача 113. К окружности проведены две касательные. Длины

перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на эти

касательные, равны и . Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного

из той же точки на хорду, соединяющую точки касания, равна .

Решение.

1. Рассмотрим окружность с центром в точке и две касательные к

ней, где и - точки касания. На окружности возьмем произвольную точку

, и опустим из нее к касательным перпендикуляры и . Пусть ,

, - перпендикуляр к хорде (рис. 17).

2. составлен касательной

и хордой окружности. -

вписанный угол окружности. и

опираются на одну дугу,

поэтому . Аналогично,

.

3. (по двум углам),

значит, (1).

(по двум углам), значит, (2).

4. Перемножим (1) и (2): или , т.е. ML= .


1) Перпендикуляр является стороной треугольника и

треугольника . Поэтому для выражения его длины можно попытаться

использовать метод равных треугольников, либо метод подобных

треугольников. Конструктивные особенности задачи, связанные с

окружностью, касательными к ней и ее хордами, позволяют устанавливать

равенство углов. Значит, для нахождения длины применяем метод

подобных треугольников, рассмотрев признак подобия по двум углам.

A

O

B

M

K

N

b

aL

Рис.17

2) Рассматривая треугольники , и , попарно,

устанавливаем равенство углов в них с помощью теорем об углах,

образованных касательной и секущей, проведенных из одной точки и о

величине вписанного в окружность угла. После преобразования равенств (1)

и (2), получаем длину перпендикуляра.

Задача 114. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют

арифметическую прогрессию, то центр окружности, выписанной в этот

треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной

средней по длине стороне треугольника.

Решение.

1. Рассмотрим , обозначим его

стороны , , . Пусть - центр вписанной

окружности, а - точка пересечения

медиан . Расстояние от точки до

обозначим за (радиус вписанной в

окружности), а расстояние от точки до

за (рис. 18). Сравним длину перпендикуляров и .

2. ( - точка пересечения медиан , значит,

отрезки, соединяющие точку с вершинами треугольника, делят его на три

равновеликих треугольника).

3. С другой стороны, , а

. Учитывая условие задачи о том, что длины сторон

треугольника образуют арифметическую прогрессию, т.е. , равенство

примет вид: . Подставим и в , тогда

, получим .

4. Из равенства отрезков и имеем, что || .


CA

c

B1 M1

B

M O

r

b

a

Рис.18

1) Для доказательства параллельности прямых можно воспользоваться

их признаком – сохранение расстояния. Т.е. расстояние от точки до

(перпендикуляр ) и расстояние от точки до ( – радиус вписанной

в треугольник окружности) должны быть равны.

2) Для доказательства равенства отрезков можно использовать

алгебраический метод, в данном случае, метод площадей. На использование

этого метода наводят: перпендикуляр (его можно рассматривать, как

высоту некоторого треугольника) и данная в задаче точка пересечения

медиан треугольника. Одно из свойств точки пересечения медиан – это

разбиение треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения

медиан треугольника с его вершинами, на три равновеликих треугольника.

Поэтому, с одной стороны, . С другой стороны, площадь

треугольника выразим через радиус вписанной в него окружности. Из

уравнения получаем равенство и .

Задача 115. Дана трапеция основания которой , ,

. Окружность, касающаяся прямых и , касается стороны

в точке . Найти длину отрезка .

Решение.

1. Т.к. окружность касается прямых и , то возможны два случая:

окружность касается отрезков и (рис. 19); окружность касается

прямых , и отрезка , т.е. она является вневписанной для

треугольника (рис. 20).

2. По свойству окружности,

вписанной в треугольник, имеем

. Следовательно, нужно

найти .

3. Из ( ) найдем

: (т.к. трапеция равнобедренная).

, .

B

A

C

D

K

HРис.19

4. Из найдем по теореме Пифагора .

, где . .

5. Итак, получим, что , тогда .

6. Рассмотрим случай, когда окружность является вневписанной для

. Тогда, по свойству вневписанной

в треугольник окружности, имеем

, .

Имеем, .

Ответ. ; .


1) При решении задачи необходимо рассмотреть два случая. Первый,

когда окружность получается вписанной в треугольник и второй – для

вневписанной окружности треугольника .

2) Для вписанной в треугольник окружности, используем свойство,

которое позволяет найти отрезок касательной через полупериметр

треугольника, а именно, . А для вневписанной окружности

используем свойство о том, что отрезок касательной равен полупериметру

треугольника, т.е. и находим длину отрезка , равного отрезку ,

как разность длин известных отрезков.

Задача 116. Около треугольника описана окружность с центром

, угол равен . В треугольник вписана окружность с центром .

Найти угол .

Решение.

1. В равнобедренном , значит, -

равносторонний и .

2. По теореме синусов для имеем: , ,

, тогда или .

B

A

CC1

K

D D1

Рис.20

3. Пусть (рис. 21), тогда

,

( и - биссектрисы ),

.

4. Пусть (рис. 22),

точки и лежат по разные

стороны от прямой . Далее, рассуждая аналогично,

как в п. 3, находим: ,

, .

Ответ. , .


1) Описанная около треугольника окружность помогла выразить сумму

двух неизвестных углов треугольника (это и ). Здесь

работали теорема о связи величин центрального и вписанного в окружность

углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

2) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис

треугольника. Используя теорему о сумме углов треугольника (для ) и

зная сумму половин углов и , получим величину угла .

3) Величину угла в обоих случаях (когда точки и лежат по

одну и по разные стороны от ) можно было вычислить по-другому. После

нахождения градусной меры угла , к треугольнику можно было

применить следующее свойство вписанной окружности: .

Задача 117. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и

около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу

описанной окружности равно . Найти углы

трапеции.

Решение.

A B

D CH

Рис.23

B

O

M

AC

Рис.21

Рис. 22

K

O

A

BC

M

1. Пусть - высота, - радиус описанной окружности трапеции

, - искомый угол (рис.23).

2. Рассмотрим , он вписан в окружность радиуса . Тогда, по

теореме синусов , откуда .

3. Трапеция является описанной, поэтому , но

(по условию), значит, , .

4. , где . Имеем,

. Сравнивая и , получаем, что .

5. Из выразим , .

6. Применим теорему Пифагора к : ,

. По условию , т. е. . Подставим в последнее

уравнение выражение для и разделим уравнение на , тогда:

, после преобразований, имеем, . Решив

уравнение, получим , тогда, учитывая, что - острый угол

треугольника, , .

Итак, , .

Ответ. , .


1) Основная идея решения задачи – выразить стороны прямоугольного

треугольника через высоту (или радиус ) и искомый угол и

применить к нему теорему Пифагора, чтобы получить уравнение

относительно .

2) Если окружность описана около трапеции, то она описана около

любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции. Этот факт часто

используется при решении задач и его следует взять на вооружение. В

данном случае он позволяет выразить диагональ через радиус

окружности и искомый угол .

3) В равнобедренной трапеции равенства (в обозначениях

рис. 23), и если в нее вписана окружность, то , это так же

эвристики, которые помогают находить решение.

Задачи

118. Окружность, проходящая через вершину треугольника , касается

стороны в точке и пересекает стороны и соответственно в

точках и , отличных от вершины . Найдите отношение : , если

известно, что длина отрезка в два раза больше длины отрезка , а

отношение : : .

119. Отрезок является биссектрисой треугольника . Окружность

радиусом проходит через вершину , касается стороны в точке и

пресекает сторону в точке . Найдите угол и площадь треугольника

, если , : : .

120. В треугольнике известны стороны , , и -

биссектриса угла . Окружность проходящая через точку , касается

стороны в точке и пересекает стороны и в точках и

соответственно. Найдите длину отрезка .

121. Периметр трапеции равен . Окружность пересекает основание

в точках и , сторону - в точках и , основание - в точках и

, сторону - в точках и , причем , , , .

Известно, что , , , . Найдите длины оснований

трапеции.

122. Из точки к окружности, радиус которой равен , проведены

касательная, касающаяся окружности в точке , и секущая, проходящая

через центр окружности и пересекающая ее в точках и так, что

. Точка - середина дуги окружности. Найти площадь


123. Точки , , лежат на окружности радиуса с центром , а точка -

на прямой, касающейся этой окружности в точке , причем , а

длины отрезков , , образуют возрастающую геометрическую

прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол и расстояние между

точками и . Какой из углов больше или ?

124. Из точки к окружности проведены две касательные , и

секущая, которая пересекает окружность в точках и , а хорду - в

точке . Найдите : , если : : .

125. В равные углы и вписаны окружности и , касающиеся

сторон и в точках и соответственно, а стороны - в точках

и . Точка - вторая точка пересечения и , а точка - вторая

точка пересечения и . Докажите, что - общая касательная к

окружностям.

126. В треугольник вписана окружность, которая касается сторон и

в точках и . Касательная к этой окружности пересекает стороны

и соответственно в точках и . Найдите периметр треугольника

, если .

127. В четырехугольнике вписанном в окружность, через вершины ,

и точку пересечения диагоналей проведена окружность, пересекающая

сторону в точке . Докажите, что если , то .

128. На сторонах , и треугольника взяты точки , и

соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольников ,

и пересекаются в одной точке.

129. Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки на

стороны треугольника или на их продолжения, лежат на одной прямой.

Докажите, что точка лежит на описанной окружности треугольника.

130. Ортоцентр остроугольного треугольника делит высоту

пополам, а высоту - в отношении :1, считая от вершины . Найдите

величину угла .

131. В треугольнике проведена биссектриса . Перпендикуляр из на

пересекает дугу описанной окружности треугольника в точке .

Перпендикуляр из на пересекает в точке . Докажите, что точки

, и середина дуги (не содержащей точку ) лежат на одной прямой.

132. Через точку основания равнобедренного треугольника проведена

прямая , пересекающая описанную около треугольника окружность в

точке . Найдите , если и .

133. В треугольнике угол тупой, а сторона . Найдите радиус

описанной около треугольника окружности, если известно, что на этой

окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины , и

точку пересечения высот треугольника .

134. Прямая делит треугольник на два. Доказать, что радиус

окружности, вписанной в треугольник , меньше суммы радиусов и

окружностей, вписанных в треугольники и соответственно.

135. Докажите, что в треугольнике выполняется соотношение

, где , , - высоты, - радиус вписанной окружности.

136. Многоугольник, описанный около окружностей радиуса , разрезан

произвольным образом на треугольники. Докажите, что суммы радиусов

вписанных окружностей этих треугольников больше .

137. Точки и лежат на луче , а точки и - на луче .

Окружность с центром вписана в треугольники и . Докажите,

что углы и равны.

138. Для вневписанной окружности треугольника докажите, что:

а) , , где - площадь треугольника , - радиус

окружности, вписанной в треугольник, , , - радиусы вневписанных

окружностей;

б) , где , , - стороны, - полупериметр треугольника , -

угол, лежащий против стороны ;

в) : : : : .

139. Продолжение биссектрисы угла треугольника пересекает

описанную около него окружность в точке ; - центр окружности,

вписанной в треугольник ; - центр вневписанной окружности,

касающейся стороны . Докажите, что точки , , и лежат на

окружности с центром .

140. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки и . Найдите радиус

окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

141. Дан выпуклый четырехугольник . Известно, что радиусы

окружностей, вписанных в треугольники , , и равны.

Докажите, что .

142. Дан прямоугольный треугольник с прямым углом и углом при

вершине . Точка - середина гипотенузы. Точка симметрична точке

относительно прямой . Найдите угол .

143. Окружности радиусов и пересекаются в точках и . Найдите

расстояние между центрами окружностей, если .

144. Окружности с центрами и пересекаются в точках и . Известно,

что угол , угол , . Найдите радиусы окружностей.

145. Пусть - медиана треугольника . Известно, что

. Докажите, что треугольник - равнобедренный или прямоугольный.

146. Точка лежит на продолжении стороны правильного треугольника

за точку . Точка - середина отрезка . Прямая, проходящая через точку

перпендикулярно , и прямая, проходящая через точку перпендикулярно ,

пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .

147. В трапеции ( || ) угол в два раза меньше угла .

Известно, что и . Найдите площадь трапеции.

148. Выпуклый четырехугольник со сторонами , , ,

вписан в круг. Найдите радиус этого круга.

149. - параллелограмм с острым углом . Окружность, проходящая

через вершины , и пересекает сторону в ее середине, а сторону -

в точке . Известно, что : : . Найдите .

150. В трапеции основания и равны и соответственно, угол

равен . Окружность, проходящая через точки , и , касается

прямой . Найдите радиус этой окружности.

151. Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в окружность,

произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных

сторон [3, № 829].

152. Докажите, что если четырехугольник со сторонами , , и вписан в

окружность, то его площадь выражается формулой:

а) [3, № 847, б];

б) , где - радиус описанной окружности.

153. Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника

перпендикулярны, то:

а) прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и

перпендикулярная одной из сторон, делит противоположную сторону

пополам;

б) расстояние от центра описанной окружности до любой из сторон равно

половине противоположной стороны;

в) сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна

квадрату диаметра описанной окружности.

154. Около окружности описана трапеция , боковая сторона

перпендикулярна основаниям, – точка пересечения диагоналей трапеции.

Площадь треугольника равна . Найдите радиус окружности.

155. Трапеция с основаниями и вписана в окружность радиуса .

Найдите высоту трапеции.

156. Четырехугольник вписан в окружность с центром , причем

точка не лежит ни на одной из диагоналей этого четырехугольника.

Известно, что центр описанной окружности треугольника лежит на

прямой . Докажите, что центр описанной окружности треугольника

лежит на прямой .

157. Противоположные стороны четырехугольника, вписанного в

окружность, пересекаются в точках и . Найдите , если касательные к

окружности, проведенные из точек и , равны и .

Ответы

16. или . 19. , , . 25. . 26. , , . 27. . 28.

или . 31. или . 32. . 33. . 34. , , ;

, , ; , , ; , , . 37. . 38. .

41. . 43. : ; : . 44. ; . 45. . 46. . 47. .

48. . 50. . 51. . 52. . 53. . 54. . 55. .

56. ; . 57. . 58. . 60. . 61. ; . 62. , ,

. 64. . 65. . 67. ; ; .

71. ; ; . 72. ; ; . 85. . 90. .

91. или . 92. . 93. . 94. ;

. 95. . 96. ; ;

; . 99. . 100. . 102. . 103. .

104. . 105. . 107. . 108. . 109. . 110. .

118. . 119. , . 120. . 121. ; . 122. . 123. ,

, . 124. : . 126. . 130. . 132. . 133. . 140.

. 142. . 143. или . 144. ; ;

; . 146. , , . 147. . 148. . 149. . 150.

. 154. . 155. или . 157. .

Список литературы

1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. - М.,1966.2. В помощь учителю математики. (Методические рекомендации по

решению геометрических задач в школе). - Горький: ГГПИ, 1983.3. В помощь учителю математики. (Методические рекомендации по

решению геометрических задач аналитическими методами). - Горький, 1985.

4. В помощь учителю математики. (Методические рекомендации к изучению отдельных тем). - Н.Новгород, 1994.

5. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение,1996.

6. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2007.

7. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений /[ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2007.

8. Гордин Е.К. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия / Под ред. А.С. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.

9. Готман Э.Г. Вспомогательная окружность // Квант – 1971 - №1. - с. 28-31.

10.Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996.

11.Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна – решения разные. – М., 2000.12. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач

аналитическим методом. - М., 1979.13.Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. М., 1962.14.Изаак Д.Ф. Выручает описанная окружность // Квант – 1987 - №2. - с.

41-42.15.Понарин Я.П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на Дону, 1997.16.Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: В 2 ч. Ч.1: Учеб. пособие. – 3-е

изд., стер. – М.: Наука. Физматлит, 1995.17.Сефибеков С. Доказательство геометрических неравенств// Квант –

1979 - №3.18.Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.,

1990. 19.Уроев В., Шабунин М. Об углах и окружностях // Квант – 1991 - №1. - с.

54-58. 20.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл.

общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1995.21. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач:

Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

Приложение 1

Контрольная работа № 1

1. Основание равнобедренного треугольника равно , а боковые

стороны . Из вершины проведен перпендикуляр к боковой стороне до

пересечения с прямой в точке . Найдите расстояния и .

2. Дана равнобедренная трапеция, у которой диагонали

перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна .

3. В треугольнике площадью биссектриса делит сторону на

отрезки и , причем . Отрезок пересекает биссектрису в

точке и делит сторону на отрезки и , такие, что . Найдите

площадь четырехугольника .

Контрольная работа № 2

1. Из точки , расположенной вне окружности на расстоянии от

центра, проведены касательная ( - точка касания) и секущая, внутренняя

часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите

радиус окружности.

2. Окружности и пересекаются в точках и , центр окружности

лежит на окружности . Хорда окружности пересекает окружность

в точке . Докажите, что отрезки и – перпендикулярны.

3. Дан параллелограмм , , , угол равен .

Окружность с центром в точке касается биссектрисы угла и двух сторон

параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите

площадь четырехугольника .

Приложение 2Темы рефератов

1. Метод площадей в решении геометрических задач. 2. Вспомогательная окружность. 3. Векторный метод решения аффинных задач. 4. Векторный метод решения метрических задач. 5. Метод координат в решении аффинных задач. 6. Метод координат в решении метрических задач. 7. Неравенства в геометрических задачах. 8. Задача одна – решения разные. 9. Построение отрезков, заданных формулами. Признак возможности построения отрезка с помощью циркуля и линейки. 10. Метод движений плоскости в решении задач на доказательство. 11. Точка Микеля.12. Точки Брокара. Угол Брокара. Треугольник проекций.13. Изогональные и изотомические прямые.14. Окружности Торричелли. Точки Торричелли.15. Прямые Чевы.16. Трансверсали.17. Окружность девяти точек. Расстояния между замечательными точками треугольника.18. Радикальная ось и радикальный центр окружностей.19. Инверсия плоскости относительно окружности.

Оглавление

Введение.......................................................3

Примерный тематический план изучения раздела...................4

Тема 1: Геометрия треугольника.................................9

Основные теоретические положения.............................9


положений...................................................14

Задачи......................................................27

Тема 2: Геометрия четырехугольника............................35

Основные теоретические положения............................35


положений...................................................37

Задачи......................................................45

Тема 3: Геометрия окружности..................................49

Основные теоретические положения............................49


положений...................................................53

Задачи......................................................61

Ответы........................................................67

Список литературы.............................................68

Приложение 1..................................................69

Приложение 2..................................................70

Учебное издание

Кузнецова Лидия Ивановна,Кириллова Светлана Владимировна,

Огурцова Ольга Константиновна

Элементарная математика: геометрические фигуры и их свойства в задачах на доказательство и вычисление

Учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать . 2011 г. Печать оперативная. Объем п.л.Тираж экз. Заказ

Нижегородский государственный педагогический университетПолиграфический участок АНО «МУК НГПУ»

603950, Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова,1

ogurtsovaok.files.wordpress.com · web view3. Сумма углов треугольника....

Documents