第二章静态场

第二章静态场2.1 静电场2.2 恒定电流场2.3 静磁场2.4 恒定电场

2.1 静电场库仑定律与电场强度电通量密度和麦克斯韦第一方程静电场的能量和电位导体、电介质和电容泊松方程和拉普拉斯方程

一、库仑定律与电场强度

1Q 2Q

R1 2 1 2

2 20

0

912

0

41

4

108.854 1036

QQ QQF kR R

k

真空介电常数或真空电容率：

用矢量表示库仑定律1Q

2Q12R 2F

1r 2r

12r

o

12 2 1

12 2 112

2 112

ˆ

R r r

R r rRr rR

1 22 122

0 12

1 2

ˆ4QQF R

R

F F

电场强度1Q

tQ1tR tF

1r tr

1

ˆtR

o1

120 1

ˆ4

t

t

tt

FEQQE RR

电场强度Q

RE

r rR

o

20

ˆ4QE r RR

ˆ

R r r

R r rRR r r

场点源点

叠加原理

o

1Q 2Q

1E

2E

E

r

1r

2r

1r r 2r r

P 1 2E r E r E r

11 12

0 1

22 22

0 2

ˆ4

ˆ4

QE r Rr r

QE r Rr r

210

1 ˆ4

Nn

nn n

QE r Rr r

N 个点电荷的场

场叠加的例子

体电荷分布的场 vQ r v

30

30

4

4v

Q r rE rr r

r v r rr r

o

rr

v

r r v

V

3

04v

V

r dv r rE rr r

体电荷分布的场

各种电荷分布的场

304

v

V

r dv r rE rr r

体电荷分布

3

04S

S

r ds r rE rr r

3

04l

L

r dl r rE rr r

面电荷分布

线电荷分布

无限长线电荷分布的场对称性分析：1 、电场强度只随 ρ 变化2 、电场强度只有 ρ 分量

x

y

z

LdQ dz

o

1dE

2dE

zdE

dEP

R

z1 2

0

sin sin4

LdzdE dER

2cot , csc , cscz dz d R

所以0

0

0 0

sin4

sin4 2

L

L L

ddE

E d

无限长线电荷的例子（一）

无限长线电荷的例子（二）

无限大面电荷分布的场对称性分析：1 、电场强度只随 x 变化2 、电场强度只有 x 分量

2 2R x y

0

2 20

cos cos2

2

Sx

S

dydE dER

xdyx y

2 20 02 2

S Sx

xdyEx y

,0,0P xo

x

y

z

dE

xdEydE

S

dy

y

R

L Sdy

Q

在 Q 点：02S

xE

0

ˆ2

SE n

无限大面电荷的例子（平行板电容器）

o x

y

z

S S

a

在 x>a 的区域：

0 0

ˆ ˆ,2 2

0

S SE x E x

E E E

在 x<0 的区域：0 0

ˆ ˆ( ), ( )2 2

0

S SE x E x

E E E

在 0<x<a 的区域：0 0 0

ˆ ˆ ˆ, ( ),2 2

S S SE x E x E E E x

二、电通量密度1 、法拉第的同心球实验2 、电位移或电通量

r a

r b

绝缘材料金属球

QQ r

Q

3 、电通量密度2

2

2

ˆ4

ˆ4

ˆ4

r a

r b

QD raQD rb

QD rr

0D E

34v

V

r dv r rD rr r

高斯定理1 、任意曲面上的电通量

ds

D

S

S

D ds

D ds

2 、高斯定理穿过任意闭曲面的电通量等于该曲面所包围的总电荷

vS VD ds Q dv

Q

高斯定理举例

Qr

20

0

2

2

2

22

2

0 0

ˆ4

ˆ4

ˆ4ˆ sin

ˆ ˆsin sin4 4

sin4

S

S

SS

QE rr

D EQD rrQD ra

ds ra d dQ QD ds a d d r r d da

QD ds d d Q

a

利用高斯定理求解对称分布电荷的场

Q

Q

麦克斯韦第一方程（静电场方程）vS V

D ds Q dv

S VD ds Ddv

0

vV V

vV

v

Ddv dv

D dv

D

麦克斯韦第一方程的微分形式

麦克斯韦第一方程的积分形式

三、静电场的电位和能量F

l

L

外力做功： cosW FL F L

E

a

b

qE

extF

dl

q

电场力做功：克服电场力做功：

edW qE dl

dW qE dl

a

ab bW q E dl

电位差（电压）的定义：a

ab a b bV V V E dl

正负电位差的含义：正功、负功

电位0 电位参考点：无限远处，“地”

00

a

a aV V E dl

参考点a

aV E dl

Ar

q

点电荷的电场： 20

ˆ4qE rr

AE

20

20 0 0

ˆ ˆ4

14 4 4

A A

AA

r r

A

rr

A

qV E dl r rdrr

q dr q qr r r

ˆ ˆˆ sindl rdr rd r d

电荷分布的电位

04qV rr r

0

14

v

V

rV r dv

r r

0

14

s

S

rV r ds

r r

0

14

l

L

rV r dl

r r

点电荷：

体分布电荷：

面分布电荷：

线分布电荷：

静电场的环量——旋度

A

E

0AA A A LV V V E dl

L L SE dl E ds

旋度定理：所以：

0 0S

E ds E

静电场是无旋场

B

等效的说法：1 、静电场是保守场2 、沿任何闭合路径的环量为零3 、两点之间的电位差只与两点的位置有关，而与路径无关

电位与电场强度的关系

04qV rr r

3

04q r rE

r r

a a xa

x y z y

z

VExV dV E dlVdV E dl E dx E dy E dz Ey

V V VdV dx dy dz VEx y zz

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y zV V VE xE yE zE x y z Vx y z

点电荷的例子：

等位线

E

V

利用电位求电场－电偶极子优点：简单方便 , ,P r

q

q

o

x

y

z

1R

2Rrd

2 1 cosR R d

2 1

0 1 2 0 1 2

1 14 4

R Rq qV rR R R R

＝

22

1

0.52

2

2 cos4 2

11 cos4

1 11 cos8 2

11 cos2

cos2

d dR r r

d drr r

d drr r

dr d rr

dr

当时

同理，故 2 cos

2dR r

20

cos4qdV r

r

利用电位求电场－电偶极子 , ,P r

o

x

y

z

r

30

1 1ˆ ˆˆsin

ˆˆ2cos sin4

V V VE r V rr r r

qd rr

电偶极矩： p qd

2 20

ˆ 14p rV rr r

p

3 30

1 1ˆ ˆ34

E r p r r pr r

r

p

ˆˆ ˆcos sinp r

电偶极子的等位面

利用电位求电场－环形线电荷分布的场

0

14

l

L

rV r dl

r r

x

y

z 0,0,P z

o

dl ad

a

r

r

l由图知：

2 2

ˆˆ,r zz r a

r r a z

dl ad

因此：

2

2 2 2 200 04 2l lad aV ra z a z

32 20 2

ˆ ˆ2laV zE r V z z

z a z

静电场中的能量电位能： EW qV

电位能的建立过程：

a

b

区域

1q

2q

R

1 、把 q1 从∞移到 a 点1 0W

2 、把 q2 从∞移到 b 点1

2 2 , 204b aqW q V qR

3 、移动两个点电荷的总能量2 1

1 204

q qW W WR

4 、交换移动顺序2 1 2

2 1 1 , 1 1 20 0

0, ,4 4a bq q qW W qV q W W WR R

静电场中的能量 a

b

区域

1q

2q

12R5 、移动三个点电荷

1 2 3

2 , 3 , ,0 b a c a c b

W W W W

q V q V V

3q

c

23R

31R

6 、颠倒移动顺序

3 2 1

2 , 1 , ,0 b c a c a b

W W W W

q V q V V

1 , , 2 , , 3 , ,

1 1 2 2 3 3

12

12

a c a b b a b c c a c bW q V V q V V q V V

qV q V q V

1

1212

n

i ii

vV

W qV

W Vdv

静电场中的能量12 vV

W Vdv

vD 1

2 VW V D dv

V D V D D V

12 V V

W VD dv D V dv

第一项： 0V S

V D dv V D ds

1 1

2 2V VW D V dv D Edv

能量密度： 12ew D E ？ 1

2e vw V

静电场能量举例

0 0 0

2 32

0 0

2

2

2 2

4 4

21 1 1 1 42 2 2 2

, 4

0

ˆ ˆ4

s

s s sS S

s sv s s sV S S

v s ss V S

s

R

ds RV ds

R R

R RW Vdv Vds V ds R

D ds Q dv Q ds R

r RD RQ r r r R

r r

半径为的金属球，面电荷密度为，求电场中的储能。

解法一：球面上的电位为

解法二：由高斯定理，

总电量

22 4

40 0

2 4 2 32 240 0

0 0

12 2 2

2sin2

se

s seV R

D Rw D E

r

R RW w dv r drd dr

四、静电场中的导体——静电感应

金属的晶体结构

导体的表面电荷分布

0v

静电感应和静电平衡0v

0E

extE

导体内部静电场的电场强度为 0在导体表面的静电场的电场强度处处垂直于导体表面导体是等位体，导体表面是等位面

导体边界条件0

LE dl

0b c d a

a b c d

真空

导体

D

tD

nD

E

tEnE

Sh h

lab

cd

1 1 02 2

0

t n n

t

E l E h E h

E l

0tE

SD ds Q

Q 上底面下底面侧面

＋＋＝

n sD S S

n sD

五、静电场中的电介质物质的种类：导体、半导体、电介质电介质：无极性介质、极性介质

+ __ + +__ +

等效电偶极矩 p

合成电矩： 0p 呈电中性0E 合成电场：

+q

-q

0E

0EqF

0EqF

受力结果：电偶极矩的方向与电场方向一致

电场对电偶极子的作用

p

极化现象－无极性介质

0p 0E 极化后：

极化现象－极性介质

0p 0E 极化后：

极化现象－极性介质

水分子

加电前加电后

极化结果

0E

束缚体电荷

束缚面电荷

介质表面vb

sb

极化强度

2

0lim C/mv

pP r

v

定义：单位体积中的分子电偶极矩之和

极化前：任意体积微元中，v

极化后：任意体积微元中，且极化程度越高，越大。

v0 p

0 p

p

含义：某一点处的平均电偶极矩

束缚电荷密度

20 0

0

0

0

1ˆ

4 4

1

14

14

ˆ14

V V

S V

dp Pdv

PP R RdV dv dvR

P PPR R R

P PdV dvR R

P PV dv dvR R

P n Pds dvR R

o

Pr

r

r r R

dv

V

SP

n

束缚电荷密度

o

Pr

r

r r R

dv

V

SP

n

定义束缚面电荷密度ˆsb P n

和束缚体电荷密度vb P

则 P 点电位为

0

14

sb vb

S VV ds dv

R R

可见，束缚电荷可产生和自由电荷一样的电场

介质中的静电场方程

0 0

0

v vb v

v

PE

E P

v vb,D E

定义电通量密度0D E P

0vD

E

从而

0S

L

D ds Q

E dl

电介质的介电常数或电容率电介质的属性：线性：各向同性：与外加电场的方向无关均匀：各部分性质相同

P E

A 类电介质

0P E

0 01 rD E E E

其中：称作电极化率称作相对介电常数称作电介质的介电常数

r

D E

结构方程：

介质高压击穿若外加的电场太大，可能使得介质分子中的电子脱离分子的束缚，成为自由电子，介质变成导电材料，这种现象称为介质击穿，如闪电现象、开关打火现象等等。介质能保持不被击穿的最大外加电场强度，称为该介质的击穿场强（或介电强度、绝缘强度）。防止高压击穿的方法：

抽真空填充惰性气体填充介电常数高的介质（变压器油、聚四氟乙烯）

常见材料的相对介电常数和绝缘强度电介质相对介电常数绝缘强度（ kV/

m ）空气 1.0 3000硬橡胶 2.6 60000

环氧树脂 4 35000玻璃 4.5 90000云母 6 60000聚苯乙烯 2.6 30000陶瓷 5 11000石英 5 30000纯水 81

变压器油 2~3 12000

极化的应用－微波炉

电介质问题举例

22

20

0 2

ˆ44

ˆ4

1ˆ

4

0

r

sb vb

rS

r

r

r

vb

sb

q

E D Pr S

qD ds q r D q D rr

D qE rrq

P D E rr

Pr b

Q

点电荷被相对介电常数为的线性、均匀、各向同性介质包围，

求、、电极化强度、束缚面电荷密度、束缚体电荷密度。

解：对空间中任意点，在面上应用高斯定理，有

电场强度

极化强度

在面上的总束缚面电荷为

2 2

0 0

1ˆlim 4 lim 4 r

sbb br

t sbr

qb b P r

qQ q Q

总电荷

r b

r

Sr

电介质表面的边界条件－法向分量在扁圆柱面上应用高斯定理

hS

1D

2D

n1

2分界面s

SD ds Q

当时，有0h

1 2ˆ ˆ sD n S D n S S

换成用表示有E

1 1 2 2

1 1 2 2

ˆ s

n n s

n E E

E E

1 2

1 2

ˆ s

n n s

n D D

D D

若媒质 2 为导体，则1

1 1

n s

n s

DE

电介质表面的边界条件－切向分量

2

1n

hl

1E

2E

在扁矩形回路上求电场的环量0

SE dl

当时，有0h

1 2 0E l E l

1 2

1 2

1 2

ˆ 0

ˆ 0t t

t E E

E E

n E E

若媒质 2 为导体，则

1 0tE

介质中的静电场基本方程小结• 积分方程：

D r ρ r 0E r

SD r ds Q

0LE r dl

• 微分方程：

D r E r

• 结构方程：

注：令上述方程中的，即为真空中的方程0

• 边界条件：

1 2

1 2

ˆ

ˆ 0

sn D D

n E E

六、导体系统的电容和电容器

qR

r孤立导体

导体球的电位为24 4

R R q qV E dl drr R

导体球的电量增加为 n 倍时，

4

q nqnqV nVR

电容的定义：qCV

孤立导体球的电容：

4C R

多导体系统－部分电容

1

2

3

11C

33C

22C13C

12C

23C

自电容：导体与大地（或无限远处）之间

互电容：导体与导体之间

11 22 33C C C，，

12 23 13C C C，，

任何导体与大地之间以及导体之间均存在电容！

电容器

E

导体 a

导体 b

a

ab

QCV

带等量异号电荷、相互接近又绝缘的两个导体构成一个电容器

电容器的电容仅与导体形状和填充介质有关

电容器举例——平行板电容

x

z

y

,Q A

d 0

2 2 2

ˆ

1 1 1 12 2 2 2

ss

a ds s

ab b

ab

s abV V

d AQ Q

QE zA

d QdV E dl dzA

Q ACV d

AdW D Edv E dv CV

两间距为面积为的平行导体板构成一平行板电容器，设上面板带电量为，下面板为- ，求电容和储能。解：忽略边缘效应，电荷均匀分布，则导体间的电场为

，

两板电位差

电容即为

系统储能为

电容器举例——同轴线电容

2

2

ln2 2

S

a a

ab b b

a b

QQ

Q D ds rE

QEr

Q dr Q bV E dlr a

上底面侧面下底面侧面

无限长同轴线内导体半径为，外导体半径为 ,中间填充介电常数为的介质，求单位长电容。解：如图，取单位长同轴线，根据其轴对称性，在圆柱坐标系中求解。设内导体带电量为，外导体带电量为－ ,取图中红色虚线闭曲面为高斯曲面，则

＋＋＝ =

内外导体的电位差为

2

lnab

QC bVa

故单位长电容为

a

b

r

2.2 恒定电流场——导电媒质和直流电路

E

一、电流强度与电流密度电流强度：单位时间内流过导体横截面的电量

0lim t

q dqIt dt

ˆs n

v

E

l v t

△t 时间内通过△ S 面积的电量为v v vq v s l t s v

流过△ S 面积的电流为v

qI v s J st

体电流密度的定义： vJ v

流过面积 S 的电流则为S

I J ds

v

面电流密度

lv

s

v s

s s

sS L

J J v

I J ds J dl

电荷守恒——电流连续性方程

S, vV

ds

J流出 S 面的总电流为

SI J ds

应该等于 V 内电荷的减少率vV

dQ dI dvdt dt

vS V

dJ ds dvdt

电流连续性方程的积分形式v

V VJdv dv

t

vJt

电流连续性方程的微分形式

恒定电流场vJt

说明电荷密度变化的点是体电流密度的源点对于流过直流的导电媒质，电荷密度保持动态的平衡0J

0SJ ds

1I

2I

3IS

1 2 3

1 2 3

0I I II I I

基尔霍夫电流定律

电流的微观形成

导体中电子的运动

E

漂移量

欧姆定律可以证明：

v eJ v Nev E E

其中为电子迁移率evev v E

假设单位体积中有 N 个电子，则： v Ne

称为导体的电导率

欧姆定律的微分形式

电阻率： 1

物质分类良导体电介质

0

常见媒质的电导率

注：随温度变化，常温下变化忽略不计

导体的电阻

E

J

abV l

A

导体内的电场：ˆabVE z

l

a

b

导体内的电流密度：ˆabVJ E z

l

z

流过导体的电流： ˆ ab ab

S S S

V V AI J ds J z ds dsl l

导体的电阻：abV l lRI A A

欧姆定律的积分形式

EJEJ L

横截面积 S 总电流 I

lU

SI RII

Sl

ISl

U

1

RIU

SIJIJSsdJS

LUEUELldEL

焦耳定律——媒质的损耗电流的热效应和焦耳热载流时会出现焦耳热的媒质称为有耗媒质损耗小的媒质可近似为无耗媒质 E

v

dv

dl

电场力： vdF dqE dvE

vdW dF dl v Edvdt J Edvdt

dWdp J Edvdt

做功：功率：功率密度： 2p J E E

焦耳定律的微分形式总功率： 2

V VP pdv E dv

焦耳定律的积分形式

E

J

abV l

AabVEl

2 2 22

2 2

2

ab ab abV V

ab

V V AVP E dv dv All l l

lRA

VPR

abV AI

l

22abV A lP I R

l A

焦耳定律的积分形式

电流密度的边界条件

hS

n1

2分界面s

1J

2J

0SJ ds

在扁圆柱面上求面积分

1 2

1 2

1 2

ˆ ˆ 0

ˆ 0

n n

n J s n J s

n J J

J J

法向分量连续 1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

ˆ 0

ˆ 0

t

t

n E E

J Jn

JJ

切向分量不连续

静电平衡过程——驰豫时间, ,v

J

0

0

0

0

v

v

v

vv

t

v

Jt

J E

Et

E

t

e

驰豫时间：

以铜为例：

静电平衡时间： 5t

7 120

19

5.8 10 , 8.854 10

1.52 10 s

电动势——直流电源的作用

电源

E

I I

I

E

E

外部能源：化学反应（电池）、机械驱动（直流发电机）、光激发源（太阳能电池）、热敏装置（热电偶）

2.3 静磁场 Magnetostatic field

静磁场：• 由恒定电流或永久磁体产生的磁场• 不随时间变化，仅是空间坐标的函数。• 有关定理、定律以安培定律为基础。

2.3.1 静磁场

L LIIrr

rrldIlIdπ

μF 3

0

4

x y

z

0

I’

I

L’

Lr

r

ld

ld

mH104 70

真空中的磁导率：

IIII FF

一、安培定律

;线元分别是两回路上的有向、 ldld

取电流方向为回路的正方向；

二、磁感应强度（ Magnetic flux intensity ）

• Biot-Savart 定律：

L LIIrr

rrldIπ

μlIdF 3

0

4

L

rr

rrldIπ

μrB 3

0

4

之外任意点的矢径是是该有向线元的矢径是该回路上的有向线元

回路是产生磁场的电流所在

Lrrld

L

x y

z

0

I’

L’r ld

r

直线电流的磁场

x

y

z

a

bz

ˆ

Idz

R r r

0 0

3/ 2 2 2 22 2

02 2 2 2

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ

ˆˆ4 4

ˆ4

bb

aa

z a z b Ixy P

Idl Idzz r r zz

R r r zz Idl R I dz

II dz zBzz

I b a

b a

a b

一根由至载流为的有限长细导线，求在平面上点处的磁感应强度。

解：由于，，，

，因而，故

如果而，则导线为无限长，此时有

0 ˆ2IB

P

环形电流的磁场

2

20

30

2 2 20 0

3/ 2 3/ 20 02 2 2 2

2 20 0

3/ 2 3/ 20 02 2 2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆˆ

4ˆˆ

4 4

ˆˆ4 4

xy I bz P

dl bd R b zz

dl R b z bz d

Idl RB dR

Ib Ibzzd d

b z b z

Ib Ibzzd d

b z b z

一个位于平面载流为的圆环，半径为，求在正轴上点的磁感应强度。

解：因为，，于是

，从而

2

20

3/ 22 2

0

20

3

ˆ2

ˆ02

ˆ2

Ib zb z

Iz B z

bIb

z B zz

在处，

在处， x

y

z

z

ˆbd

R r r

P

•分布体电流产生的磁感应强度 :

Vvd

rrrrrJ

πμ

rB 30

4

•分布面电流产生的磁感应强度 :

S

s sdrr

rrrJπ

μrB 3

0

4

ld

sd I Jds I dl Jds dl Jdv

I

I dl r r Jdv r r J r r dv

与成右手螺旋关系

• 电流元的磁力线 lId

B

B

lId

三、磁力线

磁力线与电流相互交链

电流环中心的磁力线方向与电流方向成右手螺旋关系。

• 电流环的磁力线

• 螺线管的磁力线螺线管中心的磁力线方向与电流方向成右手螺旋关系。

I

• 永久磁体的磁力线

• 磁力线的性质：磁力线是无头无尾的闭合曲线，磁力线与电流交链。

2.3.2 静磁场的基本方程和性质一、磁通连续性定律（磁场的高斯定律）

V

V

vdrr

rJπ

μ

vdrr

rrrJπ

μrB

14

4

0

30

rrrr

rr

13

rArB

• 表示为某矢量的旋度B

),,( zyx：对

),,( zyx 积分：对

V vdrr

rJπ

μ

40

rA

• 微分形式（即的散度）： rB

0 rArB

结论：磁场为无散场，无散度源；没有“磁荷”（磁单极子）存在。磁力线为无头无尾的闭曲线。

• 积分形式：

S

V

0 VSdvBsdB

结论：闭合面上的磁通量恒等于 0 。

奥式公式磁力线

二、静磁场的安培环路定律• 积分形式

IldrBL 0

L ：任意闭曲线I ：与 L 相铰链的净电流

S

L

S sdrJ 0

S ： L 所张的任意曲面 I

• 微分形式（即的旋度）： SL sdrJldrB

0

rB

S sdrB

斯托克斯公式要上式对任意的 S 成立，必有：

rJμrB 0

结论：磁感应强度的旋度等于电流密度乘以，电流密度是静磁场的旋涡源 0

三、静磁场的基本方程

rJμrB 0

0 rB • 微分方程：

（磁通连续性定律微分形式）（安培环路定律微分形式）

SL sdrJIldrB 00

0 S sdrB • 积分方程：

（磁通连续性定律积分形式）

（安培环路定律积分形式）

利用安培环路定律求磁场

2

00

0

2

ˆ2

c

I

B dl B d B I

IB

求载流为的无限长直导线的磁场。解：以导线为中心取半径为的圆环路径，由安培环路定律，有

所以

B

I

c

利用安培环路定律求磁场

x

y

z

x

y

a

b

a

b

I

I

2 2

2 22

22 2 0

ˆ

ˆ

1 0

2

enc s a

b

a I B

IJ zb a

a a B

b a b

I aII J ds d dbb a

一根无限长空心导体，沿z轴放置，外径为，内径为，载流为，若电流均匀分布，求。解：由于电流均匀分布，故体电流密度为

由对称性，磁场仅随变化，且只有方向的分量，在以导体中心轴为圆心，为半径的圆周上，

区域：，由于电流为零，故；

区域：，圆周包含的电流为

2

0

2 20 0

2 2

0

2

ˆ ˆ ˆ2 2

3

ˆ2

encc

enc

enc

a

B dl B I

I I aB Bb a

c b I II

B

另一方面

= ，故

区域：，此时，故

2.3.3 静磁场的磁位一、磁矢位（ Vector potential ） rAvd

rrrJ

πμ

rBV

40

V

vdrr

rJπ

μrA

40

• 分布电流产生的磁矢位

rAldrr

Iπ

μrB

L

4

0

L

ldrrπ

IμrA 1

40

• 线电流产生的磁矢位

二、由磁矢位求磁感应强度

Vvd

rrrrrJ

πμ

rB 30

4

V

vdrr

rJπ

μrA

40

• 积分式比较

• 的积分表示式比的积分式更简单； • 可先求再求。这是静磁场问题的常用解法。

A

B

A

B

V

ii vd

rrrJ

πμ

rA

4

0 （ i = x, y, z ）

三、静磁场磁矢位满足的方程

可以证明，分布于有限区域的电流产生的磁矢位满足 0 A

JA

02

JAAAB

02

将代入AB

JB

0• 磁矢位的矢量泊松方程：

JzAyAxAA zyx

0

2222 ˆˆˆ 即： rJrA ii

0

2 （ i = x, y, z ）

可分成三个标量泊松方程：

无电流处（）的磁矢位方程： 0rJ

02 rA

• 磁矢位的矢量拉普拉斯方程：

02 rAi （ i = x, y,

z ）可分成三个标量拉普拉斯方程：

• 磁矢位无明确物理意义，是分析、计算磁场的辅助函数。• 拉普拉斯方程是泊松方程在无电流处的特例。

四、磁标位（ Scalar potential ）无电流处： 00 rJrB

可令： mrB 0

m 为标量磁位，简称磁标位

• 磁标位是与电位相对应的物理量

02 m

• 磁标位的拉普拉斯方程 02

00 mmrB

• 注：磁标位只能用于无电流区域。

2.3.4 静磁场中的媒质一、磁偶极子 (Magnetic dipole )

I

• 磁偶极子：尺寸很小、形状任意的电流环

I ：电流环上的电流强度S ：电流环的面积：电流环面的法向，与电流方向成右手螺旋关系n

• 磁偶极矩SInSIm

ˆ

m

S

磁偶极子的场图2

0 03 3ˆ

2 2Ib m

B zz z

• 磁偶极子在磁场中的受力0B

受力结果：使磁偶极矩的指向转向与磁力线指向相同的方向 ( 此时力矩为 0) 。

m

磁偶极子所受力矩： 0BmT

m

• 分子（或原子，以下略）的固有磁偶极矩分子内的电子绕原子核运动，形成了微观电流环，每个微观电流环都对应一个磁偶极矩。一个分子内所有磁偶极矩的矢量和称为分子的固有磁偶极矩。

原子核电子

二、媒质的分类• 抗磁质：

分子固有磁偶极矩＝ 0

（如 Cu 、 Pb 、 Ag 、 H2O 、 N2 ）• 顺磁质：（如 O2 、 N2O 、 Na 、 Al ）

分子固有磁偶极矩≠ 0由于分子热运动，所有分子的固有磁偶极矩杂乱排列。m

铁磁质：（如铁、钴、镍等少数物质）固有磁矩在不同的极小区域内就有一定程度的一致取向，形成不为零的磁畴磁矩，但各磁畴磁矩的取向却是杂乱的。

三、磁化作用（ Magnetization ）：• 定义：外加磁场使分子固有磁偶极矩重新分布的作用。

抗磁质分子出现感应磁偶极矩外加静磁场 0B

m

顺磁质分子外加静磁场 0B

m

杂乱的取向被改变为几乎一致

• 磁化的结果：媒质每个分子都是一个磁偶极子（可能是固有的，也可能是感应的），且取向几乎都平行于外加磁场的磁力线。

0B

抗磁质的磁偶极子与外加磁场的磁力线反向。

顺磁质的磁偶极子与外加磁场的磁力线同向0B

四、磁化强度：

A/m lim0 v

mrM

v

：单位体积中的分子磁偶极矩之和•定义

磁化前：任意体积微元中，。v 0m

磁化后：任意体积微元中，；且磁化程度越高，越大。

v 0m

m

磁化电流的磁场• 磁偶极子的磁矢位：• 磁化电流的磁矢位：

034

m r rA r

r r

G

M r

V

V

r r

r r

03

0 0

4

4 4

V

V S

M r V r rA r dv

r r

M r M r ndv ds

r r r r

五、磁化电流：

媒质表面

磁化体电流（媒质非均匀或外加磁场不均匀时才会出现）

n

顺磁质0B

×

磁化面电流

nMJms

MJm

• 磁化体电流密度• 磁化面电流密度

• 自由电子定向移动形成的电流称为传导电流。• 磁化电流又称为束缚电流。

磁化电流的形成

六、媒质中静磁场的方程

• 磁介质中的静磁场＝外加静磁场＋磁化电流产生的静磁场 rB 1 、磁通连续性定律：

• 磁化电流产生的静磁场与真空中静磁场的性质完全相同。

0 rB 0S sdrB

• 媒质中的磁通连续性定律与真空中的磁通连续性定律相同：

微分形式积分形式

2 、安培环路定律：媒质中的安培环路定律与真空中的安培环路定律相同，但若将传导电流与磁化电流分开考虑，并引入新的物理量，可使形式简化。

rJrMμrB 传导 0

定义磁场强度 rMμrBrH 0

rMrJμ

rJrJμ

rJμrB

m

传导

传导

0

0

0

MJm

• 安培环路定律的微分形式： rJrH

传导

• 安培环路定律的积分形式：传导I ldrHL

七、结构方程• 磁化强度与磁场强度的关系：

rHχrM m

磁化率• 结构方程：

rHμ

rHμrHμ

rHrHμrMrHμrB

rm

m

1 00

00

rMμrBrH 0

媒质的相对磁导率媒质的磁导率

八、常见媒质的磁导率：

• 抗磁质： 1r 1r

• 顺磁质： 1r 1r

0m

0m

一般认为一般认为

• 铁磁质：1r

)(非线性变化随Hr

Fe 、 Co 、 Ni 、许多合金、含铁的氧化物几百、几千、几万

• 对于均匀、线性、各向同性的媒质，处处相等，不随变化，为标量。 r rH

九、媒质中的静磁场基本方程

• 结构方程：

0 rB

0S sdrB rJrH

传导I ldrHL

• 微分方程：

• 积分方程：

rH rB

注：令上述方程中的，即为真空中的方程0

磁介质问题求解举例：求同轴线各区域的、和，并求以及。解： H

B

M

mJ

smJ

a b c

I-I

2l SH dl H J ds

2

2 2

2 2

ˆ2

ˆ2

ˆ2

IH aaIH a b

I cH b c

c b

a b c

I-IB H

02

2 20

2 2

ˆ2

ˆ2

ˆ2

IB aaIB a b

I cB b c

c b

a b c

I-I0 0

1BM H H

0

0

0

0

0

ˆ2

0

1ˆ 02m

M a

IM a b

M b c

IJ M z

a b c

I-I

0

0

0

0

0

0

ˆ ˆ2

ˆ ˆ2

ms

ms

S

IJ a M a za

IJ b M b zb

I I

2.3.5 磁通、自感和互感SB ds

SD ds

磁通或磁链的定义：

与电通量对照：nn

单导体回路的自感0S

B dsL

I I

多导体回路的互感

1 1,C I 2 2,C I1S

2S2

1

121

211 1

212

122 2

12 21

S

S

B dsM

I I

B dsM

I IM M

自感和互感只与导体回路的形状、几何尺寸、相对位置和空间媒质有关

单位长同轴线的自感I

I

a

b

0

0

2

ˆ2

2 0 0

L

a Ib - I a b

a

b> a B dl B I

IB

b B B

0

设同轴线内导体外半径为，电流为，外导体内半径为，电流为，，其中填充磁导率为

的媒质，求单位长同轴线的自感。解：取如图所示半径为（）的闭合环路，应用安培环路定律，有

当时，

当时，有

单位长同轴线的自感

I

10

0

10 0

0

0

ˆ ˆ2

ln2 2

ln2

b

S a

b

a

IB ds d dz

I I bdz da

bLI a

单位长度上的磁通量为

从而同轴线的单位长自感为 1

2.3.6 静磁场的边界条件

2 1 1 2

1 1 2 2

ˆ 0 n n

n n

n B B B B

H H

法向分量：

切向分量： 2 1 1 2

2 21

2 1

ˆ 0 t t

ts

n H H H H

B B J

2.3.7 静磁场的能量一、静磁场具有能量的表现：不受其他外力的静止电流回路，会在磁场力作用下开始运动，其动能来自于磁场力对其做的功，磁场力做功的能量就来自磁场中蓄积的能量。

电流系统建立过程

二、能量来源任何形式的电流系统，都要经过从没有电流到某个最终电流分布的建立过程。在此过程中，外加电源必须克服感应电动势做功，此功即为静磁场能量的来源。

电流系统

• 磁能密度： rHrBrwm

21

Ve dvrHrBW

21

三、磁场能量的表示

• 体积 V 中的总磁能：

单位体积内的磁场储能

2.3.8 静磁场的解法一、已知电流分布，用积分表示式求场分布

Vvd

rrrrrJ

πμ

rB 30

4

适用问题：所有电流分布都已知的问题。二、利用积分方程求场分布：

适用问题：空间结构简单、具有旋转对称性，电荷分布均匀、对称。

三、先求磁位，再求磁感应强度• 磁位的微分方程：

rJrA ii

02 （ i = x, y,

z ）磁矢位方程：磁标位方程：

02 m

• 磁位的边值问题＝微分方程＋边界条件• 因磁位微分方程与电位微分方程类似，故磁位边值问题的求解方法与电位边值问题的求解方法类似。

矢量线

场矢量

电流磁场力（安培定律）

电荷电场力（库仑定律）作用力

恒定电流场静磁场静电场静态场总结：基本概念

E

B

J

D

H

E

闭合曲线磁力线：闭合曲线与源电流交链

电力线：始于正电荷止与负电荷电流线：

场源静止电荷恒定电流直流电源

_+I

静态场总结：对物质的作用

对物质的作用极化作用磁化作用

作用结果

静磁场静电场

场量间关系 HμB

EεD

• 介质：分子电偶极矩取向一致，出现极化电荷• 媒质分子磁偶极矩取向一致，出现磁化电流

• 导体：静电平衡

静态场总结：场方程

结构关系

积分方程

EJ

HμB

EεD

微分方程自由 D

0 E

0 J

传导JH

0 B

0 E

恒定电流场静磁场静电场

0S sdJ 0

LldE

传导IldH L

0 L

ldE

0S sdB 自由S sdD

（电源外）

静态场总结：位函数

位函数静电场静磁场

位函数与场量的关系

位函数满足的方程

恒定电流场电位磁矢位 A

电位

E

AB

E

2ii JA 2

zyxi ,,

2

• 电容：两个等电位导电表面的总电荷与等位面之间的电位差之比• 电阻：导体的两个等位面之间的电位差与流过这两个等位面之间的电流之比• 电感：导电线圈的磁通与通过导线的电流之比

静态场总结：三个电路参量

它们只与导体的形状、几何尺寸、相对位置和空间媒质有关

第二章 静态场

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第二章静态场