応用数理工学特論

線形計算とハイパフォーマンスコンピューティング

2008 年 6 月 19 日

名古屋大学　計算理工学専攻山本有作

期末発表について

• 概要– 日時：　 7/10 および 7/17– １～３人のグループで１つの発表を行う。– 論文を読んでまとめるか，あるいは講義で勉強したことをも

とに自分たちで数値実験を行った結果を発表

• グループの決定– 本日の講義後に，グループを申告してください。– 未決定の人は，今週末までに決めてメールで申告してくださ

い。

• 発表テーマの決定– テーマの候補をホームページに掲載します。– 来週の講義までに，自分たちのテーマを決めて報告してくだ

さい。

前回の概要

３ . 　非対称行列の固有値計算のための前処理

・ ハウスホルダー法によるヘッセンベルグ化

４ . 　ヘッセンベルグ行列の固有値計算

・ べき乗法

・ 直交化付き同時反復法

・ QR 法

今回の内容

４ . 　ヘッセンベルグ行列の固有値計算（続き）

・ シフト付き QR 法

・ 減次（デフレーション）

・ QR 法の演算量

・ ヘッセンベルグ行列に対する QR 法

今回の内容

５ . 　ヘッセンベルグ行列の固有値計算の高性能化

・ QR 法の問題点

・ マルチシフト QR 法

・ level-3 BLAS の利用

６ . 　三重対角行列の固有値計算の高性能化

QR 法の基礎

• アルゴリズム（ Francis, 1961 & Kublanovskaya, 1961 ）– 行列 A0 から始めて次のように QR 分解と相似変換を繰り返す。

• A0 = Q1R1

• A1 = R1Q1 (= Q1–1A0 Q1 )

• A1 = Q2R2

• A2 = R2Q2 (= Q2–1A1 Q2 = Q2

–1Q1–1A0 Q1Q2 )

• 収束定理– 適当な条件の下で， Ak は（ブロック）上三角行列に収束– A0 の固有値を絶対値の大きい順に 1, 2, … , n とすると，対角要素

aij は i に１次収束– 非対角要素 aij （ j < i ）は収束率 ij ≡ |i| / |j| で 0 に１次収束

各部分の実行時間

• 全固有値を求める場合の演算量– ヘッセンベルグ 化：　 (10/3) n3

– QR 法： 　 10n3 （経験値）

– 演算量（時間）の大部分を QR 法が占める。– QR 法の高速化が必要

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

OLM10

00

TUB1

000

RDB1

250

TOLS

2000

PDE2

961

MHD32

00B

QR

Hessenberg reduction

Execution time (min)

Origin2000 1PU （ R12000 ， 400MHz ）上での実行時間K. Braman et al: “The Multishift QR Algorithm I” より抜粋Hessenberg 化の時間は推定値

• 更新処理の分割– m/2 個のバルジをそれぞれ r 行追跡する際，　 まず対角ブロックのみを更新– 非対角ブロックは，更新に使ったハウスホル

ダー変換を 1 個の行列に蓄積し，後でまとめて更新

　　非対角ブロックの更新で レベル 3 BLAS が使用可能

• r の決め方– 演算量の点から， r ～ 3m とするのが最適– このとき，演算量は方式１の約 2 倍　　（非ゼロ構造を利用した場合）

レベル 3 BLAS の利用

0

バルジ（ 3×3 ）最初に更新

まとめて BLAS3 で更新

蓄積されたハウスホルダー変換の非ゼロ構造

マルチシフト QR 法の性能

• 流体力学の問題に対する計算時間の例– PowerPC G5 2.0GHz （ 1CPU ）– 行列は金田研究室 水野氏提供

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

8 (DHSEQR) 8 (HQR_M)

QR法

Hessenberg 化

行列生成

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

11 (DHSEQR) 11 (HQR_M)

QR法

Hessenberg 化

行列生成

N=3645 N=11232