鮫島俊之蓮見真彦

members

鮫島俊之（さめしまとしゆき）名古屋大学・静岡大学・工学博士・ソニー・ Max Plank Institute ・東京農工大学・教授講義担当

蓮見真彦（はすみまさひこ）東京大学・理学博士・理化学研究所・東京農工大学・学習支援室長演習担当

蓮見真彦（はすみまさひこ）東京大学・理学博士・理化学研究所・東京農工大学・学習支援室長演習担当

Introduction

１．教科書　タイトル：新・基礎力学 ( ライブラリ新・基礎物理学 )　　　　　　　　出版社：サイエンス社　　　　　　　　 ISBN ： 978-4781910970

２．講義ノートはホームページからダウンロード　１） http://www.tuat.ac.jp/~sameken/　２）講義ノートのメニューバーをクリック　３） 2013 年物理学及び演習 (1 年次後期 ) のコーナーの物理 (ppt) をクリック

Introduction

３．演習と宿題は学習支援室蓮見室長が担当する。学習支援室ホームページからダウンロード　１） http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/　２）演習問題　及び　宿題　をクリック

Introduction

４．必修科目

５．成績評価：　絶対評価S ： 100 〜 90 ， A ： 89 〜 80 ， B ： 79 〜 70 ， C ：69 〜 60 ，D ： 59 〜 0Ｓ〜Ｃは単位認定される。 E1 クラスと同一評価、演習 30 点宿題 20 点中間試験＋期末試験　 50 点

Introduction

６．物理授業用ノートを用意すること

７．講義・演習・宿題の流れ

講義：毎回所定のテーマの解説をする。講義：毎回所定のテーマの解説をする。

演習：前回答案返却→前回問題解説→　　　　今回問題配布・実施→今回答案回収

演習：前回答案返却→前回問題解説→　　　　今回問題配布・実施→今回答案回収宿題：講義前に前回答案回収→　　　　演習後今回問題配布宿題：講義前に前回答案回収→　　　　演習後今回問題配布

平成 24 年度電気電子工学科 E2 　物理学基礎・物理学基礎演習　期末テスト問題抜粋問 2 　物理得意の U さんがまたしても力 F=(-2x, -8y, 0) [N]を持ちだした。今度は質量 m [kg] 長さが 2 [m] の剛体棒が図のように棒の一端が原点ＯにありＸ軸上に横たえてある。 U さんはクリスマス時と同じように、時刻 0 [s] で重心初速度v=(0,1,0) [m/s] で棒を打ち出すそうである。以下の問題に答えよ。(1)原点Ｏにある棒の端は原点を動かないが自由に回転できるようにしてある。このとき棒は原点を支点として反時計回りに回転的運動をするだろう。まず、 U さんの力 F が保存力かどうか確かめたい。回答欄①に保存力であるか否かに丸をつけよ。そして回答欄②に、①の答えの証明を数式を用いて表せ。棒が重心初速度 v=(0,1,0) で打ち出された瞬間の棒の回転運動の慣性モーメント I を回答欄③に m と数値を用いて表せ。

平成 24 年度電気電子工学科 E2 　物理学基礎・物理学基礎演習　期末テスト問題抜粋またそのときの角運動量 L を回答欄④に m と数値を用いて成分で表せ。時刻 t [s] において重心の位置が rG=(x,y,0) にあるときの棒が受ける力のモーメント N を回答欄⑤に成分で表せ。棒が回転運動を続けるかどうかは m の大きさにかかっている。例にならって回答欄⑥に m の条件を表せ（例はもちろん間違いである。表現の仕方の例である）。⑥を満たした棒の回転運動はどんなだろうか、回答欄⑦にあなたの考えを 200字以内の文章で表せ。短い数式を一つ使ってよい。

① ノムラ　　　　　　　　　　　　　　　　　④　

② ノムラ　　　　 ⑤

③

0 0 0y xz

F FF

x y

0 0 0y x

z

F FF

x y

0 0 0y x

z

F FF

x y

0 0 0y x

z

F FF

x y

0 0 0y x

z

F FF

x y

1. 運動の表し方（１）

１．１　位置と座標系

１．２　二次元極座標と孤度法

１．３　位置ベクトルと変位ベクトル

１．４　ベクトルの基本的性質


質量 m の質点Ｐの位置ｒは三次元直交座標系（デカルト座標系）を用いて表すことができる。

もし位置に時間変化がある場合、時間の関数を用いて、

と書く。二次元表現で表現できる場合もある。

一次元表現もある

, ,r x y z

0

X

Z

Y

mP

, , r t x t y t z t

, r t x t y t

r t x t


問：農工大小金井キャンパスは緯度 35.699o, 経度139.158o にある。農工大小金井キャンパスの地球中心からの位置を直交座標表示してみよう。地球は真球で半径を 6378.137km とする。

フジイ


PからＸ－Ｙ平面に下ろした垂線の足をＱとする。OX と OQ が挟む角を θ、 OZ と OP が挟む角を φ、OP の長さを r とすると、

であるから、

となり、三次元直交座標の成分は　を用いて表される。

O

X

Z

Y

mP

θQ

φ

sin

cos

OQ r

QP r

sin cos , sin sin , cos r r r r

, , r


　　　　　　　　を極座標という。2次元表現もある。φが常に 90° なら物体はＸ－Ｙ平面内にあり、　　　　　　　である。

農工大小金井キャンパスは緯度 35.699o, 経度139.158o にあるから、極座標なら農工大小金井キャンパスの地球中心からの位置は、

となる。

, , r r

,r r

66.3781 10 ,2.4287,0.9477 22222222222222noko

cos , sin r r r


Ｘ－Ｙ平面内、半径 a の円の位置の極座標表現は、　　　　　　　と書くことができる。 ,r a


位置Ｐは基準点からの成分表示で表される。数学のベクトルの性質を持っている。大きさがあり、向きがある。位置Ｐ点が少し動いてＰ’になったとしよう。

足し算可能（もちろん引き算も可能）

, , 22222222222222

p p p pr x y z' ' ' ', ,

22222222222222p p p pr x y z

' ' ' ', , 22222222222222

p p p p p p p pr x x y y z z

' ' 222222222222222222222222222222222222222222

p p p pr r r


のようなものを変位ベクトルと呼ぶ。大きさが小さければ、

と書いたりする。

' ' ' ', , 22222222222222

p p p p p p p pr x x y y z z

, , 22222222222222

r x y z

問　Ｘ－Ｙ平面内、半径 r の円の位置が θ ＝ 0 から θまで動く時に描く軌跡の円弧の長さを求めよ。θ＝ 0から Δθまで少し動いたとき、ベクトルは

,0r r cos , sin

r r r


変位ベクトルは

大きさは、

三角関数には以下の性質がある。

cos 1 , sin 22222222222222

r r r

2 22 2 2cos 1 sin 2 1 cos r r r r

2 4

1 3 5

cos 1! 2! 4!

sin! 3! 5!

m m

even

n n

odd

i x x xx

m

i x x xx x

n


Δθ は小さいので、 2次までの近似とすると、

である。よって円弧の長さは、

円周の長さは、

22 1 cos ~ r r r

2 4

1 3 5

cos 1! 2! 4!

sin! 3! 5!

m m

even

n n

odd

i x x xx

m

i x x xx x

n

0

ARC rd r

2

02

ARC rd r

１．ベクトルは成分表示される量２．ベクトルは加算的である。

３．掛け算は２種類ある１）内積 (inner product, scalar product)　ベクトル・ベクトル＝スカラー

A B C 222222222222222222222222222222222222222222

, , , ,x x y y z z x y zA B A B A B C C C

A B C 2222222222222222222222222222

x x y y z zA B A B A B C

cosA B AB 2222222222222222222222222222

2A A A 2222222222222222222222222222

A B B A 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222

, ,x y zA A A A22222222222222


２）外積 (outer product, vector product) 　　　　　　　ベクトルｘベクトル＝ベクトル

A B C 222222222222222222222222222222222222222222

, , , ,y z z y z x x z x y y x x y zA B A B A B A B A B A B C C C

sinA B AB e 222222222222222222222222222222222222222222

外積の XYZ 成分は YZ→ZX→XY の順番に並べて行けば簡単に求められる。

0A A 2222222222222222222222222222

A B B A 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222


位置ベクトルは：

, ,x y zr t r t r t r t

0

X

Z

Y

mP

位置の時間微分は速度である。

速度の時間微分は加速度である。

dv t r t

dt

da t v t

dt



, ,

x y z

d d dv t r t r t r t

dt dt dt

2 2 2

2 2 2, ,

x y z

d d da t r t r t r t

dt dt dt

位置ベクトル

速度ベクトル

加速度ベクトル


数学の勉強：指数関数

指数関数を使って三角関数 trigonometric function を制覇しよう。

　　　　　　　　　　　　である。 Multiplication rule

　　　　　　　　　　　　である。 Power rule

　　　　　　　　　　　　である。 ordinary differential equation

a b a be e e

axaxde

aedx

ba abe e

a, b はどんな数でも成り立つ。

定義： cos siniae a i a a は実数

Euler's formula


2 4

1 3 5

cos 1! 2! 4!

sin! 3! 5!

m m

even

n n

odd

i x x xx

m

i x x xx x

n

定義： cos siniae a i a a は実数

x nn

n

e a x

1x nn

n

x nn

n

de a nx

dx

e a x

1n na n a 1nn

aa

n

1

!nan

と置く

上下を見比べれば


!

nx

n

xe

n

1

! ! !

cos sin

n m m n nix

n even odd

ix i x i xe i

n m n

x i x

2 4

1 3 5

cos 1! 2! 4!

sin! 3! 5!

m m

even

n n

odd

i x x xx

m

i x x xx x

n

である。　　　定義を使って、

２．１　速さ

２．２　速度

２．３　加速度

２．４　等加速度運動

２．５　等速円運動

２．運動の表し方（２）

位置ベクトルは：


0

X

Z

Y

mP

位置の時間微分は速度である。

速度の時間微分は加速度である。

dv t r t

dt

da t v t

dt

２．速さ、速度、加速度


, ,

x y z

d d dv t r t r t r t

dt dt dt

2 2 2

2 2 2, ,

x y z

d d da t r t r t r t

dt dt dt

位置ベクトル

速度ベクトル



2 2 2 22222222222222

x y zr t r t r t r t r t位置

速さ

加速度の大きさ


2 2 2 22222222222222

x y zv t v t v t v t v t

2 2 2 22222222222222

x y za t a t a t a t a t

位置ベクトル　

の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。物体の運動を説明せよ。

速度ベクトル


・時刻ゼロでの速度ベクトル、加速度ベクトルの向きを求めよ。・十分時間が経ったときの位置、速度、加速度ベクトルの向きを求めよ。

2, ,r t t t t

1, 2 ,1v t t

0, 2,0a t

2.4. 等加速度運動

シゲノ

問　半径 r の円周上を角速度 ω で運動する質量m の物体の座標ベクトルの成分を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と書くとき、物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。

物体の座標ベクトルの成分を

と複素指数表示するとき、物体の線速度を求めよ。物体の加速度を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

cos , sinr t r t r t

i tr t re

2.5. 等速円運動

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

cos , sinr t r t r t

i tr t re

sin , cosd r t

v t r t r tdt

i td r tv t ir e

dt

2 2cos , sind v t

a t r t r tdt

2 i td v ta t r e

dt


　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

r t r

0 r t v t

v t v r

2

2 va t a r

r

2a t r t


0 v t a t

周期Ｔ2

T

３．　力と運動

３．１　ニュートンの第一法則

３．２　ニュートンの第二法則

３．３　ニュートンの第三法則

３．４　いろいろな力

問：　 +x方向に磁束密度 Bで磁場が働いている。また、荷電粒子が +y方向に速度 v で運動している。(1)磁束密度 B,粒子の速度 v をベクトル表示せよ。(2)磁束密度　の中を速度　で運動する荷電粒子には

　　　　　　　　　　　　　　　　（１）という力が働く。 q は帯電粒子の電荷量である。この式（１）を用いて、荷電子が受ける力の大きさと、その方向を求めよ。

ナカムラ

B

v

BvqF


問(1)

0, ,0

,0,0

v v

B B

(2) 0,0,F qv B q vB

∴粒子は -Z方向に vB の大きさの力を受ける。

このように、外積は３次元ベクトルを考えた時に初めてでてくる不思議な掛け算である。


３．　運動の３法則

１．慣性の法則

２．運動の法則

３．作用反作用の法則（運動量保存則） Law of action and reaction (Principle of Momentum Conservation)

問．上記 3 法則について皆さんの体験を述べよ。ノムラ

d pF

dt

2222222222222222222222222222

0F 22222222222222

0d p

dt

22222222222222

ma F2222222222222 2

the principle of inertia

Equation of motion

ちから　　　がある。これはベクトルである。

ベクトルだからこう考えることができる。

　　　　　　　　のとき　　　　　　　　　である。

力のつり合い状態という。このとき運動の形態は維持される。

F22222222222222

1 2F F F 222222222222222222222222222222222222222222

0F 22222222222222

1 22222222222222222222222222222F F


床に質量 m の箱が静止している。箱には重力 Fg=mg が働いている。箱が動かないとき、箱が床に置かれた事により発生する垂直抗力Ｎと重力が釣り合っていると考える。

静止形態は維持される。身の回りに沢山の類似例がある。実は目に見えないが大気もこんな状態である。気流を考えなければ空気が地表にのっかっており、重力と垂直抗力が釣り合っている。

0 2222222222222222222222222222

gF N


m

Fg

N

問大気 1気圧はパスカル表示で101325 Pa(=N/m2) である。重力加速度 g は 9.806 m/s2 である。地表に乗っかっている大気の単位１ｍ 2 あたりの質量を求めよ。

フジイ


大気

地表

床に静止している質量 m の箱を図のように水平に押す。箱が動かないとき、力Ｆに抗して摩擦力Ｒが働き二つの力は釣り合っている。

摩擦力は箱が床に置かれた事により発生する垂直抗力Ｎを使って、

と表す。

F22222222222222

0 2222222222222222222222222222F R

22222222222222N


22222222222222Rm

0 2222222222222222222222222222F N

m

Fg

N疑問：垂直抗力は上向きだった。しかしＲは横向き（力の向きの反対向き）だった。上向きの力からなぜ横向きの力が生じるのだろう？

　　　　　は明らかに大きさに限界がある。よって非常に大きな力を加えれば、　　　　　　　　　　　　　　となって物体は動き始める。

F22222222222222

22222222222222N


22222222222222R

0 2222222222222222222222222222F N

m k m

力は運動量の時間微分　　　　　　　と表す。

だから力を時間積分すると運動量の変化になる。

これを力積という。

d pF

dt

2222222222222222222222222222

2

2 11( ) ( )

t

tFdt p t p t 222222222222222222222222222222222222222222


問　同じ質量ｍの物体が速さ v で真正面衝突する。衝突前の全運動量はである。衝突後も運動量は不変である。衝突後の運動の形態はどうなるか？

問　同じ質量ｍの物体二つがばね常数 k で繋がっている。外力を受けず重心が静止した状態で振動するとき、全運動量はいくらか。角振動数 ω はいくらになるだろうか。シゲノ

m k m

m m

v v

( ) 0 mv mv


問：質量 M の太陽の周りを回転運動する、質量 m の地球を考えよう。地球と太陽の間に働く万有引力以外に外力は無く、重心が静止しているとき、全運動量はいくらか。運動量が保存する作用反作用のルールにてらして地球と太陽の運動を考えよ。ナカムラ

X

YO

r

Ｙ

Ｘ

θ

m

M

M=2.0x1030kgm=5.9x1024kgr=1.5x1011mｒ

O


万有引力

弾性力　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘは変位

粘性抵抗力

力のモーメント　　　　　　　　　　　角運動量

こりおり力

3

2222222222222222222222222222 GmMF r

r

いろいろな力

2222222222222222222222222222F k x

2222222222222222222222222222F Cv

L r p 222222222222222222222222222222222222222222

N r F 222222222222222222222222222222222222222222

2 222222222222222222222222222222222222222222F mv mr2ω

問　質量Mとｍの物体二つがばね常数 k で繋がっている。外力を受けず振動するとき、角振動数 ω はいくらになるだろうか。

　　　　　　　　　になる。ここで、

である。換算質量という。 Reduced mass

M>>m の場合は？　　　　　　　　 M=1.5m の場合は？ノムラ

M k m


k

K

mM

Km M

1.5m k mk m

壁

４．いろいろな運動（１）

４．１　放物運動

４．２　空気抵抗

４．３　束縛運動

４．４　単振動

力は運動量変化をもたらすと学んだ。

こんな関係があった。もし一定の力が作用したとき、 t 秒後の経過を考えると運動量の変化は、

になる。これは時間経過がごく短時間の場合は、運動量の変化は僅かであることを示している。

2

2 11( ) ( )

t

tFdt p t p t 222222222222222222222222222222222222222222


2222222222222222222222222222

p F t

もし予め p=(px,0,0) であり、 F=(0,0,Fz) なら、t 秒後にはp=(px,0, Fzt) であり、Δp=(0,0, Fzt) である。

即ち、　　　　　　　　　までは

力による運動は初速度 px が主役である。

そして、　　　　　　のとき、加速度による運動が支配的になる。


x

z

pt

F

x

z

pt

F

４．１　放物運動 parabolic movement

ｖ 0 の初速で質量 m の物体を水平 θの角度で投げ上げる。

加速度は

速度は

位置は

0, a t g

0 0cos , sin v t v v gt

20 0cos , sin

2

gr t v t v t t

0 cosx v t

22

0 2

0

sin tan2 2 cos

g g x

y v t t xv

θx

y

これは放物線運動である。・位置の大きさ ( 原点からの距離）はどうなる？

位置は始めはｔに比例して大きくなる。等速運動そのうち、ｔ 2 に比例して急激に大きくなる。・位置の大きさの変化がｔ的からｔ 2 的に切り替わる時刻はいつ？

0

22 2 2 2

0cos sin2

gr r t r t v t v t t


0 0

2 2

2 2

0 0 0

1cos sin sin 1

2 4

g g gv t t v t t t

v v v

・位置の大きさの変化がｔからｔ 2 に切り替わる時刻 t0はいつ？

　　　　　　　　　　　　　　　だろう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　である。

物体は t0 までは概ね等速度運動、 t0 を超えると等加速度運動と言える。

200

2~ sin 1 sin

vt

g


2

20 0

0 0

1~ sin 1

4

g gt t

v v

0

2

2

0 0

1sin 1

4

g gr v t t t

v v

r 0,r

1,r

2 r0

r1

r2

θ

ｇ=v0=1 のとき

・ t0 のときの原点からの距離 r0 は

・Ｘ軸上への落下点までの距離 r1 は

・最高高さ到達点までの距離 r2 は　


0

2 22

0

4~ sin 1 sin

2

vr

g

0

2

1

2 sin cos

vr

g

0

2

2

sin

2

vr

g

0

2

2 2

vr

g

0

2

1 v

rg

空気の粘性抵抗下で t＝０で z＝０、ｚ方向に速度　 -v0 をもつ質量 m の物体の運動を考えよう。

粘性抵抗力は

運動の式は


2

2

d z dzm mg C

dt dt を解こう

z zma mg Cv

vF Cv

v

22222222222222

dvm mg Cv

dt と置く。

dzv

dt

mgV v

C と置く。

dVm CV

dt

割り算と掛け算をする。

積分をする。

整理する。

v は・・・・・・・・

dV Cdt

V m

lnC

V t am

C Ct a t

m mV e Ae

C

tm mg

v AeC


v は t=0 で -v0 だから、

よって v は

従って z は　　　　　

0

mgv A

C

0

Ct

mmg mgv v e

C C

0 1C

tmm mg mg

z v e tC C C


問： -v0=0 のとき、落下のごく初期 t<<小のとき、

と、近似できることを示せ。-v0 がゼロでない時どうなるか考えよ。　　　　　

21

2z gt

v gt

0

Ct

mmg mgv v e

C C

0 1C

tmm mg mg

z v e tC C C


問： -v0=0 のとき、落下のごく初期 t<<小のとき、　　　　　

0 ~ 1C C

t tm mmg mg mg mg mg C mg

v v e e t gtC C C C C m C

0

2

2

1

11 ~

2

1

2

Ct

m

Ct

m

m mg mgz v e t

C C C

m mg mg m mg C C mge t t t t

C C C C C m m C

gt


問：空気抵抗中の物体の速度 v と位置 z は次の式で書けることを学んだ。

この運動は C→ 0 のとき、通常の自由落下運動の速度、位置と一致することを示せ。

0

Ct

mmg mgv v e

C C

0 1C

tmm mg mg

z v e tC C C


0 0

0

~ 1C

tmmg mg mg C mg

v v e v tC C C m C

v gt

0

2

0

20

1

1~

2

1

2

Ct

mm mg mgz v e t

C C C

m mg C C mgv t t t

C C m m C

v t gt


ストークス則

η：流体の粘度 [Pa ･ s]

終端条件

球形条件

6F Cv rv

6mg Cv rv

34

3mg r g

2 224

9 18

g g

v r r


問： -Z 方向に重力加速度を受けて落下運動する質量m の物体が速さ v で運動するとき、 v 及び v 2 に比例する抵抗力 F =-Cv +D v 2 を受けるとする。十分時間がたった後、この物体の速度がどうなるか考えよ。

2 0F mg Cv Dv

2 4

2

C C mgDv

D


C→0なら

慣性抵抗

D→0なら

粘性抵抗　　ナカムラ

2 4

2

C C mgD mgv

D D


2 4~ ?

2

C C mgDv

D

電気電子工学科 E2 　物理学及び演習　中間テスト問題　 2008 年 12月 18日 ( 木 )問１．惑星Ｑを調査中の二人の探検家が同時にそれぞれ穴に落ちた。穴の深さは 0.5m と 10mだった。落下時は惑星Ｑの重力加速度 g (=1 m/s2) と、大気の粘性抵抗 ( 抵抗率 C(=50 Nsm-1)) のみが働く。0.5 m と 10 m の穴の底に達するまでの時間としてもっとも確からしい値をそれぞれ下表から選べ。二人の探検家の体重はそれぞれ同じ質量 50kg とする。　表１： 0.5s, 1.0s, 1.5s, 2.0s, 2.5s, 3.0s, 3.5s, 4.0s, 4.5s, 5.0s, 5.5s, 6.0s, 6.5s, 7.0s, 7.5s, 8.0s, 8.5s, 9.0s, 9.5s, 10.0sドナタカ？

お話：オームの法則電界強度中の電荷の運動以下の式で表される。

ここでｍは電荷の質量、運動のライフタイム、 E は電界強度である。電荷の位置ｘが時間ｔ =0でゼロ、速度ゼロのとき電界強度によって生じる電荷の運動は上式を解くことによって与えられる。

問　上式は空気粘性抵抗下での物体の落下の式

　　　　　　　　　　　　　について、

とした場合に相当する。時刻 t での電荷の速度を求めよ。

2

2

d x m dxm eE

dt dt

2

2

d z dzm mg C

dt dt m

C

mg eE

お話：オームの法則速度は

単位面積当たりの電流は

だから電流値は、

となる。ここで取り扱う時間ｔが電荷の運動のライフタイム τよりずっと長い場合を考えよう。このとき、

であるから、電流と速度は、

となり、時間に依存しない量となる。

1tdx e E

v edt m

2

1te n E

i env em

i env

t > > e–t / ~02

~e n E

im

よって面積Ｓを通過する電流Ｉは

であり、電界強度が一定なら、距離Ｌで電位降下はＶ＝ＥＬ

となるから、

電流は電圧に比例する。

　　　　　　　これがオームの法則である。

係数　　　　　　　を物質の電気伝導率という。

係数　　　　　　　　　を物質の電気抵抗率という。

抵抗は　　　　　　　　　　　　　である。

2e n EI S

m

2S e nI V

L m

2e n

m

2

1 mr

e n

2

L L mR r

S S e n

お話：オームの法則

Ｓ：結局電子の速さはいくらだろう？　　　レールガンより速いのかな？Ｎ：先生の解説によると、固体中の電子の速さは

　　　　　　　　です。 E は電界強度です。Ｓ：電界強度は電位 V を長さ Lで割ったものだ。　　Ｎさんのスマホに使われているシリコン　トランジスタ　　　の長さ Lはいくらですか？Ｎ：・・・・・・・・・・　　確か、本によると、約 50nm です。Ｓ：え、小さいね。電位は？Ｎ：・・・・・・・・・・　　確か、本によると、 0.5V です。Ｓ：ならば電界強度は、 1.0x107 V/m になります。　　　大きいな。


e Ev

m

Ｎ：シリコンの τ と m はいくらなんですか？Ｓ：大学で、 τ~1x10-13 s, m~3x10-31 kg と教わった。Ｎ：え、小さすぎませんか？Ｓ：でも教わった。信じましょう。Ｎ：じゃ、信じましょう。英語で

Ｓ： 530 km/s!!凄い、レールガンよりスマホの電子の方が速い！　　スマホの電子は東京～大阪間 1 秒程度で行く速さで仕事をして　　るんですね。電子はいい子です。Ｎ：私はいい子です。


19 13 75

31

1.6 10 1 10 1 10~ ~ 5.3 10 /

3 10

e E

v m sm

滋野君が１ m/s で地表を歩いている。滋野君の質量は 59 kg である。地球の質量は 5.9x1024 kg である。作用反作用ルールに基づけば、地球は滋野君と反対方向に運動量があるはずである。なぜそう感じないのだろうか？滋野君との作用反作用によって地球はどのくらいの速さで動くだろうか？シゲノ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


電気電子工学科　物理学及び演習　中間テスト 2005 年 7 月 1日 ( 金 )

時刻ゼロで質量 m の物体を初速 v0 で傾角 αの斜面上り向きに打ち出した場合を考える。斜面と物体の動摩擦係数を μとする。斜面に沿ってｘ座標をとる。時刻ゼロの物体の位置を 0とする。物体は斜面を移動して停止し、その後斜面を下り始める。以下の①－⑩の欄の問を m, g, （重力加速度） , v0,α,μ のうち適当な記号を用いて答えよ。


物体が斜面を上るときの摩擦の力は (①) と書けるので、ｘ方向の運動の式は (②) となり、これを用いて時刻 tにおける速度は (③) と書ける。物体が位置0から斜面を上り停止するまでに要した時間は (④) となる。そして物体が停止するまでに移動した距離は (⑤) である。さらに物体が斜面を下るときの、摩擦の力は (⑥) となるので、物体が斜面を下るときのｘ方向の運動の式は(⑦) となる。物体が斜面を上って下り、再び位置0の地点に戻ってくるまでに重力のする仕事 (⑧) であり、摩擦力のする仕事は (⑨) である。よって位置エネルギーの基準点を位置0に取ったとき、物体が位置 0にもどってきたときの力学的エネルギーは (⑩) となる。

時刻ゼロで初速 v0 で斜面上がり向きに物体を打ち出した場合を考える。斜面に沿って座標をとる。１）摩擦が無い場合運動の式は、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を与えるポテンシャルエネルギーがあるだろうか？

Yes, なぜなら（１）式は運動の向きによって変わらない。ポテンシャルエネルギーは　　　　　　　　　　　　　　　（２）である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2

2sin

d xm mg

dt

sinF mg

( ) sin U r mg x C

m

g

N

θ

v Ｘ


時刻ｔでの位置と速度は

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　（３）

時刻ｔのときの運動エネルギー E は、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20

1( ) sin

2 x t g t v t

0sin v t g t v


m

g

N

θ

v Ｘ

2 2

0

1 1sin

2 2 E t mv t m v g t

時刻ｔのときのポテンシャルエネルギー U は、

よって、運動エネルギー E とポテンシャルエネルギー U の和はいつも一定。

20

1sin sin

2

U mg g t v t C

2 2 20

1sin sin

2 mg t mg v t C

2 20 0

1sin

2 m g t v C v

202

mE U C v


（２）摩擦がある場合、動摩擦係数を μとすると、運動の式は、

2

2sin

d xm N mg

dt sin cos mg

この場合ポテンシャルエネルギーは

と書くことができるだろうか？

( ) cos sin U r mg x C

m

g

N

θ

v Ｘ


それはできない。x 地点の下りの運動の式は、

同じ地点で、上りと下りの運動の方向によってかかる力が違う場合はポテンシャルエネルギーを定めることができない。

2

2sin cos

d xm mg

dt

m

g

N

θ

v Ｘ


以下の問題を考えてみよう。時刻ゼロで、位置ｘ＝０であり、初速 v0 で斜面上向きに物体を打ち出す。x ＝ x0 で物体が停止した瞬間に物体に打撃を加えて物体の速度を v0 として斜面を下らせる。

時刻 t 、場所 x に物体がいるときの諸特性は以下のとおり。

運動の式上り

下り

2

2sin cos

d xm mg

dt

2

2sin cos

d xm mg

dt

m

g

N

θ

v0xv0

（１）

（２）


速度

上り

下り

ただ

し、

位置

上り

下り

ただ

し、

0sin cos v g t v

20

1sin cos

2 x g t v t

0sin cos v g t T v

0

sin cos

vT

g

2

0 0

1sin cos

2 x g t T v t T x

2

00 2 sin cos

v

xg

（３）

（４）

（５）

（６）

（７）

（８）


m

g

N

θ

v0

x斜面下り運動の停止条件を考えてみよう。

速度は

ただし、

位置は

ただし、

0sin cos v g t T v

0

sin cos

v

Tg

2

0 0

1sin cos

2 x g t T v t T x

2

00 2 sin cos

v

xg

（４）

（５）

（７）

（８）


止まるには速度がゼロになる必要がある。止まる時間は

だから、条件は

それでは、のときの意味は何か？　速度と時間との関係をグラフに描くと右図のようになる。赤が停止条件青は止まらない条件

0

sin cos

v

t Tg

sin cos 0

sin cos 0

O t

v

T

v0

sin cos 0

sin cos 0

sin cos 0

sin cos 0


tan

・止まる条件の場合、赤の線に示すように時間 T か

ら速度は徐々に小さくなり、ついにゼロになる。

・止まらない条件では、速度は時間とともにかえっ

て速くなる。青の破線に示すように、

静止した物体が時刻

から等加速度運動を行うように見える。

O t

v

T

v0

sin cos 0

sin cos 0


0 0

02 2 2

sin cos sin cos

2 cos

cos sin

v vt

g g

v

g

振り子の運動はおなじみである。でも単純ではない。円弧接線方向の力成分は

線運動量は

運動の式は、

　　　　　　　　　　　　　　　　　とおく。

sinF mg d

p mldt

2

2sin

dp dml mg

dt dt

θ

mg

l

2

2sin

d g

dt l

g

l


θ

mg

l

22

2sin

d

dt

d

dt

　　　　　を両辺に掛けて積分しよう。フジイ！

最下点 θ=0 の角速度を ω0 とおくと

221cos

2

dC

dt

2 20

1

2C

2

2 202 cos 1

d

dt


22

2sin

d

dt

d

dt

を両辺に掛けて　　

221cos

2

dC

dt

22

2sin

d

dt

dt 　で積分しよう。

d

dt

d

dt

=

=


θ

mg

l

もし、最下点から見て高さ H から振られたとすると、

　　　　　　　　　　　　　　エネルギー保存則

微分方程式は振り子の運動が高さＨに依存することを示している。しかし式解くのは難しい・・・・・・

2 202 cos 1

d

dt

0 2l gH

0 2H

l

2 cos 1d H

dt l


θ

mg

l

から振り子を振り出すとしよう。

初期角度は

さらに g=9.8, l=1 としよう。有効桁 2桁まで取ると、

2

lH

12 cos 2cos 1

2

d

dt

0 3

3.13 2cos 1d

dt

~ 3.13g

l


θ

mg

l

初期角度　　　　　　からの変化を差分的に数値計算しよう。

0 3

3.13 2cos 1 t

1 13.13 2cos 1i i i t


θ

mg

l

計算結果：　　　　　　 , g=9.8, l=1 のとき、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　であり、θの時間変化は、

0 3

2

lH

~ 3.13g

l


θ

mg

l

１周期は 2.16 s である。これを、 θ<<小の場合の解

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と比べてみよう。（破線）

22

2~

d

dt

0 cos cos3.133

t t


θ

mg

l

数値計算の結果、

の運動の周期は、 H=0.5, g=9.8, l=1のとき、 2.16 s だった。

これに対し、 θ<<小の近似解、

の場合の運動の周期は、 2.01 s である。なぜ θ<<小の近似解の方が周期が短いのだろう？シゲノ

22

2~

d

dt

４．３　束縛運動2

22

sind

dt

Ｐ７６ [10] θ～０のときの振り子の角振動数は

の関数の微分は

であり、

ここで、　　　　　　　　　　　　　　である。

g

l

４．３　単振動

f h p g q i r

f h p g q i r h p g q i r h p g q i r

h p g q i rf

f h p g q i r

dh ph p p

dp

θ～０のときの振り子の角振動数は g

l


1 gl

1

2

2

1 1 1 1 12 12

21

g g ll lg lg lg

l

1 1

2

g lg

gl l l

再び。Ｘ - Ｙ平面において半径ｒを一定角速度 ω で回転している質量ｍの物体を考えよう。位置ベクトルは

であるから、運動量ベクトルは

力ベクトルは

運動エネルギーは

X

YO

r

Ｙ

Ｘ

θ

m

cos , sinr r t r t

sin , cosp mr t mr t 22222222222222

2 21

2 2

mrE p p

m

2222222222222222222222222222

2 2cos , sinF mr t mr t 22222222222222


・物体には

の中心向きの力が常に働いている。大きさは　

である。・力によって運動の向きは刻々と変わる。　よって運動量は時間によって変化する。

・しかし物体の速さは変わらない。　運動量の大きさも変わらない。　　　　　　　

・よって運動エネルギーは時間一定である。　　

p mrv r

2F mr

22

2

mr

2 2cos , sinF mr t mr t 22222222222222

sin , cosp mr t mr t 22222222222222


円運動の X 成分だけ取り出してみよう。

即ち等角速度円運動のひとつの成分は、単振動の運動をする。

周期は角振動数は

cosx r t

sinxp mr t

2k m

2 cosxF mr t

2xF m x

xF kx

22

mT

k

k

m

X

YO

r

Ｙ

Ｘ

θ

m


運動方程式は、 kxdt

xdm

2

2

で、このような形の方程式の解はcos( ),

kx a t

m 　　　

の形になる。このような形の一つの角振動数の三角関数で表されるような運動を、単振動 ( 調和振動 ) という。例えば、右図のような、ばね定数ｋ、質量ｍのおもりがついたばねの運動は単振動周期運動である。単振動は、半径 a の円周上を定角速度 ω で回転する点の正射影と同じ運動である。

mk


変位に比例する力が働く質量 m の物体の運動方程式を2

2

d xm kx

dt

と書く。　　　　　　　　　　とする時、

(ⅰ)

mk /

cos

sin

sin cos

x A t

x A t

x B t B t

(ⅱ)

(ⅲ)

は、いずれも式（１）の解である .

(1)


問　変位に比例する引力が働くとき、質量 m の物体の運動方程式は

2

2

d xm kx

dt

で表される。　　　　　　　　　　とする時、mk /

(1)

次の初期条件が与えられた時の解を

cosx A t

の形に書いてみよ。(ⅰ)t=0 で x=a,v=0(ⅱ)t=0 で x=0,v=v0

(ⅲ)t=0 で x=a,v=v0 ただし、 a,v0>0 ノムラ


問　変位に比例する力と一定の力を受けて運動する質量 m の質点の運動方程式は

2

2

d xm kx F

dt

である。この方程式の解を求めよ。初期条件が t=0 で x=0,v=v0 である場合の解を求めよ。

ノデ


５．いろいろな運動

５．１　空気抵抗のもとでの放物体の運動

５．２　減衰振動

５． 3　強制振動　

５．２　減衰振動粘性抵抗下のバネの運動を考える。・変位に比例した復元力がある。・速度に比例した抵抗がある。

予想抵抗が小さければバネは振動を続ける。しかし抵抗はゼロではないから少しずつ衰える。遂には止まってしまう。振動数は抵抗が無い場合より小さく、周期は長いだろう。－振動をしながら衰える運動

抵抗が非常に大きければバネは自然長位置を越えて向こう側に行くことができないまま衰え、遂には止まってしまう。－振動せず衰える運動

５．２　減衰振動バネを引っ張り、時刻ゼロで手を離した場合を考えよう。バネ常数 k, 粘性抵抗係数 α、自然長の位置をゼロとする、時刻ゼロではバネの速度は当然ゼロ。

これまでの勉強によって、運動の式は式のように書ける。

mk

2

2

d x dxm kx

dt dt

2

2

d x dxm kx

dt dt

tx e

2 0

k

m m2

2 2

k

m m m


2

2

d x k dxx

dt m m dt

運動の式

整理

解を仮定する

特性式

解の条件

2

2 2

k

m m m


2 2

2 22

k kt tt m m m mmx e Ae Be

2

02

k

m m

解の条件

一般解

　　　　　　　　　　　　を境に運動の形態が大きく変わる。

抵抗のないときの固有角振動数

抵抗因子

0 k

m

2

m


2 2 2 20 0 t ttx e Ae Be一般解

① 　　　　　　のとき、

実数条件

0 2 20

t i t i tx e Ae Be

* t i t i tx e Ae A e

* cos * sin te A A t i A A t

cos sin te p t q t

５．２　減衰振動教科書の通りになる。

Ｘ＝０の時刻 t0は、

Ｘ＝０で見た振動の周期は

予想通り抵抗が無いときより周期は長くなる。振幅が減衰しながら振動する運動。

cos tx ae t

0 2

t n

2 20

2 2

T

５．２　減衰振動速度は？

時刻ゼロで速度はゼロだから

加速度は？

cos sin tdxae t t

dt

2

2 22

cos 2 sin td xae t t

dt

tan

５．２　減衰振動抵抗が無いときの位置と速度の計算例

位置

速度

時間(s)


位置

速度時間(s)

抵抗が無いときの位置と速度の計算例

負方向復元力のために速さ増大

正方向復元力のために速さ減少


位置

速度

時間(s)

抵抗下での位置と速度の計算例

５．２　減衰振動抵抗下での位置と速度の計算例

位置

速度

時間(s)

負方向復元力のために速さ増大するが、正方向粘性抵抗力のために速さは位置ゼロになる前に減少に転じる。



②抵抗が大きくなり、　　　　　　　になると、 ωは小さくなる。

0

* t i t i tx e Ae A e

cos sin te p t q t

te p q t

cos

cos cos sin sin

cos sin

t

t

t

x ae t

ae t t

ae t

５．２　減衰振動　　　　　　を臨界制動という。グラフの赤線の場合である。 βを少しずつ大きくすると、グラフのように、少しずつ減衰振動の振幅が小さくなることが分かる。

位置

時間(s)

β=0

1

345

2

tan

0

５．２　減衰振動速度を見てみよう。最初はゼロである。減衰振動の場合は負から正へと変化する。しかし、 βが大きくなると速さは小さくなる。臨界制動でもバネは動くから速度はあるがその向きは負のままである。

速度

時間(s)β=0

134

5

2

tan



③抵抗が非常に大きく　　　　　　なら、

過減衰という。二つの指数減衰関数の組み合わせである。

0

2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

t tt

t t

x e Ae Be

Ae Be

５．２　減衰振動速度は t=0 で 0だから、

過減衰という。二つの指数減衰関数の組み合わせである。　　　　　　　なら

2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

2 20

2 20

t tt

t t

x e Ae Be

A e e

0

2 2 2 20 0

202 2

0 2

t tt

tt

x e Ae Be

Ae Ae


β=5

7, 9,11

20

β=5

7, 9,11

20

位置

時間(s)速

度

位置と速度をグラフで示した。臨界制動から、 βが大きくなるにつれて位置はゆっくり変化しゼロへと至る。よって速さは βが大きくなるにつれて小さくなり、速さのピークは遅くなる。

t

at bx e e


のとき、 bを時定数という。 t=b のとき　　　　　　　　である。xが実効的効果的な時間範囲を bで表す。物理や電気工学で頻繁に用いられる。

　　　　　　　　　　　なら時定数は

ω0=5, β=20 のとき、時定数は、 1.6 s

抵抗が無いとき、 ω0=5 は 1/4周期を 0.31 s で振動運動する。バネは大きな粘性抵抗によりゆっくり運動することになる。

1x e

20

2

t

x Ae 20

2

2

20

d x dxm kx

dt dt

５．２　減衰振動のまとめ

運動の式

ｔ =0 で v=0 のとき、

①減衰振動

②臨界制動

③過減衰 2 2 2 20 0

2 20

2 20

t tx A e e

tan

cos sin tx ae t

2 20

cos tx ae t

0 k

m 2

m

2

20

d I dI IL R

dt dt C


ＬＣＲ直列回路式は

電流は抵抗下のバネのおもり位置と同じ時間変化をする。

2

2

1

4

R

LC L0

1 LC 2

R

L

2

20

d I dI IL R

dt dt C


ＬＣＲ直列回路式は

臨界制動条件：

　　　　　　　　なら減衰振動的に電流が流れる。

　　　　　　　　なら過減衰的に電流が流れる。

2

2

10

4

R

LC L2

LR

C

20

2

t

x Ae

2L

RC

2L

RC


問L=1 mH, C=1 μFR=10Ω のとき

を有効桁 2桁で求めよ。

問　　　　　　　　　となり有名なＲＣ時定数である。

L=1 mH, C=1 μF 、 R=10KΩ のときを求めよ

2

2

1

4

R

LC L

20

2

RC

20

2

RC

3.12E+04

フジイ

シゲノ

５． 3 　強制振動

強制的に周期的力を加えて振動を励起する場合を考えよう。運動の式は

mk

2

02cos

d x dxm kx mf t

dt dt

F

220 02

2 cos d x dx

x f tdt dt


定常解m

k

F220 02

2 cos d x dx

x f tdt dt

0

2 22 20

cos2

fx t

2 20

2tan


固有振動数 ω0を持っていても必ず外力の振動数にならって振動する。大変不思議だ。しかし、よく見ると振幅は外力の振動数が固有振動数に一致した時に大きくなる。共振という。さらに抵抗 βが小さいほど共振現象は顕著になる。

mk

F

0

2 22 20

cos2

fx t

2 20

2tan


抵抗 βが小さいほど共振現象は顕著になる。Q 値を用いるとＱが大きいほど共振現象は顕著になる。

mk

F

0

2 22 20

cos2

fx t

0

22 2

40

0 0 0

0

22 2

40 2

0 0

cos

21

cos

11

ft

ft

Q

～Ｖ


ＬＣＲ回路の場合、

だったから、

Ｒが小さいと共振振幅が大きくなる。

0

2

Q

0

1 LC 2

R

L

0 1

2

L

QR C

５． 3 　強制振動固有振動数 ω0を持っていても必ず外力の振動数にならって振動する。しかし、振幅は外力の振動数が固有振動数に一致した時に大きくなる。

問　それではいろいろな振動数の外力が加わった時バネはどんな反応をするだろうか？ナカムラ

mk

F

0

2 22 20

cos2

fx t

2 20

2tan

5 連成振動

mk2 m k2K１

1 2

２つの質量ｍの物体がそれ常数 k1,k2 に繋がれて振動している。運動を調べよう。

Nさんの予想：１と２の運動は、以下の 2つの場合に分けられるだろう。即ち同位相と逆位相場合である。　　　　　

mk2 m k2k1

1 2同位相運動は、

逆位相運動は、

同位相で動く時 k1 には力が働かないから、角振動数２ｍの球が２ｋ 2のばねに繋がって動いている場合と同じである。だから変位 x1, x2は　　　　

mk2 m k2k1

1 2

1 2

2 2 2cos( ),

2 　　 =　

k kx x a t

m m

5 連成振動

逆位相運動は、

k1 の相対運動が加わる。換算質量は　　　　　　だから、

加速度及び力の加算性を使うと、逆位相角振動数はだろう。よって、

1 2

2 1cos( ),

　　k k

x x b tm

2

mK

2 11

k

m

2 1

k k

m

mk2 m k2k1

1 2

5 連成振動

Nさんの答え：

1

2 2 2 1cos cos

　

k k kx a t b t

m m

2

2 2 2 1cos cos

　

k k kx a t b t

m m

5 連成振動

Ｎ君：私は真面目に計算します。物体１と２の運動の式はそれぞれの変位を x1,x2とすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

となる。上式は　 X= x1+x2, Y= x1-x2 　とおいて解くように教わった。

21

1 1 22

22

2 1 22

2 1

2 1

d xm k x k x x

dt

d xm k x k x x

dt

2

2

2

2

2

2 2 1

d Xm k X

dt

d Ym k k Y

dt

x1 x2

mk2 m k2K１

1 2

5 連成振動

X 及び Y は振動数、　　　　　　　　と　　　　　　　　　　　

で振動する単振動である。

とおけば、

2 k

m2 2 1

k k

m

0

2cos

kX X t

m 0

2 2 1cos

k kY Y t

m

0 01

2 2 2 1cos cos

2 2 2

X Y X k Y k kx t t

m m

0 02

2 2 2 1cos cos

2 2 2

X Y X k Y k kx t t

m m

ふたつのバネを新たなバネでつなぐことにより、 2つの異なる振動が生じた。不思議！

5 連成振動

鮫島 俊之 蓮見 真彦

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