畢氏定理11

11.1 畢氏定理及其證明

11.2 畢氏定理的應用

11.3 畢氏定理的逆定理及其應用

內容摘要

個案研究

11.4 根式及無理數

第 2 頁

個案研究

如圖所示， y 為滑梯板的長度， h 為滑梯的高度及 x 為滑梯的頂部與底部之間的水平距離。

當知道 x 及 h 的值時，我們便能找出滑梯板的長度。

我們可以怎樣找出滑梯板的長度？

我們首先必須知道滑梯的高度及其頂部與底部之間的水平距離。

利用畢氏定理，我們可知 y2 h2 x2 。

第 3 頁

11.1 畢氏定理及其證明

圖中所示為一直角三角形 ABC ，其中 C 90 。

A. 畢氏定理

AB 為直角三角形中最長的一邊。它稱為三角形的斜邊（直角的對邊）。

此外，我們習慣以大寫字母表示一角及以相對的小寫字母來表示該角的對邊。 a : A 的對邊 BC b : B 的對邊 AC c : C 的對邊 AB

第 4 頁

直角三角形三邊的重要關係：

以上公式稱為畢氏定理。  

我們將在下一部分討論證明畢氏定理的一些方法。

在一直角三角形中，兩條直角邊邊長的平方之和相等於斜邊邊長的平方。即在 ABC 中， 若 C 90 ，則 a2 b2 c2 。（引用時可簡稱為：畢氏定理 ）

11.1 畢氏定理及其證明A. 畢氏定理

第 5 頁

例 11.1T在 XYZ 中， Y 90 、 XY 16 及 XZ 34 。 求 a 的值。解：

在 XYZ 中，XY

2 YZ 2 XZ

2 （畢氏定理） 162 a2 342

a2 1156 256 900

∴ a 30

900

11.1 畢氏定理及其證明A. 畢氏定理

第 6 頁

例 11.2T在 XYZ 中， X 90 、 XY 2 及 YZ 3 。求 f 的值。（答案以根式表示。）解：

在 XYZ 中，XY

2 XZ 2 YZ

2 （畢氏定理） 22 f 2 32

f 2 9 4 5

∴ f 5

11.1 畢氏定理及其證明A. 畢氏定理

第 7 頁

例 11.3T圖中， XYZ 為一直角三角形，其中 Y 90 。 XY cm 、WZ 8 cm 及 XZ 11 cm 。(a) 求 YW 及 XW 。(b) 求 XWZ 的周界。解：

(a) 在 XYZ 中，XY

2 YZ 2 XZ

2 （畢氏定理）∴ YZ cm

cm

21

10 cm∴ YW (10 8) cm

22 )21(11 100

2 cm

11.1 畢氏定理及其證明A. 畢氏定理

第 8 頁

例 11.3T圖中， XYZ 為一直角三角形，其中 Y 90 。 XY cm 、WZ 8 cm 及 XZ 11 cm 。(a) 求 YW 及 XW 。(b) 求 XWZ 的周界。解：

(a) 在 WXY 中，YW

2 XY 2 XW

2 （畢氏定理）∴ XW cm

cm 5 cm

22 )21(2 25

(b) XWZ 的周界 XW WZ XZ (5 8 11) cm

24 cm

11.1 畢氏定理及其證明A. 畢氏定理

21

第 9 頁

11.1 畢氏定理及其證明

遠在畢達哥拉斯提出畢氏定理以前，古代中國人及印度人已懂得應用有關概念來進行計算。

B. 畢氏定理的不同證明

證明畢氏定理的一些方法： 古希臘的證明 中國古代 — 趙爽的證明 美國總統 — 詹姆斯．加菲爾德的證明

但是，畢達哥拉斯是首位以幾何方法證明畢氏定理的數學家。

據說畢達哥拉斯利用另一方法證明畢氏定理。有關詳情，請參閱課本 2B 冊，頁 205 的數學增潤篇。

第 10 頁

(a) 古希臘的證明

每個圖形均有 4 個面積相等的直角三角形（紫色部分）。 ∵ 兩個圖形的面積相等。∴ a2 b2 c2

11.1 畢氏定理及其證明B. 畢氏定理的不同證明

第 11 頁

(b) 中國古代 — 趙爽的證明在中國古代，數學家提出勾股定理來表示一直角三角形三邊之間的關係。

大約在公元 350 年，趙爽應用了圖中的「弦圖」證明勾股定理，並將該證明記載於《周髀算經》中。

11.1 畢氏定理及其證明B. 畢氏定理的不同證明

「勾」為直角三角形的底，而「股」為直角三角形的高。

第 12 頁

(b) 中國古代 — 趙爽的證明

∵ ABCD 的面積 4 ADH 的面積 EFGH 的面積

「弦圖」是由一邊長為 (b a) 的正方形及 4 個全等直角三角形組成，其中三角形的邊長為 a 、 b 及 c 。

4 4

∴ c2 4 ab (b a)2

2

1

2ab b2 2ab a2 a2 b2

11.1 畢氏定理及其證明B. 畢氏定理的不同證明

第 13 頁

(c) 美國總統 — 詹姆斯．加菲爾德的證明

∵ 梯形的面積 2 ABE 的面積 AED 的面積

在 1876 年，美國的第 20 任總統詹姆斯．加菲爾德 (1831 188

1) 於一教育刊物內，利用兩種計算梯形面積的方法，證明出畢氏定理： 圖中，梯形 ABCD 是由 2 個全等三角形 ABE 及 ECD 和一等腰直角三角形 AED 組成。

∴ (a b)2 2 ab c2

2

1

2

1

2

1

(a b)2 2ab c2

a2 b2 c2

11.1 畢氏定理及其證明B. 畢氏定理的不同證明

(a b)2 a2 2ab b2

第 14 頁

11.2 畢氏定理的應用

在日常生活中，我們可利用畢氏定理解答一些涉及直角三角形的問題。

第 15 頁

一長 3.2 m 的梯子斜靠在一直立牆壁上。已知梯子的頂端離地面的距離相等於梯腳與牆壁的距離。求梯腳與牆壁之間的距離。（答案須準確至一位小數。）

例 11.4T

設梯腳與牆壁之間的距離為 x m 。解：

x 2 x

2 3.22 （畢氏定理） 2x2 10.24

x2 5.12

∴ x

2.3 （準確至一位小數）

12.5

∴ 梯腳與牆壁之間的距離為 2.3 m 。

11.2 畢氏定理的應用

第 16 頁

圖中所示為一梯形，其中 AD // BC 及 A B 90 。若 AB 12 cm 、 AD 15 cm 及 BC 20 cm ，求梯形的周界。

例 11.5T

如圖所示，作一直線 DE 使得 DE BC 。解：

在 CDE 中，CE

2 DE 2 CD

2 （畢氏定理）∴ CD cm22 125

E

∴ DE 12 cm and EC 5 cm

13 cm

∴ 梯形的周界 AB BC CD DA (12 20 13 15) cm 60 cm

11.2 畢氏定理的應用

第 17 頁

政傑及美珍同時於下午 4 時放學。政傑以 2.4 m/s 的速率向正東方走，並在下午 4 : 15 到達圖書館；美珍則以 2.25 m/s 的速率向正北方走，並在下午 4 : 12 到達書店。(a) 他們分別走了多遠？(b) 求圖書館與書店之間的距離。

例 11.6T

(a) 政傑所走的距離 (2.4 15 60) m

解：

(b) 如圖所示，AB

2 AC 2 BC

2 （畢氏定理）∴ BC m22 16202160

2700 m

2160 m

美珍所走的距離 (2.25 12 60) m 1620 m

∴ 圖書館與書店之間的距離為 2700 m 。

11.2 畢氏定理的應用

第 18 頁

11.3 畢氏定理的逆定理及其應用

前節中，我們已學習畢氏定理。事實上，畢氏定理的逆定理也成立：

在一三角形中，若較短兩邊長度的平方之和相等於最長一邊長度的平方，則該三角形為一直角三角形，其中最長一邊為直角的對邊。即在 ABC 中， 若 a2 b2 c2 ，

則 C 90 。（引用時可簡稱為：畢氏定理的逆定理 ）

第 19 頁

例 11.7T圖中， XZ 25 、 YZ 30 及 XW 20 。 W 為 YZ 的中點。 (a) 證明 XWZ 90 。  (b) 證明 XYZ 為一等腰三角形。解：

(a) 在 XWZ 中，WZ 30

2 15WX

2 WZ 2 152 202

225 400 625

XZ 2 252

625∵ WX

2 WZ 2 XZ

2

∴ XWZ 90 （畢氏定理的逆定理）

(b) 在 XWY 中，WY 15XWY 90 WX

2 WY 2 XY

2 （畢氏定理） XY

22 2015 25 XZ∴ XYZ 為一等腰三角形。

11.3 畢氏定理的逆定理及其應用

第 20 頁

例 11.8T圖中所示為一三角形紙。已知 XW YZ 、 XW 12 cm 、 YW 9 cm 及 WZ = 16 cm 。  (a) 求 XY 及 XZ 。  (b) 證明這是一直角三角形紙。

解：(a) 在 WXY 中，

XY cm 15 cm

在 WXZ 中，WX

2 WZ 2 XZ

2 （畢氏定理） XZ cm22 1612

11.3 畢氏定理的逆定理及其應用

WX 2 WY

2 XY 2 （畢氏定理）

22 912

(b) 在 XYZ 中，XY

2 XZ 2 152 202

20 cm

625

∵ XY 2 XZ

2 YZ 2

∴ YXZ 90 （畢氏定理的逆定理）YZ

2 (9 16)2

625∴ 這是一直角三角形紙。

第 21 頁

A. 數線上的根式11.4 根式及無理數

在 1A 冊第 1 章中，我們已學習在數線上標示出實數的位置。 我們亦可在數線上標示出根式的位置。

例如，若在數線上標示出 的位置，首先作一直角三角形 OAB ，其中 OA 1 單位及 AB 1 單位。

2

∴ OB 單位 單位

22 11 2

利用圓規，以 O 為圓心及 OB 為半徑作一弧，並與數線相交於 C 。∵ OC OB （半徑）∴ OC 單位2

C

2

第 22 頁

在數線上標示出 的位置。 13

解：步驟一：考慮 13 為兩個平方數之和，

即 32 22 13 。步驟二： 作一直角三角形，其中 OA 3 單

位及 AB 2 單位。步驟三： 以 O 為圓心及 OB 為半徑

作一弧，並與數線相交於 C ，可得 OC 。13

C

11.4 根式及無理數

例 11.9T

13

A. 數線上的根式

第 23 頁

例 11.10T在數線上標示出 的位置。 11

解：步驟一：考慮 11 為一些平方數之和，

即 32 12 12 11 。步驟二： 作一直角三角形，其中底邊和直角邊

的長度分別為 3 單位及 1 單位。

步驟三：再作一直角三角形，其中底邊和直角邊的長度分別為 單位及 2 單位。

11.4 根式及無理數

然後在數線上標示出 。)13( 10 22

1110

10

A. 數線上的根式

然後在數線上標示出 。

第 24 頁

11.4 根式及無理數

在畢達哥拉斯年代，人們相信宇宙萬物均可利用整數或分數來表達。因此， 的發現震驚當時的社會，並引發了第一次的數學危機。

B. 第一次數學危機

畢氏定理被證明後，畢氏學派的一位門徒希伯索斯（約公元前 500 年）嘗試應用畢氏定理展示 1 單位正方形的對角線長度。

2

他發現了該長度（ 2 的平方根）既非整數，亦非分數。 這個發現違背了當時希臘人的信念，尤其為畢氏學派的傳統信念。 他們不能相信無理數的存在。

第 25 頁

據說希伯索斯亦因此被捕及被扔進河中溺死。

B. 第一次數學危機

雖然希伯索斯遭處決，但畢達哥拉斯最後也承認了無理數的存在。 而無理數亦於二千年後才利用有理數的概念給出定義。

11.4 根式及無理數

第 26 頁

內容摘要11.1 畢氏定理及其證明

在一直角三角形 ABC 中，a2 b2 c2

（引用時可簡稱為：畢氏定理 ）

畢氏定理有很多不同的證明，包括1. 古希臘的證明2. 中國古代 — 趙爽的證明3. 美國總統 — 詹姆斯．加菲爾德的證明

第 27 頁

11.2 畢氏定理的應用

內容摘要

在日常生活中，我們可利用畢氏定理解答一些涉及直角三角形的問題。

第 28 頁

11.3 畢氏定理的逆定理及其應用

內容摘要

在 ABC 中，若 a2 b2 c2 ，則 C 90 。

（引用時可簡稱為：畢氏定理的逆定理 ）

第 29 頁

11.4 根式及無理數

內容摘要

1. 我們可以在數線上標示出根式的位置。 2. 的發現引發了第一次的數學危機。2