向量微分計算

梯度, 發散度, 旋度

向量函數→向量場

畢氏定理

純量：只有大小 向量：大小＋方向(+指向)

3

3

空氣動力學 航空學

向量可以任意平

移，或沿直線前後

移動(決不可轉動)

θ ψ 向量會以小寫之粗體字表示！

分量

卡笛兒座標系統

(直角座標系統) 利用投影觀念求分量

位置向量參考

點可為任意點

= 分量 和2( )

P(x1, y1, z1)

Q(x2, y2, z2)

a √

√

兩向量相等的條件：個別分量均對應相等

三角形定理與平行四邊形定理

兩向量相加(減)：個別對應分量相加(減)

a

b−

c a b= −

√

√

兩向量相加(減)：個別對應分量相加(減)

`

√

單位向量代表方向

代表 x 方向的向量﹦x 方向分量(大小)+方向

標準基底 維度

向量空間

內積(點積)

正交性

或 γ=90 即 a b⊥

內內積積為為純純量量，，非非向向量量

兩向量內積(點積)：個別對應分量相乘且相加

0< Cosγ

性質！

γ• = ≤cosa b a b a b

1 1 0

a

b

a b+

1 1 2 2 3 3a b a b a b= + +

位移

力

繩索的向量b

b 的負單位向量

a 在u 方向的投影量

25o

65o

以向量內積法計算

以三角幾何法計算

求投影量 (重要性質)

•=

a ba

a b γ• = cosa b a b

= • ( )ba i b b的單位向量，代表 的方向

a 在b 方向的投影量= (知道夾角γ時)

a在b 方向的投影量= (不知道夾角γ時)

=b 在 a方向的投影量

(見補充資料！)

向量積(外積)(叉積)

重重要要性性質質！！

外外積積為為向向量量，，非非純純量量

外積的大小=平行四邊形面積 0v a b= × = 的條件：

1. 0a = 或 0b = 2. a 與b 的夾角 0

或 180 度

→見(2**)式

外積的大小=平行四邊形面積 sin γb a

sina γ

右手螺旋法則

√

v a b= × ： v 同時與 a和b 垂直

√ 重重要要公公式式！！

√

對第一列( , ,i j k )降階展開

1 2( 1) +−

i

j k 逆時針(+)、順時針(–)

(見補充資料！)

√ 靜力學與動力學

學習內容！！

√

√

求力矩

求轉動物體的切線速度

純量三重積 → 為一純量，非向量

重重要要公公式式！！

(見補充資料！)

0 a b c≠ 代表 , , 彼此線性獨立

對第一列降階展開

1 31 22

1 3

( 1)

b b

ac c

+−

( ) ( )a b c × •= × • 與 符號可對調

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

b a c a c b c b a

= =

= −= −=−

a

b c 逆時針(+)、順時針(–)

( ) ( )b c a b c a= × • =

四面體(四角錐)：體積為 1 ( )6

a b c• × =平行六面體體積的 1/6

平行六面體

cos

sinc

ab

h

c

b

β

θ

×

= ×

= ×

=

高平行四邊形面積

平行六面體的體積

β

cosa hβ = =高 θ

三重積的應用：力對某一軸的力矩 (靜力學第四章：力系合成)

( )

( )

a a

ax ay az x y z

x y z

ax ay az

x y z

x y z

M u r F

i j ku i u j u k r r r

F F F

u u u

r r rF F F

= • ×

= + + •

=

導函數

場

P 為空間中一點，向量 v 會隨著 P點變化(P(t))而改變

代表 P 點(在直角座標系統上)

√

了解「場」的觀念

P0(x0, y0, z0)

P(x, y, z)

( )f P P 與 P0 間的距離

場：一種相同物理量的集

合，可以函數形式表示之

任一位置向量 (0 0 )i j kω= + +

形成速度場(不同

位置有不同速度)

萬有引力(大小)

距離(純量)

距離(位置向量)

單位向量，代表方向

(負號代表 P 指向 P0)

向量

向量的大小

萬有引力(向量場表示)

(x0, y0, z0)

(x, y, z)

rm

M

向量微積分

收斂 連續性 可微分性

√

√

√

√

0v( )t=

√

0

( )limt t

v t→

1 0 2 0 00 3( )v( ) ( ) ( )v t i v t j v t kt= = + +

若此式的極限值存在，則代表可微分

若 0tΔ → ，則 ( )v t′ 代表曲線該點之斜率或切線

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )dv t v t i v t j v t k

dt′ ′ ′= = + +√

向量的微分=個別分量的微分

偏導數(微分)

對 mt 變數取偏導數

對 ,m lt t 變數取偏導數

( , )m lv t t 為多變數函數，故取偏導數(微分) 一階偏導數：

, m l

v vt t∂ ∂∂ ∂

二階偏導數： 2 2 2

2 2, , m lm l

v v vt t t t∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

微分幾何學

參數表示法

t 為參數

空間中的曲線方程式

位置向量

t 增加，正向性

t 減少，負向性

大地量測學 地理學 空間旅行 相對論

代表曲線投影在 x-y

平面上的方程式

t 減少，負向性t增加，正向性

定向 (1)式比(2)式

的優點

2 2 2

cossin

0 2

x y ax a ty a t

t π

+ ===≤ ≤

L 上任一點 A(的位置向量)

2 2

2 2 1

cossin

0 2

x ya bx a ty b t

t π

+ =

==≤ ≤

x

z

y

( )r t

L 的方向向量

注意以下特殊曲線的參數表示式！

長軸

短軸

x

z

y

( )r t

距 A 的長度

橢圓參數表示式

圓參數表示式

直線參數表示式

平面曲線

扭曲曲線

右手螺旋，C > 0 左手螺旋，C < 0

沒有曲線交錯、相切之點

( )r t(位置向量)

tb

cos cos cos

b

yx z

u

BB Bi j kB B B

i j kα β γ

=

= + +

= + +

向量

大小

(3, 2)

t

Slope=1= yx

ΔΔ

方向向量=[1,1,0]=b

x

z

ya

( )r t

螺線參數表示式

單位切線向量(代表切線方向)

切線方程式

( )r t 必須先找出…by 參數表示法

注意解題步驟！

( )dr tdt

= 切線向量，代表曲線上某點的斜率

P 與 Q 很接近時

步驟 1： ( )r t

步驟 2： ( )r t′ 步驟 3：由 P點求出對

應的角度 / 4t π=

見補充資料

l 為曲線長度，是為常數

s 為曲線長度，是為 t的函數(找 s與 t的關係式用)

可求長(度)的

步驟 4： ( ) ( ) ( )q r t r tω ω ′= +

( )s t r rds dr rdt dt

′ ′ ′= •

′= = =

等號兩邊取微分

√

√

√

√

ds dr=

drds

= 單位切線向量

步驟 1： ( )r t 步驟 2： ( )r t′

2K =

2

( )

s t r r dt

K dt

KtstK

′ ′= •

=

=

=

∫∫

故

步驟 3：找出 s 與 t的關係 by (11)式

步驟 4：得到以 s 為變數之 ( )r s

: ( )C r t 曲線向量表示式…by 參數表示法

取微分

切線速度

速度大小 dsv r r rdt

′ ′ ′= = • =

加速度 t na a= + 取微分

dr dx dy dzi j kdt dt dt dt

= + +

鏈鎖定則 單位向量，代表方向

純量，指速度大小

對方向微分 ( )norma

對大小微分 tan( )a

2

2

( ( ) )

( )du dsdt d

d dsu sdt dt

d su sdtt

+=

2( )

du dsdt dt

du dsds

dsds

dt=

tan vva v a vav

u vv v v

•= • =

•

切線方向的單位向量

a 在 v 方向的投影量圓參數表示式

切線速度

速度大小(常數)

加速度

角速率大小vR

ω = (常數)

向心加速度 離心力

2 2[ cos sin ]R t i R t j rω ωω ω+ == − −

2

2 2

0

v

r

v

ra R

ω

ω ω

⇒

⇒

=

=

−

= =

的方向為切線方向，方向的改變率相同

微分為法線(向心)加速度

向心加速度大

大小為常數

微分 切線加速度

小

為

發射體 經線

: 轉動角度tω : 轉動角度tω

ω

0γ >

: 發射體運行角度tγ

b 隨地球轉動，為時間 t之函數

位置向量

( )r t

向心加速度(與b ′′有關) (地球旋轉所造成)

向心加速度(與γ 有關) (發射體在旋轉地球的經線上旋轉所造成)

柯氏加速度(與γ 與b ′′有關) (兩個旋轉交互作用所造成)

在北半球， sin 0 ( 0, 0)t tγ γ> > > ，因此， Cora 的方向為 b′− ，亦即與地球旋轉方向相反，物體自經線偏向右。(在南半球， sin 0 tγ < 故偏向左)

柯柯氏氏加加速速度度怎怎麼麼產產生生的的呢呢??

在質點的相對運動公式中有一項「2 relvω× 」稱之為「柯氏加速度 (Coriolis acceleration)」，其中ω為參考體的角速度，而 relv 為欲分析點相對於參考體的相對速度。

很明顯地，柯氏加速度為ω與 relv 交互作用而產生的。加速度乃是速度變化而產生，而速度變化包含了大小及方向的變動。柯氏加速度就是源於參考體旋轉及質點相對於參考

體的相對速度而造成。

微積分基本觀念 → 自行複習

鏈鎖定則

中間變數

因(相依)變數 自(獨立)變數

, ,x y z為多變數函數，故取偏導數(微分)

, ,x y z為單一變數函數，故取常微分

0

x y zx x y x z xf f gx z x

ϖ ϖ ϖ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

方向導函數

純量場之梯度→將純量場變成向量場

均值定理

0 0( ) ( )f x h f xdfdx h

+ −=

方向導函數

( )gradientf f⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ∇純量函數 向度 量函數梯

微分運算子

梯度的應用

梯度即為法線向量

( )f 純量函數

空間中的曲線或曲面

( )f∇

法

向 函數

線向量

量

● ( , , )P x y z

b向量

代表在(指定的)b 向量方向，其單位長度之 f 變化率

0p( )r s

sb

dr dx dy dzi j kds ds ds ds

x i y j z k

b

= + +

′ ′ ′= + +

=

( ) ( )

(

df df dfx i y j z k i j kdx dy dz

b

f

f

b

′ ′ ′= + + • + +

=

•∇

•單位向量) 的梯度

=

dxds

dyds

dzds

重要公式！

取單位向量

單位向量

Step1:取梯度 f∇ Step2:點代入 ( )f P∇

Step3:算單位向量 aaea

=

Step4:算出 ( )a aD f e f P= •∇

(見補充資料！)

鏈鎖定則

直線 L 的參數表示式

( )f 純量函數

空間中的曲線或曲面

( )f∇

法

向 函數

線向量

量

● ( , , )P x y z

b向量

( )aD f b grad f

b f P

= •

= •∇

γ

γ= o0 ， bD f 有最大值，即表示曲線(面)上 P 點處的梯度方向(亦即法線方向)，為 f 在 P 點方向導數最大增加之方向。

梯度為曲面的法線向量 曲面方程式

曲線 C 方程式

C 的切線方程式 dr dx dy dzi j kdt dt dt dt

= + +

取微分

dxdt

dydt

dzdt

( ) ( )f f f dx dy dzi j k i j kx y z dt dt dt∂ ∂ ∂

= + + • + +∂ ∂ ∂

重要意義！

單位法線向量

梯度f f ff i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

法線向量

潛位、位勢

向量

純量(given)

拉譜拉斯運算

能量守恆的(保守場)

( ) ( )v P grad f P= ( )v P ：向量函數； ( )f P ：純量函數；P：任何一位置點

( )f P 稱為 ( )v P 的 potential。 若可以發現 ( )f P 的存在，則 ( )v P 稱為能量守恆的(保守場)

( ) ( )v P gradf v

v f

f P→ =

→

已知 求出

已知 求出

第十章的範圍

(P377-378)

c

c

c

0

c

c

c

三者相加 滿足(8)式

√

梯度f f ff i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

c

c

c

三者相加滿足(9)式 2

3 5

3 3 0rr r

= − + =

d d di j kdx dy dz

∇ = + +

靜電學 → 與牛頓重力定

律相同形式

√

√

發散度(Divergence)的物理意義：

一個無限小封閉曲面放在向量場中，則由內向外發出的"力線數"(向量和該通過面積的內積)即為散度。Divergence 不為零時，大於零對應 source，小於零對應 sink，等於零則滿足連續方程式。

例如 若指的是水，Divergence=0 之處就是沒有水源出口(source)或排水孔(sink)的空間. 若指的是電位，則沒有電荷處 Divergence=0，該點電位恰好就是四周所有點電位的平均值(連續)，也就是電力線連續 沒有新電力線的產失或消失.

發散度

向量⎯⎯⎯⎯→發散度 純量

發散度

旋度 v Curl v∇× =

比較

1 2 3[ ( , , ), ( , , ), ( , , )]v v x y z v x y z v x y z=

√

f∇•∇ = 2 f f= ∇ = Δ

2

( )

( ) 0

cp grad grad fr

div p div grad f f f

= =

= = ∇ = Δ =

(P400-401)

發散度在流體力

學的應用

耗損

流通量

3 2( )kg m kgm s m s

=i

y 面流入

質量變化率 ﹦流出與流入的差值 ( )kg 流出 流入 x y z= Δ Δ Δ

一短時間 tΔ 內流進 z xΔ Δ 面之流體質量 ( )kg

y y+ Δ 面流出

● y

● y y+ Δ

1. 可壓縮流體(氣體)流動之連續方程式(密度 ρ會改變)

2. 質量守恆之條件

流體為不可壓縮(水、油)之條件 (密度 ρ為常數)

相等

在時間 tΔ 內 Box B 之總質量損失

Box B 內之質量損失來自其密度的時間變化率(注意單位)

23( )

kgm s m s kgm

=i i

同理可得

11

33

uu y z t V txuu x y t V tz

ΔΔ Δ Δ Δ = Δ Δ

ΔΔ

Δ Δ Δ Δ = Δ ΔΔ

三式相加

33( )

kgm m s kgs

=i i

31 2

31 2

( )

, ,

( ) ( )

uu u V t V tx y z t

if x y zuu u

x y z t

u v div u div vt

ρ

ρ

ρρ ρ

ΔΔ Δ ∂+ + Δ Δ = − Δ Δ

Δ Δ Δ ∂Δ Δ Δ

∂∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂∂

∇• = ∇• = = = −∂

趨近於0

( ) 0

0 ( ) 0 ( ) 0

div vt

div vdiv v

ρ ρ

ρ

∂+ =

∂+ =

=

旋度

向量⎯⎯⎯→旋度 仍為向量

旋度

發散度 v div v∇• =

比較 1 2 3 1( 1) ( )v v

x z+ ∂ ∂− −

∂ ∂

證明

證明

(見補充資料！)

梯度函數 1 2 3[ ( , , ), ( , , ), ( , , )]p p x y z p x y z p x y z= 若 0Curl p = ，則 p 稱為能量守恆的

視▽類似為微分符號

( )f v∇• =

( )f g∇• ∇ =

( )div f f∇ =∇•∇ =

( )u v∇• × =

( )f v f v f v∇× = ∇ × + ∇× = 2 2

( ) [ ][ ]

div fg div f g g ff g g f

f g f g fg fg

= ∇ = ∇ + ∇= ∇• ∇ + ∇

= ∇ +∇ •∇ ∇∇ + •∇+

【觀念補充】

Let kajaiaA 321 ++= be a constant vector, and kzjyixR ++= , Find

(a) ( )R A∇ ⋅ ; (b) ( )R A∇ −⋅ ; (c) )( AR ××∇ . 【Solution】

【另解】

3111

)()()(])()()[( 321321

=++=

−∂∂

+−∂∂

+−∂∂

=−+−+−⋅∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

azz

ayy

axx

kazjayiax

kz

jy

ix

【另解】一般運算

Akajaia

kaajaaiaa

yaxazaxazayazyx

kji

AR

kyaxajzaxaizayaa

zyxkji

AR

2222

)()()(

)()()(

)(

)()()(

321

332211

121323

121323321

−=−−−=

−−+−−+−−=

−−−−∂∂

∂∂

∂∂

=××∇

−+−−−==×

a a

公式解

(98 中山光電 10%) (100 台師大機電 20%)

(96 中山機械 16%)