第七章最优化模型

内容简介

基础篇最优化问题的概念与分类最优化问题的求解方法

公式法求解、规划求解工具求解、查表法求解线性规划问题非线性规划问题常见规划问题

提高篇多目标规划问题最优投资组合模型规划求解报告的生成与分析非线性规划问题最优解

第一节最优化问题概述最优化问题定义

最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的问题。

即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确定下使用最少的资源。

第一节最优化问题概述（续）最优化问题分类

根据有无约束条件

无约束条件的最优化问题

有约束条件的最优化问题

根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式

线性规划问题

非线性规划问题 – 二次规划问题

根据决策变量是否要求取整数

整数规划问题 – 0-1 规划问题

任意规划问题

第一节最优化问题概述（续）

最优化问题的数学模型

nxxxfyMax ,,,: 21 0,,,: 211 nxxxsSt

0,,, 212 nxxxs

0,,, 21 nm xxxs

……


最优化问题的求解方法公式法

用规划求解工具求解

用查表法求解


最优化问题的求解方法比较公式法：适用于可以直接推导出公式的最优化问题

规划求解工具：操作简单，求解最多 200 个决策变量的规划问题，可以达到很高的精度，对于线性规划问题可以找到全局最优解。当模型中其他参数发生变化时，规划求解工具不能自动计算出新的最优解。

查表法：求解 2 个决策变量的规划问题，可以达到较高的精度，查表法与图表相结合有助于找到全局最优解，当模型中其他参数发生变化时，可以直接把新的最优解计算出来。

垄断商品最优定价问题

【例 7-1 】某公司生产和销售一种垄断产品，固定成本 F=500 元。单位变动成本 v=10 元，销量 Q 与单价p 之间的关系为：

问该公司怎样定价，所获得的利润最大 ?

pQ 79.0160

利用公式法计算最优解

CR

vaFpbvabp

bpavFbpap

vQFpQ

2

02 bvabpdp

d

babvpopt 2 avFbabv 42

max

垄断商品最优定价问题（续）

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

A B C D

单位：元固定成本 (F) 500.00单位变动成本 (v) 10.00单价截距 (a) 160单价斜率 (b) -0.79单价 (p) 30.00销售数量 (Q) 136.30总成本 (C) 1863.00销售收益 (R) 4089.00利润 (π ) 2226.00

最优单价 (popt) 106.27利润极大值 (π max) 6821.02


用规划求解工具计算最优解


用查表法求解

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

A B C D E F G 2226

固定成本 500 0 -2100单位变动成本 10 10 -500单价截距 (a) 160 20 942单价斜率 (b) -0.79 30 2226单价 30 40 3352销售数量 136.3 50 4320总成本 1863 60 5130销售收益 4089 70 5782利润 2226 80 6276

90 6612最优单价 110 100 6790利润极大值 6810 110 6810

120 6672初始最优单价 100 130 6376步长 10 140 5922

150 5310160 4540170 3612180 2526190 1282200 -120


进一步分析

垄断商品利润随单价的变化图形

2226. 00

6821. 02

- 1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

10 30 50 70 90 110 130 150 170 190

单价

利润

=30 =2226单价元时，利润元 =10 =106. 27单位变动成本元时，最优单价元


线性规划的一般形式

第二节线性规划

bxaxaxayMax nn 2211:0: 11212111 bxaxaxaSt nn022222121 bxaxaxa nn

02211 nnmnmm bxaxaxa ……

第二节线性规划（续）

【例 7-2 】某公司生产和销售两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时 3 小时和 7 小时，用电量 4 千瓦和5 千瓦，需要原材料 9 公斤和 4 公斤。公司可提供的工时为 300 小时，可提供的用电量为 250 千瓦，可提供的原材料为 420 公斤。两种产品的单位利润分别为 200 元和 210 元。该公司怎样安排两种产品的生产量，所获得的利润最大。

建立数学模型

21 210200: xxyMax 30073: 21 xxSt

25054 21 xx

42049 21 xx

0, 21 xx


建立 Excel 模型

产品1 产品2 需要量可提供量工时 3 7 10. 00 300. 00用电量 4 5 9. 00 250. 00原材料 9 4 13. 00 420. 00单位利润 200. 00 210. 00产量 1. 00 1. 00总利润 410. 00


用规划求解工具求解


制作利润随产量变化的三维曲面图和俯视图

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50

工时用电量原材料利润

0

10

20

30

40

50 0

25

50

02000400060008000

10000120001400016000180002000022000


第三节非线性规划

非线性规划的一般形式

nxxxfyMax ,,,: 21 0,,,: 211 nxxxsSt

0,,, 212 nxxxs

0,,, 21 nm xxxs

……

【例 7-3 】某公司生产和销售两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时 3 小时和 7 小时，用电量 4 千瓦和 5 千瓦，需要原材料 9 公斤和 4 公斤。公司可提供的工时为 300 ，可提供的用电量为 250 千瓦，可提供的原材料为 420 公斤。两种产品的单价与销

量之间存在负的线性关系，分别为 p1=3000 - 50q1 ， p2 = 3250-

80q2 。工时、用电量和原材料的单位成本分别为 10 、 12 和 50

元，总固定成本为 10000 元。该公司怎样安排两种产品的生产量，所获得的利润最大。

第三节非线性规划（续）

建立数学模型

CRyMax : 10000330528153250103000 212211 xxxxxx

10000152622102472 222

211 xxxx

30073: 21 xxSt

25054 21 xx

42049 21 xx

0, 21 xx


建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

B C D E F G 产品1 产品2 需要量可提供量单位成本

工时 3 7 10. 00 300 10用电量 4 5 9. 00 250 12原材料 9 4 13. 00 420 50产量 1. 00 1. 00a 3000 3250b -50 -80单价 2950. 00 3170. 00收益 2950. 00 3170. 00单位变动成本 528. 00 330. 00变动成本 528. 00 330. 00总固定成本 10000. 00总利润 -4738. 00


规划求解


绘制总利润的三维曲面图形和俯视图形


【例 7-4 】在上例的基础上，当原料用量 >=300 公斤时，供应商提供的原料价格从 170 元降为 150 元。该公司怎样安排两种产品的生产量，所获得的利润最大。（主要考虑多极值情况）。


建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

B C D E F G 产品1 产品2 需要量可提供量单位成本

工时 3 7 148. 51 300 10用电量 4 5 131. 93 250 12原材料 9 4 186. 28 420 170产量 13. 92 15. 25a 3000 3250b -50 -80单价 2304. 00 2030. 00收益 32071. 68 30957. 50单位变动成本 1608. 00 810. 00变动成本 22383. 36 12352. 50总固定成本 10000. 00总利润 18293. 32


规划求解

总利润产品1 产品2 产品1 产品2

1. 00 1. 00 13. 92 15. 25 18293. 330. 00 15. 00 26. 82 14. 67 15951. 825. 00 25. 00 23. 34 22. 50 15660. 930. 00 10. 00 28. 45 11. 00 12297. 4

初值终值


绘制总利润的三维曲面图形和俯视图形


第四节常见规划问题 -- 运输问题

【例 7-5 】某公司有 3 个工厂，生产的产品运到 5 个仓库， 3 个工厂的生产能力为 310 ， 260 和 280 ，每个仓库的需求量为 180 、 80 、 200

、 160 和 220 。从工厂运到各仓库的运费如下表。

该公司怎样安排，所花费的总运费最小。

运费 1仓库 2仓库 3仓库 4仓库 5仓库A工厂 10 8 6 5 4B工厂 6 5 4 3 6C工厂 3 4 5 5 9

第四节常见规划问题 -- 运输问题（续）

建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

B C D E F G H I 运费 1仓库 2仓库 3仓库 4仓库 5仓库

A工厂 10 8 6 5 4B工厂 6 5 4 3 6C工厂 3 4 5 5 9

运量 1仓库 2仓库 3仓库 4仓库 5仓库总计提供量A工厂 1 1 1 1 1 5 310B工厂 1 1 1 1 1 5 260C工厂 1 1 1 1 1 5 280

总计 3 3 3 3 3需求量 180 80 200 160 220总运费 83

第四节常见规划问题 -- 运输问题（续）

规划求解

第四节常见规划问题 -- 选址问题【例 7-6 】某移动通讯公司准备在某一城市建立发射塔，该城有 4

个地区，现有 4 个建塔位置，每个位置对各地区的覆盖情况和费用见下表：该公司怎样选择建塔位置，既能覆盖所有地区，又使总费用最小。

覆盖 1位置 2位置 3位置 4位置A地区 1 1 1B地区 1C地区 1D地区 1 1

费用 350 400 300 380

第四节常见规划问题 -- 选址问题（续）建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9

B C D E F G 覆盖 1位置 2位置 3位置 4位置覆盖次数

A地区 1 1 1 3B地区 1 3C地区 1 3D地区 1 1 3

费用 350 400 300 380选择 1 1 1 1总费用 1430

第四节常见规划问题 -- 选址问题（续）

规划求解

第四节常见规划问题 -- 资金管理问题

【例 7-7 】现有 10000 元准备存入银行，可以选择一年期、二年期和三年期存款。三种存款的年利率分别为 2.5% 、 2.7% 和 2.9% 。第 3年初和第 5年初需要使用现金 1000 元和 2000 元，第 4年初有 5000 元的现金收入可以存入银行。问如何分配每年的各种存款额才能使第 6年末的现金余额最大？

第四节常见规划问题 -- 资金管理问题（续）

建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B C D E F G H 年利率到期总利率

一年期 2. 5% 2. 5%二年期 2. 7% 5. 5%三年期 2. 9% 9. 1%

第1年第2年第3年第4年第5年第6年期初现金 10000. 00 7000. 00 5025. 00 3105. 03 9275. 62 9446. 21到期本金 1000. 00 2000. 00 3000. 00 3000. 00 3000. 00到期利息 25. 00 80. 03 170. 59 170. 59 170. 59现金需要额 1000. 00 -5000. 00 2000. 00一年期存款 1000. 00 1000. 00 1000. 00 1000. 00 1000. 00二年期存款 1000. 00 1000. 00 1000. 00 1000. 00三年期存款 1000. 00 1000. 00 1000. 00期末现金 7000. 00 5025. 00 3105. 03 9275. 62 9446. 21 12616. 80

第四节常见规划问题 -- 资金管理问题（续）

规划求解

第四节常见规划问题 -- 生产管理问题【例 7-8 】已知某公司生产的产品在不同月份的需求量、单位生产成本与生产能力不同（见下表

），每月的储存成本等于单位储存成本与月平均库存量（月初库存量与月末库存量的平均值）的乘积，而每月的单位储存成本等于当月单位生产成本的 1.5% 。公司要求每月的生产量既不超过当月生产能力又不低于当月生产能力的一半，另外，为防备急需，管理人员还要求每月月末库存量不少于 1500 件（安全库存量），仓库容量为 6000 件，当前库存量为 2750 件。试确定一种生产安排使得既能满足每个月的需求量同时又使作为生产成本与储存成本之和的总成本达到极小。

1月 2月 3月 4月 5月 6月需求量 1000 4500 6000 5500 3500 4000生产量上限 4000 3500 4000 4500 4000 3500单位生产成本 240 250 265 285 280 260

第四节常见规划问题 -- 生产管理问题（续）

建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

B C D E F G H 仓库容量 6000安全库存量 1500储存成本系数 0. 015当前库存量 2750

1月 2月 3月 4月 5月 6月需求量 1000 4500 6000 5500 3500 4000月初库存量 2750 1751 -2748 -8747 -14246 -17745生产量 1 1 1 1 1 1生产量上限 4000 3500 4000 4500 4000 3500生产量下限 2000 1750 2000 2250 2000 1750月末库存量 1751 -2748 -8747 -14246 -17745 -21744月平均库存量 2250. 5 -498. 5 -5747. 5 -11496. 5 -15995. 5 -19744. 5单位生产成本 240 250 265 285 280 260单位储存成本 3. 6 3. 75 3. 975 4. 275 4. 2 3. 9总成本 -208366. 08

第四节常见规划问题 -- 生产管理问题（续）

规划求解

第四节常见规划问题 -- 方程组求解

【例 7-9 】现有 1 个 3 元 1 次方程组，求该方程组的解。

6640128

80221830

100162520

zyx

zyx

zyx

第四节常见规划问题 -- 方程组求解（续）

建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7

B C D E F G x y z 等式左边等式右边

1方程 20 25 16 61. 00 1002方程 30 18 22 70. 00 803方程 8 12 40 60. 00 66

自变量 1. 0000 1. 0000 1. 0000左右差值 55. 0000

第四节常见规划问题 -- 方程组求解（续）

规划求解

第五节多目标规划问题

具有多个目标的决策就是多目标决策

多目标决策主要方法化多为少法

分层序列法

直接求非劣解法

目标规划法

多属性效用法

层次分析法

重排序法

多目标群决策和多目标模糊决策

第五节多目标规划问题（续）

【例 7-10 】某公司生产和销售两种产品，两种产品各生产一个单位需要 3 工时和 7 工时，用电量 4 千瓦和 5 千瓦，需要原材料 9 公斤和 4 公斤。公司可提供的工时为 300 ，可提供的用电量为 250 千瓦，可提供的原材料为 420 公斤。两种产品的单位利润分别为 12 元和15 元。假设两种产品各生产 10 个单位，试在 Excel 中建立产品组合线性规划模型，用规划求解工具求解两种产品的最优生产量，使总利润最大，总工时最少；把规划求解参数保存在单元格中。


建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8

B C D E F 产品1 产品2 需要量提供量

工时 3 7 10 300用电量 4 5 9 250原材料 9 4 13 420单位利润 12 15产量 1. 00 1. 00总利润 27


第一步：求解总利润最大


第二步：在保持总利润最大的同时，求解最少的总工时

第六节最优投资组合模型

假设有 n 个项目可以投资，各项目的平均收益率分别为 Ri ，各项目间的协方差为。若各项目的投资比例为Wi 。则预期的回报率，方差

n

1iii RWR

n

1i

n

1jjiij

2 W

第六节最优投资组合模型（续）

方法 1 ：目标规划法

n

1i

n

1jjiij

2 WMin :

n

1iii RW R:Max

p

n

1iii RRW St.

n

1i

n

1jpjiijWSt 2.

1

n

1iiW 1

n

1iiW


方法 2 ：化多为少法

若风险厌恶度等于 D ，预期收益率为 R ，预期方差为则综合风险收益率为 2 2)1(

DDRR

2)1(:

DDRRMAX

1W .n

1ii

St

第六节最优投资组合模型（续）【例 7-11 】现有一笔资金，准备购买 IBC 、 NMC 和 NBS 三个公司的股票

。各公司在过去 12年的收益率见下表：问：在保证收益率不低于 12% 的前提下，怎样组合可以使风险最小？在方差不大于 0.01 的前提下，怎样组合可以使收益率最大？若风险厌恶度等于 0.5 ，则最优证券组合是什么？此时的收益率和方差各为多少？

年份 I BC NMC NBS1 11. 20% 8. 00% 10. 90%2 10. 80% 9. 20% 22. 00%3 11. 60% 6. 60% 37. 90%4 - 1. 60% 18. 50% - 11. 80%5 - 4. 10% 7. 40% 12. 90%6 8. 60% 13. 00% - 7. 50%7 6. 80% 22. 00% 9. 30%8 11. 90% 14. 00% 48. 70%9 12. 00% 20. 50% - 1. 90%

10 8. 30% 14. 00% 19. 10%11 6. 00% 19. 00% - 3. 40%12 10. 20% 9. 00% 43. 00%


建立 Excel 模型

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C D E F G H I J K L

年份 I BC NMC NBS I BC NMC NBS 1 11. 20% 8. 00% 10. 90% I BC 0. 00258 -0. 00025 0. 004402 10. 80% 9. 20% 22. 00% NMC -0. 00025 0. 00276 -0. 005423 11. 60% 6. 60% 37. 90% NBS 0. 00440 -0. 00542 0. 036774 -1. 60% 18. 50% -11. 80%5 -4. 10% 7. 40% 12. 90% I BC NMC NBS 6 8. 60% 13. 00% -7. 50% 平均收益率 7. 64% 13. 43% 14. 93%7 6. 80% 22. 00% 9. 30% 投资比例 0. 00% 42. 51% 57. 49%8 11. 90% 14. 00% 48. 70%9 12. 00% 20. 50% -1. 90% 投资比例合计 100. 00%

10 8. 30% 14. 00% 19. 10% 收益率 0. 1429611 6. 00% 19. 00% -3. 40% 风险 0. 0100012 10. 20% 9. 00% 43. 00%

每年收益率收益率协方差


求解（收益固定，风险最小）


求解（风险固定，收益最大）


建立 Excel 模型 2

年份 I BC NMC NBS I BC NMC NBS 1 11. 20% 8. 00% 10. 90% I BC 0. 00258 -0. 00025 0. 004402 10. 80% 9. 20% 22. 00% NMC -0. 00025 0. 00276 -0. 005423 11. 60% 6. 60% 37. 90% NBS 0. 00440 -0. 00542 0. 036774 -1. 60% 18. 50% -11. 80%5 -4. 10% 7. 40% 12. 90% I BC NMC NBS 6 8. 60% 13. 00% -7. 50% 平均收益率 7. 64% 13. 43% 14. 93%7 6. 80% 22. 00% 9. 30% 投资比例 0. 00% 68. 87% 31. 13%8 11. 90% 14. 00% 48. 70%9 12. 00% 20. 50% -1. 90% 投资比例合计 100. 00%

10 8. 30% 14. 00% 19. 10% 收益率 0. 1390011 6. 00% 19. 00% -3. 40% 风险 0. 0025512 10. 20% 9. 00% 43. 00% 风险厌恶度 0. 5

-收益率风险 0. 06823

每年收益率收益率协方差


求解（风险厌恶度固定，收益最大）

第七节规划求解报告的生成与分析

在图 7-13 的“报告”列表框中选中“运算结果报告、敏感性报告和极限值报告”，然后单击“确定”按钮可以生成相应的报告

第七节规划求解报告的生成与分析（续）生成运算结果、敏感性和极限值报告

第七节规划求解报告的生成与分析（续）运算结果报告

列出目标单元格和可变单元格的地址、名称、初值和终值。在该报告的约束区域中显示每个约束条件的公式、当前值和是否达到限制值。

第七节规划求解报告的生成与分析（续）

敏感性报告提供关于求解结果对目标函数和约束条件微小变化的敏感性的信息

。

对于非线性模型，此报告提供缩减梯度和拉格朗日乘数。

对于线性模型，此报告中将包含缩减成本、影子价格（机会成本）、目标系数 ( 允许有小量增减额 )以及右侧约束区域。

对于整数约束条件的模型不能生成本报告。

第七节规划求解报告的生成与分析（续）极限值报告

列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、上下限和目标值。

含有整数约束条件的模型不能生成本报告。

下限是在满足约束条件和保持其它可变单元格数值不变的情况下，某个可变单元格可以取到的最小值。上限是在这种情况下可以取到的最大值。

第八节非线性规划问题最优解

非线性规划问题求解方法改进原理：用不同的处置进行规划求解

自动取初值，自动记录结果

第八节非线性规划问题最优解（续）安装加强版规划求解工具

复制 OptSolver.xla 到“ C:\Program Files \Microsoft Office\OFFICE11\Library” 目录

启动 Microsoft Excel程序在“工具”菜单下选择“加载宏”菜单项，从弹出的对话框中

选择“ OptSolver” 使用加强版规划求解工具

设置好最优化问题的 Excel 模型用规划求解工具求解 “Ctrl+q” 组合键启动加强版规划求解工具

第八节非线性规划问题最优解（续）

【例 7-12 】在例 7-4 有折扣优惠的产品组合非线性规划模型的基础上用加强版规划求解工具求解该非线性问题的最优解。


设定初值取法


求解结果

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

B C D E F G H I J K L M N 初值终值目标值

产品1 产品2 需要量可提供量单位成本自变量1 自变量2 自变量1 自变量2工时 3 7 148. 51 300 10 35. 2773756 26. 671201 13. 9200005 15. 2499997 18293. 32用电量 4 5 131. 93 250 12 28. 9759308 14. 4781232 26. 9971673 14. 2563736 15663. 7213原材料 9 4 186. 28 420 170 15. 0974005 38. 737005 13. 9199998 15. 2499997 18293. 32产量 13. 92 15. 25 0. 70088208 38. 0361795 13. 92 15. 2499999 18293. 32a 3000 3250 40. 724501 35. 451895 24. 2251551 20. 4934033 16784. 0468b -50 -80 2. 26763785 20. 7016349 13. 92 15. 2499999 18293. 32单价 2304. 00 2030. 00 43. 130967 39. 5240009 24. 0585665 20. 8683727 16628. 5163收益 32071. 68 30957. 50 18. 6768085 48. 0976582 13. 9199999 15. 2499998 18293. 32单位变动成本 1608. 00 810. 00 43. 5722917 2. 81184316 13. 9199918 15. 2499938 18293. 32变动成本 22383. 36 12352. 50 47. 4778324 18. 2009339 13. 9199947 15. 2499922 18293. 32总固定成本 10000. 00 26. 2434214 38. 355583 20. 5870444 28. 679154 7643. 47215总利润 18293. 32 2. 67522633 29. 6229124 13. 92 15. 25 18293. 32

23. 4350055 14. 908272 13. 9199999 15. 2499999 18293. 3231. 1348349 32. 3910594 23. 1139833 22. 9935422 15269. 8582

不同初值下求得的最优解： 13. 1896466 13. 9671028 13. 92 15. 2499999 18293. 32总利润 41. 490081 41. 2301064 22. 8465968 23. 5951572 14737. 7816

产品1 产品2 产品1 产品2 29. 4581503 49. 3046582 13. 92 15. 2499999 18293. 321. 00 1. 00 13. 92 15. 25 18293. 32 45. 5482155 11. 3433003 13. 9199939 15. 2499924 18293. 32

30. 00 15. 00 26. 82 14. 67 15951. 79 34. 7557753 49. 0001619 13. 92 15. 25 18293. 3225. 00 25. 00 23. 34 22. 50 15660. 88 12. 1965677 26. 6936541 13. 92 15. 2499999 18293. 3230. 00 10. 00 28. 45 11. 00 12297. 44 5. 31848371 49. 9707282 13. 92 15. 2499999 18293. 32

初值终值

本章小结最优化问题

概念、分类和数学模型最优化问题的求解方法

公式法、规划求解工具求解、用查表法求解线性规划问题

产品混合线性问题求解非线性规划问题

产品混合非线性问题求解、原材料折扣优惠情况下求解常见规划问题

运输、选址、资金管理、生产管理和解方程组等问题的求解

本章小结（续）

多目标规划问题

最优投资组合模型

规划求解报告的生成与分析

非线性规划问题最优解非线性规划问题求解方法改进原理

加强版规划求解工具的安装与使用

第七章 最优化模型

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第七章最优化模型