大规模孔群加工路径大规模孔群加工路径优化问题的研究优化问题的研究清华大学 无清华大学 无 9494 班班

姜蔚蔚 魏凌 屠环宇姜蔚蔚 魏凌 屠环宇

模型评价与推广

问题重述与剖析数学模型建立数学模型求解

结果分析与思考

致谢

孔群加工在电路板制造中所占的比重较大，直接影响了生产的效率。人们经常只关注如何提高每个孔的加工时间，却忽视了刀具移位，换刀等辅助时间。

问题背景：

研究内容：规划大量孔群的加工过程中的线路，以达到所费成本或者所耗时间最少，从而提高打孔机的生产效率。

决策参量：刀具行进路程 刀型转换时间优化目标：作业时间最短 作业成本最低 二者结合其他目标。。。

数学优化问题

约束条件：电路板上各个过孔以及打孔机 8 种刀具的排布10 种孔型所需加工刀具及加工次序的要求双钻头最小间距的限制

精确算法：动态规划法 分支定界法构建型算法：贪心法，插入法，生成树法Clarke-Wright 法， Christofides 法

路线搜索，图结构， TSP 问题

改进型算法：r-opt 法， Lin-Kernighan 法，多级算法

启发型算法：模拟退火法，禁忌搜索法，遗传算法神经网络法，蚁群算法，免疫算法

不同于一般的旅行商问题 建模复杂度数据量巨大 组合爆炸多目标函数优化问题 协调和折中处理明确的实际产业背景 理论和工程思想结合 尽可能目标最优 Vs 成本，效率，可行性，稳定性

提出具有普适性的数学模型，与实际问题相当符合将原问题转换为几个简单的子问题的分治思想为解决大数据量的优化问题提供了一种思路细心观察，抓住问题关键，规划刀具转换顺序基于贪心思想的近似最优算法，求解优化问题充分挖掘多钻头协作作业的优势研究优化目标、约束条件等的选取，为实际生产过程提供参考

孔 i 和孔 j 之间取欧几里得距离行进速度 v1=180mm/s ，孔 i 到孔 j 的行进时间

单位行进成本 c1=0.06 元 /mm ，孔 i 到孔 j 的行进成本为

对于第 i 个孔，其位置记作 ，所需刀具记为 k ， ， k 的元素选取是孔型而定， ，这样用刀具 ki 加工第 i 个孔的操作就可以记为

刀具转换时间矩阵 为

其中 t=18s

刀具转换单位时间成本 c2=7 元 /min ，刀具转换成本矩阵

孔 i 用刀具 ki 加工完到孔 j 用刀具 kj 加工的过程中，成本时间权重 或 或者两者的某种组合。

决策变量

我们的优化目标为：

subject to

对于加工次序的要求， x 初始值均设为 0 ，当被加入路径后设为 1. 到某一时刻 t ，如果对于某一个 j ，必须在 之前完成的话，那我们就设

优化目标

对于双钻头，设两个决策变量分别代表钻头 1 和钻头 2 ， ，并且有

subject to

（ S1, S2 分别为钻头一和钻头二的所有加工步骤）

考虑加工次序时需要考虑两个钻头的共同作用

考虑合作间距时，合作间距为 3cm ，记为 dt 。两条路径的计时分别为 t1,t2, 对应的位置为

利用分治思想和贪心思想高效处理大数据路径交换策略，尽可能逼近全局最优解

我们的目标：细致分析并紧密结合实际问题的特点和性质

放缩，取消刀具顺序限制，转换为对称无向图Kruskal 算法得到最小生成树成本为 673.3 ，时间为 189.2s

满足三角不等式的 TSP 问题的上界成本上界为 1009.5 ，时间上界为 337.5s

估算问题最小成本与最小时间的上下界

刀具转换至少需要增加 2 次成本下界为 677.5 ，时间下界为225.2s

SANJEEV ARORA Polynomial Time Approximation Schemes for Euclidean Traveling Salesman and Other Geometric Problems

单次转换刀具的时间为 18s8 种刀具， E 孔刀具顺序为 c,f ； J孔刀具顺序为 f,c 。故刀具转换次数至少 9 次，用时至少T=9*18=162s刀具转换的时间代价远大于行进路程带来的时间影响尽量减少转换次数，是这个问题的特点和求解的关键最优刀具转换顺序：d -- c -- b -- a -- h -- g -- f -- e -- c

刀头移动和刀具转换的时间和成本分析

分治思想以及转换最少的原则，问题分解用各个子问题的最优解组合出原问题的方案刀具内部用最小生成树预估下界

刀头移动和刀具转换的时间和成本分析

刀具 d c b a h g f e c

时间 6.70105 4.37375 11.599 12.5023 3.3868 3.1812 7.7574 6.8106 9.4292

成本 72.3714 47.2366 125.269 135.025 36.578 34.356 83.78 73.555 101.835

总时间下界为 227.7413s ，成本下界为 728.906

成本 C 和时间 T ：刀头行进部分和刀具转换部分之和刀具在转换的过程中可以同时进行行进，但成本是二者的叠加

减少总成本有两个途径：尽量减少总时间尽量减少刀具转换时刀头行进的距离

刀头移动和刀具转换的时间和成本分析

精确算法： 复杂度太高启发式算法：无法和问题特点相结合，计算量大贪心思想的不同角度探索：

刀具内部寻优策略

贪心法：对下一步选取的结点的贪心插入法：对下一步插入位置的贪心生成树法：对下一步选取边的贪心先找内部最优路径，再寻找刀具间连接路径最佳匹配

刀具间连接寻优策略先确定连接路径，再进行内部寻优

打孔顺序（按刀具顺序 dcbahgfec ）

（ 1 ）以一个点出发，在地图上寻找离它“距离”最近的点加入路径；（ 2 ）将新加入的点作为起点，直到图上没有点剩余

贪心法d c b a h g f e c

DG E B AC FH FG EGJ DI CIJ

总成本 总时间979.723 252.715

遍历新孔，选择对已有路径增益最小的位置进行插 入

改进： 尝试以不同的点作为起始点

插入法成本 时间成本最优 938.219 245.998时间最优 996.041 244.915

成本 时间成本最优 894.319 242.399时间最优 921.444 240.277

把该问题看做一个特殊的生成树，同样要求联通性和无回路性，但树的每个节点只有两条边，即度为 2 ，这样最小生成树退化为最小生成链最小生成树法

思路一： 先采用 prim 算法生成最小生成树 然后保留最小生成树的主干（最深路径） 将分叉插入主干中，转化为链式结构改进：计算权重时考虑新顶点带来入度和出度的变化

成本 时间925.765 245.076

把该问题看做一个特殊的生成树，同样要求联通性和无回路性，但树的每个节点只有两条边，即度为 2 ，这样最小生成树退化为最小生成链最小生成树法

思路二： 改进 Kruscal 算法，每次选择图中最短的边 同时必须满足不破坏链表结构 （即每个点的度不超过 2 ，同时不构成环）

成本 时间954.837 243.973

最小生成树法思路三：考虑选取边的三个准则

按照这三个准则计算出每个结点的权重，代表着他们各自的竞争力

1. “长度”尽量小2. 如果不选这条边而选其他边所必须增加的长度3. 如果选择这条边，那么这条边连接的两个顶点显然损失了选择各自边的自由度

每次选择竞争力最大的节点对应的那条边

成本 时间894.58 238.38

三种交换：对路径的进一步优化处理路线上任两个结点之间的交换某个结点插入到另两个结点之间相邻四个结点的全排列

较低的复杂度 较高的交换成功概率

成本 时间改进前 894.58 238.38改进后 868.57 235.97

钻头分工和刀具转换策略双钻头需要刀具 9 种（包含重复的一种）至少需要转换 7 次

唯一需要考虑的是 E 型孔 (c,f) 的顺序要求： 钻头 1 中最后一个 f 刀具先打 G 型孔，再打 E 型孔 钻头 2 中的 c 刀具先打 E 型孔，再打其他所需孔型孔

合作间距的限制及冲突处理1. 在判断下一步的行进路线时加入该限制，在生成最优路径的同时就使其满足合作间距 该方法需要严格按照时间轴生成路径2. 每个钻头先分别生成一条最优路径，沿路径按时间顺序遍历，当遇到冲突时，进行局部的调整 该方法适用于所有方法

时间的同步性通过各个钻头总时间来判断下一次循环该由谁来行进如果第一个钻头的总时间大于第二个钻头的总时间，则第二个钻头进行下一次循环的行进基本保证两个钻头能同时运转，保持时间上的同步

打孔顺序

在行进中选取点时，先判断是否满足合作间的要求

贪心法d e f g f fDG DI J GF G E

h a b c cFH AC B E CIJ

成本 时间刀头 1 384.133 107 ． 95

7刀头 2 614.112 111.242

冲突解决：分类处理，回退机制如果是刀头 1 没有孔可以行进，则等待刀头 2行进， 待冲突解决以后刀头 1 再行进；

贪心法

如果是刀头 2 没有孔可以行进，则让刀头 1 回到上一步，然后等待刀头 2 经过冲突孔后刀头1 再行进。

打孔顺序

两个钻头先按照单钻头的插入法生成两条路径，再进行合作间距的检查

插入法d e f g f fDG DI J GF G E

h a b c cFH AC B E CIJ

成本 时间刀头 1 365.957 105.581刀头 2 598.524 111.603

冲突解决：分类处理，回退机制如钻头 1 的时间小于钻头 2 的时间，则应该钻头 1 进行下一步。此时判断钻头 1 的下一步的位置与钻头 2 的当前位置是否满足合作间距。

插入法

若不满足，则钻头 1 不进行下一步，而是等待钻头 2 进行下一步之后再进行判断。如果钻头 2 的下一步与钻头 1 的当前步也冲突，则让钻头 1 回退一步。

复杂度：贪心法 插入法 最小生成树法

复杂度 O(n2) O(n2) O(n3)

最优结果：贪心法 插入法 最小生成树法

总成本 996.95 894.319 894.58总时间 251.96 240.277 238.38

复杂度较高的最小生成树法的结果明显要优于两个复杂度较低的算法，但是计算花费的时间更多。

以贪心法为例：总成本 总耗时

不分刀具 1076.63 271.45分刀具 996.95 251.96

尽管分刀具是对原问题的一种近似和简化，但实际上的结果反而明显优于不分刀具的情况。分刀具实际上是对全局的一种分治和统筹规划。分治思想对于该问题的近似求解是关键的。

以插入法为例成本最优的情况下：

总成本 总耗时单钻头 894.319 242.399双钻头 964.481 111.603

时间最优的情况下：总成本 总耗时

单钻头 921.444 240.277双钻头 1019.184 110.049

双钻头总成本增加，总耗时比单钻头的一半略有减少实际选择钻头数时，要根据需求进行成本和耗时的权衡

以插入法时间最优的情况为例：合作间距 3cm 9cm 15cm总成本 1019.184 1019.184 1019.184总时间 111.399 142.118 210.18

插入法中，路径在没有考虑冲突的情况下已经生成冲突主要影响总时间，而成本相对稳定最小间距的限制进一步加强，可能加重钻头堵塞现象。

模型误差 孔大小，深度，材质等差异，环境因素 为降低规模，用分治思想按刀具拆分为多个子问题局部最优逼近整体最优双钻头的时间同步性问题合作间距限制的处理

数学建模 多目标，多约束，多决策变量多约束：充分考虑题目中所有约束条件，没有做任何不必要的简化，与实际情况非常贴合多决策变量：不仅考虑加工路径长度，还有效地利用了各种其他因素的影响多目标：通过寻找多个优化目标之间的联系，从理论和实际层面进行分析和权衡

求解算法细致分析问题，将模型简化为经典的满足三角不等式的 TSP 问题大量文献调研，细致研究各种算法结合本题的数据量及问题实际背景，综合考虑了算法复杂度，效率和成本，稳定性和扩展性借助分治思想，贪心思想，交换思想等设计近似算法，相比于启发式算法更能结合问题本身

双钻头充分利用两个钻头的优势，合理安排刀具顺序，使得转换次数最少，优化打孔时间充分考虑合作间距影响，提出两种冲突处理的办法，并在实例的验证过程中达到理想的效果

通过实例验证了建模和求解的可行性和正确性，在短时间内得到近似最优解结果

局部最优陷阱的处理路径改进算法的更多尝试模拟退火算法

时间最优和成本最优的权衡聚类思想的引入

对于孔群分布情况的整体认识

实际孔群加工问题

仪器及车间的最优调度问题；邮递员路径问题；车辆运输路径规划问题 ……

影响因素： 不同刀具加工成本，刀具寿命和更换成本， 过孔孔径大小要求目标函数： 加工误差最小，设备损耗最低，利润最大 ……

各种应用场合

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