第七章代数方程与最优化问题的求解

• 代数方程的求解• 无约束最优化问题的计算机求解• 有约束最优化问题的计算机求解• 整数规划问题的计算机求解

7.1 代数方程的求解7.1.1 代数方程的图解法

• 一元方程的图解法例：

>> ezplot('exp(-3*t)…*sin(4*t+2)+4*exp…(-0.5*t)*cos(2*t)-…0.5',[0 5])>> hold on, >> line([0,5],[0,0])% 同时绘制横轴

验证：>> syms t ; t=3.52028; vpa(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+…

4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5)

ans =

-.19256654148425145223200161126442e-4

• 二元方程的图解法例：

>> ezplot('x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)')

% 第一个方程曲线>> hold on

% 保护当前坐标系>> ezplot(‘x^2 *…

cos(x+y^2) +…

y^2*exp(x+y)')

• 方程的图解法仅适用于一元、二元方程的求根问题。

7.1.2 多项式型方程的准解析解法

• 例：

>> ezplot('x^2+y^2-1'); hold on % 绘制第一方程的曲线>> ezplot(‘0.75*x^3-y+0.9’) % 绘制第二方程

为关于 x 的 6 次多项式方程应有 6 对根。图解法只能显示求解方程的实根。

• 一般多项式方程的根可为实数，也可为复数。可用 MATLAB 符号工具箱中的 solve( ) 函数。

最简调用格式： S=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn) （返回一个结构题型变量 S ，如 S.x 表示方程的

根。）

直接得出根： （变量返回到 MATLAB 工作空间） [x,…]=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn)

同上，并指定变量 [x,…]=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn ，’ x,…’)

• 例：

>> syms x y;>> [x,y]=solve('x^2+y^2-1=0','75*x^3/100-y+9/10=0')x =[ -.98170264842676789676449828873194][ -.55395176056834560077984413882735-.35471976465080793456863789934944*i][ -.55395176056834560077984413882735+.35471976465080793456863789934944*i][ .35696997189122287798839037801365][ .86631809883611811016789809418650-1.2153712664671427801318378544391*i][ .86631809883611811016789809418650+1.2153712664671427801318378544391*i]y =[ .19042035099187730240977756415289][ .92933830226674362852985276677202-.21143822185895923615623381762210*i][ .92933830226674362852985276677202+.21143822185895923615623381762210*i][ .93411585960628007548796029415446][ -1.4916064075658223174787216959259-.70588200721402267753918827138837*i][ -1.4916064075658223174787216959259+.70588200721402267753918827138837*i]

• 验证>> [eval('x.^2+y.^2-1') eval('75*x.^3/100-y+9/10')]ans =[ 0, 0][ 0, 0][ 0, 0][ -.1e-31, 0][ .5e-30+.1e-30*i, 0][ .5e-30-.1e-30*i, 0] 由于方程阶次可能太高，不存在解析解。然而，

可利用 MATLAB 的符号工具箱得出原始问题的高精度数值解，故称之为准解析解。

• 例：

>> [x,y,z]=solve('x+3*y^3+2*z^2=1/2', 'x^2+3*y+z^3 =2 ' ,'x^3+2*z+2*y^2=2/4') ;

>> size(x)ans = 27 1>> x(22),y(22),z(22)ans = -1.0869654762986136074917644096117 ans = .37264668450644375527750811296627e-1ans = .89073290972562790151300874796949

验证：>> err=[x+3*y.^3+2*z.^2-1/2, x.^2+3*y+z.^3-2, x.^3+2*z+2*y.^2-2/

4];

>> norm(double(eval(err)))

ans =

1.4998e-027

• 多项式乘积形式也可，如把第三个方程替换一下。>> [x,y,z]=solve('x+3*y^3+2*z^2=1/2','x^2+3*y+z^3=2','x^3+ 2*z*y

^2=2/4');

>> err=[x+3*y.^3+2*z.^2-1/2, x.^2+3*y+z.^3-2, x.^3+2*z.*y.^2-2/4];

>> norm(double(eval(err))) % 将解代入求误差ans =

5.4882e-028

• 例：求解（含变量倒数）

>> syms x y;>> [x,y]=solve('x^2/2+x+3/2+2/y+5/(2*y^2)+3/x^3=0',... 'y/2+3/(2*x)+1/x^4+5*y^4','x,y');>> size(x)ans = 26 1>> err=[x.^2/2+x+3/2+2./y+5./(2*y.^2)+3./x.^3,y/2+3./ (2*

x)+1./x.^4+5*y.^4]; ％验证>> norm(double(eval(err)))ans = 8.9625e-030

• 例：求解（带参数方程）>> syms a b x y;>> [x,y]=solve('x^2+a*x^2+6*b+3*y^2=0','y=a+(x+3)','x,y')x =[ 1/2/(4+a)*(-6*a-18+2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b-3*a^

3)^(1/2))][ 1/2/(4+a)*(-6*a-18-2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b-3*a^

3)^(1/2))]y =[ a+1/2/(4+a)*(-6*a-18+2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b-3*

a^3)^(1/2))+3][ a+1/2/(4+a)*(-6*a-18-2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b-3*

a^3)^(1/2))+3]

7.1.3 一般非线性方程数值解• 格式： 最简求解语句 x=fsolve(Fun, x0) 一般求解语句 [x, f, flag, out]=fsolve(Fun, x0,opt, p1, p2,…) 若返回的 flag 大于 0 ，则表示求解成功，否则求

解出现问题， opt 求解控制参数，结构体数据。 获得默认的常用变量 opt=optimset;用这两种方法修改参数（解误差控制量） opt.Tolx=1e-10; 或 set(opt.‘Tolx’, 1e-10)

• 例：

自编函数：function q = my2deq(p) q=[p(1)*p(1)+p(2)*p(2)-1; 0.75*p(1)^3-p(2)+0.9];>> OPT=optimset; OPT.LargeScale='off';>> [x,Y,c,d] = fsolve('my2deq',[1; 2],OPT)Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than options.TolFun.x = 0.3570 0.9341Y = 1.0e-009 * 0.1215 0.0964

c =

1

d =

iterations: 7

funcCount: 21

algorithm: 'trust-region dogleg'

firstorderopt: 1.3061e-010 ％解回代的精度调用 inline( ) 函数：>> f=inline('[p(1)*p(1)+p(2)*p(2)-1; 0.75*p(1)^3-p(2)+0.9]','p');

>> [x,Y] = fsolve(f,[1; 2],OPT); % 结果和上述完全一致，从略。Optimization terminated successfully:

First-order optimality is less than options.TolFun.

若改变初始值 x0=[-1,0]T

>> [x,Y,c,d]=fsolve(f,[-1,0]',OPT); x, Y, kk=d.funcCountOptimization terminated successfully: First-order optimality is less than options.TolFun.x = -0.9817 0.1904Y = 1.0e-010 * 0.5619 -0.4500kk = 15

初值改变有可能得出另外一组解。故初值的选择对解的影响很大，在某些初值下甚至无法搜索到方程的解。

• 例：

用 solve( ) 函数求近似解析解>> syms t; solve(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)* cos

(2*t) - 0.5)ans =.67374570500134756702960220427474％不允许手工选择初值，只能获得这样的一个解。

可先用用图解法选取初值，再调用 fsolve( ) 函数数值计算

>> format long

>> y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t');

>> ff=optimset; ff.Display='iter'; [t,f]=fsolve(y,3.5203,ff)

Norm of First-order Trust-region

Iteration Func-count f(x) step optimality radius

1 2 1.8634e-009 5.16e-005 1

2 4 3.67694e-019 3.61071e-005 7.25e-010 1

Optimization terminated successfully:

First-order optimality is less than options.TolFun.

t =

3.52026389294877

f =

-6.063776702980306e-010

• 重新设置相关的控制变量，提高精度。>> ff=optimset; ff.TolX=1e-16; ff.TolFun=1e-30;>> ff.Display='iter'; [t,f]=fsolve(y,3.5203,ff)

Norm of First-order Trust-region Iteration Func-count f(x) step optimality radius 1 2 1.8634e-009 5.16e-005 1 2 4 3.67694e-019 3.61071e-005 7.25e-010 1 3 6 0 5.07218e-010 0 1Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than options.TolFun.t = 3.52026389244155f = 0

7.2 无约束最优化问题求解 7.2.1 解析解法和图解法

• 例：

>> syms t; y=exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5;

>> y1=diff(y,t);

% 求取一阶导函数>> ezplot(y1,[0,4])

% 绘制出选定区间内一阶导函数曲线

>> t0=solve(y1) % 求出一阶导数等于零的点t0 =

1.4528424981725411893375778048840

>> y2=diff(y1); b=subs(y2,t,t0) % 并验证二阶导数为正 b =

7.8553420253333601379464405534591

>> t=0:0.4:4;y=exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5;

>> plot(t,y)

7.2.2 基于 MATLAB 的数值解法

• 例：

>> f=inline('(x(1)^2-2*x(1))*exp(-x(1)^2-x(2)^2-x(1)*x(2))','x');>> x0=[0; 0]; ff=optimset; ff.Display='iter';>> x=fminsearch(f,x0,ff) Iteration Func-count min f(x) Procedure 1 3 -0.000499937 initial 2 4 -0.000499937 reflect 72 137 -0.641424 contract outsideOptimization terminated successfully: x = 0.6111 -0.3056

>> x=fminunc(f,[0;.0],ff) Directional Iteration Func-count f(x) Step-size derivative 1 2 -2e-008 0.001 -4 2 9 -0.584669 0.304353 0.343 3 16 -0.641397 0.950322 0.00191 4 22 -0.641424 0.984028 -1.45e-008 x = 0.6110 -0.3055 比较可知 fminunc() 函数效率高于 fminsearch() 函

数，故若安装了最优化工具箱则应调用 fminunc() 函数。

7.2.3 全局最优解与局部最优解• 例：

>> f=inline('exp(-2*t).*cos(10*t)+exp(-3*(t+2)).*sin(2*t)','t'); % 目标函数>> t0=1; [t1,f1]=fminsearch(f,t0); [t1 f1]ans = 0.9228 -0.1547>> t0=0.1; [t2,f2]=fminsearch(f,t0); [t2 f2]ans = 0.2945 -0.5436

>> syms t; y=exp(-2*t)*cos(10*t)+exp(-3*(t+2))*sin(2*t);

>> ezplot(y,[0,2.5]); set(gca,‘Ylim’,[-0.6,1]) ％ 在 t[0,2.5] 内的曲线

>> ezplot(y,[-0.5,2.5]); set(gca,‘Ylim’,[-2,1.2]) ％在 [-0.5,2.5] 曲线>> t0=-0.2; [t3,f3]=fminsearch(f,t0); [t3 f3]

ans =

-0.3340 -1.9163

7.2.4 利用梯度求解最优化问题

• 例：

>> [x,y]=meshgrid…

(0.5:0.01:1.5); …

z=100*(y.^2-x).^2…

+(1-x).^2;

>> contour3(x,y,z,100),

set(gca,'zlim',[0,310])

% 测试算法的函数

>> f=inline('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2','x');

>> ff=optimset; ff.TolX=1e-10; ff.TolFun=1e-20; ff.Display='iter';

>> x=fminunc(f,[0;0],ff)

Warning: Gradient must be provided for trust-region method;

using line-search method instead.

Directional

Iteration Func-count f(x) Step-size derivative

1 2 1 0.5 -4

44 202 3.01749e-012 3.40397e-009 -1.77e-013

x =

1.00000173695972

1.00000347608069

％求梯度向量 ( 比较引入梯度的作用，但梯度的计算也费时间）>> syms x1 x2; f=100*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2;>> J=jacobian(f,[x1,x2])J =[ -400*(x2-x1^2)*x1-2+2*x1, 200*x2-200*x1^2]function [y,Gy]=c6fun3(x) ％目标函数编写： y=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; % 目标函数 Gy=[-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2+2*x(1); 200*x(2)-200*x(1)^2]; % 梯度>> ff.GradObj='on'; x=fminunc('c6fun3',[0;0],ff) Norm of First-order Iteration f(x) step optimality CG-iterations19 6.38977e-029 2.12977e-012 1.6e-014 1x = 0.99999999999999 0.99999999999998

7.3 有约束最优化问题的计算机求解 6.3.1 约束条件与可行解区域

• 有约束最优化问题的一般描述：

对于一般的一元问题和二元问题，可用图解法直接得出问题的最优解。

1 2

min ( )

. . ( ) 0

[ , , , ]Tn

f x

s t G x

x x x x

• 例：用图解方法求解：>> [x1,x2]=meshgrid(-3:.1:3); % 生成网格型矩阵>> z=-x1.^2-x2; % 计算出矩阵上各点的高度>> i=find(x1.^2+x2.^2>9); z(i)=NaN;

% 找出 x1^2+x2^2>9 的坐标，并置函数值为 NaN

>> i=find(x1+x2>1); z(i)=NaN; % 找出 x1+x2>1 的坐标 , 置为 NaN

>> surf(x1,x2,z); shading interp;

>> max(z(:)), view(0,90)

ans =

3

21 2

2 21 2

1 2

max ( )

9. .

1

x x

x xs t

x x

7.3.2 线性规划问题的计算机求解

• 例：求解

>> f=-[2 1 4 3 1]'; A=[0 2 1 4 2; 3 4 5 -1 -1];

>> B=[54; 62]; Ae=[]; Be=[]; xm=[0,0,3.32,0.678,2.57];

>> ff=optimset; ff.LargeScale='off'; % 不使用大规模问题求解

>> ff.TolX=1e-15; ff.TolFun=1e-20; ff.TolCon=1e-20; ff.Display='iter';

>> [x,f_opt,key,c]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,[],[],ff)

Optimization terminated successfully.x = 19.7850 0.0000 3.3200 11.3850 2.5700f_opt = -89.5750key = 1 ％求解成功c = iterations: 5 algorithm: 'medium-scale: activeset' cgiterations: []

• 例：求解

>> f=[-3/4,150,-1/50,6]'; Aeq=[]; Beq=[];>> A=[1/4,-60,-1/50,9; 1/2,-90,-1/50,3]; B=[0;0];>> xm=[-5;-5;-5;-5]; xM=[Inf;Inf;1;Inf]; ff=optimse

t;>> ff.TolX=1e-15; ff.TolFun=1e-20; TolCon=1e-20;

ff.Display='iter';>> [x,f_opt,key,c]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,xm,xM,

[0;0;0;0],ff)

Residuals: Primal Dual Upper Duality Total Infeas Infeas Bounds Gap Rel A*x-b A'*y+z-w-f {x}+s-ub x'*z+s'*w Error ------------------------------------------------------------- Iter 0: 9.39e+003 1.43e+002 1.94e+002 6.03e+004 2.77e+001 Iter 1: 6.38e-012 1.21e+001 0.00e+000 3.50e+003 1.78e+000 Iter 10: 0.00e+000 6.15e-026 0.00e+000 1.70e-024 4.10e-028Optimization terminated successfully.x = -5.0000 -0.1947 1.0000 -5.0000f_opt = -55.4700key = 1c = iterations: 10 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol'

7.3.3 二次型规划的求解

• 例：求解

>> f=[-2,-4,-6,-8]; H=diag([2,2,2,2]);

>> OPT=optimset; OPT.LargeScale='off'; % 不使用大规模问题算法

>> A=[1,1,1,1; 3,3,2,1]; B=[5;10]; Aeq=[]; Beq=[]; LB=zeros(4,1);

>> [x,f_opt]=quadprog(H,f,A,B,Aeq,Beq,LB,[],[],OPT)

Optimization terminated successfully.

x =

0.0000 0.6667 1.6667 2.6667

f_opt =

-23.6667 ％（解的目标值应为 30＋（ -23.6667 ）＝ 6.3333)

6.3.4 一般非线性规划问题的求解

• 例：求解

目标函数：function y=opt_fun1(x) y=1000-x(1)*x(1)-2*x(2)*x(2)-x(3)*x(3)-x(1)*x(2)-x(1)

*x(3);非线性约束函数： function [c,ceq]=opt_con1(x) ceq=[x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+x(3)*x(3)-25; 8*x(1)+14*x

(2)+7*x(3)-56]; c = [];

>> ff=optimset; ff.LargeScale='off'; ff.Display='iter';

>> ff.TolFun=1e-30; ff.TolX=1e-15; ff.TolCon=1e-20;

>> x0=[1;1;1]; xm=[0;0;0]; xM=[]; A=[]; B=[]; Aeq=[]; Beq=[];

>> [x,f_opt,c,d]=fmincon('opt_fun1',x0,A,B,Aeq,Beq,xm,xM, 'opt_con1',ff)；

>> x, f_opt, kk=d.funcCount

x =

3.5121

0.2170

3.5522

f_opt =

961.7152

kk = % 目标函数调用的次数 108

• 简化非线约束函数function [c,ceq]=opt_con2(x) ceq=x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+x(3)*x(3)-25; c = [];求解：>> x0=[1;1;1]; Aeq=[8,14,7]; Beq=56;>> [x,f_opt,c,d]=fmincon('opt_fun1',x0,A,B,Aeq,Beq,xm,xM, 'opt_con2',

ff); max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure 1 11 955.336 22.9 0.25 -295 18.3 infeasible21 116 961.715 0 1 -6.3e-015 6.97e-005 Hessian modified twic

e Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolConActive Constraints: 1 2

>> x, f_opt, kk=d.funcCount % 从略（计算结果同上一样）

• 例：利用梯度求解

梯度函数：>> syms x1 x2 x3; f=1000-x1*x1-2*x2*x2-x3*x3-x1*x2-x1*x3;>> J=jacobian(f,[x1,x2,x3]) J =[ -2*x1-x2-x3, -4*x2-x1, -2*x3-x1]

改写目标函数： function [y,Gy]=opt_fun2(x) y=1000-x(1)*x(1)-2*x(2)*x(2)-x(3)*x(3)-x(1)*x(2)-x(1)*x(3); Gy=-[2*x(1)+x(2)+x(3); 4*x(2)+x(1); 2*x(3)+x(1)];

>> x0=[1;1;1]; xm=[0;0;0]; xM=[]; A=[]; B=[]; Aeq=[]; Beq=[];>> ff=optimset; ff.GradObj=‘on’; ％若知道梯度函数 ff.Display='iter'; ff.LargeScale='off';>> ff.TolFun=1e-30; ff.TolX=1e-15; ff.TolCon=1e-20;>> [x,f_opt,c,d]=fmincon('opt_fun2',x0,A,B,Aeq,Beq,xm, xM,'opt_c

on1',ff);>> x,f_opt,kk=d.funcCountx = 3.5121 0.2170 3.5522f_opt = 961.7152kk = 95

7.4 整数规划问题的计算机求解 7.4.1 整数线性规划问题的求解

A 、 B 线性等式和不等式约束，约束式子由 ctype 变量控制， intlist为整数约束标示， how＝ 0 表示结果最优， 2 为无可行解，其余失败。

min

.

ˆ

T

eq eq

m M

f x

Ax B

A x Bs t

x x x

x

为整数

• 例：

>> f=-[2 1 4 3 1]'; A=[0 2 1 4 2; 3 4 5 -1 -1]; intlist=ones(5,1);

>> B=[54; 62]; ctype=[-1; -1]; xm=[0,0,3.32,0.678,2.57]; xM=inf*ones(5,1);

>> [res,b]=ipslv_mex(f,A,B,intlist,xM,xm,ctype) % 因为返回的 b=0 ，表示优化成功

res =

19 0 4 10 5

b =

0

>> [x1,x2,x3,x4,x5]=ndgrid(1:20,0:20,4:20,1:20,3:20);

>> i=find((2*x2+x3+4*x4+2*x5<=54) & (3*x1+4*x2+5*x3-x4-x5<=62));

>> f=-2*x1(i)-x2(i)-4*x3(i)-3*x4(i)-x5(i); [fmin,ii]=sort(f);

>> index=i(ii(1)); x=[x1(index),x2(index),x3(index),x4(index),x5(index)]

x =

19 0 4 10 5

％当把 20 换为 30 ，一般计算机配置下实现不了，故求解整数规划时不适合采用穷举算法。

次最优解>> fmin(1:10)'ans = -89 -88 -88 -88 -88 -88 -88 -88 -87 -87>> in=i(ii(1:4));x=[x1(in),x2(in),x3(in),x4(in),x5(in),fmin(1:4)]x = 19 0 4 10 5 -89 18 0 4 11 3 -88 17 0 5 10 4 -88 15 0 6 10 4 -88

>> intlist=[1,0,0,1,1]; ％混合整数规划>> [res,b]=ipslv_mex(f,A,B,intlist,xM,xm,ctype)res = 19.0000 0 3.8000 11.0000 3.0000b = 0

7.4.2 一般非线性整数规划问题与求解

err字符串为空，则返回最优解。该函数尚有不完全之处，解往往不是精确整数，

可用下面语句将其化成整数。

• 例：

function f=c6miopt(x)f=-[2 1 4 3 1]*x;

>> A=[0 2 1 4 2; 3 4 5 -1 -1]; intlist=ones(5,1); Aeq=[]; Beq=[];>> B=[54; 62]; ctype=[-1; -1];>> xm=[0,0,4,1,3]'; xM=20000*ones(5,1); x0=xm;>> [errmsg,f,X]=bnb20('c6miopt',x0,intlist,xm,xM,A,B,Aeq,Beq);

X=X'X = 19.0000 0 4.0000 10.0000 5.0000

>> intlist=[1,0,0,1,1]';

>> xm=[0,0,3.32,1,3]';

>>[errmsg,f,X]=bnb20('c6miopt',x0,intlist,xm,xM,A,B,Aeq,Beq); X

X =

19.0000

0

3.8000

11.0000

3.0000

• 例：

编写函数：function y=c7fun1(x)y=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(4.5543-x(1))^2;>> x0=[1;1]; xm=-100*[1;1]; xM=100*[1;1];>> A=[]; B=[]; Aeq=[]; Beq=[]; intlist=[1,1]';>> [errmsg,f,x]=bnb20('c6fun1',x0,intlist,xm,xM,A,B, Aeq,

Beq); x'ans = 5.00000000000000 25.00000001055334

>> if length(errmsg)==0, x=round(x), end; x=x';x = 5 25％缩小范围。>> xm=-20*[1;1]; xM=20*[1;1];>> [errmsg,f,x]=bnb20('c6fun1',x0,intlist,xm,xM,A,B,Aeq,Beq); x‘ans = 4 16％扩大范围用穷举法得出相同的解。>> [x1,x2]=meshgrid(-200:200); >> f=100*(x2-x1.^2).^2+(4.5543-x1).^2;>> [fmin,i]=sort(f(:)); x=[x1(i(1)),x2(i(1))]x = 5 25

7.4.3 0-1 规划问题求解

MATLAB 7.0 版本提供的 0-1 线性规划问题

当然也可以用前面的函数求解

• 例：

>> f=[-3,2,-5]; A=[1 2 -1; 1 4 1; 1 1 0; 0 4 1]; B=[2;4;5;6];

>> x=bintprog(f,A,B,[],[])'

>> [x1,x2,x3]=meshgrid([0,1]);>> i=find((x1+2*x2-x3<=2) & (x1+4*x2+x3<=4) & (x1+x2<=3) &

(4*x1+x3<=6));>> f=-3*x1(i)+2*x2(i)-5*x3(i); [fmin,ii]=sort(f);>> index=i(ii(1)); x=[x1(index),x2(index),x3(index)]x = 1 0 1% 还可以列出所有的可行解>> x=[x1(i(ii)),x2(i(ii)),x3(i(ii))]; [x fmin] ans = 1 0 1 -8 0 0 1 -5 1 0 0 -3 0 0 0 0 0 1 0 2

• 例：

>> f=[-3,2,-5]; xm=[0;0;0]; xM=[1;1;1]; intlist=[1;1;1];>> A=[1 2 -1; 1 4 1; 1 1 0; 0 4 1]; B=[2;4;5;6]; ctype=-1*ones(4,1);>> [res,b]=ipslv_mex(f,A,B,intlist,xM,xm,ctype)res = 1 0 1b = 0