第五章图与网络分析

第五章图与网络分析第五章图与网络分析

第一节图的基本概念第一节图的基本概念第二节最小树问题第二节最小树问题第三节最短路径问题第三节最短路径问题第四节最大流问题第四节最大流问题第五节最小费用流问题第五节最小费用流问题第六节网络计划（统筹法）第六节网络计划（统筹法）

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1. 了解图论的基本概念，会求最小树和最短路。2. 熟练绘制简单的网络图，掌握工序时间参数

的确定方法及各种时间参数的计算。3. 掌握网络图的优化与调整，会缩短总工期，

实现时间——费用——资源的优化配置。

【学习重点】

图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。


随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到工程技术人员和经营管理人员的重视。


1736 年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。


B

A

C

D

当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有成功。


为了寻找答案， 1736 年欧拉把陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个问题抽象成图形的一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。


B

A

C

D


在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。

例有六支球队进行足球比赛，我们分别用点 v1

…v6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已知 v1 队战胜 v2 队， v2 队战胜 v3队， v3 队战胜 v5 队，如此等等。这个胜负情况，可以用下图所示的有向图反映出来。

第一节图的基本概念第一节图的基本概念

vv33

vv11

vv22 vv44

vv66

vv55


从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究对象 ,用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。由于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上是不同的。


图论中所研究的图，是指反映或描述自然界或人类社会中，大量的事物及事物之间关系的图形。是由点和线组成的由点和线组成的。点称为顶点点称为顶点，它的集合用 V 表示，顶点通常表示有形或无形的事物。线称为边线称为边，它的集合用 E 表示，边通常表示事物与事物（点与点）之间的联系或特定的关系。

一、图的定义一、图的定义


例例 11 某地区有五个镇 A 、 B 、 C 、D 、 E 它们之间有公路相通的情况如图所示。


在图论中，我们只关心两点间是否有联系，至于公路的大小、等级、状况均无关紧要，亦即不考虑线段（边）的长度，点的位置带有随意性，它们并不按比例尺画，如五个镇之间的连接图也可画成右图表示。

A

BC D

E


定义定义 11：一个图是由点集 V={vi } 和 V 中元素

的无序对集 E={ ek } 所构成的二元组，记作： G =

（ V ， E ），其中 vi 称为顶点， ek 称为边。 |V

| 表示顶点个数， |E | 表示边的个数 . 当 V 和 E

都是有限集合时， G 为有限图，否则，称为无限图。本书只论及有限图。边是点集中元素的无序对时，称为无向图，否则称为有向图。例如下面图 5-3 ，即为无向图 .


无向图 G = （ V ， E ）其中：V ＝｛ v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5｝ E ＝｛ e1 、 e2 、 e3 、 e4 、 e5 、 e6 、 e

7｝并且： e 1 ＝（ v1 、 v2 ） e 2＝（ v1 、 v2 ） e 3 ＝（ v1 、 v3 ） e 4 ＝（ v1 、 v4 ） e 5 ＝（ v3 、 v4 ） e 6 ＝（ v3 、 v3 ） e 7 ＝（ v2 、 v5 ）


关联边关联边：：和同一个顶点相连的边，均称为该点的关联边，如图 5-4中的e24 、 e34 、 e45均是 v4的关联边。

相邻点相邻点：：一条边的两个顶点，称为相邻点，如 v2

与 v4， v4与 v5等是相邻点，而 v2 与 v5则不是。


图 5-4


环与多重边环与多重边：：两个顶点相同的边称为环，如 e22 ，两个顶点之间的边数≥ 2时 ,叫多重边 ,如 e13 ,e’13

就是二重边。

图 5-4

二重边二重边

环环

次次：：一个顶点 v具有关联边的总数称为该顶点的次，记作 d(v) （每个环视作两条边），如图 5-4。

d(v1)= 3 ， d(v2)= 4，

d(v5)= 1 。

把次为奇数的顶点称为奇顶点，次为偶数的顶点称为偶顶点。

图 5-4



悬挂点与孤立点悬挂点与孤立点：次为 1 的顶点称为悬挂点，如 v5 。次为 0的顶点称为孤立点，如 v6 。

图 5-4v

6

孤孤立立点点

悬悬挂挂点点

简单图简单图：：无环、无多重边的图称为简单图，如图 5-4(a)、(b)、 (c)，后面如无特殊说明，均指简单图。


子图与支撑子图子图与支撑子图：：在图 G=(V ， E) 中，若 V1V ， E1E ，则图 G1=(V1 、 E1)称为 G 的子图，如图 5-4中的 (b)就是 (a) 的子图。特别地： V1=V ， E1E时，称 G1 是 G 的支撑子图(生成子图）。如图 5-4中 (c) 、 (b) 都是 (a) 的支撑图。


定理定理 11 在任何图中顶点次数总和等于边数的 2倍。

定理定理 22 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。即奇顶点必有偶数个。


例例 22 某产品鉴定会上，到了 15名专家，若每人至少握手 3 次，则至少有一个人握手超过 3 次。

二、连通图二、连通图

定义定义 22 无向图 G=(V ， E) 中，称某些点及其关联边的交替序列 {v1 e1 v2 e2 … en-1 vn } 为从 v1 到 vn 的一

条链， v1 、 vn 分别称为链的始点和终点，链长为 n 。

若一条链的始点与终点重合，则称为闭链 ( 在无向图中闭链又称为回路），否则，称为开链。点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称为简单链。点边序列中若既没有重复的点也无重复的边，则称为初等链（也称为通路）。

例如在图 5-5 中： S={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3} 是一

条连接 v6 、 v3 的链，链长为 6.

S1={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4 e4 v3} 是一条连接 v6 、 v3 的简单

链，链长为 5.

S2={v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}

是一条连接 v6 、 v3

的初等链。 e1

e2 e3

e4e6

e7 e8

e9

e10

v1 v2

v3

v4v5

v6

e5


图图 5-55-5

连通的连通的在无向图中，若顶点 vi 与 vj 之间存在链，

则称 vi 与 vj 是连通的。

规定：规定： vi 与自身是连通的

连通图连通图若无向图 G 中的任意两个顶点都是连通的，

则称 G 是连通图，否则称 G 是非连通图。


3. 网络

一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一个网络．网络一般是连通图．定义在边集上的实函数称为边的权数记为

wij＝ w (vi ， vj)

它与边 (vi ， vj)具有一一对应关系，可以用以表达网络上的各种有关性质，如路长、流量、费用等等．网络的图解即在每条边旁标上相应的权数．

若一网络的每条边都是无向边，则称为无向网络，记为

N＝ (G ， w ) 或 N＝ (V ， E )

若一网络的每条边都是有向边，则称为有向网络，记为

N＝ ( D ， w ) 或 N＝ ( V ，A )

若一网络中既有无向边，也有有向边，则称为混合网络．

所谓网络分析，即对网络进行定性和定量分析，以便为实现某种优化目标而寻求最优方案．这方面的典型问题有：最小树问题，最短路问题，中心问题，重心问题，最大流问题，最小费用最大流问题，网络计划问题，等等．

3. 网络

第二节最小树问题第二节最小树问题

一、树的基本概念一、树的基本概念

在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用价值的图，这就是树。

例例 33 已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。

如果用六个点 v1 … v6 代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是连通图。并且，这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图 5-6 是一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。


图 5-6v6

v3

v4

v2

v5

v1


无圈且连通的无向图称为树．树一般记为 T．作为树定义还可以有以下几种表述：

(1) T 连通且无圈或回路；(2) T 无圈且有 n－ 1 条边（如果有 n 个结点）；(3) T 连通有 n－ 1 条边；(4) T 无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边，恰得一个圈；(5) T 连通，但去掉 T 的任意一条边， T 就不连通了；（亦即，在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图。）(6) T 的任意两个结点之间恰有一条初等链．

1．树


定义定义 33 设图 K=(V, E I ) 是图 G=(V, E ) 的一支撑子图 ,如果图 K=(V, EI ) 是一个树 , 那么称 K 是 G 的一个支撑树或生成树。例如 ,图 5-7b 是图 5-7a 的一个支撑树。

图 5-7

v6

v5

v2

v3

v4

v1

a

2. 支撑树

v6

v5

v2

v3

v4

v1

b

定理定理 33 一个图 G有支撑树的充要条件是 G是连通图。寻找连通图支撑树的方法有“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。

2. 支撑树

例 4 用破圈法求出下图的一个支撑树。

v5v4

v2

v3

v1

e6

e5

e4

e3

e2

e1e7

e8

取一个圈 (v1 ,v2 ,v3 ,v1 ) ，在一个圈中去掉边 e3 。在剩下的图中，再取一个圈（ v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ），去掉边 e4 。再从圈（ v3 ,v4 ,v5 ,v3 ）中去掉边 e6 。再从圈 (v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v3 ,v1 ）中去掉边 e7 ，这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。

2. 支撑树

v5

v4

v2

v3

v1

e6

e5

e4e3

e2

e1e7

e8

v2e1

e2 e5

e8v1

v3

v4v5

11．最小生成树．最小生成树

二、最小生成树及其算法二、最小生成树及其算法

一个网络图可以有多个生成树．记 N 的所有生成树的集合为： T ＝ { Tk | k ＝ 1 ， 2 ，…， L }

设 Tk ＝（ V ， Ek ）是网络图 N ＝（ G ， w ）的一棵生成树，则边集 Ek 中所有边的权数之和称为树 Tk 的权数，记为

kTT

Eek

TwTwTT

ewTw

k

k

min，使若

则称 T * 为网络 N 的一棵最小生成树，简称最小树．

a

b

f

d

e

c

22

4 2

5

63

4

5

最小树

比如，城市间交通线的建造等，可以归结为这一类问题。

再如前面例 3 ，在已知的几个城市之间联结电话线网，要求总长度最短和总建设费用最少，这类问题的解决都可以归结为最小树问题。

11．最小生成树．最小生成树

定理 4 　如果把网络的点集分割成两个不相交的非空集合和，则联结和的最小边必包含于 N

的最小树内．

根据定理 4，可以给出求最小树的两种方法，这就是避圈法与破圈法，分述如下：

22．最小树的求法．最小树的求法

(1)(1) 避圈法：避圈法：从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，使之于以选边不构成为圈，直到选够 n-1 条边为止。

例例

最小树，权为 13

v1 4 v2 1 v3

1 2 3 1

v84

v0

4v4

52 4

5

v7 3 v62 v5

1

5

从网络中任选一点


v1 4 v2 1 v3

1 2 3 1

v84

v0

4 v4

52 4 5

v7 3 v62 v5

1

5

(2)(2) 破圈法：破圈法： ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数最大的边；反复重复 ① ② 两步，直到最小树。


第三节最短路径问题第三节最短路径问题

最短路径问题是图论中十分重要的最优化问题之一，它作为一个经常被用到的基本工具，可以解决生产实际中的许多问题，比如城市中的管道铺设，线路安排，工厂布局，设备更新等等。也可以用于解决其它的最优化问题。

例 5 如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从 v1 出发，经过这个交

通网到达 v6 ，

要寻求总路程最短的线路。

v6

v5v3

v1

v4v2

3

6

5

1

1

24

3

6


从 v1 到 v6 的路线是很多的。比如从 v1 出发，

经过 v2 ,v4 到达 v6 或者从 v1 出发，经过 v2 ， v

3 ， v5 到达 v6 等等。但不同的路线，经过的总

长度是不同的。例如，按照第一个线路，总长度是 3+6+3=12单位，按照第二个路线，总长度是 3+1+1+6=11单位。



一、基本概念一、基本概念

给定一个赋权有向图 D＝ ( V ， A ) ,对每一条弧 aij＝ w (vi ， vj) ，相应地有权 w (aij )= wij ，又有两点 vs 、 vt ∈V,设 p 是 D 中从 vs 到 vt 的一条路，路 p 的权是 p 中所有弧的权之和 , 记为 w

(p)．最短路问题就是求从 vs 到 vt 的路中一条权最小的路 p*: pwpw

pmin


下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路的方法——双标号法（双标号法（ Dijkstra 算法），它是在 1959年提出来的。目前公认，在所有的权 wij ≥0

时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点vs 到任意一个点 vj 的最短路。

二、最短路问题的算法二、最短路问题的算法


例 6 求 v1 到 v6 的最短路。

++∞∞ ++∞∞

++∞∞ ++∞∞

++∞∞

（ 1 ）首先给 v1 以 P标号， P(v1) ＝ 0，给其余所有点 T标号， T(vj) ＝＋∞（ j = 2 ， 3 ，… 6)

(0)(0) P标号以（）形式标在结点旁边， T标号以不带（）的数字标在结点旁边 .

v6

v5v3

v1

v4v2

3

6

5

1

1

24

3

6


P(v2 )= 33

（ 3）

55

P(v3 )= 44

（ 4）

++∞∞

++∞∞

v6

v5v3

v1

v4v2

3

6

5

1

1

24

3

6

++∞∞

++∞∞

++∞∞(0)(0)

9

（ 2 ）考察 v1: T(v2)=min [T(v2)， P(v1) +a12] ＝min [∞， 0＋ 3] = 3T(v3)=min [T(v3)， P(v1) +a13]＝min [∞， 0＋ 5] = 5所以， P(v2 )= 33

（ 3 ）考察 v2:T(v3)=min [T(v3)， P(v2) +a2

3]＝min [5， 3＋ 1] = 4T(v4)=min [T(v4)， P(v2) +a2

4]＝min [∞ ， 3＋ 6] = 9所以， P(v3)=44

T(v3 )= 55

T(v4)= 99


P(v5)= 55

（ 3）

（ 4）

v6

v5v3

v1

v4v2

3

6

5

1

1

24

3

6

++∞∞

++∞∞(0)(0)

9

（ 5）

T(v4)= 88 （ 4）考察 v3: T(v5)=min [T(v5)， P(v3) +a35]＝min [∞， 4＋ 1] = 5T(v4)=min [T(v4)， P(v3) +a34]＝min [9， 4＋ 4] = 8所以， P(v5)= 55

（ 5）考察 v5:T(v6)=min [T(v6)， P(v5) +a56]＝min [∞， 5＋ 6] = 11T(v4)=min [T(v4)， P(v5) +a54]＝min [8， 5＋ 2] = 7所以， P(v4)= 77

8

T(v6)=

1111

11

（ 7）

P(v4)= 77


（ 3）

（ 4）

v6

v5v3

v1

v4v2

3

6

5

1

1

24

3

6

1111(0)(0)

（ 5）

（ 7）

（ 6 ）考察 v4:T(v6)=min [T(v6)， P(v4) +a46]＝min [11， 7＋ 3] = 10所以， P(v6)= 1010

所有点都标上 P 标号．

P(v6)= 10 10

(10)(10)(7) 标出最短路

v1 到 v6 的最短路可从 v1开始，根据永久性标号数值回溯得到．

(7) 标出最短路最短路径是： v1→v2→v3→v5→v4→v6 ，路长 10．同

时得到，到其余各点的最短路，即各点的永久性标号P（ vi ）．

注意：双标号法只适用于所有 wij ≥0的情形，当赋权有向图中存在负权时，则算法失效．

（ 3）

（ 4）

v6

v5v3

v1

v4v2

3

6

5

1

1

24

3

6

(0)(0)

（ 5）

（ 7）

(10)(10)


小结小结

第一节图的基本概念第一节图的基本概念第二节最小树问题第二节最小树问题第三节最短路径问题第三节最短路径问题

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规划教材 P162 3

P163 5 （ 1 ）

作业

第五章 图与网络分析

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