第五章 二次型
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第五章 二次型. 学时： 10 学时。 教学手段： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。 教学目的： 1 、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。 2 、会化二次型为标准型，规范性。 3 、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。 本章的重点和难点： 重点：化二次型为标准型，规范性 。 难点：正定二次型。. 5.1 二次型的矩阵表示. 一 问题提出. 平面解析 一次曲线： Ax + By + C = 0 ( 直线 ) ； - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
高等代数
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二次型
第五章 二次型 学时： 10 学时。 教学手段：
讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的：
基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。 教学目的： 1 、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。 2 、会化二次型为标准型，规范性。 3 、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。
本章的重点和难点： 重点：化二次型为标准型，规范性 。 难点：正定二次型。
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5.1 二次型的矩阵表示
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一 问题提出 平面解析 一次曲线： Ax + By + C = 0 ( 直线 ) ； 二次曲线： Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F → 经平移变换化成为 au2 + buv + cv2 = d → 经旋转变换化成为a/x/2 + b/y/2 = d/ ( 二次齐次多项式 ) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 ( 平面 ) ； 二次曲面： （平移后不含一次项）→Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19 世纪上半期表
示方法 ) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类
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更一般的问题： 数域 P 上含 n 个变量 x1,x2,…,xn 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是 18 世纪中期提出的一个课题 → 本章中心问题 :
n 元二次型化标准型（平方和）的问题 .
二、二次型的概念及性质1. 定义 1 数域 P 上 n 元二次齐次多项式（ 近代表示式） f (x1, x2, …, xn) = a11x1
2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn
+ a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2nx2xn
+ a33 x32 + …+ 2a3n x3xn
……………
+ ann xn2
称为 P 上 n 元二次型 ，简称二次型；当 P = R 时，为实二次型 、 当 P = C 时，为复二次型 .
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*1 f (x1, x2, …, xn) 是 Pn→P 的 n 元函数；*2 f (x1, x2, …, xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + … + a1nx1xn
+ a21x2x1 + a22x2x2 + … + a2nx2xn
……………………………
+ an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxnxn =
11 12 1 1
21 22 2 2 /1 2
1 1
1 2
1 2 1
2
2
1
, , , X AX
( , , , ) ( , ,
A ( ), ( , 1, 2, ,
,
), X
A A r A
n
n nn
ij i j ni j
n n nn n
ij i
n
n
ij j
x
x
a a a x
a a a xa x x x x
a a a i j n
x
x
a a a x
f x x x f x x
其中
的矩阵
且
称 为 ， 的秩 ( )称为 )nx 的秩.
f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + … + 2a1nx1xn
+ a22x22 + … + 2a2nx2xn
………… + annxn
n .
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*3 性质： 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX 中，矩阵 A 为对称矩阵；
2 ）把一阶矩阵 A = (a) 看成数 a, 则一元二次型 f (x) = a11x1
2 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX ；
3) 数域 P 上， f (x1, x2, …, xn) 与 n 阶对称矩阵一一对应 .
证明分析： 由 *2 可知，任一二次型都对应某对称矩阵 A ，即 *2 给出对应法则 σ ： f (x1, x2, …, xn) →A . 设 f (x1, x2, …, xn) 在 σ 下对
应的对称矩阵为 A ， B ，即 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = X/BX ，故知
A = B ，即 σ 是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射 . 设 A 是数域 P 上任一 n 阶对称矩阵，则 X/AX 的展开式显然是数域P 上的 n 元二次型，即σ是满射，而σ为单射则是显然的，故σ是双射 . □
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2 线性替换 平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般方程为 ax2 + 2bxy + cy2 = f ( 例： 13x2 – 10xy +13y2 = 72), 将坐标轴逆时针旋转 θ0 ( 例： 450), 即有坐标旋转公式
/ /
/
/ /
/
/
/
2 2
cos 45 sin 45( )
sin
cos sin
sin
45 cos 45
4x 9y 36
cos
x x y
x x y
y x
y x
y
y
/ /
将 标
→ 称 转（ =
为+ ）
线 换
代入原方程， 其化成 准方程
如上旋 式 性替公 .
y y / x/
x
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定义 2 将变量 x1, x2, …, xn 用 y1, y2, …, yn 线性表示的变换
称为由 x1, x2, …, xn 到 y1, y2, …, yn 的线性替换（简称变量的线性替换） .
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
1(, 1, 2, ,
, , 1, 2, ,
4) ( )
n n
n n
n
n
i ij jj
ijn n nn n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y i n
c P i j n
*1 线性替换的矩阵表示： X = CY ， C 称为线性替换 (4) 的矩阵；当 C 可逆时，称 (4) 为非退化（可逆）线性替换； C 不可逆时，称(4) 为退化（非可逆）线性替换，其中
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
C , X , Y .
n
n
n n nn n n
c c c x y
c c c x y
c c c x y
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
X CY
n
n
n n n nn n
x c c c y
x c c c y
x c c c y
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*2 性质： 4) 若 C 可逆，则 X = CY 是可逆线性替换，且 Y = C － 1X 也是可逆
的线性替换； 5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换
X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC .
证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY.
由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次型，且 B = C/AC 成立 . □
6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质 5的推论）证明： 如 5), 在线性替换 X = CY 下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY
→ B = C/AC , C 可逆 → A ， B 的秩相同，即二次型 X/AX 与 Y/BY
的秩相同 → 题设结论成立 . □
性质 5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 →
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三 矩阵的合同关系定义 2 数域 P 上 n 阶矩阵 A ， B 称为合同的，如果存在 P 上的 n
阶可逆矩阵 C ，使得 B = C/AC .
*1 合同的性质： 7) 矩阵合同是 Mn(P) = {A│A 为 P 上 n 阶矩阵 } 上的等价关系 , 即
(1) 合同具有自反性 （ A = E/AE ，即 A 与 A 合同 ）； (2) 合同具有对称性 （ B = C/AC → A = (C － 1)/BC － 1 ）； (3) 合同具有传递性 （ A1 = C1
/AC1， A2 = C2/A1C2 →
A2 = C2/ (C1
/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ） .
8) 线性替换 X = CY 下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因 B = C/AC,
故： X = CY 为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY 的矩阵合同 ;
→ 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；
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9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵 . 证明： 9) 设 A, B 合同，即 B = C/AC, 且 C 可逆，故 A, B 同秩 . 10) 设 A/ = A ， B = C/AC ， C 可逆→ B/ = (C/AC)/ = C/AC = B. □*2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即
C 为可逆矩阵）？ 事实上，当 X = C/ Y 是非退还的线性替换时， 可得 Y = C － 1X成立， 故原二次型 X/AX 与变换后的二次型 Y/BY 是可
以互化的，这样就使我们从变换所得二次型 Y/BY 的性质可以推知原来二次型 X/AX 的性质 .
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5.2 标准型 中心问题：
讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，即平方和的形式：
d1x12 + d2x2
2 + … + dnxn2
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证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳 .
n = 1 ： f (x1) = a11x12, 已是 (1) 的形式，命题成立 .
假定 n － 1 时命题成立，现证 n 时命题成立 .
分以下情形讨论： 1) aii ( i = 1, 2, …, n ) 中至少有一个非 0 ，如 a11≠0 →
定理 1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替换变成平方和的形式 d1x1
2 + d2x22 + … + dnxn
2 (1)f (x1, x2 , …, xn) = a11x1
2 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +…+2a1nx1xn
+ a22x22 +2a23x2x3 +…+2a2nx2xn
…………………
+ annxn2
21 2 11 1 1 1
2 2 2
2 1 2 211 1 1 11 12 2 1 11 12 2 1
2 211 12 2 1
2 2
( , , , ) 2
[ 2 ( ) ( )
( ) ]
n n n
n j j ij i jj i j
n n n n
n n
n n ij i ji j
f x x x a x a x x a x x
a x x a a x a x a a x a x
a a x a x a x x
a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn
= a11[x12 + 2a11
－ 1 (a12x2 + a13x3 + … + a1nxn)]
* A2 + 2AB + B2 = (A+B)2
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1 2 2 211 1 11 1 11 1
2 2 2 2
1 2 1 211 1 11 1 11 1
2 2 2 2
1 211 1 11 1
2 2 2
11 1 11 1
2
2 2
[( ) ( ) ]
( ) ( )
( )
n n n n
j j j j ij i jj j i j
n n n n
j j j j ij i jj j i j
n n n
j j ij i jj i j
n
j jj
n
a x a a x a a x a x x
a x a a x a a x a x x
a x a a x b x x
y x a a x
y x
y
令
11 1 11 1
2
12 2
1 111 12 11 1
1 1
1
0 1 0
0 0 1
n
j jj
n n n
n
x y a a y
X C Yx y
x x y
a a a a
C X C Y
，
其中 可逆，故
2
2 2
, , 1n
n n
ij i ji j
x x n
b x x
为 的 元二次型,故表示为
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21 2 11 1
2 2
2 22 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 22 2 2
2 2
( , , , )n n
n ij i ji j
n n n n
ij i ji j
n n nn n
n n
n n
n n nn n
f x x x a y b y y
z c y c y
b y y
z c y c y
d z d z
z y
z c y c y
z c y c y
归纳假定 存在非退
化的线性替换 使得以上 成
平方和 存在非退化的线性替换
2 2
2 2 21 2 11 1 2 2
( , ),
( , , , ) .n n n
Z C Y C
f x x x a z d z d z
可逆 使得
故命题成立
22 22
2
1 0 0
0
0
n
n nn
c cC
c c
22 22
2
1 0 0
0
0
n
n nn
c cC
c c
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2) 所有 aii = 0(i =1, 2,…, n), 但至少有一个 a1j≠
0 (j = 2,…, n) → 不失普遍性，不妨设 a12≠0 → 令
1 1 2
2 1 2
3 3 3 3
3 3
1 1 0 0
1 1 0 0
( , C )0 0 1 0
0 0 0 1
n n
x z z
x z z
x z X C Z
x z
C X C Y
可逆，故 是非退化线性替换，且
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2 212
1 2 12 1 2 1 1
23 2 3 2 2 ( 1) 1
12 1 2 1 2 1 1 2
23 1 2 3 2 1 2
34 3 4 3 3 ( 1) 1
1 12 2 13 1 32
( , , , ) 2 2
2 2 2
2 ( )( ) 2 ( )
2 ( ) 2 ( )
2 2
2
2
2
n n n
n n n n n n
n n
n n
n n n n n n
f x x x a x x a x x
a x x a x x a x x
a z z z z a z z z
a z z z a z z z
a z z a z z a z
a z a z
z
z a z
13 2 3
1 1 1 2 23 1 3 23 2 3
2 1 2 2 34 3 4 (
1
1
1
1)
2
12
2
2 2 2 2
2 2
, ,
2 )
2 .
1
2
0
n n n n
n n n n n n n
n
n
z z n z
a z z
a z z a z z a z z a z z
a z z a z z a z z a z z
a
上式右端是 的 元二次型，且 的系数
化归为 的情形 故命题成立
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11 12 1 21 31 1
1 22 2
3) 0 0
( , , , ) 1
n n
n n
n ij i ji j
a a a a a a
f x x x a x x n
对称性
是 元二次型，据归纳
假定，可化成平方和形式 故命题成立. □
, 2 21 1 1 n n
/ /
1C/ /
n
2
*1 1 2
1 ( , , )
X AX
d
A M (P), A A C AC=D=
d
X CY Cnf x x f d z d z
Z DZ
可逆
可逆矩阵
定理 ，的内在联系：
定理
定理 2 数域 P 上任一对称矩阵合同于对角矩阵
,/ /
1
1 12 2
1 1 2 2 1
/ /
/ / / / /( ( ) ( ) (
( , , )
( , , )
)
.
)
X CY
n
X CZ
C
n
n
n
A A X AX f x x
d
X AX CZ A CZ
z
d z d z z z
d z
Z DZ D C
Z C AC Z Z D
C
Z
A A D
可逆
：
，即
证
合同于对角矩阵
明
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P 上 n 元二次型全体 Mn (P)
Af (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B
定理 2的意义： 化 n元二次型 X/AX 成标准型问题 寻找一个可逆矩阵 C，使得 A与对角矩阵 D在 C下
合同（ D=C/AC ），而定理 2说明这样的 C一定存在 →如何找到这个 C即为进一步要解决的问题：
C=? 时， B= D ？
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1 1
/
/
/ / /
/1 2
/ /1 2 1 2
/ / /2 1 1 2
/1
/1
2 1 2
1
1( ( ( )
(
1 2 , ( ) ( )
1 ( , ) A
) ) D
ij ij
Cs i
s s
s
P P
ij ij
s
C D C AC
D C AC D C PP P P
i s C AC PP P A PP P
P P P P P P AP P PAPP P
P AP
P P i j P AP P AP
可逆
：如何确定可逆矩阵 ，使 为对角矩阵？
设 ， 为对角矩阵 其中 为初等
矩阵， ，， ）
的意义：
) 对 作交
分析
/
/
( ) ( ) /1 1
( , ( )) ( , ( )) / /1 1
2) ( ) ( ) ( )
3) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
i iD k D ki i i
T i j k T j i k
P D k P AP D k AD k A i k
i k
P T i j k P AP T i j k AT j i k
A i k j A i k j
A A
小结
换列的变换的
同时交换两行；
对 第 列
倍同时对第 行 倍；
把 的第列 倍加到第列上同时把 的第行 倍加到第行上
对 进行一次初等行变换，立即对 进行同样类.A D
型的初等列变换，即可将 化成对角矩阵
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1 2 1 2
/ / /s 2 1 1 2
1 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3
1
,
.
( , , ) 2 6 2 .
s s
A sE
s
C PP P EPP P A
E
A DP P P APP P
E CEPP P
D C
f x x x x x x x x x
x
对 作成对行、列变换对 作同上的列变换
对 进行一系列成对的行、
列变换同时，对单位矩阵 施行同样的列变换
即求得 的同时也求得了 化成标准型
解法一：（配方法） 作线性替换
例 1
1 2 1 1
1 1
3
12 2 2
3 3 3
1 1 0
1 1 0 ( )
0 0 1
y y x y
x y y x y
x y x
X C
y
Y
高等代数
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二次型
2 2 21 1 3
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2
2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 23 3 2 2 3
22 2 3
1 1 3 1 1 3
2 2 2 2
1 3 3
3 3 3 3
( , , ) 2 6 2 2( )( )
6( ) 2( ) 2 2 4 8
2( )2 ( )
8
2
2
22 8y y y y
f x x x x x x x x x y y y y
y y y y y y y y y y y y
y y y y y
y y y
z y y y z z
y y
z y y z
z y y z
再取线性替换为
1 1
2 2
3 3
2 2 2 21 2 3 1 3 1 2
2 2 2 2 2 22 3 3 3 3
2
2
2
2 3
3
2
1 3
1 0 1
0 1 0
0 0 1
( ,
( ),
, ) 2 2 2 2[
2 2 (2 ) (2 ) ] 2 2 2( 2 ) 6
2 8
y z
y z
y z
f x x x z z z z
z z z z z z z z z
Y C Z
z z z
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二次型
1 1 1 1 1 1
2 2 3 2 2 3 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 21 2 3 2 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3
1 2
3
1 0 0
2 2 0 1 2
0 0 1
( ) ( , , ) 2w 2w 6w ,
( ) ( ) ( )
,
w z z w z w
w z z z w w z w
w z z w z w
f x x x
X C Y C C Z C C C W C C C
Z C W
W
CW C C C
令
其非退化
的线性替换为
其中 3
1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3
1 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
C
；
解法二： （初等变换）
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二次型
2 1
2 1
/1 2 3 1 2 2 3 1 3
1
1 2 3 23
3
( , , ) 2 6 2
0 1 1A
=( , , ) 1 0 3E
1 3 0
0 1 1 1 1 2 2 1 2
1 0 3 1 0 3 1
1 3 0 1 3 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
r rc c
f x x x x x x x x x X AX
x
x x x x
x
上上
1 3
0 3
2 3 0
1 0 0
1 1 0
0 0 1r r
上
高等代数
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二次型
11 22
11 3 1 22
2 1 02 1 2 2 1 0
11 0 3 1 0 2 0 2
20 2 2 0 2 2
0 2 21 0 0 1 0 1
1 0 11 1 0 1 1 1
1 1 10 0 1 0 0 1
0 0 1
2 0 0
10 2
20 2 2
11 1
21
1 12
0 0 1
r r
c c c c
上上 上
2 3 2
2 3
4 24
2 0 0 2 0 0
1 10 2 0 0
2 20 0 6 0 0 6
1 11 1 1 3
2 21 1
1 1 1 12 2
0 0 1 0 0 1
r r rc c
上上
高等代数
5
二次型
22
/ /1 2 3
1 2 3
2 0 02 0 00 1 00 2 00 0 6 2 0 0 1 1 30 0 61 0 2 0 , 1 1 11 3 1 1 32 0 0 6 0 0 1
1 1 1 11 1
2 0 0 10 0 0
( , , )
2 0 0
, , 0 2 0
0 0 6
cD C
X CZ f x x x X AX Z DZ
z z z
在非退化线性替换 下，
1 1
2 2 22 1 2 3 2 1 2 3
3 3
2 , 2 , 6 2 2 6 .
P237 1.2) 4) 6) 2 3
z z
z z z z z z z z
z z
作业： 习题 ； ； ；习题 ；习题 .
高等代数
5
二次型
§5.3 唯一性
高等代数
5
二次型
问题提出：二次型 f (x1, x2, x3)=2x1x2+2x1x3 － 6x2x3 经
过不同的线性替换，其结果不同 → X=C1W 下， f = 2w1
2 － 2w22 + 6w3
2 ； X=C2Y 下， f = 2y1
2 － 2 － 1y22 +2×3 － 1y3
2 . 其中
1 1
1 1 2 2
3 3
1 11 1
1 1 1 12 2 2 2
1 13 3
1 1 3 1 1 3
1 1 1 , 1 1 1
0 0 1 0 0 1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 , 1 2 3
0 0 3 0 0 3
x w
C X C W x w
x w
x y
C X C Y x y
x y
1/ / / / /
1 2 3 2 1 1 1 1 1 1
3
0 1 1
( , , ) 1 0 3 ( ) ( ) ( )
1 3 0
1 1 0 0 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 0 1 0 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1
3 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 6 0 0 1
x
f x x x x X AX C W A C W W C AC W D C AC
x
1 1/ 2 2 2
1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
3 3
0
0 2 0
0 0 6
2 0 0
(w , w , w ) 0 2 0 (2 , 2 , 6 ) 2 2 6
0 0 6
w w
f W DW w w w w w w w w
w w
高等代数
5
二次型
P 上 n 元二次型全体 Mn (P)
Af (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B
回顾上一节内容，有以下事实成立： 同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同 .
C=? 时， B= D ？
X=C1W B1
高等代数
5
二次型
n 元二次型全体 Mn(P)
A
f (x1,…, xn) X=C1W D1 D2
X=C2Y
问题： 同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对
角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一 .
问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？
高等代数
5
二次型
一 二次型的秩*1 A ， B( M∈ n(P)) 合同 ↔ 存在可逆矩阵 C ， B = C/AC →
因 C 可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩阵的秩相等；*2 原二次型 X/AX 经 X = CY (C 可逆 ) 化成新二次型 Y/
BY, 则 A ， B → 合同 新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性 → 引入以下概念：
1. 定义 ： 二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX 中矩阵 A 的秩称 为二次型 f 的秩；
2. 性质 ： 1) 可逆线性替换不改变二次型的秩；
高等代数
5
二次型
/ 2 21 1
/
/
2) ,
( )0,
1
2
1
)
, , 1
(
,r r
i
f X AX r f d y d y
r
X CY
X CY
r A r X CY X AX
Y DY D
d i r r n
*
二次型 的秩 标准型 其中
二次型的标准型中非零项的个数等于该二次型的秩 ，它与所做的可逆线性替换 无关； 二次型的标准型中非零项的系数不唯一，它与所取的线性替换 有关，
证明： 据题设， 设可逆线性替换 下，
所化成的标准型为
*
为对
/
11 1
1 1 1
2 21 1
( )
, , , , , , , 0, ,00
0
( 0, 1, , , 1 ).
rr n r r r r
n n
r r i
r D r r
r Y DY
dy y
dy y y y d y d y y
y y
d y d y d i r r n
角矩阵，且 秩为 的对
角矩阵其主对角线上的非零元素有且仅有 个 故为
高等代数
5
二次型
二 复二次型 （复数域 C 上的二次型）
1. 规范型： z12 + z2
2 + … + zr2 称为复二次型的规范型 .
2. 定理 3 任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成 规范型，且规范型唯一 .
* 该定理的矩阵语言描述：任一秩为 r 的复对称矩阵合同于一个对角矩阵
1
1
0
0
r
高等代数
5
二次型
证明： 设复二次型 f = X/AX , r(A) = r → 存在可逆线性替
换 X= C1Y(C1 可逆 ) , 使 f = X/AX = (C1Y)/A(C1Y) =Y(C1/AC1 )Y
= d1y12 + … + dryr
2 (di=1,…,r, 1≤r≤n) → 取可逆线性替换
1 1
1 1
1 1
1 1
/ 2 2 2 21 1 1 1 1
1 2
2
1 1
1 1
1
1
(
(
)
)r r r rr r
r rn n
n n
r r r
y zd d
y z
y z y zd d
y zy z
y z
f X AX d y d y z z X C Y
C
Y C Z
C Z
规范型；又
是可逆线性替换. 唯一性是显然的.
高等代数
5
二次型
3. 两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等
/
2. / /
/ 1 / 1 1 / 1
1
, ( ( )) .
, ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0(Q ) Q B ( ) ( ) ,
0 0
A B .
n
Cn
n
r
A B M C
A B C M C B C AC
r A r B
r A r B P Q M C P AP Q BQ
EP AP PQ A PQ B
PQ
可逆
： 是对称矩阵
设 合同 可逆 ，；
可逆 ， ，
且 可逆 ，
证
合同
明
( 复对称矩阵按合同关系可分为 n+1 个不同的类 ) ；
复二次型共有 n+1 个不同的类型 , 其秩为决定因素 .
高等代数
5
二次型
三 实二次型1. z1
2 ＋…＋ zp2 － zP+1
2… － zr2 称为实二次型
的规范型 → 规范型完全由 p, r 所确定 ( 其中 r 为二次型的秩，它确定了规范型中非零项的个数， p 确定了规范型中正、负项的个数） .
2. 定理 4 （惯性定理） 任一实二次型经适当的可逆线性替换可化成规范型，且规范型唯一 .
高等代数
5
二次型
1 11
2 2 2 21 1 1 1 1
1
,
1
1 1
1
1
1 1
( , , )
( , , )
0, 1, , , 1
1
1
n
n p p p p r r
r
rr
r r
n
Y C
r
C
n
X
r
f x x r
f x x d y d y d y d y
d i r r n
R
y zd y
yy z
d y
y z
y
y z
可逆： 设实二次型 的秩 （适当排序）
, 其中
＞
在 内，可取如下可逆线性替换
证明
1 1
11
2 2 2 21 1 1 1 1
2 2 2 21 1
2
1 1 2
(
1
1
1
1
(
)
, , )
z z z z
r
r
n n
n p p p p r r
p p r
d z
z
zd
z
f x x d y d y
Y C Z
X C Y
d y
X C
d y
C Z
（ ）.
高等代数
5
二次型
2 2 2 21 1
2 2 2 21
1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
.
( , , )
( ,
,
, z) z z z
. ,
X BY
p p r
X CZ
q
n
q r
p p r q
n
q r
f
f x x
f x x
p q p q p
X BY X CZ
y y y y
y y y y z z z
q
z
r r
据题设
现证唯一性 设 经可逆线性替换 化成规范型
现在证明 用反证法，假定 不妨设 ＞
秩 秩
1
1
1
11 12 1
21 22 2
1
11 1 1
2 21 1 2
2
1 2 1
1 1
CZ
(9)
0, 0,
n n
n n
n n
n
n
n n nn
q
n
p
n
n
n
CZ BY C B G G
g g g
X BY X
Z C BY
z g y g y
z g y gg g gG
g g g
z
y
z g y
z z y
g
y
y
化得 化 得
，即 令 ，则 可逆，取
取 考
察齐次线性方程组
11 1 12 2 1
1 1 2 2
1
(10
0
)0
0
0
n n
q q qn n
p
n
g y g y g y
g y g y g y
y
y
高等代数
5
二次型
11 1 12 2 1
1 1 2 2
1
P112 1
1 1 1 1
1
( )
0
0(10) 10
0
0
10 ( , , , , , ) ( , , , ,
( )
, )
=
n n
q q qn n
p
n
p p n p p n
p
g y g y g y
g y g y g y
y
y
y y y y
n q n p n p q n
k k k k
k
，定理个未知量，含有 （＜ ）个
方程组（ ）含有
（ ）有非零解，设为
显然
方程
1 1
1 1
, , , ,
2 2 2 2 2
, 10
1
2 2 21 1 1 1
2 21
1 1
0
( , , , , , ) 9
0,
( , , , ,
0
, )
p p n
p p r q q
n
p p n
k k k k
r
p
q
p p n
f y y y y z z z z
k
k
f k k k k k
z z
f k k k k
是（ ）的解
，代入下式左端
得值 ； 通过（ ）将其代入
上式的右端 故得值
＞
2 21 0
.
q rz z
p q p q p q
出现矛盾，这说明 ；同理可证 □
高等代数
5
二次型
惯性定理的意义
定义 3 实二次型的规范型中正平方项的个数 p 称为该二次型的正惯性指数；负平方项的个数 r － p 称为该二次型的 负惯性指数；其差 p － (r － p) = 2p － r 称为该二次型的 符号差 .
*1 实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范型的变换中，非零项的个数，正 ( 负 ) 项个数并未发生变化 → 据惯性定理中规范型的唯一性可知：实二次型的标准型中的非零项个数及正 ( 负 ) 项个数由秩和正 ( 负 ) 惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异的前提下，实二次型的标准型唯一确定；
高等代数
5
二次型
*2 定理 3 、 4 的矩阵语言描述 → 定理 5 ：5 1)
2
.
1
11
11
,0
1
00
1
A
0
( )
1
1 r
A M
A N
r
N
r r A
M
的个数
，，非零数的个数分
定理 复对称矩阵 合同于一个如下形式的对角矩阵 ，其中对角线上,被唯一确定；
) 实对称矩阵 合同于一个如下形式的对角矩阵 ，其中对角线上，被别为正惯性指数，负惯性指数， ( ) 唯一确定
p
r
r p
n r
高等代数
5
二次型
*3 称二次型 X/ AX 与 Y/BY 可互化，如果存在可逆的线性替换 X = CY ，使得 B = C/AC →
1) X/ AX 与 Y/BY 可互化当且仅当 A ， B 合同； 2) 设数域 P 上 n 元二次型全体构成集合 M(P) ，则二次
型的互化关系是 M(P) 的一个等价关系 .
证明： 1) 显然 . 2) X = EX ，有 A = E/AE → X/AX 与X/ AX 可互化； X/ AX 与 Y/BY 可互化 , 显然 Y/BY 与 X/ AX
可互化； X/ AX 与 Y/BY 可互化 , Y/ BY 与 Z/DZ 可互化 →
有可逆线性替换 X = C1Y, Y = C2Z, 使 B = C1/AC1, D =
C2/BC2 → 有可逆线性替换 X = C1C2Z ，使 D = (C1C2)/A
(C1C2) → X/ AX 与 Y/BY 可互化 →命题成立 . □
互化意义： 若存在 X = CY,C 可逆，且 B=C/AC
→
Y = C-1X, A = (C/)-1BC-1 = (C-1)/BC-1 →
X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/BY ； Y/BY = (C-1X)/B(C-1X)=X/((C-1)/BC-1)X =X/AX
高等代数
5
二次型
3) 复二次型按可互化分成 n + 1 个不同的类 ( 型 ).
证明： 复二次型 X/AX, Y/BY 可互化 ↔ A, B ↔ 合同 A, B 的 ↔ 秩相等 复二次型 X/AX, Y/BY 的秩相等 . 而秩的所有可能
的结果为 r = 0, 1, …, n , 共 n + 1 种 → 命题成立 . □
复二次型全体 M(C) 复对称矩阵全体 M(C)
A f (x1,…,xn)
g(y1,…,yn) B
f , g 可互化 ,即同一类型 →共n+1 个不同类型
高等代数
5
二次型
( 1)( 2)
2
n n 3) 实二次型按可互化分成 个不同的类（型）
/
/ / /
/ / / /
/ /
/ /
1 1 /
/
1
1
,
,
( ) (
, ,
, ( ) ( ) ( )
( )
f g X CY C B C AC
Y BY X AX X AX X PZ P
X AX PZ
f X AX g Y BY
f g
Z DZ
Y BY
C PZ
A PZ Z P AP Z Z DZ
Y C X C PZ
B
C P
：首先证明：
可互化 可逆，
设 在可逆线性替换 ( 可逆)下化
成 即
在可逆线性
规范型
替换 可 下
为
逆 ，
证明 实二次型 可互化⇔
有相同的秩，正（负）惯性指数和符号差.
/ /
1 / / / 1 1 / / /) ( )
,
C PZ Z P C BC PZ Z P AP
f X AX g Y
Z Z D
B g
Z
Y f
唯一性与 有相同的规范型 有相同的秩，正（负）惯性指数，符号差；
高等代数
5
二次型
/ / / / / 1 /
1 /
/
1 1 1
, ,
,
B ( )
( ) ( ), , .
1 1 0 1
0 1 2
f g f g
X MZ Y NZ
X AX Y BY ZDZ D M AM N BN N M
AMN MN A MN MN f g
f r r
r
Z
r
Z D
r
设 有相同的秩，正（负）惯性指数，符号差
有 ，即 可逆线性替换 ,
可逆 可以互化当 的秩为 时，其规范型中正项的个数可分为
相同
个正项，个正项， ，个正项， 个正项共 个不同类型；而秩
又可分成 ，
的规范
，
型
， -1, 1
(n 1)(n 2)1 2 3 ( 1) .
2
n n n
n n
， 共 中不同类型 共有不同
类型数为 个
* 用矩阵语言描述该性质： 复对称矩阵按合同分类共有 不同的类
( 1)( 2)
2
n n
高等代数
5
二次型
0
1………
r
………
n － 1
n
r 个正项 r － 1 个 ……
1 个 0 个
实二次型全体 M(R)1 2 3 ( 1)
(n 1)(n 2)
2
n n
高等代数
5
二次型
5.4 正定二次型
高等代数
5
二次型
一 正定二次型的概念定义 1 实二次型 f (x1, …, xn) 是正定的，如果对任意不全为零的 c1, …, cn∈R ， f (c1, …, cn) ＞ 0 ； 实二次型 f (x1, …, xn) 是负定的，如果对任意不全为零的 c1, …, cn∈R ， f (c1, …, cn) ＜ 0 ； 实二次型 f (x1, …, xn) 是不定的，如果对任意不全为零的 c1, …, cn∈R ， f (c1, …, cn) 有时＞ 0, 有时＜ 0 ； 正定二次型的矩阵称为 正定矩阵；
f (x1, …, xn) = x12 + … + xn
2 是正定二次型 ；
f (x1, …, xn) = d1x12 + … + d2xn
2 是正定的充要条件为 di ＞ 0,
i = 1, 2, … , n .
高等代数
5
二次型
二 正定二次型的判定1. 定理 6 实二次型 f(x1, …, x) 正定的充要条件是其正惯性指数为 n.
1 11 1 1
2 2
3 1 3
2 21 1
1 1 1
1 1 2 2
, (1 )
0 {1,2, , }
0, 1 ,
(
,
)
,
n
n nn
n n i
k k k
n k k k
x c c y
f f x y
x c c y
f d yX CY d y d i n
d k n y y y
y X CYy x c x c
： 正定，设 经可逆线性替换
化成的标准型为 其中 不全为
正 不妨设其中 （ ） 取
，代入 得
证明
2 2 21 1 1
2 21 1
( , , ) 0 0 1
, , 0
0 , , 0
0 ( 1, ,
0 0 0
), .
k nk k k
k n k
n nk
k nk
i
f c c d d d
d d
x c
C
c c R f
f d i
d
n f n
且不全为
（否则 非可逆） 代入标准型，得
不全为 的数 ， 的值 ，
这与 正定矛盾 ＞ 即 的正惯性指数为
1 1
11 1 1
1
0
1
0
k
k n
k kk
n nk nn
n nk
x c
c c c
x c
c c c
x c
高等代数
5
二次型
C2 21 1 1
1 1
1 1
2 21 1 1
( , , ) 0 ( 1, , )
, , 0 , , 0 0
, , , , 0
( , , ) 0
n n n i
n n
n n
n n n
f n X CY
f x x d y d y d i n
x x y y
x x R y y R
f x x d y d y f
可逆
正定定义
设 的正惯性指数为 可逆线性替换 ，
，且 ＞
不全为 时， 不全为 不全为 的数
， ，且不全为 于是应有
＞ 是正定二次型.
/
/
/ /
/
/
*1
.
,
.
n A A n
n C A C C
n A f X AX
X CY f X AX Z EZ
A n n C A C EC
C C
阶实对称矩阵 正定 与 阶单位矩阵合同
阶可逆矩阵 ，
证明： 阶实对称矩阵 正定 实二次型 是
正定的 可逆线性替换
与 阶单位矩阵合同 阶可逆矩阵 ，
高等代数
5
二次型
*2 正定矩阵的行列式大于 0.
证明： A 正定 → 存在可逆矩阵 C (|C|≠0), 使得 A = C/
C → |A| = |C/||C| = |C|2 ＞ 0 .
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
/1
2. 6
( 1,2, , ) .
( , , )
0.
n i
n i
n n nn i i ii
n
a a a a a a
a a a a a aA
a a a a a a
i n A
f x x X AX A
定义 矩阵 中的子
顺序主子式
式
称为矩阵 的
实二次型 正定 的顺序主子式
全大于
定理7
11 111 12
1121 22
1
, , , , ,k
k kk
a aa a
a Aa a
a a
高等代数
5
二次型
2
2.1 /
/ / 2 2 /1 1
1
2
11
/ /1 2
1
1
,
( ) ( 0
0
, 1, , ),
0 C 0
(1
,
A 0.
1 , 0 )
n
n n i
n
k
k
k kk
f X CY C f X AX
Y C AC Y d y d y d i n C AC
d
d
C C
a a
k k n A
a
C A C A C C AC d d d
a
A
定理
据以上证明
证
＞
： 设 正定 可逆，
＞ 即
由 可逆得 ，进而得 ＞
假定
＞
以
明
1
1
1 1
( , , ) 0,
( , , ) 0 ( , , , 0, , 0)
k k
k k k
k
k x x
x
x x A x x
x
为矩阵的 元二次型非正定
取 代入原二次型
高等代数
5
二次型
1
/1 1
1
1 1 k
0
211 1 11 1
*( , , ) ( , , , 0, , 0)
* * 0
0
( , , ) 0 ( , , ) A 0
( 1, 2, , 1) 0.
. 1 0 ( )
k kn k
k k n
k
A
x
A xf x x X AX x x
x
x x A f x x
x
k n A
n n a f x a x
＞
与 正定矛盾 ＞
的一切顺序主子式均大于
对 进行归纳 当 时,题设 ＞
已 . 1n n经是正定的 现假定对 元二次型命题成立，考察 元
高等代数
5
二次型
/1
11 1( 1) 1n1 A 0
1 /
1 ( 1) (n 1)n
1 1 1
/1
/1 1 1
( , , ) ,
a
,
a
0 1
01 ,
0 1
n
n
nnn
n
n n
f x x X AX
a aA
G A
A Aa
a a
A A A n
Gn G C CG E A
的顺序主子式＞
归纳假定
二次型 令
的顺序主子式＞ 正定 合同与 阶单位矩阵,即
可逆的 阶矩阵 ， 令 则 1
/ / //1 1
2/ / /
// / // /2 1 1 2 //
1 2
1
1 1
/ /
1 1
1
00
0 10 1
0 1 1 0 1
0
0
n
nn n n
nn nn nn
nn
nn
n
E
EE
C
A G G AG G GGC
a G a G a
GG G GC C AC C
G aG
C C Ca G
E E
E
G
；再令
，有
令 / /, ,nna a GG 则
高等代数
5
二次型
2/ / / /2 1 2
1
0
1
/0
1 11 1
1
1
1
0
(
11 1
1
, , )
A
n
C
C AC C C AC C C A C AC a
C
a
a
A A
C
a a
x x
a
f
A
＞ ＞
与单位矩阵合同 正定 正定 . □
高等代数
5
二次型
/1
/ /
11 12 1311 12
11 21 22 2321 22
31 32 33
11 1211
2
* ( ) ( , , ) A
0 0
( )
0
0 , 0,
0 , 1,2,
,
,
0, , 0
0
n
k
k
f x x X AX
f X AX f X A X A
a a aa a
a a a a Aa a
a a a
a a
k
a
A
a
n
论
证
＞
实二次型 负定 的顺序
主子式负、正相间（即奇（偶）数阶主子式＜ （＞ ））.
： 负定 正定 的顺
序主子式＞
＞ ＞ ＞ ＞
＜
推
明
11 12 13
21 22 231 22
31 32 33
0, 0, , ( 1) 0
A .
kk
a a a
a a a Aa
a a a
＞ ＜ ＞
的顺序主子式负、正相间 □
高等代数
5
二次型
例 判别以下二次型是否正定？
3 1 1 3
2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
1 2 3
( , , ) 5 5 4 8 4 .
5 2 4
( , , ) A 2 1 2
4 2 5
5 25 0 1 0
2 1
5 2 4 1 2 4 1 2 4
2 1 2 0 1 2 0 1 2 1 0
4 2 5 1 2 5 0 0 1
.
c c r r
f x x x x x x x x x x x x
f x x x
上 上
-
解： 的矩阵为 = - 其所有的- -
顺序主子式为 ＞ ， ＞ ，
- - -
- - - ＞ 原- - -
二次型为正定二次型
高等代数
5
二次型
1
1
1/
/
8 ( , , )
1 ) ( , , ) 2)
3) , 0 1, ,
4) 5) 0.
n
n
i
n
f x x
f x x r
d
C C AC d i n
d
C A C C A
定理 是实二次型 以下条件等价
半正定； 正惯性指数 秩 ；
可逆实矩阵 ， ， ；
实矩阵 ， ； 的主子式全大于
三 半正定二次型 定义 7 实二次型 f (x1, …, xn) 称为半正（负）定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1, …, cn 都有 f (x1, …, xn)≥0 （ f (x1, …, xn) ≤0 ）成立； 如果 f (x1, …, xn) 既不是半正定的，又不是半负定的，则称其为不定的 .
（见 P236 习题 9 ）：行的取法与列的取法一致的 k级子式称为 k级主子式，如
11 12 13 14 15
21 23
31 32 33 34 35
41
22 24 25
42 44 45
5
43
5 2 541 3 55 5
a a a
a a
a a a a a
a a
a a a a a
aa a
a
a
a
a
a