數學科專業知能研習

學科能力測驗試題分析討論

大學入學考試中心101 學年度學科能力測驗試題

數學考科

20

21400

4002516

1625

16252516

116

1

25

1

全體答對率： 77高分組答對率： 98

前 =左 = 10

後 = 1 + 2 + 3 + …..+ 10

右 = 10

上 = 10 下 = 10

1 + 2 + 3 + …..+ 10

全體答對率： 87高分組答對率： 99

Log103.032 = 3.032 = 3 + 0.0320 = log 1000 + log 1.07….

次方不容易解決就丟給對數

科學記號啊

全體答對率： 36高分組答對率： 64

98 學測

99 學測

乙校的算術平均數比較高，所以其曲線的最高點會在甲校曲線的最高點的 右邊

因乙校的標準差比較小，所以其曲線會比較 窄

又兩校人數一樣多，代表曲線下的面積要一樣大，所以，比較窄的會比較高還是低？

全體答對率： 45高分組答對率： 77

Log x = 2.8 x = 102.8 Log y = 5.6 y = 105.6

x 2 + y =(102.8 ) 2 + 105.6 = 2105.6

log (x 2 + y )= log( 2105.6 ) = log 2 + log 105.6 =

0.3010 + 5.6

全體答對率： 51高分組答對率： 91

94 學測

第一次取球有幾種？ 10 種

第二次取球有幾種？ 10 種

總共才 1010 = 100 種 所以……

一

二

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

全體答對率： 66高分組答對率： 84

0

043

z

yxL

E ： 3x + 4y = 0

法向量 (3 , 4 , 0)

將此圓以紅色直線為軸旋轉即得題意之球面

此圓為 xy 平面上與 L 相切於原點的圓

全體答對率： 37高分組答對率： 45

設一根 = i 則另一根 = i

以這兩數為兩根的一元二次方程式為

(x i )(x + i ) = 0 x2 + 1 = 0 得 x2 + 1 會

整除 f(x)

1 5 1 a b 0

1

1

0

1

5

0

5

0 0 0

所以方程式 f(x) = 0 (x2 + 1 )(x2 5x ) = 0

選項 (1) (2) (3) (4) (5)

答案百分比 *76 *73 28 21 *67

全體得分率： 56高分組得分率： 92

全對率： 44

99 學測

2 2

2

90

選項 (1) (2) (3) (4) (5)

答案百分比 *64 *64 23 29 17

全體得分率： 51高分組得分率： 77

全對率： 31

一看到複數，馬上宣佈 放棄其實本題只要運用我們平時訓練的必殺絕招即可破解

那就是 代數字即便不能完全破解，也不至於得 0 分

選項 (1) (2) (3) (4) (5)

答案百分比 35 42 38 *59 *61

全體得分率： 36高分組得分率： 66

全對率： 18

必殺關鍵

34

8

1

ca

341

3 db

34

8

yx

cyax

34

3

yx

dbyx

有解

無解

恰有一解

無限多組解34

8

1

ca

4

8

1

a

341

3 db

(1) a 2 (2) c = 6 (3) b = 12 (4) d 9

dbyx

cyax

3

8無解

(1) a 2 (2) c = 6 (3) b = 12 (4) d 9

(5)

若此選項正確，則 須成立d

c

b

a

8

3

但由選項 (1)(3) ，

發現…… ..

選項 (1) (2) (3) (4) (5)

答案百分比 53 39 *77 *67 30

全體得分率： 37高分組得分率： 62

全對率： 15

100 上北模二

98 學測

必殺關鍵： 定義

P(x , y)

r

sin= cos= tan=r

y

r

x

x

y

P(x , 4)r

在第三象限，由 tan = x

yx

4

3

2 得 x = 6

P(6 , 4)

(1) x = 6

(2) 線段 OP =

132

(3) cos =13

3

(4) sin2 0

(5) Cos 02

2sincos

02

cos

02

cos

52)4_()6( 22

選項 (1) (2) (3) (4) (5)

答案百分比 25 *79 37 *75 57

全體得分率： 42高分組得分率： 64

全對率： 14

100 學測

這不就是雙曲線的… ..

訓練過不下 5 次

cFFaPFPF 242|| 2121

因此， (2)(3) 為雙曲線

(1) 當 d = 0 時， 為直線

0|| 21 PFPF 21 PFPF

所以是表中垂線

(3) 當 d = 2 時， 與圓 C 交於兩點

2|| 21 PFPF

所以交點有 4 個

3,2,1 bca

(4) 當 d = 4 時， 與圓 C 交於四點

所以交點有 2 個

cFFPFPF 24|| 2121

4

1PF

2PF

為兩射線

(5) 當 d = 8 時， 不存在 由選項 (4) 得知

|| 21 PFPF 的最大值為 4

選項 (1) (2) (3) (4) (5)

答案百分比 25 *79 37 *75 57

全體得分率： 45高分組得分率： 79

全對率： 28

|

10)5()5( 2222 yxyx|3. 在坐標平面上，方程式 的圖形為 (1) 一直線 (2) 二平行直線　 (3) 二射線 (4) 雙曲線 (5) 圖形不存在

基礎數學第三 ~ 四冊 第一次模擬測驗

2.19

11

9

21

9

11

01.01

a

11.01199.09

11a 1.21

全體答對率： 44高分組答對率： 86

100 學測

有坐標

(5 , 3)

(8 , 6)

m = ----------8 5

6 3

畫一畫不就結了

全體答對率： 39高分組答對率： 71

擺明就是 共線

天璇 天樞 北極星

(9 , 8)

(7 , 11)

1 5

(x , y)

(1) 利用向量係數積 (x 7 , y 11) = (7 9 , 11 8) 5

(2) 或直接利用分點公式 請自行演練

全體答對率： 56高分組答對率： 90

98 學測

A(2 , 2)

B(4 , 8)

(1 )

(3 )

(2 )

(4 )有沒有感覺反正先畫圖再說C 點會在哪裡呢？還是畫畫看再來依答案的格式判斷 X 坐標有沒有可能是二位數？所以 X 坐標一定是 ：

1 , 2 , 3 , ……., 9 開始代數字吧 又當 C 點離 A 點愈遠，其內積 = ABACcos 的值會愈

大

因此，最小值時的 C 點一定發生在 A 點附近，所以

不是 1 就是 3

當 x = 1 時，得 C

A(2 , 2)

B(4 , 8)

2

2

1xy

)2

1,1(

(6 , 6) )2

3,1(

當 x = 3 ，得 C )2

9,3(

(6 , 6) )2

5,1(

當 x = 2 ，得 C )2,2(

(6 , 6) )0,0(

3

9

0

A(2 , 2)

B(4 , 8)

2

2

1xy

C 為圖形上一點，當然用 )2

1,( 2tt

(6 , 6) )22

1,2( 2 tt

tt 63 2

3)12(3 2 tt

3)1(3 2 t

)2

1,( 2tt

設 C 參數式

全體答對率： 37高分組答對率： 83

x16y2 C. 拋物線 上與直線 4x 3y + 24 = 0 距離最短 之點的坐標 為　　　。

基礎數學第四冊 第一次模擬測驗

設此點坐標為 ),16

(2

tt

)4,( 2 tt

就是參數式

若看不出哪些角是 60 、哪些線段會相等？ 請自捅 10 下 PQR 面積 = ？ ，此時沒有坐標，當然用哪一個三角形面積公式？

在 PQR 中，有一角是 60 ，欲求 PR ，你想到甚麼？

60sin2

1ab

60cos2222abbaPR

b a

正

a + b = 13

正

a a

b

b 60

60

310

13

31060sin2

1ab

得 a b =

40

60cos2222abbaPR

abba 22

abba 3)( 2

403)13( 2

7PR

正

a + b = 13

正

a a

b

b 60

60

310

13

31060sin2

1ab

得 a b =

40

60cos2222abbaPR

abba 22

49

7PR

猜一猜 a , b = ？

5 , 8 或 8 , 5

4085 22

正 正

a a

b=13a

b 60

60

310

13

31060sin2

1ab

得 a(13a)=40

60cos2222abbaPR

abba 22

49

7PR

4085 22

得 ab=40

040132 aa

(a5)(a8)=0

全體答對率： 46高分組答對率： 85

98 學測

(0 , 2)

(0 , 2)

4

4

此橢圓是橫的還是直的？

圓錐曲線上一點 定義

依題意畫圖，得

2a = 8 a = 4

又 c = 2 ，得 b =

32

所以 n = a2 、 m = b2

全體答對率： 40高分組答對率： 80

100 學測

人家說是長方體，就畫一個玩玩 接著就是邊長的問題 長=

1 寬=

2 高=

3

1

2

3

所以取法共有 82C

兩點距離要大於 3 的有

1

2

3

1 2

3

4 + 4 + 4 =12 所以 p =

7

3

28

121282

C

22 31 22 32 222 321

全體答對率： 23高分組答對率： 54

101 學科能力測驗試題各冊配分

單元題型

配分 合計單選題 多選題 選填題

第一冊

數與坐標系 1 B 10

25數列與級數 2 A 10

多項式 8 5

第二冊指數與對數 3 , 5 10

25三角函數的基本概念 12 E 10

三角函數的基本性質 10 5

第三冊向量 C , D 10

20空間中的值線與平面 11 5

圓與球面 7 5

第四冊圓錐曲線 13 F 10

30排列組合 9 5

機率與統計 I 4 , 6 G 15

101 學科能力測驗試題特色一、 各冊出題比列平均二、 中間偏易三、 著種基本概念定義及運算四、 跨章節的題目較少

後語由 100 及 101 學測的考題都有比較平易近人的趨勢看來，推測 102 學測題目的出題精神應該也會朝中間偏易的方向出題。

謝謝大家