1

توزیع های احتمالی

سعید موسویmusavi.stat@gmail.com

http://biostat.niloblog.com

2

ویژگی ها :

- آزمایش فقط یک بار صورت می گیرد1

- فقط دو پیامد ممکن دارد2

- احتمال موفقیت و شکست ثابت است ) البته در 3صورت تکرار آزمایش (

- آزمایش ها مستقل از یکدیگر انجام می شوند4

توزیع برنولی

3

-P یعنی احتمال موفقیت ) احتمال وقوع پیشامد مورد نظر (

- q یعنی احتمال شکست ) احتمال عدم وقوع پیشامد مورد نظر (

p و qمکمل یکدیگر هستند

درتوزیع برنولیq و pمفاهیم

4

P)x( = px)1 - p(1-x where x = 0 or 1E)X( = p

Var)X( = pq

5

ویژگیها:

بار (n- تکرار آزمایش ) 1

- هر آزمایشی فقط دو پیامد دارد2

در هر آزمایشq و p- ثابت بودن 3

- مستقل بودن آزمایش ها از همدیگر4

توزیع دو جمله ای

6

nx

xXP qpxnxn

x

,...,2,1,0

)(

فرمول توزیع دو جمله ای

میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای

1 -E(X) = np

2 -V(X) = npq

n و p و qپارامترهای توزیع دو جمله ای هستند

7

nتعداد آزمایش ها =

تعداد موفقیت های مورد xنظر =

احتمال موفقیت در هر pآزمایش =

احتمال شکست در هر qآزمایش =

اجزاء تشکیل دهنده توزیع دو جمله ای

8

باشد ، توزیع متقارنp = 0/5- اگر 1

باشد ، توزیع چوله به چپp > 0/5- اگر 2

باشد ، توزیع چوله به p < 0/5- و اگر 3راست است

و نوع توزیعpمقدار

9

نسبتاn بزرگ است ، محاسبه nوقتی که احتمال از طریق فرمول کار خسته کننده ای می شود ، لذا برای رفع این مشکل از جدول

های مخصوصی استفاده می شود

جداول توزیع دو جمله ای

10

متغیر هایی که بیانگر تعداد برآمدها در واحد زمان،طول، مساحت یا حجم

باشند.

توزیع پواسون

11

718/2

,...2,1,0,!

)(

e

np

xx

xXPx

e

بعنوان پارامتر وتوزیع

فرمول توزیع پواسون

12

از بین کلیه توزیع های رایج ، توزیع پواسون تنها توزیعی است که

میانگین و واریانس آن با هم برابرند

)(

)(

XV

XE

امید ریاضی و واریانس توزیع پواسون

13

- بعنوان تقریب یا برآورد کننده میزان احتمال توزیع های 1دو جمله ای تحت شرایط خاص

به سمت صفر میل کند و p به سمت بی نهایت و nاگر ثابت بماند ، می توان بجای توزیع npدر عین حال مقدار

دو جمله ای از توزیع پواسون استفاده نمود

- محاسـبه احتماالت مربـوط به تعـداد مراجعات به 2 (t در واحد زمان ) λسیستم با میانگین

کاربردهای توزیع پواسون

14

t

xx

xXPte

xt

,...2,1,0!

)()( فرمول

میانگین مراجعات در واحد زمانی معین

توزیع پواسون برای تعداد مراجعات

15

16

بخاطر این که میزان احتمال در توابع پیوسته در یک نقطه معین

مساوی صفر است ، لذا در این گونه توابع ، احتمال همیشه در قالب یک

فاصله تعیین می شود

احتمال در توابع پیوسته

17

احتمال این که متغیر تصادفی و a مقداری بین دو نقطه xپیوسته

bرا بگیرد برابر است با b

adxXfbXaP )()(

تابع چگالی احتمال

18

)()()()( bXaPbxaPbXaPbXaP

پس عالمت مساوی در این توزیع ها نقشی ایفاء نمی کند

نقش عالمت مساوی در احتماالت پیوسته

19

یعنی ضرب متغیر تصادفی در تابع چگالی خود و سپس انتگرال گیری به ازای مقادیر ممکن متغیر

dxXfXXE )()(

امید ریاضی متغیر تصادفی پیوسته

20

یعنی کسر متغـیر تصادفـی از میانگین خود ، رساندن نتیجه و ضرب نتیجه 2به توان

حاصله به تابع چگالی و انتگرال گیری

dxxfXV XEX )()( )(2  

واریانس متغیر تصادفی پیوسته

21

22

در صورت xمتغیر تصادفی پیوسته داشتن تابع چگالی زیر دارای توزیع

نرمال است

/)(1

)(2

2

1

2

2

XeXf

23

X N ( µ , σ)

µ میانگین ( و ( σ ) انحراف معیار (دو پارامتر توزیع نرمال بوده و با مشخص بودن آنها ، منحنی توزیع

قابل ترسیم می باشد

24

در یک توزیع نرمال هر قدر میانگین افزایش یابد ، باعث می شود که منحنی آن بیشتر به

سمت راست انتقال یابدf(x)

12

1

2

x

25

هر قدر انحراف معیار افزایش یابد ، منحنی توزیع نرمال کوتاه تر )بعبارتی پهن تر( می

شودf(x)

1

2

x=

S2

S1

S2

S1

>

26

- سطح زیر منحنی همیشه برابر یک است1

2 -f(x)همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است

می باشدX = µ- حداکثر مقدار تابع در 3

- تابع حول میانگین ، متقارن است4

- میانگین ، میانه و مد با هم برابرند5

27

با توجه به انحراف معیارهای مختلف xاحتمال بشرح ذیل است :

997/0)33(

954/0)22(

683/0)(

xP

xP

xP

28

X ≈ Nیعنی استاندارد کردن متغیر ( µ , σ ) با استفاده از متغیر نرمالی

که میانگین آن صفر و واریانس اش یک است و سپس استفاده از جدول

مربوطه

29

و x با کم کردن میانگین از متغیر تقسیم نتیجه آن بر انحراف معیار ،

zبدست می آید

X=μ+zσ

X

z

30

Z- استفاده مستقیم : مقدار 1مشخص است و احتمال آن را

بدست می آوریم

Z- استفاده معکوس : احتمال 2مشخص است و مقدار آن را بدست

می آوریم

31

P(z<-4)≈0

P(z<-1.96)=0.025

P(z<-1.02)=0.1539

32

P(z<0)=0.5

P(z<1.02)=0.8461

P(z<1.96)=0.975

33

کمتر از zدر جدول توزیع نرمال احتمال اینکه • باشد چقدر است؟1.23

مساحت ناحیه .2مورد نظر برابر

0.8907است با

1.230

z

از جدول توزیع نرمال احتمال .1.مورد نظر را پیدا کنید

34

بیشتر از zدر جدول توزیع نرمال احتمال اینکه • باشد چقدر است؟1.23

3. Subtract to find the area to the right of z = 1.23: 1 0.8907 = 0.1093.

1. Use the table to find the area for the z-score.

2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907.

1.23

35

بین zدر جدول توزیع نرمال احتمال اینکه • باشد چقدر است؟1.23 - و 0.75

4. Subtract to find the area of the region between the two z-scores: 0.8907 0.2266 = 0.6641.

1. Use the table to find the area for the z-score.

3. The area to the left of z = 0.75 is 0.2266.

2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907.

1.230

z

0.75

36

10 توزیع نرمال با میانگین xاگر متغیر تصافی • x داشته باشد احتمال اینکه 5و انحراف معیار

باشد چقدر است؟15کمتر از

P(x < 15)μ = 10σ = 5

15μ =10x

37

Same area

15μ =10

P(x < 15)

μ = 10σ = 5

Normal Distribution

x1μ =0

μ = 0σ = 1

Standard Normal Distribution

z

P(z < 1)

38

و انحراف 78اگر نمرات درسی با میانگین • توزیع شده باشند احتمال اینکه نمره 8معیار

باشد چقدر است؟90دانشجویی کمتر از

P(x < 90) = P(z < 1.5) = 0.9332

- 90-78=8

x μzσ

=1.5

μ =0z

?1.5

90μ =78

P(x < 90)

μ = 78σ = 8

x

احتمال اینکه نمره دانشجویی 0.9332 باشد 90کمتر از

است

39

در مثال قبل احتمال زیر را پیدا کنید•P(60 < x < 80)

P(60 < x < 80) = P(2.25 < z < 0.25) = P(z < 0.25) P(z < 2.25)

- -1

60 78= =8

x μzσ

-= 2.25

احتمال مورد نظر برابر است با

2- - 80 78=

8x μz

σ=0.25

μ =0z

?? 0.252.25

= 0.5987 0.0122 = 0.5865

60 80μ =78

P(60 < x < 80)μ = 78σ = 8

x