一、和、差、积、商的求导法则二、例题分析三、小结

一、和、差、积、商的求导法则定理

并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数

,

)(

,)(),(

x

xxvxu

).0)(()(

)()()()(]

)(

)([)3(

);()()()(])()([)2(

);()(])()([)1(

2

xvxv

xvxuxvxu

xv

xu

xvxuxvxuxvxu

xvxuxvxu

证 (3) ),0)((,)(

)()( xv

xv

xuxf设

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

hxvhxv

hxvxuxvhxuh )()(

)()()()(lim

0

hxv

xu

hxv

hxu

h

)(

)(

)(

)(

lim0

证 (1)、 (2)略 .

hxvhxv

xvhxvxuxvxuhxuh )()(

)]()()[()()]()([lim

0

)()(

)()()()(

)()(

lim0 xvhxv

h

xvhxvxuxv

h

xuhxu

h

2)]([

)()()()(

xv

xvxuxvxu

.)( 处可导在xxf

推论

;)(])([)1(11

n

ii

n

ii xfxf

);(])([)2( xfCxCf

;)()(

)()()(

)()()(])([)3(

1 1

21

211

n

i

n

ikk

ki

n

n

n

ii

xfxf

xfxfxf

xfxfxfxf

二、例题分析例 1 .sin2 23 的导数求 xxxy

解 23xy x4

例 2 .ln2sin 的导数求 xxy

解 xxxy lncossin2

xxxy lncoscos2 xxx ln)sin(sin2

xxx

1cossin2

.cos x

.2sin1

ln2cos2 xx

xx

例 3 .tan 的导数求 xy

解 )cos

sin()(tan

x

xxy

x

xxxx2cos

)(cossincos)(sin

xxx

2

22

cossincos

xx

22

seccos

1

.sec)(tan 2 xx 即

.csc)(cot 2 xx 同理可得

例 4 .sec 的导数求 xy

解 )cos

1()(sec

xxy

xx

2cos)(cos

.tansec xxx

x2cos

sin

.cotcsc)(csc xxx 同理可得

例 5 .sinh 的导数求 xy

解 ])(2

1[)(sinh xx eexy )(

2

1 xx ee .cosh x

同理可得 xx sinh)(cosh x

x2cosh

1)(tanh

例 6 ).(,0),1ln(

0,)( xf

xx

xxxf

求设

解 ,1)( xf,0时当 x

,0时当 x

h

xhxxf

h

)1ln()1ln(lim)(

0

)1

1ln(1

lim0 x

h

hh

,1

1

x

,0时当 x

h

hf

h

)01ln()0(lim)0(

0

,1

hh

fh

)01ln()]0(1ln[lim)0(

0

,1

.1)0( f

.0,

1

10,1

)(

xx

xxf

三、小结注意 : );()(])()([ xvxuxvxu

.)(

)(]

)(

)([

xv

xu

xv

xu

分段函数求导时 , 分界点导数用左右导数求 .

思考题

求曲线 上与 轴平行的切线方程 .

32 xxy x

思考题解答232 xy 令 0y 032 2 x

32

1 x32

2 x

切点为

964

,32

964

,32

所求切线方程为9

64y

964

y和