159

习题参考资料第三篇 多元函数微积分

第八章 多元函数积分学§1 重积分的概念及其应用

习 题

1.设平面闭区域 |),( 222 ryxyxD ≤+= ，求

,222 σdyxrD∫∫ −−

【解】 积分是半径为 r的上半球的体积, 3

32 rπ .

2. 设有平面区域 fDDDD ,,, 2121 ⊃ 是 1D 上的非负连续函数，证明：.),(),(

21

∫∫∫∫ ≥D

dyxfdyxfD

σσ

【解】记 312 DDD =− ， ∫∫∫∫∫∫ +=321 DDD， 0

3

≥∫∫D ， 因此 ∫∫∫∫ ≥21 DD

.

3. 设D为一空间区域，比较重积分

∫∫∫ ++D

dzyx σ)32(sin 2 和 ∫∫∫ ++D

dzyx σ2)32(

的大小。

【解】 利用 22sin xx ≤ .则 22 )32()32(sin zyxzyx ++≤++ 积分得

∫∫∫ ++D

dzyx σ)32(sin 2 ∫∫∫ ++≤D

dzyx σ2)32(

4. 利用重积分的性质，估计积分值

（1） ∫∫ +D

dyx σ)sin( 22 ，其中 4

34

|),( 22 ππ≤+≤= yxyxD ;

（2） ,)4ln(∫∫ ++D yx

dxdy其中 ;80,40|),( ≤≤≤≤= yxyxD

（3） ∫∫ +

D

yx de σ22

，其中 .41|),( 22 ≤+= yxyxD

【解】. (1) 2

02π

<< I ; (2) 16ln3212ln32 ≤≤ I ; (3) 41

44eI ππ

≤≤ .

5. 设 f 是三元连续函数，试求极限：

∫∫∫Ω

→r

dzyxfrr

σ),,(1lim 30.

160

其中 )()()(|),,( 2222 rczbyaxzyxr ≤−+−+−=Ω

【解】利用中值定理, ),,(3

4 cbafπ .

习题参考资料第八章 多元函数积分学§2二重积分的计算

习 题

1. 计算二重积分 （1） ∫∫

D

xy dxye σ2

，其中 ;10,10|),( ≤≤≤≤= yxyxD

（2） ∫∫ +D

dyx

σ1，其中 ;21,10|),( ≤+≤≤≤= yxxyxD

（3） ∫∫D

dxy σ2 ，其中 ;1,4|),( 2 ≤≥= xyxyxD

（4） ∫∫ −D

dyy σ)( 2 ，其中D由 2yx = 与 223 yx −= 围成；

（5） ∫∫ +D

dyx σ)cos( ，其中 ;,0|),( π≤≤≥= yxxyxD

（6） ∫∫ +D

dyxx σ)sin( ，其中D由直线 π=x ，抛物线 xxy −= 2 及其在

（0，0）点的切线围成。

【答案】. (1) 12−

e ; (2) 2ln ; (3) 2132 ; (4)

58 ; (5) 2− ; (6)

2π .

2. 交换下列各二次积分的积分顺序

（1） ;),(ln

0

2

1 ∫∫x

dyyxfdx

（2） ;),(21

0 ∫∫y

ydxyxfdy

（3） ;),(21

0 2∫∫− y

ydxyxfdy

（4） .),(),(2

0

2

10

1

0

2

dxyxfdydxyxfdyyy

∫∫∫∫−

+

【答案】(1) ∫∫22ln

0),(

yedxyxfdy ; (2) ∫∫∫∫ +

1

2

2

12

1

02

2

2 ),(),( xxx dyyxfdxdyyxfdx ;

(3) ∫∫∫∫−

+xx

dyyxfdxdyyxfdx2

0

2

10

1

0),(),( ; (4) dyyxfdx

x

x∫∫− 221

0),( .

161

3. 求由平面 0, =−= zyxz 与圆柱面 xyx 222 =+ 在 0≥z 中所围成的空间体的体

积。

【答案】 =V )103(61

+π

4. 求由旋转抛物面 ,22 yxz += 柱面 2xy = 及平面 1=y 和 0=z 所围成的空间区域

的体积。

【答案】 dxdyyxVD∫∫ += )( 22 =+= ∫∫ −

y

ydxyxdy )( 221

0 10588 .

5、作适当的变量代换，求由 xyxybyxayx 3,2,, ===+=+围成的平面区域的面积，其中 .0>> ab

【答案】. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

vxy

uyx, 2)1( v

uJ+

= , ∫∫ +=

3

2 2)1(dv

vuduS

b

a= )(

241 22 ab − .

6、计算 ∫∫D

dyx σ22 ，其中D是由 xyxyxyxy 3,,4,2 ==== 在第一象限所围成的

区域。

【答案】作变量代换⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

vxy

uxy,

vJ

21

= , 于是积分 ∫∫D

dyx σ22 duv

udv∫∫=4

2

23

1 21

33ln28

= .

7、在极坐标系下计算下列二重积分（1） ∫∫ +

D

dyx σ22sin ，其中 ;4|),( 2222 ππ ≤+≤= yxyxD

（2） ∫∫ +D

dyx σ)( 22 ，其中 ;42|),( 22 xyxxyxD ≤+≤=

（3） ∫∫ 3+D

dyx σ2/22 )( ，其中 ;2,1|),( 2222 xyxyxyxD ≤+≤+=

（4） ∫∫ +D

dyx σ)( ，其中D是由曲线 yxyx +=+ 22 所包围的平面区域。

【答案】(1) 26π− ; (2) =∫ ∫−drrdt

t

t2

2

cos4

cos2

3π

π 2

45π ; (3) 32598

75512

152

−+π ; (4)

drrdttt

∫∫+

−

cossin

04

3

4

π

π =2π .

8、计算 ∫∫ +D

dby

ax σ)( 2

2

2

2

，其中D是由椭圆 12

2

2

2

=+by

ax

所围的区域。

162

【答案】令 tbrytarx sin,cos == , ∫∫ +D

dby

ax σ)( 2

2

2

2

∫∫=1

0

22

0abrdrrdt

π

2πab

= .

9、求由曲线 )0,,(2

2

2

2

2

2

>=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ cba

cxy

by

ax

在

第一象限中所围图形的面积。

【答案】令 tbrytarx sin,cos == ,

∫∫=D

dxdyS ∫∫= 2cossin

0

2/

0c

ttab

abrdrdtπ

= 2

22

4cba .

10、设一元函数 f 在 ]1,0[ 上连续，证明

∫∫∫ −=1

0

1

0)()()(

2

dxxfeedxxfedy xxy

y

y 。

【解】 交换积分次序得

∫∫y

y

y dxxfedy )(1

0 ∫∫=x

x

ydyedxxf2

1

0)( ∫ −=

1

0)()(

2

dxxfee xx .

11. 设一元非负函数 f 在[ , ]a b 上连续，证明

2

],[],[

)(2dd)(

1)( abyxyf

xfbaba

−≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∫∫

×

。

【解】 将积分变量对称交换得

∫∫× ],[],[

dd)(

1

baba

yxyf

dxdyxfbaba

∫∫×

=],[],[ )(

1

∫∫×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

],[],[

dd)(

1)(baba

yxyf

xf ∫∫×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

],[],[

dd)(

1)(baba

yxxf

xf ∫∫×

≥],[],[

dd2baba

yx 2)(2 ab −= ..

12．设 ]1,0[]1,0[ ×=D ，证明

[ ] 2)cos()sin(1 22 ≤+≤ ∫∫D

dxdyyx 。

【解】 利用对称性有 [ ]∫∫ +D

dxdyyx )cos()sin( 22

[ ]∫∫ +=D

dxdyxx )cos()sin( 22 dxx∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1

0

2

4sin2 π ,

由于 10 ≤≤ x , 于是 14

sin22 2 ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≤

πx , 积分得

24

sin211

0

2 ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≤ ∫ dxx π .

163

13．设一元函数 )(uf 在 ]1,1[− 上连续，证明

∫∫∫ −≤+

=+1

11||||

)()( duufdxdyyxfyx

。

【解】 令 vyxuyx =−=+ , , )(21),(

21 vuyvux −=+= ,

21

),(),(==

vuDyxDJ . 区域

1|||| ≤+ yx 变为 11,11 ≤≤−≤≤− vu , 于是

∫∫≤+

+1||||

)(yx

dxdyyxf ∫∫=' 2

1)(D

dudvuf duuf∫−=1

1)( .

第八章 多元函数积分学§3三重积分的计算及其应用

习 题

1. 计算下列三重积分（1） σdzxy∫∫∫

Ω

32 ，其中Ω是曲面 xyz = 和平面 0,1, === zxxy 所围成的区域；

（2） ∫∫∫Ω

σxzd ，其中Ω是由平面 0=z ， zyyx == , 以及抛物柱面 2xy = 所围成的

闭区域;

（3） ∫∫∫Ω

+ σdzyx )sin( ，其中 .2

0,0|),,( yzyxzyx −≤≤≤≤=Ωπ

（4） ∫∫∫Ω +++

σdzyx

xyz2221

，其中 222,0,0|),,( zyxzxzyx ++≥≥=Ω .1≤

【解】 . (1) 3641 ; (2)

801 ; (3)

21

16

2

−π ; (4) 0 .

2. 解下列三重积分问题：

(1) 求 ∫∫∫Ω

σzdsin ，其中Ω由锥面 22 yxz += 和平面 π=z 围成。

(2) 设Ω由单叶双曲面 2222 Rzyx =−+ 和平面 Hzz == ,0 围成，求Ω的体积。

(3) 求均匀的立体 1|),,( 2

2

2

2

≤≤+=Ω zby

axzyx 的重心坐标。

164

【解】 (1) ππ 43 − ; (2) π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + HRH 23

31 ; (3) 解 θcosarx = , θsinbry = , zz = ,

dzabrdrddV θ= , ∫∫∫=V

dVM ∫∫∫=11

0

2

0 2rabdzrdrd

πθ

2abπ

= , ∫∫∫=V

z zdVM ,

∫∫∫11

0

2

0 2rzabrdzdrd

πθ

3abπ

= , 于是32

2

3 ==ab

ab

zπ

π

.

3.用柱面坐标计算三重积分（1） ∫∫∫

Ω

+ σdyx 22 ，其中 ;90|),,( 22 yxzzyx −−≤≤=Ω

（2） ∫∫∫Ω

σyd ，其中 ;20,41|),,( 22 +≤≤≤+≤=Ω xzyxzyx

（3） σdx∫∫∫Ω

2 ，其中 .20,1|),,( 2222 yxzyxzyx +≤≤≤+=Ω

【解】

(1) 5

324π ; (2) 0 , 利用对称性; (3) σdx∫∫∫Ω

2 dzrrdrdr

∫∫∫=2

0

221

0

2

0cos θθ

π=

52π .

4. 用球坐标计算三重积分(1) σdxe zyx∫∫∫

Ω

++ 2222 )( ，其中Ω是第一卦限中球面 +2x 122 =+ zy 与

4222 =++ zyx 之间的部分；

(2) σdzyx

zyxz∫∫∫Ω +++

+++222

222

1)1ln(，其中Ω是上半单位球，即

.10|),,( 22 yxzzyx −−≤≤=Ω

（3） σdyx∫∫∫Ω

+ )( ，其中 .111|),,( 22 yxzzyx −−+≤≤=Ω

（4） ∫∫∫Ω

++ σdzyx 222 ，其中 .|),,( 222 zzyxzyx ≤++=Ω

【解】 (1) 0 , 利用对称性; (2) π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

21

4)2(ln2ln

2

;

σdzyx

zyxz∫∫∫Ω +++

+++222

222

1)1ln( ∫∫∫ +

ϕ+ϕϕ=

1

0 2

222

02

0 1sin)1ln(cos dr

rrrrdd

ππ

θ

∫∫ ++

ϕϕϕ=1

0 2

232

0 1)1ln(sincos2 dr

rrrd

π

π ,

21sincos2

0=ϕϕϕ∫

π

d , ∫∫ ++

=++ 1

0

1

0 2

23

1)1ln(

21

1)1ln( dt

tttdr

rrr

21

4)2(ln2ln

2

−−= .

165

σdzyx

zyxz∫∫∫Ω +++

+++222

222

1)1ln( π⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

21

4)2(ln2ln

2

其中利用 ∫ ++ dtt

tt1

)1ln(21 ∫ +

+−+= dt

ttt

1)1ln()11(

21 ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−+= dtttt

1)1ln()1ln(

21

ctttt +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−++=

2))1(ln()1ln()1(

21 2

.

(3) 0 , 利用对称性 ; (4) 10π.

5、求半径为 a的半球体的重心，该球体上任何一点的密度与它到底面的距离成正比。

【解】 ∫∫∫=V

dVM ∫∫∫ ϕϕϕ=a

drrkrdd0

220

2

0sincos

ππθ

4

4akπ= , ∫∫∫=

Vz zdVM

∫∫∫ ϕϕϕ=a

drrkrdd0

22220

2

0sincos

ππθ

152 5akπ

= , 158a

MMz z

T == .

6、设一物体占有空间区域 ,||,|),,( 222 HzRyxzyx ≤≤+=Ω 其密度为常值，已知

它关于 x轴及 z轴的转动惯量相等，试证明： 2/3: =RH 。

【解】 4HRIZ π= , 234

32

21 RHHRI X ππ += .

7、一个质量为M 的匀质圆锥体由锥面 222 yxz += 和平面 2=z 围成，试求：

(1) 重心坐标；(2) 关于中心轴的转动惯量；(3) 关于底直径的转动惯量；(4) 对坐标原点处质量为m的质点的引力。

【解】 (1) 0,0 == yx , =z32 ; (2)

5π ; (3) π

1617 ; (4) mk

23 π .

第八章 多元函数积分学§4 广义重积分

习 题

1. 讨论下列广义积分的敛散性：

166

（1） ∫∫≤+ −−1

2222 )1(yx

pyxdxdy

；

（2）dxdydz

x y z px y z ( )2 2 2

12 2 2 + ++ + ≤∫∫∫ 。

【解】 (1) ∫∫≤+ −−1

2222 )1(yx

pyxdxdy

∫ ∫ −=

π θ2

0

1

0 2 )1( prrdrd

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−

=−

−

=>

=+−

111

)1(11

1

0

12

ppp

rpp

p ππ

发散

发散

(2) dxdydz

x y z px y z ( )2 2 2

12 2 2 + ++ + ≤∫∫∫

∫∫∫=1

0 2

22

00

sinpr

drrdd ϕθϕππ

∫ −=1

0 224 prdrπ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<−=

2323,

234

p

pp

发散，

π

.

2．计算下列广义积分：

（1） ∫∫D

qp yxdxdy

，其中 1,1|),( ≥≥= xxyyxD ，且 p q> > 1；

（2） e dxdyxa

yb

xa

yb

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ≥

∫∫2

2

2

2

2

2

2

2 1

；

（3） ∫∫∫ ++−

3

222 )(

R

dxdydze zyx 。

2. 【解】(1) ∫∫D

qp yxdxdy dyyx

x

qp ∫∫+∞ −∞ −−

=11 ∫

∞+ −+−

−=

1

1

1dx

qx qp

))(1(1

qpq −−= .

(2) e dxdyxa

yb

xa

yb

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ≥

∫∫2

2

2

2

2

2

2

2 1

∫∫+∞ −=

1

2

0

2

rdredtab rπ

eabπ

= .

(3) ∫∫∫ ++−

3

222 )(

R

dxdydze zyx drredd r ϕθϕππ

sin2

0

2

00

2

∫∫∫+∞ −= ∫

+∞ −=0

22

2 rdre rπ

( ) drere rr ∫∞+ −

+∞− +−=

00

22

22 ππ2

2 ππ= 23

π= .

3．判别广义积分

167

∫∫ ++=

2 )1)(1( 22R yx

dxdyI

是否收敛。如果收敛，求其值。

3. 【解】 ∫∫ ++=

2 )1)(1( 22R yx

dxdyI ∫∫∞+

∞−

∞+

∞− ++= 22 11 y

dyx

dx 2π= .

4．设一元函数 f 在 ],0[ a 上连续，证明

∫∫∫ =−−≤≤≤

a

axy

dxxfdxdyyxxa

yf0

0

)())((

)( π 。

4. 【解】 ∫∫≤≤≤ −−axy

dxdyyxxa

yf

0 ))(()(

∫∫ −−=

a

y

adx

yxxayfdy

))(()(

0,

利用 tbax =+

−2

， 得 ∫ −− ))(( axxbdx c

abbax+

−−−

=2arcsin , 因此

π=−−∫

a

ydx

yxxa ))((1

,

于是

∫∫∫ =−−≤≤≤

a

axy

dyyfdxdyyxxa

yf0

0

)())((

)( π ∫=a

dxxf0

)(π .

第八章 多元函数积分学§5两类曲线积分

习 题

1. 求下列曲线的弧长：（1） ,2,3,3 32 tztytx === 自 )0,0,0(O 到 A（3，3，2）。（2） )0(,sin,cos +∞<≤=== −−− tezteytex ttt .【答案】 (1) 5 ; (2) 3 .

2. 计算下列第一类曲线积分（1） ∫ +

L

n dsyx )( 22 ，其中 L是圆心在原点，半径为 R的圆周。

（2） ∫L

dsy || ，其中 L是右半圆周 .22

,sin,cos ππ≤≤=== ttaytax

168

（3） dsyxL∫ + 22 ，其中 L是圆周 ).0(22 >=+ aaxyx

（4） dsyxL

)( 3/43/4∫ + ，其中 L为星形线 ).2

0(sin,cos 33 π≤≤== ttaytax

（5） ∫L

xyzds，其中曲线 L的参数方程为：

).10(21,

322, 22

3

≤≤=== ttztytx

（6） ∫ −L

dsyxx 22 ，其中 L是双纽线的右半支： θ2cos22 ar =

（ )44πθπ

≤≤− .

【解】 (1) 122 +naπ ; (2) 22a ; 若曲线是 abtbytax <<== 0,sin,cos ，则积分是

ccabb arcsin2 + , 其中

abac

22 −= ； （3） 22a ； （4） 3

7

a ； （5） 143

216；

（6） 3

223 a .

3. 曲线 xy ln= 的线密度 ,),( 2xyx =ρ 试求曲线在 3=x 到 15=x 之间的质量。

【解】 =m3

56 .

4. 求摆线 )0()cos1(),sin( π≤≤−=−= ttayttax 的重心，其中密度为常值。

【解】 M ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

34,

34 aa .

5、计算第二类曲线积分

（1） ,22∫ +L

dyxdxy 其中 L是上半椭圆 0,12

2

2

2

≥=+ yby

ax

，方向从 )0,(a 到

).0,( a−（2） ∫ +−

L

xydydxyx 2)( 2 ，其中 L为曲线 ,5xy = 方向从 )0,0( 到 );1,1(

（3） ∫ −+−L

dzxyzdydxzy 222 2)( , 其中 L为 .10:,,, 32 →=== ttztytx

（4） ∫ +−−+

L yxdyyxdxyx

22

)()(，其中 L为圆周 222 ayx =+ ，方向为逆时针方

向。

（5） ∫ −+L

ydzzdydxx 2 ，其中 L为 πθθθθ →=== 0:,sin,cos, azaykx

169

（6） ∫ +−L

ydzdydx , 其中 L为取逆时针方向的闭折线 ABCD，这里的 A，B，

C依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）。

【答案】 (1) 2

34 ab− ; (2)

211 ; (3)

351 ; (4) π2− ; (5) ππ 2

33

3ak

− ; (6) 21 .

6、弹力的方向指向坐标原点，力的大小和质点与原点的距离成正比，设此质点依

逆时针方向描绘出椭圆 12

2

2

2

=+by

ax

在第一象限的部分，试求弹力所做的功。

【解】 ab

ab − .

7、有一力场，其力的大小与力的作用点到Oxy平面的距离成反比，方向指向原点，试计算当质点沿直线 atx = , bty = , ctz = ( 0≠c )从点 ),,( cba 移动至点

)2,2,2( cba 时，该力场所作的功。

【解】 3rzyxkF kji ++

−= , kjil cdtbdtadtd ++= , 2222

1

cbaW

++= .

8、设 L为曲线 32 ,, tztytx === 上相应于 10: →t 的曲线弧，试把第二类曲线积分

∫ ++L

RdzQdyPdx 化为第一类曲线积分。

【解】 ( )∫ ++1

0

3223232 ),,(3),,(2),,( dttttRtttttQtttP .

第八章 多元函数积分学§6 第一类曲面积分

习 题

1. 求下列曲面的面积 （1） axyz = 包含在圆柱面 )0(222 >=+ aayx 内的部分；

（2）抛物面 azyx 222 =+ 包含在柱面 )0(2)( 2222 >=+ axyayx 内的部分；

（3）环面 ,sin)cos(,cos)cos( θθ ϕ+=ϕ+= abyabx ϕ= sinaz ,20( π≤ϕ≤)20 πθ ≤≤ 其中 ba <<0 .

170

【答案】 (1) 2

23

4

3]1)1[(2

aa −+π

; (2) 2

435

34 a⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π; (3) ab24π .

2. 计算下列第一类曲面积分

（1） ∫∫Σ

dSz1，其中Σ是球面 2222 Rzyx =++ 被平面 )0( Rhhz <<= 截出的顶

部；

（2） ∫∫Σ

++ ,)( dSzyx 其中Σ是左半球面 0,2222 ≤=++ yRzyx

（3） ∫∫Σ

+ dSyx )( 22 ，其中Σ是区域 1|),,( 22 ≤≤+ zyxzyx 的边界；

（4） ∫∫Σ

++ dSzxyzxy )( ，其中Σ为锥面 22 yxz += 被柱面 axyx 222 =+ 所截出

的部分， .0>a

（5） ∫∫Σ ++

dSzyx 222

1，其中Σ是圆柱面 222 ayx =+ 介于平面 0=z 与 Hz = 间

的部分。

(6) ∫∫Σ

xdS，其中Σ是螺旋面 avzvuyvux === ,sin,cos 在

20,0|),( π≤≤≤≤= vruvuDuv 的部分。

【答案】 (1) ; (2) 3Rπ− ; (3) )21(2

+π

; (4) 4

15264 a ; (5)

aHarctan2π ;

3. 求抛物面壳 )(21 22 yxz += 在 ]1,0[∈z 部分的质量，已知其面密度 .),,( zzyx =ρ

【答案】 ( )136152

+π

4. 求质量均匀分布的上半球壳 0,2222 ≥=++ zazyx 的重心坐标.

171

【答案】 3a

5. 计算 ∫∫Σ

zdS ，其中Σ是由圆柱面 122 =+ yx ，平面 0=z 和 1+= xz 所围成

区域的边界曲面.

【答案】 dSz∫∫Σ

dSzdSzdSz ∫∫∫∫∫∫ΣΣΣ

++=321

, 1Σ 是底面, 2Σ 是顶面, 3Σ 是侧面.

01

=∫∫Σ

dSz , ∫∫∫∫ +=Σ

1

0

2

02)1cos(

2

rdrrddSz θθπ

π2= ,

计算 dSz∫∫Σ3

, 投影到 xOz平面, 曲面 21 xy −= , 21 x

xyx−

−=′ , 0=′zy ,

dxdzyydS zx221 ′+′+=

21 xdxdz−

= ,

dSz∫∫Σ3

∫∫+

− −=

1

0 2

1

1 112

xdz

xzdx dx

xx

∫− −

+=

1

1 2

2

1)1(

23π

= . ππ 22

3+=I .

172

cxxxxdxx

x+−−−−=

−

+∫ 22

2

2

1212

arcsin23

1)1(

.

第八章 多元函数积分学§7 第二类曲面积分

习 题

1. 把第二类曲面积分

∫∫Σ

++ dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(

化为第一类曲面积分，其中

（1）Σ是平面 63223 =++ zyx 在第一卦限部分的上侧；

（2）Σ是抛物面 228 yxz −−= 在Oxy平面上方部分的上侧。

【解】 (1) ∫∫Σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ dSzyxRzyxQzyxP ),,(

532),,(

52),,(

53

(2)

dSyxRyQxP

∫∫Σ ++

++22 441

22

2. 计算第二类曲面积分

（1） ,∫∫Σ

++ zdxdyydzdxxdydz 其中Σ是由平面 ,0,0,0 === zyx

1,1,1 === zyx 所围立方体表面的外侧；

（2） ∫∫Σ

++ dxdyzdzdxydydzx 222 ，其中Σ是柱面 122 =+ yx 被平面 0=z 及 3=z 所

截部分的外侧；

（3） ∫∫Σ + 22 yx

dxdyez

，其中Σ是锥面 22 yxz += 及平面 1=z ， 2=z 所围立体表面的

外侧；

（4） ∫∫Σ

yzdzdx，其中Σ是上半椭球面： 0,12

2

2

2

2

2

≥=++ zcz

by

ax

的上侧。

【答案】 (1) 3; (2)将曲面分为左右两部分 21 ,ΣΣ , 1Σ 上21 xy −= ,

21 xxyx−

−=′ , 0=′zy ,

∫∫Σ1

( )∫∫≤≤≤≤− ′−+′−=3011

222

zx zx dxdzyzyyx ( )∫∫

≤≤≤≤− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

3011

2

2

3

11z

x dxdzxx

x;

173

2Σ 上21 xy −−= ,

21 xxyx−

=′ , 0=′zy , ∫∫Σ2

( )∫∫≤≤≤≤− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

3011

2

2

3

11z

x dxdzxx

x, 于

是 ∫∫∫∫∫∫ ΣΣΣ+=

21

dxdzx

xzx∫∫≤≤≤≤−

−=

3011

2

3

12 0= . (3) )1( −ee ; (4) π

4

2abc.

3. 已知向量场F和有向曲面Σ，求下列积分 ∫∫Σ

⋅ SF d ：

（1） kjiF yxyee xy 2++= ，其中Σ是抛物面 10,10,22 ≤≤≤≤+= yxyxz 的上

侧；

（2） kjiF zxy 3+−−= ，其中Σ是半球面 2216 yxz −−= 的上侧；

（3） kjiF yxxzzy 222 ++= ，其中Σ是由 ,1, 2222 =++= yxyxz0,0,0 === zyz 在第一卦限中所围立体表面的外侧；

（4） kjiF 2zxy ++= ，其中Σ是螺旋面 ,sin,cos vuyvux == ,vz =π≤≤≤≤ vu 0,10 的上侧。

【解】 (1) ( )dxdyeyxeyxI

yx

xy∫∫≤≤≤≤

−−=

1010

22 22 = e35

611

− ;

(2) yP −= , xQ −= , zR 3= , 2216 yxz −−= ,

dxdyyx

xyyx

xyzyx∫∫

≤+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

162222

22 16163

rdrr

rrd ∫∫−

−−=

4

0 2

222

0 16sincos2)16(3 θθθ

π π128= ;

(3) 0 ;

174

(4) vA sin= , vB cos−= , uC = ,

∫∫Σ

⋅ SF d duuvvuvudv )cossin( 21

0

22

0+−= ∫∫

π

6

3π= .

4. 求流速场 kjiV zxyzxy ++= 由内而外穿过单位球面在第一卦限部分的流量。

【解】 θcossinϕ=x , θsinsinϕ=y , ϕ= cosz , θθ

cossin),(),( 2 ϕ=

ϕDzyD

,

θθ

sinsin),(),( 2 ϕ=

ϕDxzD

, ϕϕ=ϕ

cossin),(),(

θDyxD

, 于是

∫∫Σ

⋅ Sv d ∫∫ ++=S

zxdxdyyzdzdxxydydz

( )∫∫ ϕϕϕϕ+ϕϕ+ϕ= 20

22232420

cossincossincossinsincossinππ

θθθθ dd163π

= .

5. 求向量场 kjiF zyx ++= 由里向外穿过锥体 hzyx ≤≤+ 22 表面的通量。

【解】 ∫∫Σ

++= zdxdyydzdxxdydzI ∫∫∫Ω

= dV3 hh ⋅⋅= 2

313 π 3hπ= .

第八章 多元函数积分学§8 Green 公式和 Stokes 公式

习 题

1. 利用 Green公式计算第二类曲线积分

（1） ∫ −+−L

dyxxdxyyx )3

()2(3

2 ，其中 L是由直线 xyxy 2, == 和 1=x 构成的

三角形的周边，以逆时针为正向；

（2） ∫ −++L

dyyxdxyx )()( ，其中 L是由方程 1|||| =+ yx 确定的闭曲线，以逆

时针为正向。

（3） ∫ ++−L

e ydydxeyx

arctan)( 2 其中 L是由两条抛物线 2xy = 和 2yx = 所围区

域的边界，以逆时针为正向。

（4） ∫ −−−L

x dyyydxye ])sin()cos1[( ，其中 L是区域

xyyxD sin0|),( ≤≤= 0 π≤≤ x 的边界，以逆时针为正向。

【解】 (1) 21 ; (2) 0 ; (3)

103

− ; (4) ( )πe−151 .

2. 利用第二类曲线积分计算面积：

175

（1） 由抛物线 axyx =+ 2)( 和 x轴围成的平面图形；

（2） 由旋轮线段⎩⎨⎧

−=−=

),cos1(),sin(tayttax

]2,0[ π∈t 与 x轴围成的平面图形。

【解】(1) 曲线的参数方程

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

atty

atx

2

2

, at ≤≤0 . 6

2aA = ; (2) π22a .

3. 利用 Green公式计算下列第二类曲线积分（1） ∫ +−−

L

dyyxdxyx )sin()( 22 ，其中 L是圆周 22 xxy −= 上由（0，0）到

（1，1）的一段弧。

（2） ∫ −+−L

x dyyyxdxxeyx )sin31()3( 32 其中 L是沿摆线 ttx sin−= ,

ty cos1−= 从点 O（0，0）到点 A )2,(π 的一段弧。

【解】 (1) 作辅助线 则

∫ +−−L

dyyxdxyx )sin()( 22 dxxdyydxdyD

∫∫∫∫ ++−=1

0

21

0

2 )sin1(0 1cos1sin21

67−−= .

(2) 类似(1) 作辅助线,

∫ −+−L

x dyyyxdxxeyx )sin31()3( 32

dxxedyyydxdy x

D∫∫∫∫ −−+=π

π0

2

0

331 3)sin(0

= 32cos22sin)1(33

2 3

−+−−− πππ e .

4. 利用 Stokes公式计算第二类曲线积分：

(1) ∫ ++L

xdzzdyydx ,其中 L是圆周⎩⎨⎧

=++=++

0

2222

zyxazyx

,顶视为逆时针走向；

176

(2) ∫ +++++L

dzyxdyxzdxzy )()()( 222222 ,其中 L是上半球面 222 yxRz −−= 与

圆柱面 )02(222 >>=+ rRrxyx 的交线，顶视为逆时针走向；

(3) ∫ −+−+−L

dzyxdyxzdxzy )()()( ，其中 L为椭圆⎩⎨⎧

=+=+abazbxayx 222

)0,0( >> ba ，从 x轴正向看去，取逆时针走向。

(4) dzyxdyxzdxzyL

)()()( 222222 −+−+−∫ ,其中 L是用平面23

=++ zyx 截立方体

10,10,10 ≤≤≤≤≤≤ zyx 的表面所得的截线，顶视逆时针走向。

【解】 (1) 23 aπ− ; (2) 0 ; (3) )(2 baa +− π ; (4) 29

− .

5、设 f 是 ]1,0[ 上的连续正值一元函数。平面区域

10,10|),( ≤≤≤≤= yxyxD ，C为D的正向边界。证明

2)(

)( ≥−∫C

dxxf

ydyyxf 。

【解】 ∫ −C

dxxf

ydyyxf)(

)( ∫∫∫∫ +++=4321 LLLL 1L 是线段 )0,0( 到 )0,1( , 2L 是线

段 )0,1( 到 )1,1( , 3L 是线段 )1,1( 到 )1,0( , 4L 是线段 )1,0( 到 )0,0( ,直接计算得

041

== ∫∫ LL, ∫ −

C

dxxf

ydyyxf)(

)( ∫∫ +=1

0

1

0 )(1)( dxxf

dyyf ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0 )(1)( dttf

tf 2≥ .

6、设D为两条直线 xy = ， xy 4= 和两条双曲线 1=xy ， 4=xy 所围成的区域，

D∂ 取为正向， )(uF 是具有连续导数的一元函数，记 )()( uFuf ′= . 证明

∫∫ =∂

4

1)(2ln)( duufdy

yxyF

D

.

【解】 运用 green公式 dyyxyF

D∫∂

)( dxdyxyfD∫∫= )( , 做代换 v

xyuxy == , ,

vJ

21

= ,

于是 dyyxyF

D∫∂

)( dvv

ufdu∫∫=4

1

4

1 21)( ∫=

4

1)(2ln duuf .

第八章 多元函数积分学§9 旋度和无旋场

习 题

177

1. 求下列向量场的旋度（1） ;3)3()23( 22 kjiF xyzxzyyzx +−++=（2） kjiF yxxzzy 222 ++=（3） .)()()( kjiF zRyQxP ++=

【答案】 (1) )23,33,36( 22 −−−+ zyxxxy ;

(2) )2,2,2( 222 zyzyxyzxx −−− ;

(3) )0,0,0( .

2、求向量场 kjiF 23 3)()( xyyzxzx +++−= 沿圆周 L： 222 yxz +−= ， 0=z的环流量，顶视 L为逆时针方向。 【解】 kjiF ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++= ,

∫ ⋅=ΓL

dsτF ∫∫Σ

′−′+′−′+′−′= dxdyPQdzdxRPdydzQR yxxzzy )()()(

∫∫≤+

−=4

2

22

)03(yx

dxdyx π18= .

3、利用 Stokes公式把 ∫∫Σ

⋅ SF drot 化为曲线积分，并计算积分值

（1） Σ++= ,cos kjiF zexxyz xy 是半球面 0,1222 ≥=++ zzyx 的上侧；

（2） Σ++= ,kjiF xyxzyz 是 4222 =++ zyx 包含于柱面 122 =+ yx 内部且 0>z 的

部分，取上侧。

【解】(1) ∫∫Σ

⋅ SF drot ∫ ++=C

RdzQdyPdx , 0,1: 22 ==+ zyxC . 于是 0=P ,

0=dz , ∫∫Σ

⋅ SF drot ∫= CQdy dttt∫=

π2

0coscos ππ

==2

2 .

(2) =I ∫∫Σ

⋅ SF drot ∫ ++=C

xydzxzdyyzdx , 3,sin,cos: === ztytxC ,

dtttttI ∫ +−=π2

0)coscos)sin((sin3 02cos3

2

0=∫ dtt

π

4. 证明下列向量场为势量场，并求其势函数：（1） ;sin)cos()cos( kjiF zxyxxyy ++=（2） jiF )sincos2()sincos2( 22 yxxyxyyx −+−= 【答案】(1) 0rot =F , czxyzyxu +−= cos)sin(),,(

(2) xyyxxQ

yP sin2sin2 −−=

∂∂

=∂∂ ,

178

),( yxu = ∫ −+−),(

)0,0(

22 )sincos2()sincos2(yx

dyyxxydxxyyx

= ∫ −+−)0,(

)0,0(

22 )sincos2()sincos2(x

dyyxxydxxyyx

∫ −+−+),(

)0,(

22 )sincos2()sincos2(yx

xdyyxxydxxyyx cyxxy ++= coscos 22

5. 验证下列微分形式均是全微分，求其一个原函数：（1） ;2 2dyxxydx +

（2） .)128()83( 2322 dyyeyxxdxxyyx y++++【解】（1） 沿直线 )0,()0,0( x>− 及 ),()0,( yxx >− 积分得

),( yxu ∫ +=),(

)0,0(

22yx

dyxxydx ∫∫ +++=),(

)0,(

2)0,(

)0,0(

2 22yx

x

xdyxxydxdyxxydx

cyx ++= 20 cyx += 2 ；

（2）（1） 沿直线 )0,()0,0( x>− 及 ),()0,( yxx >− 积分得

∫ ++++=)0,(

)0,0(

2322 )128()83(),(x y dyyeyxxdxxyyxyxu

∫ +++++),(

)0,(

2322 )128()83(yx

x

y dyyeyxxdxxyyx

dyyeyxx yy)128(

0

23 ++= ∫ yy eyeyxyx 12124 223 −++= c+

6. 验证下列各积分均与路径无关，并计算积分值：

（1） ;)4,3,2(

)1,1,1(

333∫ ++ dzzdyydxx

（2） ;)2()2()2()2,2,2(

)0,0,0(∫ ++++++++ dzzyxxydyzyxzxdxzyxyz

（3） .cos)sin()

3,2,3(

)0,0,0(∫ +++π

zdzxxdydxzy

【解】 (1) 4

350; (2) 48 ;

(3) .cos)sin()

3,2,3(

)0,0,0(∫ +++π

zdzxxdydxzy

∫=3

00dx ∫+

2

03dy ∫+ 3

0cos3

π

zdz3

sin36 π+=

2336 += .

第八章 多元函数积分学§10 Gauss 公式和散度

习 题

179

1．利用 Gauss公式计算下列曲面积分：（1） ∫∫

Σ

++ ,333 dxdyzdzdxydydzx 其中Σ是球面 4222 =++ zyx 的外侧；

（2） ∫∫Σ

−+− dydzzyxdxdyyx )()( ，其中Σ为柱面 122 =+ yx 及 1,0 == zz 所围立体

表面，定向取外侧；

（3） zdxdyyacydzdxxcbxdydzzba 222222222∫∫Σ

++ ，其中Σ是上半椭球面

0,12

2

2

2

2

2

≥=++ zcz

by

ax

，定向取下侧；

（4） ∫∫Σ

++ ,32 223 zdxdyydzdxxzdydzx 其中Σ是由抛物面 224 yxz −−= 和Oxy坐标

面所围立体表面的内侧；

（5） ∫∫Σ

++++ zdxdydzdxxzydydzzyx 3)sin()sin( 33 ，其中Σ是由两个半球面

2222 1,4 yxzyxz −−=−−= 和平面 0=z 所围立体表面的外侧；

（6） ∫∫Σ

++ dSzyx )22( 2 ，其中Σ是单位球面 1222 =++ zyx 。

【解】 (1) 3

512 aπ ; (2)

2π

− ; (3) π333

52 cba− ; (4) π32− ; (5) π

5194 ; (6) 0 .

2．求 Fdiv 在指定点的值：

（1） )222 kjiF zyx ++= ，在点 P（-1，1，2）；（2） )( kjiF zyxxyz ++= ，在点 P（1，3，2）。【答案】 (1) 4 ; (2) 36 .

3．设 kjiF ),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxP ++= 是无源场，

∫∫ −=y

y

z

zdzxRdyxQzyxX

00

),,(),,(),,( 0 ηηξξ ，

∫−=z

zdyxPzyxY

0

),,(),,( ξξ ，

jiG ),,(),,(),,( zyxYzyxXzyx += 。

证明： FG =rot 。

【解】由已知， 0div =F ， 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zR

yQ

xP .

Grot kji ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=yX

xY

zX

zY

kji ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +′−′−++= ∫∫ ),,(),,(),,( 0

00

zyxRdyxQdyxPQPz

z y

z

z x ξξξξ , 由于

180

zyx RQP ′−=′+′ , 于是 ∫∫ ′−′−z

z y

z

z x dyxQdyxP00

),,(),,( ξξξξ dzyxRz

z z∫ ′=0

),,( ξ

),,(),,( 0zyxRzyxR −= , 因此Grot kji RQP ++= F= .

4．求向量场 kjiF )()()( yxzxzyzyx +−++−++−= 由内向外穿过椭球面

12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax

的通量。

【答案】 πabc4 .

5.设函数 ),,(),,,( zyxQzyxP 和 R x y z( , , )在 3R 上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲面Σ，成立

0=++∫∫Σ

RdxdyQdzdxPdydz 。

证明在 3R 上, 0≡∂∂

+∂∂

+∂∂

zR

yQ

xP

。

【解】 反证法. 设某一点M 有 0≠∂∂

+∂∂

+∂∂

zR

yQ

xP , 不妨设 0>=

∂∂

+∂∂

+∂∂ K

zR

yQ

xP

由于具有连续偏导数, 因此在M 的一个邻域 )(MΩ 内 02>>

∂∂

+∂∂

+∂∂ K

zR

yQ

xP , 于是

∫∫Ω∂

++)(M

RdxdyQdzdxPdydz dVzR

yQ

xP

M∫∫∫Ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=)(

∫∫∫Ω

>)( 2M

dVK 0> , 与已知矛盾, 因

此在 3R 上, 0≡∂∂

+∂∂

+∂∂

zR

yQ

xP .

6．设 akjir ,zyx ++= 为常向量。验证：

（1） 0)( =×⋅∇ ra ；

（2） ara 2)( =××∇ ；

（3） ( ) ararr ⋅=⋅⋅∇ 2)( 。

【解】 (1) )( ar ×∇⋅= 00 =⋅= r ;

(2) 设 kjia cba ++= , 则

kjira )()()( bxayazcxcybz −+−+−=× )(2 kji cba ++= a2= ;

(3) ( )arr )( ⋅⋅∇ = ( )a)( 222 zyx ++⋅∇

czyxz

bzyxy

azyxx

)()()( 222222222 ++∂∂

+++∂∂

+++∂∂

=

czbyax 222 ++= ar ⋅= 2 .

7．验证： fgfgfg ∆+∇⋅∇=∇⋅∇ )( ，其中 g和 f分别具有一阶和二阶连续偏导数。

181

【解】 ( )fg∇⋅∇ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=zfg

zyfg

yxfg

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=xf

xg

yf

yg

xf

xg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+ 2

2

2

2

2

2

zf

yf

xfg

fgfg ∆+∇⋅∇= .