有効座席 ( 出席と認められる座席 )

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右列

第 2 章　空間運動　演習　

目 次 　　ページ「第 2 章 空間運動」要点

演習１　最高点、落下点　

　　最高点

　　落下点

演習２　指定点落下

　　のための投射角

1

2

3

4

5

0

操　作　法

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目

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a0t + v0y

- g

「第 2 章 空間運動」 要点

速度 vx = 座標 x = 　

002

02

1ytvta y

地表付近の放物運動では

加速度 ax= 　 　

初期座標 (x0, y0)

y最高点の条件

落下点の条件

a0ay=0

x0 x

y0

v0

v0x vy =

y =v0xt+x0

初速度(v0x , v0y)等加速度運動

a

(a0 は定数 )

dtdz

dtdvz

座標 r = (x, y, z) 　

v

dtdv

速度

加速度

dtdr

a

dtdxxv yv

dtdy

zv

xadt

dvx yadt

dvy za

vy =0

y =0

a0=

- g

- g

v0x

v0y

0目

初期座標 (x0, y0)=( 　 , ) 、10m

加速度 (ax, ay)=( 　 , ) の　　　　　　　　運動。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　地上 10 m の高さから砲丸を速さ 20m/s で仰角 30° の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。

y0

落下点

y解　投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。　

–g

即ち、初速度 (v0x , v0y) =( 　　　　　 , 　　　　　 )v0 cosθ v0 sinθ

0

初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=20m/s 30°

=( 　　　　 , 　　　 )m/s310 10 (v0 ,θ で )( 数値 )

x0

v0θ

v0 θ

v0x

v0y

最高点

0

鉛直下方に重力加速度 g=9.8m/s2

等加速度

２章　演習１　最高点、落下点

1目

２章　演習１　最高点、落下点

加速度 (ax, ay)=( 　 , ) の　　　　　　　　運動。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　地上 10 m の高さから砲丸を速さ 20m/s で仰角 30° の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。

y0

y解　投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。　

–g

初期座標 (x0, y0)=( 　 , ) 、

即ち、初速度 (v0x , v0y) =( 　　　　　 , 　　　　　 )v0 cosθ v0 sinθ

0 10m

初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=20m/s 30°

=( 　　　　 , 　　　 )m/s310 10 (v0 ,θ で )( 数値 )

x0

v0θ

v0 θ

v0x

v0y

0

鉛直下方に重力加速度 g=9.8m/s2

等加速度

落下点

最高点

最高点 t =(vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 v0x未知 未知

落下点 t =(vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　 )未知 v0x 未知 未知 0

最高点時刻の記述なしvy = 0

y = 0

落下時の速度鉛直成分の記述なし

速度水平成分は不変vx は初速度と同じ

加速度は鉛直だから

0

1目

加速度 (ax, ay)=( 　 , ) の　　　　　　　　運動。

y0

解　投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。　

–g

初期座標 (x0, y0)=( 　 , ) 、

即ち、初速度 (v0x , v0y) =( 　　　　　 , 　　　　　 )v0 cosθ v0 sinθ

0 10m

初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=20m/s 30°

=( 　　　　 , 　　　 )m/s310 10 (v0 ,θ で )( 数値 )

x0

v0θ

v0 θ

v0x

v0y

0

鉛直下方に重力加速度 g=9.8m/s2

等加速度

落下点

最高点 t =(vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 v0x 0 未知 未知落下点 t =(vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 v0x 未知 未知 0

y = 0

(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2

落下点　 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　 , 　 )未知 , v0x 未知 未知 0

、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 未知v0x 0

=( , )m/s310 10

(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10

(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 未知v0x 0

=( , )m/s310 10

(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 未知v0x 0

=( , )m/s310 10

・・・・・

= ・・・・・

= ・・・・

(c) 投射点から最高点までの水平距離は (a) の時刻の x の値。１未知数の式から解く

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

y0

x0

y

∴t = 　(b) 最高点の高さ

002

2

1ytvgt y

g

v y

2

20

x =

y= 15m答

m )10( 2

==

( 解く ) ( 数値代入 ) ( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )

公式 ( 数値代入 ) ( 計算 )

公式

( 式代入 )

1.0s答1.02s=( 10m/s)=

v0xt +x0

(a) 最高点の時刻

= - g t + v0y

公式より

(9.8m/s2)

)8.9(210

v0y2

―g 2

v0y―g

v0y―g

は (a) の時刻 t の y の値　

方針最高点vy = 0

未知

0

108.9

/

v0y2

―g

v0y2

―g 0y

t 　

/v0ygg =

未知数 t は既知になった

g

2目

g

(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 未知v0x 0

=( , )m/s310 10

y0

x0

y

(b) 最高点の高さ

002

2

1ytvgt y

(c) 投射点から最高点までの水平距離

x =

y=答

==

( 解く ) ( 数値代入 )

公式 ( 数値代入 )

公式

( 式代入 )

=

v0xt +x0

(a) 最高点の時刻

= - g t + v0y

公式より

は (a) の時刻 t の y の値　

は (a) の時刻の x の値。

最高点vy = 0

0

15mm )10( 2

( 10m/s) (9.8m/s2)

)8.9(210

/( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )

1.0s答1.02s=

( 計算 )

g

v y

2

20

0y

t 　

/v0y=

v0y―g

yv0

gxv0

0x 18m答

= m

=

( 式代入 ) ( 数値代入 )( 計算 )17.7m=

(2 桁 )108.9

0310 2

目

落下点　 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　 , 　　 )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10

g

(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 未知v0x 0

=( , )m/s310 10

y0

x0

y

(b) 最高点の高さ

002

2

1ytvgt y

(c) 投射点から最高点までの水平距離

x =

y=答

==

( 解く ) ( 数値代入 )

公式 ( 数値代入 )

公式

( 式代入 )

=

v0xt +x0

(a) 最高点の時刻

= - g t + v0y

公式より

は (a) の時刻 t の y の値　

は (a) の時刻の x の値。

最高点vy = 0

0

15mm )10( 2

( 10m/s) (9.8m/s2)

)8.9(210

/( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )

1.0s答1.02s=

( 計算 )

g

v y

2

20

0y

t 　

/v0y=

18m答

m

=

( 式代入 ) ( 数値代入 )( 計算 )17.7m=

108.9

0310 yv0

gxv0

0x=

落下点　 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　 , 　　 )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10

= ・・・

は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離１未知数の式から解く

x = v0xt + x0

公式

002

2

1ytvgt y

公式より(d) 落下点に達する時間

y0

x0

y 落下点y = 0方針

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

0

未知

∴t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

・・・・・

3目

落下点　 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　 , 　　 )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10

= ・・・

は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離１未知数の式から解く

x = v0xt + x0

公式

002

2

1ytvgt y

公式より(d) 落下点に達する時間

y0

x0

y 落下点y = 0

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

0

未知

∴t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

(2 次方程式の解 )

02 cbtat2 次方程式の解

acabb

t 2

4 2

v0y + 2gy0(-g/2)

-g/2= v0y

= y0

=

v0y

∴t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

g

gyvv yy 02

00 2

3目

落下点　 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　 , 　　 )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10

= ・・・

は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離

x = v0xt + x0

公式

002

2

1ytvgt y

公式より(d) 落下点に達する時間

y0

x0

y 落下点y = 0

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

0

未知

∴t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

(2 次方程式の解 )

g

gyvv yy 02

00 2∴t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

2.78s– 0.735s 2.8s 答,=

s 1010 2

=

負の値は題意に適さないので

( 数値代入 )

( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )

)8.9(2

8.9

)10(

=

10 10 8.9 10

296 = 17.2√

3目

落下点　 t = (vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　 , 　　 )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10

=

48m答

48.2m=(t 代入、数値代入 ) ( 計算 )

( 有効数字 2 桁 )

0= ・・・ m/s)3(10 ( 　　　 ) +

は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離

x = v0xt + x0

公式

∴t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

g

gyvv yy 02

00 2

答,=

=

負の値は題意に適さないので

(2 次方程式の解 ) ( 数値代入 )

( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )

002

2

1ytvgt y

公式より(d) 落下点に達する時間

y0

x0

y 落下点y = 0

0

2.78s– 0.735s

s 1010 2 )8.9(2

8.9

)10(

2.8s

=

296 = 17.2√

2.78s 3目

地上 0 m の高さから砲丸を速さ 14m/s で打ち出す。前方 10m の地点に落下させるにはいくらの仰角で打ち出したらよいか。発射何秒後に落下するか。空気抵抗は無視する。

２章　演習２　指定点落下のための投射角

落下点

y解　投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。　

加速度 (ax, ay)=( 　 , ) の　　　　　　　 運動。

初期座標 (x0, y0)=( 　 , ) 、0m 0m

初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=14m/s 未知

x0

v0 θ

即ち、初速度 (v0x , v0y) =( 　　　　　 , 　　　　　 )v0 cosθ v0 sinθ(v0 ,θ で )

v0θ

v0x

v0y

–g0

鉛直下方に重力加速度g=

9.8m/s2

等加速度

落下点 t =(vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 v0x 未知 10m 0

y = 0

落下時の速度鉛直成分の記述なし

4目

(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)

g= 9.8m/s2,

v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,

0 )

加速度 (ax, ay)=( 　 , ) の　　　　　　　 運動。

–g0 等加速度

落下点 t =(vx , vy)=( 　　　 , 　　　 ), 　(x , y )=( 　　　　 , 　　　　 )未知 v0x 未知 10m 0

4目

鉛直下方に重力加速度g=

9.8m/s2

v0 cosθ v0 sinθ

初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=14m/s 未知初期座標 (x0, y0)=( 　 , ) 、0m 0m

v0θ

v0x

v0y

即ち、初速度 (v0x , v0y) =( 　　　　　 , 　　　　　 )

y

x0

v0 θ

y

x0

v0 θ

落下点 y = 0

y = 0落下点

(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)

g= 9.8m/s2,

v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,

0 ) y

x0

v0 θ y = 0

落下点

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

v0sinq

v0sinq

未知

v0cosq

00

5目

(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)

g= 9.8m/s2,

v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,

0 ) y

x0

v0 θ y = 0

落下点

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

v0sinq

v0sinq

未知

v0cosq0

1 未知数の式　ない　　x,y の公式から t を消去　　

tvtg y02

2

10 =

t 　　　　　　　　　　　　　　 　

( 解く ) yv02 / g=

x = =v0xt = この 2 式から t を消去　　( 下式に代入して t 消去 )

2 xv0 gv y /0 2 0v 0v sin cos g/2 20v 2sin g/

sin2q

移項

=

(2 倍角の公式 )

5目

( 下式に代入して t 消去 )

(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)

g= 9.8m/s2,

v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,

0 ) y

x0

v0 θ y = 0

落下点

002

2

1ytvgty y

yy vgtv 0xx vv 0

00 xtvx x

v0sinq

v0sinq

未知

v0cosq0

1 未知数の式　ない　　x,y の公式から t を消去　　

tvtg y02

2

10

t 　　　　　　　　　　　　　　 　

( 解く ) yv02 / g=

x = =v0xt = 2 xv0 gv y /0 2 0v sin cos g/2 20v 2sin g/

2sin

9.8m/s2

50.0( 解く ) x g

20v

10m2) ( m/s14

150,30 2 答 75 ,15

t = 　　　　　　　　　　　　　　 　

t 2.8s s,74.0 答2 sin0v g/14m/s 9.8m/s2

5目

第 2 章　空間運動　演習　終り　

前で 1 章演習レポートを提出し、　 3 章講義課題　返却物　再チャレンジの説明を受け取ってください。