一、直线的一般式方程二、直线的点向式方程与参数方程三、 两直线的夹角四、直线与平面的夹角

五、小结

x

y

z

o

1

2

定义 空间直线可看成两平面的交线．

0: 11111 DzCyBxA

0: 22222 DzCyBxA

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

—— 空间直线的一般方程

L

思考：直线的方程唯一吗？

x

y

z

o

方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．

sr

L

),,,( 0000 zyxM0MM

( , , ) ,M x y z L

0M M sr

//

{ , , },s m n pr

},,{ 0000 zzyyxxMM

pzz

nyy

mxx 000

—— 直线的点法式方程

直线的一组方向数

注 1 ：方向向量的余弦称为直线的方向余弦 .

0

0yyxx

直线方程为例如 , 当

,0,0 时 pnm

注 2 ：某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .

tpzz

nyy

mxx

000令

ptzz

ntyy

mtxx

0

0

0

则可得直线的参数方程

由点法式方程pzz

nyy

mxx 000

思考：若给定直线的方程， 怎样求得求直线的方向向量？

例 1 用点向式方程及参数方程表示直线1 0

2 3 4 0

x y z

x y z

解 在直线上任取一点 ),,( 000 zyx

取 10 x 0 0

0 0

2 0

3 6 0

y z

y z

解得 2,0 00 zy

点坐标 ),2,0,1(

因所求直线与两平面的法向量都垂直

取 1 2s n n r r r

},3,1,4{

点向式方程 ,3

2

1

0

4

1

zyx

参数方程 .

32

41

tz

ty

tx

例 2 一直线过点 )4,3,2( A ，且和 y轴垂直相

交，求其方程. 解因为直线和y轴垂直相交,

所以交点为 ),0,3,0( B

取 s BAr

},4,0,2{

则所求直线方程2 3 4

.2 0 4

x y z

思考：如何求经过两点的直线的方程？

即2 4

2 43 0

x z

y

定义

直线 :1L ,1

1

1

1

1

1

pzz

nyy

mxx

直线 :2L ,2

2

2

2

2

2

pzz

nyy

mxx

22

22

22

21

21

21

21212121

||),cos(

pnmpnm

ppnnmmLL

^

两直线的方向向量的夹角称之 . （锐角）

—— 两直线的夹角公式

两直线的位置关系：

21)1( LL ,0212121 ppnnmm

21)2( LL // ,2

1

2

1

2

1

p

p

n

n

m

m

直线 :1L

直线 :2L

1 {1, 4, 0},s r

2 {0,0,1},s r

1 2 0,s s r r

Q 1 2 ,s s r r

例如，

.21 LL 即

例 3 求过点 )5,2,3( 且与两平面 34 zx 和

152 zyx 的交线平行的直线方程 .

解 设所求直线的方向向量为 { , , },s m n pr

根据题意知 1 ,s nr r

2 ,s nr r

取 1 2s n n r r r

},1,3,4{

.1

5

3

2

4

3

zyx所求直线的方程

例4 求过点 )3,1,2(M 且与直线12

13

1

zyx

垂直相交的直线方程.

解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 ，则其方程为

0)3()1(2)2(3 zyx

再求题目所给的已知直线与该平面的交点N,

令 tzyx

121

31

.12

13

tz

ty

tx

代入平面方程得 ,73

t 交点 )73

,7

13,

72

( N

取所求直线的方向向量为 MN

MN }373

,17

13,2

72

{ },724

,76

,7

12{

所求直线方程为 .4

311

22

zyx

思考：如何求直线与平面的交点？

定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．

,: 000

p

zz

n

yy

m

xxL

,0: DCzByAx

{ , , },s m n pr

{ , , },n A B Cr

( , )2

s n

r r^( , )

2s n

r r^

0 .2

222222

||sin

pnmCBA

CpBnAm

—— 直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系：

L)1( .p

C

n

B

m

A

L)2( // .0 CpBnAm

.cos 2 cossin

2

例 5 设 直 线 :L2

112

1

zyx， 平 面

: 32 zyx ， 求 直 线与 平 面的 夹 角 .

解 {1, 1,2},n r

{2, 1,2},s r

222222

||sin

pnmCBA

CpBnAm

96|22)1()1(21|

.63

7

637

arcsin 为所求夹角．

1. 空间直线方程

一般式

点向式

参数式

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

tpzztnyytmxx

0

0

0

五、小结

,1

1

1

1

1

11 p

zznyy

mxx

L：直线

,2

2

2

2

2

22 p

zznyy

mxx

L：

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

直线

夹角公式 :

021 ss21 LL

21 // LL 021 ss

21

21cosss

ss

,0 DzCyBxA

Cp

Bn

Am

平面 :

L⊥

L //

夹角公式：

0 CpBnAm

sin

,pzz

nyy

mxx 直线 L

:

),,( CBAn

),,( pnms

0ns

0ns

ns

ns

练习题 . 求以下两直线的夹角

解 : 直线

直线

二直线夹角 的余弦为

02

02:2 zx

yxL

cos

从而4

的方向向量为

的方向向量为 )1,2,2(

)1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 )1()2(2

201

0112

kji

s

思考题

在直线方程p

zny

mx

62

24

中，m、

n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、

yoz都平行.

思考题解答{2 , ,6 },s m n p

r 且有 0.s rr

1 0, r r

Q s n2 0,s n

r r

02

06

m

p ,0,6 mp

0,s rr

Q ,0n

故当 时结论成立．,0m 6p,0n

坐标面xoy、 yoz方程分别为 0, 0z x

法线向量分别为 1 2(0,0,1), (1,0,0)n n r r

.