ブラックホール摂動論と重力波解析

大阪大学 宇宙進化研究室佐合 紀親

重力波物理冬の学校 / 第 4 回 TAMA シンポジウム2005.2.16-19 大阪市立大学

目次1. 導入2. Regge-Wheeler-Zerilli formalism

3. Teukolsky formalism

4. ブラックホール準固有振動5. まとめ

1. 導入

重力波源の候補

•コンパクト天体の連星系 (WD,NS,BH)•星の大質量ブラックホールへの落下•回転中性子星

•コンパクト天体連星の合体•星の重力崩壊 ( 超新星、ガンマ線バースト )

周期的、準周期的な重力波源

バースト的重力波源

その他の重力波源•インフレーション、相転移起源の背景重力波•裸の特異点

理論波形の必要性

Matched filtering

|)(|

)(~

)(~2

*

fS

fhfxdf

n

:)(

:)(~

:)(~

fS

fh

fx

n

データのフーリエ成分予測した理論波形ノイズスペクトル

観測データと理論波形の相関を取る。

観測データから効率良く、高精度で情報を引き出すためには理論波形を正確に求めておく必要がある。

* は複素共役の意

)()()( tntstx 観測データ重力波信号 ノイズ

重力波信号はノイズに埋もれている !!

)(ts と )(th が一致している)(ts と )(th にずれがある

は重力波の振幅は小さくなる

重力波波形の解析法

Inspiral phase :ポストニュートン法 merging phase :

数値相対論

ringdown phase :ブラックホール摂動法

同質量程度の連星系の場合

(v/c) で展開Einstein eq. を数値的に解く。非線形の効果が重要な場合

中心 BH の重力場が支配的( 背景時空 ) + ( 摂動 )

重力場の方程式

TRgRG 82

1

dxdxgds 2

•時空の計量 ( 時空を記述する )

•Einstein 方程式 ( 計量を決める方程式 )

))(( ,2 ggg で構成される

•10 本の連立偏微分方程式•計量テンソルの 10 成分がカップル•計量について非線形

3,2,1,0, 0 : 時間成分(1,2,3) : 空間成分

厳密解

•Schwarzschild 解 ( 球対称、真空解 )

) sin( 222221

22 21

21 ddrdrdtds

r

M

r

M

•Kerr 解 ( 軸対称、真空解 )

2222

222

22

22

dsin sin2

sin421

rMaar

drdtdMarMr

d

dtds

22222 2 , cos aMrrar

•Minkowski 解 ( 平坦な時空 )

)sin( 222222222 ddrdrdtddtds x

Einstein 方程式の線形化•計量の摂動 hgg (b)

•線形化された Einstein 方程式

背景時空Schwarzschild, Kerr( 真空解 ) 摂動

hghh (b)21

)(][][][ 2(1))( hOhgg GGG b

•エネルギー運動量テンソル(1)(b) TTT

)1((1) 8][ ThG

(b)T は背景時空を作る

(1)(b)||

(b)||

|| 82

2

1

ThRhghhh

ゲージ自由度

background

perturbed spacetime

(b)g

hgg (b)

摂動入り時空上の各点を背景時空へ写像。( 各点の座標値 x が与えられる )摂動は背景時空上のテンソル場と捉える。

この写像には自由度がある。 ( ゲージ自由度 )

xxx

x x

写像の取替え ゲージ変換

ゲージ変換は無限小座標変換で表現される。

Einstein 方程式の線形化 (flat case)

(1),,,,

,, 8

2

1

Thhhh

ゲージ変換 ( 無限小座標変換 ) xxx

,,, hhh

調和ゲージ条件 (Lorentz ゲージ条件 ) 0, h

,,, hゲージ方程式

調和ゲージ上での線形化 Einstein 方程式(1)

2

2

2

2

2

2

2

2

16 Thzyxt

0,, の自由度残る )( 但し、

Transverse-traceless(TT) ゲージ

平面波解0 0 ];exp[)(

kAkkxikAxh

ゲージ変換 0,, の自由度を決める )( 残った

]exp[

xikB

この変換により、

kBkBkBiAA

場の方程式 調和ゲージ条件

B の自由度を用いて以下のようなゲージを取ることができる。

0 ;0 ,03

1

0 j

jijkAAAA

波数 k について重ね合わせを考えると、

0 ;0 ,03

1

, TTTTTT0

j

jijhhh

(TT gauge)

重力波の偏極TT ゲージはゲージ自由度が固定されている。

重力波の真の物理的自由度を表す。

Cartesian 座標、 z- 軸正方向に進む平面波を考える。

0 ),,0,0,( )];(exp[3

1

TTTTTTTT j

jijijijij kAkkkztikAhh

yyxxyxxyyyyx

xyxx

ij AAAAAA

AA

A

, ;

000

0

0TT0 ,0 TT

3

1

TT

AkAj

jij

独立成分は Axx,Axy の 2 つ重力波の物理的自由度は 2

重力波の偏極 II重ね合わせ後、計量は以下の様に書ける。

22222 2)1()1( dzdxdyhdyhdxhdtds

)( ),( zthhzthh

x x

y y

+-mode ×-mode

極座標、動径方向に進む重力波の場合、 ddhdhdhrdrdtds sin2sin)1()1( 2222222

z

曲がった時空の場合

0|

h調和ゲージ条件

(1)(b)|

| 162

ThRh hghh (b)

2

1

(1)(b)||

(b)||

|| 82

2

1

ThRhghhh

偏微分→共変微分リーマンテンソル項

各成分は独立ではない。変数分離も非自明。

うまいゲージを選ぶ、方程式の変形等工夫が必要。

平坦の場合と違い、調和ゲージでは簡単に解けない。単純に平面波解を用いることができない。

Regge-Wheeler-Zerilli formalism for Schwarzschild caseTeukolsky formalism for Kerr case

2. Regge-Wheeler-Zerilliformalism

Regge and Wheeler, Phys. Rev. 108, 1063 (1957)Zerilli, Phys.Rev. D 2, 2141 (1970)

曲がった時空における摂動方程式•Schwarzschild 解 (静的、球対称、真空解 )

) sin( 222221

22 21

21 ddrdrdtds

r

M

r

M

背景時空が曲がっている場合、線形化 Einstein 方程式は、(1)(b)

|| 162

ThRh ( 調和ゲージ )

調和ゲージのゲージ不定性。平面波解を用いることができない。

1. 球面調和関数展開による変数分離。2. 自由度を固定できるゲージ条件を課す。3. ゲージ不変量に対する方程式の導出。

Strategy

テンソル球面調和関数展開•球対称時空中のスカラー場

),(),()( m

m

m Yrtx

角度依存性を球面調和関数で分離できる

テンソル場の場合も、角度依存性をうまく分離できる。

)()( ilmY : テンソル球面調和関数

　 ( 球面調和関数から作られる対称テンソル )

10

1

)()( )()( ),(i lm

ilm

ilm rthxh

Y

even parity odd parity

mmmm YWYX

2

2

22

2

sin

1cot ,cot2

)1( 1)1(

摂動、エネルギー運動量テンソルのテンソル球面調和関数展開

() 依存性を分離、 (t,r) の偏微分方程式にできる。さらに、時間についても Fourier 展開できる。

摂動方程式に代入

,),()(

ti

mm ertdthrh

ゲージ変換

•ゲージ変換による摂動の変化

•ゲージ変換 xxx

m

mmmmmmmm

mm

m

m

YrtMYrtMYrtMYrtM

YY

rt

),(,),(,),(,),(

sin,sin

,0,0),(

2210(even)

(odd)

)(2 hhh

ゲージ変換 (odd part)

),(2

),( 2 rthi

rt mm と選ぶことで dm-term を消去可能。

任意のゲージにおける摂動

ゲージ変換による摂動の変化

ゲージ変換 (even part)

2

22(e)11

2(e)00

2

2

),(),(),(

),(),(),(

),(2

),(

r

rtMrrthrtM

rtMrthrtM

rtGr

rtM

mrmm

mtmm

mm

mmm fbb ,,(0) -term を消去できる。

Regge-Wheeler ゲージ4 つのゲージ自由度を用いて以下のようなゲージを選ぶ。

0RW2

RWRW (e)1

RW (e)0 mmmm hGhh (Regge-Wheeler gauge)

•場の方程式

(bianchi 恒等式により、実質 2 本の方程式 )

odd part : mm hh 10 , に対する方程式 (Fourier 変換後 )

テンソル球面調和関数の最も複雑な項を消去ゲージが完全に固定される。

ここで、

とすると以下の方程式に帰結される。

(odd)(odd)(RW)22

*

(odd)2

][ )( mm

m SRVdr

Rdr

(Regge-Wheeler 方程式 )

32)( 6)1(2

1)(r

M

rr

MrV RW

(odd)mS : エネルギー運動量テンソルから求められる source term

(odd)mR はゲージ不変量

重力の物理的自由度に対応

even part : mmmm KHHH ,,, 210 に対する方程式

odd part より複雑だがやはり一本の方程式に帰結できる。

(even)(even)(Z)22

*

(even)2

][ )( mm

m SRVdr

Rdr

(Zerilli 方程式 )

2/)2)(1(

mmmm KHHH ,,, 210 は適切な微分演算を行うことで得られる。

…

(even)mR もゲージ不変量

重力の物理的自由度 2(odd/even)

mR

遠方での重力波の評価RW ゲージでの摂動をそのまま用いることはできない !

例えば、 )( ),( 10 rOhrOh

)(m1

(0)m0(odd) rO

r

h

r

h cc

h

から、

Cartesian に直すと h～ O(1)

摂動が～ O(1/r) となるようなゲージへ変換。(Zerilli ’70)

•無限遠方での摂動 ddhdhdhrdrdtds sin2sin)1()1( 2222222

mtri

m

mm Ye

AAd

rihh

2

)*((odd)

(even) 2)1(

2

1

mmmri

mr

m Xi

WYeAR

sin)1(2

1 , 2

*(odd/even)*(odd/even)

RWZ formalism のまとめフーリエ、球面調和関数展開適切なゲージの選択

場の方程式を動径方向に関する一次元問題に帰結。(odd/even)(odd/even)(RW/Z)2

2*

(odd/even)2

][ )( mm

m SRVdr

Rdr

適切な微分演算により展開係数を得る。

ゲージ変換により、重力波を評価できるゲージへ移す。

3.Teukolsky formalism

S.A.Teukolsky, Astrophys. J. 185, 635 (1973)T.Nakamura, K.Oohara, and Y.Kojima, PTP Suppl. 90, 110 (1987)

S.Chandrasekhar, Mathematical Theory of Black Holes

Kerr 時空における摂動方程式•Kerr 解 ( 定常、軸対称、真空解 )

2222

222

22

22

dsin sin2

sin421

rMaar

drdtdMarMr

d

dtds

22

cos2

222

aMrr

ar

Kerr case において摂動方程式はさらに複雑になる。球面調和関数 spheroidal harmonics

( テンソル球面調和関数に対応するspheroidal tensor harmonics は知られていない )

RW ゲージのような便利なゲージがない。

Newman-Penrose により導入されたゲージ不変量 4 に注目。

重力の物理的自由度•リーマンテンソル

CRggRgRgR ][31

][][

時空の曲率を表すテンソル計量の２階微分で表現される。 22 )(, ggOR

リッチテンソル

RgRRgR ,アインシュタイン方程式により物質項と直接結びついている。

ワイルテンソル

: 代数的独立成分 20個

: 代数的独立成分 10個

: 代数的独立成分 10個

リーマンテンソルの残りの成分真空の場合でもゼロではない 重力の物理的自由度を表す。

TRgR 82

1

C

テトラッド: 時空を張る 4 つの規格直交ベクトル

)()(

)()(

)()( , a

ab

ab

a eeee

•テトラッド

•光的テトラッド: 光的なベクトルで構成されるテトラッド

0

,1

0

mnmnmlml

mmnl

mmmmnnll

例えば、 Kerr 時空の場合、以下のように選ぶことができる。

sin 1, 0, ,sin

2 ,0 ,

2 ,

2 ,0 ,1 ,

cos2

1

2222

,

iia

aaraar

iarm

nl

22

222

2

cos

aMrr

ar

(m は複素ベクトル )

(Kinnersley’s null tetrad)

光的テトラッド

nl

ab

)(2

1 ibam

t

r

ln

Newman-Penrose quantities

mnmnC4

無限遠方において、

),1,0,0( ),0,0,,( ),0,0,1,1(

sin2sin)1()1(

sin21

21

21

2222222

i

rmnl

ddhdhdhrdrdtds

hh , は (t-r) (outgoing) の関数この時、

)(2

14 hih hhhh trtr , を用いた。

•ワイルスカラーと重力波の関係

•ワイルスカラー

•Newman-Penrose 形式光的テトラッドを基底として用いる解析手法輻射の問題を扱うのに便利

( ゲージ変換に対して不変な量 )

Newman and Penrose, J. Math. Phys. 3, 566 (1962)

Teukolsky 方程式Newmann-Penrose 形式を用いて 4 に対する方程式を導出。

ss TL 4(Teuk)

TT

ar

iar

:

cos

)cos(222

442

から決まる物質項

変数分離可能な方程式 !!

m

imtimsmss eSrRd

)()(

背景時空の定常、軸対称性によりフーリエ展開可能

Teukolsky 方程式 II•分離後の各成分に対する方程式動径方向 (radial Teukolsky eq.)

角度方向 (spheroidal eq.)

)(ms S : spheroidal harmonics

1)(sin0

2

ms Sd (規格化条件 )

amarKaMrrar )( ,2 , cos 2222222

2/ で正則 (境界条件 )

: 変数分離定数

Teukolsky 方程式の漸近解

無限遠方 )( rr

•Teukolsky 方程式の動径方向

0)()( 222/2

2

rRarrV

dr

dms

s 22

22

2 aMrr

ar

dr

dr

2

2

)()(

Mr

MriskrV

12

*out

*in)(

s

ri

m

ri

mmsr

eA

r

eArR

地平線 )( 22 raMMrr

*out*

in)( ikrms

ikr

mms eBe

BrR

r

sirV

2)( 2

Mr

mak

2

遠方での重力波の評価無限遠方において、動径方向の同次解は、

)exp()( 32

rirArR mm 22

22

2 aMrr

ar

dr

dr

)()cos(2

142

4

hihar r 一方、

])(exp[)(

]exp[)()(

22

22

2

4

2

2

imtriSA

d

imtiSrR

dihh

m

m

m

m

m

m

r

r

Teukolsky formalism のまとめNewman-Penrose により導入されたワイルスカラーに注目。

ワイルスカラーに対する変数分離可能な方程式を導出。

変数分離により、動径方向、角度方向の方程式を得る。

ワイルスカラーの無限遠方での表式から重力波を評価。

2/)(4 hihr ゲージ不変量、

ss TL 4(Teuk)

]exp[)()(

22

2

4

2

imtiSrR

dihh m

m

m

r

4. ブラックホール準固有振動

Quasi-Normal Mode とは•複素振動数を持つ

•無限遠方で外向き、地平線では内向きの波実部が共鳴振動数を、虚部が減衰率を表す。

])Re(exp[)exp()( )Im( tiAetiAth t

BH

無限遠方GW

horizon では内向きの重力波のみ(BH からの放出はない )

無限遠方では外向きの重力波のみ( 系外からの入射波は考えない )

S.Chandrasekhar and S.Detweiler, Proc. r. Soc. Lond. A. 344, 441 (1975)

QNM 振動数の求め方E.Leaver, Proc. r. Soc. Lond. A. 402, 285 (1985)

QNM の条件を満たす解を求める。

•動径方向の方程式

•地平線近傍での級数展開

0)(12

mm

RrVdr

dR

dr

d

0

22221 )()()(n

n

niiiri

mrr

rrarrrrerR

)( )(

)( 222

323

rrerr

rererR

ikri

ririi

m

漸近形は、

無限遠方で外向き、地平線で内向きになっている。

M

mar

rr

M

Mr

mak

2 ,

2

QNM 振動数の求め方 II•展開係数についての漸化式

),2,1( ,0

,0

11

0010

naaa

aa

nnnnnn

nnn ,, は a,m, の含む関数

2

21

1

100

3

322

211

1000

この方程式を満たす に対して、級数は収束。QNM 振動数

連分数方程式

Leaver の方法の利点

3

32

2

21

1

1000

am,, を固定して、 の解を探す。

•数値積分が不要。計算時間が短い。高精度の計算が可能。

•連分数は収束性良い。有限回の計算で十分な精度が得られる。

QNM (Schwarzschild case)

Fig.1 in Leaver Proc. R. Sco. Lond. A402, 285 (1985)

3:

2:

least damped mode

i177925.0747343.01

i185406.0198887.11

)2(

)3(

QNM (Kerr case)

Fig.3 in Leaver Proc. R. Sco. Lond. A402, 285 (1985)

QNM の a 依存性

m= モードは、a→0.5 の極限で実振動数 へ縮退

mode 5,4,3,2,1n

(Leaver の論文では a を2M で規格化しているので )5.0a

2m の場合の

Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)

=2, least damped mode の Kerr parameter依存性

Schwarzschild case (a=0) では縮退

ringdown 重力波波形QNM 振動数は離散的なので、

])(exp[)(22

2

imtriS

Aihh nm

m n

mn

n

n

r

=m=2, least damped mode に注目すると、

])Re(exp[),,(~

1)Im( 1 tierAihh t

])(2cos[)( 00/)( 0 ttfeth cQttfc

|)Im(|2

)Re( ,

2

)Re(

1

11

Qfc とおくと、

Leaver の結果をフィッティングすることで、45.0

1

sun

3.0 )1(0.2 ,])1(63.01[kHz32

aQ

M

Mafc

( ここでの a は M で規格化しているので )1a

F.Echeverria, PRD 40, 3194 (1989)

5.まとめ

まとめ : RWZ formalism•摂動のテンソル球面調和関数展開、フーリエ展開

摂動方程式をゲージ不変量に対する一次元問題に帰結。

(odd/even)(odd/even)(RW/Z)22

*

(odd/even)2

][ )( mm

m SRVdr

Rdr

•Regge-Wheeler ゲージの導入

時間、角度依存性を分離

ゲージ自由度を完全固定

mti

m

mm Ye

RRd

rihh

2

(odd)(even) 2

)1(2

1

•ゲージ不変量と遠方での重力波の関係

まとめ : Teukolsky formalism•ワイルスカラーを導入

•ワイルスカラーに対する変数分離可能な方程式を導出。

•変数分離により動径方向、角度方向の方程式を導出。

2/)(4 hihr

ゲージ不変量、遠方での重力波と関連

ss TL 4(Teuk)

]exp[)()(

22

2

4

2

imtiSrR

dihh m

m

m

r

•遠方での重力波

まとめ : ブラックホール準固有振動

•ブラックホール固有の振動モード

無限遠方で外向きの波地平線で内向きの波

境界条件

)( )(

)( 222

323

rrerr

rererR

ikri

ririi

m

複素数振動数を持つ。

•Leaver の方法連分数の収束性を利用した計算手法

高い精度で QNM 振動数を求められる。

( 系外からのエネルギー注入なし )

実部 : 固有振動数 虚部 : 減衰率

補足

平坦な時空の場合

(1)2

2

2

2

2

2

2

2

16 Thzyxt

||

)|,|(4

)1(3

xx

xxxx

tTdh

背景時空が平坦 (Minkowski) の場合、(1)(b)

|| 162

ThRh

遅延解 (retarded solution)

変数分離定数の求め方

0)(21

22)1(

2

2222

2

22

xSExsx

msxsmx

dx

dx

dx

dx ms

mssEax 2)1( , ,cos 2

Jacobi 多項式で展開

境界条件 : で正則1x

角度方向の方程式

変数分離定数 E に対する固有値問題

0

),()(2/2/

)()(2

1

2

1)(

n

nnms

xms xPA

xxexS

nnn

n

n

n xxdx

dxx

nxP

smsm

)1()1()1()1(!2

)1()(

,

),(

ここで、

E.D.Fackerell and R.G.Crossman, J. Math. Phys. 9, 1849 (1977)

変数分離定数の求め方 II•展開係数についての漸化式

),2,1( ,0

,0)1()()1(

)0(0

)1(0

nAAA

AAnmsn

nmsn

nmsn

msms

3

32

2

21

1

1000

am,, に対して固有値 E を決める方程式固定した

QNM (Kerr case)

QNM の a 依存性

m= モードは、a→0.5 の極限で実振動数 へ縮退

mode 5,4,3,2,1n2m の場合の

)Im(

)Re(

Fig.4 in Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)

QNM (Kerr case)

QNM の a 依存性

mode 5,4,3,2,1n1m の場合の

Fig.3 in Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)

)Re(

)Im(