مدل سينماتيکی روبات متحرک چرخدار

مدل سينماتيکی روبات متحرک چرخدار

ارائه دهنده : احسان ا.. غالمی

فهرست مطالب

مقدمه

طبقه بندی چرخها

( روبات متحرک چرخدارWMR)

مدل سينماتيکیMuir, Newman

تعريف روبات متحرک چرخدار (WMR)

( روباتی است که فقط از طريق حرکت کردن چرخواره هاwheel assembly های )تعبيه شده بر روی آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود.

چرخواره : وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه( با آن دارد را امکانپذير می سازد.rolling contactمشترک و يا يک تماس غلتان )

(Muir and Newman, 1986)

مقدمه

)روباتهای صنعتی ثابت )استفاده از نوار نقاله، دسترسی محدود

: روشهای غلبه بر مشکل دسترسی محدود روشflexible manufacturing cellاحاطه روبات توسط ماشينهای ديگر، اندازه ماشينها : استفاده از ريل )مسير شناخته شده، مدل کردن و کنترل L متحرک کردن روبات : مثال

ساده تر

انتقال فرآورده ها در کارخانجات توليدی انتقال مواد در بينwork cellها AGV (Automated Guided Vehicle)مسير های از پيش تعيين شده : روباتهای متحرک : حرکت آزادانه در محيط، ادراک محيط، کنترل حرکت روبات در محيط

مثالهايی از روباتهای متحرک

چرخه کاوشگر مريخ6روبات

چرخه برای 4روبات زمينهای نا هموار

AGVروباتهای

روبات چندسويه

چرخ سوئدی

پيشينه کار

مدل کردن سينماتيکیWMRها بر روی سطح هموار (Muir & Neuman, 1987; Alexander and Maddocks, 1989)

مسأله لغزش سينماتيکی در طراحی های موجود

(Waldron, 1995; Sreenivasan & Waldron, 1996 )

وسيله نقليه با قابليت حرکت بدون لغزش(Choi and Sreenivasan, 1999)

( محور با طول متغيرVLAو محدوديتهای آن )(Sreenivasan et.al. 1996, 1997,1999)

سينماتيک برخورد(Montana 1988)


مقدمه




چرخها

حرکت غلتشی

لغزش جانبی

چرخهای هدايت شونده

( چرخ هدايت شوندهsteered wheel).جهت محور چرخشی قابل کنترل است

چرخ غلتنده ايده آل

حرکت به صورت غلتش بدون لغزش

مفروضات•

روبات از مکانيزمهای صلبی ساخته •شده است.

هيچ لغزشی در جهت عمود بر •غلتش انجام نمی شود.

هيچگونه لغزش انتقالی )سر •خوردن( بين چرخ و زمين رخ نمی

دهد )غلتش محض(.

روبات به ازای هر چرخ حداکثر يک •لينک هدايتگر دارد.

همه محورهای هدايتگر عمود بر •سطح زمين می باشند.

پارامترهای چرخ

در سرعتهای پايين، مدل غلتشی برای چرخ، قابل قبول میباشد.

اين مدل در اکثر مواقع در مدلسازی سينماتيکیWMR ها به کارمی رود.

پارامترهای چرخrشعاع چرخ :

vسرعت خطی چرخ :

wسرعت زاويه ای چرخ:

tسرعت هدايتگر:

انواع چرخ

چرخ ثابت

چرخ قابل جهت گيری از غير (castor wheelمرکز)

چرخ قابل جهت گيری از مرکز

چرخ سوئدی)دارای خاصيت چند سويه(

چرخ ثابت

سرعت نقطهP

می باشد.(X ) که بردار يکه در راستای محور محدوديت بر تحرک روبات

نمی تواند در راستای عمود بر صفحه چرخ حرکت داشته باشد.Pنقطه

xi xiwrV )(

چرخهای قابل جهت دهی از مرکز

سرعت نقطهP

می باشد.(X بردار يکه در راستای محور )که

x

y

xw)i(rV xi

چرخهای قابل جهت دهی از غير مرکز

سرعت نقطهP

می باشد.X، بردار يکه در راستای محور محور که می باشد.Y ، بردار يکه در راستای محور و

x

y

yx atdawrv )()(

xi

yi

چرخ سوئدی

سرعت نقطهP

که بردار يکه در راستای حرکت غلتک می باشد.خاصيت چند سويه بودن

sx Uaawrv )(

x

y

sa


مقدمه




WMRمثالهايی از

حرکت صاف و روان•احتمال لغزش•-rollerدر بعضی مواقع استفاده از •

ballبرای ايجاد تعادل

L مستقيم• حرکت کامالمقاوم در برابر لغزش•مدل کردن غير دقيق دور زدن•

حرکت آزاد•ساختار پيچيده•ضعف قالب•

حرکت روبات متحرک

( مرکز لحظه ای چرخشICRنقطه تالقی همه محور های چرخها : )

درجه تحرک

درجه تحرک : درجه آزادی حرکت روبات

0درجه تحرک = 1درجه تحرک =

2درجه تحرک = 3درجه تحرک =

ناتوان از حرکت )بدون

ICR)

حرکت قوسی ثابت )دارای فقط يک

ICR)

حرکت قوسی متغير)خطی از

ICR)ها

L آزاد حرکت کامال(ICR می تواند

هر نقطه ای باشد.(

درجه قابليت هدايت

،درجه قابليت هدايت : تعداد چرخهای قابل جهت دهی از مرکزکه به طورمستقل قابل هدايت می باشند.

بدون چرخ قابل هدايت از مرکز

0درجه قابليت هدايت = دارای يک چرخ قابل هدايت از

مرکز

1درجه قابليت هدايت =

دارای دو چرخ قابل جهت دهی ازمرکز

وابسته

دارای دو چرخ قابل جهت دهی ازمرکز

مستقل

2درجه قابليت هدايت =

Maneuverabilityدرجه

درجهManeuverability.مجموع درجات آزادی که يک روبات می تواند اداره کند :

)مثالهايی از روبات )درجه تحرک، درجه قابليت هدايت

smM

Maneuverabilityمثالهايی ديگر از

smM


مقدمه




بر روی سطح هموارWMRمدل کردن

سينماتيکWMR :

سينماتيک داخلی : ارتباط بين لينکها در روبات

)سينماتيک خارجی : ارتباط بين روبات و بقيه جهان )خط سير روبات

تفاوت با سينماتيکManipulator: مدل کردن به صورتmultiple closed link chain

مدل کردن به صورتhigher order pair

درWMR به حرکت در نمی آيند و يا بعضی درجات آزادی L ، بعضی چرخها اصالL فعال نمی شوند. بر روی آنها اصال

هنگام کنترل خط سير يکWMR احتياج به اندازه گيری موقعيت، سرعت و ،شتاب هر درجه آزادی برای هر چرخ نيست.

تعريف روبات متحرک چرخدار

( روباتی است که فقط از طريق حرکت کردن چرخواره هاwheel assembly های )تعبيه شده بر روی آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود.

چرخواره : وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه( با آن دارد را امکانپذير می سازد.rolling contactمشترک و يا يک تماس غلتان )

(Muir and Newman, 1986)

تعاريف و مفروضات

تعريفMuir و Newman از WMR:

های تعبيه شده بر آن که در wheel assemblyروباتی که فقط از طريق حرکت کردن تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود.

wheel assembly وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح :که يک نقطه مشترک و يا يک تماس غلتان با آن دارد، را امکانپذير می سازد.

مفروضات ديگر برای ساده سازی معادالت.روبات از مکانيزمهای صلبی ساخته شده است.روبات برای هر چرخ حداکثر يک لينک هدايت کننده دارد.همه محورهای هدايت عمود بر سطح زمين می باشند.زمين، يک سطح صاف می باشد.هيچگونه خطای انتقال بين چرخ و زمين رخ نمی دهد اصطکاک چرخشی در نقطه تماس برای چرخ به اندازه کافی کوچک است که

در جهت يک محور عمودی از طريق آن نقطه گردانده شود.

تخصيص چارچوب های مختصات

در يک زنجيرهclosed-link چند گانه، قرارداد D-H برای تخصيص چارچوب های ها مشخص نيست.jointمختصات، منجر به ماتريسهای تبديل مبهم می شود، زيرا ترتيب

قراردادSheth-Uicker( 1971 برای تخصيص چارچوب های مختصات:) مدل می کنيم.planar pairهر چرخ را در نقطه تماس به صورت يک

دو درجه انتقال و يک درجه چرخش دارد.(planar pair)يک درجات آزادی حرکت چرخ بدون ابهام در ماتريسهای تبديل می توانند مدل شوند.

چارچوب های مختصات در دو انتهای هر لينک تخصيص داده می شوند.، دو چارچوب وجود دارد که وقتی اين دو چارچوب بر هم منطبق می شوند، jointدر هر

، صفر می شود.jointمتغير : زمين، بدنه روبات و لينک های هدايت گرWMRلينک های يک

به هم متصلند : چرخ، محور هدايت گر و نقطه مرکزی روبات jointاين سه لينک با سه (!)

که در نقطه تماس چرخ و کف واقع شده، مدل می planar pairچرخ به صورت يک شود.

همه چارچوب ها عمودی است و در تحليل دو بعدی ناديده گرفته می شود.zمحور

1شکل

2شکل

Newtروبات

يک چرخ منفرد دارای سه لينک، سهjoint و سه چارچوب مختصات خواهد بود.

: سيستم های مختصات منطبق لحظه ای يک چارچوب مختصات ثابت می باشد که در لحظه مشاهده، در همان نقطه

چارچوب مختصاتی که حرکت می کند، قرار گرفته است..يک چارچوب مختصات زمين در همان مکان چارچوب حرکت کننده قرار دهيم تبديل موقعيت بين دو چارچوب صفر است، اما تبديل های سرعت و شتاب

صفر نيستند. برای اين معرفی شدند که محاسبه سرعتها و شتابهای اين سيستم مختصات را

که به صورت چند بعدی حرکت می کند، به صورت مستقل از موقعيت روبات، امکانپذير کنند.

: سيستم مختصاتبرای مشخص کردن سرعتها و شتابهای روبات، مستقل از موقعيت روبات در

لحظه مشاهده شده استفاده می شود.

: سيستم مختصاتبرای مشخص کردن سرعت و شتاب چرخ استفاده می شود.

FR

FC

3شکل

ماتريسهای انتقال

چرخشها فقط حول محورz.می توانند انجام شوند

ω = سرعت زاويه ایα = شتاب زاويه ایv = سرعت خطیa = شتاب خطیθ = زاويه چرخش بين چارچوب ها

1000

100

0

0

z

y

x

NR P

PCS

PSC

T

0000

0000

0

0

y

x

RN

VSC

VCS

V

0000

0000

0

022

22

y

x

RN

aCSSC

aSCCS

a

: تبديل از مرکز مرکز روبات به نقطه تماس چرخ

،در روباتهايی که لينک هدايتگر ندارند، محور لينک هدايتگر و محور نقطه تماسمنطبق بر هم هستند و تبديل بين اين محورها به ماتريس يکه تقليل می يابد. از آنجا که چارچوب های منطبق لحظه ای، بر چارچوب های متناظر در هر لحظه

منطبق هستند، پس در اندازه گيری موقعيت، تبديل بين دو چارچوب، تبديل يکه می باشد :

با استفاده از اين معادله، مکان هر نقطه ديگر مانندp نيز به صورت زير بدست می آيد:

برای يک روبات با سه چرخ، مدل سينماتيکی با يک گراف تبديل موازی با چهارمسير، يکی برای هر چرخ و يک مسير بازگشت مشترک نشان داده می شود، که

L تشريح می کند. معادالت تبديل برای سينماتيک داخلی يک روبات سه چرخه را کامالاين روبات عبارتند از :

TTTTT CLCF

SLCL

SBSL

RBSB

RBCF

TTTT SLCL

SBSL

RBSB

RBCF

PTP NRN

R

TTTTTT

TTTTTT

TTTTTTT

FRF

CFF

CLCF

SLCL

SBSL

RBSB

FRF

CFF

CLCF

SLCL

SBSL

RBSB

FRF

CFF

CLCF

SLCL

SBSL

RBSB

RFRB

333

33

333

222

22

222

111

11

111

4شکل

در مورد روبات L ، با استفاده از اين تکنيک، از آنجا که چرخهای پيشران Newtمثالنسبت به بدنه ثابت هستند، چارچوب های پيشران نسبت به چارچوب بدنه روبات يا

چارچوب تماس چرخ حرکتی ندارند. اگر آنها به طور منطبق بر چارچوب های تماس چرخ قرار بگيرند، تبديل بين چارچوب پيشران و چارچوب تماس، ماتريس يکه

خواهد بود. :

بنابراين تبديالت بين مرکز روبات و نقاط تماس چرخهای پيشران به صورت زيرخواهد بود :

از طرف ديگر قرقره نسبت به روبات حرکت می کند و تبديل آن به صورت زيراست :

ISLCL

SBSL

SLCL

SBSL TTTT 2

222

11

11

1000

100

0010

001

11e

a

RBSL

RBCL l

l

TT

1000

100

0010

001

2e

a

RBCL l

l

T

1000

100

3033

3033

1000

100

010

0001

1000

0100

0033

0033

1000

100

010

0001

33

3333

e

cb

c

d

c

de

b

SLCL

SBSL

RBSB

RBCL

l

CllCS

SlSC

l

lCS

SC

ll

l

TTTT

5شکل

سرعت و ژاکوبين

)(

)()(

)()(

Tdt

dT

TTdt

dTTT

dt

dT

TTdt

dTTTT

dt

d

SBSL

FSB

SBSL

RBSB

FRB

RBSL

RFRB

FRF

RFSL

FRF

SBSL

RBSB

RFRB

FRF

pTTTTdt

dvp

dt

d SLSBSL

RBSB

RFRB

FRFp

FF )(

pTdt

dv NR

NpR

pTTTTp SLSBSL

RBSB

RFRB

FRF

F

بر روی روبات نسبت به يک چارچوب مرجع، با مشتق گيری pسرعت يک نقطه مانند •از تبديل موقعيت به دست می آيد :

، نسبت به 6برای مثال با استفاده از موقعيت يک نقطه بر روی لينک هدايتگر در شکل • می توانيم سرعت اين نقطه را نسبت به چارچوب زمين پيدا کنيم. تبديل SLچارچوب

موقعيت اين نقطه به صورت زير است :

پس تبديل سرعت عبارتست از :•

)(

)(

Tdt

dTT

TTTdt

dTT

dt

d

SBSL

RBSB

FRB

SBSL

RBSB

RFRB

FRF

FSL

)بازوی lower pairهرچند مشتق گيری از معادالت تبديل در مکانيزمهای •manipulator ممکن است، اما در معادالت تبديل مکانيزمهای )higher pair اين کار ،

Velocity Cascade يک روش Newman و Muirمجاز نيست. برای غلبه بر اين مشکل، ارائه کردند که سرعت را به صورت حاصلضرب تبديالت بيان می کرد و معادله باال از

آن به دست آمده است.

که RFبعضی از جمالت معادله باال قابل حذف شدن هستند. ابتدا سرعت چارچوب • می باشد، نسبت RBبر روی زمين واقع شده و به طور لحظه ای منطبق با چارچوب

L جمله به چارچوب زمين صفر است. به همين علت جمله اول حذف می شود. ثانيا می باشد. از آنجا که اين دو چارچوب RB نسبت به SBسوم شامل سرعت چارچوب ثابت است، اين جمله نيز حذف می RB نسبت به SBمتصل به روبات می باشند و

شود. و معادله حاصل عبارتست از :

سرعت روبات =

مکان هدايتگر می باشد و مشتق آن سرعت هدايتگر است =

موقعيت روبات است =

= robot-to-hipتبديل

TRBSB

robotFF

RB pT

robotFRF

RB vTdt

d)(

TSBSL

6شکل

steeringBRB

RBrobotFRB

SLrobotF

robotFF

CL vTpTvpv 3

TTTTIIT FRF

CFF

CLCF

RBSB

RFRB

1111

robotF

wheelF

wheelFRB

SB

FRF

CFF

CLCF

RBSBrobot

RFRB

ppvT

TTTdt

dTvT

dt

d

11

1111

نسبت به زمين، بايد مقاديری Pبرای حل معادالت باال و به دست آوردن سرعت نقطه تابعی از طراحی روبات بوده و robot-to-hipرا به اين جمالت نسبت دهيم. تبديل

L تغيير نمی کند. موقعيت و سرعت هدايتگر توسط سنسورها اندازه گيری می معموالشود و سرعت روبات از اندازه گيری سرعت چرخ محاسبه می شود و موقعيت روبات با جمع کردن اطالعات سنسورها توسط يک نقشه بدست می آيد. برای مثال، سرعت

عبارتست از :Newtلحظه ای نقطه تماس بين قرقره آزاد و زمين در روبات

دو تا از تبديالت در اين معادله از رابطه ای که برای انتقال قرقره نسبت به روبات به اندازه گيری می شود. پارامترهای ديگر θ3دست آورديم، به دست آمده و مقدار زاويه

با اندازه گيری به دست می آيند. از طرف ديگر سرعت روبات از اندازه گيريهای موقعيت چرخ و سرعت چرخ، قابل محاسبه است. اگر يکی از چرخهای پيشران را در

Newt: در نظر بگيريم، معادله موقعيت روبات به فرم زير در می آيد

با مشتق گيری از اين معادله، معادله ای برای سرعت روبات بدست می آوريم :

وقتيکه روبات در يک خط مستقيم سير می کند، سرعت روبات، سرعت خطی چرخ •می باشد و موقعيت چرخ، فاصله طی شده می باشد. هنگامی که روبات می چرخد،

و Muirبرای محاسبه سرعت روبات، سرعت هر دو چرخ بايد در نظر گرفته شود. Newman: يک ژاکوبين چرخ برای بيان اين رابطه ارائه دادند

سرعت لحظه ای روبات نسبت به چارچوب منطبق زمين

بردار سرعت مصنوعی Vn و n، ماتريس ژاکوبين مصنوعی برای چرخ Jnpseudoکه • می باشد. اين ژاکوبين با مشتق گيری از معادله تبديل به دست می آيد. nبرای چرخ

ژاکوبين حاصل عبارتست از :

1100

cossin

sincos

SBnxRB

SBnyRB

CLnxRB

CLnRB

CLnRB

CLnyRB

CLnRB

CLnRB

npseudo p

p

p

p

J

nnpseudoRFRB vJv

Tzyx vv ),,(

NR

CLSL

SLSB

SBRB

CLRB

SL

RBCLy

SLSL

RBCLx

SLSBy

RBSL

RBCLx

SLSL

RBCLx

SLSBx

RB

CLRB

spnpp

npppp

cosi

sicos

CLnSB

CLnCF

CLnyCF

CLnxCF

npseudo

v

v

v

مجموع زوايای بين دو چارچوب =

= L برداری از مبدأ يک چارچوب به چارچوب ديگر، مثال

بردار سرعت مصنوعی يک چرخ شامل چهار مؤلفه است :

نسبت به زمين = nسرعت لحظه ای خطی چرخ

حول نقطه تماس =nسرعت لحظه ای چرخ

hip joint= SLnسرعت زاويه ای لينک هدايتگر حول SB

CLnCFv

CLnCF

nphysicalnnpseudo vWv

nnpseudonphysical WJJ

( يک چرخ نوعی شامل همه مؤلفه های بردار سرعت Vnبردار سرعت فيزيکی )L کمتر از چهار متغير چرخ دارند. برای مثال، يک مصنوعی نيست، زيرا چرخها معموال

ندارد. همچنين يک چرخ قراردادی حول يک Xچرخ قراردادی، سرعت خطی در جهت محور چرخش می کند و سرعت خطی از سرعت زاويه ای چرخ محاسبه می شود

)که قابل اندازه گيری است(. بردار سرعت مصنوعی می تواند به بردار سرعت ( مرتبط شود :Wn * 4( توسط يک ماتريس چرخ با اندازه )Wn*1فيزيکی )با اندازه

( به روش مشابهی به دست می آيد :Wn * 3و ژاکوبين چرخ فيزيکی )

با استفاده از رتبه اين ژاکوبين )تعداد بردارهای سطری يا ستونی مستقل(، تعداد درجات آزادی چرخ را تعيين می کنيم. اگر تعداد درجات آزادی کمتر از تعداد

می باشد. به عنوان يک مثال ژاکوبين يک redundantمتغيرهای چرخ باشد، چرخ چرخ بدون هدايتگر نوعی، اغلب به عنوان چرخ راندن در روباتها استفاده می شود. اين چرخ دارای دو درجه آزادی است : حرکت در جهتی که چرخ با توجه به چرخش

حول محورش به آن اشاره می کند، و خطای چرخشی حول نقطه تماس.

00

10

0

00

rW

CLnCF

CLnyCF

npseudo

vv

wnzCF

wnxCF

nphysicalv

wx

wz

و داريم :

که : سرعت زاويه ای چرخ حول محورش می باشد.

: سرعت زاويه ای لغزش چرخشی می باشد.

عبارت است از :Wماتريس چرخ

شعاع چرخ می باشد.(r )که

و ژاکوبين فيزيکی عبارت است از :

( در نظر گرفته می شود زيرا ژاکوبين دارای معکوس degenerateاين چرخ، منحط )نيست. بنابراين با وجود اينکه سرعت روبات از سرعت چرخ قابل محاسبه است،

چرخ از سرعت روبات قابل محاسبه نيست. بنابراين يک روبات متحرک چرخدار که شامل چرخهای قراردادی بدون هدايتگر می باشد، در سه درجه آزادی قابل کنترل

نيست، يعنی نمی تواند حرکت به پهلو داشته باشد.

10

cos

sin

CLnxRB

CLnRB

CLnyRB

CLnRB

pr

pr

J

physicalzw

xwa

RZ

RY

RX

RBRF

robotRF vJlRv

v

vv 111

1

10

00

10

00

2 alRJ

به صورت زير به دست می آيد:Newtژاکوبين برای دو چرخ بدون هدايتگر در روبات

مراجع

Introduction to Robotics, Phillip John McKerrowON THE KINEMATICS OF WHEELED MOBILE ROBOTS, J. C. Alexanderyand. H. Maddocksz

با تشکر از توجه شما

مدل سينماتيکی روبات متحرک چرخدار

Documents