삼각형의 세 내 각의 이등분선은 한 점에서 만난다 .

각의 이등분선 위의 점에서 두 변에 이르는 거리는 같다 .

삼각형의 내심의 위치

내심에서 삼각형의 세변에 이르는 거리는 같다 .

증 명

위 치

성 질

I

가정 ]

결론 ]

증명 ]

각의 이등분선 위의 점에서 두 변에 이르는 거리는 같다 .준 비 준 비

∠XOP = YOP∠

X

A

O B Y

P

IA = IB

각의 이등분선 위의 한 점 I 에서 변에 내린 수선의 발을 A, B 라 하면 ,△IAO ≡ IBA△( ) XOP = YOP(∵ ∠ ∠ 가정 ) ∠IAO= IBA= R∠ ∠ 선분 IO 는 공통

∴ IA = IB

[ 증명 ]

점 I 에서 변 BC, CA, AB 에 내린 수선의 발을 각각 D, E,F 라 하자 .

힌트 ) 삼각형의 두 내각의 이등분선의 교점이 나머지 한 내각의 이등분선 위에 있음을 보인다 .

삼각형의 세 내 각의 이등분선은 한 점에서 만난다 .증 명증 명

점 I 는 ∠ A 의 이등분선이므로

IE = IF

점 I 는 ∠ B 의 이등분선이므로

IF = ID

∴ IE = IF = ID

C

A

B

F

D

E I

●

●

☆ ☆

따라서 ,

두 직각삼각형 CID 와 CIE 에서

IE = ID , IC 는 공통이므로

△CID≡ CIE△

힌트 ) 삼각형의 두 내각의 이등분선의 교점이 나머지 한 내각의 이등분선 위에 있음을 보인다 .

삼각형의 세 내 각의 이등분선은 한 점에서 만난다 .증 명증 명

◆◆ ∴ ∠ICD = ICE∠

즉 , IC 는

∠C 의 이등분선이다 .C

A

B

F I

D

E

●

●

☆ ☆

내심