習慣上，力學問題可分為兩類：靜力學及動力學。

平衡與彈性平衡與彈性

運動狀態的改變，基本上皆遵循牛頓所提出的運動定律。

而所謂的運動狀態的改變，包含質（心）點到剛體的描述，可分類為線性運動動量與轉動運動動量（角動量）兩種狀態。

靜態平衡所考慮的為平衡系統中暨無質心線性運動，也無轉動運動的特殊狀況。故靜力平衡的必要條件：

ΣFi=0 & Σ τi=0

靜力學於工程運用上十分重要，尤其在考慮任何的物體結構設計時，必須估計出可能受到外力及外力矩會對該結構體產生的影響。故一個好的設計必須慎選材料配合適當的結構造型，以確保足以承擔所可能承受到最大的外力及外力矩。

例題一：一重 40N 的均勻蹺蹺板，兩邊分別坐著 800N 重的父親與 350N 重的女兒（如右圖所示）。此時蹺蹺板支稱點所承受的力為 ?

靜力平衡時合力為零，所以

n-800N-350N-40N = 0

n = 1190N

靜力平衡時合力矩為零，所以當以支撐點為參考點時

(800N)(1.0m) - (350N)x = 0 x = 2.29 m

蹺蹺板保持不動時，女兒位於 ?

靜力平衡時合力矩為零為對任意參考點而言，所以當以父親位置為參考點時

n(1.0m) - (40N)(1.0m) – (350N)(1.0m + x ) = 0 x = 2.29 m

某人手握一 50N 重的球，而其前臂保持水平如圖所示。若其肌肉附著點與骨骼支撐點的距離為 3.00cm ，而握球點距離 35.0cm 。在忽略手臂重量的前提下，請求出肌肉與骨骼支撐點的施（受）力。

一長八公尺，重兩百牛頓的均勻鋼樑懸掛固定於牆上（如圖所示）。若一 600N 重的人站於此鋼樑上，距離牆壁兩公尺。請求出鋼纜與鋼樑支撐點的受力。

A. 120 N B. 250 N C. 360 N D. 470 N E. 580 N

ox TRF 53coscos0

0 sin sin 53

600 200

oyF R T

N N

0 ( sin 53 )(8 )

(600 )(2 ) (200 )(4 )

oT m

N m N m

NRNT o 58071313 　 　＝　 　

一長為 l 的均勻梯子重 50N 。若將之靠在一平滑的垂直牆壁上，而梯子與地面的靜摩擦力係數 。求梯子不至於下滑時與地面的最小夾角。

4.0s

A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 E. 50 度

0 PfFx

0mgnFy

在剛好可以爬上的情況 )2(0 hrFmgd

222 2)( hrhhrrd 重力力臂施力力臂 (2r-h)

例題五：某人坐於輪椅上欲攀爬上一高為 h 的階梯（如圖所示）。請估計此人至少要施多大的力方能爬上此階梯？ mg=1400N, r = 30cm, h = 10cm

圖片所示為常常被利用於屋頂或橋樑工程中的支撐結構。假設此結構本身的重量可忽略，而在其中點 C 點的地方負載一 7200N 的力。求於此結構中之上樑需為最強壯的結構。

A. AB B. AC C. BC D. BD E. same

gE FLLn )2/(0　

AE nNn 3600由 A 與 E 為對稱的情況下我們有

NFFnF ABo

ABAy 7200030sin 　 　　 　

於支撐點 A

NFFFF ACo

ABACx 6200030cos 　 　　 　

對 A （或 E ）點而言

　gEAy FnnF 0

由此可知，於此結構中之上樑需為最強壯的結構。

NFNFF oBCy 72000720030sin2 BC　　 　

利用左右對稱於支撐點 C

NFFFFF BDBDBCo

ABx 12000030cos30cos 0 　 　　 　

於支撐點 B

彈性體彈性體 物體受到外力 [ 應力（ stress ） ] 時，會產生形變 [ 應變 (strain)] 。在彈性限度內，形變和外力成正比，比例常數稱為彈性係數（ modulus of elasticity ）。即

Stress = modulus × strain

Stress, Strain, and Elastic Moduli

modulus ElasticStrain

Stress

Hooke’s law

應力 Stress

應變 Strain

彈性係數 Elastic Moduli

l

l

A

F

ll

AFY

0

0strainTensile

stressTensile

Young’s modulus

A

Fp

pressure in a fluid

彈性係數表彈性係數表

1 Pascal = 1 Pa = 1 N/m2

1 psi = 1 lb/in2 = 6895 Pa and 1 Pa = 1.450 ∙ 10-4 psi

若施於一鋼纜纜繩的張力為 940N ，而繩長為 10m 。問若希望在這情況下，繩子的總長度變化不會超過 0.5 公分，則需要用多粗的纜繩？

26211

104.9)005.0)(/102(

)10)(940(m

mmN

mN

LY

FLA

211 /102/

/mN

LL

AFY

由上列圖表中可查出鋼纜的揚氏係數為

A. 10-5 B. 10-4 C. 10-3

D. 10-2 E. 10-1 m2

bulk modulus

Bulk Stress and Strain

0strainBulk

stressBulk

VV

pB

一實心黃銅 (brass) 球由壓力為 1.0105 N/m2 的空氣中，置入壓力為 2.0107 N/m2 的海洋裡。若此實心黃銅球在空氣中的體積為 0.5m3 ，求在海洋裡此球的體積變化為？

由課本可查出黃銅 (brass) 的 bulk modulus為 6.11010 N/m2 ，故

A. -10-5 B. -10-4 C. -10-3

D. -10-2 E. -10-1 m3

shear modulus

x

h

A

F

hx

AFS ||||

strainShear

stressShear

Shear Stress and Strain

一摩天大樓為鋼骨結構，其外牆部分為一磚面的水泥板，以鋼製螺絲固定於鋼樑上。每根螺絲的半徑為一公分，平均支撐重量為一千公斤。（一）每根縮所受的剪應力 (shear stress) 為多少？

所受剪力為

272

2

2/1012.3

)01.0(

)8.9)(1000(mN

m

mskg

r

mg

A

Fs

A. 3×104 B. 3×105 C. 3×106

D. 3×107 E. 3×108 N/m2

（材料鋼的剪力係數 (shear modulus) 為 8.41010 N/m2 ，故其 shear strain 為。

4210

27

1071.3/104.8

/1012.3

mN

mN

GG S

SS

S

Since S = tan ， this corresponds to an

angular deformation =0.02o 。

（二）其剪張量 (shear strain) 為？ (angular deformation )

A. 10o B. 2o C. 0.1o

D. 0.02o E. 0.001o

（三）若此鋼螺絲所能承受的最大剪力為 2.0108 N/m2 ，問其安全係數為？

41.6/1012.3

/100.227

28

mN

mN

安全係數定義為最大承受應力除以實際承受應力，所以其值為

A. 40 B. 6 C. 1

D. 0.7 E. 0.09

抗彎強度抗彎強度 (Bending Strength)(Bending Strength)

對任何的力學結構體 (mechanical structures) 而言，若所受到的應力 (stress)只是單純的擠壓或延展，則所引起的結構形變 (deformation)僅與該物體的特性和截面積大小 (cross-sectional area)相關。然而物體對抗彎曲的能力則不僅止於是材料的特性而已，其幾何形狀也十分重要。

以一長為 l ，截面為邊長 a 與 b 矩形之長條物為例。

R

l

a

此物體被彎折時相當於內部存在一力矩，使得該物體成曲率半徑為 R 的狀態，則我們可表達為

1/R = E IA / R

IA = area moment of inertia E 為揚氏係數

Area moment of inertia 的計算如下。以零形變中間層為準，厚度方向上距離為 r 的位置，所以由應力 (stress) 可得

)(bdrL

LEdA

L

LEdF

L

LE

dA

dF

　 　　 　

每層的形變量皆不同，基本上是與距離 r成正比關係，故

rR

LrRrRLLL )(

rdr

將此結果代入上一個式子中，再求取其總力矩為

IA = a3b/12R

Minimizes both stress and weight

其他幾種常用不同幾何形狀截面的 area moments of inertia

1、實心圓柱

2、空心圓柱

3、 I 型樑

4

4rI A

4

)( 44 baI A

122

32 tabtaI A

例題 :兩一模一樣的木條，其截面為 2cm by 6cm 。若於兩端支撐，則木板會因本身重量而彎曲。若一木板以 6cm 面朝下，而另一木板則以2cm 面朝下，問此二木板的曲率半徑比為何？

因此二木板皆為支撐本身重量，故因重力所形成的總力矩一樣

9

1

26

623

3

2

1

2

1

2

2

1

1

A

AAA

I

I

R

R

R

IE

R

IE 　 　　 　

A. 1 B. 1/2 C. 1/3

D. 1/6 E. 1/9

自然界中樹木的高度常常被發現會與其半徑大小有關，下圖為北美樹種高度與樹幹半徑之統計圖。虛線為 l=cr2/3之 c=34.9 回歸線。

樹木的臨界高度樹木的臨界高度

From T. McMahon Science 179, 1201 (1973)

樹木的高度與其半徑大小有關的問題，與物體抗彎強度問題類似。我們考慮一高為 h ，半徑為 r 的樹木，當其彎曲時（如風吹或地面傾斜等），因本身重量的關係會對自己形成一力矩。由上面的關係式子可得

R

rE

R

IEwd A

4

4

樹木的臨界高度樹木的臨界高度

w = 樹木的重量， d 為力臂（樹木因彎曲傾斜導致質心偏離的水平分量）。

假設彎曲程度不大時，其質心高度仍近似於樹木高度的一半，則由畢氏定理可求得

RhdRhdR 8/)2/()( 2222

R

d (R-d)

h

例題十一：某樹木之樹幹半徑於三年內成長一倍，若其高度之成長皆保持在剛好不會折斷的狀況，問其高度成長多少？

3/2rhCR

由上面條件得知，圓柱形物體的臨界高度為

59.12

3/2

2

2

3/2

2

1

2

1

r

r

r

r

h

h

所以此樹木在這三年中高度僅增加 60% 。

A. 100% B. 80% C. 60% D. 40% E. 20%

扭力矩扭力矩 ((Twisting TorqueTwisting Torque))

一長度為 l半徑為 r 的圓柱形物體，遭扭轉產生角度值為的形變。在分析上，我們可將之分割成厚度為 dr 的同心空心圓柱體。想像成將這些空心圓柱體展開成長為 l寬為 r厚度為dr 的長方體，則因扭曲所產生的形變 x = r可以受到剪力所產生的形變來表示

l

xGG

dA

dFG SS

S

S

drrl

Grdrr

l

GdAx

l

GdF 22

)2(

α

這裡的 Ip 類似於上面的 IA ，我們稱之為 polar moment of inertia 。若 IA 可想像成物體的抗彎質量（強度），則 Ip相當於物體的抗扭質量（強度）。

lGI

l

rGrdr

l

GdFrd P

rr 2

2 4

0

3

0

物體所受到的總力矩為每一空心圓柱體所受力矩之和

http://www.dynomed.com/encyclopedia/encyclopedia/knee_and_lower_leg/Fracture_of_Tibia.html

例題十二：平均人類小腿主要支撐骨骼 -脛骨(Tibia) 所能承受的最大的扭曲形變角度為 3.4o ，這相當於 100 Nm 的力矩。若腳指到腳踝的平均距離以 30cm 為準，問在設計滑雪板時，雪靴固定於雪蹺上需有自動脫離安全設計，則此設計為避免因扭曲而產生骨折，所需設定的自動脫離承受力最大為何？

NFNmmFrF 333100)3.0(