東京大学 大学院情報理工学系研究科

組合せ最適化セミナー 2012 年 7 月 13 日

点素パス問題に対するアルゴリズム

小林 佑輔

講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース

２点素パス問題 k 点素パス問題 （ Robertson-Seymour のアルゴリズ

ム） その他の結果

最短点素パス問題 演習 近年の発展（最大点素パス問題）

イントロダクション

問題の定義 歴史

点素パス問題

s1

t1

s2

s3

t2

t3

Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点を共有しな

い

点素パス問題

s1

t1

s2

s3

t2

t3

Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点を共有しな

い

点素（辺素）パス問題

様々な類似問題 有向グラフ or 無向グラフ 頂点対数 k が 定数 or 入力の一部 辺素パス or 点素パス etc.

多くの応用を持つ ( 例 : VLSI の設計 )

s1

t2

t1

s2

s1

t2

s2

t1

Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素（辺素）なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点（辺）を共有

しない

特殊ケース（１）： s-t 辺素パス問題

ts

Input: 頂点対 (s, t)

Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : s → t )

Menger の定理 （最大流・最小カット定理）

k 本の辺素パスが存在 すべての s ∊ X ⊆V – t で δ(X) ≧ k

X と V-X を結ぶ辺

の数

X V - X最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける

特殊ケース（２）： t1 = t2 = ･･･ = tk の時

ts3

Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)

Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )

最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける

sk

s2

s1

特殊ケース（２）： t1 = t2 = ･･･ = tk の時

ts3

Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)

Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )

最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける

sk

s2

s1

s

特殊ケース（２）： t1 = t2 = ･･･ = tk の時

ts3

Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)

Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )

最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける

sk

s2

s1

s

ts3

sk

s2

s1

s t3

tk

t2

t1

一般の場合にはうまくいかない

結ぶ頂点の組を指定されるから難しい

目的：理論的計算量の解明 様々なバリエーションに対して

多項式時間で解けるか？ NP 困難か？ より効率の良いアルゴリズムは？

目的：理論的計算量の解明 様々なバリエーションに対して

多項式時間で解けるか？ NP 困難か？ より効率の良いアルゴリズムは？

有向グラフ 無向グラフk : 定数 NP- 困難

多項式時間 ( 平面グラフ )

多項式時間 ( 非巡回的 )

多項式時間線形時間 ( 平面グラ

フ )

k : 変数 NP- 困難 NP- 困難k : 頂点対数

点素パス問題の計算量

各問題の帰着（演習） 下記のように帰着可能であることを示せ．また，それぞれの帰着は平面性を保つか？

無向点素パス問題

有向辺素パス問題無向辺素パス問題

有向点素パス問題

辺素パスと点素パスの関係 辺素パス問題は線グラフ上の点素パス問題に帰着可

能s1

s2 t2

t1

s1

s2

t1

t2

辺素パス 点素パス

1 2

3 4

5

6

7

81

2

34

5

6

7

8

定義 ( 線グラフ ) 元のグラフの辺が線グラフの頂点に対応 元のグラフで同じ端点を持つ 線グラフで

隣接

有向グラフ 無向グラフk : 定数 NP- 困難

多項式時間 ( 平面グラフ )

多項式時間 ( 非巡回的 )

多項式時間線形時間 ( 平面グラ

フ )

k : 変数 NP- 困難 NP- 困難k : 頂点対数

点素パス問題の計算量

有向グラフ 無向グラフk : 定数 NP- 困難

多項式時間 ( 非巡回的 )

多項式時間

k : 変数 NP- 困難 NP- 困難

辺素パス問題の計算量

点素・辺素パス問題の歴史1927 最大最小定理 （ s-t パス） Menger

1956 最大流アルゴリズム Ford-Fulkerson

1970s 頂点対数 k が入力の一部の時 NP 困難 Karp など

1980 k=2, 無向グラフの時のアルゴリズム Seymour, Thomassen,

Shiloach

k=2, 有向グラフの時 NP 困難 Even-Itai-Shamir1994 k: 定数，平面有向グラフの時のアルゴリズム

1995 k: 定数，無向グラフの時のアルゴリズム Robertson-Seymour

近年 k: 入力の一部の時の近似アルゴリズム

特殊ケースに対するアルゴリズム など

（点素のみ） Schrijver

効率的に解けるケース

２点素パス問題 k 点素パス問題 その他のケース

講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース

２点素パス問題 k 点素パス問題 （ Robertson-Seymour のアルゴリズ

ム） その他の結果

最短点素パス問題 演習 近年の発展（最大点素パス問題）

無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点を共有しな

い

k=2 多項式時間アルゴリズム

k ：定数 多項式時間アルゴリズム

k ：変数 NP 困難

Robertson-Seymour (1995)

Karp (1975)

Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)

s1

t1

s2

s3

t2

t3

無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点を共有しな

い

k=2 多項式時間アルゴリズム

k ：定数 多項式時間アルゴリズム

k ：変数 NP 困難

Robertson-Seymour (1995)

Karp (1975)

Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)

s1

t1

s2

s3

t2

t3

難しいポイント カット条件 幾何的な条件

の両方を同時に扱う必要がある

無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点を共有しな

い

k=2 多項式時間アルゴリズム

k ：定数 多項式時間アルゴリズム

k ：変数 NP 困難

Robertson-Seymour (1995)

Karp (1975)

Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)

s1

t1

s2

s3

t2

t3

２点素パス問題の解法 性質

１

s1

t1

s2

t2

平面グラフで s1, s2, t1, t2

がこの順番に同じ面上

２点素パス無し

２点素パス問題の解法 性質

１

s1

t1

s2

t2

平面グラフで s1, s2, t1, t2

がこの順番に同じ面上

２点素パス無し

性質２小さいカットがあると問題を帰着可能

サイズ３連結

s1t1

s2

t2

サイズ３

s1t1

s2

t2

２点素パス問題の解法 性質

１

s1

t1

s2

t2

平面グラフで s1, s2, t1, t2

がこの順番に同じ面上

２点素パス無し

性質２小さいカットがあると問題を帰着可能

サイズ３連結

s1t1

s2

t2

サイズ３

s1t1

s2

t2

２点素パスの存在条件

s1

t1

s2

t2

性質２ の帰着を繰り返すと，性質１ の形になる

サイズ３

s1t1

s2

t2

２点素パスが存在しない

２点素パスの存在条件

s1

t1

s2

t2

性質２ の帰着を繰り返すと，性質１ の形になる

サイズ３

s1t1

s2

t2

２点素パスが存在しない定理 (Seymour, 1980)

２点素パス問題は多項式時間で解ける

２点素パスの存在条件

s1

t1

s2

t2

性質２ の帰着を繰り返すと，性質１ の形になる

サイズ３

s1t1

s2

t2

２点素パスが存在しない定理 (Seymour, 1980)

カットを見つけるアルゴリズム 平面性判定アルゴリズム

現在： 線形時間（ Kapadia et al., 2010 ）

理解のために 帰着を繰り返すと，性質１ の形

２点素パスが存在しない定理

グラフが 「４点連結」 かつ 「平面的でない」 ２点素パスが存在

命題

Shiloach (1980) の方針

平面的でない or をマイナーに持つ（ Kuratowski の定理）

縮約を繰り返すと部分グラフに持つ

K5 K3,3

理解のために 帰着を繰り返すと，性質１ の形

２点素パスが存在しない定理

グラフが 「４点連結」 かつ 「平面的でない」 ２点素パスが存在

命題

Shiloach (1980) の方針

平面的でない をマイナーに持つ（ Kuratowski の定理）

t1

s2

t2

s1

４点連結

K5 K3,3

K5 K3,3or を使って繋げる

or

演習 平面性判定のアルゴリズムを用いて，

をみたすかどうかを判定できることを示せ．

平面グラフで s1, s2, t1, t2

がこの順番に同じ面上

講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース

２点素パス問題 k 点素パス問題 （ Robertson-Seymour のアルゴリズ

ム） その他の結果

最短点素パス問題 演習 近年の発展（最大点素パス問題）

無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)

Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )

パスが頂点を共有しな

い

k=2 多項式時間アルゴリズム

k ：定数 多項式時間アルゴリズム

k ：変数 NP 困難

Robertson-Seymour (1995)

Karp (1975)

Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)

s1

t1

s2

s3

t2

t3

Robertson-Seymour のアルゴリズム

頂点対数 k ：定数，無向グラフ 点素（辺素）パス問題に対する多項式時間アルゴリズム

グラフマイナー理論に基づく

計算時間は O(n3)n: グラフの頂点

数

Graph Minors 13 (1995)

1983 年～現在 23 本の論文にわたる大理論

グラフ理論・アルゴリズムにおける大きな成果

Robertson & Seymour: Graph Minors 1 ～ 23

k に依存する非常に大きな係数がかかる

Graph minors. I. Excluding a forest, JCTB, 35 (1983), 39-61 Graph minors. II. Algorithmic aspects of tree-width, J. Algorithms, 7 (1986), 309-322 Graph minors. III. Planar tree-width, JCTB, 36 (1984), 49-64 Graph minors. IV. Tree-width and well-quasi-ordering, JCTB, 48 (1990), 227-254 Graph minors. V. Excluding a planar graph, JCTB, 41 (1986), 92-114 Graph minors. VI. Disjoint paths across a disc, JCTB, 41 (1986), 115-138 Graph minors. VII. Disjoint paths on a surface, JCTB, 45 (1988), 212-254 Graph minors. VIII. A Kuratowski theorem for general surfaces, JCTB, 48 (1990), 255-288 Graph minors. IX. Disjoint crossed paths, JCTB, 49 (1990), 40-77 Graph minors. X. Obstructions to tree-decomposition, JCTB, 52 (1991), 153-190 Graph minors. XI. Circuits on a surface, JCTB, 60 (1994), 72-106 Graph minors. XII. Distance on a surface, JCTB, 64 (1995), 240-272 Graph minors. XIII. The disjoint paths problem, JCTB, 63 (1995), 65-110 Graph minors. XIV. Extending an embedding, JCTB, 65 (1995), 23-50 Graph minors. XV. Giant steps, JCTB, 68 (1996), 112-148 Graph minors. XVI. Excluding a non-planar graph, JCTB, 89 (2003), 43-76 Graph minors. XVII. Taming a vortex, JCTB, 77 (1999), 162-210 Graph minors. XVIII. Tree-decompositions and well-quasi-ordering, JCTB, 89 (2003), 77-108 Graph minors. XIX. Well-quasi-ordering on a surface, JCTB, 90 (2004), 325-385 Graph minors. XX. Wagner's conjecture, JCTB, 92 (2004), 325-357 Graph minors. XXI. Graphs with unique linkages, JCTB, 99 (2009), 583-616 Graph minors. XXII. Irrelevant vertices in linkage problems, JCTB, 102 (2012), 530-563. Graph minors. XXIII. Nash-Williams' immersion conjecture, JCTB, 100 (2010), 181-205.

RS アルゴリズムの概要

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算グラフの複雑さの

指標

ウォール

GM5 など

RS アルゴリズムの概要

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

クリークマイナー

ウォール 連結な

部分グラフ

RS アルゴリズムの概要

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

クリークマイナー 連結な

部分グラフ

中央の頂点を取り除く

s1

s3

t3 t1

s2

t2

ウォール

GM22 の結果

RS アルゴリズムの概要

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

t1

s3

s2

t2

t3

s1

RS アルゴリズムの概要

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

O(n2)

O(n) 回

O(n2)

O(m)

n: グラフの頂点数m: グラフの辺数

合計 O(n3) 時間

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

グラフがどれくらい木に近いか？ を表す指標木幅 = １ 森定義は置いておいて．．．

木幅とは

木幅 = 2

G

木幅 = 1

G

木幅 = 2

G

木幅 = 3

G

グラフがどれくらい木に近いか？ を表す指標木幅 = １ 森定義は置いておいて．．．

“部品” を “木のように” 組み合わせることでグラフを作る木幅 := “ 部品” の最大頂点数 – 1

木幅とは

木幅 = 2

G

木幅 = 1

G

木幅 = 2

G

木幅 = 3

G

(T, W) が G = (V, E) の 木分解

T が木 , W , 各枝に対して， Wt が存在して両端点を含

む

t が T の上で t’ と t’’ の間にあるならば

木幅の定義

VWTVt

t

)(

)}(|{ TVtVWt

木幅 = 2

TG

ttt WWW '''

(T, W) が G = (V, E) の 木分解

T が木 , W , 各枝に対して， Wt が存在して両端点を含

む

t が T の上で t’ と t’’ の間にあるならば

木幅の定義

VWTVt

t

)(

)}(|{ TVtVWt

木幅 = 2

TG

ttt WWW '''

(T, W) が G = (V, E) の 木分解

(T, W) の幅 := maxt |Wt| - 1

G の木幅 := すべての木分解の中で最小の幅

T が木 , W , 各枝に対して， Wt が存在して両端点を含

む

t が T の上で t’ と t’’ の間にあるならば

木幅の定義

VWTVt

t

)(

)}(|{ TVtVWt

木幅 = 2

TG

ttt WWW '''

演習サイクルの木幅が 2 であることを示せ

．

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

定理 （ RS 1995, Arnborg-Proskurowski 1989 など） 木幅が w 以下のグラフ G=(V, E) において， k 点素パス問題は， (k+w)O(k+w) |V|O(1) 時間で解ける

木幅小さい → 動的計画法

木幅 = 2

TG

… …

G

…

s1

t1

s2

r1 r2

r3

で， s1, t1, s2, r1, r2, r3 がどのように繋げるか，を列挙

部分問題

例： ｛ s1 t1 , s2 r2 }, ｛ s1 r2 , s2

r3 }, …

定理 （ RS 1995, Arnborg-Proskurowski 1989 など） 木幅が w 以下のグラフ G=(V, E) において， k 点素パス問題は， (k+w)O(k+w) |V|O(1) 時間で解ける

木幅小さい → 動的計画法

木幅 = 2

TG

… …

G

…

s1

t1

s2

r1 r2

r3

で， s1, t1, s2, r1, r2, r3 がどのように繋げるか，を列挙

部分問題

葉から順に，繰り返し解く

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

定理 （ RS 1986 ） 任意の r に対してある f(r) が存在して以下が成立． 木幅が f(r) 以上の任意のグラフはサイズ r のウォールを含む

木幅大きい → ウォール

f(r) =2 , f(r) =Ω(r2 log r)

G : planar f(r) = O(r) G : bounded genus f(r) = O(r) G : H-minor-free f(r) = cH ・ r

G : K3,k-minor-free f(r) = 204k ・ r

O(r5) (Robertson-Seymour-Thomas [1994], Diestel et al. [1999])

(Robertson-Seymour-Thomas [1994])

(Demaine et al. [2005])

(Demaine-Hajiaghayi [2008])

(Demaine et al. [2009])

Known results

定理 （ RS 1986 ） 任意の r に対してある f(r) が存在して以下が成立． 木幅が f(r) 以上の任意のグラフはサイズ r のウォールを含む

木幅大きい → ウォール

f(r) =2 , f(r) =Ω(r2 log r)

G : planar f(r) = O(r) G : bounded genus f(r) = O(r) G : H-minor-free f(r) = cH ・ r

G : K3,k-minor-free f(r) = 204k ・ r

G : H-minor-free f(r) = |V(H)|O(|E(H)|) ・ r

G : general f(r) = 2

O(r5) (Robertson-Seymour-Thomas [1994], Diestel et al. [1999])

(Robertson-Seymour-Thomas [1994])

(Demaine et al. [2005])

(Demaine-Hajiaghayi [2008])

(Demaine et al. [2009])

Known results

Our results

O(r2 log r)(Kawarabayashi-K [2012])

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2) 大きなクリークマイナーを含む

ほぼ平面的なウォール（ 2 ） tw(G) > （定数） なら大きなウォールを含む

ウォール内部がほぼ平面的（高々 9k2 個の頂点を取り除くと）対角の頂点を結ぶ２本の点素パスがウォール内部に取れない

def

ほぼ平面的な大きなウォール 大きなクリークマイナー大きなウォール

ウォールがほぼ平面的

def

目標：

が無い（定数個頂点除くと）

ほぼ平面的な大きなウォール 大きなクリークマイナー大きなウォール

ウォールがほぼ平面的

def

目標：

が無い（定数個頂点除くと）

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2) 大きなクリークマイナーを含む

ケース (2) の場合分け（ 2 ） tw(G) > （定数） なら大きなウォールを含む

ポイント

がたくさんあると，クリークマイナーを作れる

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

GM22 の結果

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

クリークマイナーの処理 サイズ 2k のクリーク C があるとする

ターミナルから C へ 2k 個の点素パスが存在

ターミナルと C を分けるサイズ 2k – 1 以下の点カットが存在

t1

s3

s2

t2

t3

s1

（本当はクリークマイナーだが簡単のため）

t1

s3

s2

t2

t3

s1

サイズ ≦ 2k - 1

Menger の定理

クリークマイナーの処理 サイズ 2k のクリーク C があるとする

ターミナルから C へ 2k 個の点素パスが存在 C を使ってターミナルを任意に繋ぐことが

できる

ターミナルと C を分けるサイズ 2k – 1 以下の点カットが存在

t1

s3

s2

t2

t3

s1

（本当はクリークマイナーだが簡単のため）

t1

s3

s2

t2

t3

s1

サイズ ≦ 2k - 1

Menger の定理

クリークマイナーの処理 サイズ 2k のクリーク C があるとする

ターミナルから C へ 2k 個の点素パスが存在 C を使ってターミナルを任意に繋ぐこと

ができる

ターミナルと C を分けるサイズ 2k – 1 以下の点カットが存在

C の中に“点素パスに無関係”な頂点が存在

（本当はクリークマイナーだが簡単のため）

t1

s3

s2

t2

t3

s1

サイズ ≦ 2k - 1 無関係！

t1

s3

s2

t2

t3

s1

サイズ 3k

Menger の定理

少しだけ各ステップの説明

（ 2-1 ） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む

（ 2-2 ） 大きなクリークマイナーを含む

中央の頂点を取り除く

点素パスが見つかる 頂点を取り除く

以上を繰り返す

（ 1 ） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く（ 2 ） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む

グラフの木幅を計算

（１） 木幅とは？（２） 木幅小さい →動的計画法（３） 木幅大きい →ウォール（４） ほぼ平面的？

（５） (2-1) の正当性

（６） (2-2) の正当性

講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース

２点素パス問題 k 点素パス問題 （ Robertson-Seymour のアルゴリズ

ム） その他の結果

最短点素パス問題 演習 近年の発展（最大点素パス問題）

その他の結果（１）

t2

t3

tk

平面的

s1

s2

s3

sk

t1

グラフが平面的で，ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき， 点素パス問題は多項式時間で解ける

観察

その他の結果（１）

グラフが平面的で，ターミナルが高々 2 つの面の周上のとき， 点素 パス問題は O(n) 時間で解ける

定理 (Suzuki-Akama-Nishizeki, 1988)

t2

t3

tk

平面的

s1

s2

s3

sk

t1

グラフが平面的で，ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき， 点素パス問題は多項式時間で解ける

観察

t2

t3

tk

平面的

s1s2

s3

sk

t1

その他の結果（２）

t2

t3

tk

平面的

s1

s2

s3

sk

t1t2

t3

tk

平面的

s1

s2

s3

sk

t1

グラフが平面的で，ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき， 点素パス問題は多項式時間で解ける

観察

グラフが平面的で，ターミナルが 1 つの面の周上， オイラー条件を満たすとき，辺素パス問題は

定理 (Okamura-Seymour, 1981)

その他の結果（２）

t2

t3

tk

平面的

s1

s2

s3

sk

t1t2

t3

tk

平面的

s1

s2

s3

sk

t1

グラフが平面的で，ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき， 点素パス問題は多項式時間で解ける

観察

グラフが平面的で，ターミナルが 1 つの面の周上， オイラー条件を満たすとき，辺素 パス問題は 多項式時間で解ける

定理 (Okamura-Seymour, 1981)

各頂点に接続する需要＋供給 の枝数が偶

数

現在： O(n) 時間(Wagner-Weihe [1993])

その他の結果（２）

グラフが平面的で，ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき， 点素パス問題は多項式時間で解ける

観察

グラフが平面的で，ターミナルが 1 つの面の周上， オイラー条件を満たすとき，辺素 パス問題は 多項式時間で解ける

定理 (Okamura-Seymour, 1981)

各頂点に接続する需要＋供給 の枝数が偶

数

現在： O(n) 時間(Wagner-Weihe [1993])

グラフが平面的で，ターミナルが 1 つの面の周上， 内点が偶数次数のとき，辺素パス問題は多項式時間で解ける

定理 (Frank, 1985)

現在： O(n) 時間

(Weihe [1999])

その他の結果（２）

グラフが平面的で，ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき， 点素パス問題は多項式時間で解ける

観察

グラフが平面的で，ターミナルが 1 つの面の周上， オイラー条件を満たすとき，辺素 パス問題は 多項式時間で解ける

定理 (Okamura-Seymour, 1981)

各頂点に接続する需要＋供給 の枝数が偶

数

現在： O(n) 時間(Wagner-Weihe [1993])

グラフが平面的で，ターミナルが 1 つの面の周上， 内点が偶数次数のとき，辺素パス問題は多項式時間で解ける

定理 (Frank, 1985)

現在： O(n) 時間

(Weihe [1999])

難しいポイント カット条件 幾何的な条件

の両方を同時に扱う必要がある

どれも幾何的な条件が扱いやすい形

演習枝集合 s1t1, s2t2, …, siti をもつグラフを H とする．

グラフが平面的，ターミナルが 1 つの面の周上， オイラー条件 (G+H の次数がすべて偶数 ) を満たすとき，

定理 (Okamura-Seymour, 1981)

Demand graph

任意のカットに対して，G の枝数 ≧ H の枝数

「オイラー条件」を除くと，この関係が成り立たなくなることを示せ．

「 1 つの面の周上」という条件を除くと，成り立たなくなることを示せ．

辺素 パスが存在 カット条件が成立

第一部，第二部 まとめ 点素パス問題の難しさ

未解決問題有向平面グラフ上の辺素パス問題有向平面グラフ上の点素パス問題の FPT３点素パスの存在の特徴づけ

カット条件 幾何的な条件

の両方を同時に扱う必要がある

t4

点素パスを見つけよ

例題

s1

t1

s2

s3

t2t3

s4

s2

s1

点素パスを見つけよ

t4

例題２

t1

s3

t2

t3

s4