第一讲 不等式和绝对值不等式

1 、不等式

1 、不等式的基本性质：

① 、对称性： 传递性： _________

② 、 ， a+c＞ b+c

③、 a＞ b ， ， 那么 ac＞ bc ；

a＞ b ， ，那么 ac＜ bc

④、 a＞ b＞ 0 ， 那么， ac＞ bd

⑤、 a>b>0 ，那么 an>bn. （条件 ）

⑥ 、 a＞ b＞ 0 那么 （条件 ）

nn ba

abba cacbba ,

Rcba ,

0c

0c

0 dc

2, nNn

2, nNn

练习： 1 、判断下列各命题的真假，并说明理由：

（ 1 ）如果 a>b ，那么 ac>bc ；

（ 2 ）如果 a>b ，那么 ac2>bc2 ；

（ 3 ）如果 a>b ，那么 an>bn(n∈N+) ；

（ 4 ）如果 a>b, c<d ，那么 a-c>b-d 。

2 、比较 (x+1)(x+2)和 (x-3)(x+6) 的大小。

（假命题）

（假命题）

（真命题）

（假命题）

解：因为 (x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)

=20>0 ，

所以 (x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

例 2 、 已知 a>b>0， c>d>0 ，求证：a b

d c

例 1 、求证：如果 a>b>0， c>d>0 ，那么 ac>bd 。

证明：因为 a>b>0, c>d>0 ，

由不等式的基本性质（ 3 ）可得 ac>bc, bc>bd ，

再由不等式的传递性可得 ac>bc>bd 。

练习： 如果 a>b,c>d ，是否一定能得出 ac>bd ？并说明理由 。

例 3 、若 a、 b、 x、 y∈R ，则 是

成立的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

( )( ) 0

x y a b

x a y b

x a

y b

C

例 5 、已知 f(x)=ax2+c ，且 -4≤f(1)≤-1， -1≤f(2)≤5 ，求 f(3) 的取值范围。

例 4 、对于实数 a、 b、 c ，判断下列命题的真假：

（ 1 ）若 c>a>b>0 ，则

（ 2 ）若 a>b, ，则 a>0， b<0 。

a b

c a c b

1 1

a b

（真命题）（真命题）

f(3) 的取值范围是 [-1, 20]

例 6 、已知 a>0， a2-2ab+c2 =0， bc>a2 ，试比较a、 b、 c 的大小。解：因为 bc>a2>0 ，所以 b、 c 同号；又 a2+c2=2ab>0 ，且

a>0 ，所以 b= 且 c>0 。

因为 (a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0 ，所以 b-c≥0.

当 b-c>0 ，即 b>c 时， b= 得

所以 a2c+c3 >2a3即 a3-c3+a3-a2c<0， (a-c)(2a2+ac+c2)<0

因为 a>0,b>0,c>0 ，所以 2a2+ac+c2>0 ，故 a-c<0,即a<c.

从而 a<c<b 。当 b-c=0 ，即 b=c 时，因为 bc>a2 ，

所以 b2>a2 ，即 b≠a 。又 a2-2ab+b2=(a-b)2=0 ，所以a=b ，

与前面矛盾，故 b≠c. 所以 a<c<b.

2 2

0,2

a c

a

2 22, ,

2

a cbc a

a

2 22 ,

2

a cc a

a

小结：理解并掌握不等式的六个基本性质

作业：课本 P10第 3 题。求证：

（ 1 ）如果 a>b, ab>0 ，那么

（ 2 ）如果 a>b>0， c<d<0 ，那么ac<bd 。

选做题：设 a≥b,c≥d ，

求证： ac+bd≥ (a+b)(c+d)

1 1;

a b

1

2

2 、基本不等式定理 1 如果 a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时等号成立。探究： 你能从几何的角度解释定理你能从几何的角度解释定理 11 吗？吗？ 分析： a2与 b2 的几何意义是正方形面积，

ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。

a

a b

b

b

A

H

I D

K G

B J C

F

E

如图把实数 a ，

b 作为线段长度，

以 a≥b 为例，在

正方形 ABCD 中，

AB=a ；在正方形

CEFG 中， EF=b.

则 S 正方形 ABCD+S 正方形 CEFG=a2+b2.

S 矩形 BCGH+S 矩形 JCDI=2ab ，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积和。 即 a2+b2≥2ab. 当且仅当 a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab 。

定理 2 （基本不等式） 如果 a， b>0 ，那么

当且仅当 a=b 时，等号成立。2

a bab

证明：因为 =a+b-2 ≥0 ，

所以 a+b≥ ，

上式当且仅当 ，即 a=b 时，等号成立。

2( )a b ab2 ab

a b

称为 a,b的算术平

均

称为 a， b的几何平均

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

如图在直角三角形中， CO、 CD 分别是斜边上的中线和高，设 AD=a， DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。

C

A BDO

例 3 求证：（ 1 ）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（ 2 ）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

结论：已知 x, y 都是正数。（ 1 ）如果积 xy 是定值 p ，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 ；（ 2 ）如果和 x+y 是定值 s ，那么当 x=y 时，积xy 有最大值

p

21

4s

A B

E

NM

F

DCQ P

H G例 4 某居民小区要建一座八边

形的休闲场所，它的主体造型

平面图（右图）是由两个相同的

矩形 ABCD和 EFGH 构成的面积

为 200 平方米的十字型地域，计

划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，

造价为每平方米 4200 元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米 80 元。

（ 1 ）设总造价为 S 元， AD 长为 x 米，试建立 S 关于 x 的函数关系式。

（ 2 ）当 x 为何值时 S 最小，并求出这个最小值。

2

2 2

2 2

1;

21 1

2 8

1 25) ( )

21 25

4 )( ) .4

b

a b

bb

bb

2

补充例题 已知a, b (0, + )，且a+b=1，求证：

（1）a

（） ；

1（3）（a+ ；

a1

（）（a+a

课堂练习：课本 P10第 5 题、第 6 题、第 9 题

5 、设 a, b∈R+,且 a≠b ，求证：(1) (2)

6 、设 a,b,c 是不全相等的正数，求证：

（ 1 ） (a+b)(b+c)(c+a)>8abc ；

（ 2 ） a+b+c>

9 、已知 x 、 y∈R, 求证：

2a b

b a ； 2ab

aba b

.ab bc ca 2 2

2( ) .2 2

x y x y

小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。

作业：课本 P10第 7、 8、 10 题，第 11题为选做题。

3 、三个正数的算术 - 几何平均不等式 33 , ,

3

a b ca b c R abc

a b c

定理 如果 ，那么 ，当且仅

当 时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

2

1 21 2

2

,

, , ,

,

n

n nn

n

a a

a a aa a a

na a

1

1

把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a

它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：

当且仅当a 时，等号成立。

2 11 (1 5 )(0 )

5y x x x 例 求函数 的最值。

2

3

5 2 5 2( 2 ) ( 2 ),

2 5 2 51 2

0 , 2 0,5 5

2( 2 )5 45[ ] .

2 3 6752 2 4

2 .5 15 675

y x x x x x

x x

x x xy

x x x x

max

解：

当且仅当 ，即 时，y

3

max

1 1 4 1 5 14 (1 5 ) ( ) ,

4 4 3 1081

.108

x x xy x x x

y

下面的解法对吗？

练习： θ 是锐角，求 y=sinθcos2θ 的最大值。

2 2 4 2 2 2

2 2 23

2 2 2

1sin cos 2sin cos cos

2

1 2sin cos cos 4( ) ,

2 3 27

32sin cos 1 sin , sin

3

2 3.

9

y

max

解：

当且仅当 即

时取等号，此时y

2P11 15 },

2 .

2

b

h

2

b课本 第 题 已知a>0, b>0, 且h=mi n{a, a

求证：2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

22 2

0, 0, 2 ,

1 12, , ,

2 2

0<h=min{a, } ,

0<h=min{a, } ,

1 2, .

2 2

a b a b ab

a b ab b

ab a b a bb

aa bb b

a b a b

bh a

a b

证明：

即a

由于

从而h

13 、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？

14 、已知球的半径为 R ，球内球圆柱的底面半径为 r ，高为 h ，则 r 与 h 为何值时，内接圆柱的体积最大？

二、绝对值不等式

1 、绝对值三角不等式 实数 a 的绝对值 |a| 的几何意义是表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离：

O a

A x

|a|

xA B

a b

|a-b|

任意两个实数 a,b 在数轴上的对应点分别为A 、 B ，那么 |a-b| 的几何意义是 A 、 B 两点间的距离。

联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究 |a|,|b|,|a+b|,|a-b| 等之间的关系：

分 ab>0和 ab<0 两种情形讨论：

（ 1 ）当 ab>0 时，如下图可得 |a+b|=|a|+|b|

Ox

a b a+b

Ox

aba+b

（ 2 ）当 ab<0 时，也分为两种情况：如果a>0,b<0 ，如下图可得： |a+b|<|a|+|b|

Ob a xa+b

如果 a<0, b>0 ，如下图可得： |a+b|<|a|+|b|

a+ba b xO

（ 3 ）如果 ab=0 ，则 a=0或 b=0 ，易得：

|a+b|=|a|+|b|

定理 1 如果 a, b 是实数，则

|a+b|≤|a|+|b|

当且仅当 ab≥0 时，等号成立。

探究 如果把定理 1 中的实数 a, b 分别换成向量 a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？

a

b

a b

O

x

y

探究 当向量

a, b 共线时，有怎样的结论？

这个不等式称为绝对值三角不等式。

定理 1 的代数证明：2

2 2 2 2 2

0 | |,| | ( )

2 | | 2 | | | | (| | | |) | | | |

ab ab ab a b a b

a ab b a ab b a b a b

证明：当 时，

2

2 2 2 2

2 2 2

0 ,| | ( )

2 | | 2 | | | |

| | 2 | | | | (| | | |) | | | |,

| | | | | |,

0

ab ab ab a b a b

a ab b a ab b

a ab b a b a b

a b a b

ab

当 时，

所以当且仅当 时，等号成立。

探究 你能根据定理 1 的研究思路，探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b| 等之间的其他关系吗？例如： |a|-|b|与 |a+b|， |a|+|b|与 |a-b|， |a|-|b|与 |a-b| 等之间的关系。

|a|-|b|≤|a+b|,

|a|+|b|≥|a-b|,

|a|-|b|≤|a-b|.

如果 a, b 是实数，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

例 1 已知 ε>0， |x-a|<ε,|y-b|<ε ，求证：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.

证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|

=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|

=2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.

所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.

定理 2 如果 a, b, c 是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|

当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时，等号成立。

证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|

当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时，等号成立。

yxDyxC

yxB

mymx

. 2.

2. y-xA.

) (,,: 的是下列不等式中一定成立若例 B

例 2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km 和第 20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

分析：假设生活区建在公路路碑的第 xkm 处，两个施工队每天往返的路程之和为 S(x)km ，则有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|) ，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。

练习：课本 P20第 1、 2 题

1 . 求证： (1)|a+b|+|a-b|≥2|a|

(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|

2. 用几种方法证明1

| | 2( 0)x xx

nD.m nC.m nB.m nA.m

) (

,,,,ba.1

:

大小关系是

之间的则已知

补充练习

nmba

ban

ba

bam

D

xyDxyC

y

yx

xyxyxyx

coscos. coscos.

coscosxB. cosy-A.cosx

) ()cos(cos

),,2

(,coscoscoscos,.2

2

可写成则

且满足如果实数

D

________

,08,.3

21

221

的取值范围

则的两个不等实根是方程若

rr

pxxrr

),24(

_________

12.4

的取值范围是

则的解集为的不等式若关于 aaxxx 3a

1D.a 1C.a 7aB.1 7A.a

) (

,34.5

的取值范围是则实数

的解集为非空集合若不等式

a

axx

C

mabxy

mymabyaxm

求证

设 ,,,2

,2

,0,.6

小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0 时等号成立）

|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,

(a-b)(b-c)≥0 时等号成立）

能应用定理解决一些证明和求最值问题。

作业：课本 P20第 3、 4、 5 题

2 、绝对值不等式的解法

复习：如果 a>0 ，则 |x|<a 的解集是 (-a, a) ； |x|>a 的解集是 (-∞,-a)∪(a,+∞)

O a-a x

O-a a x

|x|<a

|x|>a

（ 1） |ax+b|≤c和 |ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：

① 换元法：令 t=ax+b, 转化为 |t|≤c和 |t|≥c型不等式，然后再求 x ，得原不等式的解集。

② 分段讨论法：0 0

| | ( 0)( )

ax b ax bax b c c

ax b c ax b c

或

0 0| | ( 0)

( )

ax b ax bax b c c

ax b c ax b c

或

例 3 解不等式 |3x-1|≤2

例 4 解不等式 |2-3x|≥7

补充例题：解不等式

2

1 1(1) (3 | | 1) | | 3

4 2

(2) 3 4 | | .

x x

x x

|ax+b|<c和 |ax+b|>c(c>0)型不等式比较：

类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别

|ax+b|<c -c<ax+b<c

{x|ax+b>-c} ∩ {x|

ax+b<c}, 交

|ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c

{x|ax+b<-c}∪

{x|ax+b>c}, 并

课堂练习： P20第 6 题

型不等式的解法

和）（ cbxaxcbxax 2

521 5 xx解不等式例

，，。A，，BA；B

A，BA

，BBAB，B

B，；BAAA，AA。

，，A，，A B，，，：

23

5

5

5

1

123

121

11

11

111

111

式的解集是故原不等的距离之和都大于的任何点到点

的右边的左边或点点的距离之和都小于

之间的任何点到点与从数轴上可以看到点

这时也有右移动一个单位到点

向将点同理这时有到点

个单位向左移动将点数都不是原不等式的解上的因此区间两点的距离是那么

对应的点分别是设数轴上与解法

x1 2-2-3

A BA1 B1

521 5 xx解不等式例

，，x

xxx

，xxx

x

xx，x：

23

,2 ,2

,5)2()1( ,1

,53

,5)2()1( ,12

3, ,3

,5)2()1( ,22

的解集为综上所述可知原不等式此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当

此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当

此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法

521 5 xx解不等式例

,23,

1x , 4-2x

1x2- 2,-

-2x ,62

521

05213

解集为由图象可知原不等式的作出函数图象

即构造函数

将原不等式转化为解法

，

x

y

，xxy

xx：

y

xO-3 2

-2

型不等式的解法

和）（ cbxaxcbxax 2

①利用绝对值不等式的几何意义

②零点分区间法③构造函数法

作业： P20第 7 题、第 8题 (1)(3)

练习： P20第 8题 (2)432)2.(8 xx解不等式

补充练习：解不等式：

（ 1） 1<|2x+1|≤3.

（ 2 ） ||x-1|-4|<2.

（ 3 ） |3x-1|>x+3.

答案：（ 1） {x|0<x≤1或 -2≤x<-1}

（ 2 ） {x|-5<x<-1或 3<x<7}

（ 3 ） 1{ | 2}

2x x x 或

作业 6431)1(720 xP 解不等式题第第

.3

2,1

3

5,

3

103

21

3

5

3

103

2

3

103

51

6436

143143

643

143:

故原不等式的解集为

或解得

或或即

等式组原不等式等价于下列不解

xx

x

xx

x

xx

x

x

8. 解不等式 :

.,

).,2[432

2,

2

3

,4)3()2(,2

).2,3(

432

23,45

,4)3()2(,23

].3,(

432

3,

2

5

,4)3()2(,3:

432)2(

R

xx

xx

xxx

xx

x

xxx

xx

xx

xxx

xx

原不等式的解集是综上所述

的解集是不等式组即

原不等式可化为时当的解集为

所以不等式组显然成立即

原不等式可化为时当的解集是

即不等式组解得

原不等式可化为时当解

.2

5,

2

1,

.2

5,2

221

2

,2

5,221,2

).2,1(

221

21,21

,2)2()1(,21

.1,2

1

221

1,

2

1

,2)2()1(,1:

221)3(

原不等式的解集是综上所述

的解集是所以不等式组

即原不等式可化为时当

解集是

的所以不等式组显然成立即

原不等式可化为时当

的解集是即不等式组解得

原不等式可化为时当解

xx

x

xxxx

xx

x

xxx

xx

xx

xxx

xx