第 8 讲 不等式及其应用

1. 不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关 系，不等式是反映这种关系的基本形式，江苏省 考试说明中在此处确定两个 C 级要求（最高要求级 别），其一为一元二次不等式，另一为基本不等 式应用，备考中要引起足够重视 .2. 不等式的基本性质是研究不等式变形的基础，许 多不等式的定理、公式都是在此基础上推理、拓 展而成的，备考时务必抓住基本概念与性质，准 确熟练的进行变形，不断提升思维深度与广度， 才能在解决问题时有备无患，得心应手 .

3. 不等式一节，一直是考查的重点和热点，尤其以 “ 实际问题”、“函数”、“方程”等为背景的 综合题较多，不仅仅测试和考查了基础知识、基 本技能、蕴含的数学思想方法，而且是考查学生 求解能力、推理论证能力，抽象思维能力的良好 载体，备考过程中要加强训练 .4. 加强等价转化思想、数形结合思想、分类讨论思 想、函数与方程思想等思想方法的训练，并从中 体会它们在解题中的基础性作用 .5. 线性规划是不等式知识应用的良好素材，数形结 合思想使问题变得直观与具体，与实际问题结合 设计出具有“现实意义”的应用题，是近年高考 的一个热点 . 提醒注意，最后一定要考查结果是否 符合实际意义的要求 .

【例 1 】设 a,b∈R ，若 a-|b|>0 ，则下列四个不等式：

①b-a>0;②a3+b3<0;③b+a>0;④a2-b2<0 中正确的是

. （写出正确的序号） 分析 先认定 a,b 大小关系再作判断，也可取满足 条件的 a 、 b 特殊值逐一验证 .( 特殊值法 ) 解析 方法一 a-|b|>0a>|b| - a<b<a

a+b>0 且 a-b>0b-a<0 ① 错 . a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a2-b2=(a-b)(a+b)>0 ④ 错 .

.②043

)2

()( 22 错

b

baba

方法二 ∵ a,b∈R 且 a-|b|>0, 不妨取 a=2,b=-1,

易知，只有③正确 .

答案 ③

探究拓展 不等式性质是不等式的理论基础是一

切证明、推理、判断、求解的依据，要求熟练掌

握，变形时谨慎处理，步步有据 .

变式训练 1 若 0<a1<a2,0<b1<b2 且 a1+a2=b1+b2=1,

则

a1b1+a2b2,a1a2+b1b2,a1b2+a2b1 与 四个代数式中

值最大的是 .

21

a1b1+a2b2

【例 2 】（ 2009·徐州模拟）设 x,y∈R+ 且 则 x+y 的最小值为 . 解析 方法一

,191 yx

91

91

yy

xyx

.16)(4

.1299

9

,16)9(9

92109

9

910

.099,19

,191

99

910

9

91

9

min

yx，x

y，yy

yy

yy

t

yyy

x、yx

yy

yy

yy

yyxt

可见故

时等号成立即当且仅当

又 Ry

方法二

探究拓展 基本不等式是求最值的有力与有利工 具，但切勿忘记验证取得最值的条件，只有条件 满足时，才能“真的取到”最值 . 本题中基本不等式的使用还是较艰苦的，这个 “艰苦”的指“用”之前还要作不少变形，适当添 加一些凑配出“可意的基本不等式形式”是解题

)91

()(yx

yxyx

.12,4

.9

.16)(.1692109

10min

时取得最小值即

等号成立时当且仅当

yx

，yx

xy

yxyx

xy

答案 16

的关键，而这一技巧需要备考者认真思考，仔 细体会，不断归纳总结才能提高 .消元是处理二元 或多元式子的有效方法 .

变式训练 2 已知

(b<0) ，则 x 与 y 之间大小关系为 .

解析

22

)2

1(),2(

2

1

byaa

ax

.4221

)2(2221

2

a

aa

ax

.,4)2

1()

2

1(

.3

222

yxy

，a

b

等号成立时当且仅当

x>y

【例 3 】（ 2008·江苏押题）已知 (x- 0≤x≤a 且 z=x+y 的最大值为 11 ，试求 a 的值为 . 分析 （ x-y+5)(x+y)≥0包含两个不等式组，应分 别研究，它们的限制条件， z=x+y 的最大值为 11 ， 即已知目标函数的最值，方法处理同求目标函数 最值类似 .

y+5)(x+y)≥0,

ax

yx

yx

ax

yx

yx

ax

yxyx

0

0

05

②0

0

05

①

0

0))(5(

或

解析

作出可行域知②对应 ，只要研究① ,

目标函数可化为 y=-x+z.于是直线 y=-x+z 在 y轴上截 距为 z ，依可行域知，当直线过点 M （ a,a+5 ）时， z 取得最大值 11 ，即 11=2a+5a=3. 答案 3 探究拓展 线性规划实际是一种重要数学思想方 法的应用，即数形结合解决问题 . 应用解题时要把 握好以下 3 点：①将线性约束条件准确转化为可行 域（完成由数向形的转化）；②将目标函数转化 为以 x 为自变量的函数，仔细弄清平行线在 y轴上 截距增大、减小与目标函数最大、最小值之间的 变化规律；③依变化规律，找到最优解并求最大 （小）值 . 本题是已知目标函数的最值，反过来确 认参数最值，其思路与求最值一样 .

变式训练 3 设 A 为不等式组 表示的平 面区域，则当 a 从 -2连续变化到 1 时，动直线 x+y=a 扫过 A 中的部分区域的面积为 . 解析 将不等式组表示的区域 A 作 出，如图所示为 Rt△MNO.动直线 即为 y=-x+a ，是一组斜率为 -1 ，在 y轴上的截距为 a∈［ -2 ， 1］的直线， 图中四边形 PQOM 为要求面积区域，依题意各点坐 标为 O （ 0 ， 0 ）， M （ -2 ， 0 ）， N （ 0 ，2 ）， Q （ 0 ， 1 ），

2

0

0

xy

y

x

),2

3,2

1(P

【例 4 】若当 a∈［ 1 ， 3］时，不等式 ax2+(a-2)x-2>0 恒成立，求实数 x 取值范围 . 分析 变换主元法 .由于 a 的取值范围已知，可将 a 视为主元，而把 x看作常数，利用一次函数性质， 结合最值观点解决 . 解 设 f(a)=(x2+x)a-2x-2, 则 a∈［ 1 ， 3］时， f(a)>0恒成立， ,

0)3(

0

0)1(

0:

22

f

xx

f

xx或这等价于

答案

.4

7,222

2

1,4

1

2

11

2

1 PQOMMNONQP SSS 四边形

4

7

解得 x>2或 x<-1. 所以 x 的取值范围是（ -∞,-1 ）∪ (2,+∞). 探究拓展 （ 1 ）不等式的问题，实质是函数的问 题，是已知函数值范围问题，学习中千万不要将 两个概念割裂开来，应该互为利用互相促进问题 解决 . （ 2 ）恒成立问题，有时要从最值入手限制条件满 足“恒”成立 . 一般地： f(x)≥t恒成立

f(x)≤t恒成立 t≥f(x)max.

,)(min

xft

变式训练 4 (2009·江苏最后一卷 ) 若不等式

x2+ax+1≥0,对一切 成立，则 a 的最小值为

.

解析

21,0x

).1

(:,21,0

xxax

原式可化为

.25

),21()(:,

25

)21()(

.21,0)(),

1()(

max

a

xax

xx

xx

须依题意

上为增函数在设

25

【例 5 】（ 2009·盐城中学第七次月考）已知某公司 生产某品牌服装的年固定成本为 10万元，每生产 千件需另投入 2.7 万元，设该公司年内共生产该品 牌服装 x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R （ x ）万元，且 R （ x ） =

（ 1 ）写出年利润 W （万元）关于年产品 x(千件） 的函数解析式； （ 2 ）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服 装的生产中所获年利润最大？ （注：年利润 = 年销售收入 - 年总成本）

.)10(

30001108

)100(301

8.10

2

2

xxx

xx

解 （ 1 ）当 0<x≤10 时， W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- 当 x>10 时， W=xR （ x ） -(10+2.7x)

(2)①当 0<x≤10 时，由 得 x=9. 且当 x∈(0,9) 时， W′>0； 当 x∈(9,10) 时， W′<0; ∴当 x=9时， W取最大值，

.1030

3

x

107.230001

98

1001030

1.8

7.230001

98

3

xxx

xx

xW

xx

010

1.82

xW

综合①②知 x=9时， W 取最大值 . 所以当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装 生产中获利最大 . 探究拓展 有关应用类问题，首先应建立数学模 型，依具体模型设计具体解决方案，本题中可依 基本不等式确定取最值条件，不要忘记验证等号 成立条件是否满足 .

.38,9

001,7.2

3

0001

.387.23

0001298

)7.23

0001(98,10②

6.3810930

191.8

max

3max

Wxxx

xx

xx

Wx

W

时即当且仅当

时当

且

变式训练 5 （ 2009·淮安 3月调研）有一座大桥 既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保 证安全，交通部门规定，大桥上的车距 d(m) 与车 速 v （ km/h）和车长 1(m) 的关系满足： (k 为正的常数 ) ，假定车身长为 4 m，当车速为 60(km/h) 时，车距为 2.66个车身长 . （ 1 ）写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式； （ 2 ）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通 过的车辆最多？ 解 （ 1 ）因为当 v=60 时， d=2.66l, ∴d=0.002 4v2+2.

llkvd212

，l

llk 6000.0

6016.2

6021

66.2

22

所以

.3

50012

,50,6

4002.0

3

50012

24.0

0001

,24.06

4002.026

4002.0

.6

4002.0

0001

64002.0

0001

.4

0001,)2(

2

取得最大值

时即当且仅当

即

则设每小时通过的四辆为

Q

vv

v

，Q

vv

vv

vvv

vQ

d

vQQ

答 当 v=50(km/h) 时，大桥每小时通过的车辆最多 .

规律方法总结1. 不等式成立的条件很关键 , 要把握准确 ,切勿疏忽 . 如 不能弱化条件得 如果强化条件得 也只是充分条 件，有失偏颇 .2.几个“平均数”的大小关系：若 a,b∈R+ ，则有

（当且仅当 a=b 时，取 等号），其中 叫做 a 、 b 的平方平均数； 叫做 a 、 b 的算术平均数； 叫做 a 、 b 的几何 平均数； 叫做 a 、 b 的调和平均数 .

,11

0ba

ba ;11

,ba

ba

,11

0ba

ba

ba

abbaba

112

22

22

2

22 ba

ab2ba

ba112

3.常用不等式：

(请学生认真思考：以上各 式等号成立的条件是什么？）4. 在解不等式时，一定要注意等价转化，体现转化 的数学思想方法 .对于解没有给出具体式子的不等 式，要充分利用函数的性质及图象进行等价转 化，这类题较好地体现了数形结合及函数的思想 . 对于含参数的不等式的解法 , 一定要利用分类讨论 法来求解 , 分类时要遵守最简及不重不漏两条原则 .

);(21

);(21 -RR x

xxx

xx

);0(2);0(2);0(21 ab

ba

ab

abba

ab

xx

x xR，

;22

;)2

(;)()(22222

2222 baab

babaabbaba

acbcabcba 222

5. 用均值不等式来求函数的最值时，必须满足“一 正、二定、三相等”三个条件，三者缺一不可， 有时为了创造应用均值不等式的条件，经常应用 合理拆分项或配凑因式等解题技巧 . 函数 上单调递减，在 上单调递增 .当用均值不等式不能求出函 数的最值时，要注意充分利用函数的单调性 . 在利用均值不等式求值时，若进行连续放缩，则 需注意取等条件是否一致 .6. 证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析 法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、 反证法 .

aaxa

xxf ,0)0()( 在

),[ a

7. 在不含参数不等式的求解时也可能运用分类讨论

的方法，但它与含参数不等式求解时对分类讨论

的运用是不同的，前者是对未知数在可能的取值

范围内进行分类讨论，各类别下求得的解集，必

须取其“并”，才是原不等式的解集，后者是对

其中的参数作出分类讨论，各类别下求得的解集

毫无关系，故决不能取“并” .

8.利用不等式解决实际问题 . 不等式的应用题大致可

分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围

或解决一些实际应用问题，另一类是建立函数关

系，利用均值不等式或函数的单调性求最值问题 .

应用不等式解题的关键是建立不等关系 . 解不等式

应用问题的步骤：审题，建立不等模型，利用不

等式有关知识解题 . 解决问题具体：

现实世界中的实际问题 不等式模型数学抽象

实际问题的解 不等式的解还原实际

一、填空题

1.已知 a+b<0 且 a>0 ，则 a2,b2,-ab 的大小关系为

.

解析 a+b<0 且 a>0b<0,|b|>a,

即 -b>a>0 ，所以 0<a2<-ab,

0<a·（ -b ） <(-b)2, 则 0<a2<-ab<b2.

2. 设 则四者

大小关系为 .

a2<-ab<b2

,2log,3log,3

1log,3log 3

2

1

2

12 dcba

c<d<a=b

3. 设 则不等式 f(x)>2 的

解集为 .

解析 若 x<2 ，则 2·ex-1>2,ex-1>1=e0,1<x<2.

若 x≥2, 则 log3(x2-1)>2,x2-1>9x> 或 x<-

又 x≥2,∴x> .

综合以上知 x∈(1,2)∪( ,+∞).

,)2()1(log

)2(e2)(

2

3

1

xx

xxf

x

10 10

10

10

),10()2,1(

4.已知变量 x,y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2. 若目标函数 z=ax+y （其中 a>0 ）仅在点（ 3 ，1 ）处 取得最大值，则 a 的取值范围为 . 解析 变量 x,y 满足约束条件 1≤x +y≤4,-2≤x-y≤2. 在坐标系中画出 可行域，如图中的四边形 ABCD ，其 中 A （ 3 ， 1 ）， kAD=1 ， kAB=-1 ，目标

函数 z=ax+y ( 其中 a>0 ）中的 z表示斜率为 -a 的直线 系中的截距的大小，若仅在点（ 3 ， 1 ）处取得最 大值，则斜率应小于 kAB=-1,即 -a<-1 ，

所以 a 的取值范围为（ 1 ， +∞） .

（ 1 ， +∞）

5. 定义在 R 上的奇函数 f(x) 为增函数，偶函数 g(x)在 区间［ 0 ， +∞）的图象与 f(x)图象重合 . 设 a>b>0 ， 给出以下不等式，其中正确的式子的序号为 . ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 解析 由题意 f(a)=g(a)>0,f(b)=g(b)>0, 且 f(a)>f(b),g(a)>g(b), ∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b). 而 g(a)-g(-b)=g(a)-g(b), ∴g(a)+g(b)-［ g(a)-g(b)］ =2g(b)>0, ∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b), 同理可证 f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a).

①③

6. 函数 f(x)=x3+ax+2 008 在区间［ 1 ， +∞）上存

在

x1,x2, 使得当 x1<x2 时， f(x1)≥f(x2), 则实数 a 的取

值

范围是 .

解析 从其对立事件入手，即 x1 ， x2∈［ 1 ，

+∞），当 x1<x2 时， f(x1)<f(x2)恒成立 .即“ f

(x) 在

［ 1 ， +∞) 上单调递增” .f′(x)≥0恒成

y′=3x2+a≥0 在［ 1 ， +∞）上恒成立 .a≥-3,

故

所求 a 的取值范围是（ -∞,-3).

(-∞,-3)

立 .

二、解答题

7. （ 2008·广东改编）设 a∈R, 若函数

有大于零的极值点 , 求 a 的取值范围 .

解 f′(x)=3+aeax, 若函数在 x∈R 上有大于零的极

值点 ,即 f′(x)=3+aeax=0 有正根 .当有

f′(x)=3+aeax=0 成立时 ,显然有 a<0, 此时

由 x>0 知参数 a 的取值范围为 a<-3.

y=eax+3x,x∈R

).3

ln(1

aax

8. 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M ，若 M［ 1 ， 4］，求实数 a 的范围 . 解 M［ 1 ， 4］有两种情况：其一是 M= ，此 时 Δ<0; 其二是 M≠ ，此时 Δ=0或 Δ>0 ，分三种 情况计算 a 的取值范围 . 设 f(x)=x2-2ax+a+2, 有 Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2). （ 1 ）当 Δ<0 时， -1<a<2,M=［ 1 ， 4］ . （ 2 ）当 Δ=0 时， a=-1或 2. 当 a=-1 时， M={-1}［ 1 ， 4］； 当 a=2 时， M={2}［ 1 ， 4］ .

（ 3 ）当 Δ>0 时， a<-1或 a>2. 设方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2, 且 x1<x2,

那么 M= ［ x1,x2］ ,由 M［ 1 ， 4］ 1≤x1<x2

≤4

.7

18,1,4,1

.7

182

,

21

41

0718

03

,0,41

0)4(,0)1(

的取值范围是时

解得

或

即且且

aM

a

aa

a

a

a

a

ff

9.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其 他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付 运费 900 元 . （ 1 ）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每 天所支付的总费用最少？ （ 2 ）某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不 少于 210吨时，其价格可享受 9折优惠，问该厂是 否考虑利用此优惠条件？请说明理由 . 解 （ 1 ）设该厂应每隔 x天购买一次面粉，其购 买量为 6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费 用为 3［ 6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］ =9x(x+1),设 平均每天所支付的总费用为 y1 元，

即该厂应每隔 10天购买一次面粉，才能使平均每 天所支付的总费用最少 . （ 2 ）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35天购 买一次面粉 . 设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面粉 . 平均每天支付的总费用为 y2 元，则

.10,900

9

.98910809109900

2809109900

68001900)1(9

1

时取等号即当且仅当

则

xx

x

xx

xx

xxx

y

.,35,100

)(

).()(,0)()(

.0100,0,0

,35

.)100)((

)100

()100

()()(

,35),35(100

)(

).35(72999900

90.080016900)1(91

2121

212112

12

21

2112

22

1121

12

2

上为增函数在即

即

则

令

xxxf

xfxfxfxf

xxxxxx

xx

xx

xxxx

xx

xxxfxf

xxxx

xxf

xxx

xxx

y

∴当 x=35 时， f(x) 有最小值， 此时 y2≈10 070<10 989.

∴该厂接受此优惠条件 .10.已知 f(x) 是定义在［ -1 ， 1］上的奇函数 , 且f(1)=

1, 若 m,n∈［ -1 ， 1］ ,m+n≠0 时有 （ 1 ）判断 f(x ）在［ -1 ， 1］上的单调性，并证明 你的结论； （ 2 ）解不等式：

(3) 若 f(x)≤t2-2at+1对所有 x∈［ -1 ， 1］， a

∈

［ -1 ， 1］恒成立，求实数 t 的取值范围 .

.0)()(

nmnfmf

);11

()21

(

x

fxf

解 （ 1 ）任取 -1≤x1<x2≤1,

则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x) 在［ -1 ， 1］上为增函数 .

（ 2 ）∵ f （ x ）在［ -1 ， 1］上为增函数，

，xxxxxfxf

xxxx

xxxxxfxf

0,0)()(

,0)(,11

).()()(

21

21

21

2121

21

21

21

又由已知

.12

3

,1

1

2

1

,11

11

,12

11

xx

xx

x

x

由此解得故有

（ 3 ）由（ 1 ）可知： f(x) 在［ -1 ， 1］上是增函 数，且 f(1)=1, 故对 x∈［ -1 ， 1］，恒有 f(x)≤1. 所以要使 f(x)≤t2-2at+1,对所有 x∈［ -1 ， 1］， a∈［ -1 ， 1］恒成立，即要 t2-2at+1≥1 成立， 故 t2-2at≥0 成立 . 记 g(a)=t2-2at对 a∈［ -1 ， 1］， g(a)≥0恒成立， 只需 g(a) 在［ -1 ， 1］上的最小值大于等于零 .

.02

.0)1(

,0

,0)1(

,0

tt

g

t

g

t

或解得

或故

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