选修４ - ５　不等式选讲

本专题知识结构　　　　第一讲　　　　　　不等式和绝对值不等式

　　　　第三讲　　　　　　柯西不等式与排序不等式　　　　第四讲　　　　　　数学归纳法证明不等式

　　　　第二讲　　　　　　　证明不等式的基本方法

不等式选讲

A

a

B

b

A

a

B

bb>a a>b

a<b a- b<0

a>b a- b>0

b=a b- a=0

基本不等式

注 : 是比较两个数大小的依据

一 : 不等式的基本性质

第一讲　不等式和绝对值不等式

比较法的基本步骤：比较法的基本步骤：1.作差 (或作商 )2. 变形3. 定号定号 (( 与与 00 比较或与比较或与 11 比较比较 ).).

例 1：比较 (x+1)(x+2)和 (x-3)(x+6)的大小。解：因为 (x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)

=20>0 ，

所以 (x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

① 、对称性： 传递性： _________

② 、 ， a+c ＞ b+c

③ 、 a ＞ b ， ， 那么 ac ＞ bc ；

a ＞ b ， ，那么 ac ＜ bc

④ 、 a ＞ b ＞ 0 ， 那么， ac ＞ bd

⑤ 、 a>b>0 ，那么 an>bn. （条件 ）

⑥ 、 a ＞ b ＞ 0 那么 （条件 ）

nn ba

abba cacbba ,

Rcba ,

0c

0c

0 dc

2, nNn

2, nNn

（可加性）

（可乘性）（乘法法则）

（乘方性）

（开方性）

一 : 不等式的性质

2例c

b

d

adcba 求证已知 ,0,0

011

,01

,0,0,0:

cd

dc

cdcddccddc证明

,0,0,011

c

a

d

aa

cd又 ①

②

由①②可得 c

b

d

a

c

b

d

a ,0

,0,01

,0 c

b

c

a

cba又

课堂练习:

1.判断下列命题是否正确: (1) cabcba , ( ) (2) bcacba ( )

(3) 22 bcacba ( ) (4) bdacdcba , ( )

(5) bac

b

c

a

22 ( ) (6) baba 22 ( )

(7) 22 baba ( ) (8) 22 baba ( )

(9) d

b

c

adcba 0,0 ( )

2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x R∈ 且 x≠1，比较 A，B的大小.

× √ × ×

√ ×

×

√ ×

解:∵ A-B=1+2x4-(2x3+x2)= 4 3 2(2 2 ) (1 )x x x

= 32 ( 1) (1 )(1 )x x x x = 3( 1)(2 1)x x x

= 2( 1)( 1)(2 2 1)x x x x = 2 21 1( 1) 2( ) 0

2 2x x

∴ A>B

3. 若 a 、 b 、 x 、 y R∈ ，则 是

成立的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

( )( ) 0

x y a b

x a y b

x a

y b

C

5. 已知 f(x)=ax2+c ，且 -4≤f(1)≤-1 ， -1≤f(2)≤5 ，求 f(3)的取值范围。

4. 对于实数 a 、 b 、 c ，判断下列命题的真假：

（ 1 ）若 c>a>b>0 ，则

（ 2 ）若 a>b, ，则 a>0 ， b<0 。

a b

c a c b

1 1

a b

（真命题）

（真命题）

f(3) 的取值范围是 [-1, 20]

二 : 基本不等式 2 2a b∈ R a +b ≥ 2ab如果 ， ，那么 ，

a=b当且仅当 时等1定理 ：

号成立。

a

a

b

b

b

几何解释

（基本不等式）a+b

a b 0 ≥ ab如果 ， ，那么 ，2

a=b当且仅当 时等

2定理 ：

号成立。

三 : 基本不等式

算术平均数 几何平均数

几何解释

Oa bD

ab

A

C

B

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

注：一正、二定、三等。

例 3 求证 :

(1) 在所有周长相同的矩形中 , 正 方形的面积最大 ;

(2) 在所有面积相同的矩形中 , 正方形的周长最短 .

定理：设 , ,x y z都是正数，则有

⑴若 xy S （定值），则当 x y 时， x y 有最小值 2 .s

⑵若 x y p （定值），则当 x y 时， xy有最大值2

.4

p

例 : 某居民小区要建一做八边形的休闲场所 ,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 平方米的十字型地域 . 计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛 , 造价为每平方米 4300 元 , 在四个相同的矩形上 ( 图中阴影部分 ) 铺花岗岩地坪 , 造价没平方米 210 元 , 再在四个空角 ( 图中四个三角形 ) 上铺草坪 , 每平方米造价 80 元 . (1) 设总造价为S 元 ,AD 长 x 为米 , 试建立 S 关于 x 的函数关系式 ; (2) 当为何值时 S 最小 , 并求出这个最小值 .

QD

B

C

F

A

E

H G

P

M N

解 :设 AM=y米

22 200- x

4xy+x =200 y=从而4x

2 2S=4200x +210×4xy+80×2y于是0<x<10 2

例 2．⑴已知 30

2x ,求函数 (3 2 )y x x 的最大值.

⑵求函数22

( 3)3

xy x

x

的最小值.

解⑴(重要不等式法)∵3

02

x ,∴ 0 3 2 0x x 且 ,

∴ (3 2 )x x =1

2 (3 2 )2

x x ≤1 2 3 2

2 2

x x =

3 2

4

当且仅当 3

4x 时取等号.

∴ 函数 (3 2 )y x x 的最大值为 3 2

4,当且仅当 3

4x 取得.

解: ∵⑵ 3x ,∴ 3 0x

∴2 22 2( 9) 18 18

2 63 3 3

x xy x

x x x

=18

2( 3) 123

xx

≥ 24

当且仅当 182( 3)

3x

x

即 6x 时取等号.

∴ 函数22

( 3)3

xy x

x

的最小值为 24,且当 6x 时取得.

例 2．⑴已知 30

2x ,求函数 (3 2 )y x x 的最大值.

⑵求函数22

( 3)3

xy x

x

的最小值.

解：∵ 1x ∴ 01 x 01

1

x

∴1

1

x

x = 11211

1)1(21

1

11

xx

xx

当且仅当 1

11

x

x 即 0x 时 1

1xx

有最小值 1

3 、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 1

1

x

x

有最小值，最小值为几？

1.y x

x 4、求函数 的值域

解 : 21

21

,0)1( x

xx

xx 时当

,1

,,0)2( Rx

xx 时当

2)1

()(21

x

xx

x

21

x

x ).,2[]2,( y

1 ( 3)

82

1

x x

x

x

2

1、求函数y= 的最小值 ；x-3

、求函数y= 的值域.

作业

47( 3)

3a a

a

3、求证 其中

三：三个正数的算术—几何平均不等式

类比基本不等式得3

+

a+b+ca b c∈ R ≥ abc如果 、 、 ，那么 ，

3 a=b=c当且仅当 时，等

3定理 ：

号成立。

，1 2 3 n

1 2 3 n n1 2 3 n

1 2 3 n

n a ,a ,a , a对于 个 正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，

a +a +a + +a , ≥ a即 a a , a

na =a =a = =a ,当且仅当 时

推广：

等号成立

.3

2 x+y+z=p）若 （定值），

p x=y=z ,xyz则当 时 有最大值

27

,

.

z

3

x,y设 都是正数，则有 1 xyz=s）若 （定值），

x=y=z ,x+y+z则当 时 有

定

3 s最小值

理：

注：一正、二定、三等。

例 1: 如图，把一块边长是 a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？

a

x

2 v=(a- 2x) x解：依题意有a

0<x< )（2

2 11 (1 5 )(0 )

5y x x x 例 求函数 的最值。

2

3

5 2 5 2( 2 ) ( 2 ),

2 5 2 51 2

0 , 2 0,5 5

2( 2 )5 45[ ] .

2 3 6752 2 4

2 .5 15 675

y x x x x x

x x

x x xy

x x x x

max

解：

当且仅当 ，即 时，y

3

max

1 1 4 1 5 14 (1 5 ) ( ) ,

4 4 3 1081

.108

x x xy x x x

y

下面的解法对吗？

例２ : 20 1 , (1 ) .x y x x 当 时 求函数 的最大值

解 : ,10 x ,01 x

.27

4,

3

2,1

2 max yxxx

时当

27

4)

3

122(4 3

xxx

)1(22

4)1(2 xxx

xxy

构造三个数相 加等于定值 .

练习：2

2 2

161 4 ______

( 1)y x

x

、函数 的最小值是 8

4 22 (2 )(0 2)y x x x 、函数 的最大值是

A 、 0 　　 B 、 1 　　 C 、　　　 D 、　　　

（　）

27

1627

32D

的最小值是则、若 yxxyRyx 24,,3 2

A 、 4 　　　　　　 B 、　　

C 、 6 　　　　　　 D 、非上述答案　　　

3 43B

2P10 15 },

2 .

2

b

h

2

b课本 第 题 已知a>0, b>0, 且h=mi n{a, a

求证：2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

22 2

0, 0, 2 ,

1 12, , ,

2 2

0<h=min{a, } ,

0<h=min{a, } ,

1 2, .

2 2

a b a b ab

a b ab b

ab a b a bb

aa bb b

a b a b

bh a

a b

证明：

即a

由于

从而h