Реализация квантовых

алгоритмов с помощью магнитного

резонанса

Михаил Волковлаборатория СФСХ

научный руководительчлен-корреспондент РАН Салихов К.М.

Разработка квантовых компьютеров -самый важный вид научной деятельности. В.И.Ленин

Казанский физико-технический институт

Реализация квантовых

алгоритмов с помощью магнитного

резонанса

Михаил Волковлаборатория СФСХ

научный руководительчлен-корреспондент РАН Салихов К.М.

Повышение быстродействия компьютера

Поисковая база данных

1) несортированный список N элементов2) сколько запросов необходимо сделать для его сортировки?

Разложение чисел на множители

1) N = p*q2) число N имеет L цифр3) чему равны p и q?

1 бит = 1 атом

Вместо классических законов вступают в действие квантовые законы и алгоритмы

Сравнение классических и квантовых битов

Классические биты1) Транзисторы2) 0 или 1

Квантовые биты1) Квантовые системы2) суперпозиция 0 и 1

101 ba Один кубит:

122 ba

Множество кубитов:

1...111...000...00210 naaan 1

2 i

ia

Классический компьютер обрабатывает одновременно N чисел, а квантовый компьютер 2N.

Разложение на множители числа N, состоящего из 400 цифр

10 миллиардов лет 3L 3 года 1 / 3Leâû ï î ë í åí è ÿ

Построение квантового компьютера

1) Квантовые биты.

2) Логические операции.

3) Теоретический расчет работы квантового компьютера.

4) Входные состояния.

5) Выходные состояния.

6) Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

Поиск элементной базы для квантового компьютера

В качестве элементной базы можно использовать:

1) Ионные ловушки. В качестве кубита используются атомные состояния сверхтонкой структуры и низколежащие колебательные моды (фононы) удерживаемых в ловушке атомов.

2) Оптические фотоны. В качестве кубита используется одиночный фотон с поляризацией в двух различных плоскостях.

3) Ядерные или электронные спины. В качестве кубита используется одиночный ядерный или электронный спин I или S = ½.

Реализация квантового компьютера на ядерных спинах

B0

0|0

|1

ininiHt

out Ue Операторы осуществляют поворот спинов

B0

1UU Операторы должны быть унитарными

частица со спином ½ в магнитном поле:

Квантовые логические операции

Любой квантовый алгоритм можно представить в виде комбинации логических операций NOT и CNOT. Мы выполняли эксперименты по реализации логической операции CNOT на двух спинах.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

CNOT

0 1

1 0NOT

Для реализации логической операции NOT требуется наличие одного спина.

Для реализации CNOT необходимо наличие двух спинов, при этом между ними должно существовать взаимодействие.

Логическая операция CNOT имеет следующую таблицу истинности:

Входные биты

Выходные биты

0 00 11 11 0

0 00 11 01 1

Взаимодействия между спинами

1 1 2 2

2 2

z zZeeman

I IH

1 1 2 21 2 1 2 1 2( )

2 2

z zx x y y z z

I IH J I I I I I I

1 2 1 2 1 2( )J x x y y z zH J I I I I I I

• Диполь-дипольное взаимодействие (в жидкостях усредняется до нуля)• J-взаимодействие (возникает при наличии химической связи между атомами, в которых ядра взаимодействуют с электронными оболочками)

Взаимодействия между спинами

1 1 2 21 2 1 2 1 2( )

2 2

z zx x y y z z

I IH J I I I I I I

Если выполняется условие J<<|ħ(ω1–ω2)|, тогда мы можем использовать только секулярную часть гамильтониана J-взаимодействия:

1 1 2 21 22 2

z zz z

I IH JI I

• Диполь-дипольное взаимодействие (в жидкостях усредняется до нуля)• J-взаимодействие (возникает при наличии химической связи между атомами, в которых ядра взаимодействуют с электронными оболочками)

. . . .

. .

. .

. . . .

Базисный набор: E, дипольные моменты I1x, I1y, I1z, дипольные моменты I2x, I2y, I2z,

квадрупольные моментыI1xI2x, I1xI2y, I1xI2z, I1yI2x, I1yI2y, I1yI2z, I1zI2x, I1zI2y, I1zI2z.

2) С помощью матриц плотности: ρ→2nx2n Для двух спинов ½: 4х4

Существует два способа описания квантовых систем:

y

I II

2i

Способы описания квантовых систем

1) С помощью векторов в гильбертовом пространстве:

1I

2I 1I 2I

z1 2

I1

z1

1I

2

x

I II

2

z2 2

I1

z2

1I

2

2n

. . . .

. .

. .

. . . .

2n

I1x=

I1x

матрица оператора I1x

Базисный набор для двух спинов

16

1kk

i

QBH

16

1kk

i

QC

Для любой матрицы:16

1

( ),

( )

kkk k

ik k

S F QF Q

Q Q

pC C

Sp

0 1/ 2 0 0

1/ 2 0 0 0;

0 0 0 1/ 2

0 0

I2x

1/ 2 0

1 0 0 0

0 1 0 0;

0 0 1 0

0 0

E

0 1

0 0 1/ 2 0

0 0 0 1/ 2;

1/ 2 0 0 0

0 1

I1x

/ 2 0 0

0 0 i / 2 0

0 0 0 i / 2;

i / 2 0 0 0

0

I1

0 0

y

i / 2

1/ 2 0 0 0

0 1/ 2 0 0;

0 0 1/ 2 0

0

I1z

0 0 1/ 2

0 i / 2 0 0

i / 2 0 0 0;

0 0 0 i / 2

0

I2y

0 i / 2 0

1/ 2 0 0 0

0 1/ 2 0 0;

0 0 1/ 2 0

0

I2z

0 0 1/ 2

0 0 0 1/ 4

0 0 1/ 4 0;

0 1/ 4 0 0

1/ 4 0 0 0

I1xI2x

0 0 0 i / 4

0 0 i / 4 0;

0 i / 4 0 0

i / 4 0 0

I1xI2y

0

0 0 1/ 4 0

0 0 0 1/ 4;

1/ 4 0 0 0

0 1/ 4 0

I1xI2z

0

0 0 0 i / 4

0 0 i / 4 0;

0 i / 4 0 0

i / 4 0 0

I1yI2x

0

0 0 0 1/ 4

0 0 1/ 4 0;

0 1/ 4 0 0

1/ 4 0 0

I1yI2y

0

0 0 i / 4 0

0 0 0 i / 4;

i / 4 0 0 0

0 i / 4 0

I1yI2z

0

0 1/ 4 0 0

1/ 4 0 0 0;

0 0 0 1/ 4

0 0 1/ 4 0

I2zI2x

0 i / 4 0 0

i / 4 0 0 0;

0 0 0 i / 4

0 0 i / 4

I1zI2y

0

1/ 4 0 0 0

0 1/ 4 0 0;

0 0 1/ 4 0

0 0 0 1/

I1zI2z

4

Теоретический расчет работы импульсной

последовательности[ , ]i

tH

Уравнение Шредингера:

/ /( ) (0) H t tHi iet e

Решение для гамильтониана, независящего от времени:

Поворот спина на угол φ=ωt относительно оси k=x,y,z осуществляется под действием гамильтониана H=ħωIk в течение времени t.

/ /k kH Ii t i t Iie e e

... ( ( ) 2 ( ))2 2

k ki cos iE I E I sin

( ( ) 2 ( ));2 2

ziz

t I t te cos i nE I si

1 21 2

/ ( ( ) 4 ( ))4 4

z ziJ tI Iz z

JtE

Jte cos i sinI I

Теоретический расчет работы импульсной

последовательности

3 2 1 1 2 3/ / / / / /(...)( )( )( ) ( )( )( )(...( ) (0) )i t i t i tH H H H Hi t i t i H te et e e e e

1 1 2 2/1 2 1

/ / /( ) (0) ( ) (( ) ( ), ( ) )( )i t iH t i t iH H tHe e et t et

Импульсная последовательность CNOT

o90 yo180x

o180x

o180x

o180x

o90x

1

4t

J

1

4t

J

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

CNOT

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

2 1 2 2

0 0 0

0 0 0( 2 ).( 4 ).( 2 )

0 0 0

0 0 0

x z z yE I E I I E I

k

li i i

m

n

1 22 z zH JI I

o290 y

o290 x

1

2t

J

1 1 2 21 22

2 2z z

z z

I IH JI I

/ 4

/ 4

3 / 4

3 / 4

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

i

i

i

i

e

e

e

e

o90 yo180x

o180x

o180x

o180xo90 y

o90xo90 y

o90 yo90x

1

4t

J

1

4t

J

Спектры чистых состояний

Теоретический расчет действия логической операции CNOT на чистые состояния:

00 01 10 11

00 01 11 10

Спектры состояний |00>, |01>, |10>, |11> до применения CNOT :

Спектры состояний |00>, |01>, |10>, |11> после применения CNOT :

Приготовление входных состояний

Квантовая логическая операция CNOT работает правильно, если в качестве входных состояний использовать чистые состояния:

Такие состояния можно приготовить из состояния теплового равновесия с помощью последовательностей РЧ импульсов и градиентов магнитного поля:

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

1

0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

1

0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

Для создания таких состояний необходимо понизить температуру до 10-2К

Вместо чистых состояний можно использовать псевдо чистые состояния вида , которые ведут себя аналогично чистым состояниям:( )+E

В нашей реализации мы использовали жидкое вещество, имеющее следующую химическую формулу:

Реализация логической операции CNOT на ядерных

спинах

-HP- -HP-

H2O -CH3-

-PH- -PH-

-PD--PD- -PD-

Экспериментальные спектры псевдо чистых состояний, полученные до и после применения к ним логической операции CNOT:

Экспериментально полученные результаты

|00> |01> |10> |11>

|00> |01> |11> |10>

Длительность выполнения логической операции

Электронный парамагнитный резонанс1) Длительности 90°-импульсов в современных спектрометрах 10÷100 нс. ЭПР спектрометр Elexsys H1: τ90° = 16 нс. 2) Константы электронно-ядерного взаимодействия: 10÷100 МГц.

Ядерный магнитный резонанс1) Длительности 90°-импульсов в современных спектрометрах 1÷10 мкс. ЯМР спектрометр Bruker Avance 400 H1: τ90° = 9,5 мкс, P31: τ90° = 5,5 мкс.2) Константы косвенного взаимодействия: для непосредственно связанных атомов 100÷1000 Гц, через одну связь 10÷100 Гц, через несколько связей <10 Гц. JPH= 680 Гц.

Длительность выполнения одиночной логической операции определяется длительностями 90°-импульсов и константами

взаимодействия ядер

Реализация логической операции CNOT на электронных

спинах1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

CNOT

1 1 2 21 2 1 2 1 2( )

2 2

z zx x y y z z

I IH J I I I I I I

1 1 2 21 22 2

z zz z

I IH JI I

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

CNOT

Реализация логической операции CNOT на электронных

спинах1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

CNOT

1211

1 2/ ( )J

1 2/ ( )J

Реализация логической операции CNOT на электронных

спинах Имидазолиновый бирадикал

1) ν1ν1 2) ν1ν2 3) ν1ν3 4) ν2ν1 5) ν2ν2 6) ν2ν3 7) ν3ν1 8) ν3ν2 9) ν3ν3

Ансамбль спинов разделяется на 9 подансамблей:

Реализация логической операции CNOT на электронных

спинах1) ν1ν1 2) ν1ν2 3) ν1ν3 4) ν2ν1 5) ν2ν2 6) ν2ν3 7) ν3ν1 8) ν3ν2 9) ν3ν3

Спасибо за внимание