粗粒化方法模拟 复杂网络上的临界现象
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粗粒化方法模拟 复杂网络上的临界现象. 报告人：申传胜 导 师：侯中怀 教授 中国科学技术大学 安庆师范学院 2010.10 苏州. 1. 1 、为什么粗粒化. （多尺度、现有方法局限）. 2 、怎么粗粒化. （网络拓扑、节点状态、动力学、统计一致性、粗粒化规则）. 3 、粗粒化效果. （数值模拟、有效、高效）. 为什么粗粒化. 复杂网络多尺度问题. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
粗粒化方法模拟复杂网络上的临界现象
报告人：申传胜
导 师：侯中怀 教授
中国科学技术大学 安庆师范学院
2010.10 苏州
1 、为什么粗粒化（多尺度、现有方法局限）
（网络拓扑、节点状态、动力学、统计一致性、粗粒化规则）
2 、怎么粗粒化
3 、粗粒化效果
（数值模拟、有效、高效）
为什么粗粒化复杂网络多尺度问题
最近 CHAOS, 20, 010202(2010) 专辑征稿文章：“复杂网络的介观尺度 (Mesoscales ）”指出“直至目前复杂网络已有的大多数工作只是局限在通过统计分布得到的局部尺度结构，或者是网络整体参数的宏观尺度上，但是这两个层次都能够通过介观层次来理解”。
MC 模拟：精确，模拟耗时；
平均场方法：唯象方程，忽略微观信息如涨落等
粗粒化方法 : 微观到宏观的桥梁，而且还适用在度关联网络
真实网络的尺度很大，例如人类大脑神经元网络是由 1011 个神经元和 1014 个突触组成 .
小世
界 无标
度
, ,1i j iiji j i
H J A h
复杂网络上的 Potts 模型
随机网
络
,wi jij
i j
H
★ 粗粒化方案
● 网络拓扑粗粒化： cij klA A
, ;
,
2
( 1)
1k
k l
iji j C i jk kc
kl
iji C j Ck l
A if k lq q
A
A if k lq q
● 节点状态粗粒化： ( ), ( 0,1, , 1)ik
i k i Cp
● 哈密顿量粗粒化：( ) ( )
( ) ( ) (1)( 1)
2c k k
kl k l kk k l k kkkH H J A J A h
● 统计一致性条件
'/ /1 1B BH k T H k Tkg Z e Z e
' 是与粗粒化构象 对应的所有微观构象之和 { }k
(1,1,1,1,1)
(1,1,1,1,0)
(1,1,1,0,1)
(1,1,1,0,0)
(1,1,0,1,1)
(1,1,0,1,0)
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(1,1,0,0,0)
(1,0,1,1,1)
(1,0,1,1,0)
(1,0,1,0,1)
(1,0,1,0,0)
(1,0,0,1,1)
(1,0,0,1,0)
(1,0,0,0,1)
(1,0,0,0,0)
T
T
T
T
T
T
T
T
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T
T
T
T
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T
(0,1,1,1,1)
(0,1,1,1,0)
(0,1,1,0,1)
(0,1,1,0,0)
(0,1,0,1,1)
(0,1,0,1,0)
(0,1,0,0,1)
(0,1,0,0,0)
(0,0,1,1,1)
(0,0,1,1,0)
(0,0,1,0,1)
(0,0,1,0,0)
(0,0,0,1,1)
(0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1)
(0,0,0,0,0)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(2,0)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
(1,0)
(0,3)
(0,2)
(0,1)
(0,0)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
举例 : p=2 态 Potts 模型粗粒化微
观状态
微观状态
是粗粒化构象的简并度 g
1 2H H H
21 , , ,
2 , , ,, , , ,
i j i j i j
k k k
i j i j i j
k l k l k l
i jij k
i j C i j C k i j C
i jij k l
i C j C i C j C k l k i C j C
d d JH J A J D
d N d N
d d JH J A J D D
d N d N
2 21 , , ,
2 , , ,, ,
( 1)2 i j i j
k k k
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k l k l
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k i C j C k i j C
c k lk l
k l k i C j C k l k i C j C
J JH D D
d N d N
D D JH J D D
d N d N
,i j
i j
d dA
d N
,k l
k l
D DA
d N
根据退火网络近似
ki i C kd D ① 度相同的节点合并
● 粗粒化规则
② 按度相似的节点合并
, ,k
i ji j i i C k i
d dA d D d
d N
221
,1
,
kk
kkl
k l
dD if k l
d N qA
D Dif k l
d N
( ) ( )
1
2 ( ) ( )
,
22
,2
2 ,, ( ) ,
( 1)
2
( 1)2 1( ) ( 1)
2 ( 1) 2
11
1
k
i j
k
i j
k l
c k kkk
k
k kk i j k k
k i jk ki j C
kk
k i j Ck k
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k l k i C j C
H J A
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2
2
2
2
1
1
1 1
k
k k
k
k k k k
d
D D
d
D q D q
( ) (1/( ))k kO O D q
③ 随机合并节点
讨 论
粗粒化蒙特卡洛模拟
按 CG 节点大小 qk ，选一 CG 节点
按 去选一个态
再随机选一个态
执行
( )k
'
( ) ( )
( ') ( ')
1
1
Metropolis 动力学
intnt eri raE H H
/E kTp e
数值模拟结果
0 100 200 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
KMC CGKMC
KMC CGKMC
T=15
T=2
T=8
M
MC step
KMC CGKMC
图 1. 在不同温度下微观模拟和粗粒化模型磁矩的时间序列。
,( )
( )( )
11, ,
1
11, ,
1
i
j
j cj
pM j N
p
pM j N
p
ln
4c
k NT
q
图 2(a)-(b) ，磁矩和磁化率随着温度的变化（单位为 J=kB ）。符号和线分别对应
于粗粒化模拟和微观模拟，点线表示随机合并， N=16384 ， Nc=64 。（ c ）粗
粒化模拟中体系尺度对相变临界温度 Tc 的影响。以上采用无标度网络，平均度为
20 。
关联网络上 Potts 模型的相变
图 3. （ a ）网络关联系数对相变点 Tc 的影响， N = 1024 。（ b ）关联网络尺度对相变点 Tc 的影响，网络平均度为 20 。
1 1 2
1 2 2 1 2
[ ( ) / 2]
( ) / 2 [ ( ) / 2]i i i ii i
i i i ii i
m j k m j krm j k m j k
一些加权网络实证结果
无权网络只能给出顶点之间的相互作用存在与否的定性描述
生物网络：神经网络中的连接权重对网络功能的实现至关重要，在关于大脑皮层微回路的研究中，发现神经元突触之间的连接在学习和认知过程中并不改变，只是突触之间连接强度的变化使大脑皮层产生了新的功能； Pimm 和 Krause 等指出，食物链网络中捕食关系及其强度的多样性，以及新陈代谢反应速率之间的差别是维持生态系统和新陈代谢网络稳定的重要因素；
社会网络：相互作用强度对网络上的疾病传播等过程会产生重要影响 ; 科学家合作网中的合作次数等都是影响系统性质的重要因素。
技术网络： Internet 网络上的宽带、航空网中两个机场间 航班的数量或者座位数等都是影响系统性质的重要因素。
加权网络上的 Potts 模型
小世
界 无标
度
,wi jij
i j
H
随机网
络
② * ▲ 在无权网络生成之后给每个节点随机赋予一个介于 1 到 N 的整数wi ， 任意两个点互不相同；▲ 给每条边赋予权重：* PHYSICAL REVIEW E 70, 026109 (2004) Characterization of weighted complex networks
( ) / 2ij i jw w w N
( )ij i jw k k ①
★ 粗粒化方案
● 网络拓扑粗粒化： cij klw w
, ;
,
2
( 1)
1k
k l
iji j C i jk kc
kl
iji C j Ck l
w if k lq q
w
w if k lq q
● 节点状态粗粒化： ( ), ( 0,1, , 1)ik
i k i Cp
● 哈密顿量粗粒化：( ) ( )
( ) ( )( 1)
2
cc ck kkl k lk k l kkk
H H w w
1 2H H H
21 , , ,
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1
1
i j i j i j
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i C j C i C j C k l k i C j C
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2 21 , , ,
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1 1[ ( 1)/ 2]
1
s
i j i j
k k k
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c k lk l
k l k i C j C k l k i C j C
H S Ss N s N
S SH S S
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,i j
i j
s sw
s N
sc k lkl
S Sw
N
根据退火网络近似
ki i C ks S ① 强度相同的节点合并
● 粗粒化规则
i ijj
s w
② 按强度相似的节点合并
, ,k
i ji j i i C k i
s sw s S s
s N
221
,1
,
kk
c kkl
k l
sS if k l
s N qw
S Sif k l
s N
( ) ( )
1
2 ( ) ( )
,
22
,2
2 ,, ( ) ,
( 1)
2
( 1)1 2 1( ) ( 1)
2 ( 1) 2
11
1
k
i j
k
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c c k kkk
k
k kk i j k k
k i jk ki j C
kk
k i j Ck k
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k l k i C j C
H w
q qS s s
q q s N
sJS
s N S q
H S Ss N
2
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2
2
1
1
1 1
k
k k
k
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s
S S
s
S q S q
( ) (1/( ))k kO O S q ③ 随机合并节点
讨 论
图 4(a)-(b)，磁矩和磁化率随着温度的变化（单位为 kB ）。符号和线分别对
应于粗粒化模拟和微观模拟，点线表示随机合并。以上采用无标度网络，平均度为 20。
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Nc=64 N=8192 p=3
M
T
0 2 4 6 8 10
0.000
0.003
0.006
0.009
0.012
0.015
0.018
Nc=64 N=8192 p=3
T
(a) (b)
ln
4cT k N
J p
5 6 7 8 94
5
6
7
8
Tc
lnN
Slope=0.875
0.833ln 4
cT s
N p
( ) / 2ij i jw w w N
/ 2s w k k
图 5:粗粒化模拟中体系尺度对相变临界温度 Tc的影响。
20
3
k
p
1/ 2J w
i is w k
①．对网络拓扑进行粗粒化
②．定义粗粒化变量，反应介观层次的状态量或序参量
③．建立粗粒化模型的动力学
④．提出统计一致性条件。粗粒化的核心
⑤．设计满足统计一致性条件的粗粒化模拟
小 结
⑥．数值模拟（无关联网络 、关联网络和加权网络）
谢 谢！
