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　　 第二章　物体的弹性　　 第一节　应变和应力

第二节　弹性模量

第三节　弯曲与扭转

重点掌握：

　　１、形变；２、应力；

　　３、应变；４、弹性模量。

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弹性力 —— 是指两个物体相互接触，并产生一定的形状和大小的改变时，变形物体为了恢复原状，相互之间产生的一种相互作用力。

第一节　应 变 和 应 力一、 应 变

当物体受到外力作用后，一方面可能产生整体运动，另一方面，外力将向物体内部传递，引起物体内部相邻各点之间的相对运动，进而导致其体积或形状的改变，使物体产生变形。

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弹性形变 —— 当作用在物体上的外力处于一定的限度内时，去掉外力后物体能够完全恢复原状的形变。

形 变 —— 物体在外力作用下所发生的形状和大小的改变。

形变可分为二类：一类的形变是暂时的，另一类形变是永久的。

产生弹性形变的物体称为完全弹性体，或简称“弹性体”。

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范 ( 塑 ) 性形变——当作用在物体上的外力超过某一限度后，去掉外力物体只是部分地恢复原状或者不能完全恢复原状的形变。

弹 性－－在外力停止作用后物体形变完全消失的性质。

范（塑）性－－在外力停止作用后物体产生永久形变的性质。

产生形变的物体同时受到外力和内力的作用。

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物体原长为 l0 ，拉伸后伸长为 l 0 ＋ Δl 。

　 1 、张应变－－长变（拉伸应变）

应 变 —— 表示物体变形程度的物理量。它表示物体受外力作用时，其长度、形状或体积发生的相对变化。　

实验表明，物体在受到一定外力牵拉时，其发生的长度的改变量 Δl 是和物体原来的长度 l0 成正比的。

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（ 2 ）、剪 应 变 剪切（切变）——物体如果受到外力作用时，只发生形状的变化而没有体积变化的形变。

 

若物体受外力压缩，则物体的缩短量与原长之比，可称为压应变。此时有Δl < ０， ε< ０。

ε 为相对伸长量，即单位长度的伸长率。

物体在受到外力牵拉（或压缩）时长度变化的程度，可用 Δl 和 l0 的比值来表示，称为张应变，以符号 ε 表示，即

00

00 )(

l

l

l

lll

7

　

00

00 )(

V

V

V

VVV

物体各个部分在各个方向上若受到同等压强作用时，其体积发生变化而形状不变，则体变的程度可用体积的改变量 ΔV 与原体积 V0 之比表示，叫做体应变，以 θ 表示，为

　 2 、体 应 变

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　３、切应变（剪应变）　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

切变 ( 剪切 ) －－ 物体受剪切力作用，发生只有形状变化没有体积变化的弹性形变。剪切力－－是指大小相等、方向相反而作用线平行的一对力。

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剪切的程度可用比值 Δx / d 来衡量，这一比值称为切（剪）应变，以 γ 表示 , 即

tgd

x

故 φ 角又称为剪切角，表示剪切的程度，即表示垂直于底面的直线所转过的角。

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以上三种应变都是无量纲的，均为一纯数。它们只是相对地表示形变的程度，应变就是相对形变。因此，它们与物体的长度、体积和形状都没有关系。

当物体被纵向拉伸时，将产生横向收缩。

实验表明，横向的相对收缩与纵向相对伸长成正比。

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不可压缩材料 μ= 1 / 2 , 其它材料 μ< 1 / 2 。

若设物体横截面为矩形，其边长分别为ａ０、ｂ０，拉伸后变为ａ、ｂ，其线应变为 Δl / l0 ，若材料是各向同性的，则泊松比 μ 为：

00

0

00

0 //l

l

b

bb

l

l

a

aa

a0

b0

ab

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这也是区别液体和固体的标准之一。

液体本身没有固定的形状，因此液体没有形状变化的弹性；但液体具有一定的体积，所以它只有体积变化的弹性。

需指出一点：

对于固体来说，这两种弹性都有。

４、应变率－－应变随时间的变化率，即单位时间内增加或减少的应变，它描述的是变形速率。其单位为 s-1 。

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物体发生形变时，总是与力分不开的。

因此产生形变的物体会同时受到外力和内力的作用。

内力使物体具有恢复原状的趋势。

由于组成物体的微观粒子之间的相对位置因外力发生了改变，所以物体内部各个相邻的宏观部分之间就存在着相互作用，这种相互作用产生的相互作用力（即弹性力）就称为内力。

二、 应 力

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内力产生的原因：物体受外力而变形，其内部出现的因反抗形变，使物体恢复原状而产生的力。

内力：物体内部各部份之间的相互作用力。

外力：对于一定物体，外界物体对它的作用力。

　１、外力、内力

同时用单位面积上的弹性力来作为物体恢复原状趋势的定量表示，称为应力，它的单位是：Ｎ ·ｍ－２。

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内力示意图：

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内力是作用于整个假想截面上的。

求内力的方法是隔离体法。

内力总是成对出现的。

内力不一定垂直于假想截面；不同假想截面上的内力更可能有不同的大小和方向。

内力：即假想截面两侧的相互作用力。

内力和一定的假想截面相对应，脱离了假想截面便无法谈内力。

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但内力还不足以说明物体内部的受力状态。

例如：同是１００Ｎ的力，作用于１ｃｍ２上和作用于１ｍｍ２上，情况就很不一样。

有向面元：用外法线方向（ n ）标示出其方位的面元。

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下面从弹性均质直杆的情况出发讨论拉伸压缩的正应力与形变的关系。

而弯曲和扭转可看成是由拉伸形变、和剪切形变组成的。

最基本的形变只有两种：即拉伸形变、和剪切形变。

应力是指作用于物体内单位面积上的弹性力。它准确地描述了作用于物体内部力的分布情况。其单位为 N/m2 。

２、 应 力

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张力是指物体内部任一横截面两方之间的弹性力。对于结构均匀的材料，其所受的张力是均匀分布在该横截面上的。

1 、张 应 力

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而分布于该横截面上的总力和物体两端的拉力相等。

直杆在此横截面处的应力定义为－－ F / S （即单位面积上的张力），称为张应力，用符号 σ 表示：

上式为平均值。S

F

作用于物体内部横截面上的这两个力互为作用力和反作用力。

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又因为直杆中的每一部分，对另一部分都产生拉力，故该应力也称为拉伸应力。

F / S －－单位面积上的张力－－即内力密度。

如果物体两端受到的是压力，则拉伸应力为负值，故此力称为压应力。

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对于压缩正应力， σ＜０ 。　

对于拉伸正应力， σ＞０；

又因为张力与截面正交，所以张应力和压应力又称为正应力。

dS

dF

S

F

S

lim0

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　 2 、体　应　力

体积变化的应力可以用压强来表示：

S

FP

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　　　　 　 3 、切 应 力

　　　　　　　

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S

F

切应力也等于单位面积上的切力。

应力还具有局部特征，可以表示物体内部相应位置上的受力强度。　

切力Ｆ与截面积Ｓ的比值，称为剪切应力，也称为切应力，以符号 τ表示：

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dA

dF

A

FP

A

0

lim

任一方向的应力均为矢量，可将其分解为与作用面垂直的分量 σ及与作用面平行的分量 τ ，一般称与作用面垂直的应力为正应力，与作用面平行的应力为切应力。不同物体存在正应力或切应力的阈值，超过该阈值．物体即可被破坏。

此为点 O 在 n 方向的应力。

按照应力的定义，该面上的平均应力为 ΔF/ΔA ，当 ΔΑ→0 时，定义：

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应力也叫做胁强。应变也叫胁变。

应力反映了物体发生形变时的内力强度情况，即反映物体形变时内部的紧张程度。

剪切应力——与截面平行的应力，或称为切向应力。

法向应力——与截面正交的应力。

应力 —— 作用在物体内部单位截面积上的内力 （弹性力）。

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第二节 弹 性 模 量　　　　　

一、弹性和塑性

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使物体产生塑性形变所需要的最小应力。弹性极限的另一个定义：抗压强度或抗张强度 —— 断裂点的应力。断裂点 －－ c 点称为断裂点。范（塑）性范围： b 点至 c 点的范围。弹性范围 —— b 点以前的范围。弹性极限 —— b 点。正比范围 —— a 点以前的范围。a 点 —— 材料的正比极限或比例极限。

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脆性 —— 如果 c 点距离 b 点较近，即 εc 与 εb 的差值较小，则材料表现出脆性，说明它容易断裂。

展性 —— c 点距离 b 点较远，即 ε

c 与 εb 的差值较大，说明这种材料能产生较大的塑性形变，不易断裂，表现出它具有展性。

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骨也是一种弹性材料，在正比极限范围内，其张应力和张应变成正比关系。

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对于不同的材料，它们的比例系数 Y 不同。

σ= Y ε 。

结论：在正比极限范围内，应力与应变成正比。

胡克定律又可叙述为：在弹性极限范围内，应力和应变成正比，

材料的弹性极限与环境温度有关。

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弹性模量是物质所具有的一种属性，它表示某种材料反抗形变的能力。

即产生单位应变的应力。弹性模量的单位是：Ｎ ·ｍ－２。

应变应力

弹性模量＝

二、弹 性 模 量

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LS

FL

LLS

FE

0

0

从图 2-3中可以看出，直线的斜率就是该材料的杨氏模量。杨氏模量 E愈大，表示这种材料反抗形变的抵抗能力越大，该材料就越不容易变形。

1 、杨 氏 模 量 物体单纯受张应力或压应力作用时，在正比极限范围内，其应力与应变的比值称为杨氏模量。

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２、体 变 模 量

0VVPP

K

式中负号表示体积缩小时压强是增加的。请注意，压强在这里是指它的增值。若 P 为正，则 ΔV 为负；若 P 为负， ΔV为正。总之，体变模量 K 本身始终是一正值。

在体变的情况下，压强与体应变的比值，称为体变模量，以符号 K表示

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物体的体变模量 K越大，物体越不容易被压缩。

物体的压缩率 k 值越大（即 K 值越小），这种物体越容易被压缩。

上式表示压缩率 k 是增加单位压强时体积的相对改变量。即增加单位压强时的体应变。

PPV

V

Kk

0

1

体变模量的倒数，称为压缩率－－－压缩系数 :

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LS

FL

LLS

FG

0

0

大多数材料的切变模量约为其杨氏模量的的 1 / 2 — 1 / 3 。 切变模量仅仅对固体材料有意义。故切变模量又称为刚性模量。

3 、切变模量（剪切模量） 在剪切的情况下，切应力 τ与切应变 γ的比值，称为切变模量，用符号G表示

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弹性模量反映了材料形变的难易程度。

材料的弹性模量越大，表示它产生一定的应变所需要的外力也越大。即表示物体内部抵抗形变的应力也就越大，物体也就愈不容易产生变形。

弹性模量是表示某一种材料弹性性质的物理量，它是物质的一种属性。

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　 从图 2-3可看出，当物体所受作用力较小时，应力与应变成正比，其比例系数——“弹性模量”为常数。　

　 一般称弹性模量与物体变形有关的物体为非线性弹性体，大多数生物材料均为非线性弹性体。

但当所受作用力较大时，应力与应变表现为非线性关系，其弹性模量与变形相关，不再是常量。

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在医学上，弯曲是引起骨折的重要原因之一。

　一、弯 曲

弯曲是一种长度变化的表现，而扭转则是一种形状变化的表现。

第三节、  弯曲和扭转

弯曲时材料各层应变和应力的大小都与材料 ( 横梁 ) 弯曲的程度有关，或者说与其弯曲时材料的曲率半径Ｒ有关。Ｒ越小，表示材料弯曲程度越大。　　

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Δｌ将 α=ｌ /Ｒ代入上式得 :

ΔｌΔｌ′

ＣＣ′

设上图中００′为中间层 , 其长度为ｌ，曲率半径为Ｒ，设离中间层Ｘ处的ＣＣ′层的长度为ｌ +Δｌ。由图可知：

＝ ００′ + Δｌ ＝ｌ + ２ Δｌ′

=Ｘｔｇ α/ 2 ≈Ｘ α/ 2

= 2 Δｌ′ = 2Ｘｔｇ α/ 2 ≈2Ｘ α/ 2 ≈Ｘ ·α

= αＸ=ｌ /Ｒ ·Ｘ

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　　　　　　　　　 R

X

l

l

ER

XE

上式表明，弯曲时各层的拉伸应变不但同该层距中间层的距离 X 有关，并且同曲率半径 R 有关，曲率半径 R越小，弯曲越大，则拉伸应变 ε越大。该层的拉伸应力为：

则距中间层Ｘ处的拉伸应变为：　　　

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材料中间层附近的各层的应变和应力都是比较小的它们对抗弯所起的作用不大，因此可以用中空材料来代替实心材料。

当这个最大拉伸应力超过抗张强度或此最大压应力超过抗压强度时，材料即有可能出现断裂。

可见：拉伸部分的最大拉伸应力在最下层（ X最大，而 R 不变），而压缩部份的最大压应力在最上一层（同理）。

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二、 扭 转

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扭转的角度超过某一数值时，物体就会断裂。

实验与计算表明，在一定的弹性范围内，圆杆或圆管的扭转角度是和所加的力矩成正比的。

常用扭转的角度（图 2-7b中 φ角）来说明扭转的程度。